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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO PARANÁ

ESCOLA POLITÉCNICA

APOSTILA DE GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

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Conteúdo

CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES ........................................................................................................................ 4

Noções primitivas ..................................................................................................................................... 4

Proposições primitivas ............................................................................................................................. 4

Definições ................................................................................................................................................. 5

Posições relativas entre pontos, retas e planos ....................................................................................... 6

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO: ......................................................................................................................... 6

CAPÍTULO 1 – ÂNGULOS ............................................................................................................................... 8

EXERCÍCIOS:.............................................................................................................................................. 9

CAPÍTULO 2 – TRIÂNGULOS ........................................................................................................................ 10

EXERCÍCIOS: ....................................................................................................................................... 15

CAPÍTULO 3 - POLÍGONO ............................................................................................................................ 17

CAPÍTULO 4 – CIRCUNFERÊNCIA................................................................................................................. 19

EXERCÍCIOS: ................................................................................................................................................ 20

CAPÍTULO 5 - ÁREAS ................................................................................................................................... 20

CAPÍTULO 6 - POLIEDROS CONVEXOS ........................................................................................................ 23

PRISMAS ................................................................................................................................................. 24

ÁREAS E VOLUME .............................................................................................................................. 26

PIRÂMIDE ............................................................................................................................................... 27

Volume da pirâmide .......................................................................................................................... 29

EXERCÍCIOS:............................................................................................................................................ 29

CILINDRO ................................................................................................................................................ 30

Área lateral e área total: .................................................................................................................... 30

Volume do cilindro............................................................................................................................. 31

EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................. 32

CONE CIRCULAR ..................................................................................................................................... 32

Área lateral e área total: .................................................................................................................... 33

ESFERA ................................................................................................................................................... 34

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Área da superfície esférica ................................................................................................................ 35

Volume da esfera ............................................................................................................................... 36

EXERCÍCIOS ............................................................................................................................................. 36

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CAPÍTULO 0 - PRELIMINARES

A seguir estão listadas as nomenclaturas e os seus significados que utilizaremos no decorrer

deste material.

1. Noções primitivas - estabelecidas sem definição; 2. Proposições primitivas (postulados ou axiomas) - são afirmações aceitas sem demonstração; 3. Definição - caracterização de elementos; 4. Propriedades, proposições, teoremas, corolários, lemas - são afirmações que devem ser

aprovadas.

Agora falaremos de algumas noções intuitivas, postulados e definições necessárias para o estudo da

geometria.

Noções primitivas

Adotaremos sem definir os conceitos de Ponto, Reta e Plano.

• Pontos: Letras maiúsculas do nosso alfabeto: A, B, C, ...

• Retas: Letras minúsculas do nosso alfabeto: a, b, c, ...

• Planos: Alfabeto grego: α, β, γ,...

Proposições primitivas

1. Postulado da existência (a) Existe reta e numa reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. (b) Existe plano e num plano, bem como fora dele, há infinitos pontos. 2. Postulados da determinação (a) Da reta: dois pontos distintos, A e B, determinam uma única reta que passa por eles.

A r B

(b) Do plano: três pontos, A, B e C, não colineares (pontos que não pertencem a uma mesma reta) determinam um único plano que passa por eles.

3. Postulado da inclusão: Se uma reta tem dois pontos distintos contidos num plano, então esta reta está contida nesse mesmo plano.

PONTO, RETA E O PLANO A r s

αα

PONTO, RETA E O PLANO A r s

αα

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Definições

1. Pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano.

2. Dada uma reta r e um ponto A sobre r, chama-se semi-reta a cada uma das regiões

determinadas por A.

B A O

R

3. Duas retas são concorrentes, se e somente se, elas tem um único ponto comum.

4. Duas retas, r e s, são paralelas se ou são coincidentes ou são coplanares e não possuem nenhum

ponto em comum. Notação: r ∥ s.

r

5. Duas retas são concorrentes se elas tem um único ponto de interseção.

6. Duas retas são reversas se não existe um plano que contém as duas retas.

s

r

r ∩ s = P

r ∩ s = φ

s

6

Posições relativas entre pontos, retas e planos

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO:

1. Retas reversas podem ser paralelas? Justifique.

2. Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos? Justifique.

3. Três retas, duas a duas concorrentes, passando pelo mesmo ponto, estão contidas no mesmo plano? Justifique.

4. Classifique em V (verdadeiro) ou F (falso) justificando a resposta. a. Por um ponto passam infinitas retas. b. Uma reta contém dois pontos distintos. c. Dois pontos distintos determinam uma e uma só reta. d. Por três pontos dados passa uma só reta. e. Três pontos distintos são sempre colineares. f. Três pontos distintos são sempre coplanares. g. Quatro pontos todos distintos determinam duas retas. h. Três pontos pertencentes a um plano são sempre colineares. i. Quaisquer que sejam os pontos P e Q e as retas r e s, se P é distinto de Q, e P e Q

pertencem às retas r e s, então r = s. j. Três pontos distintos determinam um plano. k. Um ponto e uma reta determinam um único plano. l. Duas retas distintas paralelas e uma reta concorrente com as duas determinam dois planos

distintos. m. Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos. n. Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três planos.

7

5. Usando quatro pontos todos distintos, sendo três deles colineares, quantas retas podemos construir?

6. Quantas e quais são as retas determinadas por pares de pontos A, B, C e D, dois a dois distintos, se eles não são coplanares.

7. Quais são os planos determinados por quatro pontos distintos A, B, C e D?

8. Prove que: duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são coplanares.

9. Quantos são os planos que passam por uma reta? Justifique.

10. Prove que: se duas retas são paralelas e distintas, todo plano que contém uma delas e um ponto da outra, contém a outra.

11. Duas retas distintas r e s, reversas a uma terceira reta t, são reversas entre si? Justifique.

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CAPÍTULO 1 – ÂNGULOS

Definição de ângulo: Chama-se ângulo à união de duas semi-retas de mesma origem não colineares.

O ponto O é o vértice do ângulo. As semi-retas AOr

e BOr

são os lados do ângulo.

• Um ângulo é dito reto, quando seus lados são perpendiculares e sua medida é 900.

• Um ângulo é dito agudo, quando é menor que o ângulo reto.

• Um ângulo é dito obtuso, quando é maior que o ângulo reto.

• Um ângulo é dito raso, quando sua medida é 1800.

O

A

B

)

9

• Dois ângulos são complementares, quando sua soma é igual a um reto.

• Dois ângulos são suplementares, quando sua soma é igual a dois retos.

EXERCÍCIOS:

1. Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplemento do

outro, nessa ordem é 8

1. Determine esses ângulos.

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CAPÍTULO 2 – TRIÂNGULOS

DEFINIÇÃO DE TRIÂNGULO: Dados três pontos A, B e C não colineares, à união dos segmentos AB, AC e

BC chama-se triângulo ABC.

Elementos

• Vértices: São os pontos A, B e C.

• Os segmentos AB (de medida c), BC (de medida a) e CA (de medida b) são os lados do triângulo.

• Ângulos internos: são os ângulos BCAeCBACAB ˆˆ,ˆ .

• Os suplementares dos ângulos internos chamam-se ângulos externos.

• Perímetro: 2p = a + b + c

• Altura: é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao suporte do lado oposto.

Um triângulo possui três alturas que se encontram num ponto notável do triângulo chamado

ortocentro.

• Mediana: é o segmento cujos extremos são um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto.

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Um triângulo possui três medianas que se encontram num ponto notável do triângulo chamado

baricentro.

• Bissetriz interna: é o segmento da bissetriz de cada ângulo interno que tem por extremos o vértice do ângulo e a intersecção com o lado oposto.

Um triângulo possui três bissetrizes que se encontram num ponto notável do triângulo chamado

incentro.

Mediatriz de um segmento: é toda linha perpendicular ao segmento e que passa pelo seu ponto

médio, ou lugar geométrico dos pontos equidistantes dos extremos.

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• Mediatriz de um triângulo: é a mediatriz de cada um dos lados desse triângulo. O encontro das três mediatrizes chama-se circuncentro.

Classificação quanto aos lados

• Triângulos equiláteros: possui os lados congruentes.

• Triângulos isósceles: tem dois lados congruentes.

• Triângulos escalenos: dois quaisquer lados não são congruentes.

Classificação quanto aos ângulos

• Retângulo – quando possui um ângulo reto.

• Acutângulo – quando todos os ângulos são agudos.

• Obtusângulo – quando possui um ângulo obtuso.

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Teorema angular de Tales

A soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 1800.

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente

congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.

RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO

'C'A

AC=

'C'B

BC=

'B'A

AB

A

cc bb

aa

hnmB C

H

A

cc bb

aa

hnmB C

cc bb

aa

hmB C

Hn

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Relações métricas:

1ª) h² = m . n

2ª) b² = m . a

3ª) c² = n . a

4ª) a . h = b . c

Teorema de Pitágoras

5ª) a² = b² + c²

Relações do triângulo equilátero inscrito numa circunferência.

B

A C

D

E

OR

R

ll

B

A C

D

E

OR

R

ll

OD = R

BO = R

OE = r = 2

R→ apótema raio da circunferência inscrita

EC = 2

l

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EXERCÍCIOS:

1. Qual a área de triângulo equilátero de lado a.

2. Determine os raios das circunferências circunscrita e inscrita do triângulo equilátero de lado a

em função da altura h.

3. Sabendo que as retas r e s são paralelas, determine o valor de a nas quatro situações indicadas

nas figuras:

4. Os triângulos ABC e PQR são semelhantes. Determine x e y.

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5. Em um terreno de formato triangular, deseja-se construir uma casa de formato retangular

(conforme figura). Determinar as dimensões x e y, da casa, de modo que a área construída seja

máxima. Qual é o valor da área máxima?

6. Determine os valores literais indicados nas figuras:

a.

b.

c.

CASA

10 m

20 m

x

y

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7. Na figura, o ângulo C é reto, D é ponto médio de AB, DE é perpendicular a AB, AB = 20 cm e AC =

12 cm. Calcule a medida do segmento ED.

8. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 10 cm e o perímetro mede 22 cm. A área do triângulo (em cm²) é:

CAPÍTULO 3 - POLÍGONO

Polígono é uma figura geométrica cuja palavra é proveniente do grego que quer dizer: poli(muitos) + gonos(ângulos). Um polígono é uma linha poligonal fechada formada por segmentos consecutivos, não colineares em que a origem coincide com a extremidade.

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Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos

congruentes.

Área dos polígonos regulares

S = p.a

p → semiperímetro

a → apótema

QUADRADO

a. lado do quadrado

b. apótema do quadrado

c. Diagonal do quadrado

d. Área do quadrado

HEXÁGONO REGULAR

a. lado do hexágono

b. apótema do hexágono

c. Área do hexágono

R

a

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CAPÍTULO 4 – CIRCUNFERÊNCIA

É o lugar geométrico dos pontos de um plano equidistantes a um ponto fixo. A distância fixa chama-se

raio e o ponto fixo chama-se centro.

CÍRCULO

É o conjunto dos pontos do plano limitado pela circunferência e cujas distâncias ao ponto fixo é menor

que o raio.

COMPRIMENTO DA CIRCUNFERÊNCIA

r2=C π

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EXERCÍCIOS:

1. Uma circunferência intercepta um triângulo equilátero nos pontos médios de dois de seus lados, conforme mostra a figura, sendo que um dos vértices do triângulo é o centro da circunferência. Se o lado do triângulo mede 6 cm, a área da região destacada na figura é:

CAPÍTULO 5 - ÁREAS

• Paralelogramo

• Retângulo

• Quadrado

h.b=A

h.b=A

2=A l

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• Triângulo

• Trapézio

• Losango

• Círculo

• Setor circular

EXERCÍCIOS:

2h.b

=A

2h).b+B(

=A

2

d.D=A

R 2R.=A π

2

R.=A

2α

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1. A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices

coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Determine a área do pentágono

hachurado.

2. De uma chapa quadrada de papelão recortam-se 4 discos, conforme indicado na figura. Se a

medida do diâmetro dos círculos é 10 cm, qual a área (em cm2) não aproveitada da chapa?

3. Na figura a seguir tem-se uma circunferência C de centro O e raio de medida 3 cm. Os pontos A e B pertencem a C, e a medida do ângulo AÔB é 45°. A área da região sombreada, em centímetros quadrados, é igual a:

4. Determine a área do hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 2=R .

5. Um cateto de um triângulo retângulo mede 5 m, e sua projeção sobre a hipotenusa mede m13

25.

Calcule a área do triângulo.

6. Deseja-se fabricar uma saia com formato aproximado de um trapézio com 50 cm de cintura, 80cm de barra e 70cm de altura. Sabendo-se que o tecido mede 1 m por 1,5 m e 1 m

2 de tecido custa R$ 15,00.

Determine quantas saias podem ser confeccionadas e qual o custo para fabricá-las.

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CAPÍTULO 6 - POLIEDROS CONVEXOS

Poliedro: é a figura limitada por um número finito polígonos, que têm, dois a dois, um lado comum e que estão situados em planos distintos. Poliedro convexo: são poliedros que se interceptados por uma reta, a mesma não poderá encontrar a superfície poliédrica em mais de dois pontos. Poliedro convexo Poliedro não convexo Elementos de um poliedro: faces, arestas, vértices. Poliedro convexo regular: é o poliedro cujas faces são polígonos regulares e os ângulos poliédricos são congruentes. Teorema: Existem somente cinco poliedros regulares convexos.

F

A B

CD

EF

A B

CD

E

A

B

C

D

A

B

C

D

Vértices: A, B, C, D

Faces: ABC, ACD, BCD, ABD

Arestas: AB, AC, AD, BD, CD, BC

x y A V F POLIEDROS REGULARES

3 3 6 4 4 TETRAEDRO

3 4 12 6 8 OCTAEDRO

3 5 30 12 20 ICOSAEDRO

4 3 12 8 6 HEXAEDRO OU CUBO

5 3 30 20 12 DODECAEDRO

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PRISMAS

Seja um plano α e um polígono qualquer contido em α e uma reta r que fura α (não necessariamente

perpendicular) sobre r tomemos um ponto Q, distinto de P, e por esse ponto consideremos o plano β,

paralelo a α. Em seguida, construímos todos os segmentos paralelos a r, que têm uma extremidade num

ponto do polígono e a outra no plano β. Unindo todos esses segmentos, obtemos um sólido que recebe

o nome de prisma.

Nomenclatura:

Bases: São os polígonos ABCDE e A’B’C’D’E’

Arestas da base: lados dos polígonos

Arestas laterais: São os segmentos: AA’, BB’, CC’, DD’ e EE’ todos paralelos a r.

Faces laterais: são paralelogramos.

Altura do prisma: distância entre os planos das bases: h

Área lateral: é a soma das áreas das faces laterais.

Área total: é a soma da área lateral com as áreas das bases.

r

α

r

Q

E D

CB

A

α

Q

E

CB

A

E’ D’

B ’

C’β

h

A’

D

r

α

r

Q

E D

CB

A

α

Q

E

CB

A

E’ D’

B ’

C’β

h

A’

D

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Classificação dos prismas:

a) Segundo o número de arestas da base.

Prisma triangular: bases são triângulos

Prisma quadrangular: bases são quadriláteros

Prisma pentagonal: bases são pentágonos

b) Segundo a inclinação das arestas laterais.

Prisma reto: tem as arestas laterais perpendiculares aos planos das bases. Neste caso as faces laterais

são retângulos.

Prisma oblíquo: é aquele que não é reto.

c) Segundo a forma das bases.

Prisma regular é o prisma reto cujas bases são polígonos regulares.

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PRINCÍPIO DE CAVALIERI

Este princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as

secções planas de iguais alturas possuírem a mesma área.

Uma vez que o volume do paralelepípedo é dado por V1 = a.b.c e V2 = Ab.h o volume do prisma também

é dado pela mesma fórmula.

ÁREAS E VOLUME

Expressões de áreas lateral e total do prisma reto:

Al = 2p.h → área lateral

At = Al + 2Ab → área total

Volume

V = Ab.h

Onde: h → altura

2p → perímetro da base

Ab → área da base

Exemplo: Determine o volume e a área lateral de um prisma reto de 10 cm de altura e cuja base é um

hexágono regular de apótema cm33 .

Resolução: O volume de um prisma é dado pela área da base vezes a altura. Primeiramente calculemos

a área da base deste prisma. O apótema é cm33 , como temos um hexágono, o lado deste

hexágono é o mesmo valor: cm33 . O hexágono é composto por 6 triângulos equilátero,

desta forma, basta calcular a área de um desses triângulos e multiplicar por 6, obtendo assim a

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área do hexágono. A área do triângulo equilátero de lado l é 4

3²l, como 33=l , temos

que ²4

327cmA = . Com isto temos a área do hexágono que será

²2

381

4

3276 cmAh == .

O volume do prisma será ³34052

381*10 cmV == .

PIRÂMIDE

Definição: Seja α um plano e um polígono contido em α e um ponto V ∉ a α. Pirâmide é o poliedro

limitado por um ângulo poliédrico convexo e por um plano que intercepta todas as arestas do ângulo

poliédrico.

Elementos:

• Vértice: V

• Base: polígono ABCDE

• Arestas da base: AB, BC, CD, DE e EA

• Arestas laterais: VA, VB, VC, VD e VE

Classificação

• Quanto ao número de arestas da base.

• Quanto à forma da base.

α

V

E D

CB

A

hα

V

E D

CB

Aα

V

E D

CB

A

h

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Pirâmide regular: a base é um polígono regular, na qual a projeção do vértice V sobre o plano da base é

o centro desse polígono.

Numa pirâmide regular as faces laterais são triângulos isósceles congruentes entre si.

RELAÇÕES NA PIRÂMIDE REGULAR

r → apótema da base

ap → apótema da pirâmide regular (altura da face lateral)

hal

R

hal

R

hhalal

RR

222 Rha +=l

h ap

r

h ap

r

h ap

r

222 rhap +=

apal

l /2

apal

l /2

apal

l /2

222

2

+= ll paa

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Área lateral e total da pirâmide regular.

Volume da pirâmide

Decomposição de um prisma triangular: todo prisma triangular é a soma de três pirâmides triangulares

de volumes iguais.

Assim o volume da pirâmide é: hAV b.3

1=

EXERCÍCIOS:

1. Calcular a área total e o volume de uma pirâmide quadrangular regular, cuja altura vale 4 cm e

a área da base é 36 cm2.

ap

lAb

ap

lAb

triânguloAnA .=l

bt AAA +=l

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CILINDRO

Sejam os planos α e β, um círculo e uma reta que fura o plano α.

Cilindro é a reunião dos segmentos congruentes paralelos à reta r, como uma extremidade nos pontos

do círculo do plano α e a outra no plano β.

Elementos

Raios das bases, geratriz, altura, eixo.

Área lateral e área total:

Área Lateral: hRA ..2π=l

Área Total: 22..2 RhRAt ππ +=

R

R

h

RO Oα

O’

R

R

h

RO Oα

O’

R

R

h

RO Oα

O’

h

2π Rh

R

h

2π Rh

R

r

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Classificação

Volume do cilindro

Pelo princípio de Cavalieri tem-se:

Vcilindro = Vprisma → Vcilindro = Ab . h

hR.=V 2cilindro π

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EXERCÍCIOS

1. A área da base de um cilindro reto é 25 π cm2 e a sua altura é o triplo do raio da base. Calcule a

área total e o volume do cilindro.

2. A área lateral de um cilindro equilátero é 400 π m2. Calcule o volume do cilindro.

3. A figura mostra uma peça cilíndrica transpassada por um furo circular do centro de uma base

ao centro da outra. Qual é o volume dessa peça?

CONE CIRCULAR

Classificação

14 cm

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Área lateral e área total:

Área Lateral: g.R.=A πl

Área Total: 2

t R.+g.R.=A ππ

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Volume do cone

Pelo princípio de Cavalieri o volume do cone é equivalente ao volume da pirâmide assim:

Vpirâmide = Vcone

h.A3

1=V bcone →

Exemplo: No sólido da figura, ABCD é um quadrado de lado 2 e AE = BE = 10 . O volume desse sólido

é:

ESFERA

Definição:

h.R.3

1=V 2

cone π

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Superfície Esférica

Secção

Elementos

Área da superfície esférica

2R.4=A π

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Volume da esfera

Exemplo: Um tanque de gás tem a forma de um cilindro de 4 m de comprimento, acrescido de duas

semi-esferas de raio 2 m, uma em cada extremidade, como mostra a figura. Adotando π = 3, a

capacidade total do tanque, em m3, é

Resolução: Note que o volume deste tanque é a soma do volume do cilindro com a soma do volume de

duas semi-esferas, que é equivalente ao volume de uma esfera. Note também que o raio da base do

cilindro é o mesmo raio da semi-esfera. Primeiro encontremos o volume do cilindro, ou seja, Vc=

πr²h=3.2².4=48m³. Agora calculemos o volume da esfera: Ve= (4/3) πr³=(4/3).3.2³= 32m³. Desta forma o

volume do tanque de gás é 48+32 = 80m³.

EXERCÍCIOS

1. A figura abaixo é a planificação de uma caixa sem tampa:

3R.3

4=V π

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a. Encontre o valor de x, em centímetros, de modo que a capacidade dessa caixa seja de 50

litros.

b. Se o material utilizado custa R$ 10,00 por metro quadrado, qual é o custo de uma dessas

caixas de 50 litros considerando-se apenas o custo da folha retangular plana?

2. Na figura abaixo, vemos uma piscina de 10 m de comprimento por 6 m de largura. Existe uma

parte rasa, com 1,20 m de profundidade, uma descida e uma parte funda, com 2 m de

profundidade. Com as medidas que aparecem no desenho, calcule o volume da piscina.

3. Qual é a área total de uma pirâmide quadrangular regular, sabendo-se que sua altura mede 24

cm e que o apótema da pirâmide mede 26 cm?

4. Uma pirâmide regular de base hexagonal é tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede

2√3cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros cúbicos, é

5. Um tanque subterrâneo, que tem o formato de um cilindro circular reto na posição vertical,

está completamente cheio com 30 m³ de água e 42 m³ de petróleo. Considerando que a altura

do tanque é de 12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.

6. Um produtor de suco armazena seu produto em caixas, em forma de paralelepípedo, com

altura de 20 cm, tendo capacidade de 1 litro. Ele deseja trocar a caixa por uma embalagem em

forma de cilindro, de mesma altura e mesma capacidade. Para que isso ocorra, qual deve ser o

raio da base dessa embalagem cilíndrica?

7. Um produtor de suco armazena seu produto em caixas, em forma de paralelepípedo, com

altura de 20 cm, tendo capacidade de 1 litro. Ele deseja trocar a caixa por uma embalagem em

forma de cilindro, de mesma altura e mesma capacidade. Para que isso ocorra, qual deve ser o

raio da base dessa embalagem cilíndrica?

8. No cone reto a seguir, a geratriz (g) mede 20 cm e a altura mede 16 cm. Determine seu volume.

Considere π ≅ 3

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9. Em uma festa foi servido doce de leite em copinhos em forma de cones retos, cada um com a medida do diâmetro da base e da geratriz conforme figura ao lado. Sabe-se que foram consumidas 600 unidades desses docinhos. Sendo assim, determine, em litros, a quantidade de doce de leite necessária para encher todos os cones consumidos nessa festa.

10. O trato respiratório de uma pessoa é composto de várias partes, dentre elas os alvéolos pulmonares, pequeninos sacos de ar onde ocorre a troca de oxigênio por gás carbônico. Vamos supor que cada alvéolo tem forma esférica e que, num adulto, o diâmetro médio de um alvéolo seja, aproximadamente, 0,02 cm. Se o volume total dos alvéolos de um adulto é igual a 1 618

cm3, o número aproximado de alvéolos dessa pessoa, considerando π = 3, é:

11. Um joalheiro fundiu uma esfera de ouro de raio 6 mm para transformá-la num bastão cilíndrico

reto, cujo raio da base era igual ao da esfera. Calcule o comprimento do bastão.

cm58