Apostila Marinha Mercante Matemtica

7/29/2019 Apostila Marinha Mercante Matemtica

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MATEMÁTICA

CONJUNTO

Relação de Pertinência

Essa relação é utilizada quando comparamos conjunto com elementos. Quando queremos dizer que um elementoqualquer está dentro de um conjunto ou que ele não está no conjunto, dizemos que ele pertence ou não pertence a essedeterminado conjunto, veja o exemplo:

Dado conjunto A = {-8, -4, -2, 0, 1, 2, 3}, podemos dizer que - 4 A ( - 4 pertence a A) e que 5 A ( 5 não pertence a A)

EXEMPLOCada aluno da classe tem uma mesma propriedade: estar na sala de aula. Assim, ao falarmos neste conjuntoestabelecemos a possibilidade de averiguar se uma pessoa pertence ou não a ele. O conceito básico da teoria dosconjuntos é a relação de pertinência representada pelo símbolo . As letras minúsculas designam os elementos de umconjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é:

V = {a, e, i, o, u}

• A relação de pertinência é expressa por: a V, pois o elemento a pertence ao

conjunto V.• A relação de não-pertinência é expressa por: b V, pois o elemento b não pertence

ao conjunto V.

Representação de um conjunto

Para representar um conjunto pode-se escrever, entre chaves, todos os elementos que pertencem ao conjunto, comofoi demonstrado anteriormente o conjunto V, ou então expressá-lo graficamente com um diagrama de Venn. Osconjuntos são representados por curvas fechadas e, em seu interior, os elementos, por pontos.

Formação de um conjuntoUm conjunto pode ser definido de duas maneiras:

• Enumerando todos os elementos do conjunto:

S = {1, 3, 5, 7, 9}

• Expressando uma ou mais propriedades que se verificam para todos os seus elementose somente para eles:S = {números ímpares de um algarismo} Podemos representá-lo assim:B = {x S | x tem a propriedade P}; (lê-se: x pertence ao conjunto S tal que x possui

a propriedade P).O conjunto B é formado por todos os elementos de S que possuem a propriedade P.

Sendo N o conjunto dos números naturais:

B = {x N | x < 8}

Enumerando-se os elementos de B temos:

B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Conjunto vazio

É aquele que não contém nenhum elemento e é representado matematicamente por ou por duas chaves { } em quenão se escreve nada dentro.

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Subconjuntos de um conjuntoQuando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a outro conjunto B, dizemos que:

• A é um subconjunto de B• ou então que ... A é uma parte de B• ou então que ... A está incluído em B e escrevemos:

A B

Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, diremos então que A não está incluído em B.

CardinalidadeSe A é um subconjunto de B, então A tem uma cardinalidade não superior à de B. Quando B é finito e A é umsubconjunto próprio de B, então a cardinalidade de A é inferior à de B. Se B é um conjunto infinito, tem subconjuntospróprios com a mesma cardinalidade de B. O conjunto de todos os subconjuntos de B chama-se o conjunto de partesde B. Subconjunto é um conjunto dentro de um outro conjunto.

Exemplos• O conjunto vazio é um subconjunto de qualquer conjunto.• O conjunto {1,2} tem quatro subconjuntos: o conjunto vazio, {1}, {2} e {1,2}.• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números inteiros, com a mesma

cardinalidade.• O conjunto dos números naturais é um subconjunto próprio do conjunto dos números reais, com cardinalidade

inferior.

NotaçãoA notação de subconjunto não é padronizada. Existem duas notações para subconjunto:

indica, de forma não-ambígua, que A é um subconjunto de Bpode indicar que A é um subconjunto de B, ou pode indicar que A é um subconjunto próprio de B, ou

seja, queQuando for necessário explicitar que A é um subconjunto próprio de B, pode-se usar a notação

Analogamente, temos que:

Com os elementos B formamos o elemento H H -homens e M - mulheres. Dizemos que H e M são subconjuntos deB .Se um conjunto T de pessoas possui pelo menos uma pessoa não brasileira T não é subconjunto do conjunto B




Em certos problemas da Teoria dos Conjuntos, é preciso que se defina um conjunto que contenha todos os conjuntosconsiderados. Assim, todos os conjuntos trabalhados no problema seriam subconjuntos de um conjunto maior, que éconhecido como Conjunto Universo, ou simplesmente Universo.

Por exemplo: em um problema envolvendo conjuntos de números inteiros, o conjunto dos números inteiros é oConjunto Universo.

Operações com Conjuntos

Exemplo de interseção de conjuntos.

Interseção

Os elementos que fazem parte do conjunto interseção são os elementos comuns aos conjuntos relacionados.

Exemplo 1:Dados dois conjuntos A = {5,6,9,8} e B = {0,1,2,3,4,5}, se pedimos a interseção deles teremos:A∩ B = {5}, dizemos que A “inter” B é igual a 5.

Exemplo 2:Dados os conjuntos B = {-3, -4, -5, -6} e C = {-7, -8, -9}, se pedirmos a interseção deles teremos:

B ∩ C = { } ou B ∩ C = , então B e C são conjuntos distintos.




Exemplo 3:Dados os conjuntos D = {1,2,3,4,5} e E = {3,4,5}. A interseção dos conjuntos ficaria assim:E ∩ D = {3,4,5} ou E ∩ D = E, pode ser concluído também queE D.

União

Conjunto união são todos os elementos dos conjuntos relacionados.

Exemplo 1:

Dados os conjuntos A = { x | x é inteiro e -1 < x < 2} e B = {1,2,3,4} a união desses dois conjuntos é :A U B = {0,1,2,3,4}

Exemplo 2:Dados os conjuntos A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5} a união desses conjuntos é:A U B = {1,2,3,4,5}, nesse caso podemos dizer que A U B = B.

Diferença entre dois conjuntos.

Dados dois conjuntos A e B chama-se conjunto diferença ou diferença entre A e B o conjunto formado peloselementos de A que não pertencem a B.

O conjunto diferença é representado por A – B.

Exemplo 1:A = {1,2,3,4,5} e B = {3,4,5,6,7} a diferença dos conjuntos é:A – B = {1,2}

Exemplo 2:A = {1,2,3,4,5} e B = {8,9,10} a diferença dos conjuntos é:A – B = {1,2,3,4,5}

Exemplo 3:A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5}a diferença dos conjuntos é:

A – B =




Exemplo 4:Dados os conjuntos A = {1,2,3,4,5,6} e B = {5,6}, a diferença dos conjuntos é:A – B = {1,2,3,4}. Como B A podemos escrever em forma de complementar:

A – B = A B = {1,2,3,4}.

Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntosnuméricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber: Conjunto dos números naturaisN = {0,1,2,3,4,5,6,... } Conjunto dos números inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Obs: é evidente que N d Z.

Conjunto dos números racionais

Q = {x; x = p/q com p 0 Z , q 0 Z e q … 0 }. Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na formade uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existedivisão por zero! São exemplos de números racionais: 2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc.Notas: a) é evidente que N d Z d Q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escreveruma dízima periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9 _

Conjunto dos números irracionaisI = {x; x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais:Π = 3,1415926... (número pi = razão entre ocomprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica) √ 3 =1,732050807... (raiz não exata).

Conjunto dos números reais

R = { x; x é racional ou x é irracional}. Notas: a) é óbvio que N d Z d Q d R b) I d R c) I cQ = R d) um número real éracional ou irracional, não existe outra hipótese!

Intervalos numéricos

Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p eq , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamadaamplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. Atabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.




A história nos mostra que desde muito tempo o homem sempre teve a preocupação em contar objetos e ter registrosnuméricos. Seja através de pedras, ossos, desenhos, dos dedos ou outra forma qualquer, em que procurava abstrair anatureza por meio de processos de determinação de quantidades.

E essa procura pela abstração da natureza foi fundamental para a evolução, não só, mas também, dos conjuntosnuméricos. E é sobre eles que passamos a dissertar.

Conjunto dos Números Naturais

Como decorrência da necessidade de contar objetos surgiram os números naturais que é simbolizado pela letra N e éformado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:

N = {0; 1; 2; 3; …}

Um subconjunto de N muito usado é o conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja N - {0} = conjuntos dosnúmeros naturais positivos, que é representado por N*.

Observações:

• Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação;• Isto é fato pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta

propriedade é conhecida como fechamento da operação;• Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação)

para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N. Veja o artigo Produtos Notáveis paramaiores detalhes sobre essas propriedades, no caso da multiplicação, onde o conjunto universo considerado éo dos números reais, que abordaremos mais abaixo, e que são válidas para N;

• Em N a subtração não é considerada uma operação, pois se a diferente de zero pertence a N o simétrico -a nãoexiste em N.

Como conseqüência, surge um novo conjunto para atender essa necessidade.

Conjunto dos Números Inteiros

Chama-se o conjunto dos números inteiros, representado pela letra Z, o seguinte conjunto:

Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}

No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos notáveis que possuem notação própria para representá-los:

1. Conjunto dos inteiros não negativos: Z+ = {0; 1; 2; 3; …};2. Conjunto dos inteiros não positivos: Z- = {…; -3; -2; -1; 0};3. Conjunto dos inteiros não nulos: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …};4. Conjunto dos inteiros positivos Z+* = {1; 2; 3; …};5. Conjunto dos inteiros negativos Z-* = {…; -3; -2; -1}.

Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjunto de Z.

Observações:

• No conjunto Z, além das operações e suas propriedades mencionadas para N, vale a propriedade simétrico ou

oposto para a adição. Isto é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0;• Devido a este fato podemos definir a operação de subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b pertencente a

Z;




• Note que a noção de inverso não existe em Z. Em outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente de 1 e de -1, 1/q não existe em Z;

• Por esta razão não podemos definir divisão no conjunto dos números inteiros;• Outro conceito importante que podemos extrair do conjunto Z é o de divisor. Isto é, o inteiro a é divisor do

inteiro b - simbolizado por b | a - se existe um inteiro c tal que b = ca;• Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos um ponto

de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e à sua direita os inteirospositivos, separados por intervalos de mesmo comprimento;

• Cada ponto da reta orientada é denominado de abcissa;• Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou valor absoluto: |x| = x se x >= 0 e |x| = -x se x < 0, para

todo x pertencente a Z. Como decorrência da definição temos que |x| >= 0 para qualquer número inteiro.

Conjunto dos Números Racionais

O conjunto dos números racionais, simbolizado pela letra Q, é o conjunto dos números que podem ser escritos naforma de uma fração p/q, com p e q inteiros quaisquer e q diferente de zero:

Como todo número inteiro pode ser escrito na forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem também para o

conjuntos dos números racionais as notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), Q+ (conjunto dosnúmeros racionais não negativos) e Q- (conjunto dos números racionais não positivos).

Observações:

• São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros;• Além disso é válida a propriedade simétrico ou inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b pertencente

a Q, a/b diferente de zero, existe b/a em Q tal que (a/b)(b/a) = 1;• Decorre da propriedade acima que é possível definir a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):

(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;• Todo número racional p/q pode ser escrito como um número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma

dízima periódica (1/3 = 0,333…).

Números Irracionais

Como o próprio nome sugere um número irracional é todo número não racional, isto é, todo número que não pode serescrito na forma de uma fração p/q, onde p e q são inteiros e q diferente de zero.

São exemplos de números irracionais a raiz quadrada de 2 e a raiz cúbica de 3, ou seja, nenhum deles pertence a Q.

A título de ilustração vamos demonstrar, pela teoria do absurdo, que a raiz quadrada de 2 não pertence a Q.

Suponhamos que raiz quadrada de 2 é racional e admitamos que possa ser escrita como uma fração irredutível a/b, b

diferente de zero:

Da expressão acima concluímos que a ao quadrado é par e que, portanto, a é par. Logo a = 2m, com m inteiro.Substituindo o valor de a na expressão anterior vem que:

Da mesma forma obtemos que b também é par, o que é um absurdo pois a/b é irredutível, ou seja, a e b são primosentre si, e portanto têm como divisor comum apenas o número 1, isto é, mdc(a,b) = 1.

Caso deseje obter maiores informações sobre as operações com números irracionais consulte os artigos publicados noblog na categoria Matemática.




Conjunto dos Números Reais

O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é o formado por todos os números racionais e por todos osnúmeros irracionais:

R = {x | x é racional ou x é irracional}

Desse modo todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais sãosubconjuntos de R.

Da mesma forma destacamos três outros subconjuntos de R: R* = conjunto dos reais não nulos, R+ = conjunto dosreais não negativos e R- = conjunto dos reais não positivos.

Conjunto dos Números Complexos

O conjunto dos números complexos, simbolizado pela letra C, foi criado para dar sentido às raízes de índice par denúmeros negativos, com a definição da unidade imaginária i igual a raiz quadrada de -1, e são constituídos deelementos na forma a + bi, onde a e b são reais. Desse fato temos que R está contido em C.

RELAÇÕESProduto cartesiano

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, escrito A X B, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a,b), em que o primeiro elemento a pertence a A e o segundo elemento b pertence a B.

Simbolicamente, podemos escrever:

A X B = {(a, b)| a A, b B}

Se A = {1, 2} e B = {x, y, z}, então:

A X B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}O conjunto A X B tem 2 X 3 = 6 elementos.

Em geral, se A tem a elementos e B tem b elementos, A X B tem a X b elementos, isto é:

se n(A) = a e n(B) = b, temos que n(A X B) = a X b.

É importante salientar que os pares ordenados recebem estes nomes por se constituírem de 2 elementos em que éfundamental a ordem na qual se apresentam.

No exemplo, o par (1, x) pertence a A X B. Mas o mesmo não acontece com o par (x, 1), que pertenceria ao produtoB X A.

É por isso que se afirma que o produto cartesiano não tem a propriedade comutativa. Elepode ser representado de várias formas, como indica a Figura 7, ao lado:

• Com um diagrama de flechas.• Com um diagrama cartesiano.• Com um diagrama em árvore.As propriedades do produto cartesiano são as seguintes:

Propriedade associativa:(A X B) X C = A X (B X C) = A X B X C

A X =

A X B = se, e somente se, A = ou B = Se C eA X C = B X C, então: A = B




Produto cartesiano exemplo

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto formado por todos os paresordenados cuja primeira coordenada seja pertencente a A, e a segunda coordenada seja pertencente a B. O simbolo doproduto cartesiano é . Matematicamente:

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de pares ordenados:

A soma ou união disjunta de dois conjuntos A e B é o conjunto

.

• O produto cartesiano é não-comutativo: .• Quem desenvolveu o conceito de produto cartesiano foi o matemático Descartes, quando desenvolvia a

geometria analítica. Ele enunciou, por exemplo, que o produto cartesiano definido por dois conjuntos denúmeros reais R (imagine os eixos das abcissas e ordenadas num gráfico) é igual a um plano.

Número de elementos da união de dois conjuntos

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B).

Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. Representando onúmero de elementos da interseção A 1 B por n(A 1 B) e o número de elementos da união A c B por n(A c B) ,podemos escrever a seguinte fórmula: n(A c B) = n(A) + n(B) - n(A c B)

Uma relação binária R sobre dois universos A e B é

RELAÇÃO BINÁRIA

Uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre dois conjuntos A e B. Isto é,uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A×A pode ser chamado simplesmente derelação binária em A.

Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados onde cada primeiro elemento∈ ∈pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto é, para cada par (a,b), a A e b B. Então exatamente

uma das seguintes afirmativas é verdadeira:

• ∈(a,b) R: dizemos que “a é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.• ∈(a,b) R: dizemos que “a não é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.

O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado que pertence a R. Aimagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a

imagem é um subconjunto de B.

Exemplos:

• Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z} , e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A para B, umavez que R é um subconjunto de A x B. Com respeito a esta relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz,3Rx, 3Rz. O domínio de R é {1.3} e a imagem é {y.z}.

• ∈Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de igualdade, {(a,a); a A}, que éusualmente denotada por =. Essa relação é também chamada de identidade ou relação diagonal em A e serátambém denotado por δ.




Uma relação binária R também pode ser definida como um trio ordenado (A, B, G) onde A e B são conjuntosarbitrários, e G é um subconjunto do produto cartesiano A×B. Os conjuntos A e B são chamados de domínio ecodomínio da relação, respectivamente, e G é chamado de grafo.

A notação final corresponde a visualizar R como uma Função indicadora do conjunto de pares G. A ordem de cadapar de G é importante: se a ? b, então aRb pode ser verdadeiro ou falso independentemente de bRa o ser.

Exemplos

• Numa relação P definida por

ou seja, P = {(2,0), (1, 1), (0, 2)}, P(0,2) é verdadeiro, já P(-1,3) é falso;

• As relações de igualdade e diferença: a = a e b ? c;• Suponha que existam 4 objetos: {carro, bola, boneca, bala} e quatro pessoas {João, Maria, Marcos, Pedro}.

Suponha que João tem a bola, Maria tem a boneca, e Pedro tem o carro. Ninguém tem a bala e Marcos não temnada.Então a relação binária R "pertence a" é dada como R = ({bola, carro, boneca, bala}, {João, Maria, Marcos,Pedro}, {(bola, João), (boneca, Maria), (carro, Pedro)}).

Tipos de relações binárias⊆Dada uma relação R A×B, podemos classificá-la como:

• Relação total

Ou seja, todo elemento de A se relaciona com algum de B.

• Relação sobrejetora

É o inverso da total, todo elemento de B é relacionado com algum de A.

•

Relação funcional

Ou seja, um elemento de A não pode se relacionar com mais de um elemento de B.

• Relação injetora:

O contrário da funcional: um elemento de B não pode ser relacionado com dois ou mais elementos de A diferentes.

Uma relação é dita um monomorfismo se ela é total e injetora. Uma relação é dita um epimorfismo se ela é funcionale sobrejetora. Uma relação é dita um isomorfismo se ela é um monomorfismo e um epimorfismo.

Operações em relações binárias

Relações inversas

Seja R uma relação qualquer A×B. A inversa de R, denotada por R-1, é a relação de B×A consiste nos paresordenados que, quando têm sua ordem revertida, pertencem a R, isto é,

Por exemplo, a inversa da relação R = {(1, y), (1, z), (3, y)} é a seguinte: R-1 = {(y, 1), (z, 1), (y, 3)}.

Claramente, (R-1)-1 = R. Além disso o domínio e a imagem de R-1 são, respectivamente, iguais à imagem e ao

domínio de R. Ademais, se R é uma relação em A, então R-1 também é uma relação em A.




Composição de relações

⊆ ⊆Relacionar elementos de A com elementos de B é destacar um subconjunto de AxB. Dadas R1 A×B e R2 B×C:

⋅A composição das relações R1 com R2, denotado por R2 R1, é a relação

∃ ∈ ∈ ∈ ⊆{(a,c): ( b B), com (a,b) R1 e (b,c) R2} A×C

Exemplo: Sejam os conjuntos

A = {a, b, c}; B = {c, d, e} e C = {a, e}; e as relações R1 = {(a,c), (a,e), (b,c), (c,d)} e R2 = {(c,a), (d,a), (d,e), (e,e)}.

⋅Então R2 R1 = {(a,a), (a,e), (b,a), (c,a). (c,e)}.

Composição de Relações e Matrizes

⋅Existe uma outra maneira de determinar R S. Sejam Mr e Ms, respectivamente, as matrizes da relação R e S. Então,

Multiplicando-se Mr e Ms, obtemos a matriz

Os elementos não nulos dessa matriz nos mostram quais elementos estão relacionados por R×S. Portanto, M = Mr Ms

⋅e Mr s têm os mesmos elementos não nulos.

Teorema: Sejam A, B, C e D conjuntos. Suponha que R é uma relação A×B, S é uma relação de B×C e T é uma⋅ ⋅ ⋅ ⋅relação de C×D. Então, (R S) T = R (S T). Ou seja, a composição de relações é associativa.

⋅ ⋅ ⋅ ⋅Prova: Para demonstrar o teorema é necessário mostrar que cada par ordenado em (R S) T pertence a R (S T) evice-versa. Então:

⋅ ⋅Suponha que (a,d) pertence a (R S) T.∈ ⋅ ∈Então, existe um c em C tal que (a,c) (R S) e (c,d) T.

∈ ⋅ ∈ ∈Como (a,c) (R S), existe b em B tal que (a,b) R e (b,c) S.∈ ∈ ∈ ⋅Como (b,c) S e (c,d) T, temos (b,d) (S T);

∈ ⋅ ∈ ⋅ ⋅como (a,b) R e (b,d) e S T, temos (a,b) R (S T).⋅ ⋅ ⊆ ⋅ ⋅Portanto, (R S) T R (S T).

⋅ ⋅ ⊆ ⋅ ⋅De modo similar, R (S T) (R S) T.⋅ ⋅ ⋅ ⋅Ambas as inclusões provam que (R S) T = R (S T).

Propriedades das relaçõesDada uma relação binária R sobre um conjunto A.

Considere a serviço de exemplo as seguintes cinco relações em um conjunto A = { 1, 2, 3, 4}:

R1 = {(1,1), (1,2), (2,3), (1,3), (4,4)};R2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)};R3 = {(1,3), (2,1)};

∅R4 = , a relação vazia;




FUNÇÕES

DIAGRAMAS DE VENN

Através de estudos relacionados à lógica, Jon Venn criou uma diagramação baseada em figuras no plano, esse método

consiste basicamente em círculos que possuem a propriedade de representar relações entre conjuntos numéricos.Também pode ser utilizado no estudo da Estatística, a fim de organizar e analisar dados colhidos em pesquisas deopinião. Geralmente usamos os seguintes modelos de diagramas:

Representação de conjunto únicoNúmeros Naturais (1, 2, 3, 4, 5, 6)

Relação entre dois conjuntos: A e B.A = (1, 2, 3, 4, 5, 6)B = (5, 6, 7, 8, 9, 10)

SímbolosU = união∩ = intersecção

A U B = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)A∩ B = (5, 6)

Relação entre três conjuntos: A, B e C.

A = (3, 4, 5, 6, 7, 8)B = (4, 6, 8, 10, 12)C = (1, 2, 3, 4, 6, 10)A U B = (3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 12)A U C = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10)B U C = (1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12)A∩ B = (4, 6, 8)A∩ C = (3, 4, 6)C ∩ B = (4, 6, 10)




Podemos observar através dos exemplos que os diagramas representam de uma forma prática e eficiente as relaçõesde união e de intersecção entre os conjuntos numéricos. Eles podem ser usados na representação de quaisquerconjuntos, no intuito de estabelecer uma melhor demonstração e compreensão dos elementos pertencentes aoconjunto.

Funções sobrejetoras, injetoras e bijetorasOs tipos de funções podem ser classificados de acordo com o seu comportamento com relação à regra uma únicasaída para cada entrada. Como não foi dito nada sobre as entradas, ou se as saídas tem que ser únicas temos queresolver estas ambigüidades. Ao fazer isto encontramos apenas três tipos de classes de funções ( classe como emclassificação' não classe de equivalência):

Funções injectoras (ou injectivas)

São funções em que cada elemento da imagem (da saída) está associado a apenas um elemento do domínio (da

entrada), isto é uma relação um para um entre os elementos do domínio e da imagem. Isto é, quando no

domínio então no contradomínio. A cardinalidade do contra-domínio é sempre maior ou igual à dodomínio em uma função injectora. Ressalta-se portanto que podem haver mais elementos no contra-domínio que noconjunto imagem da função. Exemplo:




Funções sobrejetoras (ou sobrejetiva)

Uma função em que todos os elementos do contra-domínio (da saída) estão associados a algum elemento do domínio(da entrada). Em outras palavras, isso significa que o conjunto imagem é igual ao conjunto contra-domínio

Funções bijetoras (ou bijetiva)

Se for sobrejetora e injetora, isto é, se todos os elementos do domínio estão associados a todos os elementos do

contra-domínio de forma um para um e exclusiva.

Funções compostas

A função composta é uma lei que relaciona diretamente os elementos do conjunto A com os do conjunto C, neste casorepresentada por f(g(x)).

São as funções em que o conjunto imagem de uma função f(x) serve de domínio para uma outra função g(x), que porsua vez gera um conjunto imagem A. A função composta é uma expressão que, dado um determinado número do

domínio de f(x), nos leva diretamente ao conjunto imagem A. Exemplo: Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = x - 1,uma função composta pode ser g(f(x)) = 2x + 2. Existem várias maneiras de se criar funções compostas. Podemosfazer f(g(x)), f(f(x)) etc. Note que o conjunto imagem de uma função serve sempre de domínio para a outra.

Função inversaSomente as funções bijetoras apresentam inversa, pois qualquer número do domínio tem um único correspondente nocontra-domínio (injetora) e este tem todos os seus valores relacionados uma única vez (sobrejetora). Assim, podemosestabelecer uma relação inversa, transformando o contra-domínio em domínio, e o domínio em contra-domínio deuma função. A expressão que representa essa troca é chamada de função inversa, e é representada por f -1(x). Ex:




1.

2.

3.4.

5. Portanto,

Gráficos de função

Gráfico

O gráfico de uma função é o conjunto dos pares ordenados em da forma , ou seja:

ou equivalentemente:

os termos deste par ordenado são chamados de abcissa e ordenada.

Uma função é determinada pelo seu gráfico e pela especificação do conjunto de chegada. Assim, se duas funções têmo mesmo gráfico, uma poderá ser sobrejetiva e a outra não. No entanto, a injectividade de uma função écompletamente determinada pelo gráfico.

Embora o conceito de gráfico esteja relacionado ao conceito de desenho, pode-se falar do gráfico de funções emespaços de dimensão infinita. Um importante teorema da análise funcional é o teorema do gráfico fechado.

Gráfico em duas dimensões

]




Pontos marcados no plano cartesiano.

Uma das aplicações mais corriqueiras da idéia de gráfico de uma função é o traçado de uma curva sobre o planocartesiano de forma a explicitar as "principais" propriedades de uma função.

O gráfico de muitas funções reais específicas recebem nomes especiais. O gráfico de um função afim, ou polinômiodo primeiro grau, é chamado de reta; de um polinômio do segundo grau, de parábola; de um polinômio do terceiro

grau, de parábola cúbica; da função é uma catenária.

Como se caracteriza o domínio, contradomínio e imagem de uma função?

Como nem toda relação é uma função, às vezes, alguns elementos poderão não ter correspondentes associados paratodos os números reais e para evitar problemas como estes, costuma-se definir o Domínio de uma função f, denotadopor Dom(f), como o conjunto onde esta relação f tem significado.

Consideremos a função real que calcula a raiz quadrada de um número real. Deve estar claro que a raiz quadrada de -1 não é um número real, assim como não são reais as raízes quadradas de quaisquer números negativos, dessa forma

o domínio desta função só poderá ser o intervalo [0,), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os reais.

Como nem todos os elementos do contradomínio de uma função f estão relacionados, define-se a Imagem de f,denotada por Im(f), como o conjunto de todos os elementos do contradomínio que estão relacionados com elementosdo domínio de f, isto é:

Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }

Observe que, se uma relação R é uma função de A em B, então A é o domínio e B é o contradomínio da função e se xé um elemento do domínio de uma função f, então a imagem de x é denotada por f(x).

Exemplos: Cada função abaixo, tem características distintas.

f:RR definida por f(x)=x²Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,)

f:[0,2]R definida por f(x)=x²Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]

Resumindo: f(x)=y; onde y é a imagem; x é o domínio.

f:A em B; onde B é o contra domínio, e a é o domínio.

Observe o diagrama a seguir:




Chamemos esta função de f, logo o conjunto de pares ordenados serão:

f={(1,2),(2,3),(3,4)}

O conjunto X={1,2,3} denomina-se domínio da função f.

D(F)=X

O conjunto Y={1,2,3,4,5} denomina-se contradomínio da função f.

C(F)=Y

Dizemos que 2 é a imagem de 1 pela função f.

f(1)=2

Ainda, f(2)=3 e f(3)=4.

Logo o conjunto das imagens de f e dado por:

Im(f)={2,3,4}

Determinação de função:

Observe:

1) Associe cada elemento de X com o seu consecutivo:

2) Associe cada elemento de X com a sua capital.

3) Determine o conjunto imagem de cada função:

a) D(f) = {1,2,3}y = f(x) = x + 1

[Sol] f(1) = 1+1 = 2f(2) = 2+1 = 3f(3) =3+1 = 4

Logo: Im(f)={2,3,4}

b) D(f) = {1,3,5}y = f(x) = x²

[Sol] f(1) = 1² = 1

f(3) = 3² = 9f(5) = 5² = 25

Logo: Im(f)={1,9,25}




A importância do estudo de função não é restrita apenas aos interesses da matemática, mas colocado em prática outrasciências, como a física e a química.Na matemática, o estudo de função é dividido basicamente em:►Características, tipos e elementos de uma função.►Função do primeiro grau.►Função do segundo grau.

Nem sempre percebemos, mas estamos em contato com as funções no nosso dia-a-dia, por exemplo:

Quando assistimos ou lemos um jornal, muitas vezes nos deparamos com um gráfico, que nada mais é que umarelação, comparação de duas grandezas ou até mesmo uma função, mas representada graficamente.Para que esse gráfico tome forma é necessário que essa relação, comparação seja representada em uma função naforma algébrica.

Para dar início ao estudo de função é necessário que tenha o conhecimento de equações, pois todo o desenvolvimentoalgébrico de uma função é resolvido através de equações.

Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras.

Função INJETORA é quando todo elemento do conjunto domínio é transformado em um elemento do conjuntoimagem não coincidente, mas ficam sobrando alguns do conjunto imagem sem ninguém, digamos assim. Exemplo:

f: A---> B, A = {abacate, caminhonete verde, alface}; B = {fruta, meio de transporte, hortaliça, vestuário, material deescritório}

Função SOBREJETORA é quando um ou mais de um elemento do conjunto domínio é transformado em um únicoelemento do conjunto imagem, e não sobra ninguém do conjunto imagem. Exemplo:

f: A---> B, A = {abacate, caminhonete verde, alface, beterraba}; B = {verde, vermelho}

Função BIJETORA é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. Exemplo:

f: A---> B, A = {abacate, caminhonete verde, alface}; B = {fruta, meio de transporte, hortaliça}

1 - FUNÇÃO INVERSA

Dada uma função f : A ® B , se f é bijetora , então define-se a função inversa f -1 como sendo a função de B em A ,tal que f -1 (y) = x .

Veja a representação a seguir:

É óbvio então que:a) para obter a função inversa , basta permutar as variáveis x e y .




b) o domínio de f -1 é igual ao conjunto imagem de f .c) o conjunto imagem de f -1 é igual ao domínio de f .d) os gráficos de f e de f -1 são curvas simétricas em relação à reta y = x ou seja , à bissetriz do primeiro quadrante .

Exemplo:Determine a INVERSA da função definida por y = 2x + 3.Permutando as variáveis x e y, fica: x = 2y + 3Explicitando y em função de x, vem:2y = x - 3 \ y = (x - 3) / 2, que define a função inversa da função dada.

O gráfico abaixo, representa uma função e a sua inversa.Observe que as curvas representativas de f e de f-1, são simétricas em relação à retay = x, bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes.

Exercício resolvido:A função f: R ® R , definida por f(x) = x2 :a) é inversível e sua inversa é f -1 (x) = Ö x

b) é inversível e sua inversa é f -1(x) = - Ö xc) não é inversíveld) é injetorae) é bijetora

SOLUÇÃO:Já sabemos que somente as funções bijetoras são inversíveis, ou seja, admitem função inversa. Ora, a função f(x) =x2, definida em R - conjunto dos números reais - não é injetora, pois elementos distintos possuem a mesma imagem.Por exemplo,f(3) = f(-3) = 9. Somente por este motivo, a função não é bijetora e, em conseqüência, não é inversível.

Observe também que a função dada não é sobrejetora, pois o conjunto imagem da função f(x) = x2 é o conjunto R +dos números reais não negativos, o qual não coincide com o contradomínio dado que éigual a R. A alternativa correta é a letra C.

FUNÇÃO COMPOSTA E INVERSA

Chama-se função composta ( ou função de função ) à função obtida substituindo-se a variável independente x , poruma função.

Simbologia : fog (x) = f(g(x)) ou gof (x) = g(f(x)) .

Veja o esquema a seguir:




Obs : atente para o fato de que fog ¹ gof , ou seja, a operação " composição de funções " não é comutativa .

Exemplo:Dadas as funções f(x) = 2x + 3 e g(x) = 5x, pede-se determinar gof(x) e fog(x).Teremos:gof(x) = g[f(x)] = g(2x + 3) = 5(2x + 3) = 10x + 15fog(x) = f[g(x)] = f(5x) = 2(5x) + 3 = 10x + 3Observe que fog ¹ gof .

Exercícios resolvidos:

1 - Sendo f e g duas funções tais que: f(x) = ax + b e g(x) = cx + d . Podemos afirmar que a igualdade gof(x) = fog(x)ocorrerá se e somente se:a) b(1 - c) = d(1 - a)b) a(1 - b) = d(1 - c)c) ab = cdd) ad = bce) a = bc

Teremos:

fog(x) = f[g(x)] = f(cx + d) = a(cx + d) + b \ fog(x) = acx + ad + bgof(x) = g[f(x)] = g(ax + b) = c(ax + b) + d \ gof(x) = cax + cb + d

Como o problema exige que gof = fog, fica:acx + ad + b = cax + cb + d

Simplificando, vem:ad + b = cb + dad - d = cb - b \ d(a - 1) = b(c - 1), que é equivalente a d(a - 1) = b(c - 1), o que nos leva a concluir que a alternativacorreta é a letra A. .

2 - Sendo f e g duas funções tais que fog(x) = 2x + 1 e g(x) = 2 - x então f(x) é:a) 2 - 2xb) 3 - 3xc) 2x - 5*d) 5 - 2xe) uma função par.

SOLUÇÃO:Sendo fog(x) = 2x + 1, temos: f[g(x)] = 2x + 1Substituindo g(x) pelo seu valor, fica: f(2 - x) = 2x + 1Fazendo uma mudança de variável, podemos escrever 2 - x = u, sendo u a nova variável. Portanto, x = 2 - u.

Substituindo, fica:f(u) = 2(2 - u) + 1 \ f(u) = 5 - 2uPortanto, f(x) = 5 - 2x , o que nos leva à alternativa D.




Agora resolva esta:

Dadas as funções f(x) = 4x + 5 e g(x) = 2x - 5k, ocorrerá gof(x) = fog(x) se e somente se k for igual a:*a) -1/3b) 1/3c) 0d) 1e) -1

FUNÇÃO DO 1º GRAUUma função é dita do 1º grau , quando é do tipo y = ax + b , onde a ¹ 0 .Exemplos :f(x) = 3x + 12 ( a = 3 ; b = 12 )f(x) = -3x + 1 (a = -3; b = 1).

Propriedades da função do 1º grau :

1) o gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma reta .

2) na função f(x) = ax + b , se b = 0 , f é dita função linear e se b ¹ 0 f é dita função afim .Nota: consta que o termo AFIM foi introduzido por Leonhard Euler (pronuncia-se óiler) - excepcional matemáticosuíço - 1701/1783).3) o gráfico intercepta o eixo dos x na raiz da equação f(x) = 0 e, portanto, no ponto deabcissa x = - b/a .4) o gráfico intercepta o eixo dos y no ponto (0 , b) , onde b é chamado coeficiente linear .5) o valor a é chamado coeficiente angular e dá a inclinação da reta .6) se a > 0 , então f é crescente .7) se a < 0 , então f é decrescente .8) quando a função é linear, ou seja, y = f(x) = ax , o gráfico é uma reta que sempre passa na origem.

Exercício resolvido:

1 - Determine a função f(x) = ax + b, sabendo-se que f(2) = 5 e f(3) = -10.

SOLUÇÃO:Podemos escrever:5 = 2.a + b-10 = 3.a + b

Subtraindo membro a membro, vem:5 - (- 10) = 2.a + b - (3.a + b)15 = - a \ a = - 15

Substituindo o valor de a na primeira equação (poderia ser na segunda), fica:5 = 2.(- 15) + b \ b = 35.Logo, a função procurada é: y = - 15x + 35.




Agora resolva esta:A função f é definida por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(-1) = 3 e f(3) = 1, então podemos afirmar que f(1) éigual a:*a) 2b) -2c) 0d) 3e) -3

FUNÇÃO DO 2º GRAU

Uma função é dita do 2º grau quando é do tipo f(x) = ax2 + bx + c , com a ¹ 0 .Exemplos: f(x) = x2 - 2x + 1 ( a = 1 , b = -2 , c = 1 ) ;y = - x2 ( a = -1 , b = 0 , c = 0 )

Gráfico da função do 2º grau y = ax2 + bx + c : é sempre uma parábola de eixo vertical .

Propriedades do gráfico de y = ax2 + bx + c :

1) se a > 0 a parábola tem um ponto de mínimo .2) se a < 0 a parábola tem um ponto de máximo3) o vértice da parábola é o ponto V(xv , yv) onde:xv = - b/2ayv = - D /4a , onde D = b2 - 4ac4) a parábola intercepta o eixo dos x nos pontos de abcissas x' e x'' , que são as raízes daequação ax2 + bx + c = 0 .5) a parábola intercepta o eixo dos y no ponto (0 , c) .6) o eixo de simetria da parábola é uma reta vertical de equação x = - b/2a.7) ymax = - D / 4a ( a < 0 )8) ymin = - D /4a ( a > 0 )9) Im(f) = { y Î R ; y ³ - D /4a } ( a > 0 )

10) Im(f) = { y Î R ; y £ - D /4a} ( a < 0)11) Forma fatorada : sendo x1 e x2 as raízes da de f(x) = ax2 + bx + c , então ela pode ser escrita na forma fatorada aseguir :y = a(x - x1).(x - x2)

Exercícios Resolvidos

1 - UCSal - Sabe-se que -2 e 3 são raízes de uma função quadrática. Se o ponto(-1 , 8) pertence ao gráfico dessa função, então:a) o seu valor máximo é 1,25b) o seu valor mínimo é 1,25c) o seu valor máximo é 0,25

d) o seu valor mínimo é 12,5*e) o seu valor máximo é 12,5.




SOLUÇÃO:Sabemos que a função quadrática, pode ser escrita na forma fatorada:y = a(x - x1)(x - x2) , onde x1 e x2, são os zeros ou raízes da função.

Portanto, poderemos escrever:y = a[x - (- 2 )](x - 3) = a(x + 2)(x - 3)y = a(x + 2)(x - 3)

Como o ponto (-1,8) pertence ao gráfico da função, vem:8 = a(-1 + 2)(-1 - 3)

8 = a(1)(-4) = - 4.aDaí vem: a = - 2

A função é, então: y = -2(x + 2)(x - 3) , ou y = (-2x -4)(x - 3)y = -2x2 + 6x - 4x + 12y = -2x2 + 2x + 12

Temos então: a = -2 , b = 2 e c = 12.Como a é negativo, concluímos que a função possui um valor máximo.Isto já elimina as alternativas B e D.

Vamos então, calcular o valor máximo da função.D = b2 - 4ac = 22 - 4 .(-2).12 = 4+96 = 100

Portanto, yv = - 100/4(-2) = 100/8 = 12,5Logo, a alternativa correta é a letra E.

2 - Que número excede o seu quadrado o máximo possível?*a) 1/2b) 2c) 1d) 4e) -1/2

SOLUÇÃO:Seja x o número procurado.O quadrado de x é x2 .O número x excede o seu quadrado , logo: x - x2.Ora, a expressão anterior é uma função quadrática y = x - x2 .

Podemos escrever:y = - x2 + x onde a = -1, b = 1 e c = 0.O valor procurado de x, será o xv (abcissa do vértice da função).

Assim,xv = - b / 2.a = - 1 / 2(-1) = 1 / 2Logo, a alternativa correta é a letra A .

Função modular, exponencial e logarítmica.

Toda função definida pela lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0, é denominada função logarítmica de basea. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números reais maiores que zero e ocontradomínio, o conjunto dos reais.

Exemplos de funções logarítmicas:

f(x) = log2xf(x) = log3xf(x) = log1/2xf(x) = log10xf(x) = log1/3x




f(x) = log4xf(x) = log2(x – 1)f(x) = log0,5x

Determinando o domínio da função logarítmica

Dada a função f(x) = (x – 2)(4 – x), temos as seguintes restrições:

1) 4 – x > 0 → – x > – 4 → x < 42) x – 2 > 0 → x > 23) x – 2 ≠ 1 → x ≠ 1+2 → x ≠ 3

Realizando a intersecção das restrições 1, 2 e 3, temos o seguinte resultado: 2 < x < 3 e 3 < x < 4.Dessa forma, D = {x Є R / 2 < x < 3 e 3 < x < 4}

Gráfico de uma função logarítmica

Para a construção do gráfico da função logarítmica devemos estar atentos a duas situações:

a > 1

0 < a < 1

Para a > 1, temos o gráfico da seguinte forma:Função crescente

Para 0 < a < 1, temos o gráfico da seguinte forma:Função decrescente




Características do gráfico da função logarítmica, y = logax

O gráfico está totalmente à direita do eixo y, pois ela é definida para x > 0.

Intersecta o eixo das abscissas no ponto (1,0), então a raiz da função é x = 1.

Note que y assume todos as soluções reais, por isso dizemos que a Im(imagem) = R.

Através dos estudos das funções logarítmicas, chegamos à conclusão de que ela é uma função inversa da exponencial.Observe o gráfico comparativo a seguir:

Podemos notar que (x,y) está no gráfico da função logarítmica se o seu inverso (y,x) está na função exponencial demesma base.

Função exponencial

Dizemos que uma função é exponencial quando a variável se encontra no expoente de um número real, sendo queesse número precisa ser maior que zero e diferente de um. Podemos explicitar tal condição usando a seguintedefinição geral:

f: R→R tal que y = ax, sendo que a > 0 e a ≠ 1.

O gráfico de uma função exponencial é definido de acordo com o valor da base a, observe os dois gráficos a seguir:

a > 0 0 < a < 1




A função exponencial é caracterizada pelo crescimento e decrescimento muito rápido, por isso é muito utilizada naMatemática e em outras ciências correlacionadas com cálculos, como: Química, Biologia, Física, Engenharia,Astronomia, Economia, Geografia, entre outras. Na Matemática, serve para demonstrar o crescimento de um capitalaplicado a uma determinada taxa de juros compostos. Na Química está diretamente ligada ao decaimento radioativo,na Biologia se apresenta em situações envolvendo o crescimento de bactérias em uma colônia. Usada também naGeografia no intuito de determinar o crescimento populacional.

O gráfico de uma função exponencial permite o estudo de situações que se enquadram em uma curva de crescimentoou decrescimento, sendo possível analisar as quantidades relacionadas à curva, por isso os Psicólogos e Educadores

utilizam-se da exponencial a fim de demonstrarem as curvas de aprendizagem.Em razão dessa propriedade, a função exponencial é considerada uma importante ferramenta da Matemática,abrangendo diversas situações cotidianas e contribuindo de forma satisfatória na obtenção de resultados que exigemuma análise quantitativa e qualitativa.

Aplicações de uma Função ExponencialExemplo 1

Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela expressão:N(t) = 1200*20,4t

Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 19200 bactérias?

N(t) = 1200*20,4t

N(t) = 19200

1200*20,4t = 19200

20,4t = 19200/120020,4t = 1620,4t = 24

0,4t = 4t = 4/0,4t = 10 h

A cultura terá 19200 bactérias após 10 h.

Exemplo 2

A quantia de R$ 1200,00 foi aplicada durante 6 anos em uma instituição bancária a uma taxa de 1,5% ao mês, nosistema de juros compostos.a) Qual será o saldo no final de 12 meses?b) Qual será o montante final?

M = C(1+i)t (Fórmula dos juros compostos) onde:C = capitalM = montante finali = taxa unitáriat = tempo de aplicação

a) Após 12 meses.




ResoluçãoM = ?C = 1200i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária)t = 12 meses

M = 1200(1+0,015)12M = 1200(1,015) 12M = 1200*(1,195618)

M = 1.434,74Após 12 meses ele terá um saldo de R$ 1.434,74.

b) Montante finalResoluçãoM = ?C = 1200i = 1,5% = 0,015 (taxa unitária)t = 6 anos = 72 meses

M = 1200(1+ 0,015)72M = 1200(1,015) 72M = 1200(2,921158)M = 3.505,39Após 6 anos ele terá um saldo de R$ 3.505,39

Exemplo 3

Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura , em função do temo t, medido em horas, é dado porB(t) = 2t/12. Qual será o número de bactérias 6 dias após a hora zero?

6 dias = 6 * 24 = 144 horas

B(t) = 2t/12B(144) = 2144/12B(144) = 212

B(144) = 4096 bactérias

A cultura terá 4096 bactérias.

Função modular

Estabelecemos uma função através da relação entre duas grandezas (duas incógnitas), sendo que uma incógnita serádependente e essa terá que estar relacionada com apenas um valor que será a incógnita independente.

Seguindo essa definição, será considerada função modular toda função onde essa incógnita dependente estiver dentro

de módulos. Veja exemplos de funções modulares:

f(x) = |x| ou y = |x|, onde y incógnita independente e x incógnita dependente.




f(x) = |x -1|

f(x) = |x – 3| + 2

f(x) = x2|x|

Considerando a definição de módulo de um número real, podemos definir função modular como sendo:

Função modular é toda função dos reais para os reais, escrita pela lei f(x) = |x|, sendo caracterizada da seguinte forma:

f(x) = x, se x ≥ 0-x, se x < 0

Exemplo 1:

Construa o gráfico de função modular f(x) = |2x2 – 4x|. Aplicando a definição de módulo, teremos:f(x) = 2x2 – 4x se 2x2 – 4x ≥ 0

-(2x2 – 4x) se -2x2 + 4x < 0

2x2 – 4x ≥ 02x2 – 4x = 0x’ = 0x” = 2

-2x2 + 4x < 0-2x2 + 4x =0x’ = 0x” = 2

A união dos dois gráficos, considerando a definição de módulo, formará o gráfico da função f(x) = |2x2 – 4x|.




Inicialmente definimos módulo de um número real como |x| , ou valor absoluto de x.

Entende-se módulo como: , assim o significado destas sentenças é:

i) o módulo de um número real não negativo é o próprio número.ii) o módulo de um número real negativo é o oposto do número.

Exemplo:

1| = 1 , |–3| = 3 , |+5| = 5, – | – 1| = –1.

Conseqüências importantes:

Função Modular é aquela que associa a cada elemento x real um elemento |x|

Para que o conceito de função fique claro adotamos a notação de uma função f(x) = |x|, como sendo:

Sendo que o gráfico de f(x) = |x| é semelhante ao gráfico de f(x) = x, sendo que a parte negativa do gráfico será“refletida” sempre para um f(x) positivo.




Um outro exemplo para uma função modular seria a função modular do 2º grau ,

sendo f(x) = |x2 – 4| , assim : , assim temos o gráfico:

4 - PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS

Podemos definir progressão geométrica, ou simplesmente P.G., como uma sucessão de números reais obtida, comexceção do primeiro, multiplicando o número anterior por uma quantidade fixa q, chamada razão.

Podemos calcular a razão da progressão, caso ela não esteja suficientemente evidente, dividindo entre si doistermos consecutivos. Por exemplo, na sucessão (1, 2, 4, 8,...), q = 2.

Cálculos do termo geral

Numa progressão geométrica de razão q, os termos são obtidos, por definição, a partir do primeiro, da seguintemaneira:

a1 a2 a3 ... a20 ... an ...

a1 a1xq a1xq2 ... a1xq19 a1xqn-1 ...Assim, podemos deduzir a seguinte expressão do termo geral, também chamado enésimo termo, para qualquerprogressão geométrica.

an = a1 x qn-1Portanto, se por exemplo, a1 = 2 e q = 1/2, então:

an = 2 x (1/2)n-1Se quisermos calcular o valor do termo para n = 5, substituindo-o na fórmula, obtemos:

a5 = 2 x (1/2)5-1 = 2 x (1/2)4 = 1/8A semelhança entre as progressões aritméticas e as geométricas é aparentemente grande. Porém, encontramos a

primeira diferença substancial no momento de sua definição. Enquanto as progressões aritméticas formam-sesomando-se uma mesma quantidade de forma repetida, nas progressões geométricas os termos são gerados pela

multiplicação, também repetida, por um mesmo número. As diferenças não param aí.Observe que, quando uma progressão aritmética tem a razão positiva, isto é, r > 0, cada termo seu é maior que oanterior. Portanto, trata-se de uma progressão crescente. Ao contrário, se tivermos uma progressão aritmética com




razão negativa, r < 0, seu comportamento será decrescente. Observe, também, a rapidez com que a progressão cresceou diminui. Isto é conseqüência direta do valor absoluto da razão, |r|. Assim, quanto maior for r, em valor absoluto,maior será a velocidade de crescimento e vice-versa.

Soma dos n primeiros termos de uma PG

Seja a PG (a1, a2, a3, a4, ... , an , ...) . Para o cálculo da soma dos n primeiros termos Sn, vamos considerar o quesegue:Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an-1 + an

Multiplicando ambos os membros pela razão q vem:

Sn.q = a1 . q + a2 .q + .... + an-1 . q + an .qConforme a definição de PG, podemos reescrever a expressão como:Sn . q = a2 + a3 + ... + an + an . q

Observe que a2 + a3 + ... + an é igual a Sn - a1 . Logo, substituindo, vem:Sn . q = Sn - a1 + an . q

Daí, simplificando convenientemente, chegaremos à seguinte fórmula da soma:

Se substituirmos an = a1 . qn-1 , obteremos uma nova apresentação para a fórmula da soma, ou seja:

Exemplo:

Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,2,4,8,...)Temos:

Observe que neste caso a1 = 1.

5 - Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada

Considere uma PG ILIMITADA ( infinitos termos) e decrescente. Nestas condições, podemos considerar que nolimite teremos an = 0. Substituindo na fórmula anterior, encontraremos:

Exemplo:Resolva a equação: x + x/2 + x/4 + x/8 + x/16 + ... =100

O primeiro membro é uma PG de primeiro termo x e razão 1/2. Logo, substituindo na fórmula, vem:

Dessa equação encontramos como resposta x = 50.

Interpolação

Em matemática, denomina-se interpolação o método que permite construir um novo conjunto de dados a partir de umconjunto discreto de dados pontuais previamente conhecidos.

Em engenharia e ciência, dispõe-se habitualmente de dados pontuais obtidos a partir de uma amostragem ou de umexperimento. Tal conjunto de dados pontuais (também denominado conjunto degenerado) não possui continuidade, eisto muitas vezes torna demasiado irreal a representação teórica de um fenômeno real empiricamente observado.




Através da interpolação, pode-se construir uma função que aproximadamente se "encaixe" nestes dados pontuais,conferindo-lhes, então, a continuidade desejada.

Outra aplicação da interpolação é a aproximação de funções complexas por funções mais simples. Suponha quetenhamos uma função, mas que seja complicada demais para que seja possível avaliá-la de forma eficiente. Podemos,então, escolher alguns dados pontuais da função complicada e tentar interpolá-los com uma função mais simples.Obviamente, quando utilizamos a função mais simples para calcular novos dados, normalmente não se obtém omesmo resultado da função original, mas dependendo do domínio do problema e do método de interpolação utilizado,o ganho de simplicidade pode compensar o erro.

A interpolação permite fazer a reconstituição (aproximada) de uma função, bastando para tanto conhecer apenasalgumas das suas abscissas e respectivas ordenadas (imagens no contra-domínio da função). A função resultantegarantidamente passa pelos pontos fornecidos, e, em relação aos outros pontos, pode ser considerada um mero ajuste.

Exemplo de interpolação polinomial de grau superior a 1.

Fórmula do termo geral de uma progressão aritméticaA fórmula do termo geral de uma progressão aritmética é expressa da seguinte forma:

O valor de qualquer termo é igual ao anterior mais a constante.

• O valor do segundo termo é igual ao primeiro mais a constante:

• O valor do terceiro termo é igual ao segundo mais a constante:

, portanto:




• O valor do quarto termo é igual ao terceiro mais a constante:

, portanto:

• Como o número multiplicado pela constante é sempre a posição do termo menos 1, temos a fórmula:

Outra fórmula útil expressa o n-ésimo termo em função do m-ésimo termo:

Soma dos termos de uma progressão aritmética

A soma dos termos dos extremos é igual à soma dos termos eqüidistantes deles

A soma dos primeiros termos de uma progressão aritmética não infinita, a partir do primeiro, é calculada pelaseguinte fórmula:

A soma dos termos entre e é:

Diz a lenda que Gauss apercebeu-se desta fórmula na escola primária e utilizou-a para calcular imediatamente a somados números inteiros de 1 a 100. Ao apresentar sua resposta, o professor disse ser impossível o garoto ter realizado atarefa em tão pouco tempo e duvidou da resposta de Gauss. O garoto só foi levado a sério no final da aula, quando osoutros alunos obtiveram a resposta. Dizem também que Gauss chegou a ser punido fisicamente por questionar oprofessor[1].

• Expresse a p.a. de duas maneiras:

• Adicione os dois lados da equação. Todos os termos envolvendo r se cancelam, e então ficamos com:

• Rearranjando e se lembrando que an = a1 + (n − 1)r, nós temos:

.




Interpolação AritméticaÉ a ação de inserir ou interpolar uma quantidade de meios aritméticos entre extremos de uma progressão aritmética. Afórmula utilizada é:

Onde:

an = Último termo da P.A.ak = Primeiro termo da P.A.

n = Número total de termos da P.A.k = Índice do primeiro termo da P.A.r = Razão da P.A.

Tipos de progressões aritméticas

Progressão aritmética constante

Uma progressão aritmética constante ou estacionária é toda progressão aritmética em que todos os termos são iguais,sendo que para isso a razão r tem que ser sempre igual a zero.

Exemplos de progressão aritmética constante:• P.A. (5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5,...) - razão r = 0• P.A. (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,...) - razão r = 0

Progressão aritmética crescente

Uma progressão aritmética crescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é maiorque o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre maior que zero (r>0).

Exemplos de progressão aritmética crescente:

• P.A. (2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,...) - razão r = 2• P.A. (3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,...) - razão r = 3

• Progressão aritmética decrescenteUma progressão aritmética decrescente é toda progressão aritmética em que cada termo, a partir do segundo, é menorque o termo que o antecede, sendo que para isso a razão r tem que ser sempre menor do que zero (r<0).

Exemplos de progressão aritmética decrescente:• P.A. (6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,-12,-14,-16,-18,-20,-22,-24,-26,-28,...) - razão r = -2• P.A. (6,3,0,-3,-6,-9,-12,-15,-18,-21,-24,-27,-30,-33,-36,-39,-42,...) - razão r = -3

Trigonometria e aplicações

Introduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no triângulo retângulo, assunto comum naoitava série do Ensino Fundamental. Também dispomos de uma página mais aprofundada sobre o assunto tratado noâmbito do Ensino Médio.

A trigonometria possui uma infinidade de aplicações práticas. Desde a antiguidade já se usava da trigonometria paraobter distâncias impossíveis de serem calculadas por métodos comuns.




Algumas aplicações da trigonometria são:

Determinação da altura de um certo prédio.

Os gregos determinaram a medida do raio de terra, por um processo muito simples.seria impossível se medir a distância da Terra à Lua, porém com a trigonometria se torna simples.Um engenheiro precisa saber a largura de um rio para construir uma ponte, o trabalho dele é mais fácil quandoele usa dos recursos trigonométricos.Um cartógrafo (desenhista de mapas) precisa saber a altura de uma montanha, o comprimento de um rio, etc.Sem a trigonometria ele demoraria anos para desenhar um mapa.

Tudo isto é possível calcular com o uso da trigonometria do triângulo retângulo.

Triângulo Retângulo

É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triânguloretângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°, então os outros doisângulos medirão 90°.

Observação: Se a soma de dois ângulos mede 90°, estes ângulos são denominados complementares, portantopodemos dizer que o triângulo retângulo possui dois ângulos complementares.

Para ver mais detalhes sobre triângulos clique aqui.

Lados de um triângulo retângulo

Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes especiais. Estes nomes são dados de acordo com a posição em

relação ao ângulo reto. O lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa. Os lados que formam o ângulo reto (adjacentes aele) são os catetos.

Termo Origem da palavra

CatetoCathetós:

(perpendicular)

HipotenusaHypoteinusa:

Hypó(por baixo) + teino(eu estendo)




Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotaremos as seguintes notações:

Letra Lado Triângulo Vértice = Ângulo Medida

a Hipotenusa A = Ângulo reto A=90°

b Cateto B = Ângulo agudo B<90°

c Cateto C = Ângulo agudo C<90°

Para ver mais detalhes sobre ângulos clique aqui.

Nomenclatura dos catetos

Os catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posição em relação ao ângulo sob análise. Se estivermosoperando com o ângulo C, então o lado oposto, indicado por c, é o cateto oposto ao ângulo C e o lado adjacente aoângulo C, indicado por b, é o cateto adjacente ao ângulo C.

Ângulo Lado oposto Lado adjacente

C c cateto oposto b cateto adjacente

B b cateto oposto c cateto adjacente

Um dos objetivos da trigonometria é mostrar a utilidade do conceitos matemáticos no nosso cotidiano. Iniciaremosestudando as propriedades geométricas e trigonométricas no triângulo retângulo. O estudo da trigonometria é extensoe minucioso.

Propriedades do triângulo retângulo

1. Ângulos: Um triângulo retângulo possui um ângulo reto e dois ângulos agudos complementares.2. Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que

são os catetos.

3. Altura: A altura de um triângulo é um segmento que tem uma extremidade num vértice e a outra extremidadeno lado oposto ao vértice, sendo que este segmento é perpendicular ao lado oposto ao vértice. Existem 3alturas no triângulo retângulo, sendo que duas delas são os catetos. A outra altura (ver gráfico acima) é obtidatomando a base como a hipotenusa, a altura relativa a este lado será o segmento AD, denotado por h eperpendicular à base.




A hipotenusa como base de um triângulo retângulo

Tomando informações da mesma figura acima, obtemos:

1. o segmento AD, denotado por h, é a altura relativa à hipotenusa CB, indicada por a.2. o segmento BD, denotado por m, é a projeção ortogonal do cateto c sobre a hipotenusa CB, indicada por a.3. o segmento DC, denotado por n, é a projeção ortogonal do cateto b sobre a hipotenusa CB, indicada por a.

Projeções de segmentos

Introduziremos algumas idéias básicas sobre projeção. Já mostramos, no início deste trabalho, que a luz do Sol aoincidir sobre um prédio, determina uma sombra que é a projeção oblíqua do prédio sobre o solo.

Tomando alguns segmentos de reta e uma reta não coincidentes é possível obter as projeções destes segmentos sobrea reta.

Nas quatro situações apresentadas, as projeções dos segmentos AB são indicadas por A'B', sendo que no último casoA'=B' é um ponto.

Projeções no triângulo retângulo

Agora iremos indicar as projeções dos catetos no triângulo retângulo.

1. m = projeção de c sobre a hipotenusa.2. n = projeção de b sobre a hipotenusa.3. a = m+n.

4. h = média geométrica entre m e n. Para saber mais, clique sobre média geométrica.

Relações Métricas no triângulo retângulo

Para extrair algumas propriedades, faremos a decomposição do triângulo retângulo ABC em dois triângulosretângulos menores: ACD e ADB. Dessa forma, o ângulo A será decomposto na soma dos ângulos CÂD=B eDÂB=C.




Observamos que os triângulos retângulos ABC, ADC e ADB são semelhantes.

Triângulo hipotenusa cateto maior cateto menor

ABC a b c

ADC b n h

ADB c h mAssim:

a/b = b/n = c/h

a/c = b/h = c/mb/c = n/h = h/m

logo:

a/c = c/m equivale a c² = a.ma/b = b/n equivale a b² = a.na/c = b/h equivale a a.h = b.ch/m = n/h equivale a h² = m.n

Existem também outras relações do triângulo inicial ABC. Como a=m+n, somando c² com b², obtemos:

c² + b² = a.m + a.n = a.(m+n) = a.a = a²que resulta no Teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

A demonstração acima, é uma das várias demonstrações do Teorema de Pitágoras.

Funções trigonométricas básicas

As Funções trigonométricas básicas são relações entre as medidas dos lados do triângulo retângulo e seus ângulos. Astrês funções básicas mais importantes da trigonometria são: seno, cosseno e tangente. O ângulo é indicado pela letrax.

Função Notação Definição

seno sen(x)

medida do cateto oposto a x

medida da hipotenusa

cosseno cos(x)

medida do cateto adjacente a x

medida da hipotenusa

tangente tan(x)

medida do cateto oposto a x

medida do cateto adjacente a x

Tomando um triângulo retângulo ABC, com hipotenusa H medindo 1 unidade, então o seno do ângulo sob análise é oseu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo é o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do ângulo analisadoserá a razão entre seno e cosseno desse ângulo.




sen(x)=

CO

H

=

CO

1

cos(x)=

CA

H

=

CA

1

tan(x)=

CO

CA

=

sen(x)

cos(x)

Relação fundamental: Para todo ângulo x (medido em radianos), vale a importante relação:

cos²(x) + sen²(x) = 1

Redução ao 1º quadrante

Redução ao 1º quadrante é achar o ângulo correspondente a um outro ângulo do 2º, 3º ou 4º quadrante. É útil, poisnos permite encontrar o seno e o cosseno de um número real qualquer, em termos daquele outro número real quedetermina um arco no primeiro quadrante.

Por exemplo:Seja x um ângulo de 150º. Esse ângulo se localiza no 2º quadrante. Se eu quiser calcular o sen150º, basta fazer umaredução ao 1º quadrante, e achar o seno do seu correspondente no 1º quadrante. Como o seno é positivo no 1º e 2ºquadrante, o sen150º poderá ser facilmente encontrado pela fórmula:sen(180º-150º) = sen30º = 1/2logo, sen150º = sen30º = 1/2

Seja agora um ângulo de 240º, e deseja-se calcular o cos240º. A redução ao 1º quadrante para ângulos do 3º quadrantesegue a fórmula:sen(π+x) =senx180+x=240x = 60ºcos60º = 1/2Como o sinal do cos é negativo no 3º quadrante,sen240º = -cos60º = -1/2

De forma geral:

Do 2º para o 1º quadrante:sen(π-x) = senxcos(π-x) = -cosx

Do 3º para o 1º quadrante:

sen(π+x) = -senxcos(π+x) = -cosx

Do 4º para o 1º quadrante:sen(2π-x) = -senxcos(2π-x) = cosx

Se vc já aprendeu seno da soma e cosseno da somade 2 ângulos, essas fórmulas ficam fáceis de aprender:sen(a+b) = sena.cosb+senb.cosaSe a=180º e b= 45º:

sen(180+45) = sen225 = sen180.cos45+sen45.cos180Como sen180 = 0 e cos180 = -1sen225 = 0.cos45+sen45.(-1) = -sen45 = -√ 2/2




GRÁFICOS

Trigonométricas - Exemplo 1A figura ao lado mostra gráficos da função seno para

diferentes valores do coeficiente A (amplitude),mantendo fixo o valor de B (freqüência) e C (fase).Quais os valores de A, B e C utilizados para gerar asfunções da figura?

O que poderia ser feito para gerar uma figura simétria aesta com relação ao eixo horizontal?

Trigonométricas - Exemplo 2As funções trigonométricas têm a particularidade deserem cíclicas, ou seja, repetem-se a intervalos regularesde seu domínio. À taxa de repetição (de qualquer coisa, enão só dos valores da função), damos o nome defreqüência.Você consegue determinar a taxa de repetição dasfunções na figura ao lado?

Trigonométricas - Exemplo 3As funções seno e coseno são muito parecidas. A figuraao lado mostra que são idênticas a menos de um

"deslocamento" horizontal - mova a função coseno (emazul) para a direita que ela acaba superpondo-secompletamente à função seno (em vermelho).Este deslocamento também é conhecido como fase. Afase pode ser controlada alterando-se o valor docoeficiente C.Qual o valor da fase C que faz com que o gráfico dafunção coseno seja idêntico ao da função seno?




Trigonométricas - Exemplo 4A figura ao lado mostra um ciclo completo da funçãoseno (em vermelho) e da função coseno (em azul).O intervalo que a função leva para se repetir (de x = 0 atéx = 8 para o seno e de x = -8 até x = 0 para o coseno nocaso da figura) é também conhecido como período dafunção, e está intimamente relacionado ao valor docoeficiente B (freqüência).Qual a relação matemática exata que existe entre o

período e a freqüência das funções trigonométricas?

Trigonométricas - Exemplo 5A figura ao lado explora a relação entre o intervalo de

repetição (período) e o valor do coeficiente B(freqüência) para a função seno.O valor do coeficiente A também foi variado parapermitir uma melhor visualização.Note a relação inversa entre a freqüência (valor de B) e operíodo (limites xmin e xmax)Qual a constante que relaciona o período à freqüência?

Trigonométricas - Exemplo 6O que mudou com relação ao exemplo anterior?Obtenha uma figura equivalente para a função coseno.




Trigonométricas - Exemplo 7A figura ao lado explora a relação entre o intervalo derepetição (período) e o valor do coeficiente B(freqüência) para a função coseno.Como você faria para gerar uma figura como estadeslocada para a direita (ou para a esquerda) de tal modoque o início (ou o fim) da curva em preto tocasse o eixovertical?

Trigonométricas - Exemplo 8A figura ao lado mostra gráficos das funções seno

(vermelho), coseno (azul) e tangente (preto).Você saberia dizer quais os coeficientes A, B e Cutilizados?Note que a função tangente é nula nos pontos em que afunção seno também é nula (x = -8, x = 0 e x = 8) e que"explode" para mais ou menos infinito quanto o coseno énulo (x = -4, x = 0 e x = 4)Qual o valor da tangente nos pontos em que os valores doseno e do coseno são iguais?

Trigonométricas - Exemplo 9Na figura ao lado estão três grupos de três gráficos cada:no grupo mais à esquerda meio ciclo da função tangenteé desenhado entre x = -7 e x = -5; no grupo central, entrex = -2 e x = 2; no grupo à direita, entre x = 3 e x = 9.Quais os valores do coeficiente B utilizados em cada

grupo?O que diferencia os elementos do mesmo grupo.




Resolução de triângulos quaisquer

1. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO DE BASE 10 CM E ÂNGULOS ADJACENTES À BASE DE75° E 45°.

Sejam dados a base AB e os ângulos adjacentes à base.

Primeiro transporte o ângulo de 75° para o vértice A.

Em seguida, transporte o ângulo de 45° para o vértice B, encontrando assim o vértice C do triângulo.

Temos então o triângulo ABC.




2. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO RETÂNGULO EQÜIVALENTE AO TRIÂNGULO DO EX. 1.

Seja a base AB a altura H do triângulo do exercício 1.

Levante por A uma perpendicular r à base AB.




Depois a partir de A, marque a altura H na reta r encontrando assim o vértice C.

Ligue B a C formando assim o triângulo ABC.

O triângulo ABC possui a mesma área que o triângulo do exercício 1.

Ele possui a mesma área porque as bases e as alturas são iguais e é um triângulo retângulo porque possue um ânguloreto CÂB.




3. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO OBTUSÂNGULO EQÜIVALENTE AO TRIÂNGULO DO EX. 2.

Seja a base AB e a altura do triângulo do exercício 2.

Levante por A uma reta r perpendicular à base AB.

Marque na reta r a altura H encontrando assim o ponto C.




Em seguida, trace por C uma reta s paralela à base do triângulo.

Marque um ponto C' qualquer na reta s e ligue-o ao vértice A.

Depois ligue C' ao vértice B.

O triângulo ABC' possui a mesma área que o triângulo do exercício 2 porque possui a mesma base e a mesma altura.




O triângulo ABC' é obtusângulo porque possui um ângulo obtuso.

4. ENCONTRAR O BARICENTRO, ORTOCENTRO, INCENTRO E CIRCUNCENTRO DO TRIÂNGULO DOEX. 1

BARICENTRO

Seja o triângulo ABC.

Ligue o vértice C ao ponto médio do lado oposto.




Depois ligue os outros dois vértices aos pontos médios do lado oposto. Na interseção estará o baricentro O1.

ORTOCENTRO


Levante por A uma perpendicular ao lado BC.

Levante pelos outros vértices perpendiculares a cada lado. Na interseção das perpendiculares marque o ortocentro O.




INCENTRO


Trace a bissetriz do ângulo CÂB (u).

Depois trace as bissetrizes dos outros dois ângulos. Na interseção encontrarás o Incentro O2.




Interseção de reta e circunferência

Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ouseja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhumponto em comum.

O valor dessa intersecção é a solução do sistema formado com a equação geral da reta e com a equação reduzida dacircunferência. Considerando a equação geral da reta ax+by+c = 0 e a equação reduzida da circunferência (x - a)2 +

(y - b)2 = R2.

Resolvendo o sistema é possível encontrar uma equação do segundo grau, analisando o seudescriminante∆ é possível determinar a posição da reta em relação à circunferência:

∆ > 0 reta secante à circunferência∆ = 0 reta tangente à circunferência∆ < 0 reta externa à circunferência.

Se o discriminante ∆ for maior ou igual à zero, para descobrir as coordenadas dos pontos é preciso terminar aresolução da equação do segundo grau.

Exemplo: Verifique se a circunferência (x+1)2 + y2 = 25 e a reta x + y – 6 = 0 possui algum ponto de intersecção.

Resolução:

x + y – 6 = 0 → equação 1(x+1)2 + y2 = 25 → equação 2

Escolhemos uma das duas equações e isolamos uma das incógnitas.

x + y – 6 = 0x = 6 – y

Substituímos o valor de x na equação 2.

(6 – y +1)2 + y2 = 25(-y + 7)2 + y2 = 25(-y)2 – 14y + 49 + y2 = 25y2 – 14y + 49 – 25 + y2 = 02y2 – 14y + 24 = 0 (: 2)

y2 – 7y + 12 = 0

∆ = b2 – 4ac∆ = (-7)2 – 4 . 1 . 12∆ = 49 – 48∆ = 1

Como o descriminante∆ é maior que zero sabemos que essa reta é secante à circunferência, agora para descobrir ovalor das coordenadas dos dois pontos pertencentes à circunferência é preciso terminar de resolver a equação.




Para y’= 4x = 6 – yx = 6 – 4x = 2

Para y’’ = 3x = 6 – y

x = 6 – 3x = 3

Portanto, os dois pontos que interceptam a circunferência são: (2,4) e (3,3).

Trace a mediatriz do lado BC.




Depois trace as mediatrizes dos outros lados. Na interseção das mediatrizes estará o circuncentro O3.

Todos os centros do triângulo:

5. CIRCUNSCREVER E INSCREVER UMA CIRCUNFERÊNCIA NO TRIÂNGULO O EX. 3.


trace as bissetrizes x, v e u.




Coloque o compasso na intersecção das bissetrizes (O2) e trace a circunferência inscrita.

Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta seca do compasso na interseção dasmediatrizes O3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita.

Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque a ponta seca do compasso na interseção dasmediatrizes O3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita.

Depois trace as mediatrizes de pelo menos dois lados w e y. Coloque aponta seca do compasso na interseção dasmediatrizes O3 e com abertura até um dos vértices do triângulo trace a circunferência circunscrita.




6. ENCONTRAR A RETA DE "EULER" DO TRIÂNGULO DO EX. 3.


Encontre o ortocentro, o baricentro e o circuncentro do triângulo.

Note que esses três centros do triângulo ficam alinhados.




Então trace agora uma reta que passe por esses três centros.

7. ENCONTRAR O TRIÂNGULO "ÓRTICO" DO TRIÂNGULO DO EX. 3


Trace as alturas s, r e t, encontrando assim o ortocentro.

Marque os pontos P, N, M na interseção das alturas com os lados.




O triângulo órtico é formado pelos pontos PMN.

8. CONSTRUIR O ARCO CAPAZ DE UM SEGMENTO E UM ÂNGULO DADOS.

Trace o segmento AB. Construa o ângulo (65° por exemplo) com vértice no ponto A ou B.

Trace a mediatriz do segmento AB.

Agora, trace o ângulo dado na extremidade e para o lado de baixo do segmento AB.




Trace uma reta perpendicular ao lado do ângulo em B, encontrando o ponto O onde a perpendicular corta a mediatriz.

Centre o compasso em O e com abertura OB ou OA trace o arco capaz do ângulo de 65°.

Veja na figura abaixo que foi escolhido aleatoriamente um ponto C do arco e dele partiram duas retas que passam porA e por B formando assim um ângulo ACB igual a 65°.

Veja na figura abaixo que o ponto C do arco que é o vértice do ângulo ACB foi deslocado para a esquerda. Verifique

que o ângulo permanece de igual valor (65°).

Conclui-se então, que este arco capaz é o lugar geométrico dos pontos que enxergam o segmento AB sob um ângulode 65°.




9. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO SENDO DADOS a, Â, b (3,0; 30 °; 4,5).

São dados o ângulo de 30°, o lado b e o lado a. Desenhe o lado AB.

Depois, coloque a ponta seca do compasso no vértice A, e com qualquer abertura trace um arco que corte AB noponto F. Coloque a ponta seca do compasso em F e com a mesma abertura corte o arco dado construindo assim oângulo de 60°. Construa a bissetriz do ângulo de 60° encontrando assim a reta r que passa pelo lado do triângulo.

Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte a reta r no pontoC.




Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte a reta r no pontoC.

Ligue C com B.

10. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO (RETÂNGULO E ISÓSCELES) SENDO DADO A ALTURA 3CM.

Seja h a altura do triângulo retângulo isósceles. Construa uma semi-reta Ar horizontal e na sua extremidade A levanteuma perpendicular s.




Coloque a ponta seca do compasso no vértice A e com abertura igual a 3 cm trace um arco que corte as duas semi-retas As e Ar. Marque o vértice B em As.

Marque o vértice C em Ar.

Temos então o triângulo ABC.

O triângulo ABC é retângulo isósceles.




11. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO EQUILÁTERO SENDO DADA A ALTURA 3 CM.

Seja a altura h do triângulo eqüilátero. Inicie traçando uma semi-reta vertical Mr.

Em seguida, marque na semi-reta Mr a partir de M a altura h dada, encontrando assim o vértice A do triângulo.

Depois, coloque a ponta seca do compasso no vértice A e com uma abertura qualquer trace um arco que corte a semi-reta Mr. Depois, com a mesma abertura no compasso, coloque a ponta seca onde o primeiro arco cortar a semi-retaMr e corte o arco anterior em dois pontos.




Em seguida, trace as bissetrizes dos ângulos, obtendo assim dois ângulos de 30°.

Agora, trace por M uma perpendicular à semi-reta Mr, encontrando assim os pontos B e C.

Temos então, o triângulo eqüilátero ABC.




Triângulo eqüilátero ABC de altura h.

12. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ISÓSCELES SENDO DADOS a, Â (3,0 ; 45°).

Seja o lado a e o seu ângulo oposto.

Desenhe o lado a encontrando assim os vértices B e C do triângulo.




Centre o compasso no vértice do ângulo de 45° e com abertura qualquer trace um arco que corte os dois lados doângulo.

Depois, com a mesma abertura, coloque a ponta seca do compasso no vértice B e trace um arco que corte o segmentoBC.

Depois coloque a ponta seca do compasso onde o arco cortou o ângulo e com abertura igual á corda trace um arco.




Em seguida, com a mesma abertura, coloque aponta seca do compasso onde o arco cortou o segmento BC e corte oarco.

Ligue o ponto B ao cruzamento dos arcos, transportando assim o ângulo de 45°.

Levante uma perpendicular ao lado do ângulo por B.




Construa a mediatriz do segmento BC, encontrando assim o centro do arco capaz.

Coloque a ponta seca no ponto O e com abertura OB ou OC trace o arco capaz.

Prolongue a mediatriz até o arco encontrando o vértice "A" do triângulo isósceles.




Temos então, o triângulo isósceles de lado a e ângulo oposto ao lado a igual a 45°.

13. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ESCALENO SENDO DADOS a, Â, b (3,0; 45°; 3,5).

Seja o ângulo de 45°, o lado b e o lado a do triângulo.

Desenhe o segmento BC (lado a).




Construa um arco (qualquer raio) com centro no vértice do ângulo dado e outro de mesmo raio com centro no pontoB.

Construa outro arco no ângulo dado, com raio igual à corda do arco. Em seguida, construa novamente o mesmo arcono arco feito em B.

Desta forma o ângulo de 45° foi transportado para o segmento AB.




Levante uma perpendicular ao lado do ângulo por B.

Trace a mediatriz do segmento BC.

Marque o centro O onde a mediatriz intersecta a perpendicular.




Com centro em C e abertura igual ao lado b, trace um arco que corte o arco de centro O nos pontos A e A'.

Temos então, dois triângulos ABC e A'BC de lados b, a e ângulo oposto ao lado a igual a 45°.

14. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, b, ma (7,0 ; 5,0 ; 3,5).

Seja o lado a, lado b e mediana do lado a do triângulo ABC. Trace o segmento BC (lado a).




Trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto Médio M.

Em seguida, trace um arco com centro em C e raio igual ao lado b do triângulo.

Depois, coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC (M) e com abertura igual à medida da mediana dolado a, trace um arco que corta o primeiro, encontrando assim o vértice A do triângulo.




Ligue o vértice C ao vértice A.

Depois ligue o vértice A ao vértice B.

Temos então o triângulo ABC de lados a e b e mediana ma.




15. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, ma, Â (6,5 ; 6,0 ; 45°).

Seja o segmento a, a mediana do lado a e o ângulo de 45°. Desenhe o segmento BC igual ao lado a.

Trace a mediatriz do segmento AB encontrando assim o seu ponto médio.

Em seguida, trace um arco que corte o ângulo e depois trace o mesmo arco colocando a ponta seca do compasso noponto B.




Em seguida, transporte o ângulo de 45° para o ponto B.

Em seguida, levante uma perpendicular ao lado do ângulo pelo ponto B. Onde a perpendicular intersectar a mediatrizserá o centro O.

Agora, coloque a ponta seca do compasso no centro O e com raio OA ou OB trace arco capaz do ângulo dado.




Em seguida, coloque a ponta seca do compasso no ponto médio do segmento AB e com abertura igual à medianatrace um arco que corte o arco capaz nos pontos A e A'.

Ligue os vértices A e A' aos vértices B e C obtendo assim os triângulos ABC e A',B,C.

Temos então os triângulos ABC e A'BC.




16. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, hb, ma (7,0 ; 5,0 ; 6,0).

Seja o lado a, a altura do lado b e a mediana do lado a. Desenhe segmento BC (lado a).

Em seguida, trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto médio de BC.

Coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC e com abertura igual à metade de BC trace um arco de180° (arco capaz do ângulo de 90°). Depois coloque a ponta seca do compasso em B e com abertura igual à hb traceum arco que corte o arco anterior.




Ligue os pontos B e C ao ponto onde o arco corta o anterior.

Depois, prolongue o cateto menor do triângulo. Coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC e comabertura igual à Ma trace um arco que corta a reta que passa por C no ponto A.

Em seguida, ligue o ponto B ao ponto A.




Temos então, o triângulo ABC.

17. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, ha, ma (6,0; 3,0; 5,0).

Seja o lado a, altura e medianas do lado a. Desenhe o lado a.

Seja BC o lado a.




Trace a mediatriz de BC encontrando assim o seu ponto médio Ma.

Trace uma paralela ao segmento BC a uma distância ha de BC.

Coloque a ponta seca do compasso no vértice B e com abertura igual à mediana ma trace um arco que corte a paralelanos pontos A e A'.




Ligue os vértices B e C aos pontos A e A' obtendo assim os triângulos ABC e A'BC.

18. CONSTRUIR UM TRIÂNGULO ABC SENDO DADOS a, mb, mc (7,0 ; 6,0 ; 7,0).

Seja o lado a, a mediana do lado b e a mediana do lado c.

Desenhe o segmento BC (lado a) e depois divida a mediana do lado b e a mediana do lado e em três partes iguais.




Coloque a ponta seca do compasso no vértice B e com abertura igual à 2/3 de mb trace um arco. Depois, coloque apontas eca no vértice C e com abertura igual à 2/3 de mc trace outro arco.

Ligue os vértices B e C à interseção dos arcos e prolongue.

Marque no prolongamento de cada reta, a partir da interseção 1/3 de mb e 1/3 de mc.




Ligue os vértices B e C à extremidades das medianas dos lados e prolongue, encontrando assim o vértice A.

A interseção das medianas é o baricentro do triângulo.

MATRIZES

Elementos básicos para a construção de matrizes

Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:

N={1,2,3,4,5,6,7,...}

O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são númerosnaturais, isto é:

N×N={(a,b): a e b são números naturais }

Uma relação importante em N×N é:

Smn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}

Definição de matriz

Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um número real(ou complexo).

Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendom×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra ª

a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)

a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)

... ... ... ...

a(m,1) a(m,2) ... a(m,n)




Definições básicas sobre matrizes

1. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.2. Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado

(i,j).3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.5. Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.6. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:

a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)

7. Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal.8. Matriz real é aquela que tem números reais como elementos.9. Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos.10.Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero.11.Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal iguais a 1 e zero fora da diagonal

principal.12.Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal principal. Alguns elementos da

diagonal principal podem ser nulos.Exemplos de matrizes

Matriz 4x4 de números reais:

12 -6 7 18

-23 -24 0 0

0 0 5 0

0 0 0 9

Matriz 4x4 de números complexos:

12 -6+i 7 i

-i -24 0 0

0 0 5+i 5-i0 0 0 9

Matriz nula com duas linhas e duas colunas:

0 0

0 0Matriz nula com três linhas e duas colunas:

0 0

0 0

0 0Matriz identidade com três linhas e três colunas:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:

23 0 0 0

0 -56 0 00 0 0 0

0 0 0 100




Matrizes iguais

Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementossão iguais, isto é:

a(i,j) = b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:

1 2

3 4

=

x+y x2

Soma de matrizes e suas propriedades

A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)],definida por:

c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.

-23 10

7 9

+10 5

8 9

=-13 15

15 18

Propriedades da soma de matrizesA1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

(A + B) + C = A + (B + C)

A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

A + B = B + A

A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, forneceráa própria matriz A, isto é:

0 + A = A

A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambasfornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:

A + (-A) = 0

Multiplicação de escalar por matriz e suas propriedades

Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outramatriz C=k.A, definida por:

c(i,j) = k. a(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em Smn.




Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:

-4

-2 10

7 9

=

28 36

Propriedades da multiplicação de escalar por matriz

E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A,isto é:

1.A = A

E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, istoé:

0.A = 0

E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:

k (A+B) = k A + k B

E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:(p + q) A = p A + q A

Multiplicação de matrizes

Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e Bcomo uma outra matriz C=A.B, definida por:

c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)

para todo par (u,v) em Smr.

Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:

1. multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;2. multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;3. multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna;4. multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna;5. somar os quatro produtos obtidos anteriormente.

Assim:

c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43

Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira matriz, a

coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

×

b11b12

b13

b14

b21

b22

b23

b24

b31

b32

b33

b34

b41

b42

b43

b44

=

c11c12

c13

c14

c21

c22

c23

c24

c31

c32

c33

c34

c41

c42

c43

c44




Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número delinhas da segunda.

Propriedades da multiplicação de matrizes

Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:

M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue,

onde A está cor vermelha e B em cor preta:

1 2 3

2 4 6

3 6 9

×

7 9

M2: Distributividade da soma à direita

A (B+C) = A B + A C

M3: Distributividade da soma à esquerda

(A + B) C = A C + B C

M4: Associatividade

A (B C) = (A B) C

M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, emboranem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:

0 1

0 0

×

0 2

0 0

=

0 0

0 0

M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B,pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:

0 1

0 0

×

0 0

=

0 0

×

0 0

mas as matrizes A e B são diferentes.

Matrizes com propriedades especiais

1. Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:Ak = 0

2. Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:Ak+1= A

3. Uma matriz A é idempotente, se:

A2 = A4. As matrizes A e B são comutativas, se:A B = B A




5. As matrizes A e B são anti-comutativas, se:A B = - B A

6. A matriz identidade Id multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizersentido.Id A = A

7. A matriz A será a inversa da matriz B, se:A B = Id e B A = Id

A transposta de uma matriz e suas propriedades

Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz

At = [a(j,i)]

e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de At.

Propriedades das matrizes transpostas

T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.

(At)t = A

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pelatransposta da matriz.

(kA)t = k (At)

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.

(A + B)t = At + Bt

T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.

(A B)t = Bt At

Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas propriedadesUma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

At = A

Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

At = -A

Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas

S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.

S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A+At é simétrica.

S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A-At é anti-simétrica.

S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matrizsimétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:

S =(1/2)(A + At) e T =(1/2)(A – At)

O método de Gauss-Jordan para resolver o sistema AX=B consiste em:

1. formar a matriz aumentada Ã=(A|B) pela concatenação da coluna correspondente ao 2o membro;2. efetuar operações elementares Ã ->Ã1->...->Ãu=(A'|B') de maneira que o bloco A' correspondente a A emÃu esteja na forma escada;




3. se para alguma linha nula de A' a correspondente em B' for não nula, então o sistema é impossível; casocontrário,

4. a solução geral do sistema se escreve explicitando as variáveis correspondentes aos pivôs em função dasdemais variáveis e do 2o membro B'.

Por exemplo, se os pivôs de A' ocorrem nas p primeiras colunas, escrevemos

(B1-A'1 p+1xp+1-A'1 p+2xp+2 -...--A'1nxn )(B2-A'2 p+1xp+1-A'2 p+1xp+2 -...--A'2nxn )( ... )(Bm-A'm p+1xp+1-A'm p+1xp+2 -...--A'mnxn)

X = ( ... )( xp+1 )( ... )( xn )

onde as variáveis xp+1 ,...,xn são livres.No caso de um sistema homogêno, a condição de compatibilidade é automática. Há duas situações a distinguir agora:

1. o número p de pivôs da forma escada A' é igual ao número n de colunas (= número de variáveis)2. p<n

No primeiro caso, não temos variáveis livres e o sistema admite a solução única, X=0, dita trivial.No segundo, temos d=n-p>0, com d variáveis livres. Nesse caso, dizemos que o espaço das soluções admite d graus

de liberdade. A solução geral se escreve como combinação linear de d soluções básicas,tX=xp+1(-A'1 p+1,-A'2 p+1,...,-A'm p+1, 1 ,0,..0)+

xp+2(-A'1 p+2,-A'2 p+2,...,-A'm p+2,0, 1 ,0,..0)+...+xn(-A'1n,-A'2n,...,-A'mn,0,..0,1).

Note que a discussão acima mostra em particular que, para um sistema homogêneo com mais incógnitas do queequações, existem sempre soluções não triviais: o número de pivôs é no máximo igual ao número de linhas (=númerode equações), logo certamente menor do que o número de colunas (= número de incógnitas).

Matriz de VandermondeDeterminante de Vandermonde;

Seja uma matriz quadrada A onde em cada coluna os elementos são da forma k0, k1,k 2, ... , kn, onde a é um numeroreal qualquer e n é a ordem da matriz, temos então que seu determinante será dado por:

Det A = (a2 2 – a2 1) (a2 3 – a2 1) (a2 3 –a2 2) ... (a2 n – a2 n-1)

I 1 1 1 II a b c II a² b² c²INum determinante de Vandermonde ( Alexandre T. Vandermonde(1735 – 1796) contribuiu para a teoria das equações e a teoria dos determinantes ) cada coluna é uma P.G. com oprimeiro elemento igual a 1. Observe que o determinante é igual ao produto das diferenças indicadas na segundalinha.

I 1 1 1 II a b c I = (b – a )*(c – a)*(c – b)I a² b² c²IEsta regra é válida para um determinante de Vandermonde de ordem n,

n >= 3.Agora se vc deseja saber como chegar a essa resposta, então veja:




i) multiplique a 1.ª coluna por – 1 e some com a 2.ª e 3.ª coluna, assim:I 1 0 0 II a b – a c - a II a² b – a² c² - a²I, faça o abaixamento da ordem do determinante, desenvolvendo pelo elemento a_11, isto é, 0 número1, vem:

1*( - 1)^(1 + 1)*I b – a c – a I........................ I b² - a² c² - a² I note que:

b² - a² = (b – a)*(b + a), e

c² - a² = (c – a)*(c + a), como nas duas colunas temos os fatores comuns (b – a) e ( c – a), podemos colocá-los emevidência de acordo com a propriedade do fator comum numa fila ou coluna de um determinante.1*( - 1)²*(b – a)*(c – a)I .. 1 .............. 1 I................................... I b – a ....... c – a I

(b – a)*(c – a)I .. 1 ............1 I..................... I b – a ... c – a I, como o determinante é 2x2, então:

(b – a)*(c – a)*(1*(c – a) – 1*(b – a))(b – a)*(c – a)*(c – a – b + a)

(b – a)*(c – a)*(c – b), c.q.d.

DeterminanteEm matemática, determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. Esta função permitesaber se a matriz tem ou não inversa, pois as que não têm são precisamente aquelas cujo determinante é igual a 0.

DefiniçãoSeja M o conjunto das matrizes com n linhas e n colunas sobre um corpo K. Pode-se provar que existe uma únicafunção f com as seguintes propriedades:

1. f é n-linear e alternada nas linhas das matrizes;2. f(In) = 1, onde In é a matriz identidade.

Esta função chama-se determinante.

O determinante de uma matriz A representa-se por |A| ou por det(A).

Propriedades1. O determinante também é uma função n-linear e alternada nas colunas da matriz;2. O determinante de uma matriz é igual ao determinante da sua transposta: det(A) = det(AT);3. Se uma fila (linha ou coluna) da matriz é composta de zeros, então o determinante desta matriz será zero;4. Se escrevermos cada elemento de uma linha ou coluna de A como soma de duas parcelas então det(A) é a

soma de dois determinantes de ordem n cada um considerando como elemento daquela linha ou coluna umadas parcelas, e repetindo as demais linhas ou colunas;

5. Se uma matriz é triangular (superior ou inferior) o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal

principal;6. Multiplicando uma fila (linha ou coluna) de uma matriz A por um escalar λ ∈ K, então o determinante da

nova matriz é igual ao determinante de A multiplicado por λ;




7. Se permutarmos duas linhas ou colunas de A então o determinante da nova matriz é −det(A);8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então det(A) = 0;9. Se somarmos a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo de outra linha (ou coluna), o determinante da nova

matriz é igual ao de A;10.Se A e B são matriz quadradas da mesma ordem, então det(AB) = det(A).det(B);11.Se A é invertível, então det(A−1) = 1⁄det(A), de onde resulta que se A é invertível então det(A) ≠ 0;12.Se A é ortogonal, então det(A) = ±1.

Determinante de uma matriz de ordem 1O determinante da matriz de ordem , é o próprio número que origina a matriz. Dada uma matriz quadrada

de 1ª ordem temos que o determinante é o número real :

.Por exemplo:

, então .

Determinante de matriz de ordem 2

A área do paralelogramo é o determinante da matriz formada pelos vetores que representam seus lados.

O determinante de uma matriz de segunda ordem é a diferença entre o produto dos termos da diagonal principal e oproduto dos termos da diagonal secundária. Esses produtos se chamam, respectivamente, termo principal e termosecundário da matriz.

.

Por exemplo, o determinante da matriz é dado por: .

Determinante de matriz de terceira ordem




O determinante de uma matriz 3x3 matrix é calculado através de suas diagonais.

Para calcular o determinante de matrizes de terceira ordem, utilizamos a chamada regra de Sarrus, que resulta noseguinte cálculo:

.Por exemplo:

Determinantes de ordem maior ou igual a 4

Para calcularmos o determinantes de matrizes com ordem igual ou superior a quatro, podemos reduzir a sua ordem.Seja a matriz

Desenvolvendo o determinante pela primeira linha obtemos:

,

onde A−i,−j representa a matriz obtida a partir de A, com a retirada da i-ésima linha e da j-ésima coluna. Retorna-seao cálculo de quatro determinantes de matrizes de terceira ordem.

Então definimos o determinante de ordem n desenvolvido pela i-ésima linha:

.

Cálculo de determinantes por triangularizaçãoTendo em vista a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o seu termo principal (propriedade 5),a idéia é aplicar operações elementares sobre suas linhas, de modo a triangularizá-lo. Para isso devemos observar os

efeitos que cada operação elementar pode ou não causar no valor do determinante procurado:• Permutar linhas troca o sinal do determinante (propriedade 7);• Multiplicar uma linha por um número real não nulo, multiplica o determinante por (propriedade 6);




• Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante (propriedade 9).Para triangularizar um determinante basta atentar para as possíveis compensações provocadas pelas operaçõeselementares utilizadas e não há uma única maneira de realizar esse processo. O método é algorítmico, constituído depassos simples: a cada coluna, da primeira à penúltima, deve-se obter zeros nas posições abaixo da diagonalprincipal. Veja o exemplo a seguir:

Menor complementar é um determinante tirado de uma matriz quadrada, sendo que para calculá-lo é preciso eliminar

uma linha e uma coluna da matriz, portanto, podemos concluir que cada elemento de uma matriz quadrada possui ummenor complementar.

Por exemplo:

Dada a matriz quadrada A = , cada elemento dessa matriz possui um menor complementar. Vamoscalcular o menor complementar do elemento a22 = 1.

A = daí formamos o menor complementar do determinante a22.

a 22 = = 1 . 3 – 2 . 4 = 3 – 8 = -5

Portanto, o menor complementar de a22 é -5.

A quantidade de elementos de uma matriz quadrada está diretamente ligada à quantidade de menor complementar que

ela irá possuir, ou seja, se uma matriz possui 9 elementos, ela terá 9 menor complementar.Levando em consideração a matriz A, o menor complementar do elemento a31 será:

A = daí formamos o menor complementar do determinante a31.

a 31 = = - 3 . (-2) – 1 . 4 = 6 – 4 = 2




cofator

Cofator ou complemento algébrico relativo a um elemento de uma matriz quadrada de ordem é o número

tal que , sendo o determinante da matriz obtida eliminando a linha e a coluna damatriz original que contenha .

Exemplo

No caso acima o elemento escolhido foi o , ou seja, o número .

Teorema de LA PLACE

O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha oucoluna) pelos respectivos cofatores.Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos as regraspráticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para o cálculo dedeterminantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do determinante. Assim, parao cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de quatro determinantes de 3ª ordem.

O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows,Lótus 1-2-3, entre outros.Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) que contenhamais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês

Regra de Cramer

A regra de Cramer é um teorema útil para resolver sistemas de equações. Imagine um sistema de duas equações aduas incógnitas:

Imagina-se que o sistema é uma matriz da qual se deve encontrar o determinante.Deve-se achar o determinante D dado por:

que é o dos coeficientes das incógnitas.




Para o determinante de x substituem-se seus coeficientes pelos termos independentes, logo:

E analogamente para y:

Segundo a regra de Cramer:

Veja esse exemplo:

Usando-se a regra de Cramer:




Logo:

Como sempre, deve-se usar o método que melhor se encaixe no exercício, mas de qualquer maneira é sempre melhorter-se mais de um método.

A utilização do método de matrizes para a resolução de n equações a n incógnitas possui na computação uma grandealiada.

Geometria Analítica

A Geometria Analítica é uma parte da Matemática , que através de processos particulares , estabelece as relaçõesexistentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo , uma reta , uma circunferência ou uma figura podem ter suaspropriedades estudadas através de métodos algébricos .Os estudos iniciais da Geometria Analítica se deram no século XVII , e devem-se ao filósofo e matemático francês

René Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), quepermitiram a representação numérica de propriedades geométricas. No seu livro Discurso sobre o Método, escrito em1637, aparece a célebre frase em latim "Cogito ergo sum" , ou seja: "Penso, logo existo".

Coordenadas cartesianas na reta

Seja a reta r na Fig. abaixo e sobre ela tomemos um ponto O chamado origem.Adotemos uma unidade de medida e suponhamos que os comprimentos medidos a partir de O, sejam positivos àdireita e negativos à esquerda.

O comprimento do segmento OA é igual a 1 u.c (u.c = unidade de comprimento). É fácil concluir que existe umacorrespondência um a um (correspondência biunívoca) entre o conjunto dos pontos da reta e o conjunto R dosnúmeros reais. Os números são chamados abscissas dos pontos. Assim, a abscissa do ponto A’ é -1, a abscissa daorigem O é 0, a abscissa do ponto Aé 1, etc.A reta r é chamada eixo das abscissas.

Coordenadas cartesianas no plano

Com o modo simples de se representar números numa reta, visto acima, podemos estender a idéia para o plano, basta

que para isto consideremos duas retas perpendiculares que se interceptem num ponto O, que será a origem dosistema. Veja a Fig. a seguir:




Dizemos que a é a abscissa do ponto P e b é a ordenada do ponto P.O eixo OX é denominado eixo das abscissas e o eixo OY é denominado eixo das ordenadas.O ponto O(0,0) é a origem do sistema de coordenadas cartesianas.Os sinais algébricos de a e b definem regiões do plano denominadas QUADRANTES.No 1º quadrante, a e b são positivos, no 2º quadrante, a é negativo e b positivo, no 3º quadrante, ambos são negativos

e finalmente no 4º quadrante a é positivo e b negativo.

Observe que todos os pontos do eixo OX tem ordenada nula e todos os pontos do eixo OY tem abscissa nula. Assim,dizemos que a equação do eixo OX é y = 0 e a equação do eixo OY éx = 0.Os pontos do plano onde a = b, definem uma reta denominada bissetriz do 1º quadrante, cuja equação evidentementeé y = x.Já os pontos do plano onde a = -b (ou b = - a), ou seja, de coordenadas simétricas, definem uma reta denominadabissetriz do 2º quadrante, cuja equação evidentemente é y = - x.Os eixos OX e OY são denominados eixos coordenados.

Exercícios Resolvidos

1) Se o ponto P(2m-8 , m) pertence ao eixo dos y , então :

a) m é um número primob) m é primo e parc) m é um quadrado perfeitod) m = 0e) m < 4

Solução:Se um ponto pertence ao eixo vertical (eixo y) , então a sua abscissa é nula.Logo, no caso teremos 2m - 8 = 0, de onde tiramos m = 4 e portanto a alternativa correta é a letra C, pois 4 é umquadrado perfeito (4 = 22).

2) Se o ponto P(r - 12 , 4r - 6) pertença à primeira bissetriz , então podemos afirmar que :

a) r é um número naturalb) r = - 3c) r é raiz da equação x3 - x2 + x + 14 = 0d) r é um número inteiro menor do que - 3 .e) não existe r nestas condições .

Solução:Os pontos da primeira bissetriz (reta y = x), possuem abscissa e ordenada iguais entre si. Logo, deveremos ter: r - 12= 4r - 6 de onde conclui-se r = - 2.Das alternativas apresentadas, concluímos que a correta é a letra C, uma vez que -2 é raiz da equação dada. Bastasubstituir x por -2 ou seja:(-2)3 - (-2)2 + (-2) + 14 = 0 o que confirma que -2 é raiz da equação.




3) Se o ponto P(k , -2) satisfaz à relação x + 2y - 10 = 0 , então o valor de k 2 é :

a) 200b) 196c) 144d) 36e) 0

Solução:Fazendo x = k e y = -2 na relação dada, vem: k + 2(-2) - 10 = 0.

Logo, k = 14 e portanto k2 = 142 = 196.Logo, a alternativa correta é a letra B.

Fórmula da distância entre dois pontos do plano cartesiano

Dados dois pontos do plano A(Xa,Ya) e B(Xb,Yb) , deduz-se facilmente usando o teorema de Pitágoras a seguintefórmula da distancia entre os pontos A e B:

Esta fórmula também pode ser escrita como: d2AB = (Xb - Xa)2 + (Yb - Ya)2 , obtida da anterior, elevando-se aoquadrado (quadrando-se) ambos os membros.

Exercício Resolvido

O ponto A pertence ao semi-eixo positivo das ordenadas ; dados os pontos B(2 , 3) e C(-4 ,1) , sabe-se que do ponto Ase vê o segmento BC sob um ângulo reto . Nestas condições podemos afirmar que o ponto A é :

a) (3,0)b) (0, -1)c) (0,4)d) (0,5)e) (0, 3)

Solução:

Como do ponto A se vê BC sob um ângulo reto, podemos concluir que o triângulo ABC é retângulo em A. Logo, valeo teorema de Pitágoras: o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Portanto, podemosescrever: AB2 + AC2 = BC2 (BC é a hipotenusa porque é o lado que se opõe ao ângulo reto A). Da fórmula dedistância, podemos então escrever, considerando que as coordenadas do ponto A são (0,y) , já que é dado no problemaque o ponto A está no eixo dos y e portanto sua abscissa é nula:

AB2 = ( 0 - 2 )2 + ( y - 3 )2 = 4 + ( y - 3 )2AC2 = ( 0 - (-4))2 + ( y - 1)2 = 16 + ( y - 1 )2BC2 = ( 2 - (-4))2 + ( 3 - 1 )2 = 40Substituindo, vem: 4 + ( y - 3 )2 + 16 + ( y - 1 )2 = 40 \ ( y - 3 )2 + ( y - 1)2 = 40 - 4 - 16 = 20

Desenvolvendo, fica: y2 - 6y + 9 + y2 - 2y + 1 = 20 \ 2y2 - 8y - 10 = 0 \ y2 - 4y - 5 = 0 , que resolvida, encontramos y

= 5 ou y = -1. A raiz y = -1 não serve, pois foi dito no problema que o ponto A está no semi-eixo positivo . Portanto, oponto procurado é A(0,5), o que nos leva a concluir que a alternativa correta é a letra D.

Ponto médio de um segmento

Dado o segmento de reta AB , o ponto médio de AB é o ponto M Î AB tal que AM = BM .Nestas condições, dados os pontos A(x1 , y1) e B(x2 , y2) , as coordenadas do ponto médioM(xm , ym) serão dadas por:




Exercício Resolvido

Sendo W o comprimento da mediana relativa ao lado BC do triângulo ABC onde A(0,0), B(4,6) e C(2,4) , então W2 éigual a:

a) 25

b) 32c) 34d) 44e) 16

Solução:Chama-se mediana de um triângulo relativa a um lado, ao segmento de reta que une um vértice ao ponto médio dolado oposto. Assim, a mediana relativa ao lado BC será o segmento que une o ponto A ao ponto médio de BC. Dasfórmulas de ponto médio anteriores, concluímos que o ponto médio de BC será o ponto M( 3, 5). Portanto, ocomprimento da mediana procurado será a distância entre os pontos A e M. Usando a fórmula de distânciaencontramos AM = Ö 34 ou seja raiz quadrada de 34. Logo, W = Ö 34 e portanto W2 = 34, o que nos leva a concluir

que a resposta correta está na alternativa C.4 - Baricentro de um triângulo

Sabemos da Geometria plana , que o baricentro de um triângulo ABC é o ponto de encontro das 3 medianas . SendoG o baricentro , temos que AG = 2 . GM onde M é o ponto médio do lado oposto ao vértice A (AM é uma das 3medianas do triângulo).Nestas condições , as coordenadas do baricentro G(xg , yg) do triângulo ABC onde A(xa , ya) , B(xb , yb) e C(xc , yc)é dado por :

Conclui-se pois que as coordenadas do baricentro do triângulo ABC, são iguais às médias aritméticas dascoordenadas dos pontos A , B e C.

Assim, por exemplo, o baricentro (também conhecido como centro de gravidade) do triângulo ABC onde A(3,5) ,B(4, -1) e C(11, 8) será o ponto G(6, 4). Verifique com o uso direto das fórmulas.

Exercício resolvido

Conhecendo-se o baricentro B(3,5), do triângulo XYZ onde X(2,5) , Y(-4,6) , qual o comprimento do segmento BZ?

Solução:Seja o ponto Z(a,b). Temos, pela fórmula do baricentro:3 = (2 - 4 + a) / 3 e 5 = (5 + 6 + b) / 3Daí, vem que a = 11 e b = 4. O ponto Z será portanto Z(11, 4).Usando a fórmula da distância entre dois pontos, lembrando que B(3,5) e Z(11,4),encontraremos BZ = 651/2 u.c. (u.c. = unidades de comprimento).

Agora resolva este:

Os pontos A(m, 7), B(0, n) e C(3, 1) são os vértices de um triângulo cujo baricentro é o pontoG(6, 11). Calcule o valor de m2 + n2.




Ponto médio de um segmento de reta

Em um segmento existem inúmeros pontos, mas um deles irá dividi-lo em duas partes iguais, esse é chamado deponto médio de um segmento de reta.Para compreender como identificar e determinar o ponto médio de um segmento de reta considere os pontos A e Bidentificados no plano cartesiano:

Esse segmento terá um ponto médio (M) que terá como par ordenado (xM, yM).

Os pontos A, M e B formam com as respectivas abscissas segmentos de retas paralelas e essas concorrem com ossegmentos de retas transversais AM e o segmento formado pelas abscissas xA e xB. Dessa forma, obedecem a umadefinição do Teorema de Tales que diz que retas paralelas que concorrem com as transversais possuem as suas razõesiguais.

Portanto, se considerarmos os pontos A(xA, yB) = (4,6) e B(xB, yB) = (8,10), podemos representar o que foi escritoacima da seguinte forma:

AM = xM - 4MB 8 - xM

Como AM e MB representam a metade do segmento AB, podemos dizer que a sua razão será igual a 1:

1 = xM - 4

8 - xMxM – 4 = 8 - xM2xM = 8 + 4

xM = 8 + 4 = 62

Percebemos que o cálculo da abscissa xM é a média aritmética entre as abscissas dos pontos A e B. Assim, o cálculoda ordenada yM é a média aritmética entre as coordenadas dos pontos A e B.

y M = 10 + 6 = 8

2

Portanto, o ponto médio do segmento limitado por A (4,6) e B (8,10) é M (6,8).




Com base nesse exemplo podemos dizer que a forma geral para encontrar o ponto médio de uma reta limitada pordois pontos A (xA, yB) e B (xB, yB) será M (xM, yM):

xM = xA + xB2

yM = yA + yB2

Condição de alinhamento de três pontosSabemos que com dois pontos formamos uma reta, mas três pontos só irão formar uma reta se estiverem alinhados,ou seja, deverão ser colineares.

Uma das formas de verificar a condição de alinhamento de três pontos é graficamente, mas não é tão precisa, pois umdos pontos pode estar fora da reta a uma distância mínima que não seja detectada pelo gráfico, assim teremos queutilizar outros recursos para encontrar a condição de alinhamento de três pontos.

Considere os pontos A (2,5), B (3,7) e C (5,11). Para verificar se eles pertencem a uma mesma reta é preciso levar em

consideração dois teoremas. Um deles é a propriedade que diz: se duas retas são paralelas e têm um ponto emcomum, então são paralelas coincidentes. O outro é a fórmula para calcular o coeficiente angular de uma reta.

Considerando as retas AB e BC, o ponto B é comum, as duas retas e os seus coeficientes angulares são iguais a: mAB= 2 e mBC = 2, como são iguais podemos dizer que os três pontos pertencem a uma mesma reta.

Com esse exemplo podemos concluir que três pontos quaisquer A(xA,yA), B(xB,yB), C(xC,yC) serão colineares se ocoeficiente angular de AB for igual ao coeficiente angular de BC.

Exemplo 1:Verifique se os três pontos são colineares: A (3,6) B (1,4) C (4,1).

MAB = 6-4 = 2 = 13-1 2

MBC = 4-1 = 3 = -11-4 -3

Como os coeficientes são diferentes, os três pontos não são colineares.

Exemplo 2:

O valor de x para que os pontos A(1,3), B(-2,4) e C(x,0) no plano sejam colineares, deverá ser?

MAB = MBC4 - 3 = 0 – 4-2 - 1 x - (-2)

1 = -4-3 x + 2

x +2 = 12

x = 12- 2x = 10Portanto, para que A, B e C sejam colineares, x deverá ser igual a 10.




coeficiente angular de uma reta

Sabemos que em uma reta existem infinitos pontos, com apenas dois desses pontos podemos representar essa mesmareta no plano cartesiano, pois dois pontos distintos sempre serão colineares (pertencerão ou formarão uma reta).

Com o estudo da geometria analítica aprendemos que não é necessário ter dois pontos distintos para formar uma reta,podemos construir uma reta no plano cartesiano conhecendo apenas um de seus infinitos pontos e sabendo o valor doângulo formado com a reta e o eixo Ox.

Essa outra forma de representarmos uma reta será feita levando em consideração a inclinação da reta e o seucoeficiente angular. Considere uma reta s que intercepta o eixo Ox no ponto M.

A reta s está formando com o eixo Ox um ângulo β. A medida desse ângulo é feita em sentido anti-horário a partir deum ponto pertencente ao eixo Ox. Assim, podemos dizer que a reta s tem inclinação β e o seu coeficiente angular (m)igual a: m = tg β.

A inclinação da reta irá variar entre 0° ≤ β <180°. Veja os exemplos de algumas possibilidades de variação dainclinação da reta e seus respectivos coeficientes angulares:

Exemplo 1:

Nesse exemplo o valor da inclinação é menor que 90º.

Inclinação igual a 45° e coeficiente angular igual a: m = tg 45° = 1.

Exemplo 2:

Nesse exemplo o valor da inclinação da reta é maior que 90° e menor que 180°.

Inclinação igual a 125° e coeficiente angular da reta igual a: m = tg 125° = -2.

Exemplo 3:

Quando a reta for paralela ao eixo Oy, ou seja, tiver uma inclinação igual a 90° o seu coeficiente angular não irá




existir, pois não é possível calcular a tg 90°.

Exemplo 4:

Nesse exemplo a reta s é paralela ao eixo Ox, ou seja, seu ângulo de inclinação é igual a 180°, portanto, o seucoeficiente angular será igual a: m = tg 180º = 0.

Equação fundamental da reta

Podemos representar uma reta r do plano cartesiano por meio de uma equação. Essa equação pode ser obtida a partirde um ponto A(xA, yA) e do coeficiente angular m dessa reta.

Considere uma reta r não-vertical, de coeficiente angular m, que passa pelo ponto A(xA, yA). Vamos obter a equaçãodessa reta, tomando um ponto P(x, y) tal que P ≠A.

A equação fundamenta da reta é:

Equação geral da reta

Toda reta r do plano cartesiano pode ser expressa por uma equação do tipo:




Em que:• a, b, e c são números reais;• a e b não são simultaneamente nulos.

Podemos obter a equação geral de uma reta r conhecendo dois pontos não coincidentes de r:

Para isso, usa-se a condição de alinhamento de A e B com um ponto genérico P(x,y) de r.

Equação reduzida da reta

Vamos determinar a equação da reta r que passa por Q(0,q), e tem coeficiente angular m = tg(α):

Toda equação na forma y = mx + q é chamada equação reduzida da reta, em que m é o coeficiente angular e q aordenada do ponto n qual a reta cruza o eixo Oy. A equação reduzida pode ser obtida diretamente da equação geral ax+ by + c = 0:

Onde:




Equação segmentária da retaConsidere uma reta r que cruza os eixos cartesianos nos pontos (0, q) e (p, 0).

Vamos escrever a equação da reta r:

Dividindo essa equação por pq, obtemos a equação segmentária da reta:

Circunferência: Posições Relativas

As relações de posição entre elementos no plano constituem a base de diversos estudos para a geometria analítica. Asposições relativas entre circunferência e reta e posições relativas entre duas circunferências serão abordadas erepresentadas a seguir.

Posições relativas entre circunferência e reta

Reta externa à circunferência

A reta s é externa à circunferência de centro O e raio R, então podemos propor a seguinte situação: a distância docentro da circunferência à reta s é maior que o raio da circunferência.D > R




Reta tangente à circunferência

A reta s é tangente à circunferência de centro O e raio R, isto é, a reta s possui um ponto em comum com acircunferência, por isso podemos dizer que a distância entre centro O até a reta s possui a mesma medida.D = R

Reta secante à circunferência

A reta s é secante à circunferência de raio R e centro O, a reta intersecta a circunferência em dois pontos. Nesse casoconstatamos que a medida do raio da circunferência é maior que a medida da reta secante.D < R

Posições relativas entre duas circunferências

Não possuem pontos em comum

ExternasD > r1 + r2




InternasD < r1 – r2

Possuem um ponto em comum

Tangentes: as circunferências possuem um ponto em comum.

Tangentes internasD = r1 – r2

Tangentes externasD = r1 + r2

Possuem dois pontos em comum

Secante: possuem dois pontos em comum.

r1 – r2 < D < r1 + r2




Circunferências concêntricas

São circunferências que possuem o mesmo centro, não existindo distância entre eles.D = 0

Elementos de Geometria espacial

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dosmétodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetosprimitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Osprincipais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes deregiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Conceitos gerais

Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado porum segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

• Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta);• Um ponto e uma reta que não contem o ponto;• Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto;• Duas retas paralelas que não se sobrepõe;• Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe;•

Duas retas concorrentes;• Dois segmentos de reta concorrentes.Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Pode-se pensar deuma rera r desenhada no chão de uma casa e uma reta s desenhada no teto dessa mesma casa.

Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de retacontido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela àreta dada.

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de retaperpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entreo plano e o segmento.Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.




Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta. Planos paralelos no espaço R3 são planosque não tem interseção.

Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos formam um diedro e o ângulo formado entre estes doisplanos é denominado ângulo diedral. Para obter este ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas

retas perpendiculares aos planos concorrentes.

Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).

O conceito de pirâmide

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado foradesse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num pontoqualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nosAndes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenase mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

Elementos de uma pirâmide

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

1. Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apóia a pirâmide.2. Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.

3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixoda pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.4. Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.




5. Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vérticesconsecutivos da base.

6. Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice dopolígono situado no plano da base.

7. Apótema: É a altura de cada face lateral.8. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.9. Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

Classificação das pirâmides pelo número de lados da base

triangular quadrangular pentagonal hexagonal

base:triângulo base:quadrado base:pentágono base:hexágono

Pirâmide Regular reta

Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o planoda base coincide com o centro da base.

R raio do circulo circunscritor raio do círculo inscrito

l aresta da base

ap apótema de uma face lateral

h altura da pirâmide

al aresta lateral

As faces laterais são triângulos isósceles congruentes

Área Lateral de uma pirâmide

Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Talprocesso é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que asua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.

No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depoisreunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.




As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.

Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral dapirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:

A(lateral) = n A(face)

Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm ecujo apótema mede 4cm.

Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral éigual à área de um dos triângulos, assim:

A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12A(lateral) = 4.12 = 48 cm²

Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10cm. Calcular a área lateral.Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular amedida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r dabase.Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] epela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:

(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]

A área da face e a área lateral, são dadas por:

A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37]A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

Área total de uma Pirâmide

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

A(total) = A(lateral) + A(base)

Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm asarestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?




Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:

A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162A(lateral) = 4.162 = 648A(base) = 18² = 324

Concluímos que:

A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970

Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quaistêm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada doispassos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado dabase e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.

A(base) = 2.2 = 4 m²A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³

Logo, a área total da barraca é

A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²

Volume de uma Pirâmide

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmideregular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que ofrasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da arestada base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm.Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura.Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos queA(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto deum triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm daaresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida dadiagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado porV=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção Transversal de uma pirâmide

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seçãotransversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entreuma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:

1. Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre aárea da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.

2. Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano)semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.

3. Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas




à mesma distância do vértice têm áreas iguais.

V(seção)Volume da seção até o vértice(volume da pirâmide menor)

V(piram) Volume da pirâmide (maior)

A(seção)Área da seção transversal(base da pirâmide menor)

A(base) Área da base da pirâmide (maior)

h Distância do vértice à seção(altura da pirâmide menor)

H Altura da pirâmide (maior)

Assim:

V(seção)

V(base)

=A(seção)

A(piram)

·h

H

A(seção)

A(base)

=

h²

H²

Então:

V(seção)

V(base)

=

h³

H³

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco destapirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do troncoda pirâmide é 3cm?

ComoV(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³V(pirMenor)/108 = 6³/9³V(pirMenor) = 32então

V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³

Um prisma é todo poliedro formado por uma face superior e uma face inferior paralelas e congruentes (tambémchamadas de bases) ligadas por arestas. As laterais de um prisma são paralelogramos. A nomenclatura dos prisma édada de acordo a forma da bases. Assim, se temos hexágonos nas bases, teremos um prisma hexagonal. O prisma

pode ser classificado em reto quando suas arestas laterais são perpendiculares às bases, e oblíquo quando não são.




1. Área e Volume de um Prisma Recto

Para calcular a área da superfície de um prisma, calcularemos a área das bases e a área das laterais (para calcular a

da base e h é a altura do prisma, que corresponde a aresta lateral do prisma.

2. Prismas e Antiprismas

Os prismas e antiprismas são grupos infinitos.

Prisma

Os Prismas são constituídos por duas faces paralelas chamadas diretrizes que dão o nome ao prisma, e uma série derectângulos, tantos como lados da face diretriz. Por exemplo, o prisma cujas faces diretrizes são triangulares chama-se prisma triangular e compõe-se de 2 triângulos e 3 rectângulos; tem 9 arestas e 6 vértices de ordem 3 de onde

convergem sempre dois rectângulos e um triângulo. Outro exemplo seria o Prisma decagonal composto de 2decágonos + 10 rectângulos; tem 30 arestas e 20 vértices de ordem 3.

Os antiprismas têm uma construção parecida, duas faces paralelas e a uni-las uma série de triângulos




3. Primeiro Uso

Prisma

Conhecido também por Prisma de Espato de Islândia (ou Nicol), é usado para transformar um feixe de luz naturalnum feixe de luz polarizada. Seu uso é aplicado num ramo da Física a Isomeria óptica. Sua invenção atribuída físico emineralogista escocês Guilherme Nicol, nascido em 1768 e falecido em 1851.

Tronco de pirâmide regular

Áreas

Numa pirâmide, temos as seguintes áreas:

a) área lateral ( AL): reunião das áreas das faces laterais

b) área da base ( AB): área do polígono convexo ( base da pirâmide)

c) área total (AT): união da área lateral com a área da base

AT = AL +AB

Para uma pirâmide regular, temos:

em que:

VolumeO princípio de Cavalieri assegura que um cone e uma pirâmide equivalentes possuem volumes iguais:




Troncos

Se um plano interceptar todas as arestas de uma pirâmide ou de um cone, paralelamente às suas bases, o planodividirá cada um desses sólidos em dois outros: uma nova pirâmide e um tronco de pirâmide; e um novo cone e umtronco de cone.

Vamos estudar os troncos.

Tronco da pirâmide

Dado o tronco de pirâmide regular a seguir, temos:

• as bases são polígonos regulares paralelos e semelhantes;•

as faces laterais são trapézios isósceles congruentes.

Áreas e VolumesÁreas e volumes de um cone

Área lateral: Al

A superfície lateral de um cone é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e é indicadapor Al.

A superfície lateral de um cone circular reto, de geratriz g e raio da base r, planificada, é um setor circular cujo raio ég (geratriz do cone) e cujo comprimento do arco é 2r (perímetro da base).

O raio do setor é g, e o comprimento do arco do setor é 2r.

Assim, podemos estabelecer a regra de três:

Comprimento do arco área do setor




Área total: At

A superfície total de um cone é a reunião da superfície lateral com o círculo da base. A área dessa superfície é

chamada área total e é indicada por At.

At = Al + Ab

Substituindo-se Al = r g e Ab = r2, vem:

Volume: V

O volume de um cone é obtido da mesma forma que se obtém o volume da pirâmide:

SEÇÃO MERIDIANA E CONE EQÜILÁTERO

Seção meridiana de um cone reto é a interseção dele com um plano que contém o eixo.

A seção meridiana de um cone reto é um triângulo isósceles.

Cone eqüilátero é um cone cuja seção meridiana é um triângulo eqüilátero.

Para obtenção da área lateral, área total e volume de um cone eqüilátero, procedendo às adaptações e substituições,deduzimos:




Áreas e Volumes cilindro

Área Lateral : AlA superfície lateral de um cilindro é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral docilindro e é indicada por Al.

A superfície lateral de um cilindro circular reto, de altura h, e cujos círculos das bases têm raio r, planificada, é umretângulo de dimensões 2r (comprimento da circunferência da base) e h (altura do cilindro).

Área Total: AtA superfície total de um cilindro é a reunião da superfície lateral com os círculos das bases. A área dessa superfície éa área total do cilindro e é indicada por At.

At = Al + 2Ab

Substituindo-se Al = 2rh e Ab = r2 , vem:

At = 2r(h + r)




Aplicação

Seja V = 20 cm3 o volume de um cilindro reto cujo raio mede 40 % da medida da altura. Vamos determinar o valorde sua área total.

Solução:

Sendo r o raio da base do cilindro de altura h, temos:

r = 40 % ; h = 2h/5

Esfera

Esfera: inúmeras utilidades no mundo moderno

A esfera é obtida através da revolução da semicircunferência sobre um eixo. Podemos considerar que a esfera é umsólido.




Alguns conceitos básicos estão relacionados à esfera, se considerarmos a superfície esférica destacamos os seguinteselementos básicos:

Pólos Equador Paralelo Meridiano

Área de uma superfície esférica

Temos que a área de uma superfície esférica de raio r é igual a:

Volume da esfera

Por ser considerada um sólido geométrico, a esfera possui volume representado pela seguinte equação:

Posição relativa entre plano e esfera

Plano secante à esfera

O plano interseccional a esfera formando duas partes, se o plano corta a esfera passando pelo centro temos duaspartes de tamanhos iguais.




Plano tangente à esfera

O plano tangencia a esfera em apenas um ponto, formando um ângulo de 90º graus com o eixo de simetria.

Plano externo à esferaO plano e a esfera não possuem pontos em comum.

A esfera possui inúmeras aplicações, como exemplo podemos citar a Óptica (Física), a seção de uma esfera formauma lente esférica, que são objetos importantes na construção de óculos. Corpos esféricos possuem grandeimportância na Engenharia Mecânica, a parte interior de inúmeras peças capazes de realizar movimentos circularessobre eixos é constituída de esferas de aço. Um bom exemplo dessas peças é o rolamento.

Fórmulas do volumeFórmulas comuns para o cálculo do volume de sólidos:

Cubo:

(onde s é o comprimento de um lado)Paralelepípedo:

(largura, comprimento, altura)

Cilindro:(r = raio de uma face circular, h = altura)

Esfera:

(r = raio da esfera)Elipsóide:

(a, b, c = semi-eixos do elipsoide)

Pirâmide:

(A = área da base, h = altura)

Cone:

(r = raio do círculo na base, h = altura)




Prisma:

(A = área da base, h = altura)

Qualquer figura

onde h é qualquer dimensão da figura, e A(h) é a área da intersecção perpendicular para h descrita pela função daposição ao longo de h.

Oposto, conjugado e igualdade de números complexos.

Para determinarmos o oposto, o conjugado e a igualdade de qualquer número complexo precisamos conhecer algunsfundamentos.

Oposto

O oposto de qualquer número real é o seu simétrico, o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um

número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será – z.

Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 – 6i, o seu oposto será:- z = - 8 + 6i.

Conjugado

Para determinarmos o conjugado de um número complexo, basta representar o número complexo através do opostoda parte imaginária. O conjugado de z = a + bi será:

Exemplo:z = 5 – 9i, o seu conjugado será:

z = – 2 – 7i, o seu conjugado será

Igualdade

Dois números complexos serão iguais se, e somente se, respeitarem a seguinte condição:Partes imaginárias iguais

Partes reais iguais

Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d e bi = ei.

Observações:

A soma de números complexos opostos será sempre igual a zero.z + (-z) = 0.

O conjugado de um número complexo será o próprio número complexo.




Não existe relação de ordem no conjunto dos números complexos, então não podemos estabelecer quem é maior oumenor.

Exemplo 1

Dado o número complexo z = - 2 + 6i, calcule o seu oposto, o seu conjugado e o oposto do conjugado.

Oposto- z = 2 - 6i

Conjugado

Oposto do conjugado

Exemplo 2

Determine a e b de modo que .

Precisamos estabelecer a propriedade da relação de igualdade entre eles. Então:

a = - 2b = 9

Potências e curiosidade sobre a unidade imagináriaPotências de i: Ao tomar i=R[-1], temos uma seqüência de valores muito simples para as potências de i:

Potência i2 i3 i4 i5 i6 i7 i8 i9

Valor -1 -i 1 i -1 -i 1 i

Pela tabela acima podemos observar que as potência de i cujos expoentes são múltiplos de 4, fornecem o resultado 1,logo toda potência de i pode ter o expoente decomposto em um múltiplo de 4 mais um resto que poderá ser 0, 1, 2 ou

3. Dessa forma podemos calcular rapidamente qualquer potência de i, apenas conhecendo o resto da divisão doexpoente por 4.

Exercício: Calcular os valores dos números complexos: i402, i4033 e i1998. Como exemplo: i402=i400.i2 = 1.(-1) =-1

Curiosidade geométrica sobre i: Ao pensar um número complexo z=a+bi como um vetor z=(a,b) no plano cartesiano,a multiplicação de um número complexo z=a+bi pela unidade imaginária i, resulta em um outro número complexow=-b+ai, que forma um ângulo reto (90 graus) com o número complexo z=a+bi dado.




Exercício: Tomar um número complexo z, multiplicar por i para obter z1=i.z, depois multiplicar o resultado z1 por ipara obter z2=i.z1. Continue multiplicando os resultados obtidos por i até ficar cansado ou então use a inteligênciapara descobrir algum fato geométrico significativo neste contexto. Após constatar que você é inteligente, faça umdesenho no plano cartesiano contendo os resultados das multiplicações.

Fórmulas de Moivre

Consideremos o número complexo não nulo z = p*(cosӨ + i*senӨ) e o número n Є N, dessa forma escrevemos:

zn = z*z*z*...*z ou zn = p*p*p*...*p *(cosӨ + i*senӨ)* (cosӨ + i*senӨ).... (cosӨ + i*senӨ), daí, zn =pn*[cos(Ө+Ө+Ө+...+Ө) + i*sen(Ө+Ө+Ө+...+Ө)], onde concluímos que:

zn = pn *[cos(nӨ) + i*sen(nӨ)]

Essa expressão é um recurso muito importante nas situações envolvendo a expressão (a + bi)n, caso não existisse,deveríamos usar o binômio de Newton, o que acarretaria em cálculos trabalhosos.

Obs.: para calcularmos a potência de um número complexo utilizando a 1º fórmula de Moivre, devemos escrever ocomplexo na sua forma trigonométrica.

Exemplo 1Dado o complexo z = – 2 – 2i, calcule z10.




Exemplo 2Dado o número complexo z = –1 –√3i, determine z15.




Polinómio

Gráfico de um polinômio de grau 5

Em matemática, funções polinomiais, polinómios (português europeu) ou polinômios (português brasileiro) são umaclasse importante de funções simples e infinitamente diferenciáveis. Devido à natureza da sua estrutura, ospolinómios são muito simples de se avaliar e por consequência são usados extensivamente em análise numérica.

HistóriaDeterminar as raízes de polinómios, ou "resolver equações algébricas", é um dos problemas mais antigos damatemática. Alguns polinômios, tais como f(x) = x2 + 1, não possuem raízes dentro do conjunto dos números reais.Se, no entanto, o conjunto de candidatos possíveis for expandido ao conjunto dos números imaginários, ou seja, se sepassar a tomar em conta o conjunto dos números complexos, então todo o polinómio (não-constante) possui pelomenos uma raiz (teorema fundamental da álgebra).

Existe uma diferença entre a aproximação de raízes e a determinação de fórmulas concretas que as definem. Fórmulaspara a determinação de raízes de polinómios de grau até ao 4º são conhecidas desde o século XVI (ver equaçãoquadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia). Mas fórmulas para o 5º grau têm vindo a escapar aosinvestigadores já há algum tempo. Em 1824, Niels Henrik Abel provou que não pode haver uma fórmula geral(envolvendo apenas as operações aritméticas e radicais) para a determinação de raízes de polinómios de grau igual ousuperior ao 5º em termos de coeficientes (ver teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcou o início da teoria deGalois, onde se aplica a um estudo detalhado das relações entre raízes de polinómios.

Definição (caso real)

Para a sucessão de termos (ou ) com , um polinómio de grau n (ou também funçãoracional inteira) é uma função que possui a forma

Alternativamente, o polinómio pode ser escrito recorrendo-se à notação sigma

Os números são denominados de coeficientes do polinómio e o termo a0 de coeficiente constante, outermo independente.

Cada elemento somado avxv do polinómio é denominado por termo. Um polinómio com um, dois ou três termos échamado de monómio, binómio ou trinómio respectivamente.

Em relação ao grau, os polinómios podem ser classificados como a seguir:




• grau 0 - polinômio constante;• grau 1 - função afim (polinômio linear, caso a0 = 0);• grau 2 - polinômio quadrático;• grau 3 - polinômio cúbico.• ...• grau n - polinômio de grau n.

Pode-se estender a definição de polinómio para incluir f(x) = 0, chamado polinômio nulo. O polinômio nulo nãopossui grau definido.

Uma equação polinômica obtem-se quando o polinômio é igualado a zero, ou seja:

.Desta forma podemos falar em raízes do polinômio f(x) e encontrar os valores de x que tornam a igualdadeverdadeira, isto é, busca-se a raíz do polinômio f(x) que é um valor de x tal que torne f(x) = 0. Um número que

satisfaz uma equação polinômica é chamado de número algébrico. Por exemplo: é algébrico e valida o polinômio

x2 − 2 = 0 pois .

Definição (genérica)A definição acima de um polinómio com coeficientes reais (ou complexos) pode ser generalizada para polinómioscom coeficientes em estruturas algébricas mais gerais. O resultado é o anel de polinômios.

Seja um anel. Então podemos considerar o conjunto das funções que tem suporte

finito, ou seja, para as quais o conjunto é finito. Essas funções representam os coeficientes do

polinómio (notar que é uma forma de se escrever ).

O objetivo é escrever uma soma e um produto neste conjunto, de forma que as seqüências do tipo (k, 0, 0, ...)funcionem como os escalares, e a seqüência do tipo (0, 1, 0, ...) funcione como o x dos polinómios.

A definição de e é feita pelos seus coeficientes, ou seja:

Deve-se observar que as duas definições fazem sentido, pois a soma e o produto destas séries tem suporte finito.

Falta provar os axiomas de anel para , o que é fácil mas trabalhoso, e que a função

definida por:

é um isomorfismo entre A e .

Isso mostra que A pode ser visto como um sub-anel de .

Se o anel A possui identidade multiplicativa, então definindo x como a função:

verifica-se que os elementos de são todos da forma .




Polinômios

Divisão por (x – a) Cálculo do Resto

Na divisão de um polinômio P(x) por (x – a)observamos que o resto, se não for nulo, terá grau zero,isto é, será sempre um número real r. Então:P(x) (x - a) · Q (x) + rem que Q(x) é o quociente dessa divisão. Calculando o

valor numérico de P(x) para x = a, temos:P(a) = (a – a) · Q(a) + rLogo, P(a) = rVerificamos, assim, que:

Exemplos1o) Calcular o resto da divisão deP(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 por x – 2.Resoluçãor = P(2) = 16 – 3 · 4 + 2 · 2 – 1

Assim, r = 72o) Calcular o resto da divisão deP(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 6 por x + 2Resoluçãox + 2 = x – (–2)Então: r = P(–2)r = (–2)4 + 2 (–2)3 + 3(–2)2 – 6r = 6

Teorema de D’AlembertPara que um polinômio seja divisível por (x – a), é

preciso que o resto seja igual a zero, ou seja, P(a) = 0

Essa propriedade é conhecida como teoremade D’Alembert,

ExemploDetermine k para que o polinômio

P(x) = kx3 + 2x2 + 4 x – 2 seja divisível por (x + 3).

Resolução

Devemos ter: P(–3) = 0

Assim:

k (–3)3 + 2 (–3)2 + 4 (–3) –2 = 0

Então K =




Algoritmo de Briot-Ruffini

Dividindo um polinômio

P(x) = anxn + an–1xn–1 +...+ a2x2 + a1x + a0 pelo binômio (x – a), o quociente será um polinômioQ(x)= qn–1xn–1 + qn–2xn–2 +...+ q2x2 + q1x + q; tal que:

P(x) (x – a) · Q (x) + r

Assim:

anxn + an–1xn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0

(x – a)(qn–1xn–1 + qn–2xn–2 + ... + q2x2 + q1x + q0)

Ou então:

anxn + anxn–1 + ... + a2x2 + a1x + a0

qn–1xn + (qn-2 – aqn – 1)xn – 1 + ...+

+(q1 – aq2)x2 + (q0 – aq1)x + r – aq0

E, daí, obtemos:

qn – 1 = anqn – 2 – aqn–1 = an–1 qn–2 = aqn–1 + an–1

.............................................................................

q1 – aq2 = a2 q1 = aq2 + a2

q0 – aq1 = a1 q0 = aq1 + a1

r – aq0 = q0 r = aq0 + a0

Teorema do Resto

Seja p(x) um polinômio tal que grau p > 1. O resto da divisão de p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a).Demonstração:

Temos:

p(x) = (x - a) . q(x) + r (r C)

Calculando o valor numérico do polinômio acima para x = a, vem:p(a) = (a - a) . q(a) + r,




Aplicação

Determinar o resto da divisão de f(x) = x4 - 2x3 + x - 9 por g(x) = x + 2 sem efetuar a divisão.

Solução:– a raiz do divisor é x + 2 = 0 x = –2;

– o resto r é dado por: r = f(–2) = (–2)4 – 2 . (–2)3 + (–2) – 9, isto é, r = 16 + 16 – 2 – 9 = 21.

Teorema de D’Alembert

Conseqüência importante do teorema do resto cujo enunciado é:

Um polinômio f(x) é divisível por x – a quando a é raiz de f(x). Demonstração:

Como f(x) é divisível por x – a, o resto r dessa divisão é igual a zero. Ora, pelo teorema do resto, r = f(a). Como r = 0,temos que f(a) = 0, o que mostra que a é raiz do polinômio f(x).

Divisões Sucessivas

Seja p(x) um polinômio de grau maior que 1; a C, b C, a b.

Quando p(x) é divisível por x – a e o quociente dessa divisão é divisível por x – b, tem-se que p(x) é divisível por (x –a) .(x – b).

Acompanhe o esquema seguinte:

a) Da 1.a divisão, podemos escrever: p(x) = (x - a) . q(x) (I)

b) Da 2.a divisão, podemos escrever: q(x) = (x - b) . q’(x) (II)

Substituindo ( II ) em ( I ), obtemos p(x) = (x - a) . (x - b)q’(x), o que mostra que p(x) é divisível por ( x – a) . ( x –b ).

Obs.: Se p(x) é divisível por x – a e o quociente dessa divisão é também divisível por x – a, então p(x) é divisível por(x - a)2.

introdução às equações algébricas

Equações algébricas são equações nas quais a incógnita x está sujeita a operações algébricas como: adição, subtração,multiplicação, divisão e radiciação.




Exemplos:

1. a x + b = 02. a x² + bx + c = 03. a x4 + b x² + c = 0

Uma equação algébrica está em sua forma canônica, quando ela pode ser escrita como:

ao xn + a1 xn-1 + ... + an-1 x1 + an = 0

onde n é um número inteiro positivo (número natural). O maior expoente da incógnita em uma equação algébrica édenominado o grau da equação e o coeficiente do termo de mais alto grau é denominado coeficiente do termo

dominante.Exemplo: A equação 4x²+3x+2=0 tem o grau 2 e o coeficiente do termo dominante é 4. Neste caso, dizemos que estaé uma equação do segundo grau.

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na seqüência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, queé a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara nãofoi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara,fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma doprimeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

Seja a equação:

a x² + b x + c = 0

com a não nulo e dividindo todos os coeficientes por a, temos:

x² + (b/a) x + c/a = 0

Passando o termo constante para o segundo membro, teremos:

x² + (b/a) x = -c/a

Prosseguindo, faremos com que o lado esquerdo da equação seja um quadrado perfeito e para isto somaremos oquadrado de b/2a a ambos os membros da equação para obter:

x² + (b/a) x + (b/2a)² = -c/a + (b/2a)²

Simplificando ambos os lados da equação, obteremos:

[x+(b/2a)]2 = (b² - 4ac) / 4a²

Notação: Usaremos a notação R[x] para representar a raiz quadrada de x>0. R[5] representará a raiz quadrada de 5.Esta notação está sendo introduzida aqui para fazer com que a página seja carregada mais rapidamente, pois alinguagem HTML ainda não permite apresentar notações matemáticas na Internet de uma forma fácil.

Extraindo a raiz quadrada de cada membro da equação e lembrando que a raiz quadrada de todo número real nãonegativo é também não negativa, obteremos duas respostas para a nossa equação:

x + (b/2a) = + R[(b²-4ac) / 4a²]

ou

x + (b/2a) = - R[(b²-4ac) / 4a²]

que alguns, por preguiça ou descuido, escrevem:




contendo um sinal ± que é lido como mais ou menos. Lembramos que este sinal ± não tem qualquer significado emMatemática.

Como estamos procurando duas raízes para a equação do segundo grau, deveremos sempre escrever:

x' = -b/2a + R[b²-4ac] /2a

ou

x" = -b/2a - R[b²-4ac] /2a

A fórmula de Bhaskara ainda pode ser escrita como:

onde D (às vezes usamos a letra maiúscula "delta" do alfabeto grego) é o discriminante da equação do segundo grau,definido por:

D = b² - 4ac

Equação do segundo grau

Uma equação do segundo grau na incógnita x é da forma:

a x² + b x + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação étambém chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado.

Equação Completa do segundo grau

Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:1. 2 x² + 7x + 5 = 02. 3 x² + x + 2 = 0

Equação incompleta do segundo grau

Uma equação do segundo grau é incompleta se b=0 ou c=0 ou b=c=0. Na equação incompleta o coeficiente a édiferente de zero.

Exemplos:

1. 4 x² + 6x = 0

2. 3 x² + 9 = 03. 2 x² = 0

Resolução de equações incompletas do 2o. grau

Equações do tipo ax²=0: Basta dividir toda a equação por a para obter:

x² = 0

significando que a equação possui duas raízes iguais a zero.

Equações do tipo ax²+c=0: Novamente dividimos toda a equação por a e passamos o termo constante para o segundo

membro para obter:x² = -c/a

Se -c/a for negativo, não existe solução no conjunto dos números reais.




Se -c/a for positivo, a equação terá duas raízes com o mesmo valor absoluto (módulo) mas de sinais contrários.

Equações do tipo ax²+bx=0: Neste caso, fatoramos a equação para obter:

x (ax + b) = 0

e a equação terá duas raízes:

x' = 0 ou x" = -b/a

Exemplos gerais

1. 4x²=0 tem duas raízes nulas.2. 4x²-8=0 tem duas raízes: x'=R[2], x"= -R[2]3. 4x²+5=0 não tem raízes reais.4. 4x²-12x=0 tem duas raízes reais: x'=3, x"=0

Exercícios: Resolver as equações incompletas do segundo grau.

1. x² + 6x = 02. 2 x² = 03. 3 x² + 7 = 04. 2 x² + 5 = 05. 10 x² = 06. 9 x² - 18 = 0

Resolução de equações completas do 2o. grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax²+bx+c=0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la bastausar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

onde D=b²-4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante D há três possíveis situações:

1. Se D<0, não há solução real, pois não existe raiz quadrada real de número negativo.2. Se D=0, há duas soluções iguais:

x' = x" = -b / 2a3. Se D>0, há duas soluções reais e diferentes:

x' = (-b + R[D])/2ax" = (-b - R[D])/2a

Exemplos: Preencher a tabela com os coeficientes e o discriminante de cada equação do segundo grau, analisando os

tipos de raízes da equação.

Equação a b c Delta Tipos de raízes

x²-6x+8=0 1 -6 8 4 reais e diferentes

x²-10x+25=0

x²+2x+7=0

x²+2x+1=0

x²+2x=0




O uso da fórmula de BhaskaraVocê pode realizar o Cálculo das Raízes da Equação do segundo grau com a entrada dos coeficientes a, b e c em umformulário, mesmo no caso em que D é negativo, o que força a existência de raízes complexas conjugadas. Paraestudar estas raízes.

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1. Identificar os coeficientes: a=1, b= -5, c=6

2. Escrever o discriminante D = b²-4ac.3. Calcular D=(-5)²-4×1×6=25-24=14. Escrever a fórmula de Bhaskara:

5. Substituir os valores dos coeficientes a, b e c na fórmula:x' = (1/2)(5+R[1]) = (5+1)/2 = 3x" = (1/2)(5-R[1]) = (5-1)/2 = 2

Exercícios

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:1. x² + 9 x + 8 = 02. 9 x² - 24 x + 16 = 03. x² - 2 x + 4 = 04. 3 x² - 15 x + 12 = 05. 10 x² + 72 x - 64 = 0

2. Resolver as equações:1. x² + 6 x + 9 = 02. 3 x² - x + 3 = 0

3. 2 x² - 2 x - 12 = 04. 3 x² - 10 x + 3 = 0

Equações fracionárias do segundo grau

São equações do segundo grau com a incógnita aparecendo no denominador.

Exemplos:

1. 3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 02. 3/(x²-4)+1/(x-2)=0

Para resolver este tipo de equação, primeiramente devemos eliminar os valores de x que anulam os denominadores,

uma vez que tais valores não servirão para as raízes da equação, pois não existe fração com denominador igual a 0.Na seqüência extraímos o mínimo múltiplo comum de todos os termos dos denominadores das frações, se houvernecessidade.

1. Consideremos o primeiro exemplo:3/(x² - 4) + 1/(x - 3) = 0x deve ser diferente de 3, diferente de 2 e diferente de -2, assim podemos obter o mínimo múltiplo comumentre os termos como:MMC(x) = (x² - 4)(x - 3)Reduzindo as frações ao mesmo denominador que deverá ser MMC(x), teremos:[3(x-3) + 1(x²-4)] / (x²-4)(x-3) = 0

o que significa que o numerador deverá ser:3(x - 3) + 1(x² - 4) = 0que desenvolvido nos dá:




x2 + 3x - 13 = 0que é uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula de Bhaskara. Não existirão númerosreais satisfazendo esta equação.

2. Consideremos agora o segundo exemplo:(x+3)/(2x-1)=2x/(x+4)O mínimo múltiplo comum entre 2x-1 e x+4 é MMC=(2x-1)(x-4) (o produto entre estes fatores) e MMCsomente se anulará se x=1/2 ou x= -4. Multiplicando os termos da equação pelo MMC, teremos umaseqüência de expressões como:(x+3)(x+4)=2x(2x-1)x² + 7x + 12 = 4x² - 2x-3x² + 9x + 12 = 03x² - 9x - 12 = 0x² - 3x - 4 = 0(x-4)(x+1) = 0

Solução: x'=4 ou x"= -13. Estudemos outro exemplo:

3/(x²-4)+1/(x-2)=0O mínimo múltiplo comum é MMC=x²-4=(x-2)(x+2) e este MMC somente se anulará se x=2 ou x= -2.Multiplicando os termos da equação pelo MMC, obteremos:3 + (x+2)=0cuja solução é x= -5

Exercícios: Resolver as equações do segundo grau fracionárias:

1. x + 6/x = -72. (x+2)/(x+1) = 2x/(x-4)3. (2-x)/x + 1/x² = 3/x4. (x+2)/(x-2) + (x-2)/(x+2) = 1

Equações bi-quadradas

São equações do 4o. grau na incógnita x, da forma geral:

a x4 + b x² + c = 0

Na verdade, esta é uma equação que pode ser escrita como uma equação do segundo grau através da substituição:

y = x²

para gerar

a y² + b y + c = 0

Aplicamos a fórmula quadrática para resolver esta última equação e obter as soluções y' e y" e o procedimento finaldeve ser mais cuidadoso, uma vez que

x² = y' ou x² = y"

e se y' ou y" for negativo, as soluções não existirão para x.

Exemplos:1. Para resolver x4-13x²+36=0, tomamos y=x², para obter y²-13y+36=0, cujas raízes são y'=4 ou y"=9, assim:

x² = 4 ou x² = 9o que garante que o conjunto solução é:S = { 2, -2, 3, -3}

2. Para resolver x4-5x²-36=0, tomamos y=x², para obter y²-5y-36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"=9 e dessemodo:x² = -4 ou x² = 9o que garante que o conjunto solução é:S = {3, -3}

3. Se tomarmos y=x² na equação x4+13x²+36=0, obteremos y²+13y+36=0, cujas raízes são y'= -4 ou y"= -9 edessa forma:x² = -4 ou x² = -9o que garante que o conjunto solução é vazio.




Teorema fundamental da álgebraEm matemática, o teorema fundamental da Álgebra afirma que qualquer polinómio p(z) com coeficientes complexosde uma variável e de grau n ≥ 1 tem alguma raiz complexa. Por outras palavras, o corpo dos números complexos éalgebricamente fechado e, portanto, tal como com qualquer outro corpo algebricamente fechado, a equação p(z) = 0tem n soluções (não necessariamente distintas).

O nome do teorema é hoje em dia considerado inadequado por muitos matemáticos, por não ser fundamental para aÁlgebra contemporânea.

HistóriaPeter Rothe, no seu livro Arithmetica Philosophica (publicado in 1608), escreveu que uma equação polinomial degrau n (com coficientes reais) pode ter n soluções. Albert Girard, no seu livro L'invention nouvelle en l'Algèbre(publicado in 1629), afirmou que uma equação polinomial de grau n tem n soluções, mas não disse que tais soluçõeseram necessariamente números complexos. Além disso, ele disse que a sua afirmação era válida «a menos que aequação seja incompleta», querendo dizer com isto que nenhum coeficiente é igual a 0. No entanto, quando eleexplica em detalhe o que quer dizer, torna-se claro que, de facto, ele acredita que a afirmação dele é válida em todosos casos; por exemplo, ele mostra que a equação x4 = 4x − 3, embora incompleta, tem quatro soluções:

.

Em 1637, Descartes escreve em La géométrie o que anos antes Harriot havia descoberto - se é raiz de umpolinómio, então divide o polinómio. Descartes afirmou também que para todas as equações de grau n,podemos imaginar n raízes, mas estas podem não corresponder a quantidades reais.

Uma consequência do teorema fundamental da Álgebra é que qualquer polinómio com coeficientes reais e grausuperior a 0 pode ser escrito como produto de polinómios com coeficientes reais de graus 1 ou 2. No entanto, em

1702 Leibniz afirmou que nenhum polinómio do tipo (com real e não nulo) pode ser obtido sob aquelaforma. Anos mais tarde, Nicolaus II Bernoulli (1695-1726) afirmou o mesmo relativamente ao polinómio

, mas recebeu uma carta de Euler em 1742 na qual lhe foi explicado que o seupolinômio era de fato igual a

,

sendo α a raiz quadrada de , enquanto que

.Uma primeira tentativa de demonstrar o teorema foi levada a cabo por d'Alembert em 1746, mas na altura a

demonstração foi considerada incorrecta. Entre outros problemas, usava implicitamente um teorema (actualmentedesignado por teorema de Puiseux) que só viria a ser demonstrado um século mais tarde e cuja demonstração sepensava depender do teorema fundamental da álgebra. No entanto, hoje em dia há quem defenda que a demonstraçãode d'Alembert foi mal compreendida, e que de facto não depende do teorema fundamental da álgebra ou seja, não écircular.

Outras tentativas foram levadas a cabo por Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) e Laplace (1795).Estas últimas quatro tentativas recorreram à tese de Argand; mais precisamente, a existências de raízes era dada comocerta e o que faltava provar era que eram da forma para números reais a e b. Em terminologia moderna,Euler, de Foncenex, Lagrange e Laplace estavam a supor a existência de um corpo de decomposição do

polinômio .

No fim do século XVIII foram publicadas duas novas demonstrações que não supunham a existência de raízes. Umadelas, da autoria de James Wood e sobretudo algébrica, foi publicada em 1798 e completamente ignorada. A




demonstração de Wood tinha uma falha de natureza algébrica. A outra demonstração foi publicada por Gauss em1799 e era sobretudo geométrica, mas tinha uma falha topológica. Uma demonstração rigorosa foi publicada porArgand em 1806; foi aqui que, pela primeira vez, o teorema fundamental da Álgebra foi enunciado para polinómioscom coeficientes complexos e não apenas para polinómios com coeficientes reais. Gauss publicou mais duasdemonstrações em 1816 e uma nova versão da primeira demonstração em 1849.

O primeiro manual universitário a conter uma demonstração do teorema foi o Cours d'analyse de l'École RoyalePolytechnique, de Cauchy (1821). A demonstração em questão é a de Argand, embora este não seja mencionado.

Nenhuma das demonstrações até agora mencionadas é construtiva. Foi Weierstrass quem levantou pela primeira vez,

em 1891, o problema de encontrar uma demonstração construtiva do teorema. Tal demonstração foi obtida porHellmuth Kneser em 1940 e simplificada pelo seu filho Martin Kneser em 1981.

DemonstraçõesTodas as demonstrações do teorema envolvem Análise ou, mais precisamente, o conceito de continuidade de umafunção real ou número complexa. Algumas funções também empregam derivabilidade ou mesmo funções analíticas.

Algumas demonstrações provam somente que qualquer polinómio de uma variável com coeficientes reais tem algumaraiz complexa. Isto basta para demonstrar o teorema no caso geral pois, dado um polinómio p(z) com coeficientes

complexos, o polinómio tem coeficientes reais e, se z0 for uma raiz de q(z), então z0 ou o seu

conjugado é uma raiz de p(z).Um grande número de demonstrações não algébricas usa o facto de p(z) se comportar como zn quando | z | forsuficientemente grande. Mais precisamente, existe algum número real positivo R tal que, se | z | > R, então

| z | n / 2 < | p(z) | < 3 | z | n / 2.Seguem-se demonstrações baseadas em Análise, Topologia e Álgebra:

Demonstrações analíticas

Seja r > 0 tal que | p(z) | > | p(0) | quando | z | ≥ r e seja D o disco fechado de raio r centrado em 0. Uma vez que D écompacto, a restrição a D de | p | tem um mínimo; seja z0 um ponto de D onde esse mínimo seja atingido. Então, z0

não pode estar situado na fronteira de D, pois nos pontos z da fronteira tem-se | p(z) | > | p(0) | ≥ | p(z0) | . Logo, z0está no interior de D e, portanto, pelo princípio do mínimo, p(z0) = 0. Por outra palavras, z0 é um zero de p(z).

Outra demonstração analítica pode ser obtida usando o teorema de Liouville. Suponhamos com vista a um absurdoque p(z)≠0 para todo o z pertencente a C. Como p(z) é inteira e não tem raízes, então 1 / p(z) também é inteira. Vistoque |p(z)|→∞ quando |z|→∞, então existem M,r > 0 tais que | p(z) | > M se | z | > r. Assim, para | z | > r, temos que 1 / p(z) | < 1 / M. Como 1 / p(z) é inteira, é contínua em C portanto é limitada no compacto |z|≤r. Logo 1 / p(z) é

limitada em C. Nestas condições, aplicando o Teorema de Liouville, 1 / p(z) é constante. Donde, p(z) é constante, oque é um absurdo. Logo p(z) tem que ser zero para algum valor de z pertencente a C.

Demonstrações topológicas




Quando r é suficientemente grande, P(z) dá n voltas em torno de 0, quando z percorre uma vez o círculo de raio r emtorno de 0.

Em alternativa ao uso do teorema de Liouville na demonstração anterior, pode-se escrever p(z) como um polinómioem z − z0: há algum número natural k e há números complexos ck, ck + 1, … , cn tais que ck ≠ 0 e que

p(z) = p(z0) + ck(z − z0)k + ck + 1(z − z0)k + 1 + ··· + cn(z − z0)n.Deduz-se que se a for uma raiz de ordem k de − p(z0) / ck e se t for positivo e suficientemente pequeno, então | p(z0+ ta) | < | p(z0) | , o que é impossível, uma vez que | p(z0) | é o mínimo de | p | em D.

Para outra demonstração topológica, suponha-se que p(z) não tem zeros. Seja r um número real positivo tal que,quando | z | = r, o termo dominante zn de p(z) domine todos os outros; posto de outro modo, tal que | z | n > | an − 1zn− 1 + · ·· + a0 | . À medida que z percorre o círculo | z | = r uma vez no sentido directo, p(z), tal como zn, dá n voltasem torno de 0 no sentido directo. Por outras palavras, o índice relativamente a 0 do lacete percorrido por p(z) é n. Noextremo oposto, quando | z | = 0, o lacete p(z) consiste somente no ponto p(0), cujo índice relativamente a 0 éobviamente 0. Se o lacete percorrido por z é deformado continuamente entre estes dois extremos, o caminhopercorrido por p(z) também é continuamente deformado. Como p(z) não tem zeros, este caminho nunca passa por 0 àmedida que vai sendo deformado, pelo que o seu índice relativamente a 0 não pode mudar. No entanto, como o índicepassa de n para 0, isto é absurdo. Logo, p(z) tem necessariamente algum zero.

Demonstração algébricaEsta demonstração usa somente dois fatos cuja demonstração requer Análise ou, mais precisamente, o teorema dosvalores intermédios, nomeadamente:

• qualquer polinómio de grau ímpar com coeficientes reais tem pelo menos um zero real;• qualquer número real não negativo tem alguma raiz quadrada.

Resulta da segunda afirmação que, se a e b forem números reais, então há números complexos z1 e z2 tais que opolinómio z2 + az + b é igual a (z − z1)(z − z2).

Como já foi observado, basta demonstrar que o teorema é válido para polinómios p(z) com coeficientes reais. Oteorema pode ser demonstrado por indução relativamente ao menor inteiro não negativo k tal que 2k divide o grau n

de p(z). Seja F um corpo de decomposição de p(z) (visto como um polinómio com coeficientes complexos); poroutras palavras, o corpo F contém C e há elementos z1, z2, …, zn de F tais que

p(z) = (z − z1)(z − z2) ·· · (z − zn).Se k = 0, então n é ímpar e, portanto, p(z) tem alguma raiz real. Suponha-se agora que n = 2km (com m ímpar e k >0) e que o teorema já se encontra demonstrado no caso em que o grau do polinómio é da forma 2k − 1m' com m'ímpar. Para um número real t, seja:

.Então os coeficientes de qt(z) são polinómios simétricos nos zi com coeficientes reais. Logo, podem ser expressoscomo polinómios com coeficientes reais nos polinómios simétricos elementares, ou seja, em − a1, a2, …, ( − 1)nan,pelo que qt tem, de facto, coeficientes reais. Além disso, o grau de qt é igual a n(n − 1) / 2 = 2k − 1m(n − 1), e m(n −1) é ímpar. Logo, pela hipótese de indução, qt tem alguma raiz real; por outras palavras, zi + zj + tzizj é real para doiselementos distintos i e j de {1, …, n}. Como há mais números reais do que pares (i,j), é possível encontrar númerosreais distintos t e s tais que zi + zj + tzizj e zi + zj + szizj sejam reais (para os mesmos i e j). Conseqüentemente, tantozi + zj como zizj são números reais e, portanto, zi e zj são números complexos, pois são raízes do polinómio z2 − (z1+ z2)z + z1z2.

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seuargumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma seqüência de números reais,

à medida que o índice (da seqüência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculodiferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.




limite de uma seqüência

Seja uma seqüência de números reais. A expressão:

significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da seqüência. Neste caso, dizemos que olimite da seqüência é L.

A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser interpretada como um desafio. O desafiante propõequão perto de L os termos da seqüência devem chegar, e o desafiado deve mostrar que, a partir de um certo valor de i,os termos realmente estão perto de L.

Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L (dado, pelo desafiante, por exemplo, pelo intervalo aberto

, o desafiado deve exibir um número natural N tal que .

Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim:

Limite de uma funçãoSuponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão:

significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x suficientemente próximo de c. Quandotal acontece dizemos que "o limite de f(x), à medida que x se aproxima de c, é L". Note-se que esta afirmação pode

ser verdadeira mesmo quando , ou quando a função f(x) nem sequer está definida em c. Vejamos doisexemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.

Consideremos à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual aoseu limite: 0.4, vejamos:

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)0.4121 0.4012 0.4001 0.4 0.3998 0.3988 0.3882

À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e conseqüentemente temos a igualdade .

Sempre que se verifique a igualdade , diz-se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida paratodas as funções. Vejamos uma função onde tal não acontece

O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas econseqüentemente g não é contínua em x = 2.




Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.

Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe e é igual a 2:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)

1.95 1.99 1.999 não está definido 2.001 2.010 2.10Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de f(x) é 2.

Definição formal

A definição ε-δ de limite.

O conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja f uma função definida num intervalo abertocontendo a (excepto possivelmente a) e seja A um número real. A expressão

significa que qualquer que seja existe um tal que para todo x, satisfazendo , vale

. OU, usando a notação simbólica:

Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéia originalmente formulada porCauchy:

Acrecia. um limite A dado pela fórmula:

onde A é o valor do qual difere o valor de f(x) a menos de um valor ε (epsilon) maior que zero se o valor de x diferirde a por um valor menor que o valor δ (delta) maior que zero e função de ε (δ = f(ε))




Aproximação intuitivaA noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceito de limite pode ser apreendidode forma intuitiva, pelo menos parcialmente.

Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser um determinado número, ou seja, nolimite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vai se aproximar muito, de tal maneira que não se consigaestabelecer uma distância que vai separar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para oqual y = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0 arbitrariamente muito poucotambém.

Por exemplo, imaginemos a função: f(x) = 2x + 1 e imaginando f:R - > R (Definida nos reais). Sabemos, lógico, queesta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passa pela origem, pois se substituirmos: f(0) = 2.0 + 1 que nos dá:f(0) = 0 + 1 = 1, ou seja, no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que seaproximem de 1, por exemplo:

Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996

Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite, quando tende a ser um número,esta variável aproxima-se tanto do número, de tal forma que podemos escrever como no seguinte exemplo:

Sendo uma função f definida por: f(x) = 2x + 1 nos Reais, calcular o limite da função f quando x - > 1. Temos então,neste caso, a função descrita no enunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ouseja, para a resolução fazemos:

Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos o problema. Na verdade, não estamos

substituindo o valor, porque para o cálculo não importa o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em tornodeste ponto. Por isso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vai ser n, mas seaproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, a definição de limite é tão e somente intuitiva. Vaide analisar a função que está ocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1pela esquerda, ou seja:

Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função f(x) descrita nos exemplo acima, porexemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então: y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então:y=f(x)=3,222 Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pela esquerda como foimostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemas que envolvem cálculo, devemos saber como afunção que está em jogo se comporta.

Limites em funções de duas ou mais variáveisA noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas, nem sempre é fácil de secalcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que o limite exista ou não.

Esse é o caso de funções de duas ou mais variáveis. Uma função do tipo:

pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.

Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir para a direita (no sentido demaiores números reais) ou para a esquerda (no sentido de menores números reais).

Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem-se dois graus de liberdade.




Conseqüentemente, pode-se ter infinitos caminhos entre dois pontos, o que na verdade influencia no valor do limite.

Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele independa do caminho tomado para que o(s) valor(es)da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados. Isso é verdade no caso unidimensional, quando os dois limiteslaterais coincidem. Em caso contrário, o limite não existe.

De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:

o limite pode ser testado através de vários caminhos.Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta função:

Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades:

• o limite se fazendo através da abcissa, da direita para a esquerda, ou seja,

Nesse caso o limite L é zero

• o limite se fazendo através da ordenada, de cima para baixo, ou seja,

Nesse caso, o limite L é também zero

Poder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa função, o limite nesse ponto ésempre zero.

Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:

que pode ser provado fazendo-se a aproximação do ponto (0,0) através das parametrizações dadas pelas equaçõesparamétricas:

a função toma a forma

Vê-se, então, que o valor do limite depende do angulo α pelo qual a reta de parametrização permite que se aproximedo ponto (0,0). Dessa forma, o limite não existe nesse ponto para essa função.




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