1

E-mail: vilson1001@gmail.com Fone: 45- 3256 1169 e 45 8835-7227 vilson.schwantes@bol.com.br Site: www.pvilson.com.br

2

INTRODUO AO ESTUDO DOS LIMITES NOO: de + : Uma varivel x quando puder assumir valores maiores do que

qualquer nmero real positivo (R+), to grande quanto se possa imaginar, dizemos que ela tende

para + , ou seja, x + . Ex.:

a) No conjunto dos R, a varivel tende para +

b) No conjunto dos Z, a varivel tende para +

c) No conjunto dos N, a varivel tende para +

Um conjunto numrico em que a varivel no tende para +

CONTRA - EXEMPLO: No conjunto Z - a varivel x no tende para + NOO DE -: Uma varivel x, tende para - (x -) quando for possvel atribuir-

lhe valores negativos, porm em valor absoluto to grande quanto pudermos imaginar.

Ex(x -)

a) No conjunto dos R, a varivel, tende para -

b) No conjunto dos Z, a varivel, tende para -

c) No conjunto dos N, a varivel, no tende para -

01- DADA A FUNO: f(x) = x + 1. Verificar o comportamento de f(x) quando x tende para 1.

02- Seja f(x) = x verificar o comportamento de f(x) quando x tende para 2. Ou seja lim f(x) = x.

x2 x+2

03- Consideremos o grfico da funo f: RR, definida por f(x) = x+2. Calcule lim

x 3

04- Dada a funo f: R R, definida pelas sentenas, calcule os limites:

x + 2 , se x 1 f(x) = 1 , se x = 1

f(x) f(x) f(x) f(x)

a) lim b) lim c) lim d) lim

x 0 x1 x- x+

X

0,1

0,01

0,001

0,0001

0,00001

0,000001

0,0000001

x ___

Y

1,9

1,99

1,999

1,9999

1,99999

1,999999

1,9999999

y ___

3

5) Seja a funo f: RR, dada pela lei f(x) = 2x-3x+5. Calcule os limites. f(x) f(x) f(x) f(x)

a) lim b) lim c) lim d) lim

x0 x-1 x - x +

05- Seja a funo f: R R, dada pela lei f(x) = -3x+1. Calcule os limites. f(x) f(x) f(x) f(x)

a) lim b) lim c)lim d) lim

x-1 x1 x- x+

06- seja a funo f: R R, dada pela lei f(x) = 2x. Calcule os limites: f(x) f(x) f(x) f(x)

a) lim b) lim c) lim d) lim

x0 x-1 x- x+

REGRAS PARA O CLCULO DE LIMITES

LIMITE DE UMA CONSTANTE para qualquer tendncia da varivel a prpria constante.

a 5 3 1/5 10

a) lim = a b) lim = ____ c) lim =_____ d) lim = _____ e) lim = ____

xk x x2 x-4 x5

LIMITE DE UMA SOMA ALGBRICA RACIONAL (inteira ou fracionria)

a) quando xa ( a um valor numrico qualquer). O limite o valor encontrado quando substitumos x pelo valor de a.

3x +2x-7 x

x-x (3x + 5) x+a (103x+ 2 ) x-6x+1

1) lim 2) lim 3) lim 4) lim 5) lim

x-1 x2 x-1 x5 x3

3x+2x-7

x-x

6) lim

x2 2x + 4

b) quando x. lim =

Considera-se o limite do termo de maior expoente. x

4

Se a funo for fracionria, considera-se o limite do termo de maior grau (expoente maior do termo do numerador e do denominador.

Obs.: Se possvel, simplifica-se primeiro.

3x+2x-7 3x5+6x-x x-3

x-6x+1 x - 4 4 2x5 2x-3x+1 a) lim b) lim c) lim d)lim

x+ x- x- x+

EXERCCIOS: CALCULAR

x-7

x+1

1+x

x-7

1+x

1-2x

x

1+x

01. lim 02. lim 03. lim 04. lim

x- x+ x- x+

6-x

4+x

6+x

7x-1

x-5x+10

x-25

x-3

x+7

05. lim 06. lim 07. lim 08. lim

x- x- x- x+

6-x

1+2x

x-9

x-3

(x+1)

x+1

(-3x5+7x

4+5x-6)

09. lim 10. lim 11. lim 12. lim

x x3 x x0

x-x+2

x-4

x-2x-3

(-x+3x4+3)

3x4-5x+2

3x+3x-x

13. lim 14. lim 15. lim 16. lim

x-1 x-1 x+ x+

2x-5x+x

5x5+3x+2x

3

x-x+6x-2

-3x+5x-1

2x-3x+x

4x-7x+36

3x+5x-2

17. lim 18. lim 19. lim 20. lim

x+ x+ x- x+

1-x

x+3

(3x)

(2x-1

)

(2x-x-8

)

21. lim 22. lim 23. lim 24. lim

x- x-2 x7 x1

5

x+18 +47-x 5x+31 - 5x+22 [(2x+1)] [(x-x+2)5]

25. lim 26. lim 27. lim 28. lim

x-2 x1 x2 x-1

GABARITO

1) - 2) 0 3) 1/2

4) + 5) 0

6) 1/7

7) 1 8) 0 9) 1/2 10) 6 11) 1

12) 6

13) 4

14)

15) +

16) +

17) 0

18) 0 19) 0 20) 4/3 21) 1 22) 1/9

23) 64

24) 1/256

25) 11 26) 1 27) 125

28) 1024

LIMITES COM IDETERMINAES

Ao calcularmos o limite de uma funo podemos recair em uma forma indeterminada.

As indeterminaes mais freqentes so:

0/0 , / , - , ... Quando isso acontece devemos tentar levantar as indeterminaes, isto , atravs de

algum artifcio de clculo obter para o limite um valor no indeterminado.

OPERAES (na idia de limite) ENVOLVENDO 0 e + 1) ADIO:

+ =

+ n =

+ 0 = 0 + 0 = 0

n + 0 = n

2) SUBTRAO:

- = ? INDET.

- n =

n - = -

- 0 =

0 - = - 0 - 0 = 0

3) PRODUTO:

. =

n . =

. 0 = INDET.? N . 0 = 0 Quando temos

IDETERMINAO nada pode-se afirmar.

absurdo.

4) QUOCIENTE:

/ = ? INDET.

/ n =

n / = 0 0 / 0 = ? INDET.

0 / n = 0

n / 0 =

5) POTENCIAO

n =

n =

0 = ? IND.

0 = 0

00 = ? IND.

1 = ? IND.

SUGESTO: REVISAR OPERAES PR-REQUISITO

Calcular os limites:

3x-6x+7

x - 4

x-5

x-25

x-5

x-25

x-3x+2

x-4

01. lim 02. lim 03. lim 04. lim

x2 x5 x5 x2

6

x+4x+4

x+2

x-8x+16x

x-8x+16

x-3x

x-6x+9

x-1

x-1

05. lim 06. lim 07. lim 08. Lim

x-2 x4 x-3 x1

8x-1

2x-1

(2x-1)6

x4+2x-x

x-2x-5x +1

09. lim 10. lim 11. lim 12. lim

x1/2 x-1 x-1 x1

x+5

x+1

x-1

x-1

3x+5

-3x+5x-1

2x-3x+x

13. lim 14. lim 15. lim 16. lim

x-2 x-1 x2 x-

4x-7x+36

3x+5x-2

1-x

x+3

x

x+a

t+6t+5

17. lim 18. lim 19. lim 20. lim

x+ x- X -1 t2

3y-5

y-2

x x+2 x+1

1 - 3

1-x 1-x

4x-2x+x

3x+2x

21. lim 22. lim 23. lim 24. lim

y0 x2 X2 x0

x-1

x-1

x+3x-10

3x-5x-2

x-5x+6

x-12x+20

1+x 1 x

25. lim 26. lim 27. lim 28. lim

x1 x2 x2 x0

1+x+x - 1 x

2x+1 3

x - 2 -2

x+p - p

x+q - q

x+x-1

2x+5

29. lim 30. lim 31. lim 32. lim

x0 x4 x0 x+

3x-2x-1

x+4

2- 1 + 4

x x

x+1 x+1

x+2x-1

33. lim 34. lim 35. lim 36. lim

x+ x- x+ x2

7

y-2y+3y-4

t-5

2t+6

2x+1

x-3x+4

y+8

y+2

37. lim 38. lim 39. lim 40. lim

y-1 t2 x-1 y-2

y-1

y-1

x+5x+6

x-x-12

3x-17x+20

4x-25x+36

8r+1

r+3

41. lim 42. lim 43. lim 44. lim

y1 x-3 x4 r1

y-9

2y+7y+3

x+2 - 2 x

2-4 -t t

x-x-x+10

x+3x+2

46. lim 47. lim 48. lim 49. lim

y-3 x0 t0 x-2

2x-5x-2x-3

4x-13x+4x-3

x+3x+4

x+1

50. lim 45. lim

x3 x 2

CALCULAR OS LIMITES

2x+1

5x-2

4s+3

2s-1

x+4

3x-5

x-2x+5

7x+x+1

01. lim 02. lim 03. lim 04. lim

x s x x+

y+4 y+4

x+4 x+4

4x+2x-5

8x+x+2

3x4-7x+2

2x4+1

05. lim 06. lim 07. lim 08. lim

x+ x- x- x

y+4 y+4

x+4 x+4

4x+2x-5

8x+x+2

3x4-7x+2

2x4+1

09. lim 10. lim 11. lim 12. lim

y+ x- x- x

8

(x+1 x)

(x+x x)

(x+1)

x+1

1000x

x-1

13. lim 14. lim 15. lim 16. lim

x+ x+ x x

x-5x+1

3x+7

2x-x+3

x-8x+5

(2x+3).(3x-2) x

5+5

2x-3x-4

x4+1 17. lim 18. lim 19. lim 20. lim

x x x x

2x +3

x+x

x+1 x+1

x+1

x+1

x-5x+10

x-25

21. lim 22. lim 23. lim 24. lim

x x x-1 x5

x-1

x+3x+2

x-3x+2

x4-4x+3

2-x-3 x-49

3x2 8x+7

25. lim 26. lim 27. lim 28. lim

x-1 x1 x7 x+

6x+2x+1

5x-3x-4

x+x-3

4x-1

2x

x+1

x-27

x3 29. lim 30. lim 31. lim 32. lim

x+ x- x+ x3

8x-5x+3

2x+7x-4

1-x

x

9x-3

3x+3

x-9

x-3

33. lim 34. lim 35. lim 36. lim

x+ x0 x-1/3 x3

2x-3x

2x+1

x-7x

x+2

x-1

x-1

x+x

x

37. lim 38. lim 39. lim 40. lim

x2 x7 x1 x0

x+2x

x+2

x-x

x+x

x-1

x-1

x-1

x-1

41. lim 42. lim 43. lim 44. lim

x-2 x0 x-1 x1

9

x+5

x+1

(2x-1)6

5x4+x-3x+6

3x-x+3x-8

3x5-2x+x

4-1

7x-x+4x5

45. lim 46. lim 47. lim 48. lim

x-2 x-1 x x

1/x

x-6x+8

x-7x+10

2x-4

x-3x+2

x-4x+4

x-5x+6

49. lim 50. lim 51. lim 52. lim

x- x2 x2 x2

x-x

x-3x+2

3x+1

9x-1

2x4+x-5x+2x

x-x

x+1 - x 53. lim 54. lim 55. lim 56. lim

x1 x-1/3 x0 x

x-4+x-8 x-2

x+2 - x+1

x+2 - x

x+1 - x 57. lim 58. lim 59. lim 60. lim

x2 x x x

x-5x+4 x-1

(x+x+1 x)

x-1

x+1

x+x

4x

61. lim 62. lim 63. lim 64. lim

x x x-1 x0

x+5x

x+5

x-5x+6

x-3

x+3 - 3 x

2x

x+1 1 65. lim 66. lim 67. lim 68. lim

x-5 x3 x0 x0

2-3+x x-1

2-x-3 x-49

7x

2 x

69. lim 70. lim 71. lim 72. lim

x1 x7 x x-7

log2 x

x+3x-10

3x-5x-2

3-5+x

1-5-x

x+h - x com x>0 h

73. lim 74. lim 75. lim 76. lim

x2 x2 x4 h0

10

x-2x+6 - x+2x-6 x-4x+3

x log

x-2

x+5 -3 77. lim 78. lim 79. lim

x3 x8 x2

1+x -1 x

1+x+x -1 x

x-5x+6 - x

8t-27

4t -9

80. lim 81. lim 82. lim 83. lim

x0 X0 x t 3/2

2-4-t t

x+1 3 x-8

2x

x+1 1

x-25

x+5

84. lim 85. lim 86. lim 87. lim

t0 X8 x0 x-5

x+x

4x

X+5x

x+5

x-5x+6

x-3

x+3 - 3 x

88. lim 89. lim 90. lim 91. lim

x0 X-5 x3 x0

1+2x 3

x - 2

x+3x+1

92. 93. lim 94. 95. lim

X4 x1

4x5+2x

4-x+2x-1

2x+3x-5

x-x-12

x-4

x4-x

x-x

96. lim 97. lim 98. lim

x+ x4 x1

a-1

a-1

5x-6x+3x

x-x+3x

4x-2x+x

3x+2x

x+3x-10

3x-5x-2

99. lim 100 lim 101 lim 102. lim

a1 x0 x0 X2

2x+1 3

x-2 - 2

1+x 1 x

x-2

x+5 - 3

a+3a-10a

a-2a

103. lim 104. lim 105. lim 106 lim

x4 x0 x2 a2

11

n-3n+1

4n+1

3x-x+3

5+x-2x

x+2x+3 x

x-4+x-8 x-2

107. lim 108. lim 109. lim 110. lim

n+ x+8 x x2

x4-3x+x-3x

2x-6

1+x 1 x

1+x - 1 x

111. lim 112. lim 113. lim

x3 x0 x+

x-4x+4

x-2

x-x-2x

x-3x+2

x-p x-p

115. lim 116. lim 117. 118. lim

x2 x2 xp

x-1

x-1

2x-7

5x+x

x-7x+12x

x+2x

(x+2x+5 x) 119. lim 120. lim 121. lim 122. lim

x1 x x0 x

4x+6x+3

x-5

123. lim

x

GABARITO DAS 123 QUESTES 1) 2/5 2) 2 3) 0 4) 0 5) 1 6) 1 7) 8) 3/2 9) 1 10) 1 11) 12) 3/2 13) 0 14) 15) 1 16) 0

17) 18) 0 19) 72 20) 2 21) 2 22) 0 23) 0

24) 25) 2 26) 27) 1/56 28) 3/8 29) 6/5 30) 0

31) 32) 27

33) 4

34) 35) 1 36) 6 37) 2/5 38) 0 39) 2 40) 1 41) 2 42) 1 43) 1 44) 3 45) 9 46) 729

47) 48)

49) 0 50) 2/3 51) 2 52) 0 53) 1 54) 1/2 55) 2 56) 0

57) 58) 0 59) 0 60) 0 61) 1 62) 63) 2 64)

65) 5 66) 1

67) 3 / 6 68) 4 69) -1/4 70) 1/56

71) 72) 1/128 73) 74) 1 75) 1/3

76) 1/2 x 77) 1/3 78) 1 79) 3/2 80)

81) 82) 5/2

83) 32 / 2 84) 85) 1/6 86) 4 87) 10 88) 89) 5 90) 1

91) 3/6 92) 93) 4/3 94)

95) 5

96) +

12

97) 7 98) 1 99) 3 100) 1 101)

102) 1

103) 22 /3 . 104) 105) 3/2

106) 7 107) 108) 3/2 109) 1

110) +

111) 15 112) 113) 0 114) 115) 0

116) 6 117) 118) 1,5p 119) 120) 2

121) 6 122) 1

123) 2

REVISO MATEMTICA BSICA ESTUDO LIMITES

1) Multiplicao de monmio por polinmio.

2x(x2-x+3) Multiplicamos o monmio (2x) por todos os termos do polinmio. Teremos ento:

2x3-2x

2+6x

Faa:

2

1

2

2

xx

2) Multiplicao de polinmio por polinmio

(x+3).(x-2)= Multiplica-se cada termo de 1 polinmio por todos os termos do 2 polinmio. Por produzir-se os termos semelhantes. Termos ento: x

2-2x+3x ; x

2+x-6

Dispositivo prtico: 2

3

x

x

3

52 2

x

xx

1

4

x

x

3) Diviso de polinmios

Seja efetuar: (2x3+x

2-x-1):(x-1)=

Passos: a) Determina-se o 1 quociente: 2x3: x = 2x

2

b) Aps determinado o 1 termo do quociente (2x2), multiplica-se o mesmo pelo divisor (x-1):

2x2(x-1)=(2x

3-2x

2)

c) A seguir, subtrai-se o produto obtido do dividendo: 2x3+x

2 x -1 -(2x

3-2x

2)

*Para facilitar os clculos, aconselhvel colocar o produto obtido, na hora de se efetuar a subtrao, sem os parmetros,

mas, logicamente, com os sinais de todos os termos trocados.

-2x3+2x

2 em lugar de: -(2x

3-2x

2)

d) Procede-se da mesma forma com os demais termos do quociente, que vai se formando. RESPOSTA: quociente: 2x

2+3x+2 Resto: 1

RESOLVA: *(x2-5x+6):(x-2)= *(2x

3-x

2+x-2):(x-1)= *(x

2-4):(x+2)=

*(x2+3x+2):(x+1)= *(x

3-6x

2+11x-6):(x-3)= *(x

2-7x+10):(x-2)=

*Espero que voc tenha encontrado resto zero em cada diviso.

4) Quadrado da soma de dois termos. (a+b)2 =

O quadrado da soma de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro termo

pelo seguindo termo, mais o quadrado do segundo termo. Teremos ento: a2+2ab+b

2

Resolva: (2a+b)2=

5) Quadrado da diferena de dois termos: (a-b)

2 =

O quadrado da diferena de dois termos igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro

termo pelo seguindo termo, mais o quadrado do segundo termo. Teremos ento: a2-2ab+b

2 Resolva: (2a-b)

2=

13

6) Produto da soma pela diferena de dois termos. (a+b).(a-b)

igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Teremos ento: a2-b

2 Resolva:

(2a+b).(2a-b)= (3+ 2 ).(3- 2 )=

7) O cubo da soma de dois termos. (a+b)3 igual ao cubo do primeiro termo, mais 3 vezes o quadrado do primeiro

termo multiplicado pelo segundo termo, mais trs vezes o primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, mais o cubo do segundo termo. Logo, teremos: a

3+3a

2b+3ab

2+b

3

RESOLVA: (a+x)3=

(a+2)

3=

8) Cubo da diferena de dois termos. (a-b)3

O cubo da diferena de dois termos. igual ao cubo do primeiro termo, menos 3 vezes o quadrado do primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, mais trs vezes o primeiro termo multiplicado pelo quadrado do segundo termo, menos

o cubo do segundo termo. Logo, teremos: a3-3a

2b+3ab

2-b

3

RESOLVA: (a-x)3=

(a-2)

3=

9) Fatorao Transformao de uma expresso algbrica num produto de fatores algbricos. 1 Caso: Fator comum Evidenciao. (ax+ay)= Coloca-se em evidncia o(s) fator(es) comum(ns). No caso, temos a como fator comum. Logo, fatorando teremos: a(x+y) Fatore: m

2x-3x+ax= 6x

2-x=

2 Caso: Trinmio quadrado perfeito.

Um trinmio quadrado perfeito, se e somente se: - Existirem dois termos cuja raiz quadrada exata;

- O terceiro termo for igual ao duplo produto das razes quadradas dos outros dois termos. Neste caso, se o terceiro termo

for positivo, trata-se do quadrado da soma e se for negativo, trata-se do quadrado da diferena.

Seja fatorar: a2+2ab+b

2= a

2-2ab+b

2= x

2-6x+9= x

2+6x+9=

3 Caso: Diferena de dois quadrados. (x

2-a

2)=

O produto da soma de dois termos (x+a) pela diferena dos mesmos termos (x-a) resulta na diferena do quadrado do

primeiro termo e do quadrado do segundo termo. Logo, teremos: x2-a

2 FATORE: (a

2-b

2)= (a

2-9)=

(4x2-1)=

4 Caso: Soma de Cubos:

x3+y

3=(x+y).(x

2-xy+y

2) a

3+b

3 = 8a

3+27y

3

5 Caso: Diferena de cubos:

x3-y

3=(x-y).(x

2+xy+y

2)

a3-b

3= x

3-1= m

3-n

3=

8a3-27y

3=

14

6 Caso: Forma do segundo grau ou fatorao pelo trinmio do segundo grau. Fatorao vlida para polinmios da

forma: ax2+bx+c, com a = 1 Forma do segundo Grau: (x-a).(x-b)

Seja fatorar: x2-5x+6; extrai-se as razes do polinmio atravs da frmula:

Teremos: (x-2).(x-3)

FATORE: x2+3x+2 x

2-7x+10

10) Racionalizao de denominadores: Transformao do denominador de um nmero irracional para racional.

1 Caso: Denominador com radical de ndice 2.

2

5Multiplica-se o numerador e o denominador pelo fator racionalizante. Ento, basta fazer: .......___.

2

5

Racionalize: 5

3

3

4

2 Caso: Denominador com radical de ndice diferente de dois.

3

3

x

3 7

2

3 45

1

3 Caso: Denominador uma soma ou diferena de dois termos, sendo pelo menos um dos termos o radical.

Multiplica-se pelo conjugado para racionalizar.

25

5

25

4

23

5

11) Introduo de fatores no radical: 5 yx 5 xyx

12) Dividir numerador e denominador por (x-a)

13) Dividir tudo por x;x2;etc