GEOMETRIA DESCRITIVA

Professor: Luiz Gonzaga Martins, M.Eng. Acadmica: Suelen Cristina da Silva

SUMRIODICAS PARA OS ALUNOS...............................................................................................2 1. BREVE HISTRIA........................................................................................................5 2. PROJEO.....................................................................................................................6 3. MTODO BIPROJETIVO............................................................................................7 4. A PURA.......................................................................................................................10 5. COMO REPRESENTAR UM PONTO NA PURA.................................................12 6. PLANOS BISSETORES...............................................................................................14 7. SIMETRIA.....................................................................................................................16 8. RETAS............................................................................................................................20 9. TRAOS DE RETAS...................................................................................................25 10. PERTINNCIA DE PONTO A RETA.....................................................................29 11. POSIES RELATIVAS DE DUAS RETAS..........................................................31 12. RETAS DE PERFIL...................................................................................................33 13. PLANOS.......................................................................................................................41 14. PERTINNCIA DE RETA AO PLANO..................................................................57 15. PERTINNCIA DE PONTO AO PLANO...............................................................60 16. PLANOS NO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAOS...........................................65 17. RETAS DE MXIMO DECLIVE (RMD) E RETAS DE MXIMA INCLINAO (RMI)..................................................................................................67 18. PARALELISMO.........................................................................................................78 19. INTERSEO DE PLANOS.....................................................................................83 20. TRAO DE RETA SOBRE PLANO........................................................................89 21. PERPENDICULARISMO..........................................................................................92 22. MUDANA DE PLANO DE PROJEO.............................................................102 23. ROTAO..................................................................................................................124 24. REBATIMENTO.......................................................................................................135 25. ALAMENTO...........................................................................................................145 26. PROBLEMAS MTRICOS.....................................................................................148 27. APLICAO DA GEOMETRIA DESCRITIVA EM TELHADOS...................170 28. EXERCCIOS............................................................................................................171

DICAS PARA OS ALUNOS

Recomenda-se que o estudante dedique igual nmero de horas de estudo domiciliar quantas forem as horas/aulas semanais. Entretanto o estudo dever ser dividido em vrios perodos de tempo mximo de 15 minutos, onde o aluno dever gastar bastante tempo procurando visualizar os objetos no espao.

O aluno deve evitar fazer de exerccios com pouca compreenso do que est sendo

representado. Deve-se ter uma abordagem lgica, procurando brincar com os objetos no diedro (veja abaixo), tentando visualizar suas projees nos planos vertical e horizontal para, num momento posterior, montar o objeto no espao a partir do conhecimento de suas projees. Faa um diedro para poder visualizar os planos e as retas.

1- Corte dois retngulos iguais de papelo ou outro material

2- Faa um corte na lateral de cada retngulo conforme a figura abaixo

3- Encaixe as duas partes e se preferir cole papel quadriculado.

2

4- Agora temos o diedro pronto

Use canetas para visualizar as retas e o esquadro para visualizar os planos.

3

O esquadro juntamente com o diedro so usados para facilitar a visualizao de planos e retas.

Embora algumas figuras da apostila possam ter problemas de impreciso como ngulos, arcos e medidas, procure usar sempre os instrumentos de desenho e escala adequados para garantir a maior preciso possvel.

4

1.

BREVE HISTRIA

A Geometria Descritiva surgiu no sculo XVIII, criada pelo matemtico francs Gaspard Monge (1746-1818). Convidado a trabalhar na Escola Militar de Mzires, na tentativa de resolver um complicado problema de construdo de fortificaes, Monge inventou um novo mtodo, muito mais simples que os at ento conhecidos que viria a ser o alicerce da Geometria Descritiva. Monge conquistou, de imediato, um cargo docente, encarregando-se de instruir os futuros engenheiros militares no novo mtodo considerado, por 15 anos, segredo militar, que ningum estava autorizado a divulgar. A Geometria Descritiva se prope a resolver no plano problemas de geometria espacial, mediante a projeo dos objetos em dois planos.

5

2.

PROJEO

A projeo usada ser a ortogonal cilndrica, onde os raios de luz esto no infinito e chegam ao plano de projeo formando um ngulo reto.

No plano vertical

No plano horizontal

Fig.1

Fig.2

6

3.

MTODO BIPROJETIVO

Os dois planos fundamentais tm entre si um ngulo reto formando quatro diedros

Fig. 3

Denotamos o plano de projeo vertical (`) e o plano de projeo horizontal ().

Vendo de outro ngulo (diedro de perfil):II DIEDRO I DIEDRO

III DIEDRO

IV DIEDRO

Fig.4

Os planos perpendiculares formam quatro semi-planos:

Vertical Superior (`S); Vertical inferior (`I); Horizontal anterior ( A); Horizontal posterior ( P).

A interseo dos planos chamada Linha de terra (L.T.) (fig.5)

7

Fig. 5

As coordenadas e projees:

Fig. 6

Seja um ponto (P) qualquer, a sua projeo horizontal ser P e a sua projeo vertical ser P`.

8

Chamamos de afastamento a distncia da linha de terra at a projeo horizontal do ponto.

Chamamos de cota a distncia da linha de terra at a projeo vertical do ponto.

Podemos ver tambm no diedro de perfil.

Fig. 7

9

4.

A PURA

Para chegar pura a partir do diedro faz-se o seguinte:

Giramos o plano () em torno da linha de terra. (fig.8)

Fig. 8

- Vendo o diedro j rotacionado:

O plano (`) e o plano () agora coincidem.

Fig. 9

10

- A linha de terra representada com uma reta e dois traos sob ela, um em cada extremidade, veja:

Fig. 10

- Na hora de representar a pura, os contornos que antes limitavam os planos agora no so mais representados. (fig.11)

pura:

Fig.11

11

5.

COMO REPRESENTAR UM PONTO NA PURA

Se o ponto estiver no I diedro:

Fig.12

Fig.13

A linha de chamada une as duas projees passando pela linha de terra e formando

12

90 com a mesma.

Verifique por voc mesmo quais so os sinais da cota e afastamento quando o ponto est em cada um dos outros trs diedros, e mostre exemplos nas puras abaixo. Faa as puras:

Se o ponto estiver no II diedro:

Se o ponto estiver no III diedro

Se o ponto estiver no IV diedro:

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6.

PLANOS BISSETORES

Vendo o diedro de perfil

Fig.14

O I o bissetor mpar, pois divide os diedros I e III em partes iguais. O P o bissetor par, pois os diedros II e IV em partes iguais.

Fig.150

14

Ponto no I :

pura de um ponto no I:

Fig.16

Fig.17

Faa o mesmo para um ponto no P:

pura de um ponto no P:

Analisando as figuras acima, que propriedade voc pode identificar nos pontos pertencentes aos bissetores?

15

7.

SIMETRIA

Simetria quer dizer mesma medida, portanto, veja:

Simetria e relao ao plano horizontal

Como o ponto (P) simtrico a (Q) em relao ao plano horizontal, ento eles distam a mesma distncia d do plano.

Fig.18

Fig.19

- Para visualizar facilmente a simetria, olhe para o diedro de perfil:

Fig.20

Simetria e relao ao plano vertical

16

A distncia de (P) ao plano (`) a mesma distncia de (Q) a (`), portanto, (P) e (Q) so simtricos em relao ao plano vertical.

Fig.21

Fig.22

Simetria e relao linha de terra ( `)

A distncia de (P) at a linha de terra igual distncia de (Q) a at a linha de terra, portanto, (P) e (Q) so simtricos em relao ( `).

Fig.23

Fig.24

Percebemos que (P) e (Q) tm cotas e afastamentos de mdulos iguais e sinais

17

contrrios, ou seja: cota(P) = - cota(Q) afast.(P) = - afast.(Q)

Simetria em relao aos planos bissetores

Simtrico em relao ao I Vemos que (P) e (Q) so simtricos em relao ao I

Fig.25

Fig.26

Simtrico em relao ao P

18

Vemos que (P) e (R) so simtricos ao P.

Fig.27

Fig.28

19

8.

RETAS

Uma reta pode ser definida por dois pontos. Para todos os efeitos, as retas so infinitas, embora a representemos por uma poro finita. Quando nos referimos reta (A)(B) estamos nos referindo reta que passa pelos pontos (A) e (B) e no apenas ao segmento (A)(B).

- Posies das retas

Horizontal: paralela a () e oblqua a (`);

Frontal: paralela a (`) e oblqua a ();

Fonto-horizontal: paralela a () e a (`), logo paralela a linha de terra;

Vertical: perpendicular a () e paralela a (`);

De topo: perpendicular a (`) e paralela a ();

De perfil: ortogonal a ( `), oblqua a () e a (`), tambm podemos dizer que paralela a um plano de perfil;

Qualquer: todas as outras oblquas a () e a (`).

O estudante deve cuidar para no se prender exclusivamente na representao em pura, procurando sempre imaginar (visualizar mentalmente) a posio espacial dos objetos.

- Representando as retas no diedro e em pura:

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horizontal

Fig. 29

Fig. 29.1

frontal

Fig. 30

Fig. 30.1

fronto-horizontal

21

Fig. 31

Fig. 31.1

vertical

Fig. 32

Fig. 32.1

de topo

22

Fig. 33

Fig. 33.1

qualquer

Fig. 34

Fig. 34.1

de perfil

23

Fig. 35

Fig. 35.1

24

9.

TRAOS DE RETAS

o nome que se d para o ponto onde a reta fura os planos de projeo. Existe o trao vertical (V) onde a reta fura o plano (`) e o trao horizontal (H) onde a reta fura o plano (). Por apresentar particularidades, a reta de perfil ser estudada mais frente.

- Para achar os traos:

1. Trao vertical: deve-se prolongar a reta at achar o ponto onde o afastamento nulo. 2. Trao horizontal: deve-se prolongar a reta at achar o ponto onde a cota nula.

Observe que a projeo V e a projeo H esto sobre a linha de terra, ou seja, afastamento e cota nulos respectivamente. (figs. 36 e 36.1)

Fig. 36

Fig. 36.1

Na pura, prolonga-se a projeo horizontal para achar o trao vertical e prolonga-se a projeo vertical para achar o trao horizontal.

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Veja os passos nas figuras seguintes:

Fig. 37

Fig. 37.1

Fig. 37.2

- Na fig. 38 temos a reta r qualquer; - Na fig. 39, prolongando as projees achamos H(cota nula) e V(afastamento nulo); - Na fig. 40 achamos H e V atravs da linha de chamada, j que sabemos que H est sobre a projeo r e V est sobre a projeo r. - Usa-se a mesma tcnica para achar os traos em todas as retas (exceto a de perfil que veremos mais a frente).

Podemos observar nas figs. 41 e 42 que a reta horizontal no tem trao horizontal e a reta frontal no tem trao vertical.

Fig. 38

Fig. 39

Podemos utilizar os traos para verificar os diedros por onde a reta passa:

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Ex: Uma reta pode partir do terceiro diedro e chegar ao primeiro diedro de trs formas. 1- Passando pelo segundo e chegando ao primeiro diedro

Fig.40

Fig.40.1

Fig. 40.2

2- Passando pelo quarto diedro e chegando ao primeiro diedro.

Fig. 41

Fig. 41.1

Fig.41.2

27

3- Passando pela linha de terra e chegando ao primeiro diedro. - em pura

Fig.42

Fig.42.1

Fig.42.2

Devemos observar os traos e ver se eles tm cota e afastamento positivos ou negativos. Assim, podemos concluir se a reta passa pelo I, II, III, ou IV diedro.

28

10.

PERTINNCIA DE PONTO A RETA

Um ponto pertence a uma reta quando tem suas projees sobre as projees de mesmo nome da reta.

- Vemos na fig. 43 que o ponto (A) pertence reta r e o ponto (B) no pertence reta r.

Fig. 43

- Devemos cuidar para no nos confundir na hora de dizer se um ponto pertence ou no a uma reta na pura, pois como vemos, tanto as projees de (A) quanto as projees de (B) esto sobre as projees de (r), porm, se olharmos com mais ateno, veremos que B est sobre r e B est sobre r. Por isso, (B) no pertence a (r).

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Fig. 44

Veja na fig.44.1 que o ponto (P) pertence reta (h), pois tem suas projees sobre as projees de mesmo nome da reta e os pontos (Q) e (R) no pertencem.

Fig.44.1

30

11.

POSIES RELATIVAS DE DUAS RETAS

Duas retas podem ser concorrentes, paralelas ou reversas.

Paralelas:

Duas retas so paralelas quando suas projees de mesmo nome so paralelas. possvel passar um plano pelas retas (coplanares).

Fig. 45

Concorrentes:

As retas (r) e (s) so concorrentes, pois se cruzam na projeo vertical em I e na projeo horizontal sobre I. I e I esto sobre a mesma linha de chamada.

Fig. 46

31

Reversas:

Duas retas so reversas se no tiverem nenhum ponto em comum e se no for possvel passa um plano pelas duas. Portanto se duas retas no so paralelas nem concorrentes elas sero reversas. As retas (r) e (s) so reversas. A reta (s) passa por cima e pela frente (mais afastada de (`)) da reta (r).

Fig. 47

- Para saber se uma reta est passando por cima ou pela frente de outra, basta fazer o seguinte: Pegamos um ponto onde as projees horizontais das retas coincidem (no caso JK) e prolongamos a linha de chamada, vemos que J est mais abaixo de K, ou seja, tem cota menor. Assim, como J pertence r, a reta (r) est mais abaixo que a reta (s). Pegamos um ponto onde as projees verticais das retas coincidem (no caso IL) e prolongamos a linha de chamada, vemos que L tem afastamento menor que I. Assim, como L pertence a r, a reta (r) est atrs de (s).

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12.

RETAS DE PERFIL

Existe certa dificuldade em enxergar a inclinao de uma reta de perfil, por isso, feita uma anlise extra sobre essa reta.

Para visualizar a inclinao de uma reta de perfil preciso no mnimo de dois pontos. Toda reta de perfil pertence a um plano de perfil (o plano de perfil perpendicular a () e a (`)).

Fig.48

Rebatimento

Rebater a reta de perfil girar o plano no qual ela est contida at ele coincidir com o plano vertical.

Como podemos ver na fig.49, (A)1(B)1 a reta rebatida. Deve-se girar a projeo horizontal no sentido anti-horrio sem mudar o afastamento, aps isso, fazemos o prolongamento da cota e unimos com a linha de chamada da projeo horizontal rebatida. Ligamos os pontos e obtemos a reta de perfil rebatida.

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Fig.49

Quando olhamos a reta de perfil rebatida como se olhssemos o diedro de perfil.

Fig.50

Nesse caso, na fig. 50, como se a linha terra se tornasse o plano horizontal e as

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projees no rebatidas da reta se tornassem o plano vertical

Fig.51

A partir do momento que rebatemos a reta, podemos saber a inclinao e tambm achar os seus traos.

Traos de retas de perfil

Para achar os traos, deve-se prolongar a reta de perfil j rebatida, quando ela encontrar a linha de chamada, ser o trao vertical (V)1 que coincide com V. Quando ela encontrar a linha de terra. Ser o trao horizontal (H)1. Lembre-se que as projees H e V sempre esto sobre a linha de terra. Para achar a projeo horizontal H, deve-se fazer o alamento, que o inverso do rebatimento. Rebatimento: sentido anti-horrio Alamento: sentido horrio

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Fig.52

Exemplo no III diedro

Fig.53

Pertinncia de um ponto a reta de perfil

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Para um ponto pertencer a uma reta de perfil, no basta apenas ele ter suas projees sobre as projees da reta, alm disso, quando rebatemos esse ponto ele deve estar sobre a reta rebatida. Na fig.54, (C) pertence reta (A)(B) pois suas projees esto sobre as projees de mesmo nome da reta e quando rebatemos o ponto, ele est sobre a reta rebatida.

Fig.54

Na fig.55, (C) no pertence reta (A)(B) pois apesar de ter suas projees sobre as projees de mesmo nome da reta, ele no est sobre a reta rebatida.

Fig.55

Posies relativas de retas de perfil

37

Concorrncia com uma reta qualquer:

Devemos analisar o aparente ponto de concorrncia, que no caso (C). (fig.56) Vemos que (C) pertence a (r), mas quando rebatemos o ponto e obtemos (C)1, vemos que ele no est sobre (A)1(B)1, que a reta de perfil rebatida, portanto, conclumos que as retas (r) e (A)(B) no so concorrentes.

Fig.56

Na fig. 57, quando rebatemos o aparente ponto de concorrncia (C) e obtemos (C)1, vemos que ele pertence reta de perfil rebatida (A)1(B)1. Como ele tambm pertence a (r), conclumos ento que as retas so concorrentes.

Fig.57 Concorrncia de duas retas de perfil:

A posio relativa de duas retas de perfil s pode ser definida com o rebatimento

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de ambas. Duas retas de perfil s podem ser concorrentes se estiverem num mesmo plano de perfil. Como vemos na fig.58, (A)(B) e (C)(D) esto num mesmo plano, vamos verificar se so concorrentes ou paralelas. Devemos rebater ambas as retas, feito isso, vemos que elas tem um ponto em comum (I)1, portanto, as retas so concorrentes. Apesar do ponto (I) estar sobre as retas rebatidas, ele deve estar tambm sobre suas projees na pura.

Fig.58

Paralelismo de retas de perfil:

Quando duas retas de perfil tm suas projees paralelas ou coincidentes em pura, e suas projees rebatidas paralelas, ento dizemos que essas retas so paralelas. Como vemos na fig.59, as retas (A)(B) e (C)(D) satisfazem essas condies, portanto so paralelas.

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Fig.59

Retas de perfil reversas:

Se duas retas de perfil esto sobre uma mesma abscissa, ento elas podem ser paralelas ou concorrentes, mas nunca reversas, pois por duas retas reversas no podemos passar um plano. Vejamos: Podemos ver na fig.60 que as retas (A)(B) e (C)(D) esto em planos diferentes, portanto no podem ser concorrentes. Olhando as projees, parecem paralelas. Entretanto, quando rebatemos ambas as retas, percebemos que elas no so paralelas, assim, conclumos que as retas s podem ser reversas.

Fig.60

40

13.

PLANOS

Os planos so representados por letras gregas (,,,,...) e podem ser definidos por: Duas retas paralelas; Duas retas concorrentes; Trs pontos no colineares; Uma reta e um ponto fora dela.

Representamos os planos tanto em pura quanto no diedro por pores finitas, porm, como no caso das retas, todos os planos so infinitos assim como seus traos.

Posies:

Horizontal: paralelo a () Todos os pontos situados num plano horizontal tm mesma cota.

Frontal: paralelo a (`) Todos os pontos situados num plano frontal tm mesmo afastamento.

De topo: perpendicular a (`) e oblquo em relao (). Todos os elementos de um plano de topo tm projees verticais sobre seu trao vertical.

Vertical: perpendicular a () E oblquo em relao (`). Todos os elementos de um plano vertical tm projees horizontais sobre seu trao horizontal.

De perfil: perpendicular a () e a (`). As projees dos elementos que pertencem a um plano de perfil sempre estaro sobre os traos de mesmo nome do plano.

41

Paralelo a linha de terra: paralelo a (`) e oblquo em relao () e (`), porm no passa pela linha de terra.

Passa pela linha de terra: oblquo em relao () e (`) e passa por (`).

Qualquer: no paralelo ou perpendicular a () nem a (`) nem a (`).

O estudante deve cuidar para no se prender exclusivamente na representao em pura, procurando sempre imaginar (visualizar mentalmente) a posio espacial dos objetos.

Os planos so geralmente representados pelos seus traos, pois isso simplifica a sua visualizao no espao.

Traos de planos

Os traos so as intersees com os planos de projeo. Convenciona-se representar o plano na pura mostrando-se o trao horizontal abaixo da linha de terra e o trao vertical acima da linha de terra. - O trao vertical pode ser uma frontal, fronto-horizontal ou vertical, dependendo do plano, todas de afastamento nulo (fig 61.1). - O trao horizontal pode ser uma horizontal, fronto-horizontal ou de topo, dependendo do plano, todas de cota nula (fig 61.1). - Sempre que o plano possuir dois traos no paralelos eles se cruzaro sobre a linha de terra. - Por uma questo de convenincia e clareza, no representamos a projeo dos traos que est sobre (`).

42

Fig.61

Fig.61.1

Plano qualquer:

a interseo com () e ` a interseo com (`).

Fig.62

43

O trao vertical a reta do plano contida em (`) e o trao horizontal a reta do plano contida em (). (fig.63)

Fig.63

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.64

44

Plano horizontal:

Vemos nas figs. 65 e 65.1 que o plano horizontal possui somente trao vertical, pois paralelo a ().

Fig.65

Fig.65.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.66 Plano frontal:

45

Vemos nas figs. 67 e 67.1que o plano frontal possui somente trao horizontal, pois paralelo a ().

Fig.67

Fig.67.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.68 Plano de topo:

Vemos nas figs. 69 e 69.1 que o plano de topo apresenta os dois traos

46

Fig.69

Fig.69.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.70 Plano vertical:

Vemos nas figs. 71 e 71.1 que o plano vertical apresenta os dois traos

47

Fig.71

Fig.71.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.72

Plano de perfil:

Vemos nas figs. 73 e 73.1 que o plano de perfil tambm apresenta os dois traos, porm os mesmos coincidem.

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Fig.73

Fig.73.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.74 Plano paralelo linha de terra:

O plano paralelo linha de terra apresenta os dois traos paralelos a (`). (figs. 75 e 75.1)

49

Fig.75

Fig.75.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.76

Plano que passa pela linha de terra:

Note nas figs. 77 e 77.1que os traos desse plano esto sobre a linha de terra,

50

portanto, para identificar a sua inclinao, preciso tambm um ponto.

Fig.77

Fig.77.1

- Desenhe a pura do plano dado:

Fig.78 Obs.: Lembre-se de que quando o plano tiver dois traos, eles sempre se encontraram sobre a linha de terra.

Retas pertencentes aos planos

51

O conhecimento das retas que cabem em cada tipo de plano importante para evitar que, na seqncia dos estudos, o aluno se perca tentando colocar uma reta em um plano que no a pode conter. Coloque o esquadro na posio de um plano encaixado no diedro e veja as retas que pertencem a ele atravs das linhas dentro do esquadro. Pratique com o diedro e o esquadro para visualizar as retas pertencentes aos planos, aps esse treinamento voc conseguir visualizar sem a ajuda do diedro e sem o esquadro. Pelas cores das retas voc poder observar que dependendo da posio do plano elas assumiro nomes diferentes.

Frontal no plano frontal cabem as retas: - frontal (f), fronto-horizontal (r), vertical (v).

Fig.79 Horizontal no plano horizontal cabem as retas: - horizontal (h), fronto-horizontal (r), de topo (t).

52

Fig.80

De topo no plano de topo cabem as retas: - de topo (t),qualquer (q), frontal (f).

Fig.81 Vertical no plano vertical cabem as retas: - vertical (v), horizontal (h), qualquer (q).

53

Fig.82

De perfil no plano de perfil cabem as retas: - de perfil (p), vertical (v), de topo (t).

Fig.83 Paralelo a linha de terra no plano paralelo a (`) cabem as retas: - fronto-horizontal (r), de perfil (p), qualquer (q).

54

Fig.84

Obs.: O plano paralelo linha de terra foi prolongado para que fosse possvel visualizar o trao horizontal.

Passando pela linha de terra no plano que passa por (`) cabem as retas: - fronto-horizontal (r), de perfil (p), qualquer (q).

Fig.85 Qualquer no plano qualquer cabem as retas: - qualquer (q), frontal (f), horizontal (h), de perfil (p).

55

Fig.86

Obs: Note que o plano qualquer o nico que permite quatro tipos de retas. Observe que diferentemente da reta qualquer, a reta de perfil une os pontos (V) e (H) de mesma abscissa.

56

14.

PERTINNCIA DE RETA AO PLANO

Na pura, sabemos que uma reta pertence a um plano quando ela tem seus traos sobre os traos de mesmo nome do plano.

Excees: 1. Quando a reta passa pelo ponto onde os traos do plano se cruzam sobre a linha de terra, no necessariamente a reta pertence ao plano. (ver fig.89) 2. Quando uma reta passa pela linha de terra, no necessariamente ela est contida em um plano que passa pela linha de terra. (ver fig. 90) Nesses casos, preciso verificar se um outro ponto da reta pertence ao plano (veremos isso mais a frente, pois precisamos do conceito de pertinncia de ponto ao plano).

Exemplos:

Regra geral A reta (r) pertence ao plano (), pois seus traos esto sobre os traos de mesmo nome do plano.

Fig.87

57

Desenhe na pura abaixo as seguintes retas pertencentes ao plano (): reta (s), no segundo diedro; reta (t), no terceiro diedro; reta (v) no quarto diedro.

Observe que na fig. 88 a reta (s) pertence ao plano ().

Fig.88 Exceo 1

58

Fig.89

Exceo 2

Fig.90

Veremos mais a frente como verificar se a reta pertence ao plano.

59

15.

PERTINNCIA DE PONTO AO PLANO

Um ponto pertence ao plano quando pertence a uma reta do plano (essa regra no tem excees).

Planos projetantes Dizemos que um plano projetante quando for perpendicular a um dos planos de projeo. Um plano projetante projeta todos os seus elementos (retas e pontos) sobre o trao no plano que lhe perpendicular, o que permite a regra de pertinncia simplificada abaixo.

- Os planos projetantes so:

Vertical (projeta as projees horizontais sobre o trao horizontal) (fig. 91); De topo (projeta as projees verticais sobre o trao vertical) (fig. 92); De perfil (projeta as projees horizontais sobre o trao horizontal e as projees verticais sobre o trao vertical) (fig. 93);

Horizontal (projeta as projees verticais sobre o trao vertical) (fig. 94); Frontal (projeta as projees horizontais sobre o trao horizontal) (fig. 95);

Regra de pertinncia simplificada:

Se o plano () for projetante e perpendicular a (`), ento todos os seus elementos tero sua projeo vertical sobre `. Se o plano () for projetante e perpendicular a (), ento todos os seus elementos tero sua projeo horizontal sobre .

60

Exemplos: As retas abaixo pertencem ao plano dado

Plano vertical

Fig.91

Plano de topo

Fig.92 Plano de perfil

61

Fig.93

Plano horizontal

Fig.94

Plano frontal

62

Fig.95

Voltando s excees de pertinncia de reta ao plano

No caso das duas excees, alm de atender a regra geral de pertinncia, devemos verificar se outro ponto da reta pertence ao plano.

1.

Para saber se a reta pertence ao plano, devemos traar uma reta auxiliar desse plano

e ver se ela concorrente ou paralela com a reta em questo, se as retas forem concorrentes ou paralelas, ento a reta estudada pertence ao plano, caso contrrio, no pertence. Como podemos observar na fig.96, (h) pertence a () e no paralela nem concorrente com (r), portanto, a reta (r) no pertence ao plano.

63

Fig.96

2.

Devemos fazer um procedimento parecido com a exceo 1. Traamos uma fronto-

horizontal que pertence ao plano pelo ponto que o define e verificamos se a reta auxiliar concorrente ou paralela com a reta estudada. Se for, a reta em questo pertence ao plano, se no for nem paralela nem concorrente, ento a reta no pertena ao plano. Como vemos na figura, (f) uma fronto-horizontal que passa por (C) e pertence ao plano. As retas (r) e (f) no so paralelas nem concorrentes, ento, (r) no pertence ao plano ().

Fig.97

64

16.

PLANOS NO DEFINIDOS PELOS SEUS TRAOS

Suponha um plano dado pelos pontos: (A), (B) e (C) no colineares.

Podemos ligar esse pontos, obtendo um tringulo que define o plano pelas retas (A)(B), (A)(C) e (B)(C). Dentro desse tringulo, podemos achar todas as retas do plano e no usar os traos do mesmo.

Fig.98

Veja: Escolhemos um ponto arbitrrio (B) e ligamos a um outro ponto que esteja sobre uma das retas, por exemplo, o ponto (D) da reta (A)(C). Quando ligamos esses pontos, vemos que (B)(D) uma reta de perfil, pois os pontos escolhidos possuem mesma abscissa.

Fig.99 Se quisermos achar uma horizontal fazemos o mesmo processo pegando dois

65

pontos com a mesma cota. Traamos ento a reta (B)(D) que a horizontal do plano.

Fig.100

Para achar uma frontal pegamos dois pontos de mesmo afastamento. Ento temos a reta (C)(D) que uma frontal do plano.

Fig.101

OBS: Se tivermos um plano paralelo (), as frontais e horizontais se tornam frontohorizontais.

66

17.

RETAS DE MXIMO DECLIVE (RMD) E RETAS DE MXIMA

INCLINAO (RMI).

RMD Declive o ngulo que um plano ou uma reta forma com (). A RMD uma reta que pertence ao plano e tem o mesmo declive do plano Plano () de topo com declive . (f) a RMD.

Fig.102

67

Vista da RMD do plano () em pura.

Fig.103

Vemos que a RMD forma um ngulo de 90 com o trao horizontal do plano.

Plano () qualquer

Fig.104 (r) a RMD de ().

68

Fig.105

Obs: Cuidar que nem sempre o ngulo reto aparecer na pura pois uma das retas poder estar projetada em um nico ponto.

Determine na pura abaixo a RMD de um plano vertical

Teorema projetivo do ngulo reto

Sejam duas retas perpendiculares ou ortogonais no espao. O ngulo reto somente se projeta com 90 num plano de projeo quando pelo menos uma das retas for paralela a esse plano de projeo.

69

Ex: Se (r) for paralela a () e formar 90 com (s), ento, a projeo horizontal dessas duas retas ser perpendicular.(fig.106)

Fig.106

Fig.107 Como sabemos que o trao horizontal de um plano sempre paralelo a () e que a

70

RMD sempre forma um ngulo reto com o trao horizontal, ento sabemos, pelo teorema projetivo do ngulo reto que na pura, a projeo horizontal da reta ser perpendicular ao trao do plano.

OBS1: Observe na fig108 que mantendo a reta (r) (de topo) paralela a (), a reta (s) poder ter qualquer declive que a sua projeo no se altera, mantendo o ngulo de 90 na projeo horizontal. OBS2: Observe que o teorema vlido para retas (r) e (s) concorrentes e reversas.

Fig.108

71

Fig.109

Se o plano tem certo declive, ento no deveria ter o mesmo declive toda reta pertencente a esse plano?

Mostre e explique com exemplos que embora o declive de um plano seja sempre constante, as retas que pertencem a esse plano tm declives variados, mas sempre menores ou iguais ao do plano.

Como achar a RMD de um plano sem usar seus traos

importante sabermos achar a RMD de um plano sem utilizar seus traos, pois quando o usamos, corremos o risco de aumentarmos a impreciso.

Como sabemos achar a horizontal do plano () definido por (A), (B) e (C) e tambm

72

conhecemos o fato de que ela segue paralela a (), devemos determinar (h) e a partir disso, traamos uma perpendicular a projeo horizontal de (h), essa ser a RMD, pois se ela forma um ngulo reto com a projeo horizontal de (h), ela tambm ter 90 com ().

(B)(E) a RMD do plano definido por (A), (B) e (C).(fig.110)

Fig.110

OBS: Podemos achar infinitas RMDs de um plano, lembrando sempre que todas sero paralelas.

RMI

Inclinao o ngulo que um plano ou reta forma com (). A RMI uma reta que pertence ao plano e tem a mesma inclinao do plano.

Plano () de vertical com inclinao . (h) a RMI. (fig.111)

73

Fig.111

Vista da RMI de () em pura

Fig.112

74

Vemos que a RMI forma um ngulo de 90 com o trao vertical do plano

Plano () qualquer

Fig.113

(r) a RMI de ()

75

Fig.114

Pelo teorema projetivo do ngulo reto sabemos que na pura, a projeo vertical da RMI ser perpendicular ao trao vertical do plano.

Faa a RMI de um plano de topo.

Como achar a RMI de um plano sem usar seus traos

Sabemos que uma frontal do plano segue paralela ao mesmo em seu trao vertical, por isso, traamos (A)(D) que uma frontal. Como sabemos tambm, a RMI de um plano forma 90 com o trao vertical do mesmo, portanto tambm perpendicular a uma frontal desse plano. Assim, basta traarmos uma reta perpendicular a frontal (A)(D) que teremos a RMI.

76

Fig.115

Podemos traar infinitas RMIs de um plano, sempre lembrando que sero todas paralelas.

77

18.

PARALELISMO

De reta com plano

Uma reta paralela a um plano quando for paralela a uma reta do plano.

Ex: Na fig.116 devemos passar por (C) uma reta paralela a (). Traamos uma reta que pertena ao plano, nesse caso (H)(V), depois disso traamos por (C) uma reta paralela a (H)(V). Obtemos (r) que a reta paralela ao plano ().

Fig. 116

De plano com reta

Um plano () paralelo a uma reta (r) quando ele contiver uma reta (s) paralela reta dada (r). Ex:

78

Na fig.117 devemos traar por (C) um plano () paralelo reta (r). Traamos por (C) uma reta paralela a (r), depois disso, achamos um plano () que contenha essa reta. Esse ser o plano paralelo reta (r).

Fig.117

De plano com plano

79

Um plano () ser paralelo a outro plano () quando ele for paralelo a duas retas concorrentes de ().

Ex: Na fig.118 devemos passar por (C) um pano paralelo a (). Traamos uma horizontal (h) por C que tenha a direo de , achamos os traos de (h) e por V passamos o trao vertical de () paralelo a . Para o trao horizontal fazemos paralelo a e h a partir de (T).

Fig. 118

Podemos observar que os traos de dois planos paralelos tambm so paralelos. // //

80

Fig.119

Fig.119.1

Existe exceo de paralelismo de plano com plano:

81

Quando temos planos paralelos linha de terra ou que passam por (), sabemos que seus traos so paralelos. Porm, no necessariamente esses planos so paralelos entre si. Para verificar o paralelismo desses tipos de planos, devemos traar a RMD ou RMI de cada plano, que no caso sero paralelas se os planos forem paralelos. Como a RMD e RMI so de perfil, devemos rebat-las e verificar se so paralelas.

Exemplo: Na fig.120 vemos que () e () so paralelos a linha de terra. Queremos verificar se eles so realmente paralelos, logo, achamos a RMD de cada plano, rebatemos e observamos que no so paralelas, logo, o plano () no paralelo ao plano ().

Fig.120

82

19.

INTERSEO DE PLANOS

- O resultado da interseo de dois planos sempre ser uma reta. - A reta ser definida por dois pontos pertencentes aos planos dados.

Veja:

Vemos na figura 121 que o plano frontal () e o plano qualquer () so concorrentes. Observamos que a interseo dos planos a reta (r).

Fig.121

83

Observe a interseo na pura:

Fig.122

Como achar a interseo na pura?

Quando os traos se cruzam:

Quando temos os traos do plano e os mesmos se cruzam, ento temos dois pontos de concorrncia (H) e (V). Assim, quando ligamos esses pontos, obtemos a reta (H)(V) que a interseo dos planos () e ().

84

Fig.123

Quando os traos no se cruzam:

Quando queremos achar a interseo de dois planos cujos traos no se cruzam no limite da pura, devemos fixar um parmetro (cota ou afastamento) e traar retas auxiliares. Dessa forma, garantimos que as retas traadas tero um ponto de concorrncia.

Exemplo:

85

Na fig.124 temos um plano () qualquer e um plano () de topo. Para achar a interseo devemos fixar um parmetro, nesse caso o afastamento, e ento achamos (I) e (J) que so os pontos que definem a reta interseo.

Fig.124

Quando temos um plano definido pelos seu traos e o outro definido por trs pontos:

Para achar a interseo fazemos o mesmo procedimento, definimos um parmetro (cota), traamos a reta (h) e achamos o primeiro ponto da interseo (I). Depois fixamos o afastamento, traamos a frontal e achamos o segundo ponto da interseo (J). Ao ligarmos os pontos vemos que a reta interseo (I)(J).

86

Fig.125

Ponto comum a trs planos

Vamos supor que o ponto (I) o ponto de interseo dos planos (), () e (). - Podemos achar (I) de duas formas:

1- Achamos a reta (r), que a interseo de () com (); Achamos a reta (s), que a interseo de () com (); Achamos o ponto (I) procurado, atravs interseo de (r) com (s).

2- Achamos (r), que a interseo de () com ();

87

Achamos o ponto (I) onde (r) fura o plano () (veja no captulo 20), que ser o ponto (I) procurado.

Ex: Vamos achar o ponto que comum aos planos (), () e (). Usaremos a primeira forma:

Fig.126

Observe que o ponto comum aos trs planos o ponto (M)

88

20.

TRAO DE RETA SOBRE PLANO

O trao da reta sobre o plano o ponto onde ela fura o plano.

Se quisermos achar o ponto onde uma reta (r) fura um plano () devemos proceder da seguinte forma:

1- Devemos fazer com que (r) pertena a um plano ();

Fig.127

2- Depois disso, vemos que o ponto (I), que a interseo de (r) com (), pertence reta

89

(s) que a interseo de () com (). Ainda podemos ver que (I) o ponto de concorrncia de (r) com (s).

Fig.128

Em pura, usamos planos projetantes para facilitar o processo.

Ex: Na fig.129, queremos achar o ponto onde (r) fura ().

90

- Traamos um plano projetante de topo () fazendo com que (r) (). - Achamos a interseo de () com () que (M)(J). - Depois achamos o ponto (I) onde (r) concorre com (M)(J), esse o ponto onde (r) fura o plano ().

Fig.129

91

21.

PERPENDICULARISMO

Reta perpendicular a plano

Se uma reta perpendicular a um plano, ento ela ortogonal a todas as retas desse plano. Pelo teorema projetivo do ngulo reto, sabemos que sempre que duas retas forem perpendiculares ou ortogonais, e uma delas for paralela a um dos planos de projeo, ento a projeo que for paralela a () ou (), tambm ter 90. Assim, como os traos de um plano so retas paralelas aos planos de projeo, podemos concluir que se uma reta perpendicular a um plano, ento, suas projees em pura formaram 90 com os traos do plano.

Ex1: Na fig.130, a reta (r) perpendicular ao plano ().

Fig.130

Ex2:

92

Na fig.131, temos que passar por (A) uma reta (s) que seja perpendicular ao plano (). Observe que o ponto (A) est no terceiro diedro. Ento para traar uma reta (s) que seja perpendicular a (), basta passarmos uma reta por (A) que seja perpendicular aos traos de (). Devemos tomar cuidado, pois a projeo horizontal deve passar por A e ser perpendicular a , j a projeo s deve passar por A e ser perpendicular a

Fig.131

Ex3: Na fig.132, devemos passar por (D) uma reta perpendicular ao plano definido pelos pontos

93

(A), (B) e (C). Observe que agora no temos mais os traos. Sabemos que uma horizontal do plano segue paralela ao trao horizontal e tambm que uma frontal segue paralela ao trao vertical. Ento, por conseqncia, se a reta for perpendicular ao plano, ela vai ser perpendicular aos traos do plano e perpendicular as frontais e horizontais em pura.

Fig.132

Vemos ento, na fig.132, que (r) a reta perpendicular ao plano definido pelos pontos (A), (B) e (C).

Obs.: Se tivermos um plano paralelo ou que passa por (), a reta perpendicular a ambos ser de perfil, ento, para verificar se uma reta de perfil (r) perpendicular a um plano de perfil () paralelo a linha de terra, devemos rebater a reta de perfil (r) e ver se ela perpendicular a uma reta de perfil (s) que pertence ao plano (). Ex: Vemos que a reta (A)(B) perpendicular ao plano ().

94

Fig.133

Plano perpendicular reta:

Esse caso a recproca do anterior. Ento, para que um plano seja perpendicular a uma reta, ele deve ter seus traos perpendiculares s projees de mesmo nome da reta. Quando temos que passar um plano () por um ponto (C) e que seja perpendicular a uma reta (r), temos que tomar o seguinte cuidado: No podemos simplesmente traar o plano sobre as projees de (C), pois se fizermos isso, fugimos da regra de pertinncia de ponto ao plano. Ento, devemos passar por (C), uma reta frontal ou horizontal que seja perpendicular a (r) e depois, por essa reta traar o plano () perpendicular reta (r).

Ex: Na fig.134, devemos passar por (C) um plano () perpendicular a (r). Traando por (C) uma frontal perpendicular a (r), sabemos a direo do trao vertical

95

do plano. Achamos o trao (H) da frontal e sabemos que (f) pertence a (), ento passa por H. como () tem que ser perpendicular a (r), sabemos que no trao horizontal ele tambm formar 90 com (r). Assim, passando por H e perpendicular a r, achamos o ponto (T), ento, agora s traar paralelo a f. Vemos ento que o plano () perpendicular reta (r).

Fig.134

Plano perpendicular a plano:

Um plano perpendicular a outro plano quando contiver ao menos uma reta perpendicular ao outro plano.

Ex: Na fig.135, devemos passar por (A) um plano perpendicular a (). Traamos por (A) uma reta (s) que seja perpendicular a (). A partir disso, sabemos que qualquer plano que contiver essa reta (s) ser perpendicular a (). Assim, temos infinitas

96

solues, entre elas um plano paralelo linha de terra () um plano de topo (), um plano vertical () e infinitos planos quaisquer, sendo um deles ().

Fig.135

Retas perpendiculares:

Quando queremos duas retas perpendiculares sendo que uma delas paralela a um dos planos de projeo, podemos concluir, pelo teorema projetivo do ngulo reto, que em pura, as retas tero 90 na projeo horizontal ou vertical.

Ex: Na fig.136, temos uma reta horizontal (r) e queremos achar uma outra reta (s) que passe por (A) e que seja perpendicular a (r).

Nesse caso, como temos uma horizontal, sabemos que ela paralela a (), logo, (r) e (s)

97

tero 90 na projeo horizontal. Assim, para resolver o problema, basta traar por (A) a projeo s perpendicular a r, achamos o ponto I de concorrncia, prolongamos a linha de chamada e achamos I sobre r, depois basta ligar I com A e teremos s. Ento temos (s) perpendicular a (r).

Fig.136

Se tivermos uma reta (r) que no seja paralela a nenhum dos planos de projeo e quisermos achar uma reta (s) perpendicular a (r) devemos fazer uma mudana de plano ou usar o mtodo tradicional. O objetivo em fazer uma mudana de plano nesse caso, deixar a reta (r) paralela a um dos planos de projeo, podendo ento aplicar o teorema projetivo do ngulo reto. Porm, veremos esse mtodo mais a frente.

Mtodo tradicional para retas perpendiculares:

Para traar por (A) uma reta perpendicular a (r), basta passar por (A) um plano () que seja perpendicular a (r). Achamos o ponto (I), onde (r) fura o plano e ligamos (A) com (I), temos ento a reta (A)(I) perpendicular a (r), pois sabemos que se (r) perpendicular a

98

(), ento ortogonal a todas as retas pertencentes a () e perpendicular a todas as retas que passam pelo ponto onde (r) fura o plano, nesse caso o ponto (I).

Fig.137

Podemos olhar o plano () de lado, na fig. 138 e observar o perpendicularismo que existe entre (r) e () e entre (r) e (A)(I).

Fig.138

Ex: Na fig.139, queremos traar por (A), uma reta perpendicular a (B)(C) Passamos por (A) um plano () perpendicular a (B)(C). Achamos ento o ponto (M) onde (B)(C) fura o plano () (ver trao de reta sobre plano). Assim, a reta perpendicular a (B)(C) e que passa por (A) (A)(M).

99

Fig.139

Com retas de perfil:

Na fig.140, queremos traar por (A), uma reta perpendicular a (B)(C), ento rebatemos a reta (B)(C) e o ponto (A). Por (A), passamos um plano () perpendicular a

100

(B)(C). Tomamos a RMD de () na abscissa de (B)(C) e achamos o ponto (I) onde (B)(C) fura o plano, ento, fazemos o alamento do ponto(I) e achamos a reta perpendicular a (B)(C) que passa por (A), que (I)(A). Note que quando se tratam de retas de perfil, fica mais fcil achar o ponto onde a reta fura o plano, evitando o mtodo usado no exerccio anterior, onde precisamos usar um plano auxiliar.

Fig.140

101

MTODOS DESCRITIVOS

So mtodos que permitem a resoluo de problemas descritivos.

22.

MUDANA DE PLANO DE PROJEO

Temos que saber: Muda-se um plano de projeo de cada vez; Mantm-se o diedro ortogonal (temos que manter o ngulo de 90 entre o plano vertical e horizontal); O objeto no muda de posio.

Obs: Representamos a nova linha de terra, que a interseo do plano vertical com o horizontal, com dois traos em cada extremidade, simbolizando que a segunda linha de terra. Como sabemos que s podemos mudar um plano de projeo de cada vez e que o objeto no muda de lugar, podemos concluir que em uma mudana de plano, uma das projees no muda, ou seja, fica no mesmo lugar. Essa projeo aquela cujo plano de projeo no foi mudado. Depois de acharmos a nova linha de terra, traamos a linha de chamada (perpendicular nova linha de terra) e achamos a projeo sobre o plano que foi mudado, lembrando que essa projeo ter a mesma distncia em relao a linha de terra nova que tinha da anterior. Temos que prestar ateno no sinal da cota ou afastamento, pois devemos transferir para a nova linha de terra com o mesmo sinal.

102

Mudana de plano Vertical:

Fig.141

Fig.142

Como estamos fazendo uma mudana de plano vertical, ento a projeo horizontal

103

fica no mesmo lugar e por ela que passamos a nova linha de chamada perpendicular nova linha de terra. Sabendo que o plano horizontal no foi mudado, podemos concluir que a cota continua a mesma, ou seja, a distncia da projeo vertical do ponto at a linha de terra no mudou. Assim, transferimos a cota para a nova linha de terra. Chamamos de P1 a nova projeo vertical.

Com retas: Note que fazendo a mudana de plano vertical, o que muda a projeo vertical, pois no mexemos nas projees horizontais. Note tambm que apesar de termos mudado o plano (), as cotas continuam com o mesmo tamanho e sinal, a diferena que agora elas esto projetadas sobre ()1. Veja que como a nova linha de terra foi traada paralela projeo horizontal, a reta fica sendo frontal no segundo sistema.

Fig.143

Aplicao:

104

Transformar uma reta qualquer em frontal

Transformando a reta (A)(B) em frontal, teremos a V.G.(Verdadeira Grandeza) da reta. Como sabemos de que forma as projees de uma frontal esto dispostas em pura, ento sabemos onde queremos chegar (fig.144).

Fig.144

Fig.145

M.P.V.:

105

Referncia: Proj. horizontal A transportar: Proj. vertical

Traamos ento uma nova linha de terra que seja paralela projeo horizontal, essa no ser mudada, ficar no mesmo lugar, pois queremos uma reta frontal. Assim, podemos concluir que faremos uma mudana de plano vertical, j que no alteramos a projeo horizontal (fig.145).

Mudana de plano Horizontal:

anlogo mudana de plano vertical, s que agora, quem fica no mesmo lugar o plano vertical e o parmetro que permanece constante o afastamento.

Fig.146

106

Fig.147

Com retas:

Note que quando fazemos uma mudana de plano horizontal, a projeo horizontal muda de lugar e a projeo vertical fica no mesmo lugar. Veja que o afastamento dos pontos no muda. A diferena que agora eles esto projetados sobre ()1. Observe na fig.148 que fazendo a L.T. paralela ao trao vertical, achamos uma reta horizontal no segundo sistema.

Fig.148

Aplicao:

107

Transformar uma reta qualquer em horizontal:

Devemos transformar uma reta qualquer em horizontal. Como sabemos a forma com que as projees de uma horizontal esto dispostas na pura, sabemos onde queremos chegar (fig.149).

Fig.149

Fig.150

M.P.H.: Referncia: Proj. vertical. A transportar: Proj. horizontal.

Passamos a nova linha de terra paralela projeo vertical. Essa ficar no mesmo lugar, pois queremos uma horizontal. Conclumos que devemos fazer uma mudana de

108

plano horizontal, j que no mudamos a projeo vertical. Agora, basta fazer os procedimento de mudana de plano e achar A1 e B1, que ser a V.G da reta (fig.150).

Agora que j sabemos fazer mudana de plano, podemos voltar a falar de retas perpendiculares entre si.

Lembrando do que foi visto em retas perpendiculares:

Se tivermos uma das retas paralela a um dos planos de projeo, podemos concluir, pelo teorema projetivo do ngulo reto, que em pura, as retas tero 90 na projeo horizontal ou vertical. (fig.151)

Se tivermos uma reta que no seja paralela a um dos planos de projeo, ento devemos fazer uma mudana de plano para torn-la. Assim poderemos usar o teorema projetivo do ngulo reto para achar retas perpendiculares.

Fig.151

Ex: Trace uma reta perpendicular a reta qualquer (r) e que passe pelo ponto (C).

109

Faremos uma mudana de plano horizontal para que a reta (r) se torne horizontal. Transferimos as projees horizontais dos pontos (A), (B) e (C) (os pontos (A) e (B) pertencem a (r)) para a nova pura e obtemos A1, B1 e C1. Assim, temos que passar por C1 a projeo horizontal da reta perpendicular a A1B1. Feito isso, achamos o ponto I1 de concorrncia e na mesma linha de chamada, no segundo sistema, achamos I. Levamos I1 para o primeiro sistema e obtemos I. Agora. Sabemos que a reta perpendicular a (r) e que passa por (C) a reta (I)(C). (fig.152)

Fig.152

Outras aplicaes de mudana de plano

1. Transformar um plano qualquer em vertical

110

Sabemos onde queremos chegar (fig.153):

Fig.153

A nossa referncia em relao ao plano vertical que sua projeo vertical perpendicular a linha de terra. Ento, j sabemos que se a referncia o trao vertical, quem ser transportado ser o trao horizontal. Portanto devemos fazer uma M.P.H..

M.P.H.: Referncia: Proj. vertical. A transportar: Proj. horizontal.

Podemos partir do seguinte princpio: Tomamos uma frontal do plano e transformamos em vertical. Vamos tomar dois ponto (A) e (B) que pertenam frontal. Quando os transferimos para a nova linha de terra, vemos que as suas projees horizontais coincidem porque a reta se tornar vertical. Assim, como sabemos que o plano vertical projetante (as projees horizontais de todos os seus elementos caem sobre o seu trao horizontal) e conhecemos o ponto (T) onde o plano passa pela L.T., basta traar o trao horizontal do plano por (T), (A)1 e (B)1. (fig.154)

111

Fig.154

2. Achar a V.G. do tringulo (A)(B)(C) transformando-o em frontal Obs: A V.G. de uma figura no pode ser menor do que qualquer uma de suas projees.

Teremos que fazer duas mudanas de plano, primeiro vamos transformar uma frontal (A)(D) do plano em vertical, assim teremos um plano vertical. Depois, vamos transformar esse plano em frontal, obtendo a V.G. do tringulo (A)(B)(C). A primeira mudana ser M.P.H., pois queremos transformar o tringulo em vertical, e a propriedade do plano vertical ter o trao vertical perpendicular linha de terra. A segunda mudana ser M.P.V., pois queremos que o tringulo vire frontal, e a propriedade do tringulo frontal ter a projeo horizontal paralela linha de terra. Sendo assim, para fazer a segunda mudana basta traar a terceira linha de terra paralela a projeo horizontal do tringulo. (fig.155)

112

Fig.155

3. Transformar um plano qualquer em paralelo a linha de terra

Pode ser feito com M.P.V. ou M.P.H.. Vamos usar M.P.H. traando a segunda L.T. paralela ao trao vertical do plano. Assim, sabemos que o trao horizontal ser paralelo a nova linha de terra. Pegamos um ponto (H) que pertena ao plano no primeiro sistema e transferimos para o segundo sistema, obtemos H1. Agora, como conhecemos o trao vertical do plano no segundo sistema, pegamos um ponto (V) que pertena a ele. J que tambm sabemos que o ponto (H) continua pertencendo ao plano, traamos uma reta que tem proj. vertical HV e proj. horizontal VH1, achamos (H2) que o trao horizontal da reta. O trao horizontal do plano deve passar por (H2), j que esse o trao horizontal da reta e a reta pertence ao plano.( fig.156)

113

Fig.156

Outra forma para resolver

Podemos pegar uma frontal do plano e transformar em uma fronto-horizontal

Traamos uma frontal do plano e escolhemos um ponto (A) que pertena a ela. Transferimos a reta e o ponto para o segundo sistema e achamos uma fronto-horizontal. Como sabemos que essa fronto-horizontal pertence ao plano, basta traar o plano. (fig.157) Devemos tomar cuidado, pois o trao vertical j est definido, o trao .

114

Fig.157

4. Determinar os ngulos que um plano forma com () ou ()

Devemos transformar o plano qualquer em plano de topo ou vertical. Pois esses planos mostram diretamente na pura o ngulo que formam com os planos de projeo.

M.P.V.: Referncia: Proj. horizontal A transportar: Proj. vertical

115

Fig.158

M.P.H.: Referncia: Proj. vertical. A transportar: Proj. horizontal.

Fig.159

Queremos saber o ngulo que um plano () forma com o plano de projeo (). Como queremos o ngulo entre () e () faremos um M.P.V. transformando o plano qualquer em plano de topo. Pegamos uma horizontal do plano e transformamos em reta de topo. Traamos o plano no segundo sistema e vemos o ngulo que ele forma com (). (fig.160)

116

Fig.160

Ache o ngulo que o mesmo plano () forma com o plano de projeo ().

Fig.161

ngulo formado entre dois planos

117

Se tivermos planos verticais ou de topo, podemos ver diretamente em pura o ngulo formado entre eles.

o ngulo formado entre () e ().

Fig.162

o ngulo formado entre () e ().

Fig.163

Se tivermos planos quaisquer, devemos fazer uma mudana de plano, transformando os dois planos em plano verticais ou de topo ao mesmo tempo. Para isso, pegamos a reta interseo dos planos e transformamos em reta vertical ou de topo. Assim, os dois planos automaticamente se transformam ou em verticais ou em de topo e, ento, podemos ver o ngulo formado entre eles.

118

5. Achar o ngulo formado entre () e ().

Fig.164

Achamos a reta interseo (H)(V) e transformamos em reta de topo. Primeiro transformamos a reta (H)(V) em reta horizontal atravs de uma M.P.H. e depois em reta de topo atravs da M.P.V.. Observe que j na primeira mudana de plano transferimos os planos () e (), pois se conhecemos a reta horizontal pertencente a eles, ento conhecemos a direo do trao horizontal. J na segunda mudana de plano, veja que os traos verticais de () e () devem passar sobre H1 e V1 que coincidem. (fig.164)

119

6. Tornar paralelas as projees verticais das retas (A)(B) e (C)(D) e depois determinar o ngulo entre elas. Observe na fig.165 que as retas so reversas. Devemos passar por (A)(B) um plano paralelo a (C)(D), pois assim, poderemos transformar esse plano em plano de topo onde, conforme se v na fig. 165, as projees verticais ficam paralelas como pedido. Veja no diedro:

Fig.165

O problema tambm pede para mostrar o ngulo entre as retas. Ento, observe na fig.166 que podemos faz-lo transformando o plano () em horizontal. Pois se o plano ()

120

horizontal, as projees das retas iro mostrar direto em pura (na projeo horizontal) o ngulo formado entre elas.

Veja:

Fig.166

Sejam as retas (A)(B) e (C)(D) como as da figura 167. Vemos que so reversas e no possuem as projees verticais paralelas. Usaremos o mtodo acima (figs. 165 e 166) para tornar paralelas as projees verticais e tambm determinar o ngulo entre as retas.

121

Fig.167

Para traar () paralelo a (C)(D) e que contenha (A)(B), temos que traar uma reta (s) paralela a (C)(D) e concorrente com (A)(B), assim, () o plano formado por (A)(B) e (s). Agora, transformamos esse plano em plano de topo, pois se um plano de topo paralelo a uma reta, as projees verticais das retas que pertencem a ele sero paralelas projeo vertical da reta (C)(D), como visto na fig. 165. Para transformar o plano () em plano de topo, basta pegar uma reta horizontal desse plano e transformar em reta de topo a partir de uma M.P.V. temos ento as projees verticais de (A)(B) e (C)(D) paralelas no segundo sistema. Para achar o ngulo formado entre as retas, transformamos o plano () em um plano horizontal atravs de uma M.P.H.. Achamos ento, o ngulo formado entre as retas. (fig.167) Obs.: Observe que na fig.167 podemos encontrar a distncia entre duas retas reversas justamente quando fazemos as projees verticais paralelas, tambm possvel passar uma reta perpendicular a essas duas retas quando achamos o ngulo entre elas, a reta perpendicular a elas seria uma vertical que passa sobre o ponto de interseo das projees horizontais no terceiro sistema de coordenadas.

122

7. Determinar a projeo vertical do tringulo (A)(B)(C) sabendo que o ngulo B reto. A{0; 3; 1} (B) {2,1,0} (C){3,-1,?}

Fig.168

Observe na fig. 168 que no foi dada a cota do ponto (C). Sabemos que o ngulo B reto, mas no podemos simplesmente traar um ngulo de 90 em B e achar a projeo C, pois as retas (A)(B) e (B)(C) no so paralelas a qualquer dos planos de projeo, como no Teorema projetivo do ngulo reto. Ento, para poder colocar um ngulo reto em B, temos que ter uma das retas paralela a um dos planos de projeo. Transformaremos (A)(B) em frontal atravs de uma M.P.V.. Agora, podemos traar B1C1 perpendicular a A1B1, pois A1B1 frontal. Fazendo isso, achamos a cota de (C), basta transferir para o primeiro sistema de coordenadas e traar a projeo vertical do tringulo. Observe que o ngulo B no reto no primeiro sistema.

123

23.

ROTAO

um mtodo descritivo que consiste em girar, numa trajetria circular, uma das projees em torno de um eixo que pode ser vertical ou de topo. A projeo que no rotacionada segue uma trajetria linear e paralela a . Devemos lembrar que nesse mtodo, os planos de projeo ficam fixos.

Eixo vertical:

Fig.169

Na fig.169 temos um eixo vertical (e) e giramos o ponto (P) em torno dele. Observamos

124

que a projeo horizontal rotaciona e a projeo vertical segue uma trajetria linear e paralela a . Obtemos ento uma nova projeo horizontal P e uma nova projeo vertical P.

Veja nas figs.169 e 170 que essa rotao descreve um arco de circunferncia de raio R igual distncia entre o ponto e o eixo.

Eixo de topo:

Fig.170

Na fig.170 rotacionamos o ponto (P) em torno de um eixo de topo (e). Observe que

125

a projeo vertical rotacionou e obtemos P, e a projeo horizontal percorreu uma trajetria linear paralela e obtemos P.

Ex: Transformar a reta (A)(B) em uma reta frontal, rotacionando-a em torno de um eixo convenientemente escolhido.

Sabemos que uma frontal tem afastamento constante, ento temos que tornar a projeo horizontal paralela . Observe na fig.171 que faremos uma rotao da projeo horizontal, logo o eixo ser vertical. Vamos passar o eixo sobre o ponto (A), pois assim, esse ponto continuar no mesmo lugar aps a rotao. Feito a rotao de B achamos B e na mesma linha de chamada encontramos B com a mesmo cota de antes. Como o ponto (A) pertence ao eixo, A e A coincidem com A e A respectivamente. Obtemos ento (A)(B) que frontal. Observe que nesse exemplo achamos a V.G. da reta.

Fig.171

E se o eixo for dado?

126

Ex: Em torno de um eixo dado, transformar a reta (A)(B) em frontal.

Agora devemos rotacionar a reta toda. Ento o raio de rotao ser a distncia da projeo horizontal do eixo at a projeo horizontal da reta. Prolongando a reta para achar a distncia achamos (O), rotacionamos esse ponto achando O, para achar A e B, basta medir a distncia entre A e O e entre B e O e transferir para a reta rotacionada, que ter sua projeo horizontal paralela a . Podemos transferir a distncia porque sabemos que a rotao no deforma a projeo rotacionada. Depois de achar A e B, encontramos tambm A e B na mesma linha de chamada. Obtemos ento a V.G. da reta. Veja que, como as projees horizontais giram o mesmo ngulo, sem se deformar, quando o raio R, perpendicular a AB for rotacionado at ficar perpendicular a , AB ficar paralela a , ou seja, (A)(B) ser frontal. Observe que poderamos ter encontrado duas solues, pois o ponto (O) poderia ser rotacionado at chegar ao ponto superior da circunferncia.

Fig.172

Ex2: Rotacionar o ponto (A) em torno de um eixo de topo at que ele pertena ao plano ().

127

Sabemos pela pertinncia de ponto ao plano, que para um aponto pertencer a um plano, ele deve pertencer a uma reta do plano. Logo, nesse problema, devemos rotacionar o ponto at que ele pertena a uma reta do plano.

Fig.173

Como foi dado um eixo de topo, sabemos que a projeo horizontal do ponto rotacionado ter o mesmo afastamento. Ento, temos que escolher uma reta que passe por A e tenha afastamento constante, essa reta uma frontal. Feito isso, basta rotacionar A at pertencer a f que achamos A, depois podemos encontrar A na mesma linha de chamada. Temos ento, o ponto (A) pertencendo ao plano () conforme pedido. (fig.173)

Rotao do plano: Se tivermos que rotacionar um plano. Basta rotacionar os elementos que definem o plano, por exemplo, uma reta e um ponto. Para facilitar, podemos escolher como reta o

128

trao ortogonal ao eixo e como ponto, aquele em que o eixo fura o plano.

Ex: Rotacionar em 90 o plano () no sentido horrio, em torno de um eixo de topo.

Fig. 174

Na fig.174 achamos o ponto (O) onde o eixo fura o plano atravs de uma horizontal (h) do plano concorrente com o eixo. Sabemos ento que esse ponto fica fixo, j que ele pertence ao eixo. Determinamos o raio de rotao, que ser a distncia da projeo vertical do eixo at o trao vertical do plano. Rotacionamos 90 e achamos o novo trao vertical , que consequentemente nos fornece (J). Como conhecemos o trao vertical e tambm o ponto (O) (O), podemos traar uma horizontal (h1) por (O) que teremos a direo do trao horizontal. Como tambm conhecemos o ponto (J), podemos determinar o trao horizontal .

Ex2: Transformar () em plano de topo

Sabemos que para transformar () em plano de topo, temos que girar o trao

129

horizontal at que ele fique perpendicular a . Logo, podemos concluir que devemos usar um eixo vertical. Escolhemos um eixo vertical qualquer e encontramos o ponto (O) onde ele fura o plano. J sabemos que como o ponto (O) pertence ao plano e ao eixo, ele no gira na rotao, mas continua pertencendo ao plano (). Agora basta achar o raio de rotao, que a distncia entre a projeo horizontal do eixo at o trao horizontal do plano e rotacionar. Encontramos ento o novo trao horizontal e o ponto (J). Como conhecemos o ponto (O) e o ponto (J) do plano e ainda sabemos que devemos chegar a um plano de topo, ento traamos sobre O e J j que o plano de topo projetante.

Fig.175

Agora transforme o plano () de topo que foi encontrado no exemplo anterior em

um plano horizontal. Se o plano () em questo fosse um plano qualquer, teramos que fazer duas

130

rotaes, uma para transformar () em plano de topo e em seguida outra para transform-lo em plano horizontal.

Fig.176

Como j sabemos, um plano horizontal tem apenas o trao vertical e esse paralelo a . Ento, conclumos que vamos usar um eixo de topo, pois queremos rotacionar o trao vertical. No precisamos achar o ponto (O) nesse caso, pois basta rotacionar o trao vertical e deix-lo paralelo a , j que esse plano no tem trao horizontal. Achamos ento . (fig.176)

Ex3: Rotacionar (A)(B) at ficar contida em ().

Na fig.177 temos que rotacionar (A)(B) at ela ficar contida em (). Para isso, vamos achar o ponto (I) onde a reta fura o plano e passar por esse ponto o eixo, pois assim garantimos que pelo menos esse ponto (I) no ir girar e continuar pertencendo ao plano e a reta. Usaremos um eixo de topo. Vamos rotacionar o ponto(B) para que ele fique contido no plano, pois se (B) e (I) pertencem reta e esto contidos no plano, ento a reta inteira pertence ao plano. Para que (B) fique pertencendo, ele deve pertencer a uma reta de (), que nesse caso uma frontal. Devemos usar uma frontal que passe por B, pois como a frontal tem afastamento constante, quando rotacionamos B para que ele pertena a f, consequentemente B fica pertencendo a f, j que B percorrer uma trajetria linear devido

131

ao uso de um eixo de topo. Como sabemos que a rotao no deforma o objeto, ento AB continuar com o mesmo tamanho de AB, assim, para achar A, basta usar esse artifcio, depois, na mesma linha de chamada achamos A e ento (A)(B) pertence ao plano.

Fig.177

Ex4: Rotacionar o plano () at que ele contenha a reta (A)(B).

Na fig.178 temos que fazer () conter (A)(B). Vamos passar o eixo pelo ponto (I) onde (A)(B) fura (), pois assim, garantimos que () contm um ponto da reta e depois da rotao esse ponto no muda de lugar, j que ele tambm pertence ao eixo. Escolhemos um

132

eixo vertical. Agora achamos o raio que a distncia do eixo at e traamos uma circunferncia. Como sabemos que () deve conter (A)(B), ento seus traos dever passar sobre os traos da reta. Como temos um eixo vertical, estamos rotacionando a projeo horizontal, ento basta fazer tangente circunferncia e passando por H1 que o trao horizontal de (A)(B). Temos agora , como conhecemos (J) e sabemos que a reta j est pertencendo ao plano, pois o plano j contm (I) e (H1) que so dois pontos da reta, devemos passar pelo trao vertical V1 da reta. Agora temos () que contm (A)(B). Observe poderamos ter outra resposta, pois o trao pode ser tangente a dois pontos da circunferncia quando passa por H1 a segunda resposta seria (1).

Fig.178

Obs.: Podem existir casos que no conseguimos resolver os problemas com determinado eixo, quando isso acontece, devemos mudar o eixo que certamente o problema ser resolvido.

Ex: O ltimo exemplo no poderia ser resolvido por um eixo de topo, pois o trao vertical da reta ficaria dentro da circunferncia, ficando invivel fazer o trao do plano tangente a

133

circunferncia e passando pelo trao da reta.

134

24.

REBATIMENTO

um mtodo descritivo que nos possibilita enxergar uma figura em verdadeira grandeza. Nesse mtodo, rotacionamos o plano que contm a figura em torno da interseo com o plano de rebatimento at esse coincidir com o plano de rebatimento. Como sabemos que as figuras de planos paralelos aos planos de projeo so projetadas em V.G.. O plano de rebatimento ser sempre frontal ou horizontal.

Veja: Vemos que quando um plano paralelo a um dos planos de projeo, suas figuras so projetadas em V.G..

Fig.179

135

Rebatimento visto no espao

Fig.180

1. Rebatemos sempre o plano que contm a figura da qual queremos obter a V.G.. 2. O rebatimento consiste numa rotao do plano a ser rebatido em torno de uma charneira, que significa dobradia. 3. A charneira a interseo do plano da figura com o plano frontal ou horizontal sobre o qual iremos rebater. 4. Sempre rebatemos sobre um plano frontal ou horizontal, pois assim conseguimos ver a figura em V.G..

Rebatimento de um ponto (P) que pertence a um plano de topo

136

Fig.181

Fig.182

Observe nas fig.181 e 182 que temos um plano de topo (), e vamos rebater o ponto (P) que pertence a () sobre o plano horizontal (). Logo, a charneira a interseo de ()

137

com (), que o prprio trao horizontal do plano (). Veja que o raio de rotao a soma vetorial da distncia h do ponto (P) at o plano de rebatimento com a distncia d da projeo horizontal do ponto at a projeo horizontal da charneira (tringulo de rebatimento).

Ex.: Rebater a reta (A)(B) sobre um plano horizontal ()

Como queremos rebater (A)(B), temos que rebater um plano que contenha essa reta. Ento fazemos um plano () que contenha (A)(B). Depois, temos que encontrar a charneira que a interseo do plano de rebatimento () com o plano da figura (). (fig.183)

Fig.183

Agora, achamos a interseo de () com (), que ser a charneira (reta horizontal). Basta fazer o procedimento de soma de vetores com d e h que achamos R e rebatemos. A reta A1B1 (A)(B) em V.G.. Observe que rebatemos A para um lado e B para o outro

138

lado, isso acontece, pois cada ponto est de um lado da charneira, ento, na hora de rebater, cada ponto cai de um lado da charneira. Veja tambm que o ponto rebatido sempre cai numa perpendicular charneira. (fig.183)

Esse exemplo pode ser resolvido de outra maneira menos trabalhosa, passando por (A)(B) um plano () vertical no lugar do qualquer usado na fig.183. (fig.183.1)

Fig.183.1

Observe na fig.183.1, que o exerccio fica simplificado, isso porque a distncia d fica resumida em apenas um ponto, ento traamos h paralela (nesse caso coincidente) charneira e ligando d com h temos R ( o tringulo de rebatimento fica resumido em uma reta), que ter o mesmo tamanho de h. Rotacionando R, achamos o ponto rebatido. Esse mtodo usado para os pontos (A) e(B).

Como j foi dito, podemos tambm rebater sobre um plano frontal, vejamos:

139

Fig.184

Usamos o mesmo procedimento do rebatimento sobre um plano horizontal, a soma de vetores, s que agora, chamamos d a distncia da projeo vertical da charneira at a projeo vertical do ponto e de h a distncia entre o ponto (P) e o plano de rebatimento (tringulo de rebatimento).

140

Fig.185

Ex: Determinar a V.G. do tringulo (A)(B)(C) rebatendo-o sobre um plano frontal () de afastamento 2.

Temos que achar a charneira que a interseo do plano que contm o tringulo com o plano () de rebatimento. Achamos a charneira e agora basta rebater os pontos. Como temos trs pontos, o rebatimento pode trazer muita impreciso. Ento, como

141

sabemos que o ponto (1) e (2) pertence ao plano que contm o tringulo e tambm charneira, esses pontos permaneceram no mesmo lugar, ento basta rebater um ponto e usar esse artifcio para achar os outros.

Fig.186

Ex1: Rebater a reta (A)(B) sobre o plano horizontal () de cota 2.

Devemos rebater o plano que contm a reta (A)(B) sobre o plano (), portanto, temos que encontrar um plano () que contenha (A)(B). Veja na fig.187 que o plano () contm (A)(B). Agora, devemos a charneira, que a interseo de () com (). Feito isso, usamos o tringulo de rebatimento para achar (A)1

142

e (B)1, encontramos ento a V.G da reta (A)(B).

Fig.187

Ex2: Rebater o tringulo (A)(B)(C) sobre o plano frontal ().

O tringulo (A)(B)(C) define o plano que devemos rebater, logo, temos que encontrar a interseo do tringulo com o plano (), assim achamos a charneira. Encontramos a charneira que a reta (1)(2) e sabemos que, como os pontos (1) e (2) pertencem tanto ao tringulo quanto a charneira, eles estaro no mesmo lugar aps o

143

rebatimento. Sabendo disso, podemos rebater apenas um ponto e depois achar os outros, pois j vimos que um ponto rebatido cai sempre sobre uma perpendicular a charneira. Assim diminumos a impreciso. Achamos ento o tringulo (A)1(B)1(C)1, que a V.G do tringulo (A)(B)(C).

Fig.188

144

25.

ALAMENTO

O alamento o inverso do rebatimento, pois temos a V.G. de um objeto e queremos encontrar as projees. Nos problemas de alamento, primeiramente rebatemos o plano da figura obtendo as pores teis dos diedros (ver abaixo). Dentro da respectiva poro til se desenha a V.G. e usando as retas auxiliares desenhadas e suas respectivas puras obtemos as projees da figura.

Pores teis dos diedros:

Fig. 189

Para rebater o plano podemos usar um atalho, pois no lugar de achar a distncia d e

145

h podemos escolher um ponto V sobre o trao vertical e fazer uma circunferncia com o raio igual distncia de V at (T). Achamos o lugar por onde ()1 passa atravs de uma perpendicular a charneira a partir de V, como fazemos no rebatimento com o tringulo. Observe que podemos utilizar o mtodo do tringulo de rebatimento ou o atalho que chegamos mesma resposta.

Retas auxiliares para o alamento:

Fig. 190

Qualquer ponto (A) de projees A e A ser rebatido em (A)1. (r) e (s) so retas horizontais auxiliares. Se o rebatimento feito sobre o plano vertical, ento as auxiliares so frontais.

146

Ex: determinar as projees de um tringulo eqiltero (A)(B)(C) contido no plano () tendo (C) a maior abscissa. (T) pertence a (), (T){0,0,0} = 60 = -30 (A) {2,?,1} (B) {4,?,0}

Fig.191

Primeiro rebatemos (A) com o auxilio de (r) e temos (B)(B)1, j que B est sobre a L.T.. Temos um lado do tringulo e conseguimos ento achar o tringulo inteiro, isso pelo fato de ele ser eqiltero. Agora, alamos (C)1 e encontramos (C) com o auxlio de (s). Temos o tringulo em pura. (fig.191)

147

26.

PROBLEMAS MTRICOS

Em problemas mtricos iremos determinar a V.G. de um segmento de reta ou um ngulo. Usaremos os mtodos descritivos vistos.

Iremos ver:

Distncia entre dois pontos;

Distncia entre reta e ponto;

Distncia entre um plano e um ponto;

Distncia entre duas retas;

Distncia entre dois planos paralelos;

ngulo entre duas retas;

ngulo entre uma reta e um plano;

ngulo entre dois planos;

1.

Distncia entre dois pontos Quando quisermos a distncia entre dois pontos, podemos traar um segmento de

reta que passe pos eles e transformar esse segmento em frontal ou horizontal, pois assim estaremos encontrando a V.G. do segmento, que a distncia d que nos interessa.

Ex.: Encontrar a distncia d entre (A) e (B).

148

Fig. 192

Usando o procedimento de M.P.H. (fig.192) encontramos a distncia d entre (A) e (B), j que a reta horizontal tem a projeo vertical em V.G.

2.

Distncia entre reta e ponto

Se a reta for paralela a um dos planos de projeo (horizontal, frontal, frontohorizontal, vertical ou de topo).

Devemos ento traar, a partir do ponto, uma perpendicular a reta e encontrar o ponto (I) de interseo da reta com a perpendicular. Assim, basta transformar a perpendicular em frontal ou horizontal e achar a sua V.G. que obtemos a distncia d desejada.

Ex.: Encontre a distncia d entre (A)(B) e (C).

149

Fig.193

Observe na fig.193 que a reta (A)(B) frontal, logo, para achar a distncia entre (C) e (A)(B), traamos uma perpendicular a (A)(B), que (C)(I) e ento, atravs de uma rotao(ver fig.171) transformamos (C)(I) em horizontal encontrando a V.G. que igual d.

Ex.: Encontre a distncia entre (r) e (A).

Fig. 194

Note que neste caso (fig.194), a reta (r) vertical. No precisamos fazer M.P. nem

150

rotao, pois achamos direto a distncia d. Isso acontecer com as retas de topo e verticais. Se a reta for qualquer ou de perfil.

Basta transformar a reta em frontal ou horizontal e usar o mesmo procedimento anterior.

Ex.: Encontre a distncia d entre a reta (A)(B) e o ponto (C).

fig.195

Observe na fig.195 que temos uma reta qualquer, ento, atravs de uma M.P.H. transformamos (A)(B) em horizontal(ver fig.150). No podemos esquecer que o ponto (C) tambm muda na M.P. Agora, traamos uma perpendicular (A)(B) que (C)(I). Transformamos a reta (C)(I) em horizontal atravs de uma rotao em torno de um eixo que passa por (I). Encontramos ento a distncia d que I1C1.

Ex.: Encontre a distncia entre (A)(B) e (M).

151

Fig.196

Observe na fig.196 que a reta (A)(B) de perfil. Transformamos em horizontal atravs de uma M.P.H., no podemos esquecer de passar (M) para o novo sistema tambm. Traamos uma perpendicular a (A)(B) por (M) e encontramos (I). Agora, atravs de uma rotao em torno de (M), transformamos (M)(I) em frontal e encontramos a distncia d que MI.

3.

Distncia entre um plano e um ponto.

152

Se tivermos um plano projetante, no precisamos utilizar nenhum mtodo descritivo, achamos direto a distncia d.

Ex.: Encontre a distncia entre () e (A).

Fig. 197

Veja na fig.197 que temos um plano projetante de topo. Ento traamos uma perpendicular por (A) e achamos (I), que pertence ao plano. Lembre-se que (A)(I) ser a distncia se a reta for frontal, horizontal ou fronto-horizontal, dependendo do plano.

Se o plano for qualquer, traamos uma perpendicular ao plano a partir do ponto e achamos a V.G. da perpendicular.

153

Ex.: Determine a distncia entre () e (A).

Fig. 198 Observe na fig.198 que () qualquer, ento passamos por (A) uma perpendicular (). Neste caso, para encontrar o ponto (I), devemos lembrar que ele deve pertencer ao plano, pois queremos a distncia entre (A) e o plano, logo, para fazer (I) pertencer a (), traamos um plano projetante () sobre a perpendicular e achamos (H)(V) que a interseo de () e (). Assim, encontramos (I) que o ponto de concorrncia de (H)(V) e a perpendicular (ver trao de reta sobre plano). Aps encontrar (I), transformamos (A)(I) em horizontal atravs de uma rotao e encontramos d.

Se o plano for paralelo L.T. devemos rebater o plano na abscissa de (A) e encontrar a distncia d.

Ex.: Encontrar a distncia entre () e (A).

154

Fig. 199

Veja na fig.199 que () paralelo L.T., ento rebatemos () na abscissa de (A) e rebatemos tambm o ponto (A). Agora basta traar uma perpendicular ao plano que encontramos d.

Se o plano passa pela L.T. fazemos o mesmo procedimento anterior.

Ex.: Encontre a distncia de (), definido por (M) e a linha de terra, at o ponto (A).

Fig. 200 Veja na fig.200 que fazemos o mesmo procedimento do exemplo anterior, porm, levamos (M) at a abscissa de (A) para rebater.

4.

Distncia entre duas retas.

Se as retas forem paralelas.

155

Atravs de uma M.P., transformamos as retas em frontais ou horizontais e ento traamos uma perpendicular as duas retas, assim, atravs de uma rotao, encontramos a V.G. desse segmento que ser d.

Ex.: Encontre a distncia entre (r) e (s).

Fig. 201

Observe que tnhamos duas retas paralelas na fig.201, ento atravs de uma M.P.V. transformamos ambas as retas em frontal(ver fig.145). Assim, traamos (I)(J) que perpendicular aos traos verticais e que representa a distncia d. Aps isso, rotacionamos (I)(J) em torno de (I) e transformamos em frontal para achar a V.G.. IJ a distncia

156

procurada.

Se as retas forem reversas.

- E as duas forem horizontais ou frontais: Temos a distncia direto em pura.

Ex.: Ache a distncia entre (h1) e (h2).

Fig.202

Veja na fig.202 que as retas (h1) e (h2) so reversas e (h1) passa por cima de (h2). A distncia entre as retas a perpendicular aos traos verticais (observe isso no espao com a ajuda de canetas e do diedro).

- E uma das retas vertical ou de topo: Vemos a distncia direto em pura.

Ex.: Encontre a distncia entre (t) e (r).

157

Fig. 203

Observe que temos uma reta de topo e outra qualquer na fig.203. A distncia d encontrada diretamente quando traamos uma perpendicular r a partir de t.

- E as duas retas so de perfil: Encontramos d diretamente.

Ex.: Encontrar a distncia entre (p) e (q)

158

Fig. 204 Veja que rebatemos as retas e encontramos o ponto onde as retas tm as mesmas cotas e afastamentos, ento, alamos esse ponto e encontramos a distncia d.

- E as retas so quaisquer: Se quisermos a distncia entre (r) e (s) quaisquer, ento temos que transformar uma das retas em reta de topo ou vertical atravs de uma M.P., pois assim camos no caso de ter uma reta de topo ou vertical e outra qualquer, onde podemos encontrar a distncia direto em pura.

Ex.: Encontre a distncia entre (r) e (s) quaisquer.

159

Fig. 205 Observe na fig.205 que (r) e (s) so quaisquer e reversas. Ento, definimos os pontos (A) e (B) sobre (r) e os pontos (C) e (D) sobre (s). Fazemos uma M.P.H. pra transformar (r) em horizontal e depois uma M.P.V. para transformar (r) em reta de topo. No podemos esquecer de transferir (s) para o novo sistema em cada M.P.. Aps as duas M.P. temos uma reta de topo e outra qualquer, ento a distncia entre elas a perpendicular a s1 a partir de r1.

5.

Distncia entre dois planos paralelos.

Se os planos forem de topo ou verticais.

160

Teremos a distncia direto em pura.

Ex.: Determine a distncia entre () e ().

Fig.206

Veja na fig. 206 que () e () so de topo e a distncia entre eles a distncia entre os traos verticais.

Se os planos forem quaisquer.

Se os planos forem quaisquer, basta transforma-los em planos de topo ou verticais e proceder do mesmo modo do exemplo anterior.

161

Ex.: Encontre a distncia entre () e ().

Fig. 207

Veja na fig.207 que os planos () e () foram transformados em planos verticais atravs de uma M.P.H.. Assim encontramos a distncia d entre eles no segundo sistema de coordenadas.

Se os planos forem paralelos L.T..

Se os planos forem paralelos L.T devemos rebate-los para encontrar a distncia.

Ex.: Encontre a distncia entre () e ().

162

Fig. 208

Veja na fig.208 que os planos so paralelos L.T., ento rebatemos os planos e encontramos a distncia d entre eles que igual distncia entre os planos rebatidos.

6.

ngulo entre duas retas.

Se as retas forem concorrentes.

Para achar o ngulo entre duas retas concorrentes basta rebater o plano que elas formam, pois assim, teremos o ngulo representado em V.G..

Ex.: Encontre o ngulo entre (r) e (s).

163

Fig. 209

Veja na fig.209 que temos duas retas quaisquer (r) e (s) que concorrem no ponto (I). Traamos uma horizontal (h) que seja concorrente com (r) e (s) e ento escolhemos essa horizontal para ser a charneira. Rebatemos o ponto (I) e depois, como (1) e (2) pertencem charneira, eles ficaro no mesmo lugar, ento ligamos (I)1 com 2 e temos (s)1 e ligamos (I)1 com 1 e temos (r)1. O ngulo o ngulo entre (s)1 e (r)1.

Se as retas forem reversas.

Para encontrar o ngulo entre duas retas (r) e (s) reversas, devemos tomar uma reta (t) paralela (s) e que seja concorrente com (r), assim o ngulo entre (r) e (s) ser igual ao ngulo entre (r) e (t).

Ex.: Encontre o ngulo entre (r) e (s).

164

Fig. 210

Observe que (r) e (s) so reversas na fig.210. Assim, tomamos a reta (t) paralela (s) e concorrente com (r) em (I). Escolhemos (h) para ser a charneira e rebatemos as retas (t) e (r). Encontramos o ngulo entre (r) e (t) que igual ao ngulo entre (s) e (r).

7.

ngulo entre uma reta e um plano

Para achar o ngulo entre a reta (r) e o plano () devemos passar um plano por (r) que seja perpendicular (). Para tanto, devemos traar uma reta (s) concorrente com (r) e perpendicular () e ento fazer uma plano () que contenha (s) e (r). Agora, o ngulo entre (r) e () igual ao ngulo entre a reta (r) e a reta interseo de () com ().

Ex.: Encontre o ngulo entre (r) e ().

165

Fig.211

Observe na fig.211 que temos a reta (r) e queremos encontrar o ngulo que ela forma com (). Traamos uma reta (s) que seja perpendicular a () e concorrente com (r) em (I), ento achamos os traos (H) e (V) de (r) e (H1) e (V1) de (s). Traamos um plano () que contenha (s) e (r), logo ele ser perpendicular (), pois (s) perpendicular () (ver perpendicularismo). Devemos encontrar a interseo de () com (), ento, usando duas horizontais (h) e (h1), encontramos o primeiro ponto de interseo (N), o ponto (M) encontramos devido interseo dos traos horizontais. Agora temos (M)(N) e (r), ento basta encontrar o ngulo entre essas duas retas atravs de um rebatimento sobre uma plano horizontal, pois o ngulo entre () e (r) igual ao ngulo entre (r) e (M)(N).

166

8.

ngulo entre dois planos

Se os planos forem de topo ou verticais

Achamos o ngulo direto sem usar nenhum mtodo descritivo.

Ex.: Encontre o ngulo entre () e ().

Fig. 212

Observe na fig.212 que () e () so planos de topo, portanto o ngulo entre eles igual ao ngulo formado entre os traos verticais, j que esses planos so projetantes. Se os planos fossem verticais, ento o ngulo entre eles seria igual ao ngulo entre os traos horizontais.

Se os planos forem quaisquer

Devemos transformar os dois planos em planos de topo ou verticais ao mesmo tempo. Para isso, encontramos a reta interseo dos dois planos e transformamos em horizontal ou vertical. Ex.: Determine o ngulo entre () e ().

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Fig. 213

Observe na fig.213 que termos dois planos quaisquer. Achamos (H)(V) que a reta interseo de () com () e atravs de uma M.P.H. transformamos (H)(V) em horizontal, note que no segundo sistema os planos ainda so quaisquer. Fazemos uma M.P.V. e transformamos (H)(V) em reta de topo, logo, transferindo () e () para o terceiro sistema, vemos que eles viraram planos de topo, assim encontramos o ngulo formado entre eles igualmente feito na fig.212.

Se os planos forem paralelos L.T..

Basta rebater os planos para encontrar o ngulo entre eles. Ex.: Determine o ngulo entre () e ().

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Fig. 214

Veja na fig.214 que apenas rebatemos () e () (paralelos linha de terra) sobre a mesma linha de chamada e encontramos .

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27.

APLICAO DA GEOMETRIA DESCRITIVA EM TELHADOS

Uma das dificuldades do engenheiro civil a cobertura das edificaes. A Geometria Descritiva pode ser utilizada com vantagens para solucionar telhados, pois tratam-se de planos que se interceptam.

Veja a fig.215, ela mostra a altura de qualquer ponto do telhado. Observe que as retas (A)(B) e (E)(F) so fronto-horizontais e (C)(D) e (H)(G) so de topo, logo elas esto projetadas em V.G., as demais retas so determinadas com um simples clculo de tringulo pitagrico. Assim, o engenheiro pode calcular a quantidade de madeira necessria para caibros e pontaletes.

Fig. 215

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28.

EXERCCIOS

Pontos 1. Dar a pura dos seguintes pontos: (A) mais perto de () do que de (); (C) no (I); (D) no (A); (B) no (S); (E) no (P). (B) no (P); (E) no IV diedro.

2. Dar a pura dos seguintes pontos: (A) no (I); (C) no II diedro; (D) no III diedro;

Simetria 3. Dado o ponto (A) [2;1;4]. Faa a pura de um ponto: (B) simtrico (A) em relao (); (C) simtrico (A) em relao (); (D) simtrico (A) em relao ao (P); (E) simtrico (A) em relao ao (I).

Retas 4. Traar uma reta frontal que diste trs unidades de medida de (), que contenha o ponto (A) (pertencente ao (P)) e o ponto (B) (situado no (A)). 5. Dada a reta (A)(B), faa sua pura, encontre seus traos e os diedros por onde ela passa. (A) [2;1;3]; (B) [4;5;-2].

6. O ponto (A) est no (I). Passe por ele uma reta (B)(C). (A) [2;?;4]; (B) [-3;0;1]; (C) [5;?;?].

7. Traar a pura das seguintes retas: * Uma reta de perfil que contenha (A)[2;1;1) e esteja no (I); * Uma reta horizontal que contenha um ponto pertencente ao (S);

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* Uma reta de topo que contenha um ponto pertencente ao (I); * Uma reta frontal de afastamento nulo; * Uma reta qualquer que contenha (B) (cota igual duas vezes o afastamento) e (C) (pertencente ao (P).) 8. Desenhar a pura de uma reta que passe pelo II, III e IV diedros.

Posies relativas 9. Por (A), traar uma reta paralela (B)(C). (A) [2;?;?]; (B) [0;3;2]; (C) [5;-1;-3].

10. Traar duas retas (A)(B) e (C)(D) concorrentes. (A)[2;0;-4]; (B)[6;2;4]; (C)[6;3;2]; (D)[1;?;1].

11. Traar por (A), duas retas concorrentes e que sejam respectivamente paralelas a outras duas reta (B)(C) e (D)(E). (A)[1;2;3]; (B)[3;-4;-1]; (C)[0;1;3]; (D)[4;2;0]; (E) [-1;4;2].

Interseo de planos 12. Encontre a interseo de () com () quaisquer que te