APOSTILA GEOMETRIA DESCRITIVA

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GEOMETRIA DESCRITIVA

Professor: Luiz Gonzaga Martins, M.Eng. Acadmica: Suelen Cristina da Silva

SUMRIODICAS PARA OS ALUNOS...............................................................................................2 1. BREVE HISTRIA........................................................................................................5 2. PROJEO.....................................................................................................................6 3. MTODO BIPROJETIVO............................................................................................7 4. A PURA.......................................................................................................................10 5. COMO REPRESENTAR UM PONTO NA PURA.................................................12 6. PLANOS BISSETORES...............................................................................................14 7. SIMETRIA.....................................................................................................................16 8. RETAS............................................................................................................................20 9. TRAOS DE RETAS...................................................................................................25 10. PERTINNCIA DE PONTO A RETA.....................................................................29 11. POSIES RELATIVAS DE DUAS RETAS..........................................................31 12. RETAS DE PERFIL...................................................................................................33 13. PLANOS.......................................................................................................................41 14. PERTINNCIA DE RETA AO PLANO..................................................................57 15. PERTINNCIA DE PONTO AO PLANO...............................................................60 16. PLANOS NO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAOS...........................................65 17. RETAS DE MXIMO DECLIVE (RMD) E RETAS DE MXIMA INCLINAO (RMI)..................................................................................................67 18. PARALELISMO.........................................................................................................78 19. INTERSEO DE PLANOS.....................................................................................83 20. TRAO DE RETA SOBRE PLANO........................................................................89 21. PERPENDICULARISMO..........................................................................................92 22. MUDANA DE PLANO DE PROJEO.............................................................102 23. ROTAO..................................................................................................................124 24. REBATIMENTO.......................................................................................................135 25. ALAMENTO...........................................................................................................145 26. PROBLEMAS MTRICOS.....................................................................................148 27. APLICAO DA GEOMETRIA DESCRITIVA EM TELHADOS...................170 28. EXERCCIOS............................................................................................................171

DICAS PARA OS ALUNOS

Recomenda-se que o estudante dedique igual nmero de horas de estudo domiciliar quantas forem as horas/aulas semanais. Entretanto o estudo dever ser dividido em vrios perodos de tempo mximo de 15 minutos, onde o aluno dever gastar bastante tempo procurando visualizar os objetos no espao.

O aluno deve evitar fazer de exerccios com pouca compreenso do que est sendo

representado. Deve-se ter uma abordagem lgica, procurando brincar com os objetos no diedro (veja abaixo), tentando visualizar suas projees nos planos vertical e horizontal para, num momento posterior, montar o objeto no espao a partir do conhecimento de suas projees. Faa um diedro para poder visualizar os planos e as retas.

1- Corte dois retngulos iguais de papelo ou outro material

2- Faa um corte na lateral de cada retngulo conforme a figura abaixo

3- Encaixe as duas partes e se preferir cole papel quadriculado.

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4- Agora temos o diedro pronto

Use canetas para visualizar as retas e o esquadro para visualizar os planos.

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O esquadro juntamente com o diedro so usados para facilitar a visualizao de planos e retas.

Embora algumas figuras da apostila possam ter problemas de impreciso como ngulos, arcos e medidas, procure usar sempre os instrumentos de desenho e escala adequados para garantir a maior preciso possvel.

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1.

BREVE HISTRIA

A Geometria Descritiva surgiu no sculo XVIII, criada pelo matemtico francs Gaspard Monge (1746-1818). Convidado a trabalhar na Escola Militar de Mzires, na tentativa de resolver um complicado problema de construdo de fortificaes, Monge inventou um novo mtodo, muito mais simples que os at ento conhecidos que viria a ser o alicerce da Geometria Descritiva. Monge conquistou, de imediato, um cargo docente, encarregando-se de instruir os futuros engenheiros militares no novo mtodo considerado, por 15 anos, segredo militar, que ningum estava autorizado a divulgar. A Geometria Descritiva se prope a resolver no plano problemas de geometria espacial, mediante a projeo dos objetos em dois planos.

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2.

PROJEO

A projeo usada ser a ortogonal cilndrica, onde os raios de luz esto no infinito e chegam ao plano de projeo formando um ngulo reto.

No plano vertical

No plano horizontal

Fig.1

Fig.2

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3.

MTODO BIPROJETIVO

Os dois planos fundamentais tm entre si um ngulo reto formando quatro diedros

Fig. 3

Denotamos o plano de projeo vertical (`) e o plano de projeo horizontal ().

Vendo de outro ngulo (diedro de perfil):II DIEDRO I DIEDRO

III DIEDRO

IV DIEDRO

Fig.4

Os planos perpendiculares formam quatro semi-planos:

Vertical Superior (`S); Vertical inferior (`I); Horizontal anterior ( A); Horizontal posterior ( P).

A interseo dos planos chamada Linha de terra (L.T.) (fig.5)

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Fig. 5

As coordenadas e projees:

Fig. 6

Seja um ponto (P) qualquer, a sua projeo horizontal ser P e a sua projeo vertical ser P`.

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Chamamos de afastamento a distncia da linha de terra at a projeo horizontal do ponto.

Chamamos de cota a distncia da linha de terra at a projeo vertical do ponto.

Podemos ver tambm no diedro de perfil.

Fig. 7

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4.

A PURA

Para chegar pura a partir do diedro faz-se o seguinte:

Giramos o plano () em torno da linha de terra. (fig.8)

Fig. 8

- Vendo o diedro j rotacionado:

O plano (`) e o plano () agora coincidem.

Fig. 9

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- A linha de terra representada com uma reta e dois traos sob ela, um em cada extremidade, veja:

Fig. 10

- Na hora de representar a pura, os contornos que antes limitavam os planos agora no so mais representados. (fig.11)

pura:

Fig.11

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5.

COMO REPRESENTAR UM PONTO NA PURA

Se o ponto estiver no I diedro:

Fig.12

Fig.13

A linha de chamada une as duas projees passando pela linha de terra e formando

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90 com a mesma.

Verifique por voc mesmo quais so os sinais da cota e afastamento quando o ponto est em cada um dos outros trs diedros, e mostre exemplos nas puras abaixo. Faa as puras:

Se o ponto estiver no II diedro:

Se o ponto estiver no III diedro

Se o ponto estiver no IV diedro:

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6.

PLANOS BISSETORES

Vendo o diedro de perfil

Fig.14

O I o bissetor mpar, pois divide os diedros I e III em partes iguais. O P o bissetor par, pois os diedros II e IV em partes iguais.

Fig.150

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Ponto no I :

pura de um ponto no I:

Fig.16

Fig.17

Faa o mesmo para um ponto no P:

pura de um ponto no P:

Analisando as figuras acima, que propriedade voc pode identificar nos pontos pertencentes aos bissetores?

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7.

SIMETRIA

Simetria quer dizer mesma medida, portanto, veja:

Simetria e relao ao plano horizontal

Como o ponto (P) simtrico a (Q) em relao ao plano horizontal, ento eles distam a mesma distncia d do plano.

Fig.18

Fig.19

- Para visualizar facilmente a simetria, olhe para o diedro de perfil:

Fig.20

Simetria e relao ao plano vertical

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A distncia de (P) ao plano (`) a mesma distncia de (Q) a (`), portanto, (P) e (Q) so simtricos em relao ao plano vertical.

Fig.21

Fig.22

Simetria e relao linha de terra ( `)

A distncia de (P) at a linha de terra igual distncia de (Q) a at a linha de terra, portanto, (P) e (Q) so simtricos em relao ( `).

Fig.23

Fig.24

Percebemos que (P) e (Q) tm cotas e afastamentos de mdulos iguais e sinais

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contrrios, ou seja: cota(P) = - cota(Q) afast.(P) = - afast.(Q)

Simetria em relao aos planos bissetores

Simtrico em relao ao I Vemos que (P) e (Q) so simtricos em relao ao I

Fig.25

Fig.26

Simtrico em relao ao P

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Vemos que (P) e (R) so simtricos ao P.

Fig.27

Fig.28

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8.

RETAS

Uma reta pode ser definida por dois pontos. Para todos os efeitos, as retas so infinitas, embora a representemos por uma poro finita. Quando nos