ISADORA-Apostila de Geometria Descritiva

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Expresso Grfica IIUnidade I - GEOMETRIA DESCRITIVA

E P E S OG IC X RS R F A

D p rta e tod e a mn e

Prof MSc.Andrea Faria Andrade Curitiba, PR / 2011

Material elaborado por:

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN

DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA I Introduo

A Geometria Descritiva (tambm denominada de Mtodo Mongeano) foi desenvolvida pelo desenhista francs Gaspard Monge (1746-1818), uma figura poltica do final do sculo XVIII e incio do sculo XIX. Foi um dos fundadores da Escola Politcnica Francesa e professor da Escola Militar de Mezires e da Escola Politcnica de Paris, pode ser considerado o pai da geometria diferencial de curvas e superfcies do espao.Definio: Gaspard Monge definiu a Geometria Descritiva como sendo a parte da Matemtica que tem por fim representar sobre um plano as figuras do espao, de modo a poder resolver, com o auxlio da Geometria Plana, os problemas em que se consideram as trs dimenses.

II Sistemas de ProjeoDizemos que uma figura F do espao se projeta de um ponto C sobre um plano , que no contm o ponto C, quando determinamos, sobre o plano , as interseces dos vrios raios projetantes, determinados pelo centro de projeo C e pelos pontos da figura.C

F

F' F1'

'

F1

De acordo com a posio ocupada pelo centro de projeo (finita ou no infinito), os sitemas de projeo classificam em:

(a) sistema de projeo central (ou cnico); (b) sistema de projeo cilndrico.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANSistema de Projees Cnico

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Este sistema de projeo determinado pelo ponto C, centro de projeo (posio finita) e pelo plano de projeo . A figua F considerada o tringulo ABC, cuja projeo sobre o plano , a partir do centro de projeo C, o tringulo A B C, que a figura F. O centro de projeo C, ocupando uma posio finita, as projetantes resultam convergentes, razo pela qual este sistema denominado de sistema de projeo central ou cnica.C

A B F' A' B'

F

C

C'

'

Sistema de Projees Cilndrico Este sistema de projeo determinado por: a) uma direo de projeo ; b) um plano de projeo , no paralelo a direo . O centro de projeo C est situado no infinito (ponto imprprio) e as projetantes so as retas paralelas direo . Podemos ter dois tipos de projeo cilndrica: oblqua (a) e ortogonal (b). Quando a direo das projetantes for perpendicular ao plano de projees, o sistema denominado cilndrico ortogonal.

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DEPARTAMENTO DE EXPRESSO GRFICA III O mtodo Mongeano

O Sistema Mongeano de projeo utiliza uma dupla projeo cilndrico-ortogonal, onde dois planos , um horizontal e um vertical, se interceptam no espao, sendo portanto, em funo de suas posies, perpendiculares entre si. A interseco desses planos determina uma linha chamada Linha de Terra ( LT). Esses planos determinam no espao quatro diedros numerados no sentido anti-horrio. Monge idealizou um sistema de projees no qual um ponto P representado por duas projees, P e P, nos dois planos de projees e , perpendiculares entre si (Figura XXXa). O plano (ou PH) denominado de plano horizontal de projees; e (ou PV) denominado de plano vertical de projees. Os pontos P e P projetam-se sobre a LT em um mesmo ponto, denotado de P0. A linha de terra divide cada plano de projees em dois semi-planos, conforme Figura XXXXa:PHA plano horizontal anterior; PHP - plano horizontal posterior; PVS - plano vertical superior, e; PVI - plano vertical inferior.

Uma vez efetuada as projees de P sobre e , fazemos um rebatimento do PH sobre o PV, at que ambos coincidam (rotao de 90 graus em torno da LT). Desta forma, ambas as projees do ponto P ficam no mesmo plano. O desenho assim obtido denominado de pura. Na pura, as projees de um ponto qualquer esto sobre uma reta perpendicular linha de terra, chamada de linha de chamada.

Na Figura XXXb temos a pura de um ponto P situado no 1o diedro. Em pura representamos um ponto atravs da sua abscissa, seu afastamento e sua cota. A abscissa a distncia de um plano considerado como origem que passa por ( O), at a projeo do ponto na LT. A cota de um ponto P do espao a distncia entre P e a sua projeo sobre o . Logo, a cota de P igual a medida do segmento PP0, uma vez que d(P, ) = d(P,P) = d(P,P0).

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O afastamento de um ponto P do espao a distncia entre P e plano . Logo, o afastamento de P igual a medida do segmento PP0, uma vez que d(P,) = d(P,P) = d(P,P0). Exerccio 01: Obter a pura dos pontos cujas coordenadas so dadas abaixo e identifique a sua posio o espao. A (1, 5, 3), est no __________B (3, 1, -4), est no _________ C (5, -2, -3), est no _________D (7, -5, 1), est no _________ E (8, 0, 2), est no __________F (9, 4, 0), est no __________ G (4, 0, 0), est no __________

LT 0

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANExerccio 02:

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Identifique a posio no espao dos pontos cujas projees so dadas abaixo:

P, est no ____________ S, est no ____________ V, est no ____________

Q, est no _____________ T, est no _____________

R, est no _____________ U, est no _____________

IV Estudo da RetaConceitualmente no possui espessura, s possui uma dimenso: sobre ela s podemos medir comprimentos. Pode ser definida por dois pontos. So indicadas por letras minsculas e normalmente so utilizadas as ltimas letras no nosso alfabeto: r, s, t, etc. Obtemos a projeo ortogonal de uma reta sobre um plano, projetando-se dois pontos dessa reta sobre o plano.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANTIPOS DE RETAS

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Em geral, de acordo com sua posio em relao aos planos de projeo, as retas podem ser paralelas ou no aos planos de projees e . Retas paralelas ao plano horizontal de projees : 1) Reta Horizontal Essa reta paralela ao Plano Horizontal de projeo e inclinada em relao ao Plano Vertical de projeo.

2) Reta de Topo Essa reta paralela ao PH e perpendicular ao PV.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela LT) Essa reta paralela ao PH e PV.

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Retas paralelas ao plano vertical de projees : 1) Reta Frontal Essa reta paralela ao Plano Vertical de projeo e inclinada ao Plano Vertical de projeo.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN2) Reta Vertical Essa reta paralela ao PV e perpendicular ao PH.

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3) Reta Fronto-Horizontal (Paralela a LT) (j visto anteriormente)

Retas inclinadas em relao aos planos de projees e : 1) Reta de Perfil A reta de perfil toda aquela que se encontra situada num plano de perfil (plano perpendicular ao PH, PV e ainda linha de terra, como pode ser visto na figura abaixo. No se projeta em verdadeira grandeza em nenhum dos planos de projeo.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARAN2) Reta Qualquer

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A reta qualquer, por estar inclinada em relao aos planos de projeo PH e PV, no se projeta em verdadeira grandeza em nenhum desses planos.

Exerccio 01: Representar a reta r (vertical), pertencente a um ponto dado A(50, 30, 40)mm. Representar um ponto B pertencente a esta reta, tal que AB seja um segmento de 2cm.

LT

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANExerccio 02:

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Dada a reta a(A, B) e os pontos A(4, 1, 5) e B(4, 5, 2), pede-se: a) o comprimento em mm de AB; b) o ngulo que a reta faz com o PHP.

LT

Exerccio 03: Representar a reta frontal f, pertencente a um ponto A(40, 15, 30) e que faz um ngulo de 45 com o plano horizontal de projees. Representar o ponto B desta reta, tal que o segmento Ab seja de 20mm.

LT

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANTRAO DE RETAS

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Denomina-se trao de uma reta sobre um plano, o ponto em que essa reta intercepta ou fura este plano. Trao Horizontal o ponto onde a reta intercepta o plano horizontal de projees. Possui cota=0.

Trao Vertical o ponto onde a reta intercepta o plano vertical de projees. Possui afastamento=0.

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANExerccio 01:

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Representar a pura das retas a(A, B), b(C, D), c(E, F), defini-las quanto a posio no espao, seus nomes e obter as projees dos seus traos. A(4, 1, 2) B(4, 4, 2) C(1, 2, 1) D(4, 2, 3) E(-3, -2, -2) F(0, -2, 3)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANExerccio 02:

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Dada a reta de perfil p(P, Q), encontrar as projees dos traos horizontal e vertical da reta. P(0