Apostila Matematica I - Carlos Leandro-1

MATEMÁTICA 1 – PROF. CARLOS LEANDRO SCHWALB

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APOSTILA

MATEMÁTICA 1

PROF. Carlos LEANDRO A. Schwalb

[email protected]

Disciplina: Matemática 1

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1. RAZÃO A palavra razão vem do latim ratio e significa a divisão ou o quociente entre dois números A e B,

denotado por B

A, com B≠0 (lê-se de A para B).

Exemplo: A razão entre os números 3 e 4 é 4

3, ou

seja de cada 4 “temos” 3. A razão também pode ser expressa na forma de divisão entre duas grandezas de algum sistema de medidas. Por exemplo, para preparar uma bebida na forma de suco, normalmente adicionamos A litros de suco concentrado com B litros de água. A relação entre a quantidade de litros de suco concentrado e de água é um número real expresso como uma fração ou razão (que não tem, unidade), é

a razão BAB

A/= .

Ou outro exemplo de razão entre grandezas seria o conceito de velocidade média. Dizer que um automóvel está numa velocidade média de 80km/h é o mesmo que dizer que este automóvel se desloca 80km num intervalo de tempo de 1h. A relação entre a distância percorrida e o tempo gasto é expresso pela razão chamada velocidade média (que neste caso está em km/h). 2. PROPORÇÃO Proporção é a igualdade entre duas razões. A

proporção entre B

A e

D

C é a igualdade

D

C

B

A = .

A palavra proporção vem do latim proportione e significa uma relação entre as partes de uma grandeza, ou seja, é uma igualdade entre duas razões.

Na proporção D

C

B

A = (lê-se A está para B, assim

como C está para D), os números B e C são chamados de meios e os números A e D são chamados de extremos. 2.1. PROPRIEDADE FUNDAMENTAL DAS PROPORÇÕES

Em toda proporção do tipo D

C

B

A = , o produto dos

meios é igual ao produto dos extremos. Assim: A.D=B.C.

2.2. PROPORÇÃO DIRETA Proporção direta , em matemática é a relação entre dois números que crescem ou decrescem na mesma proporção. Matematicamente, se dois valores x e y são relacionados e diretamente proporcionais, quando x cresce ou decresce em uma determinada proporção, y crescerá ou decrescerá da mesma forma. Duas seqüências são diretamente proporcionais quando a razão entre seus termos é sempre uma mesma constante. Assim, se a seqüência A, B, C é diretamente proporcional

à seqüência D, E, F então escrevemos F

C

E

B

D

A == .

2.3. PROPORÇÃO INVERSA Proporção inversa , em matemática, é a relação entre dois números que crescem ou decrescem inversamente na mesma proporção. Matematicamente, se dois valores x e y são relacionados e inversamente proporcionais, quando x cresce em uma determinada proporção, y decrescerá da mesma forma, e quando decresce em uma determinada proporção, crescerá da mesma forma. Duas seqüências são inversamente proporcionais quando o produto entre seus termos é sempre uma mesma constante. Assim, se a seqüência A, B, C é inversamente proporcional à seqüência D, E, F então escrevemos

C.F B.E A.D == . 3. REGRA DE TRÊS A regra de três , na matemática, é uma forma de se descobrir valores de incógnitas a partir de outros valores numéricos. Existem dois tipos de regra de três: simples e composta. 3.1. REGRA DE TRÊS SIMPLES Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. 3.2. REGRA DE TRÊS COMPOSTA A regra de três composta , na matemática é uma forma de se descobrir valores de grandezas a partir de outros valores já existentes. Um modelo reduzido deste método é a reagra de três simples, utilizada quando a comparação se dá apenas entre três valores. A regra de três composta é utilizada quando se quer descobrir um único valor a partir de três, cinco ou mais valores já conhecidos, e tendo em conta que os valores referentes a uma mesma classe de objeto devem estar na mesma unidade de medida.


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4. TAXA PERCENTUAL 4.1. DEFINIÇÃO DE TAXA PERCENTUAL Observe a situação a seguir: É comum encontrarmos no comércio promoções do tipo “Leve 5 e pague 3”. Esse tipo de promoção equivale a um desconto para o consumidor, que pode ser determinado da seguinte forma: na promoção não está pagando por duas unidades em

cinco, isto é, há um desconto de 52

, que é uma

fração equivalente a 10040

: portanto, o desconto na

promoção é de 40%. Taxa percentual ou porcentagem é a razão entre um número real p e o número 100. Indicamos assim:

100p

ou p%.

A expressão “por cento” vem do latim centium, o que significa “divisão por 100”. Observe que a porcentagem é um conceito relativo, ou seja, só podemos falar em porcentagem de alguma coisa. Exemplos: a) 25% de 200 =

50200.25,020041

20010025 ==⋅=⋅

b) 80% de 42 = 6,3342.80,04254

4210080 ==⋅=⋅

c) 120% de 60 = 7260.20,112056

60100120 ==⋅=⋅

d) 30% de 40% de 75 =

975.40,0.30,07510040

10030 ==⋅⋅


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Razões e Proporções. Regra de Três

Simples e Composta.

01. Escreva, sob a forma de taxa percentual, cada uma das razões: a) 2/5 e) 3 ¼ b) 1/20 f) 0,24 c) 5/2 g) 0,0125 d) 37/80 h) 0,012

02. Escreva as taxas percentuais em formato de

razão, sob a forma mais simples (simplificada): a) 80% e) 18,6% b) 66% f) 2/3 % c) 25,2% g) 0,054% d) 0,48% h) 2 ¼ %

03. Calcule :

a) 20% de 300 b) 15% de R$ 160,00 c) 9% de 50 d) 6,5% de 1.200 kg e) 0,4% de 550 f) 4 ½ % de 750

04. Calcule quantos por cento:

a) R$ 121,00 são de R$ 484,00 b) 936 g são de 15.600 g c) 912,5 g são de 73 kg d) 45 litros são de180 dm3

05. Calcule a quantia da qual:

a) R$ 42,00 representam 5% b) R$ 280,00 representam 8% c) R$ 33,00 representam 5,5% d) R$ 320,00 representam 1,25%

06. Meio representa quantos por cento de 5/8?

07. Qual o número cujos 7% valem 28?

08. Uma Nota Promissória, cujo valor era de R$

5.000,00, foi paga com um desconto de

R$ 250,00. Qual a taxa de desconto?

09. Em quantos por cento aumentou a população

de uma cidade que era de 67.200 habitantes e

agora é de 92.400?

10. Em uma escola, 40% dos alunos são

meninas. A escola possui 750 alunos.

Quantos são meninos?

11. Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada

e o restante em 4 prestações, sendo três de R$

160,00 e uma de R$ 180,00. Qual o preço a vista da

mercadoria?

12. Um comerciante pagou 20% de uma dívida.

Determine o valor da dívida inicial, sabendo-se

que com R$ 43.680,00 ele pagou 35% do restante?

13. Um lojista comprou 6 peças de tecido de 50 m

cada uma ao custo de R$ 9,00 o metro,

pretendendo vendê-las com um lucro de 30%.

Vendeu 1/3 à razão de R$ 11,00 o metro. Por

quanto deverá vender o tecido restante de forma a

se obter o lucro desejado?

14. Um relojoeiro adquire um lote de 120 relógios a o

preço de R$ 80,00 cada um. Vende 2/3 a R$ 95,00

cada um e o restante a R$ 102,00 cada um. De

quantos por cento foi o lucro do relojoeiro?

15. Calcular o valor de x e y nas seguintes

proporções:

a) x/7 = y/12, x + y = 76 b) 6/x = 5/y, x + y = 220 c) x/5 = y/2, x - y = 21 d) 8/x = 3/y, x – y = 50 e) x/y = 2/5, x + y = 49 f) 8/3 = x/y, x – y = 30

16. Calcular o valor das incógnitas nas seguintes

proporções:

a) x/2 = y/5 = z/9, sendo x + y+ z = 64 b) a/7 = m/3 e m/3 = b/8, sendo a + b = 45 c) x/7 = y/9, sendo x.y = 252 d) a/3 = b/4, sendo a2 + b2 = 100

17. Dividir 540 em partes proporcionais aos números

1, 2 e 3.

18. Dividir 840 em partes proporcionais aos números

2/3, ½ e 5/6.

19. Dividir R$ 15.000,00 em três partes tais que a

primeira esteja para a segunda como 3 está para

5; e a segunda para a terceira como 5 está para 7.


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20. Dividir R$ 6.500,00 em partes inversamente

proporcionais aos números 2,3 e 4.

21. Dividir R$ 927.200,00 em partes inversamente

proporcionais aos números 2/3, 4/5 e ½.

22. Dividir R$ 9.680,00 em partes proporcionais

aos números 9/10, ½ e 4/5 e ao mesmo tempo

proporcionais a ¾, 7/8 e ½.

23. Dividir R$ 81.098,00 em partes proporcionais

aos números 5/6, 2/3 e ½ e ao mesmo tempo

inversamente proporcionais aos números 1/5,

2/7 e ¾.

24. Dois sócios lucraram R$ 276,00. O primeiro

entrou para a sociedade com R$ 180,00 e o

segundo com R$ 210,00. Qual a parte de lucro

de cada um?

25. Uma empresa obteve um lucro de R$

4.416,00. O primeiro sócio empregou R$

1.000,00 durante 1 ano e 6 meses; o segundo

R$ 1.200,00 por 1 ano e 4 meses; e o terceiro

R$ 1.500,00 durante 1 ano. Qual o lucro de

cada um dos sócios?

26. Vinte operários fazem um trabalho em 18

dias; quantos operários seriam necessários

para fazer o mesmo serviço em 12 dias?

27. Quinze operários, em 9 dias de 8 horas

ganham R$ 1.080,00. Qual o valor que

ganhariam 23 operários em 12 dias de 6

horas?

28. Cinco homens, em 8 dias, ganham R$ 480,00.

Quantos dias seriam necessários para 9

homens ganharem R$ 2.376,00?

29. Um operário levou 10 dias de 8 horas para

fazer 1.000 metros de certo tecido. Quantos

dias de 6 horas levaria para fazer 2.000

metros de outro tecido que apresenta uma

dificuldade igual a ¾ do primeiro?

30. Um trem percorre certa distância em 8 horas a

velocidade de 60 km/h. Em quanto tempo fará o

mesmo percurso a velocidade de 50 km/h?

31. Cinco operários efetuam um serviço em 8 dias. S e

forem contratados mais três operários em quanto

tempo o serviço ficará pronto?

32. Uma máquina produz 11.000 peças operando 44

horas por semana. Três máquinas produzirão

quantas peças operando 40 horas por semana.

33. 14 operários, em 10 dias de 8 horas de trabalho

fazem 56.000 m de manilha. Em quantos dias,

horas, minutos e segundos 9 operários

construirão 42.400 m de manilha trabalhando 6

horas por dia?

34. Em 9 dias, 8 operários fizeram 1/3 do trabalho do

qual foram incumbidos. Se aumentarmos em 6 o

número de trabalhadores em quanto tempo o

trabalho será concluído?

35. Uma pessoa realiza 1/3 de seu trabalho em 9 dia s

operando 8 horas por dia. Em quantos dias fará

metade do trabalho operando 6 horas por dia?

36. 35 m de um tecido custam R$ 147,00. Quanto será

pago por 12 m do tecido?

37. Um trem percorreu 24,5 km em 28 minutos. Que

distância percorreria, a mesma velocidade, em 54

minutos?

38. Um operário faz em 12 dias um trabalho cuja

dificuldade é dada pelo coeficiente 0,2. Em

quantos dias poderá realizar outro trabalho cujo

coeficiente de dificuldade é dado por 0,25?

39. Se para imprimir 87.500 exemplares de um livro 5

rotativas gastam 56 minutos. Em quanto tempo


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(horas e minutos), 7 rotativas iguais as

primeiras imprimirão 350.000 exemplares do

mesmo livro?

40. Quinze operários trabalhando 8 horas diárias

cavaram um poço de 400 m 3 em 10 dias.

Quantos operários devem ser acrescentados

para que em 15 dias, trabalhando 6 horas

diárias, cavem os 600 m 3 restantes?

41. Transportam-se 8 toneladas de uma

mercadoria à distância de 9 km por R$

5.000,00. Determinar o custo do transporte de

6.000 kg de outra mercadoria à distância de

15 km sabendo-se que as facilidades dos 2

transportes estão na razão de 3/5

respectivamente.

42. Doze operários executam 25% de uma obra

em 8 dias, trabalhando 9 horas por dia. Se

dispensarmos 3 operários, em quanto tempo

os restantes, trabalhando 8 horas por dia,

concluirão a obra?

43. Dois pedreiros constroem 120 m 2 de piso em

determinado tempo. Quantos m 2 de piso

construiriam 5 pedreiros neste mesmo

tempo?

44. Se 28 operários ganham R$ 3.808,00 quantos

operários deverão ser reduzidos para que o

valor a ser pago seja de R$ 680,00?

45. Com a velocidade de 75 km/h um veículo

percorre em 8 horas determinada distância.

Em quanto tempo percorreria a mesma

distância se a velocidade fosse de 60 km/h?

46. Vinte operários constroem um muro em 18

dias. Quantos operários serão necessários

para construírem o mesmo muro em 12 dias?

47. Um trem percorre certa distância em 8 horas

a velocidade de 60 km/h. Em quanto tempo

fará o mesmo percurso a velocidade de 50 km/h?

48. Cinco operários efetuam um serviço em 8 dias. S e

forem contratados mais três operários em quanto

tempo o serviço ficará pronto?

49. Numa gráfica existem 3 impressoras off set que

funcionam ininterruptamente, 10 horas por dia,

durante 4 dias, imprimindo 240.000 folhas. Tendo-

se quebrado uma das impressoras e

necessitando-se imprimir, em 6 dias, 480.000

folhas, quantas horas por dia deverão funcionar

ininterruptamente as duas mesmas máquinas

restantes?

50. 24 operários fazem 2/5 de determinado serviço e m

10 dias, trabalhando 7 horas pro dia. Em quantos

dias a obra estará terminada, sabendo-se que

foram dispensados 4 operários e o regime de

trabalho diminuído de uma hora por dia?

51. Se 5 máquinas funcionando 16 horas pro dia

levam 3 dias para produzir 360 peças, então 4

máquinas iguais às primeiras devem funcionar

quantas horas por dia para produzir 432 peças em

4 dias?

52. 5 datilógrafos preparam 2.500 páginas em 21 dia s,

trabalhando 6 horas por dia. Um trabalho de 4.000

páginas com 7 datilógrafos, trabalhando 8 horas

por dia, será feito em quantos dias?

53. Uma impressora tem capacidade para imprimir 14

páginas por minuto em preto e 10 páginas por

minuto em cores. Quanto tempo outra impressora

levaria para imprimir um texto com 210 paginas

em preto e 26 em cores, se sua capacidade de

operação é igual a 80% da capacidade da

primeira?


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54. Um tratorista trabalhando 8 horas por dia

gradeia 100 hectares em 10 dias. Nas

mesmas condições quantos hectares ele

gradeará em 6 dias, trabalhando 10 horas por

dia?

55. O processamento de 300 toneladas de lixo é

realizado em 28 horas por 5 máquinas. Se

uma das máquinas quebrar, quantas horas as

demais levarão para fazer o mesmo

processamento?

56. 6 homens, trabalhando 6 horas pro dia,

constroem 6 muros em 6 dias. Em quantos

dias 12 homens, trabalhando 12 horas por

dia, construirão 12 muros?

57. Doze costureiras, trabalhando 8 horas por

dia, em 18 dias tecem 480 mantas. Qual será

o número de costureiras necessário para que

sejam tecidas 700 mantas, trabalhando 6

horas por dia em 12 dias, mantendo o mesmo

ritmo de trabalho que as anteriores?

58. Em uma fábrica, quatro máquinas idênticas

são capazes de produzir 20 peças em 10

horas. Se apenas 2 dessas máquinas forem

utilizadas, 10 peças serão produzidas em

quantas horas?


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Gabarito 01. a) 40%;

b) 5% c) 250%; d) 46,25% e) 325%; f) 24 g) 1,25%; h) 1,2%

02. a) 4/5 ;

b) 33/50 c) 63/250; d) 3/625 e) 93/500; f) 1/150 g) 27/50.000; h) 9/400

03. a) 60;

b) R$ 24,00 c) 4,5; d) 78 kg e) 2,2; f) 33,75

04. a) 25%;

b) 6% c) 1,25%; d) 25%

05. a) R$ 840,00;

b) R$ 3.500,00 c) R$ 600,00; d) R$ 25.600,00

06. 80% 07. 400 08. 5% 09. 37,5% 10. 450 meninos 11. R$ 880,00 12. R$ 156.000,00 13. R$ 12,05 14. 21,7%

15. a) x = 28; y = 48; b) x = 120; y = 100 c) x = 35; y = 14; d) x = 80; y = 30 e) x = 14; y = 35; f) x = 48; y = 18

16. a) x = 8, y = 20, z = 36

b) a = 21, b = 24 c) x = 14, y = 18 d) a = 6, b = 8

17. 90; 180; 270 18. 280; 210; 350 19. R$ 3.000; R$ 5.000; R$ 7.000 20. R$ 3.000; R$2.000; R$ 1.500 21. 292.800; 244.000; 390.400 22. R$ 4.320; R$ 2.800; R$ 2.560 23. R$47.150; R$26.404; R$7.544 24. R$ 127,38; R$ 148,62 25. R$ 1.440; R$ 1.536; R$ 1.440 26. 30 27. R$ 1.656,00 28. 22 dias 29. 20 dias 30. 9 h e 36 min

31. 5 dias

32. 30.000 peças.

33. 15 dias, 16 h, 53 min e 19 segundos.

34. 10 dias e 2/7

35. 18 dias

36. R$ 50,40

37. 47,25 km

38. 15 dias

39. 2 horas e 40 minutos

40. 5 operários


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41. R$ 3.750,00

42. 36 dias

43. 300 m2

44. 23 operários

45. 10 horas

46. 30 operários

47. 9h 36 min

48. 5 dias

49. 20 horas por dia

50. 21 dias.

51. 18 horas por dia

52. 18 dias.

53. 22 minutos

54. 75 hectares

55. 35 horas

56. 3 dias

57. 30 costureiras

58. 10 horas.


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4.2. APLICAÇÕES DE TAXA PERCENTUAL Algumas aplicações mais importantes de taxa percentual são as que envolvem transações mercantis (compra e venda), que, basicamente, podem gerar acréscimos, descontos, lucros e prejuízos. Exemplo: Uma mercadoria que custa R$100,00 tem seu preço acrescido de 20%. Determinar o novo valor da mercadoria.

Primeiro calcula-se: 10020

de 100 =

20100.20,010010020 ==⋅ (acréscimo)

Agora, soma-se o valor inicial ao acréscimo: R$100,00 + 20,00 = R$120,00 (novo valor) Outro modo de se obter o novo valor da mercadoria é efetuando o seguinte cálculo: V = 100 + 0,20. 100 = 100 . (1+ 0,20) = 100 . 1,2 = 120,00 Portanto o novo valor é R$120,00 Observe que o segundo modo apresentado torna o cálculo mais rápido e pode ser generalizado. Seja Vf o valor final da mercadoria que é obtido pelo acréscimo ou pelo desconto da uma taxa percentual, que representaremos por i, aplicada sobre o valor inicial, que representaremos por V0, teremos:

( )iVV f ±= 1.0

5. LUCROS E PERJUÍZOS De maneira geral, podemos entender lucro como um ganho que se obtém de uma operação comercial, gerado pela diferença entre o preço de custo (compra) de uma dada mercadoria e seu preço de venda. Caso uma mercadoria seja vendida por um preço menor do que foi pago, diz-se que ela gerou um prejuízo , que também pode ser entendido como lucro negativo. Sejam Pv o preço de venda e Pc o preço de custo de uma compra, L o lucro, podemos escrever:

5.1 Vendas com lucro.

5.1.1) Lucro sobre o preço de compra

( )LCV

LCCV

CV

i1PP

ou

iPPP

ou

compradepreço sobrelucroPP

+×=

×+=

+=

( )LCV i1PP +×=

5. 1.2) Lucro sobre o preço de venda

( )LVC

CLvV

LVCV

CV

i1PP

ou

PiPP

ou

iPPP

ou

vendadepreço sobrelucroPP

−×=

=×−

×+=

+=

( )LVC i1PP −×=

5.2) Vendas com prejuízo.

5.2.1) Prejuízo sobre o preço de compra

( )LCV

LCCV

CV

i1PP

ou

iPPP

ou

compradepreço sobreprejuízoPP

−×=

×−=

−=

( )LCV i1PP −×=

5.2.2) Prejuízo sobre o preço de venda

( )LVC

CLvV

LVCV

CV

i1PP

ou

PiPP

ou

iPPP

ou

vendadepreço sobreprejuízoPP

+×=

=×+

×−=

−=

( )LVC i1PP +×=


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01. Um comerciante adquire uma mercadoria

por R$ 800,00. Qual deverá ser o preço de venda desta mercadoria de modo a se obter a margem de lucro de 35% sobre o preço de compra?

( ) ( ) 00,080.1 $R35,01800i1PP CCV =+⋅=+⋅=

02. Uma pessoa adquiriu um produto por R$

630,00 com o objetivo de revendê-lo com a margem de lucro de 22% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda do produto?

69,807 $R22,01

630i1

PP

v

CV =

−=

−=

03. Uma pessoa adquiriu um relógio por R$

400,00 e vendeu-o com a margem de prejuízo de 17% sobre o preço de compra. Qual o preço de venda do relógio?

( ) 00,332 $R17,01400)i1(PP cCV =−⋅=−⋅=

04. Um objeto que custou R$ 750,00 foi

vendido com a margem de prejuízo de 15% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda?

17,652 $R15,01

750i1

PP

v

CV =

+=

+=

05. Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 1.700,00. Por quanto deverá vendê-la para obter a margem de lucro de 33% sobre o preço de compra?

( ) ( ) 00,261.2 $R33,01700.1i1PP CCV =+⋅=+⋅=

06. Um televisor foi vendido por R$ 1.400,00.

Qual o preço de compra sabendo-se que a margem do lucro sobre preço de compra foi de 35%?

( ) ( )04,037.1

35,1400.1

P

35,01P400.1 i1PP

C

CCCV

==∴

+⋅=∴+⋅=

07. Um objeto comprado por R$ 280,00 foi

revendido por R$ 403,20. Calcule margem do lucro sobre o preço de compra?

( ) ( )

%44i i44,0

i144,1 i144,1 i1280

20,403

i128020,403 i1PP

CC

CCC

CCCV

=∴=∴

=−∴+=∴+=∴

+⋅=∴+⋅=

08. Um objeto foi vendido por R$ 600,00 obtendo-

se a margem de prejuízo de 25% sobre o preço de compra. Qual o preço de compra?

( )

00,800 $R25,01

600P

25,01P600 )i1(PP

C

CcCV

=−

=∴

−⋅=∴−⋅=

09. Um comerciante vendeu vários produtos por R$ 2.950,00. Sabendo-se que teve um prejuízo de 18% sobre o preço de venda, qual o preço de compra desses produtos?

( ) 00,481.3R$ 18,01950.2P

18,01

P950.2

i1

PP

C

C

v

CV

=+⋅=∴+

=∴+

=

10. Sobre o preço de R$ 1.500,00 foram

concedidos descontos sucessivos de 15% e 5%. Pergunta-se:

a) Qual a taxa única que substitui esses descontos?

%25,19i 1925,08075,01

95,085,01)05,01()15,01(1i

=∴=−==⋅−=−⋅−−=

b) Qual o valor do desconto total?

75,288 $R1925,0500.1d =⋅=

c) Qual o preço pago?

( ) 25,211.1R$ 1925,01500.1eço Pago Pr ou

25,211.1R$ 75,288500.1eço PagoPr

=−⋅==−=

11. Sobre o valor nominal de uma fatura foram concedidos abatimentos sucessivos de 22% , 13% e 0,9%. Qual a taxa única correspondente aos abatimentos?

( )( )

%75074,32i 3275074,0

6724926,01991,087,078,01

009,01)13,01()22,01(1

i1...)i1()i1(1i n21

=∴==−=⋅⋅−=

=−⋅−⋅−−==−⋅⋅−⋅−−=


Pág. 12

12. Qual a taxa única correspondente a abatimentos sucessivos de 35% e 18%?

%7,46i 467,0

533,0182,065,01

)18,01()35,01(1i

=∴==−=⋅−==−⋅−−=

13. Ao preço de uma mercadoria foram

incorporados acréscimos sucessivos de 10%, 6% e 0,5%. Qual a taxa única que substitui estes acréscimos sucessivos?

( ) ( ) ( )%68576,21i 2168576,0

1006,0108,0112,01

1)i1(...)i1()i1(i n21

=∴==−+⋅+⋅+=

=−+⋅⋅+⋅+=

14. Sobre uma fatura de R$ 32.000,00 foram

efetuados descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%. Qual o valor líquido da fatura?

64,408.27R$ 98,095,092,0000.32Vf =⋅⋅⋅=

15. Uma pessoa empregou seu capital

sucessivamente em 4 empresas. Na primeira empresa ganhou 120% e em cada uma das outras perdeu 25%. Qual a margem do ganho/prejuízo sobre o capital inicial?

( ) ( ) ( ) ( )

%1875,7071875,0

175,075,075,02,2

125,0125,0125,012,11i

−=−==−⋅⋅⋅=

=−−⋅−⋅−⋅+=


Pág. 13

Operações com mercadorias.

Acréscimos e decréscimos sucessivos. 01. Um comerciante adquire uma mercadoria por

R$ 700,00. Por quanto deverá vendê-la de modo a se obter a margem de lucro de 28% sobre o preço de compra?

02. Uma pessoa adquiriu um produto por R$ 480,00 com o objetivo de revendê-lo com a margem de lucro de 20% sobre o preço de venda. Qual deverá ser o preço de venda do produto?

03. Uma pessoa comprou um relógio por R$ 250,00. Como o mercado estava difícil, só conseguiu vendê-lo com uma margem de prejuízo de 8% sobre o preço de compra. Qual foi o preço de venda do relógio?

04. Um objeto que custou R$ 558,00 foi vendido com uma margem de prejuízo de 12% sobre o preço de venda. Qual o seu preço de venda?

05. Um comerciante comprou determinada mercadoria por R$ 65,00. Por quanto deverá vendê-la para obter a margem de lucro de 30% sobre o preço de compra?

06. Um televisor foi vendido por R$ 300,00. Qual o lucro obtido sabendo-se que o mesmo foi calculado na base de 25% sobre o preço de compra?

07. Um objeto comprado por R$ 80,00 foi revendido por R$ 104,00. Calcule margem (taxa) de lucro sobre o preço de compra?

08. Um objeto foi vendido por R$ 48,00, com uma margem de prejuízo de 20% sobre o preço de compra. Qual o seu preço de compra?

09. Um comerciante vendeu vários produtos por R$ 850,00. Sabendo-se que teve um prejuízo de 15% sobre o preço de venda, qual o preço de compra desses produtos?

10. Sobre o valor bruto de uma fatura de R$ 800,00 foram concedidos abatimentos sucessivos de 10% e 8% respectivamente. Qual o valor líquido pago?

11. Sobre o valor nominal de uma fatura foram concedidos abatimentos sucessivos de 10%, 4% e 5%. Qual a taxa única correspondente a estes abatimentos?

12. Qual a taxa única correspondente a abatimentos sucessivos de 25% e 8%?

13. Qual o preço de venda de um objeto que custou R$ 400,00 para se obter a margem de lucro de 25% sobre o preço de compra?

14. Qual a margem de lucro, sobre o preço de compra, se vendo por R$ 60,00 um objeto pelo que me custou R$ 48,00?

15. Uma mercadoria foi vendida por R$ 537,00 com margem de lucro de 35% sobre o preço de compra. Qual o seu preço de compra?

16. Calcule a margem de prejuízo sobre o preço de compra e também sobre o preço de venda de um objeto, se vendermos por R$ 238,00 um objeto cujo preço de compra é de R$ 280,00?

17. Calcule o preço de venda de um objeto que adquirido por R$ 450,00 foi vendido com a margem de 15% de prejuízo sobre o preço de compra.

18. A folha de pagamento de uma empresa em determinado mês é de R$ 35.000,00. Para o mês seguinte a mesma deverá ser aumentada em 15%. Qual o novo valor da folha de pagamento?

19. Ao preço de uma mercadoria foram incorporados acréscimos sucessivos de 10%, 6% e 0,5%. Qual a taxa única de acréscimo que substitui todos os acréscimos?

20. Sobre uma fatura de R$ 150.000,00 foram efetuados descontos sucessivos de 8%, 5% e 2%. Qual o valor líquido da fatura?

21. Uma pessoa adquiriu um imóvel de R$ 58.000,00 (preço de tabela) com um desconto de 2,5% sobre o preço da tabela. No dia seguinte, vendeu o imóvel por um valor de 2% acima do preço de tabela. Qual o percentual total de lucro desta pessoa?

22. Um comerciante pagou 30% de uma dívida. Do restante, pagou 20% e com mais R$ 28.000,00, liquidou a dívida. Qual o valor da dívida?

23. Uma pessoa empregou seu capital sucessivamente em 4 empresas. Na primeira empresa ganhou 100% e em cada uma das outras perdeu 15%. Qual a margem de ganho/prejuízo sobre o capital inicial?

24. Um comerciante comprou tecidos por R$ 38.200,00 e alimentos por R$ 29.000,00. Revendeu os tecidos com a margem de prejuízo de 8% e os alimentos com margem de lucro de 12% ambos sobre o preço de compra. No geral, qual o percentual de ganho/prejuízo do comerciante?

25. Uma pessoa investiu seu capital sucessivamente em 4 empresas. Na primeira obteve a margem de lucro de 18%, na segunda a margem de prejuízo


Pág. 14

de 18%, na terceira a margem de lucro de 15% e na quarta a margem de prejuízo de 15%. Essa pessoa, em relação ao capital inicial obteve lucro, prejuízo ou manteve seu capital inicial inalterado. Caso a resposta tenha sido lucro ou prejuízo, qual o percentual em relação ao capital inicial.

26. Um comerciante comprou enlatados por R$ 12.500,00 e produtos para limpeza por R$ 9.000,00. Revendeu os enlatados com a margem de prejuízo de 5% e os produtos para limpeza com margem de lucro de 12%,ambos sobre o preço de compra. No geral, qual o percentual de ganho/prejuízo do comerciante?

27. Uma pessoa investiu seu capital sucessivamente em 3 empresas. Na primeira obteve margem de lucro de 7%, na segunda margem de prejuízo de 4%, e na terceira margem de prejuízo de 3%. Essa pessoa, em relação ao capital inicial obteve lucro, prejuízo ou manteve seu capital inicial. Caso a resposta tenha sido lucro ou prejuízo, qual o percentual em relação ao capital inicial.

28. Uma pessoa investiu seu capital sucessivamente em 3 empresas. Na primeira obteve margem de prejuízo de 10%, na segunda margem de lucro de 4%, e na terceira margem de lucro de 7%. Essa pessoa, em relação ao capital inicial obteve lucro, prejuízo ou manteve seu capital inicial. Caso a resposta tenha sido lucro ou prejuízo, qual o percentual em relação ao capital inicial.

Gabarito:

01. R$ 896,00

02. R$ 600,00

03. R$ 230,00

04. R$ 498,21

05. R$ 84,50

06. R$ 60,00

07. il = 30%

08. R$ 60,00

09. R$ 977,50

10. R$ 662,40

11. i = 17,92%

12. i = 31%

13. R$ 500,00

14. il = 25%

15. R$ 397,78

16. il=15% e 17,647%

17. R$ 382,50

18. R$ 40.250,00

19. i = 17,183%

20. R$ 128.478,00

21. 4,61538%

22. R$ 50.000,00

23. i = + 22,825%

24. i = + 0,6309%

25. i = - 5,4171%

26. i = + 2,1162%

27. i = - 0,3616%

28. i = + 0,152%


Pág. 15

Matrizes e determinantes

01. Dadas as matrizes

−−

=10

22

12

A e

−=

112

321B calcule (A.B).

02. Se a matriz

=−

x2

23A 1 é a matriz inversa de

=

23

1–

1–1A , então o valor de x é:

03. Considere a matriz A = (aij)3X3 em que

<≥+

jise,j–i

jise,ji e a matriz

−−=024

120

031

B .

Determine (A . B)

04. Considere as matrizes

=xzy

xyz

zyx

A ,

−−++

=xzyz

zxyxB e

=

42

64C . Então, se B é

igual à matriz C, calcule a matriz A. 05. Considere a seguinte definição: uma matriz

quadrada A é idempotente se, e somente A2 = A. Então é correto afirmar que: Coloque (V) para verdadeiro e (F) para falso.

( ) Qualquer matriz quadrada nula é idempotente.

( ) A matriz

=

00

11A é idempotente.

( ) Toda matriz identidade, é idempotente. ( ) Se M é matriz idempotente, então 5M

também é idempotente. 06. Considere a matriz A = a ij , de ordem 4 X 4,

cujos elementos são

=≠

=)ji(se,0

)ji(se,1aij .

É correto afirmar que: Coloque (V) para verdadeiro e (F) para falso. ( ) Na matriz A, o elemento a23 é igual ao

elemento a32. ( ) Os elementos da diagonal principal da

matriz A são todos nulos. ( ) Se a matriz B é [1 –1 1 –1], então o

produto B.A é a matriz (−B).

( ) Sendo I a matriz identidade de ordem 4, a matriz (A + I) possui todos os elementos iguais a 1.

07. Considere as matrizes reais A = (aij)3X3 e

B = (bij)3X3, cujos elementos estão definidos

por

−=

+=

jib

jia

ij

ij, calcule o elemento c 21 da matriz C

= (cij)3X3, onde C = A.B 08. Dadas as matrizes

+=

y–x5–

1yxA e

=

1–5–

13B , calcule x e y de

modo que A = B. 09. Ache a matriz A do tipo 2 X 3 definida por

aij = i . j, onde i indica a linha e j, a coluna.

10. Dada a matriz

=253

11–2–

041

A , calcule:

a) X = A + At b) Y = At – A

11. Se

=13

12

25

A ,

=3

8–

5

B e

=1–

10

1–

C então a matriz

X, tal que A + B – C – X = 0, é:

12. Considere as matrizes

=

7

1

1–

3

1

2A e

=22

40

31

B .

A soma dos elementos da primeira linha de A . B é:


=11

01–

23

A e

=

2

1B , qual o

valor de A . 2B?

14. Calculando-se 2AB + B 2, onde

=111

011

110

A e

=010

01–2

12–0

B


Pág. 16

15. Se

=

1–3

12A ,

=

01

21–B e

=

12

1–4C ,

então a matriz X, de ordem 2, tal que

C3

XB2

A–X ++= , é igual a:

16. Resolva a equação matricial AX = B, dadas as

matrizes

=

23–

1–2A e

=

5–6–

23B

17. Uma indústria automobilística produz carros X e Y nas versões standard , luxo e superluxo. Peças A, B e C são utilizadas na montagem desses carros. Para um certo plano de montagem, é dada a seguinte informação: carro X carro Y peça A 4 3 peça B 3 5 peça C 6 2

standard luxo superluxo carro X 2 4 3 carro Y 3 2 5

Em termos matriciais, temos:

Matriz peça-carro =

26

53

34

Matriz carro-versão =

5

3

2

4

3

2

A matriz peça-versão é:


=

21–

01A ,

=

40

72–B

e

=

00

00O , determine a matriz X de ordem

2, tal que: 2X – AB = 0.

19. Calcule o determinante da matriz quadrada

A = (aij), de ordem 3, onde

≥+<

=jise,ji

jise,1aij .

20. Calcule os determinantes:

a)

91–3

470

231

b)

11–1

139

124

c)

011

5–14

01–3

d)

1–54

51–3

431–

21. Calcule m para que se verifique a igualdade

111

4m2

31–0

2m1

= .

22. Resolva as equações.

a) 0

4x1

xx1

111

=

b) 0

111

x11

xx1

=

23. Calcule os valores de x que tornam iguais os

determinantes das matrizes

x3–

2–x2 e

532

321

0xx 2

.

24. Verifique se as matrizes

=

31

52A e

=

11

21B

são inversas entre si.


Pág. 17

25. Verifique se a matriz

=371–

131

121–

A é

inversível.

26. Para que valores reais de x, a matriz

=421

3x2

321

A é inversível?

27. Determine, se existir, a inversa da matriz

=

51

02A .

28. Obtenha, caso exista, a inversa da matriz

=

94

21A .

29. Encontre, se existir, a inversa da matriz

=206

258

124

A .

30 Qual é a inversa da matriz

=101

3–33–

3–92–

A ?

31. Determine a matriz X, tal que AX = B, onde:

=

12

1–1A e

=

31

–2

32

–1B .

32. Se

=

21

12A ,

=

10

01B ,

=2

4

2

1

3

1

C e

=

1

0

1

1

1

0D , determine as matrizes:

a) [ ] 1–B.BA.C +

b) D.B.A.C 1–1–

33. (UFRJ) – Uma confecção vai fabricar 3 tipos de roupa utilizando materiais deferentes. Considere a matriz A = (aij) abaixo, em que a ij representa quantas unidades do material j

serão empregadas para fabricar um roupa do tipo i.

=124

310

205

A

Calcule o total de unidades do material 1 que será empregado para fabricar cinco roupas do tipo 1, quatro roupas do tipo 2 e duas roupas do tipo 3.

34. Joga-se agrotóxicos nas plantas para combater

algumas pragas agrícolas. Parte do agrotóxico é absorvido pela planta e esta serve de alimento para herbívoros que dessa forma também absorvem essas substâncias. A matriz a seguir fornece a quantidade, em mg, de cada agrotóxico absorvido por cada uma das plantas:

3.agr

2.agr

1.agr

4

5

3

6

2

4

1

2

3

5

3

2

A

4planta3planta2planta1planta

=

A próxima matriz fornece o número de plantas consumidas por animais herbívoros, durante um mês:

4planta

3planta

2planta

1planta

20

10

15

8

16

12

15

12

40

30

28

20

A

3animal2animal1animal

=

Calcule quantos mg de agrotóxico 3 foram absorvidos pelo animal 2.

35. Cada cadeira e mesa fabricada por uma indústria de móveis, passa por um processo de montagem e acabamento, cujos tempos, em horas, são

mesa

cadeira

4

2

3

2A

acabamentomontagem

=

A indústria tem duas unidades fabris: uma em Curitiba e outra em Joinville. Os custos por hora para cada um dos processos é dado por:

acabamento

montagem

12

10

10

9B

JvilleCtba

=

Qual o significado do produto matricial A.B?


Pág. 18

36. Um projeto de pesquisa alimentar conta com a participação de adultos e crianças de ambos os sexos. A composição dos participantes no projeto é dada pela matriz

inominfe

masculino

200

120

100

80A

criançaadulto

=

O número de gramas diários de proteínas, gordura e carboidratos consumida por cada

criança e cada adulto é dado pela matriz

criança

adulto

30

20

20

20

10

20B

ocarboidratgorduraproteína

=

a) Quantos gramas de proteína são consumidos

diariamente pelos homens que participam do projeto?

b) Quantos gramas de gordura são consumidos diariamente pelas mulheres que participam do projeto?

37. Uma empresa de material fotográfico tem lojas em Curitiba, São Paulo e Rio de Janeiro. Certa máquina fotográfica apresenta os modelos manual, semi-automático e automático. Essas máquinas são vendidas junto com um flash. Os preços das máquinas e dos flashes são dados pela matriz

flash

câmara

50

200

40

150

25

120A

.autom.autsemimanual −

=

O número de conjuntos, máquinas e flashes, disponíveis em cada loja é dado pela matriz

automática

.autsemi

manual

100

120

250

180

250

320

220

300

120

B

CtbaPaulo.SRio

−

=

a) Qual o valor das câmaras no Rio de Janeiro? b) Qual o valor total dos flashes em Curitiba?


Pág. 19

Gabarito:

01.

=112

4–2–6

534–

)B.A(

02. x = 2

03.

=5–1428

4–1–1–

146–

)B.A(

04. x = 1 y = 3 z = 5

05. V, V, V, F

06. V, V, V, V

07. C21 = 14

08. x = 1 y = 2

09.

=

6

3

4

2

2

1A

10.

=463

62–2

322

x

−=

03–

406

36–0

y

4

11.

=17

6–

31

x

12.

=

1315

204B.A soma = 24

13.

=6

2–

14

B2.A

14.

=+25–6

49–2

030

BAB2 2

15.

323

128

16. AX = B → X = A–1 . B →

=

4–3–

1–0X

17.

282818

342221

272217

18. 2x = AB → AB.21

x = →

=

21

1

27

1–x

19. det A = 23

20. a) 61 b) –12 c) 20 d) 169

21. m = 37

22. a) x = 1 ou x = 4 b) x = 1

23. x = 3 ou x = –2 24. Não, pois A.B ≠ I. 25. Não, pois det A = 0. 26. x ≠ 4.

27.

=

102

101

–

021

A 1–


Pág. 20

28.

=

14–

2–9A 1–

29.

=2615–

012–21

–2–5

A 1–

30.

+=

731–

10

6–3–1

A 1–

31

31. X = A–1 . B →

=

31

0

31

–1X

32.

a)

7

15

7

5

13

5

Obs.:

=

10

01B 1–

b)

33331111

33331111

33331111

35

37

35

111

Obs.:

=

32

31

–

31

–32

A 1–

33. 33

34. 211 mg

35. Quantidade de cadeira e mesa produzida nas

duas fábricas (Curitiba e Joinville).

36.

a) 2800

b) 6000

37.

a)

automática

.autsemi

manual

44000

45000

14400

−

b) 16.050,00


Pág. 21

Sistemas

01. Resolva os sistemas:

a)

=+=+

9y8x7

8y7x6

b)

=++=++=++

6z6yx2

11zy3x

4z2yx

c)

=++=++=++

4z6y5x3

3z5y4x2

2z3y2x

d)

=+==++

9–z2y3

9–z–x3

2z3yx

e)

=+=+=+

7–y4x5

5y7x3

3y3x

f)

=+=+=

25yx8–

18–y6x3

1y5–x

g)

===+

2–y4–x2

1–y2–x

1y2x–

h)

=+=+=+

10y10x5

3–yx2–

1–y2x

i)

=+=+=++

6z5y–x2

2z4y3–x

6z3y2x

j)

=+=+=+

10z–yx4

1–zy–x2

4z–yx

k)

=+==++

4z2y–x3

2–z–y2–x

4z2yx

l)

=+=+=++

3z3y–x

6–zy–x3–

6z5y2x2

02. Escalone e resolva os sistemas a seguir.

a)

=−=+

1yx2

5yx

b)

=−=−6y3x

4y2x2

c)

=+=−

2y6x

34y2x4

d)

=−−=+

3y2x3

4yx

e)

=++−=++−

=++

12z3y2x

7zy3x2

6zyx

f)

=+=+

−=+

4zy

1zx

1yx

g)

−=+−−=−+−

=++

16z2y3x

12z8y3x5

32z6yx3

h)

=++−=+−

=++

9z2yx

3z4y8x3

6zy3x4

i)

=+−=−

=+

11y2x5

2yx

4yx

j)

=−−=+−

=+

1yx

3y2x

3yx2


Pág. 22

k)

=++=++

=++

4z4y4x3

3z3y3x2

0zyx

l)

=++=++

=++

1z2y2x

0z2yx2

1zyx

m)

=+++−=++−−

=+−+=+−−

4w2zyx

3wz2yx

2wzy2x

1wzyx2

03. Verifique se

51

,21

, é solução da equação

matricial:

=

⋅

−−

2

0

y

x

56

52. Resolva-a.

04. Escreva os sistemas na forma de equação matricial.

a)

=++=+

=+−

3zyx

10z2x

7zyx3

b)

=−−−=−+

7zyx

2zy4x3

c)

=−+=+−

2z2yx

5y3x2

d)

−=−=+

=−+

4z5y

6yx

7z2yx

05. Escreva o sistema correspondente a:

a)

=

⋅

−5

2

z

y

x

345

123

b)

−=

⋅

−−

−

3

0

2

z

y

x

605

741

032

06. Determine a e b de modo que sejam equivalentes

os sistemas:

−−−−====−−−−====++++

5by2x

10yax3 e

====++++====−−−−

32y

21x

07. Calcule m e n tal que as equações matriciais representem sistemas lineares equivalentes.

a)

=

⋅

−

=

⋅

− 5

0

y

x

n4

5me

4

9

y

x

23

52

b)

=

⋅

−

=

⋅

− 5

3

y

x

n2m

nm2e

7

2

y

x

12

11


Pág. 23

Gabarito: 01. a) S = {(–1, 2)}

b) S = {(–2, 4, 1)} c) S = {(1, –1, 1)} d) S = {(–2, –5, 3)} e) S = {(–3, 2)} f) S = ∅ g) S = {(–1+2α, α); α ∈ lR} h) S = ∅ i) S = {(1, 1, 1)} j) S = ∅ k) S = {(2–α, 2–α, α); α ∈ lR}

l)

=31

,121

,1225

S

02.

a) ( ){ }3,2S =

b) ( ){ }1,3S −=

c) ( ){ }1,8S −=

d) ( ){ }3,1S −−=

e) ( ){ }3,2,1S =

f) ( ){ }3,1,2S −=

g) ( ){ }2,8,4S =

h) ( ){ }4,2,1S −=

i) ( ){ }3,1S =

j) ∅=S

k) ∅=S

l) ( ){ }2,2,1S −−=

m)

=34

,35

,32

,1S

03. sim

04. a)

=

−

3

10

7

z

y

x

111

201

113

b)

=

−−−−

7

2

z

y

x

111

143

c)

=

−−

2

5

z

y

x

211

032

d)

−=

−

−

4

6

7

z

y

x

510

011

211

05. a)

=++=−+

5z3y4x5

2zy2x3

b)

=−=+−−=+−

3z6x5

0z7y4x

2y3x2

06.

==

4b

1a

07. a) 3ne25

m =−=

b) 57

ne5

11m ==


Pág. 24

Conjuntos

01. Dados os conjuntos A = { 2, 3, 4 }, B = { 2, 3, 5, 6, 7 } , C = { 5, 6, 7 } e D = { 2, 4 }, determine:

a) ( A ∩ B ) ∪ C b) ( A ∩ D ) ∪ ( A ∩ C ) c) ( D ∪ C ) ∩ B d) ( C ∩ D ) ∪ A e) ( B – A ) ∪ D f) B – ( C ∪ D ) g) B – CA D h) CA ( A ∩ D ) i) ( A – D ) ∪ ( B – C )

02. Seja A ∆∆∆∆ B a diferença simétrica dos

conjuntos A e B definida pela igualdade: A ∆∆∆∆ B = ( A – B ) ∪∪∪∪ ( B – A ). Se A = { a, b, c } e B = { b, c, d, e, f } determine A ∆∆∆∆ B.

03. Sabendo que M = { 2, 3, 4, 5, 6 }, M ∪∪∪∪ N =

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } e M ∩∩∩∩ N = { 2, 3, 4 }, determine o conjunto N.

04. Se A = {1, 3, 4, 5, 6}, A ∪∪∪∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

e A ∩∩∩∩ B = { 5 ,6 }, determine o conjunto B. 05. Dados A ∩∩∩∩ B = { 2, 3, 8 }, A ∩∩∩∩ C = { 2, 7 },

B ∩∩∩∩ C = { 2, 5, 6 }, A ∪∪∪∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } e A ∪∪∪∪ B ∪∪∪∪ C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } , determine o conjunto C.

06. Sendo A ∩∩∩∩ B = { 1, 2, 3 }, A ∩∩∩∩ C = { 1, 2, 4, 5 },

B∩∩∩∩C ={1, 2, 6} , A ∪∪∪∪B ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10}, A ∪∪∪∪ C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } e A ∪∪∪∪ B ∪∪∪∪ C = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, determine os conjuntos A, B e C.

07. Suponha que A ∪∪∪∪ B = { a, b, c, d, e, f, g, h },

A ∩∩∩∩ B = { d, e } e A – B = { a, b, c }. Determine o conjunto B.

08. Sejam A e B subconjuntos de um conjunto X,

tais que X – A = { 0, 1, 5, 6 } e X – B = {0, 4, 6 }. Se A ∩∩∩∩ B = { 2, 3 } , determine o conjunto A ∪∪∪∪ B.

09. Dados A = { 0, 1, 2} e B = { 1, 2, 3, 4},

determine o conjunto X tal que A ∩∩∩∩ X = {0, 1}, B ∩∩∩∩ X = {1, 4} e A ∪∪∪∪ B ∪∪∪∪ X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}.

10. Dados A = { a, b, c, d, e, f }, B = { b, c, d } e C

= { d, e, f }, determine o conjunto X tal que

X ⊂⊂⊂⊂ A, B – X = { b, c } , X – C = { a } e C – X = { e, f } 11. Um conjunto A tem 13 elementos, A ∩∩∩∩ B tem 8

elementos e A ∪∪∪∪ B tem 15 elementos. Quantos elementos têm B?

12. Num grupo de 22 universitários há 8 que cursam

Engenharia, 10 que cursam Administração e 3 que cursam ambos. Quantos não estão cursando nem engenharia nem Administração?

13. Uma escola tem 20 professores, sendo que 6

lecionam apenas matemática, 5 apenas física e 7 lecionam outras disciplinas distintas de matemática e física. Quantos são os professores que lecionam matemática e física?

14. Em uma classe de 45 meninas, cada uma delas ou tem cabelos pretos ou olhos castanhos, 35 têm cabelos pretos e 20 têm olhos castanhos. Determine o número de meninas que têm cabelos pretos e olhos castanhos.

15. Um professor de português passou uma pesquisa

numa sala de aula de trinta alunos, perguntando quantos haviam lido as obras Dom Casmurro ou Memórias Póstumas de Brás Cuba s, ambas de machado de Assis. O resultado da pesquisa foi precisamente: 19 alunos leram Dom Casmurro, 20 alunos leram Memórias Póstumas de Brás Cubas, 3 alunos não leram nenhum dos dois livros. Com base no resultado da pesquisa, quantos leram as duas obras?

16. Quarenta e um alunos de um colégio opinaram numa pesquisa em que eram solicitados a responder se eram leitores de jornal ou revista. Concluiu-se exatamente que: 24 alunos lêem jornal, 30 alunos lêem revista e 5 alunos não lêem jornal nem revista. Quantos alunos lêem jornal e revista?

17. O tipo sangüíneo de uma pessoa é classificado

segundo a presença no sangue dos antígenos A e B. Podemos ter:

tipo A: pessoas que têm só o antígeno A. tipo B: pessoas que têm só o antígeno B. tipo AB: pessoas que têm A e B. tipo O: pessoas que não têm A nem B. Em 55 amostras de sangue observamos que 20 apresentam o antígeno A, 12 apresentam B e 7


Pág. 25

apresentam ambos os antígenos. Quantas amostras são de sangue tipo: a) A? b) B? c) AB? d) O?

18. Numa pesquisa de mercado foram

entrevistadas 61 pessoas sobre suas preferências em relação a três jornais A, B e C. O resultado da pesquisa foi precisamente: 44 pessoas lêem o jornal A; 37 pessoas lêem o jornal B; 32 pessoas lêem os jornais A e C; 28 pessoas lêem os jornais A e B; 26 pessoas lêem os jornais B e C; 20 pessoas lêem os jornais A, B e C; 07 pessoas não lêem jornal. Com base nesse resultado, quantas pessoas lêem o jornal C?

19. Num avião encontravam-se 122 passageiros

dos quais 96 eram brasileiros, 64 homens, 47 fumantes, 51 homens brasileiros, 25 homens fumantes, 36 brasileiros fumantes e 20 homens brasileiros fumantes. Calcule: a) o número de mulheres brasileiras não

fumantes; b) o número de homens fumantes não

brasileiros, c) o número de mulheres fumantes.

20. Os 36 alunos de uma classe fizeram uma

prova de 3 questões. Sabendo que 4 erraram todas as questões, 5 só acertaram a primeira questão, 6 só acertaram a segunda, 7 só acertaram a terceira, 9 acertaram a primeira e a segunda, 10 acertaram a primeira e a terceira e 7 acertaram a segunda e a terceira, determine quantos acertaram as três questões.

21. Numa prova sobre o corpo humano constavam três questões: a primeira, sobre o sistema circulatório; a segunda, sobre sistema respiratório e; a terceira, sobre o sistema nervoso. Sabe-se que dos 29 alunos que fizeram a prova, precisamente:

• 15 alunos acertaram a primeira questão.

• 7 alunos acertaram somente a segunda

questão.

• 1 aluno acertou somente a terceira questão.

• 11 alunos acertaram a segunda e a terceira

questão.

• nenhum aluno errou todas as questões.

Quantos alunos acertaram as três questões?

22. (UFPR) Foi realizada uma pesquisa para avaliar o consumo de três produtos designados por A, B e C. Todas as pessoas consultadas responderam à pesquisa e os resultados estão indicados no quadro abaixo:

PRODUTO NÚMERO DE CONSUMIDORES

A 25

B 36

C 20

A e B 6

A e C 4

B e C 5

A e B e C 0

Nenhum dos produtos

20

Observação: o consumidor de dois produtos está incluído também como consumidor de cada um destes dois produtos. Com bases nestes dados, calcule o número total de pessoas consultadas.

23. (Evangélica-2000) Duas empresas, a “PeçaMetal” e a “Eletritudo”, abriram inscrições para admissão de novos funcionários. Participaram dos testes seletivos das empresas 596 candidatos. Na empresa “PeçaMetal”, 286 candidatos participaram da seleção e 36 candidatos fizeram teste nas duas empresas. O número de candidatos que participaram do teste seletivo da empresa “Eletritudo” foi:

a) 346

b) 382

c) 310

d) 274

e) 326

24. (USP-2000) Numa cidade com 30 000 domicílios, 10 000 recebem regularmente o jornal da loja de eletrodomésticos X, 8 000 recebem regularmente


Pág. 26

o jornal do supermercado Y e metade do número de domicílios não recebe nenhum dos dois jornais. Determine o número de domicílios que recebem os dois jornais.

25. (PUC-PR) Em uma pesquisa com uma turma de alunos, apurou-se o seguinte: 45% dos alunos são homens. Sabe-se também que 60% dos alunos jogam futebol e que destes 70% são homens. Que percentual de alunos, que não jogam futebol e são mulheres?

Intervalos

26. Se A = { x ∈∈∈∈ IR/ -1 < x < 2 } e B = {x ∈∈∈∈ IR/ 0 ≤≤≤≤ x < 3 }, o conjunto A ∩∩∩∩ B é o intervalo:

a) [ 0,2 [ b) ] 0, 2 [ c) [ -1, 3 ] d) ] –1, 3 [ e) ] –1, 3]

27. A diferença A – B, sendo A = {x ∈∈∈∈ IR / -4 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤

3 } e B = { x ∈∈∈∈ IR / -2 ≤≤≤≤ x < 5 } é igual a : a) { x ∈ IR / -4 ≤ x < -2 } b) { x ∈ IR / -4 ≤ x ≤ -2 } c) { x ∈ IR / 3 < x < 5 } d) { x ∈ IR / 3 ≤ x ≤ 5 } e) { x ∈ IR / -2 ≤ x < 5 }

28. Dados os intervalos A = ]–3, 10] e B = [ 5, 13 [,

determine: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A – B d) B – A

29. Dados os intervalos A = [2, + ∞ [ e B =]- ∞ , 5[,

determine: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A – B d) B – A

30. Considerando A = [ -1, + ∞ [ e B = ] 0 , 7 [ ,

obtenha: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A – B

31. Se A = {x ∈∈∈∈ IR/ 0<x<2} e B = {x ∈∈∈∈ IR/ -3≤≤≤≤x≤≤≤≤ 1 },

então o conjunto (A ∪∪∪∪ B) – (A ∩∩∩∩ B) é: a) -3, 0 ] ∪ ] 1, 2 [ b) [ -3, 0 [ ∪[ 1, 2 [

c) [ - ∞ , -3 ] ∪ ] 2, + ∞ [ d) ] 0, 1 ] e) [ -3, 2 [

32. Sejam os conjuntos A = { x ∈∈∈∈ IR / 1 ≤≤≤≤ x < 5 } e B =

{ x ∈∈∈∈ IR / 2 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 6 }. Assinale a alternativa CORRETA: a) A ∩ B = { 2, 3, 4} b) A ∩ B = { x ∈ IR / 2 ≤ x ≤ 5 } c) A ∩ B = { x ∈ IR / 2 < x < 5 } d) A ∩ B = { x ∈ IR / 2 < x ≤ 5 } e) A ∩ B = { x ∈ IR / 2 ≤ x < 5 }

33. Sejam os intervalos A = ] - ∞ , 1], B = ] 0, 2 ] e C =

[ -1, 1]. O intervalo C ∪∪∪∪ (A ∩∩∩∩ B) é: a) ] –1, 1 ] b) [ -1, 1] c) [ 0, 1] d) ]0, 1] e) ] - ∞ , -1]

34. O conjunto ( B – A ) ∩∩∩∩ C é:

a) ∅ b) { x ∈ IR / x < 0 } c) { x ∈ IR / x > -2 } d) { x ∈ IR / -2 ≤ x < 0 } e) { x ∈ IR / -2 < x < 3 }

35. Considere os conjuntos A = {x ∈∈∈∈ IR/ -1 ≤≤≤≤x< 6}, B

= {x ∈∈∈∈IR/ -4 < x ≤≤≤≤ 2 } e C = {x ∈∈∈∈IR / -2 < x < 4}. Determine:

a) ( B ∪ C ) – A b) C – (A ∩ B)

Conjuntos Numéricos

36. Assinale a alternativa incorreta. Dados os conjuntos: A = {x / x é número real}, B = {x / x é um número racional} e C = {x / x é um número primo}, então:

a) C ⊂ B

b) 2 ∈ (B ∩ C)

c) B ⊂ A

d) 6 ∈ (A ∩ B ∩ C)

e) 7 ∈ (A ∩ C)

37. Qual é a afirmação verdadeira?

a) A soma de dois números irracionais positivos é um número irracional.

b) O produto de dois números irracionais distintos é um número irracional.


Pág. 27

c) O quadrado de um número irracional é um número racional.

d) A diferença entre um número racional e um número irracional é um número irracional.

e) A raiz quadrada de um número racional é um número irracional.

38. Sejam a e b números irracionais. Das afirmações:

I. a . b é um número irracional;

II. a + b é um número irracional;

III. a – b pode ser um número racional.

É correto concluir que:

a) as três são falsas;

b) as três são verdadeira;

c) somente I e III são verdadeiras;

d) somente I é verdadeira;

e) somente I e II são falsas.

39. São dados os conjuntos A = {x ∈∈∈∈ IN/ x é par}, B = { x ∈∈∈∈ Z /–1 ≤≤≤≤ x < 6 } e C = {x ∈∈∈∈ IN/ x ≤≤≤≤ 4}. O conjunto X, tal que X ⊂⊂⊂⊂ B e B – X = A ∩∩∩∩ C é:

a) {0, 3, 5}

b) {1, 3, 5}

c) {0, 1, 3, 5}

d) {-1, 1, 3, 5}

e) {-1, 1, 3, 5,6}

40. São dados os conjuntos A = {x ∈∈∈∈ IN / x é ímpar}, B = {x ∈∈∈∈ Z / –3 ≤≤≤≤ x < 4} e C = {x ∈∈∈∈ Z+* / x < 6} . O conjunto D, tal que D = (A ∩∩∩∩ B) – C, é:

a) {–3, –2, –1, 0, 7, 9}

b) ∅

c) {2, 4, 5}

d) {–3, –1}

e) {1, 3}

41. Se considerarmos IN o conjunto dos números naturais, Z o conjunto dos números inteiros, Q o conjunto dos números racionais e IR o conjunto dos números reais, a única sentença verdadeira será a alternativa:

a) IN ⊂ (IR – Q)

b) Q ∩ Z = IN

c) (Q – Z) ⊃ IN

d) (Z – IN) ⊂ IR

e) IR ∩ (Q – Z)= ∅

42. Assinale a afirmação verdadeira entre as seguintes:

a) O número real 2 pode ser escrito sob a forma

qp

, na qual p e q são números inteiros, q ≠ 0.

b) O quadrado de qualquer número real é um número racional.

c) Toda raiz de uma equação algébrica do 2.º grau é um número real.

d) Não se pode expressar um número racional qualquer em forma decimal exata.

e) O quociente de quaisquer dois números inteiros é sempre um número inteiro.

43. Seja A = {x ∈∈∈∈ IN / x ≥≥≥≥ 3} e B= {1, 2, 3}. É correto afirmar que:

a) 3 ⊂ A

b) A ∩ B = ∅

c) A ∪ B = IN

d) CA B = {x ∈ IN / x ≥ 4}

e) {7, 8} ⊂ A

44. Se A = [-5, 3[, B = [-2, 1[ e C = [-3, -1[, ent ão [ (A – B) ∪∪∪∪ C ] ∩∩∩∩ IN, terá como resultado:

a) ∅

b) {2}

c) {1, 2}

d) {0, 1}

e) {0, 1, 2, 3}


Pág. 28

Gabarito :

1. a) {2, 3, 5, 6, 7}

b) {2, 4}

c) {2, 5, 6, 7}

d) {2, 3, 4}

e) {2, 4, 5, 6, 7}

f) {3}

g) {2, 5, 6, 7}

h) {3}

i) {2, 3}

2. {a, d, e f}

3. N = {1, 2, 3, 4, 7}

4. B = {2, 5, 6, 7}

5. C = {2, 5, 6, 7, 9}

6. A = {1, 2, 3, 4, 5, 8},

B = {1, 2, 3, 6, 9, 10},

C = {1, 2, 4, 5, 6, 7}

7. B = {d, e, f, g, h}

8. {1, 2, 3, 4, 5}

9. X = {0, 1, 4, 5, 6}

10. X = {a, d}

11. 10

12. 7

13. 2

14. 10

15. 12

16. 18

17. a) 13

b) 5

c) 7

d) 30

18. 39

19. a) 29

b) 5

c) 22

20. 6

21. 5

22. 86

23. A

24. 3000

25. 37%

26. a

27. a

28. a) (–3, 13) b) [5, 10]

c) (–3, 5) d) (10,13)

29. a) IR b) [ 2, 5)

c)[ 5, +∞) d) (– ∞, 2)

30. a)[ –1, + ∞)

b) (0, 7)

c) [–1, 0] ∪ [ 7, + ∞)

31. a

32. e

33. b

34. d

35. a) (–4, -1) b) (–2, –1) ∪ (2, 4)

36. d

37. d

38. e

39. d

40. b

41. d

42. d

43. d

44. c


Pág. 29

Produto Cartesiano, Relações e Funções 01. Dados A = { 0, 1 } e B = { 1, 3, 5 }, determine

os seguintes produtos cartesianos:

a) A × B b) B × A

c) A2

d) B2

02. Sendo dados os conjuntos A = { 2, 3 }, B = { 1, 2, 4 } e C = { 1, 0 }, determine os seguintes produtos cartesianos: a) A × B b) A × C c) B × C

03. Dados os conjuntos A = { x ∈∈∈∈ Z / 1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 3 } e

B = { x ∈∈∈∈ Z / -1 ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ 1 }, determine o produto cartesiano B ×××× A.

04. Dados A = { -2, -1, 0, 1 } e B = {-1, 0, 1, 2, 3, 4 },

determine as relações de A em B:

a) R1 = { (x, y) ∈ A × B/ y = x + 1 } b) R2 = { (x, y) ∈ A × B/ y ≥ x + 1 } c) R3 = { (x, y) ∈ A × B/ x2 + y2 = 3 }

05. Dado A = { 0, 1, 2, 4 , 8 }, determine as

relações:

a) R1 = { (x, y) ∈ A2 / y = x } b) R2 = { (x, y) ∈ A2 / y = x2 } c) R3 = { (x, y) ∈ A2 / y = x - 2}

06. Dados A = { x ∈∈∈∈ IN / x ≤≤≤≤ 10 } e R = { ( x , y ) ∈∈∈∈

A ×××× A / x + 2y = 10} , escreva os pares ordenados da relação R.

07. Dados os conjuntos A = { -2, -1, 0, 1 } e B =

{ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 }, determine:

a) o conjunto imagem da função f : A � B definida por f (x) = x2

b) o conjunto imagem da função f : A � B definida por f (x) = 2x + 2

c) o conjunto imagem da função f : A � B definida por f (x) = x2 – 1

08. Sendo f: IR �� IR uma função definida por f (x)

= x2 – 5x + 6, calcule os valores reais de x para que se tenha:

a) f(x) = 0 b) f(x) = 12 c) f( x) = 6

09. Dada a função f: IR �� IR definida por f(x) = x2 – 3x – 10, calcule:

a) f(-2) b) f(-1) c) f(0) d) f(3) e) f(5) f) f( ½ )

10. Dados A = { -1, 0, 1, 2 }, B = { 0, 1, 2, 3, 4 , 5, 6 } e a

função f = { ( x, y ) ∈∈∈∈ A ×××× B / y = x 2 + 1}, determine:

a) a imagem do –1 pela função f. b) o elemento cuja imagem é 5.

11. Sabendo-se que o conjunto imagem da função

definida por f(x) = 1x2x

−+

é Imf = { -2, 2, 4 } calcule

o domínio de f.

12. Dada a função f(x) = ,3x2

11x

x−

−+

calcule a

imagem de 1. 13. Seja a função f definida por f (x) = 2x 3 – 1. Calcule

o valor de f(0) + f(-1) + f(21

) .

14. Se f(x) = 2x1x

+−

calcule o valor de T =

)1(f).1(f1)1(f)1(f

−+−−

.

15. Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 2, 3} e

B = { -1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 11}, determine o domíni o, o contra-domínio e a imagem da função f = { (x, y) ∈∈∈∈ A X B / y = f(x) = 3x + 2 }.

16. Dados os conjuntos A = { 0, 1, 2, 3} e a função f: A

�� IR tal que f(x) = 1x

12 +

, determine o conjunto

Im (f).

17. Seja f : IR �� IR definida por f(x) = 3

2x3 +. Qual é o

elemento do domínio de f cuja imagem é o número 1?

18. A função f : A �� B definida por f(x) = 1x10x2

−+

tem

Im (f) = { -10, -5, -4, -2, 8}. Determine o domínio da função.


Pág. 30

19. Seja f: IR �� IR a função definida por f(x) = 3x2 + 1. Calcule os valores de f(5), f(-5),

32

f e f( 3 +1 ).

20. Se f(x) = 1x

1x1

+− calcule o valor de f(1) + f

(2) + f (3). 21. Dada a função definida por

3x1x

1xx3

)x(f++−

−= , calcule o valor de

−21

f e determine o valor de x cuja

imagem é 3. 22. Considerando a função f(x) = 2x 2 + x – 10,

quais são os valores de x cuja imagem é 0? 23. Considerando as funções definidas por f(x) =

2x + 1, g(x) = x 2 – x + 2 e h(x) = 3 – x, Determine: a) f (g(x)) b) g(f(x)) c) g (f(h(x)))

24. Para cada valor real de x, sejam f(x) = x 2 e

g(x) = f(f(x)). Calcule o valor de )3(g))3(g(f

.

25. Sendo f(x) = 3x – 2 e g(x) = –2x + k, encontrar k, tal que f[g(x)] = g[f(x)].

26. Sejam f: lR →→→→ lR e g: lR →→→→ lR, duas funções

dadas por f(x) = x 2 – 1 e g(x) = x – 1. Calcule a diferença entre as funções compostas (g o f) (3) – (f o g) (3).

27. Dadas f(x) = 2 x e g(x) = x 2 – 2x, calcule:

a) f(g(1)) b) f(g(–1)) c) g(f(1)) d) g(f(–1))

28. Dados f(x) = x – 1 e g (x) = 5x – 6, determine:

a) f(g(x)) b) g(f(x)) c) f(f(x)) d) g(g(x))

29. Sejam as funções f(x) = x 2 – 2x + 1 e g(x) = 2x

+ 1, determine: a) f(g(x)) b) g(f(x))

c) f(g(1)) d) g(f(0))

30. Dadas as funções “f” e “g”, determine f[g(x )] e

g[f(x)] para cada situação a seguir:

a) f(x) = 2x + 1e g(x) = 1x2

3−

b) f(x) = 2x1²x

+−

e g(x) = 1/x

c) f(x) = 4x – 1 e g(x) = x²

d) f(x) = 4x1x2

+−

e g(x) = x + 1

31. Dadas as funções f(x) = x e g(x) = x 2 – 4 determine f(g(x)) e seu domínio.

32. Sendo f(x) = x e g(x) = x – 3, determine o Domínio de cada uma das funções: a) f(g(x)) b) g(f(x))

33. Determine o domínio de cada uma das funções a

seguir :

a) f(x) = 4x3x 2 −+

b) f(x) = 1x5 +

c) f(x) = 3 x2x 2 − + 2x

d) f(x) = 9x

3x22 −

−

e) f(x) = 5x4x

12 −+

f) f(x) = x

1x +

g) f(x) = 8x

1

−

h) f(x) = 1x2

x

−

i) f(x) = 3x2x

−−

34. Determine a função inversa das seguintes funçõe s

de IR em IR. a) y = f(x) = x – 6 b) y = f(x) = 1 – 2x c) y = f(x) = 3x + 4 d) y = f(x) = 3x

35. Determine as inversas de cada uma das funções a

seguir, apresentando domínio e imagem: a) y = x b) y = 2x + 4


Pág. 31

c) y = 5

6x2 +−

d) y = 2

3x +

e) y = 1x1x2

−+

f) y = 6x3

2x+

−

g) y = x1

h) y = 2x

1+

i) y = x³ - 1

j) y = 3 2x − 36. Determine a função inversa da função bijetora

dada por f(x) = 2x

x−−−−

, bem como seu domínio

e imagem. 37. Seja a função y = f(x) = 3x – 4 definida de IR

em IR, determine: a) f-1 (x) b) f-1 (2)

38. Sendo f : IR �� IR, calcule f -1 Seja f -1 (x) a

função inversa de x51

3)x(f += . (3).

39. A função f é definida por y = f(x) = 1x32x5

−+

,

determine o domínio e a imagem para existir f-1 (x).

40. A função f é definida por y = f(x) = 5x43x2

−+

,

determine o domínio e a imagem para existir f-1 (x).

41. Suponha que o custo total para se fabricar

“q” unidades de um certo produto seja dado por C(q) = q 3 – 30q2 + 400q + 500. a) Calcule o valor da fabricação de 20 unidades b) Calcule o custo da fabricação da 20ª unidade

42. Em certa fábrica, o custo de fabricação de

“q” unidades, durante o horário de trabalho, é de C(q) = q 2 + q + 900 reais. Nas t primeiras horas de produção de um dia normal de trabalho, fabricam-se q( t ) = 25t unidades.

a) Expresse o custo total de fabricação em função de t

b) Quanto terá sido o gasto no final de 3 horas?

c) Quando o custo total de produção atingirá R$ 11.000,00 ?


Pág. 32

Gabarito:

1.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,1;3,1;1,1;5,0;3,0;1,0BA =×

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,5;1,3;1,1;0,5;0,3;0,1AB =×

c) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1;0,1;1,0;0,0AAA2 =×=

d)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }5,5;3,5;1,5;5,3;3,3;1,3;5,1;3,1;1,1BBB2 =×=2.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4,3;2,3;1,3;4,2;2,2;1,2BA =×

b) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,3;0,3;1,2;0,2CA =×

c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,4;0,4;1,2;0,2;1,1;0,1CB =×

3.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }3,1;2,1;1,1;3,0;2,0;1,0;3,1;2,1;1,1AB −−−=×

4.

a) ( ) ( ) ( ) ( ){ }2,1;1,0;0,1;1,2R1 −−−=

b)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

−−−−−−−−−−−−−

=4,1;3,1;2,1;4,0

;3,0;2,0;1,0;4,1;3,1;2,1;1,1;0,1

;4,2;3,2;2,2;1,2;0,2;1,2

R2

b) ∅=3R

5.

a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }8,8;4,4;2,2;1,1;0,0R1 =

b) ( ) ( ) ( ){ }4,2;1,1;0,0R2 =

c) ( ) ( ){ }2,4;0,2R3 =

6. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }0,10;1,8;2,6;3,4;4,2;5,0R =

7.

a) { }4,1,0Imf =

b) { }4,2,0,2Imf −=

c) { }3,0,1Imf −=

8.

a) ( ) 3xou2x0xfPara ==⇒=

b) ( ) 1xou6x12xfPara −==⇒=

c) ( ) 5xou0x6xfPara ==⇒=

9.

a) ( ) 02f =−

b) ( ) 61f −=−

c) ( ) 100f −=

d) ( ) 103f −=

e) ( ) 05f =

f) 4

4521

f −=

10.

a) ( ) 21f =−

b) ( ) 52f =

11. { }4,2,0D =

12. ( )23

1f =

13. 4

19−

14. 2T =

15. { }

{ }{ }11,8,5,2,1Im

11,8,6,5,4,3,2,1CD

,3,2,1,0,1D

f

f

f

−=−=

−=

16.

=

101

,51

,21

,1Imf

17. 31

18.

−−−= 3,0,

75

,1,2Imf

19.

( )( )

( ) 361313f

37

32

f

765f

765f

+=+

=

=−=

20. 43

21. 2xou5xe

54

21

f −===

−

22. 2xou25

x =−=

23.

a) ( )( ) 5x2x2xgf 2 +−=


Pág. 33

b) ( )( ) 2x2x4xfg 2 ++=

c) ( )( )( ) 44x26x4xhfg 2 +−=

24. 81

25. k = 3

26. 4

27.

a) ( )( )21

1gf =

b) ( )( ) 81gf =−

c) ( )( ) 01fg =

d) ( )( )43

1fg −=−

28.

a) ( )( ) 7x5xgf −=

b) ( )( ) 11x5xfg −=

c) ( )( ) 2xxff −=

d) ( )( ) 36x25xgg −=

29.

a) ( )( ) 2x4xgf =

b) ( )( ) 3x4x2xfg 2 +−=

c) ( )( ) 41gf =

d) ( )( ) 30fg =

30.

a) ( )( ) ( )( )1x4

3xfgexgf

+=

−+=

12x52x

b) ( )( ) ( )( )1x

2xxfge

xx2

x1xgf

22

2

−+=

+−=

c) ( )( ) ( )( ) 1x8x16xfge1x4xgf 22 +−=−=

d) ( )( ) ( )( )4x3x3

xfge5x1x2

xgf++=

++=

31. ( )( )( )( ) { }

+≥−≤∈=−=

2xou2x/IRxD

4xxgf

xgf

2

32.

a) { }3x/IRxD ≥∈=

b) { }0x/IRxD ≥∈=

33.

a) { }1xou4x/IRxD ≥−≤∈=

b)

−≥∈=

51

x/IRxD

c) { }2xou0x/IRxD ≥≤∈=

d) { }3xou3x/IRxD >−<∈=

e) { }1xe5x/IRxD ≠−≠∈=

f) { }0x/IRxD ≠∈=

g) { }8x/IRxD >∈=

h)

>∈=

21

x/IRxD

i) { }3xe2x/IRxD ≠≥∈=

34.

a) ( ) 6xxf 1 +=−

b) ( )2

x1xf 1 −=−

c) ( )3

4xxf 1 −=−

d) ( )3x

xf 1 =−

35.

a)

==

=−

IRIm

IRD

xy 1

b)

==

−=−

IRIm

IRD2

4xy 1

c)

==

−−=−

IRIm

IRD2

65xy 1

d)

==

−=−

IRIm

IRD

32xy 1


Pág. 34

e) { }{ }

≠∈=≠∈=

−+=−

2IR/xxIm

1IR/yyD2x1x

y 1

f) { }

≠∈=

−≠∈=−

+=−

31

IR/xxIm

2IR/yyD3x1

26xy 1

g)

==

=−

IRIm

IRDy1

y 1

h) { }{ }

≠∈=−≠∈=

−=−

0IR/xxIm

2IR/yyDx2x1

y 1

i)

==

+=−

IRIm

IRD

1xy 31

j)

==

+=−

IRIm

IRD

2xy 31

36.

( ){ }{ }

≠∈=≠∈=

−=−

1IR/xxIm

2IR/yyD1x

2xxf 1

37.

a) ( )3

4xxf 1 +=−

b) ( ) 22f 1 =−

38. 3

39.

≠∈=

≠∈=

35

y/IRyIm

31

x/IRxD

f

f

40.

≠∈=

≠∈=

21

y/IRyIm

45

x/IRxD

f

f

41.

a) R$ 4.500,00

b) ( ) ( ) 00,4314550493120C21C =−=−

42.

a) ( ) 900t.25t.625tC 2 ++=

b) ( ) 00,600.63C =

c) 4 horas


Pág. 35

Função Polinomial de 1º grau 01. Determine o ponto de intersecção dos

gráficos de f(x) = 4x + 3 e g(x) = 8x – 5. 02. Sabendo que a função y = mx + n admite 3

como raiz e f(1) = -8, calcule: a) Os valores de m e n. b) f(10).

03. Estude a variação do sinal das seguintes

funções do 1 o grau: a) f(x) = x + 6; b) y = -3x + 9; c) f(x) = x.(3 – x) + (x – 1)².

04. Dada a função f(x) = a.x + 2, determine o valor

de a para que se tenha f(4) = 22. 05. Considere a função y = 2x – 8. Determine o

ponto onde o gráfico que representa a função, corta o eixo das ordenadas e o eixo das abscissas.

06. Uma função f real, do 1 o grau, é tal que f(0) =

1 + f(1) e f(- 1) = 2 – f(0). Determine o valor d e f(3).

07. Calcule o valor de a para que o gráfico de y =

ax + 3 passe pelo ponto ( -1; 1). 08. Determine equação da reta que passa pelos

pontos ( 4; 0 ) e ( 0; 2 ). 09. Determine a equação da reta que passa pelos

pontos ( 1; -1) e ( 2; 1). 10. (U. F. Viçosa – MG) Uma função f é dada por

f(x) = ax + b, em que a e b são números reais. Se f(-1) = 3 e f(1) = -1 então f(3) é o número: a) 1 b) 3 c) –3 d) 5 e) –5

11. Observe a figura: O gráfico da função f(x) = ax + b está representado nessa figura. O valor de a + b é:

a) –2 b) 2 c) 7/2 d) 9/2 e) 6

12. Examinando o gráfico da função f abaixo, que é

uma reta, podemos concluir que:

a) Se f(x) < 0, então x > 3. b) Se x > 2, então f(x) > f(2). c) Se x < 0, então f(x) < 0. d) Se f(x) < 0, então x < 0. e) Se x > 0, então f(x) > 0.

13. O custo da fabricação de x unidades de um

produto é C = 100 + 2x. Cada unidade é vendida pelo preço p = R$ 3,00. Para haver um lucro igual a R$ 1.250,00 devem ser vendidas k unidades. Determine o valor de k.

14. O preço a pagar por uma corrida de táxi depend e

da distância percorrida. A tarifa y é composta de duas partes: uma parte fixa denominada bandeirada e uma parte variável que depende do número x de quilômetros rodados. Suponha que a bandeirada esteja custando R$ 6,00 e o quilômetro rodado, R$ 1,20.

a) Expresse y em função de x. b) Quanto se pagará por uma corrida em que o táxi

rodou 10km? 15. O lucro de uma indústria que vende um único

produto é dado pela fórmula matemática L(x) = 4x – 1000, onde L representa o lucro e x, a quantidade de produtos vendidos. Determine a quantidade mínima de produtos que devem ser vendidos para que haja lucro.

16. O custo total de um fabricante consiste em uma

quantia fixa de R$ 200,00, somada ao custo de produção de R$ 50,00 por unidade. Expresse o custo total como função do número de unidades produzidas.

17. O custo total de produção consiste em uma taxa

fixa de R$ 5.000,00, somada ao custo de produção de R$ 60,00 por unidade produzida. Expresse o custo total em função do número de unidades produzidas.

18. Um fabricante vende a unidade de certo produto

por R$ 110,00. O custo total consiste em uma taxa fixa de R$ 7.500,00, somada ao custo de produção de R$ 60,00 por unidade.

x

y

(2,0)

(0, 4)

y

(3,0) x


Pág. 36

a) Determine as funções custo, receita e lucro.

b) Se forem vendidas 100 unidades, qual será o lucro ou prejuízo do fabricante?

c) Quantas unidades o fabricante necessita vender para obter um lucro de R$ 1.250,00?

19. Uma fábrica de móveis vende mesas por R$

700,00 cada. O custo total de produção do fabricante consiste em uma sobretaxa de R$ 80.000,00, somada ao custo de produção de R$ 300,00 por mesa. a) Determine uma função que represente o

lucro do fabricante. b) Determine o número de mesas que o

fabricante precisa vender para obter um lucro de R$ 60.000,00.

c) Calcule o lucro/prejuízo do fabricante ao produzir: 100 e 250 mesas.

d) Determine o número de mesas que o fabricante deve produzir para atingir o ponto de equilíbrio.

20. Um grupo de estudante dedicado à

confecção de produtos de artesanato tem um gasto fixo de R$ 60,00 e, em material, gasta R$ 2,50 por unidade produzida. Cada unidade deverá ser vendida por R$ 17,50. a) Quantas unidades os estudantes terão de

vender para existir equilíbrio? b) Quantas unidades os estudantes terão de

vender para obterem um lucro de R$ 450,00?

21. Na produção de peças, uma indústria tem

um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade produzida. Sendo “x” o número de unidades produzidas: a) escreva uma função que forneça o custo

total de “x” peças. b) calcule o custo total da produção de 100

peças. c) Calcule o número de peças produzidas

sabendo-se que o custo total da produção foi de R$128,00.

22. O custo de fabricação de “x” unidades de

um produto é dado por C(x) = 100 + 2x. Cada unidade é vendida por R$ 3,00. Quantas unidades devem ser vendidas para haver um lucro de R$ 1.250,00?

23. O gerente de uma loja compra um sapato

por R$ 45,00 e vende por R$ 75,00. Sabendo-se que a despesa com frete é de

R$ 70,00 quantos sapatos desse modelo a loja deverá vender para ter um lucro de R$ 980,00?

24. Uma papelaria adquire caixas de lápis por

R$10,00 cada. Estima-se que, se cada caixa for vendida por x reais, vender-se-ão (50 – x) caixas por mês. Expresse o lucro da papelaria como função do preço de venda x.

25. Num estacionamento para automóveis, o

preço por dia de estacionamento é R$ 20,00. A esse preço estacionam 50 automóveis por dia. Se o preço cobrado for R$ 15,00, estacionarão 75 automóveis. Admitindo que a função demanda seja de 1º grau, obtenha essa função.

26. Quando o preço unitário de um produto é R$

10,00, cinco mil unidades de um produto são ofertadas por mês no mercado. Se o preço for R$ 12,00, cinco mil e quinhentas unidades estarão disponíveis. Admitindo que a função oferta seja de 1º grau, obtenha a sua equação.

27. Determine o preço de equilibro de mercado

nas seguintes situações:

a) oferta: p = 10 + x demanda: p = 20 – x

b) oferta: p = 3x + 20 demanda: p = 50 – x

28. Um fabricante de fogões produz 400 unidades

por mês quando o preço de venda é R$ 500,00 por unidade, e são produzidas 300 unidades por mês quando o preço é R$ 450,00. Admitindo que a função oferta seja do 1º grau, qual a sua equação?

29. Um comerciante compra um lote de

mercadorias, contendo x unidades, a um preço de R$ 45,00 a unidade. Sabendo-se que o mesmo revende cada unidade a R$ 60,00 e que gasta R$ 1500,00 com o aluguel do caminhão para transporte do lote de mercadorias, é correto afirmar que: a) O comerciante precisa comprar e revender

um lote com, no mínimo, 50 mercadorias para obter lucro.

b) O comerciante terá prejuízo caso compre e revenda qualquer lote de mercadorias com menos que 200 unidades.

c) Independente da quantidade x de unidades, o comerciante obterá lucro sempre que vender o lote todo.


Pág. 37

d) Caso o comerciante compre e revenda um lote com 100 unidades, o mesmo não terá lucro nem prejuízo.

e) Devido ao preço do frete o comerciante sempre terá prejuízo, independente do número x de unidades do lote.

30. Uma indústria produz um determinado

produto a R$ 10,00 e o vende a R$ 18,00. Sabendo-se que há um custo fixo de R$ 640,00 mensais, é correto afirmar que: a) Ao vender menos do que 80 unidades, o

fabricante terá prejuízo. b) O lucro por unidade é de R$ 8,00. c) Ao vender mais do que 50 unidades o

fabricante obterá lucro. d) Sempre que vender todas as unidades

produzidas o fabricante terá lucro. e) O custo da empresa é sempre maior que a

receita. 31. O custo total de produção consiste em uma

sobretaxa de R$ 5.000,00 somada ao custo de produção, que é de R$ 60,00 por unidade. Expresse o custo total de produção como função do número de unidades produzidas e construa o gráfico correspondente .

32. Certa agência locadora de automóveis cobra

R$ 20,00 por dia, mais R$ 0,14 por quilômetro percorrido. a) Exprima o custo diário da locação de um

automóvel desta agência, em função do número de quilômetros(x) percorridos. Construa o gráfico correspondente.

b) Quanto custa o aluguel diário de um automóvel, sabendo-se que se pretende realizar uma viagem de 50 km?

c) Quantos km foram percorridos se o custo diário do aluguel foi de R$ 45,20?

33. Certa escola permite que a matrícula para um

de seus cursos seja feita antecipadamente (durante o verão) via correio, ou pessoalmente, no decorrer da primeira semana de aulas. Nesta última hipótese, o funcionário encarregado de efetuar as matrículas consegue registrar 35 alunos por hora. Suponhamos que, após 4 horas de trabalho na semana em questão, haja 360 alunos registrados (incluindo os que se matricularam com antecedência). a) Expresse o número de alunos em função do

tempo e construa o gráfico correspondente b) Qual é o número de alunos matriculados

após 3 horas?

c) Qual é o número de alunos matriculados anteriormente, durante o verão?

34. A taxa de inscrição num clube de natação é de

R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início das aulas, a taxa é reduzida linearmente. a) Expresse a taxa de inscrição em função do

número de semanas transcorridas desde o início do curso e construa o gráfico correspondente.

b) Calcule: quanto uma pessoa pagou ao se inscrever 5 semanas após o início do curso.

35. O médico possui livros técnicos no valor de

R$ 150.000,00, valor que, para efeito do Imposto de Renda, sofre uma depreciação linear até zero, num período de 10 anos. Expresse o valor dos livros como função do tempo e construa o gráfico correspondente.

36. Um fabricante adquiriu uma máquina por R$

20.000,00, valor que, após 10 anos sofre depreciação linear até R$ 1.000,00. a) Expresse o valor da máquina em função do

tempo de compra transcorrido e construa o gráfico correspondente.

b) Calcule o valor da máquina após 4 anos.

37. Desde o início do mês, um reservatório de água de determinado local tem sofrido um vazamento numa razão constante. No dia 12, o reservatório possuía 200 milhões de litros de água e, no dia 21, possuía somente 164 milhões de litros. a) Expresse a quantidade de água como função

do tempo e construa o gráfico correspondente.

b) Quantos litros de água havia no reservatório, no dia 8?

38. Que quantidade de mercadoria deve vender

uma empresa, se pretende ter um lucro diário de R$ 1.300,00 sabendo-se que o preço de venda é de R$ 17,00, o custo fixo de R$ 1200,00 e que o custo unitário de produção é de R$ 12,00?

39. O valor de uma máquina hoje é de R$

10.000,00 e estima-se que daqui a 6 anos seja R$ 1.000,00.

a) Qual o valor da máquina daqui a x anos? b) Qual sua depreciação total daqui a x anos?


Pág. 38

40. O valor de um equipamento hoje é R$ 2.000,00 e daqui a 9 anos será R$ 200,00. Admitindo depreciação linear:

a) Qual o valor do equipamento daqui a 3

anos? b) Qual o total de sua depreciação daqui a 3

anos? c) Daqui a quanto tempo o valor da máquina

será nulo?

41. Daqui a 2 anos o valor de um computador será de R$ 5.000,00 e daqui a 4 anos será R$ 4.000,00. Admitindo depreciação linear:

a) Qual o seu valor hoje? b) Qual o seu valor daqui a anos?

42. Um equipamento de informática é

comprado por R$ 10.000,00 e após 6 anos seu valor estimado é de R$ 2.000,00. Admitindo depreciação linear:

a) Qual a equação do valor daqui a x anos? b) Qual a depreciação total daqui a 4 anos? c) Daqui a quanto tempo o valor do

equipamento será nulo?

43. Uma família tem um consumo autônomo de R$ 800,00 e uma propensão marginal a consumir igual a 0,8. Obtenha:

a) A função consumo b) A função poupança. 44. Dada a função consumo de uma família C

= 500 + 0,6 Y, pede-se: a) A função poupança b) A renda mínima para que a poupança seja

não negativa.

45. Dada a função poupança de uma família S = - 800 + 0,35 Y, pede-se:

a) A função consumo b) A renda que induza um consumo de R$

1450,00.

46. Num país, quando a renda é $ 6000,00, o consumo é $ 5600,00 e, quando a renda é $ 7000,00, o consumo é $ 6200,00. Obtenha a função consumo, admitindo-a como função de primeiro grau.


Pág. 39

Gabarito: 01. (2,11) 02. a) m=4 e n=-4/3 b) 116/3 03. a) y>0 → x>-6 / y<0 → x < -6 / y = 0 → x = -6 b) y>0 → x<3 / y<0 → x > 3 / y = 0 → x = 3 c) y>0 → x>-1 / y<0 → x < -1 / y = 0 → x = -1 04. a = 5 05. eixo ordenadas: (0, -8) eixo abscissas: (4, 0) 06. -5/2 07. a = 2 08. y = (-1/2)x + 2 09. y = 2x – 3 10. e 11. b 12. a 13. 1350 unidades 14. a) y = 6 + 1,20x b) R$ 18,00 15. 250 unidades 16. C(x) = 50x + 200

17. C(x) = 60x + 5000

18. a) R(x) = 110x C(x) = 60x+7500 L (x) = 50x–

7500

b) 2500 prejuízo

c) 175

19.

a) L(x) = 400x – 80000

b) x = 350 mesas

c) 100 mesas: prejuízo de R$ 40 000,00

250 mesas: lucro de R$ 20 000,00

d) PE: x= 200 mesas

20.

a) x = 4

b) x = 34

21.

a) C(x) = 0,5x + 8

b) C(100) = R$ 58,00

c) x = 240 unidades

22. x = 1350 unidades

23. x = 35 sapatos

24. L(x) = -x 2+ 60x – 500

25. P(x) = -0,2x + 30

26. P(x) = 0,004x – 10

27.

a) R$ 15,00

b) R$ 42,50

28. P(x) = 0,5x + 300

29. d (PE: x = 100 unidades)

30. a (PE: x = 80 unidades)

31. 60 x + 5000

32. a) 0,14 x + 20; b) R$ 27,00; c) 180 km

33. a) 220 + 35 x; b) 325; c) 220

34. a)150 – 12,5 x; b) R$ 87,50

35. 150000 – 15000 x

36. 20000 – 1900 x; b) R$ 12400

37. a) 200 000 000 – 4 000 000 x; 216 000 000 de litros

38. x = 500 unidades

39. a) – 1500 x + 1000; b) 1500 x

40. a) R$1400,00; b) R$ 600,00; c) 10 anos

41. a) R$ 6000,00; b) R$ 3500,00

42. a) 10000 – 4000 x/3; b) R$ 5333,33; c) 7,5 anos

43. a) 800 + 0,8 y; b) - 800 + 0,2 y

44. a) 0,4 y -500; b) R$ 1250,00

45. a) 800 + 0,65 y; b) R$ 1000,00

46. 0,6 y + 2000


Pág. 40

Função Quadrática

01. Construir o gráfico das seguintes funções:

a) y = x² – 2x – 3. b) f(x) = 2x² c) y = – x² + 2x + 3. d) g(x) = – 4x² + 36.

02. Determine o valor de m para que a parábola

que representa graficamente a função: y = 3x² – x + m passe pelo ponto (1;6).

03. Dada a função f(x) = x² – 4.x – 5, determine os

valores reais de x para que se tenha: a) f(x) = 7 b) f(x) = 0 c) f(x) = –5

04. Dada a função f(x) = 2x² – 3.x + 1, calcule:

a) m, para que f(m – 1) = 0 b) x, de modo que f(x + 2)= 1

05. Determine o número m de modo que o gráfico

da função y = x² + mx + 8 – m seja tangente ao eixo dos x. Faça o gráfico das soluções que você encontrar para o problema.

06. Determine os pontos onde a parábola

representativa da função y = x² + x – 20 corta o eixo das abscissas.

07. Considere a função f: R �� R definida por f(x)

= x² + 2mx + 16. Determine m ∈∈∈∈R de modo que: a) A função não tenha raízes reais; b) O gráfico da função passe pelo ponto (2, - 4); c) A parábola representativa da função seja

tangente ao eixo x. 08. Determine as coordenadas do vértice V da

parábola que representa a função; f(x) = x² – 2x – 3.

09. Determinar a e b de modo que o gráfico da

função definida por y = ax² + bx – 9 tenha o vértice no ponto (4, – 25).

10. Calcule a, b e c de modo que o vértice da

parábola representativa da função: f(x) = ax² + bx + c seja (1, –16) e que – 3 seja um zero da função.

11. A parábola y = ax² + bx + c passa pelos

pontos (1,2), (0,3) e (2,4). Determine as coordenadas do seu vértice.

12. Determine o conjunto imagem das seguintes funções quadráticas: a) f(x) = x² – 10x + 9 b) f(x) = 3x² – 2x – 1 c) f(x) = – 2x² + 1 d) f(x) = – x² + 6x – 10

13. Qual é o valor de h para que a função f(x) = – 4x² +

2x + h – 2 tenha como valor máximo – 6. 14. Dada a função f(x) = 3x² + 6x – m, determine pa ra

que valor de m o mínimo valor da função é 4. 15. Para que valores reais de x é crescente a funçã o:

a) f(x) = 2x² – 6x – 1 b) f(x) = – x² + 4x + 2 c) f(x) = x² – 4

16. Para que valores reais de x é decrescente a

função: a) f(x) = 3x² – 4x + 1 b) f(x) = – x² – 1

17. Sabe-se que a parábola y = x 2 + bx + 2b passa

pelo ponto (1; 7). Qual é o valor de b? 18. Determine os valores de b e c sabendo que a

parábola y = x 2 + bx + c passa pelos pontos (1; 1) e ( 2; 6).

19. O proprietário de uma barbearia verificou que,

quando o preço do corte de cabelo era $ 20,00, o número de clientes era 100 por semana. Verificou também que, quando o preço passava para $ 15,00, o número de clientes dobrava.

a) Obtenha a função de demanda admitindo o seu

gráfico linear. b) Qual o preço que deve ser cobrado para

maximizar a receita semanal?

20. O proprietário de um hotel para viajantes, com 40 suítes, sabe que, se cobrar $ 150,00 por diária, o hotel permanece lotado. Por outro lado, para cada $ 5,00 de aumento na diária, uma suíte permanece vazia. a) Obtenha a função de demanda admitindo-a

função de 1º grau. b) Qual o preço que deve ser cobrado para

maximizar a receita?

21. Uma videolocadora aluga 200 fitas por dia, se o aluguel diário de cada fita for $ 4,00. Para cada $ 1,00 de acréscimo no preço, há uma queda de demanda de 50 fitas.


Pág. 41

a) Qual a equação de demanda diária de fitas, admitindo-a como função de 1º grau? b) Qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita?

22. A equação de demanda de um produto é p =

100 – 2x e o custo é C(x) = 500 + 3x. Obtenha o preço que maximiza o lucro.

23. Sabendo que a função de demanda é p = 10 –

x, e a função custo é C (x) = 12 + 3x, pede-se o preço que maximiza o lucro.

24. Uma fábrica produz e vende “ x” unidades de

um determinado produto diariamente. Sabendo-se que cada unidade do produto é vendida a R$ 100,00 e que o custo total de produção der “x” unidades é dado por C (x) = 700 + 20 x + x 2, assinale a alternativa que contém uma afirmação correta a respeito da produção dessa fábrica em um determinado dia :

a) Até 20 unidades produzidas a fábrica apresenta prejuízo. b) Se a fábrica produzir 60 unidades terá um lucro maior do que se produzir 20 unidades. c) Quanto mais unidades a fábrica produzir maior será o seu lucro. d) O lucro é máximo quando a fábrica produz 40 unidades. e) Após 80 unidades produzidas a fábrica passa a ter prejuízo.

25. O proprietário de um ônibus de excursão, com capacidade para 40 pessoas, cobra R$ 50,00 de cada um, se todos os lugares forem ocupados. Caso sobrem lugares, cada passageiro pagará R$ 50,00 mais R$ 2,00 por cada lugar vago.

I – A arrecadação será máxima se houver 34 passageiros. II – A arrecadação será máxima quando todos os lugares forem ocupados. III – Em duas situações diferentes, com lugares vazios, a arrecadação será máxima. Com base nas proposições é correto afirmar que:

a) apenas I é verdadeira. b) apenas II é verdadeira. c) apenas III é verdadeira. d) apenas I e II são verdadeiras. e) apenas II e III são verdadeiras.

26. Quando o preço unitário de um produto é R$ 10,00, quinhentas unidades são compradas por mês e; se o preço for R$ 12,00 em um determinado mês, quatrocentas e cinqüenta unidades são compradas. Sabendo que a equação de demanda é uma função de 1º grau, para qual preço a receita será máxima?

27. Quando o preço unitário de um produto é R$ 21,00, trezentas unidades são compradas por mês e; se o preço for R$ 15,00 em um determinado mês, quatrocentas e vinte unidades são compradas. Sabendo que a equação de demanda é uma função de 1º grau, qual é o preço que gera a receita máxima?

28. Certa empresa tem função de demanda dada por

p = 400 – 2x, onde x representa a quantidade e p o preço, e função custo C(x) = 120 + 60 x – x 2. Determine o preço a que deve ser vendido o produto, para o qual o lucro é maximizado.

29. A função custo total de fabricação de x unidade s

de um produto é C(x) = 2000 + 20x + x 2 e a função receita R(x) = 200x – 2x 2. Obtenha a função lucro e a quantidade que deve ser produzida e vendida para maximizar o lucro.

30. O custo de produzir x unidades por dia de um

produto é C(x) = 0,5 x 2 + 20x + 15 e a equação de demanda é p = 30 – x. Determine o preço que maximiza o lucro e o intervalo em que deve variar o preço para que o lucro seja não negativo.


Pág. 42

Gabarito:

01. a)

b)

c)

d)

02. m = 4

03.

a) x1 = -2 e x2 = 6

b) x1 = -1 e x2 = 5

c) x1 = 0 e x2 = 4

04.

a) m1 = 2 e m2 = 3/2

b) x1 = -1/2 e x2 = -2

05. m1 = -8 e m2 = 4

06. x1 = -5 e x2 = 4

07.

a) {x ∈R / x<-4 ou x>4}

b) x = -6

c) m = ±4

08. V(1;-4)

09. a = 1 e b = -8

10. a = 1; b = -2 e c = -15

11.

=1261

;65

V

12.

a) Im= [-16;+∞]

b) Im = [-4/3; +∞)

c) Im = (-∞;1/2]

d) Im = (-∞;-1]

13. h = -17/4

14. m = -7

15.

a) [3/2; +∞)

b) (-∞;2]

c) [0;+ ∞)

16. a) x < 2/3

b) x > 0

17. b = 2

18. b = 2 e c = -2

19 a) p = -0,05x + 25

b) 12,50

20. a) p = -5x + 350

b) 175,00


Pág. 43

21, a) p = -0,02x + 8

b) 4,00

22. a) 51,50

23. 6,50

24. d

25 . c

26. 15,00

27 . 18,00

28 . 60,00

29. -3x2 + 180x – 2000 e x = 30

30 . p = 26,66


Pág. 44

Limites Indeterminados

01. Calcule os seguintes limites: a) ( )1x3x5lim 2

3x+−

→

b) ( )3xxlim 4

2x++

−→

c) ( )1x

x4lim

2

3x +→

d) 1x

xlim

2

3

5x −→

e) 1x2x3

lim2x −

+→

f) 1x

x2x4lim

2

3x −−

→

g) 6x

12x8xlim

2

6x −+−

→

h) 2x4x

lim2

2x −−

→

i) 1x

7x8xlim

2

2

1x −+−

→

j) 4x

8x6xlim

2

4x −+−

→

k) 16x

4x3xlim

2

2

4x −−−

→

l) 4x4x

lim4x +

+−→

02. Obtenha k de modo que a função

RR:f → tal que

=

≠−

+−=

5xse,k

5xse,5x

15x8x)x(f

2

seja contínua em 5. 03. Dada a função RR:f → tal que

=

≠−

+−=

1xse,k

1xse,1x

2x3x)x(f

2

determine k de

modo que f seja contínua em 1. 04. Calcule os seguintes limites:

a) 9xlim 2

4x+

→

b) 322x 4x

1xlim

+−

→

c) 2x

6xxlim

2

2x −−+

→

d) 34

3x 3x81x

lim+−

−→

e) 1x

7x6xlim

2

1x −−+

→

f)

−−+−−

→ 2x12x4x

x7lim2

3x

g) 16x

4xlim

16x −−

→

h) 1x

1xlim

1x −−

→

i) 2x

2xlim

2x −−

→

j) 2x

4xlim

4x −−

→

k) 1x

2x3xlim 2

→+

l) 8x

24xxlim 53

→++

m)

1x1x

3x3xxlim 3

23

→−

−−+

n)

1x1x1x

lim 33

−→++

o)

5x5x

56xx152xlim

2

→−

+−++

p) 1x

23xx

1xlim

2

→+−

−

q) 9x

3x

81xlim

2

→−

−

r) 8x

2x

8xlim

3

→−

−

s) 1x

1x1x

lim3

−→++


Pág. 45

05. O limite 2x3x

x2xxlim

2

23

2x +−−−

→ vale:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 6 06. A função RR:f → , com

=

≠−−

=4xse,m

4xse,4x16x

)x(f

2

é contínua em 4

se, e somente se: a) m = 8 b) m = 6 c) m = – 8 d) m = 0 e) m = – 1

07. Dada a função x3xx

x3x6x5)x(f

23

23

+−+−= ,

calcule : a) )x(flim

1x→

b) )x(flim2

1x→

c) )x(flim1x −→


Pág. 46

Gabarito: 01. a) 37

b) 17

c) 9

d) 24125

e) 8

f) 15

g) 4

h) 4

i) -3

j) 2

k) 85

l) 1

02. k = 2 03. k = –1 04. a) 5

b) 21

c) 5

d) –3 3 4

e) 2 2

f) –1

g) 81

h) 2

i) 42

j) 4

k) 5

l) 4

m) 2

n) 3 3

o) 7

p) – ½

q) 108

r) 12

s) 1/3

05. e 06. a

07. a) 32

b) 115

c) 514


Pág. 47

Limites Infinitos e no Infinito

01. Calcule o valor dos limites infinitos:

a) ( )22x 2x

6x4lim

−−

→

b) 8xx1

lim8x −

−→

c) ( )4

2

3x 3x

xxlim

−−

→

d) 4xxx

lim3

4x ++

−→

e) ( )61x 1x

xlim

−→

f) 10x

1lim

10x −→

g) ( )2

2

4x 4x

9xlim

−+

→

h) 20x x

1xlim

−→

i) ( )5

2

6x 6x

6x7xlim

−+−

→

j) ( )3

2

1x 1x

1xx2lim

−−−

→

k) 3

23

0x x

x6x5xlim

+−→

l) ( )7

24

3x 3x

9x10xlim

++−

−→

02. Calcule os seguintes limites no infinito: a) ( )1x2x3x4lim 46

x+−+

+∞→

b) ( )4xx2x3lim 34

x−++−

∞+→

c) 2x3x

1xx2x5lim

2

346

x ++−+−

+∞→

d) 1x3x3

6xx3x4lim

8

258

x −+++−

+∞→

e) 1xx2

4x3x6lim

7

23

x −+++

+∞→

f) xx2

1x3x7lim

3

5

x +−+−

+∞→

g) 1x3x2

3x6x4lim

8

45

x −+++−

−∞→

h) 3x2

1x2x3lim

5

45

x +++

−∞→

i) 6x2x2

1xx2x3lim

3

46

x +−+−+

+∞→

j) 52

5

x 1xx

2x3xlim

−−+−

−∞→

k) 65

3

x 3x4

1x3x2lim

−−+

−∞→

l) 3

3

x x9

x3x4lim

+−∞→

Um limite especial : O NÚMERO “e”

+∞→

+=x

x1

1lime

x

ou

( )0x

x1lime x

1

→+=

onde e = 2,718281828...

01. Calcule os seguintes limites:

a)

+∞→

+

xx7

1limx

b)

−∞→

−

xx9

1limx

c)

+∞→

+

xx5

1limx

d)

+∞→

−

xx6

1limx

e) ( )0x

4x1lim x

2

→+


Pág. 48

f) ( )0x

2x1lim x

3

→−

g) ( )0x

9x1lim x

1

→+

h) ( )0x

7x1lim x

6

→−

02. Obtenha o valor de:

a)

+∞→

++

x3x

61lim

2x

b)

−∞→

−+

x12x

41lim

x

c)

+∞→

+−

x13x

51lim

x

d)

+∞→

++

x52x

41lim

3x

Limites de funções Exponencial e Logarítmica

1. Calcule os seguintes limites:

a) +∞→x

8lim x

b) −∞→x

8lim x

c)

+∞→

x32

limx

d)

−∞→

x32

limx

e) ( )−∞→x

2limx

f) ( )+∞→x

2limx

g)

+∞→

x21

lim

x

h)

−∞→

x21

lim

x

i) +→ 0x

xloglim 2

j) +∞→x

xloglim 2

l) +→ 0x

xloglim4

1

m) −→ 0x

xloglim4

1

n) +→ 0x

xloglim2

o) +∞→x

xloglim2

p) +→ 0x

xloglim2

1

q) +∞→x

xloglim2

1

2. Calcule os seguintes limites envolvendo função exponencial:

a) +∞→

++−

x

2lim 42x

13x4x3

b) −∞→

−−−

x

3lim 4xx

62xx2

5

c)

+∞→

+−

x21

lim2x

3x4x5

8

d)

−∞→

−−

x51

limx

13x22x

e)

0x41

lim6

24

x

x3x

→

+

f) ( )+∞→

+

x

3lim 2

5

x

2x3x


Pág. 49

g) ( )−∞→

+

x

3lim 2

5

x

2x3x

h)

+∞→

+−

x3

1lim

2xx

32x3

6

i)

−∞→

+−

x3

1lim

2xx

32x3

6

3. Calcule os limites envolvendo função logarítmica:

a) 0x

x

1loglim

44

→

b) 0x

x

1loglim

65

1

→

c) +∞→x

x

1loglim

38

d) +∞→x

x

1loglim

33

1

e) +∞→

+−

xx

13x2xloglim

4

3

f) 0x

x

1xloglim

6

3

→

+

g) 0x

x2

loglim 3

→

h) 0x

x

3loglim

42

1

→

i) +∞→x

x1

loglim 2

j) +∞→x

x

3loglim

25

1

k) +∞→

+−+

x32x

12xxloglim

2

3

4

l) 0x

2x

12xloglim

310

1

→++


Pág. 50

GABARITO: 01. a) +∞ b) −∞ c) +∞ d) −∞ e) +∞ f) +∞ g) +∞ h) −∞ i) +∞ j) +∞ k) +∞ l) −∞ 02. a) +∞ b) −∞ c) +∞

d) 34

e) 0 f) −∞ g) 0

h) 23

i) +∞ j) −∞ k) 0

l) 32

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Apostila Matematica I - Carlos Leandro-1