Geometria Descritiva Galrinho

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Intersees - 1

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INTERSEES

O estudo das Intersees de grande importncia para o aprofundamento

dos captulos anteriores. Alm disso, os assuntos aqui tratados surgem tam-

bm aplicados aos captulos que se seguem a este.

Este captulo engloba interseces de planos com planos e de retas com pla-

nos.

Sumrio:

2. Interseo de planos projetantes do mesmo gnero

3. Interseo de planos projetantes de gnero contrrio

4. Interseo do plano oblquo com planos projetantes

5. Interseo do plano oblquo com o plano de rampa

6. Interseo entre planos oblquos

7. Interseo do plano de rampa com planos projetantes

8. Interseo entre planos de rampa

9. Interseo do plano passante com planos projetantes

10. Interseo do plano passante com planos no projetantes

11. Intersees que envolvem planos perpendiculares ao 2/4

12. Interseo de planos cujos traos se cruzam apenas num ponto

13. Interseo de planos cujos traos se cruzam ambos fora do papel

14 e 15. Interseo entre trs planos

16. Interseo entre retas e planos projetantes

17. Interseo entre uma reta e um plano oblquo

18. Interseo entre uma reta e um plano de rampa

19 e 20. Interseo da reta de perfil com planos diversos

21 e 22. Interseo entre uma reta e um plano definido por retas

23. Interseo da reta de perfil com planos definidos por retas

24. Interseo de planos projetantes com planos definidos por retas

25. Interseo do plano oblquo com planos definidos por retas

26. Interseo do plano de rampa com planos definidos por retas

27, 28 e 29. Interseo entre planos definidos por retas

30, 31, 32 e 33. Exerccios

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Intersees - 2

Interseco de planos projetantes do mesmo gnero

Mostra-se aqui a interseco entre planos projetantes horizontais e entre planos projetantes frontais,

de onde resulta uma reta projetante do mesmo gnero.

Interseo entre planos projetantes horizontais

Quando se intersectam dois planos projetantes horizontais resulta uma reta projetante horizontal, ou seja, uma reta vertical. Neste grupo integra-se tambm o plano de perfil e o plano frontal, que no surgem no traado.

x

Interseo entre planos projetantes frontais

Quando se intersetam dois planos projetantes frontais resulta uma reta projetante frontal, ou seja, uma reta de topo. Neste grupo integra-se ainda o plano de perfil e o plano horizontal, que no surgem no traado.

x

f

h

(h)

f

h

h

h

f f

(f)

fhi2

fhi1

f

h

f

h

h

f

h

f

H1(i1)

i2

H2

H1(i1)

H1(i1)

H2 H2

i2

F2(i2)

F1

i1 i1

F2(i2)

F1

F2(i2)

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Intersees - 3

Interseo de planos projetantes de gnero contrrio

Aqui mostra-se a interseo entre planos projetantes de gnero oposto, ou seja, de um plano proje-

tante horizontal com outro projetante frontal.

x

Interseo entre planos projetantes de gnero contrrio

Quando se intersetam dois planos projetantes de gnero contrrio acontece que as projees da reta de inter-seo vo coincidir com os traos sobre os quais os planos so projetantes. Apresentam-se aqui os traos das retas mas pode-se prescindir deles.

x

fi2

h

hi1

f

(f)i2

h

fi2

F1

F2

(h)i1

H2

H1

(h)i1

(f)i2 f

hi1

F2

F1 H2

H1

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Intersees - 4

Interseo do plano oblquo com planos projetantes

Veremos aqui as vrias hipteses de conjugar o plano oblquo com os planos projetantes, e que tipo

de retas da resultam.

Interseo do plano oblquo com os planos frontal, horizontal e de perfil Da interseo de um plano oblquo com um plano frontal resulta uma reta frontal, com um plano horizontal resulta uma reta horizontal, ambas paralelas ao trao homnimo do plano oblquo. Da interseo do plano obl-quo com o plano de perfil resulta uma reta de perfil.

x

F1

F2 (f)i2

H2

H1

h

f

f

h

(h)i1

i2

i1

Interseo do plano oblquo com o plano de topo

A interseo entre estes dois pla-nos pode dar origem a duas situa-es diferentes. Quando ambos os traos se cruzam resulta uma reta oblqua; quando os traos frontais so paralelos resulta uma reta frontal.

x H2

H1

h

f

f

h h

Interseo do plano oblquo com o plano vertical

A interseo entre estes dois pla-nos pode dar origem a duas situa-es diferentes. Quando ambos os traos se cruzam resulta uma reta oblqua; quando os traos horizon-tais so paralelos resulta uma reta horizontal.

x

F1

F2

i2

H2

H1

h

f

f

h hi1

fi2

i1

h

H2

H1

fi2

i1

F2

F1

F1

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f

i2

hi1

f

H1

F2

h

f

F1H2

fhi2i1

i1 // h

i2 // f

h // h i1 // h

f // f i2 // f

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Intersees - 5

Interseo do plano oblquo com o plano de rampa

Mostra-se aqui a interseo entre um plano oblquo e um plano de rampa, o que pode dar origem a

dois tipos de retas.

Interseco do plano oblquo com o plano de rampa, resultando uma reta oblqua

Quando os traos da reta de interseo tm diferentes abcissas, essa reta ser oblqua. Mostram-se dois exemplos dessa situao.

x

h

f

i2

h

f

F2

F1

H1

H2

i1

h

f

h

f

F2

H1

H2F1

i1i2

Interseo do plano oblquo com o plano de rampa, resultando uma reta de perfil

Quando os traos da reta de interseco tm abcissas iguais, essa reta ser de perfil. Mostram-se dois exem-plos dessa situao.

x

i2 F2

F1

H1

H2

i1

F2

H1

i1i2

f

h

f

h

f

h

h f

H2F1

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Intersees - 6

Interseo entre planos oblquos

A interseo entre dois planos oblquos apresenta quatro possibilidades, cada uma correspondendo

a um tipo de reta das que o plano pode conter.

Interseo entre dois planos oblquos, resultando retas com dois traos

Os traos dos planos oblquos podem cruzar-se de modo a que os traos da reta de interseo tenham abcis-sas diferentes ou iguais, dando origem a uma reta oblqua ou de perfil, respetivamente.

x

h

f

i2

h

f

F2

F1

H1

H2

i1

h

f

h

f

F2

H1

H2F1

i1i2

Interseo entre dois planos oblquos, resultando retas com um trao

Se os traos frontais dos planos forem paralelos entre si resulta uma reta frontal paralela aos traos homnimos dos planos. Sendo paralelos os traos horizontais resulta uma reta horizontal paralela a esses traos.

x

h

f

i2

h

f

H1

H2

h

f

h

f

F2

i1

i1

F1

i2

f // i2 // f

h // i1 // h

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Intersees - 7

Interseo do plano de rampa com planos projetantes

Apresentam-se aqui intersees entre um plano de rampa e cada um dos planos projetantes.

Interseo do plano de rampa com os planos de topo, vertical e de perfil

Para a determinao destas intersees basta determinar os traos da reta de interseco e uni-los. Devido ao facto de um dos planos ser projetante, existe coincidncia entre uma projeo da reta e um trao do plano, os dois no caso do plano de perfil.

Interseo do plano de rampa com os planos frontal e horizontal

Da interseo do plano de rampa com os planos frontal e horizontal resulta uma reta fronto-horizontal. Para a determinar recorre-se aqui aos traos laterais dos planos, uma vez que o ponto onde se cruzam o trao lateral da reta. Estes casos podem resolver-se recorrendo a um plano auxiliar, como se mostra na pgina seguinte.

x

f

f

h

i2

h h

f f

hi1

F2

F1

H1

i2

H2

F2

F1

i1

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H2

H1

h

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F2

H1

F1H2

x x

f

h

L3(i3)

(h)i1

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l

l

L2

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(f)li2

f

h

L3

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yz

l

L2

L1

Manual de Geometria Descritiva - Antnio Galrinho Intersees - 8

Intersees entre planos de rampa

Da interseo entre dois planos de rampa resulta uma reta fronto-horizontal. Como os traos do pla-

no de rampa so paralelos no se consegue determinar diretamente a reta de interseo. Apresen-

tam-se aqui trs maneiras de resolver a mesma situao.

Interseo entre planos de rampa, recorrendo a planos auxiliares

Utilizando um plano auxiliar (aqui um vertical e um de perfil) cujos traos intersetem os dos planos de rampa, obtm-se tambm a reta de interseo. Comea-se por determinar as retas de interseo desse plano com os de rampa (retas a e b na primeira situao, retas p e p na segunda). Pelo ponto I, ond