Embed Size (px)
Citation preview
Tópicos de matemática elementar Revisão de Matemática Básica Prof. Maurici José Dutra
2
Apresentação
Este livro foi elaborado com as notações de aulas de revisão de matemática
básica. Como somos sabedores das deficiências de matemática básica dos
estudantes que terminaram o ensino médio, procuraremos amenizá-las fazendo com que os mesmos compreendam as ideias de matemática básica e saibam aplicá-las no decorrer do seu curso.
As sugestões e críticas sobre este trabalho serão muito bem aceitas.
Prof. Maurici.
3
Sumário
Capítulo 1 – Conjuntos Numéricos ................................................................. 6 1.1 – Naturais ......................................................................................................................6 1.2 – Inteiros ....................................................................................................................... 6 1.3 – Racionais ................................................................................................................... 6 1.4 – Irracionais .................................................................................................................. 6 1.5 – Reais........................................................................................................................... 6 1.6 – Reta real...................................................................................................................... 6 1.7 – Intervalos.................................................................................................................... 7 1.8 – Potências e Raízes...................................................................................................... 12 1.8.1 – Definição............................................................................................................. 12 1.8.2 – 2ª Definição......................................................................................................... 14 1.9 – Produtos Notáveis....................................................................................................... 17 1.10 – Racionalização.......................................................................................................... 18 1.11 – Fatoração................................................................................................................. 20 1.12 – Simplificação............................................................................................................ 21 1.13 – Equação do 1º Grau.................................................................................................. 23 1.13.1 – Equação Fracionária do 1º Grau....................................................................... 24 1.13.2 – Sistemas de equação do 1º grau com duas incógnitas...................................... 26 1.14 – Equação do 2º Grau.................................................................................................. 30 1.14.1 – Soma e Produto das raízes..................................................................................33 1.15 – Equações Biquadradas.............................................................................................. 34 1.16 – Equações Irracionais................................................................................................. 36 1.16.1 – Sistema de duas equações com duas variáveis................................................. 37 1.17 – Desigualdades........................................................................................................... 40 1.18 – Valor Absoluto......................................................................................................... 45 Capítulo 2 –Funções......................................................................................... 49 2.1 – Definição.................................................................................................................... 49 2.2 – Gráfico de uma função............................................................................................... 51 2.3 – Operações................................................................................................................... 55 2.4 – Função Composta....................................................................................................... 57 Capítulo 3 – Funções Especiais........................................................................ 60 3.1 – Função Constante ..................................................................................................... 60 3.2 – Função do Primeiro Grau........................................................................................... 62 Capítulo 4 – Função Modular.......................................................................... 66 Capítulo 5 – Função Quadrática...................................................................... 72 Capítulo 6 – Função Polinomial.......................................................................78 Capítulo 7 – Função Racional.......................................................................... 81 Capítulo 8 – Funções Pares e Ímpares............................................................ 83
4
Capítulo 9 – Função Inversa............................................................................ 86 Capítulo 10 – Função Exponencial.................................................................. 90 10.1 – Equações Exponenciais............................................................................................ 97 10.2 – Inequações Exponenciais.......................................................................................... 99 Capítulo 11 – Função Logarítmica.................................................................. 101 11.1 – Função Logarítmica.................................................................................................. 104 11.2 – Equações Logarítmicas............................................................................................. 108 11.3 – Inequações Logarítmicas.......................................................................................... 110 Capítulo 12 – Funções Periódicas.................................................................... 113 12.1 – Funções Trigonométricas...........................................................................................114 12.1.1 – Função Seno...................................................................................................... 114 12.1.2 – Função Cosseno................................................................................................ 118 12.1.3 – Função Tangente................................................................................................121 12.1.4 – Função Cotangente............................................................................................ 124 12.1.5 – Função Secante................................................................................................. 126 12.1.6 – Função Cossecante............................................................................................ 128 12.1.7 – Relações Fundamentais..................................................................................... 130 12.2 – Funções Trigonométricas Inversas........................................................................... 131 12.2.1 – Função Arco Seno............................................................................................. 131 12.2.2 – Função Arco Cosseno....................................................................................... 133 12.2.3 – Função Arco Tangente...................................................................................... 134 12.2.4 – Função Arco Cotangente................................................................................... 135 12.2.5 – Função Arco Secante.........................................................................................136 12.2.6 – Função Arco Cossecante................................................................................... 137 Capítulo 13 – Funções Hiperbólicas............................................................... 138 13.1 – Função Seno Hiperbólica.......................................................................................... 138 13.2 – Função Cosseno Hiperbólica.................................................................................... 139 13.3 – Função Tangente Hiperbólica................................................................................... 142 13.4 – Função Cotangente Hiperbólica............................................................................... 144 13.5 – Função Secante Hiperbólica..................................................................................... 145 13.6 – Função Cossecante Hiperbólica................................................................................ 146 13.7 – Função Hiperbólica Inversa...................................................................................... 147
5
Bibliografia
1- Ávila G. - Cálculo 1: Funções de uma variável, Rio de Janeiro - 1982
2- Louis Leithold – Cálculo com geometria analítica – São Pualo – 1994
3- Diva M. Flemming – Cálculo A – São Paulo – 1987
4- Manoel Jairo Bezerra – Matemática – São Paulo – 1994
5- Valéria Z. Medeiros – Pré-Cálculo – São Paulo – 2006
6- Gelson Iezzi – Matemática 1ª série do 2º grau – São Paulo – 1990
7- Fernando Trotta – Matemática 8ª série – São Paulo
8- Sebastião Medeiros – Matemática básica para cursos superiores –
São Paulo – 2002
6
Capítulo 1 - Conjuntos Numéricos 1.1 – Naturais:
N = {0,1,2,...} 1.2 – Inteiros: Z = {...,-2,-1,0,1,2,...}
1.3 – Racionais: Q = {x / x = !
! , a, b Є Z, b ≠ 0}
Ex: !
! , -1 , -!
!
1.4 – Irracionais: Q’ = {Conjunto dos números que não podem ser colocados na forma x = !
! , a,b Є Z, b ≠ 0}
Ex: √2 , - √3, π = 3,1416... , e = 2,7182...
1.5 – Reais: R = Q U Q’
1.6 – Reta Real:
7
1.7 – Intervalos:
a) Intervalo fechado [a,b] = {x Є R / a ≤ x ≤ b}
Ex: [ !
! , 3] = {x Є R / !
! ≤ x ≤ 3}
b) Intervalo aberto (a,b) = ]a,b[ = { x Є R / a < x < b}
Ex: (!
! , 2) = { x Є R / !
! < x < 2}
c) Intervalos semi-abertos [a,b) = { x Є R / a ≤ x < b}
Ex: [ !
! , 5) = { x Є R / !
! ≤ x < 5}
8
d) (a,b] = { x Є R / a < x ≤ b}
Ex: (-1,5] = { x Є R / -1 < x ≤ 5}
e) Intervalos infinitos [a, +∞) = { x Є R / x ≥ a}
Ex: [2, +∞) = { x Є R / x ≥ 2}
(a, +∞) = { x Є R / x > a}
Ex (2, +∞) = { x Є R / x > 2}
(-∞, b] = { x Є R / x ≤ b}
9
Ex: (-∞, 1 ] = { x Є R / x ≤ 1}
(-∞, b ] = { x Є R / x < b}
Ex: (-∞,1) = { x Є R / x < 1}
R = (-∞, +∞)
Operações: AUB={ x/ x }BXA ∈∨∈ }/{ BXAXXBA ∈∧∈=∩
Exemplos: 1) Dados A = { x Є R / 1 < x < 3} e B = [2, 5].
Calcule:
a) A ∩ B
b) A U B
a) A ∩ B
10
A ∩ B = [2, 3) = { x Є R / 2 ≤ x < 3}
b) A U B
A U B = (1, 5]
2) Dados os conjuntos A = [3, 6] e B = (4,7].
Calcule:
a)A ∩ B b)A U B
a)A ∩ B:
11
A ∩ B = (4, 6] = { x Є R / 4 < x ≤ 6}
b) A U B:
A U B = [3 ,7] = { x Є R / 3 ≤ x ≤ 7}
Exercícios:
1) Dados os conjuntos A e B, determinar A∩B e AUB, sendo dados:
a) A = { x Є R / x < 4} e B = { x Є R / x < 1}
b) A = [-1, 2] e B = [1, 5]
c) A = [-3, 5] e B = [0, 8]
d) A = { x Є R / x ≤ 2} e B = { x Є R / x > 2}
e) A = [-3, 0) e B = [-1, +∞)
f) A = { x Є R / x < 4} e B = { x Є R / x < -1}
2) Dados os intervalos:
12
A = { x Є R / x ≥ π} B = { x Є R / x < √19} C = ( !
!, 4] ,determine:
a) A ∩ B
b) A U B
c) A ∩ C
d) B ∩ C
e) (A ∩ B) ∩ C
1.8 – Potências e Raízes:
1.8.1- Definição:
Seja a ∈ R, n ∈ N* então: 𝑎! = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎 ... (n vezes)
Exemplos: a) 3! = 3.3 = 9 b) 2! = 2.2.2 = 8 c) (!
!)! = !
!. !!. !!. !!. !!= !
!"
• Propriedades:
1) 𝑎! = 1 2) 𝑎! = 𝑎
13
3) 𝑎!! = !!!
4) 𝑎! . 𝑎! = 𝑎!!! 5) !
!
!!= 𝑎!!! , 𝑎 ≠ 0
6) (𝑎!)! = 𝑎!.! 7) (𝑎. 𝑏)! = 𝑎! . 𝑏! 8) (!
!)! = !
!
!! , 𝑏 ≠ 0
Ex 1: Calcule as potências
a) (!
!)! = !
!. !!. !!. !!= !"
!"#
b) (0,2)! = 0,2 . 0,2 = 0,04 c) (!"
!")! = 1
d) ( 2! )! = 2! e) (− 3! )!! = − !
!
f) (− !
!)! = !!
!
!!= − !"
!
g) (− !
!)!! = !
(!!!)! = −
!"!"
Ex 2: Calcule as expressões
a) (!
!)! . (!
!)! = (!
!. !!)! = 2! = 512
b) !"
!. !"!
!"!= !"
!
!"!= 10! = 1000000
Ex 3: Simplifique a expressão
14
(!!. !!)! . (!!. !!)!
(!!. !!)!= !
!. !!". !!. !!
!!. !!= !
!". !!
!!= 𝑎!. 𝑏!
Ex 4: Calcule o valor da expressão
!!!!! !!!!! !!!! !!!!! !!!!
=!.!!! !.!!! !!!
!
!!!
!! !!!! =
!" ! ! !!! !
!!
= !"!!!= !"
!. !!= !""
!
1.8.2 – 2ª Definição:
Seja a ∈ R, n ∈ N* então:
𝑎!! = 𝑎! = 𝑥 ⟺ 𝑥! = 𝑎
n = índice da raiz
= radical a = radicando
Condições de existência:
𝑎! ∈ 𝑅 ⇒ 𝑛 é 𝑝𝑎𝑟 𝑒 𝑎 > 0𝑛 é í𝑚𝑝𝑎𝑟, 𝑎 ∈ 𝑅
• Propriedades:
1) ( 𝑎! )! = 𝑎
!! = 𝑎!!
2) 𝑎! 𝑏! = 𝑎. 𝑏! 3) 𝑎!.!!.! = 𝑎!!
4) !!
!! = !!
!
5) 𝑎!! = 𝑎!.! = 𝑎!!
Exemplos:
15
1) Calcule:
27!! = ( 27! )! = 3! = 81
2) Calcule o valor das expressões:
a) !! . !"!
!! = ! .!"!
!= !"
!!
= 5!
b) 4(0,5)! + 0,25 + !!!! = 4 . !
!"+ !"
!"" + !
!!! = !!+ !
!"+ !
!= !
!+
!!= !
! + !
!= 1.
3) Calcule o valor de:
a) ( 3 2!
)! = ( 3! . 2! )! = 3!. 2 = 9.2 = 18
b) 6!!
= 6!"
Exercícios:
1) Calcule:
a) (!!)!!
b) ( !
!")!
c) – (−3)! d) – (−2)!! e) (49)
!!
f) (−2)
!!
2) Calcule o valor das expressões:
16
a) (−2)! + 2!!
b) !!! (!!)!! (!!)
!!
(!!)!!
3) Escreva na forma de um produto de potência de mesma base
a) 2!!! b) 2!!!! c) 5!!!
4) Transforme numa só potência as expressões:
a) (!!.! . !! !! . !!
)!!
b) !!!
!
5) Calcule o valor de m, sabendo que m = !,!!!!" !,!" !. !"""
!,!!".
6) Simplifique a expressão: !".!"
!! . !"!!. !"!
!".!"!! . !"!!.
7) Se 2! = 𝑎 e 2! = 𝑏, x, y ∈ R. Determine o valor de (0,25)!!!!!. 8) Calcule o valor de 4 . (0,5)! + 0,25 + 8
!!.
9) Calcule o valor de !"! . !"!!
!,!"#
!.
10) Efetue:
a) 3 + 12 + 27
17
b) 18 − 50 + 98
1.9 – Produtos Notáveis:
1) (a + b)² = a² + 2ab + b² 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² 3) (a + b)(a - b) = a² - b² 4) (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ 5) (a - b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³ 6) (a + b)( a² - ab + b²) = a³ + b³ 7) (a - b)( a² + ab + b²) = a³ - b³
Exemplos:
1) Calcule os seguintes produtos:
a) (x + 3)² = x² + 6x + 9 b) (2x - 3)² = 4x² - 12x + 9 c) (2x - 1)³ = 8x³ - 3.4.x² + 3.2x.1 – 1 = 8x³ - 12x² + 6x – 1 d) (x + 1)(x² - x + 1) = x³ + 1 e) (x - 2)(x + 2) = x² - 4 f) (2x - 3)(4x² + 6x + 9) = 8x³ - 27
18
g) (x + 2)(x - 2) = x² - 2
Exercícios:
1) Calcule os seguintes produtos:
a) ( 12 − 5)( 12 + 5) b) (4 5 − 3)! c) ( 7! − 3 2! )! d) (5 + 2 3)(5 − 2 3) e) ( 2! + 3! )[( 2)! !
− 2! . 3! + ( 3! )!] f) 3! + 5! 9! − 15! + 25! g) ( 4! + 3)³ h) (1 − 2 4! )³ i) 7! − 2 ( 49! + 56! + 64! )
1.10 – Racionalização:
Racionalizar o denominador de uma fração é tirar os radicais que aparecem no denominador da fração sem alterar o valor da mesma.
Ex 1: Racionalizar o denominador de
!!.
19
!!= ! !
! != ! !
!
Ex 2: Racionalizar o denominador de !
!
!!= !. !
!. != !
!
Ex 3: Racionalizar o denominador de !
! ! !.
!
! ! != !! !
( !! !)( !! !)= !! !
!!!= !! !
!!= 3 − 2
Ex 4: Calcule a expressão: !
!!!+ !
!!!.
!!!!
+ !!!!
= !!!!!! !!!
+ !!!!!! !!!
= !!!!!!
+ !!!!!!
= !!!!
+
!!!!
= ! !!= 3
Exercícios:
1) Racionalize o denominador de: a) !
!
b) !
!! c) !
!! !
d) !
!! !!
e)
231
1
++
2) Sabendo que 15 ≅ 3,873,calcule um valor aproximado para 35
20
3) Calcule a expressão: !
!!!+ !"
!! !.
4) Calcule a expressão: !
!! ! !! ! !− !
!! ! !.
5) Calcule o valor da expressão: !
!! !+ !
!! !.
1.11 – Fatoração:
Fatorar um polinômio significa escrever esse polinômio como uma multiplicação de dois ou mais polinômios. Casos de fatoração:
• 1º caso: Por em evidência
Consiste em colocar em evidência um fator comum.
Ex 1: Fatorar a expressão: x² +xy x² +xy = x(x +y)
Ex 2: Fatorar a expressão 4xy -‐ 3x²y² + 9x³y 4xy -‐ 3x²y² + 9x³y = xy(4 -‐3xy +9x²)
• 2º caso: Por agrupamento
Ex 1: Fatorar ax + bx + ay + by ax + b + ay + by = x(a + b) + y(a + b) = (x + y)(a + b)
Ex 2: Fatorar 2ax + bx -‐10a -‐ 5b 2ax + bx -‐10a -‐ 5b = x(2a + b) – 5(2a + b) = (x -‐ 5)(2a + b)
• 3º caso: Diferença de dois quadrados
21
Ex 1: !
!− 𝑥²𝑦² = !
! − 𝑥𝑦 !
!+ 𝑥𝑦
Ex 2: 49𝑥² − 8𝑦² = 7𝑥 − 9𝑦 (7𝑥 + 9𝑦)
• 4º caso: Trinômio quadrado perfeito
a) 𝑥² + 2𝑥𝑦 + 𝑦² = (𝑥 + 𝑦)²
b) 𝑥² − 2𝑥𝑦 + 𝑦² = (𝑥 − 𝑦)²
Ex 1: Fatorar 𝑥² + 4𝑥𝑦 + 4𝑦²
𝑥² + 4𝑥𝑦 + 4𝑦² = (𝑥 + 2𝑦)²
Ex 2: Fatorar 𝑎! − 10𝑎!𝑏 + 25𝑏²
𝑎! − 10𝑎!𝑏 + 25𝑏² = (𝑎! − 5𝑏)² • 5º caso: Soma ou diferença de dois cubos
a) 𝑥³ + 𝑦³ = 𝑥 + 𝑦 (𝑥! − 𝑥𝑦 + 𝑦²)
b) 𝑥³ − 𝑦³ = 𝑥 − 𝑦 (𝑥! + 𝑥𝑦 + 𝑦²)
Ex 1: Fatorar 𝑥³ − 8
𝑥³ − 8 = 𝑥 − 2 (𝑥! + 2𝑥 + 4)
1.12 – Simplificação:
Para simplificarmos uma fração algébrica devemos fatorar o numerador e o denominador com um fator comum.
Ex: Simplificar as expressões
1) !!! !!³!!! !²
= !²(!!! !!)
!²(!!!!)= !²! !!
!³!!
2) !²!!"
!!!= !!! !!!
!!!= 𝑥 − 4
22
3) !²! !"! !!"!!!
= (!!!)!
(!!!)= (𝑥 + 5)
4) !²! !! ! ! !
!!!! !(!!!)= !!! !!! ! !!!
!!! !!! ! (!!!)= !²!!
!²!!= !(!!!)
!(!!!)= !!!
!!!
Exercícios:
1) Fatorar as expressões:
a) 24𝑥! − 8𝑥! − 56𝑥³ b) 120𝑎𝑥³ − 100𝑎𝑥² + 60𝑎𝑥 c) 𝑥 𝑎 + 𝑏 + 𝑦(𝑎 + 𝑏) d) !
!+ !³
!+ !
!
!
2) Sabe-se que 2𝑥 – 𝑦 = 20 e que 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 12. Fatore o polinômio 𝑎 2𝑥 − 𝑦 + 𝑏 2𝑥 − 𝑦 + 𝑐(2𝑥 − 𝑦) e dê o seu valor numérico. 3) Dado o polinômio 𝑥² − 𝑥𝑧 + 2𝑥𝑦 − 2𝑦𝑧 determine:
a) A forma fatorada do polinômio b) O valor numérico da expressão obtida, sabendo que 𝑥 − 𝑧 = 5 e 𝑥 + 2𝑦 = 27.
4) Sendo dados 𝑎 + 𝑏 = !!"
e 𝑎² + 𝑏² = !!"
, fatore o polinômio 𝑎³ + 𝑎²𝑏 +𝑎𝑏² + 𝑏³ e calcule o seu valor numérico.
5) Fatore as seguintes expressões:
a) (𝑥! + 2)² − 𝑥!
b) (𝑚 + 5)! − 25
23
c) 𝑎!𝑏! − 𝑥² d) 16𝑥! + 8𝑥²𝑦 + 𝑦² e) 121𝑥²𝑦² + 44𝑥𝑦 + 4 f) 𝑥! + 2𝑥𝑦 + 𝑦! + (𝑥! − 2𝑥𝑦 + 𝑦²) g) 𝑎𝑥³ − 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥³ − 𝑏𝑥 h) ( 𝑥 − 𝑦)( 𝑥 + 𝑦)
6) Simplificar as expressões:
a) !"² ! !²!!!"
b) !² ! !"(!!!)!
c) !! ! !"
!" – !²
d) !²!!!!!
!!!!
e) !²!!!!!"
!² !!"
f) !²!² ! !
!!" ! !
1.13 – Equação do 1º grau:
São equações que se reduzem a forma ax + b = 0, a, b ∈ R, a ≠ 0. Ex 1: 2𝑥 + 1 = 0 Ex 2: !!
!− 5 = 2
Resolução: 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
24
𝑎𝑥 = −𝑏 𝑥 = − !
!
S = {x ∈ R / x = − !
! }
Ex 1: Resolva as equações
a) 4𝑥 – 2 = 2𝑥 4𝑥 – 2𝑥 = 2 2𝑥 = 2 𝑥 = 1 S = {1} b) 3(𝑥 + 2) – 2(𝑥 + 5) = 25 3𝑥 + 6 − 2𝑥 – 10 = 25 𝑥 = 25 – 6 + 10 𝑥 = 29 S = {29} c) !!!
!+ !!!
!= !!!
!
3(𝑥 − 3) + 2(𝑥 + 1) = 𝑥 – 1 3𝑥 – 9 + 2𝑥 + 2 = 𝑥 – 1 5𝑥 – 7 = 𝑥 – 1 5𝑥 – 𝑥 = −1 + 7 4𝑥 = 6 𝑥 = !
!
𝑥 = !!
S = {!
!}
1.13.1– Equações Fracionárias do 1º grau:
25
Uma equação é fracionária quando tem uma variável no denominador.
Ex 1: !!− 4 = !
!
Ex 2: !
!!!= !
!!!+ 1
Resolução:
Para resolvermos uma equação fracionária devemos excluir do conjunto solução os valores que anulam o denominador de cada um dos termos da equação.
Ex 1: Resolver a equação: !
!− 4 = !
! , 𝑥 ≠ 0
!!− 4 = !
!
!!= !
!+ 4
!!= !"
!
19𝑥 = 24 𝑥 = !"
!"
S = {!"
!"}
Ex 2: Resolva a equação: !!
!!!= !
!+ 2.
𝑥 − 3 ≠ 0𝑥 ≠ 3, 𝑥 ≠ 0
2𝑥² = 3 𝑥 − 3 + 2𝑥(𝑥 − 3) 2𝑥² = 3𝑥 − 9 + 2𝑥² − 6𝑥 −3𝑥 − 9 = 0 −3𝑥 = 9 𝑥 = −3
26
S = {-3}
Ex 3: A altura de uma árvore em metros é dada por ℎ = 10 − !""!"!!
, onde t é a idade da árvore em anos. Quantos anos tem uma árvore com 6 metros de altura?
10 − !""
!"!!= 6
10 10 + 𝑡 − 100 = 6(10 + 𝑡) 100 + 10𝑡 − 100 = 60 + 6𝑡 4𝑡 = 60 𝑡 = !"
!
𝑡 = 15 𝑎𝑛𝑜𝑠
1.13.2 – Sistemas de equações do 1º grau com duas incógnitas:
Forma: 𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 = 𝐶!𝑎!𝑥 + 𝑏!𝑦 = 𝐶!
Métodos de Resolução:
a) Método da Substituição b) Método da Adição
c) Método da Comparação
Ex 1: Resolva o sistema:
𝑥 + 𝑦 = 10𝑥 − 𝑦 = 4
a) Método da Substituição
𝑥 – 𝑦 = 4 𝑥 = 4 + 𝑦
27
𝑥 = 4 + 𝑦 𝑥 = 4 + 3 = 7
𝑥 + 𝑦 = 10 4 + 𝑦 + 𝑦 = 10 2𝑦 = 6 𝑦 = 3 S = {3, 7}
b) Método da Adição
+ 𝑥 + 𝑦 = 10𝑥 − 𝑦 = 4
2𝑥 = 14 𝑥 = !"
!= 7
𝑥 + 𝑦 = 10 7 + 𝑦 = 10 𝑦 = 10 − 7 𝑦 = 3 S = {3, 7}
c) Método da Comparação
𝑥 + 𝑦 = 10𝑥 − 𝑦 = 4
𝑥 = 10 − 𝑦 𝑥 = 4 + 𝑦 4 + 𝑦 = 10 − 𝑦 𝑦 + 𝑦 = 10 − 4 2𝑦 = 6 𝑦 = 3 𝑥 = 10 − 3 = 7 S = {3, 7}
28
Ex 2: A soma de dois números é 180 e a diferença entre eles é 20. Quais são esses dois números?
𝑥 + 𝑦 = 180𝑥 − 𝑦 = 20
2𝑥 = 200 𝑥 = 100 𝑦 = 180 − 𝑥 𝑦 = 180 − 100 𝑦 = 80
Exercícios:
1) Resolva as equações:
a) 2 − 𝑥 = 0 b) 3𝑥 + 8 = 0 c) 3𝑥 − 7 = 9 − 5𝑥 d) !!!"!
!"= !
!
e) !
!𝑥 − !
!= !!
!"− 𝑥
2) Resolva as seguintes equações fracionárias:
a) !
!+ !
!= !!
!"
b) !
!!!!= !
!!!
29
c) !!!!
− !!!!
= !!
d) !!
!!!− !!
!!!= !!!²
!²!!
3) Sabendo que 𝑎 ≠ 1 ∧ 𝑎 ≠ −3. Resolva a equação: !!!!!!
+ !!!!!!
= 2. 4) Resolva o problema. A altura de uma árvore, em metros é dada por ℎ = 8 − !"
!!!, onde t é a idade da
árvore em anos. Quantos anos tem uma árvore com 5 metros de altura? 5) Resolva os sistemas:
a) 8𝑥 + 5𝑦 = 114𝑥 + 5𝑦 = 3 c)
3𝑥 − 20 = 𝑦 − 4!!!!= !!!
!+ !
!
b) 2𝑥 − 𝑦 = 12!!+ !
!= 6 d)
!!!!= !!!
!!!= 𝑦 + 2
6) Determine o par (x, y) que é a solução do sistema
𝑦 = 5 + 3𝑥2𝑥 − 3𝑦 = −8
7) A diferença entre dois números é 15. Multiplicando-se o maior número por 11, a diferença passa a ser 535. Determine os dois números. 8) Um colégio tem 30 professores. O número de professores que ensinam matemática representa a quarta parte do número de professores que ensinam outras matérias. Quantos professores ensinam matemática nesse colégio? 9) Em um retângulo, um dos lados mede !
! da medida do outro lado. Determinar
as dimensões do retângulo se seu perímetro é 100 cm. 10) Duas pessoas tem juntas R$ 135,00. Quanto possui cada uma delas, sabendo-se que uma possui o quadruplo da outra?
30
1.14 – Equação do 2º grau:
Forma: ax² + bx + c = 0, a, b ∈ R, a ≠ 0. Ex: 𝑥² − 5𝑥 + 6 = 0
Resolução:
Basta usar a fórmula de Báskara !!± !!!!!"!!
onde ∆ = 𝑏² − 4. 𝑎. 𝑐 = discriminante. S = {!!! ∆
!!, !!! ∆
!!}
• Se ∆ > 0, a equação 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tem duas raízes reais. S = {𝑥!, 𝑥!} • Se ∆ = 0, a equação 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥+ 𝑐 = 0 tem duas raízes iguais. S = {𝑥!,} • Se ∆ < 0, a equação 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 não tem raízes reais. S = ∅
Ex 1: Resolva a equação 𝑥² − 5𝑥 + 6=0 a = 1 b = -‐5 c = 6
𝑥 = ! !! ± !! !!!.!.!!.!
𝑥 = !± !"!!"!
31
𝑥 = !± !!
𝑥 = !±!!
𝑥! = !!= 3
𝑥! = !!= 2
S = {2, 3} Ex 2: Resolva a equação 𝑥² + 12𝑥 + 36 = 0
a = 1 b = 12 c = 36 𝑥 = !!"± !""!!.!.!"
!
𝑥 = !!"± !""!!""!
𝑥 = !!"±!!
𝑥 = − !"!= −6
S = {-6}
Ex 3: Resolva a equação 𝑥² + 𝑥 − 4 = 0 a = 1 b = 1 c = 1 𝑥 = !!± !!!.!.!
!
𝑥 = !!± !!!"!
𝑥 = !!± !!"!
Como ∆ < 0: S = ∅
Ex 4: Resolva a equação 2𝑥² − 3𝑥 = 0 a = 2 b = -‐3
32
c = 0
𝑥 = !(!!)± (!!)!!!.!.!!
𝑥 = !± !!!!
𝑥 = !±!!
𝑥! = !!= !
!
𝑥! = !!= 0
S = {0, !
!}
Outra maneira:
2𝑥² − 3𝑥 = 0 𝑥 2𝑥 − 3 = 0 𝑥! = 0 2𝑥 − 3 = 0 2𝑥 = 3 𝑥 = !
!
S = {0, !
!}
Ex 5: Determine um número positivo que multiplicado pelo seu antecessor dá como resultado um produto igual a 20.
𝑥 𝑥 − 1 = 20 𝑥² − 𝑥 − 20 = 0 𝑥 = !± !!!"
!
𝑥 = !±!!
𝑥! = !"!= 5
𝑥! = − !!= −4
33
(𝑥 − 1) = 5 − 1 = 4 S = {5}
Ex 6: Determine o lado de um quadrado tal que a soma das medidas de sua área e de seu perímetro seja 45. Supor a área medida em cm² e o perímetro em cm.
x 𝑥² + 4𝑥 = 45 𝑥² + 4𝑥 − 45 = 0 𝑥 = !!± !"!!"#
!
𝑥 = !!±!"!
𝑥! = !"!= 5
𝑥! = −!"!= −9
𝑥 = 5 S = {5}
1.14.1 - Soma e Produto das raízes:
Vamos considerar que a equação 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 tem ∆ > 0 então:
𝑥 = !!± !!!!!"!!
𝑥! = !! ! !!!!!"
!!
𝑥! = !! ! !!!!!"
!!
𝑥! + 𝑥! = !! ! !!!!!" – ! ! !!!!!"
!!
𝑥! + 𝑥! = −!!!!= − !
!
34
𝑥!. 𝑥! = !! ! !!!!!"
!! . – ! ! !
!!!!"!!
𝑥!. 𝑥! = (!!)!! ( !²!!!")!
!!²
𝑥!. 𝑥! = !²! !²! !.!.!
!!²= !
!
𝑥! + 𝑥! = − !!!
𝑥! . 𝑥! = !!
Ex 1: Calcule a soma e o produto das raízes da equação 𝑥² − 6𝑥 + 5 = 0
𝑥! + 𝑥! = 6𝑥! . 𝑥! = 5
𝑥! = 1𝑥! = 5
Ex 2: Resolva a equação 𝑥² + 𝑥 − 6 = 0 tentando adivinhar quais são as duas raízes
𝑥! + 𝑥! = − !
!= −1
𝑥! . 𝑥! = − !!= −6
𝑥! = 2
𝑥! = −3
1.15 – Equações Biquadradas:
Forma: 𝑎𝑥! + 𝑏𝑥! + 𝑐 = 0 Ex: 𝑥! − 5𝑥! + 4 = 0
Resolução:
Basta fazer na equação biquadrada uma substituição ou seja y = x², transformando a mesma numa equação do 2º grau na variável y, cuja solução já é conhecida.
35
Ex 1: Resolva a equação 𝑥! − 5𝑥! + 4 = 0
𝑦 = 𝑥² 𝑦! − 5𝑦 + 4 = 0 𝑦 = !± !"!!"
!
𝑦 = !±!!
𝑦! = !!= 4
𝑦! = 1 𝑥² = 4 𝑥 = ± 2 𝑥! = 1 𝑥 = ± 1 S = {-2, -1, 1, 2}
Ex 2: Resolva a equação 𝑥! − 13𝑥! + 36 = 0
𝑦 = 𝑥² 𝑦! − 13𝑦 + 36 = 0 𝑦 = !"± !"#!!""
!
𝑦 = !"± !"!
𝑦 = !"±!!
𝑦! = !"!= 9
𝑦! = !!= 4
𝑥² = 9 𝑥 = ± 3
36
𝑥! = 4 𝑥 = ± 2 S = {-3, -2, 2, 3}
1.16 – Equações Irracionais:
São equações que apresentam a variável no radicando dos radicais. Ex: 𝑥 + 1 + 𝑥 = 3
Resolução:
Para resolver uma equação irracional, basta elevar ambos os membros da equação a uma potência conveniente com o objetivo de eliminar os radicais. Depois resolve-se essa nova equação verificando se as raízes da mesma é solução da equação irracional proposta. Ex 1: Resolva a equação 𝑥 + 2! = −1
𝑥 + 2! != (−1)³
𝑥 + 2 = −1 𝑥 = −1 − 2 = −3 S = {-3}
Ex 2: Resolva a equação 2𝑥 + 12 = 𝑥 − 6
2𝑥 + 12!= (𝑥 − 6)²
2𝑥 + 12 = 𝑥² − 12𝑥 + 36 𝑥² − 14𝑥 + 24 = 0 𝑥 = !"± !"#!!"
!
𝑥 = !"± !""!
𝑥 = !"±!"!
𝑥! = !"!= 12
𝑥! =!!= 2
37
S = {12}
Ex 3: Resolva a equação 2𝑥 + 7 = 4 − 2 − 𝑥
2𝑥 + 7!= (4 − 2 − 𝑥)²
2𝑥 + 7 = 16 − 8 2 − 𝑥 + 2 − 𝑥 8 2 − 𝑥 = 16 + 2 − 𝑥 − 2𝑥 − 7 8 2 − 𝑥 = 11 − 3𝑥 64 2 − 𝑥 = (11 − 3𝑥)² 128 − 64𝑥 = 121 − 66𝑥 + 9𝑥² 9𝑥² − 2𝑥 − 7 = 0 𝑥 = !± !!!"!
!"
𝑥 = !± !"#!"
𝑥 = !±!"!"
𝑥! = !"!"= 1
𝑥! = − !"!"= − !
!
S = {− !! , 1}
1.16.1 – Sistema de duas equações a duas variáveis, quando pelo menos uma delas não é do 1º grau.
Resolução:
Método da Substituição.
Ex 1: Resolva o sistema
2𝑥 + 𝑦 = 9𝑥𝑦 = 4
𝑦 = !
!
38
2𝑥 + !!= 9
2𝑥² + 4 = 9𝑥 2𝑥² − 9𝑥 + 4 = 0 𝑥 = !± !"
!
𝑥 = !±!!
𝑥! = !"!= 4
𝑥! = !!= !
!
𝑦! =
!!= 1
𝑦! = !!!= !
!
S = {(4, 1), (!
!, 8)}
Ex 2: Resolva o sistema
𝑥 − 2𝑦 = 3𝑥² + 𝑦² = 5
𝑥 = 3 + 2𝑦 (3 + 2𝑦)² + 𝑦² = 5 9 + 12𝑦 + 4𝑦² + 𝑦² = 5 5𝑦² + 12𝑦 + 4 = 0 𝑦 = !!"± !""!!"
!"
𝑦 = !!"± !"!"
𝑦 = !!"±!!"
𝑦! = !!"!!!"
= − !!"= − !
!
𝑦! = −!"!"= −2
𝑥! = 3 + 2 − !
!= 3 − !
!= !"!!
!= !!
!
𝑥! = 3 + 2 −2 = 3 − 4 = −1 S = {(!!
!,− !
!), (-1, -2)}
39
Exercícios:
1) Resolva as equações a) 𝑥² − 2𝑥 − 15 = 0 b) 𝑥² − 4𝑥 + 4 = 0 c) 4𝑥² + 4𝑥 + 1 = 0 d) – 𝑥² + 10𝑥 − 21 = 0 e) 3𝑥² − 12𝑥 = 4 f) 2𝑥 𝑥 + 1 = 0
2) Determinar dois números positivos que a soma dê 14 e o produto 33. 3) Determinar as dimensões de um retângulo com área de 80 m², sabendo-se que um lado tem 2 m a mais que o outro. 4) Resolva as equações:
a) 𝑥! − 3𝑥² + 2 = 0 b) 𝑥! + 3𝑥² + 2 = 0 c) 𝑥! + 25𝑥² = 0 d) 𝑥! + 50𝑥² + 49 = 0
5) Resolva as equações
a) 3𝑥 − 2 = 7 b) 4𝑥² + 4𝑥 + 2 = 1
40
c) 2𝑥² − 2𝑥 + 4 = 𝑥 + 1 d) 4 − 𝑥 − 2𝑥 + 1 = 1 e) 3𝑥 + 2! = −1 f) 2 + 𝑥 + 6! = 2
6) Resolva os sistemas
a) 2𝑥 + 𝑦 = 24𝑥² + 𝑦² = 2
b) 𝑥 − 𝑦 = 0𝑥𝑦 = !
!"
c) 𝑥² + 𝑦² = !
!
𝑥𝑦 = !!
d) 𝑥² + 𝑦² = 5𝑥² − 𝑦² = 1
1.17 – Desigualdades:
São expressões da forma:
a ≤ b, a ≥ b, a < b e a > b Propriedades importantes: 1) a > b ⇾ a + c > b + c, ∀ c Є R
2) a > b ∧ c > 0 ⇾ a.c > b.c
3) a > b ∧ c < 0 ⇾ a.c < b.c
41
Exemplos:
1) Resolva as desigualdades: a) –2 + 3x < 5x – 8
3x -‐5x < -‐8 + 2 -‐2x < -‐6 2x > 6 x > 3 S = { x Є R / x > 3} = (3, + ∞) b) 2x -‐5 < !
!x + !!!
!
12(2x -‐ 5) < 12 !
!x + 12 !!!
!
24x -‐60 < 9x + 4 + 4x 24x – 60 < 13x + 4 24x – 13x < 60 + 4 11x < 64 x < !"
!!
S = { x Є R / x < !"
!! } = (-‐∞, !"
!!)
c) 1 < 3x -‐2 < 10 1 + 2 < 3x < 10 + 2 3 < 3x < 12 !! < x < !"
!
1 < x < 4
S = { x Є R / 1 < x < 4 } = (1, 4)
d) !!!!
< 4
42
!!!!
– 4 < 0
!!!(!!!)!!!
< 0 !!!!!!
!!! < 0
!!!!!
!!! < 0
!!!!
!!! > 0
3𝑥 + 8 > 0 ∧ 𝑥 + 2 > 0 ∨ 3𝑥 + 8 < 0 ∧ 𝑥 + 2 < 0
3𝑥 > −8𝑥 > −8
3 ∧ 𝑥 > −2 ∨
3𝑥 < −8𝑥 < −8
3 ∧ 𝑥 < −2
S1 = (-‐2, +∞) S2 = (-‐∞, -‐!!)
S = (-‐∞, -‐!
!) ∪ (-‐2, +∞)
e) 𝑥! -‐5x + 6 > 0 fatorando temos:
43
(x -‐ 2)(x -‐ 3) > 0
(x – 2 > 0 ∧ x – 3 > 0) ∨ (x – 2 < 0 ∧ x – 3 < 0)
(x > 2 ∧ x > 3) ∨ (x < 2 ∧ x < 3)
S = (3 , +∞) S = (-‐∞, 2)
S = (-‐∞ , 2) ∪ (3 , +∞)
Outra maneira: Resolve-‐se a equação 𝑥! -‐5x + 6 = 0 e estuda-‐se o sinal do trinômio y = 𝑥! -‐5x + 6. 𝑥! -‐5x + 6 = 0
𝑥’ = 2𝑥!! = 3
S = (-‐∞, 2) ∪ (3, +∞)
Como o trinômio é positivo (y > 0), então a solução é o conjunto dos números externos as raízes.
f) x³ -‐ 7x² + 16x -‐12 ≥ 0 1 -‐7 16 -‐12 2 1 -‐5 6 0
44
2 1 -‐3 0 3 1 0 x³ -‐ 7x² + 16x – 12 = (x -‐ 2)² (x -‐ 3) (x -‐ 2)² (x -‐ 3) ≥ 0 x – 3 ≥ 0 x ≥ 3 S = [3, +∞)
Exercícios 2:
1) Resolva as inequações:
a) 2x – 7 ≥ 11 – 4x
b) 7x + 3(2x -‐ 5) ≤ 9 – 2(4 -‐ x) -‐5x
c) !! -‐ ! !(6x -‐ 9) > !!!
!
d) 2 – x < x + 1 ≤ -‐10x
e) 1 > 2(x -‐ !
!) ≥ -‐10
f) !!!!
!!! > -‐10
g) (x + 1)(x -‐ 5) > 0
h) x² + 4x + 3 < 0
i) !
!!! ≤ !
!!!!
j) !!!!
!! > !!!
!!!
k) !!!!
!!! ≤ -‐ !
!
l) 3 – x ≤ 1 -‐2x ≤ 13 – x
45
m) (2x – 3)(3x – 2) < 0
1.18 - Valor absoluto:
|a| = 𝑎, 𝑎 ≥ 0−𝑎, 𝑎 < 0
Ex 1: |-2| = - (- 2) = 2
Ex 2: |3| = 3
Interpretação geométrica
|a| = √𝑎²
O valor absoluto de “a”, representa a distância entre a e 0.
Propriedades importantes:
1) |x| < a -a < x < a, a > 0
2) |x| > a x > a ∨ x < -a, a > 0
3) |ab| = |a|.|b|
4) |!!| = |!|
|!| , b ≠ 0
5) |a + b| ≤ |a| + |b|
6) |a – b| ≤ |a| + |b|
7) |a - b| ≥ |a| - |b|
46
Exemplos:
1) Resolva as equações modulares:
a) |3x -‐ 2| = 10 3x – 2 = 10 ∨ 3x – 2 = -‐10 3x = 12 3x = -‐10 + 2 x = !"
! 3x = -‐8
x = 4 x = -‐ !!
S = {-‐ !
!, 4}
b) |2x -‐ 5| = |3x -‐ 2|
2x – 5 = 3x – 2 ∨ 2x – 5 = -‐ (3x -‐ 2) 2x -‐3x = -‐2 + 5 ∨ 2x – 5 = -‐3x + 2
-‐x = 3 2x + 3x = 2 + 5 x = -‐3 5x = 7 x = !
!
S = {-‐3, !
!}
c) |!!!
!!!| = 4
|!!!|
|!!!| = 4
|x+2| = 4|x-‐3| |x+2| = |4x -‐12| x + 2 = 4x -‐ 12 ∨ x + 2 = -‐ (4x -‐ 12) -‐3x = -‐14 x + 2 = -‐4x + 12 3x = 14 5x = 10 x = !"
! ∨ x = 2
S = {2, !"
! }
47
d) |3x + 1| = 4 – x
4 – x ≥ 0 -‐x ≥ -‐4 x ≤ 4 3x + 1 = 4 – x ∨ 3x + 1 = -‐ (4 -‐ x) 4x = 3 3x + 1 = -‐4 + x x = !
! 2x = -‐5
x = -‐ !!
S = {-‐ !
!, !!}
2) Resolva as inequações em R:
a) |x + 3| < 7
-‐7 < x + 3 < 7 -‐7 – 3 < x < 7 – 3 -‐10 < x < 4
S = (-‐10, 4)
b) |5 -‐ 3x| ≥ 3
5 – 3x ≥ 3 ∨ 5 – 3x ≤ -‐3 -‐ 3x ≥ 3 – 5 ∨ -‐3x ≤ -‐3 -‐5 -‐3x ≥ -‐2 -‐3x ≤ -‐8 3x ≤ 2 3x ≥ 8 x ≤ !
! x ≥ !
!
S = (-‐∞, !
! ] ∪ [!
! , +∞)
48
c) |x + 2| ≤ |2x -‐ 3| |x + 2|² ≤ |2x -‐3|² (x + 2)² ≤ (2x -‐3)² x² + 4x + 4 ≤ 4x² -‐12x + 9 x² -‐ 4x² + 4x + 12x + 4 – 9 ≤ 0 -‐3x² + 16x -‐5 ≤ 0 3x² -‐ 16x + 5 ≥ 0 𝑥1 = 5𝑥2 = !
!
S = (-‐∞, !
! ] ∪ [5, +∞)
Exercícios 3:
1) Resolva as equações e desigualdades modulares: a) |x - 10| = 3
b) |x + 1| = |1 -3x|
c) |3x + 2| = x – 2
d) |!!!!
!!!| = 2
e) | !
!!!!| = 4
f) |1 -2x| = |1 – 3(x + 2)|
g) |2x -1| ≤ 2
h) |5 - !
!| ≥ 7
i) |4x + 3| ≤ 1
j) |3 -2x| > 4
k) |2x| ≤ |5 -2x|
l) |1 -x| > |2x -1|
m) |2x +1| ≤ |3x +2|
49
Capítulo 2 – Funções
2.1 - Definição:
Sejam A e B subconjuntos de R.
Uma função f: A B é uma lei ou regra que associa cada elemento x ∈ A a um único elemento, y ∈ B
Diagrama:
A B
f f f C
f
Notação: f : A B
x y = f(x) ou y = f(x) A = Domínio da função = D(f) B = Contra-Domínio da função = CD(f) C = Imagem de f = Im(f)
C
50
Exemplos: 1) Determine o domínio e a imagem das funções: a) y = x²
D(f) = R Im(f) = 𝑅!
b) y = 2𝑥 − 4 2x – 4 ≥ 0 2x ≥ 4 x ≥ 2 D(f) = [2, +∞) Im(f) = [0, +∞)
2) Considere a função f: A B dada pelo diagrama A B
Determine: a) D(f) b) Im(f)
3 4 5 6
1 3 5 7
51
c) x quando f(x) = 1
d) f(x) quando x = 6
a) D(f) = {3, 4, 5, 6} b) Im(f) = {1, 3, 7} c) x = 3 ou x = 4 d) f(6) = 3
3) A função f: R R é dada por f(x) = 2x³ - 1, determine f(0) + f(1) + f(-1) f(0) = -‐1 f(1) = 2 – 1 = 1 f(-‐1) = -‐2 -‐1 = -‐3 f(0) + f(1) + f(-‐1) = -‐1 +1 -‐3 = -‐3
4) Seja a função f: R* R dada por f(x) = x + !! . Determine:
a) f(3) b)f (!
!) c) f(x + 1), x ≠ -1
a) f(3) = 3 + !
! = !"
!
b) f(!
!) = !
! + !
!/! = !
! + 2 = !
!
c) f(x + 1) = x + 1 + !
!!! = !!!
!! !!!!
= !²!!!!!!!!
2.2 - Gráfico de uma função:
Construir o gráfico de uma função f: A B é representar no sistema cartesiano ortogonal (plano xy), o conjunto de pontos {(x,y) / x ∈ A e y = f(x)}
52
Sistema cartesiano ortogonal:
Ex 1: Represente graficamente a função y = 𝑥 D(f) = [0, +∞) Im(f) = [0, +∞)
x y 0 0 1 1 2 2 4 2
53
Ex 2: Construir o gráfico da função y = !!!
!!!
D(f) = {x ∈ R / x ≠ 1} Im(f) = [-‐∞, 1) ∪ (1, +∞)
x y 0 -1 12
-3
32
5
2
3
54
Ex 3: Construir o gráfico da função y = x²
D(f) = R Im(f) = [0, +∞)
X y 0 0 1 1 2 4 -2 4
55
2.3 – Operações: Dadas as funções f e g, determine:
a) (f + g)(x) = f(x) + g(x)
b) (f - g)(x) = f(x) – g(x)
c) (f.g)(x) = f(x).g(x)
d) (!
!)(x) = !(!)
!(!) , g(x) ≠ 0
56
O domínio de f + g, f – g, f.g é a interseção dos domínios de f e g. O domínio de !
! é a interseção dos domínios de f e g, excluindo-se os pontos
onde g(x) = 0. Obs: Se K ∈ R então (Kf)(x) = K.f(x) D(Kf) = D(f)
Exemplos: 1) Determine o domínio das funções em R
a) f(x) = 𝑥 − 1 + 𝑥 + 2
x-‐1 ≥ 0 ∧ x + 2 ≥ 0 x ≥ 1 ∧ x ≥ -‐2
D(f) = {x ∈ R / x ≥ 1} = [1, +∞) b) f(x) = 𝑥² + 2𝑥 + 1! -‐ 2𝑥 + 1 2x + 1≥ 0
2x ≥ -‐1 x ≥ !
!
D(f) = [-‐!
!, +∞)
57
c) f(x) = !!!!!!!
x + 2 ≥ 0 ∧ x ≠ 4
x ≥ -‐2
D(f) = [-‐2, 4) ∪ (4, +∞)
2.4 - Função Composta:
Definição: Dadas as funções f e g, definimos a função composta de g com f por (gof)(x) = g(f(x)) D(gof) = {x ∈ D(f) / f(x) ∈ D(g)} Diagrama:
Ex 1: Sejam f(x) = 3x – 2 e g(x) = 4x + 4, determine gof(x). gof(x) = g(f(x))
gof(x) = 4(3x -‐ 2) + 4
= 12x – 8 + 4 = 12x – 4 Ex 2: Se f(x) = x² -‐ 2x e g(x) = 2x + 1, calcule gof e fog. gof(x) = g(f(x)) = 2(x² -‐ 2x) + 1 = 2x² -‐ 4x + 1
fog(x) = f(g(x)) = (2x + 1)² -‐ 2(2x + 1)
= 4x² + 4x + 1 -‐4x – 2 = 4x² -‐ 1
• x • f(x) • g(f(x))
gof
58
Ex 3: Sabendo que f(x) = x² + 1 e g(x) = x – 1, calcule ! ! ! ! !(!(!))!!!
, com x ≠ 1. f(g(x)) = (x -‐ 1)² + 1 = x² -‐ 2x + 2
g(f(x)) = x² + 1 – 1 = x²
! ! ! ! !(!(!))
!!! = !²!!! ! ! ! !²
!!! = !(!!!)
!!! = 2
Ex 4: Sabendo que f(x) = x² + 1 e g(x) = f(x + 1) – f(x), determine gof(x). f(x + 1) = (x + 1)² + 1 = x² + 2x + 2 g(x) = x² + 2x + 2 – x² -‐ 1 = 2x + 1 gof(x) = 2(x² + 1) + 1 = 2x² + 2 + 1 = 2x² + 3 gof(0) = 3
Exercícios:
1) Se a função f: R → R é dada por f(x) = !²!!
!!!, x ≠ 3, determine:
a) f(8) b) O número x tal que f(x) = -‐1
2) Se f(x) = !²!!
!!!, achar:
a) f(1) b) f(0) c) f(x + 1)
3) Seja a função f: R → R tal que:
a) f(x) = x² + mx + n b) f(1) = -‐1 e f(-‐1) = 1
Determine f(3).
59
4) Explicite o domínio das funções reais definidas por:
a) f(x) = 𝑥 − 2 – !!!
!!!
b) f(x) = 𝑥² − 9! c) f(x) = !!!
!!!
d) f(x) = !!!!!
e) f(x) = 𝑥² + 3𝑥 − 10
5) Construa o gráfico das funções: a) y = x² b) y = 2x + 1
c) f(x) = 𝑥², 𝑥 ≥ 0𝑥, 𝑥 < 0
6) Sejam as funções f(x) = x² - 2 e g(x) = 2x + 1, determine:
a) f(g(x)) b) gof(x) c) gog(x) d) fof(x)
7) Se f(x) = b + 1 e g(x) = 3x + 2, calcule o valor de b para que se tenha gof(x)
= b.
8) Sendo f(x) = 2x² e g(x) = x + 1, calcule gof(3) + fog(3).
9) Seja f(3x - 4) = 2x + 7, determine: a) f(0) b) f(-16) c) f(x) d) f(5x + 1)
60
10) Dada a função f: A → B x → f(x) = 5x – 6 Calcule: a) f(3x - 4) b) f(x + 7)
Capítulo 3 – Funções Especiais
3.1 – Função constante:
Forma: f(x) = k, k ∈ R D(f) = R Im(f) = {k} Gráfico: Reta paralela ao eixo x
61
Ex 1: Represente graficamente a função f(x) = -2
D(f) = R Im(f) = {-‐2}
62
Ex 2: Determine o domínio e a imagem da função f(x) = 2
D(f) = R Im(f) = {2}
3.2 – Função do 1º grau: Forma: f(x) = ax + b, a, b ∈ R, a ≠ 0 D(f) = R Im(f) = R Gráfico: Reta não paralela aos eixos das ordenadas
63
• a > 0 a função y = ax + b é crescente • a < 0 a função y = ax + b é decrescente
• a = coeficiente angular ou declividade da reta • b = coeficiente linear ou seja onde a reta corta o eixo das ordenadas
• Para construir o gráfico de uma função do 1º grau, basta determinar dois
pontos do plano.
Ex 1: Construir o gráfico da função y = 2x – 1
x y 0 -1 1 1
Como a = 2, então a função é crescente.
64
Ex 2: Determine o domínio, imagem e gráfico da função y = - 2x + 5
x y 0 5 1 3
D(f) = R Im(f) = R
Como a = -2, então a função é decrescente.
65
Ex 3: Determine a equação da reta que passa pelo ponto (2, 3) e tem coeficiente angular igual a 2.
y = 2x + b 3= 4 + b b = -‐1 y = 2x – 1
Ex 4: Determine q para que a função f(x) = (2q + 3)x + 2 seja crescente.
2q + 3 > 0 2q > -‐3 q > -‐ !
!
S = {q ∈ R / q > -‐ !
!} = (-‐!
!, +∞)
Ex 5: Determine a equação da reta que passa pelos pontos (-3, 5) e (-1, 1), trace o gráfico e determine o domínio e a imagem.
y = ax + b 5= a(-‐3) + b 1 = a(-‐1) + b -‐3a + b = 5 -‐a + b = 1 3a – b = -‐5 -‐a + b = 1 2a = -‐4 a = -‐2 -‐3a + b = 5 -‐3(-‐2) + b = 5 6 + b = 5 b = 5 – 6 b = -‐1 y = -‐2x – 1
66
6) Determine o ponto de interseção entre as retas y = 3x + 1 e y = -3x + 2
3x + 1 = -‐3x + 2 6x = 2 – 1 6x = 1 x = !
!
y = 3x + 1 y = 3.!
! + 1
y = !! + 1
y = !!
P(!
!, !!)
x y 0 1 1 4
67
D(f) = R Im(f) = R
Capítulo 4 – Função Modular
Forma: f(x) = |x| = 𝑥, 𝑥 ≥ 0−𝑥, 𝑥 < 0
D(f) = R Im(f) = [0, +∞)
68
Exemplos: 1) Construa o gráfico das funções:
a) y = |3x -4| b) f(x) = |5x -1| c) f(x) = |x² + 3x - 10|
Resolução:
a) y = |3x -‐ 4| = 3𝑥 − 4, 3𝑥 − 4 ≥ 0− 3𝑥 − 4 , 3𝑥 − 4 < 0 =
3𝑥 − 4, 𝑥 ≥ !!
−3𝑥 + 4, 𝑥 < !!
69
x Y 2 2 0 4
D(f) = R Im(f) = [0, +∞)
b) f(x) = |5x -‐ 1| = 5𝑥 − 1, 5𝑥 − 1 ≥ 0− 5𝑥 − 1 ,−5𝑥 + 1 < 0 =
5𝑥 − 1, 𝑥 ≥ !!
−5𝑥 + 1, 𝑥 < !!
x y 1 4 0 1
70
c) y = |x² + 3x -‐ 10| = x² + 3x − 10, x² + 3x − 10 ≥ 0−𝑥² − 3𝑥 + 10, 𝑥² + 3𝑥 − 10 < 0
x² + 3x -‐10 ≥ 0 x = !! ± !!!"
!
x = !! ±!!
𝑥! = 2 𝑥!= -‐5
71
𝑥! = !!!! = -‐!
! = -‐ 1,5
𝑦!= -‐
∆!! = 12,25
S1 = (-∞, -5] ∪ [2, +∞) S2 = (-5, 2)
72
Capítulo 5 – Função Quadrática • Forma: f(x) = ax² + bx + c, a, b e c ∈ R a ≠ 0 Ex: y = x² + 5x – 6
D(f) = R • Para determinarmos a imagem da função quadrática devemos construir o seu
gráfico.
73
• O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
1) Se a > 0, a parábola tem concavidade voltada para cima(C.V.C) 2) Se a < 0, a paábola tem concavidade voltada para baixo(C.V.B)
• Pontos importantes do gráfico: 1) Interseção com o eixo das abcissas, y = 0.
ax² + bx + c = 0
𝑥! = !!! !!!!!"
!!
𝑥! = !!! !!!!!"
!!
𝑃! = (𝑥!, 0) 𝑃! = (𝑥!, 0)
2) Interseção com o eixo das ordenadas: x = 0 y = ax² + bx + c y = c
𝑃! = (0, c)
3) Eixo de Simetria
x = -‐ !
!!
4) Vértice
V(𝑥! , 𝑦!) = (-‐
!!!, -‐ ∆
!!)
a > 0 ↔ Yv é o valor mínimo de f a < 0 ↔ Yv é o valor máximo de f
74
Ex 1: Construir o gráfico das funções dadas e determinar o domínio e a imagem das mesmas.
a) f(x) = y = x² - 4x + 3 b) f(x) = y = -x² + 2x + 8
Resolução: a) f(x) = y = 0, a > 0 x² -‐ 4x + 3 = 0 x = ! ± !"!!"
!
x = ! ± !
!
𝑥! =
!! = 3
𝑥!=
!! = 1
𝑃!= (3, 0) 𝑃!= (1, 0) x = 0 y = 0 𝑃!= (0, 3) x = !
! = 2
f(2) = 4 – 8 + 3 -‐1 V(2, -‐1)
75
D(f) = R Im(f) = [-‐1, +∞)
b) y = -‐ x² + 2x + 8
y = 0 -‐ x² + 2x + 8 = 0 x² -‐ 2x – 8 = 0 x = !± !!!"
!
x = !±!
!
76
𝑥!= !! = 4
𝑥!= -‐
!! = -‐2
𝑃! (-‐2, 0) 𝑃! (4, 0) x = 0 y = 8 𝑃! (0, 8) 𝑥!=
!!!! = 1
𝑦!= 9 V(1, 9)
77
(C.V.B) D(f) = R Im(f) = (-‐∞, 9]
Ex 2: Dada a função f(x) = x² -5x + 6, determine os valores de x para os quais f(x) > 0.
x² -5x + 6 > 0
f(x) > 0 para x < 2 e x > 3
78
Ex 3: Determine os valores de m para os quais a função mx² + (4m + 2)x + 4m é positivo ∀ x ∈ R.
mx² + (4m + 2)x + 4m > 0 mx² + (4m + 2)x + 4m = 0
x = ! (!!!!)± !!!! !! !"!²!!
x = !!! !! ± !"!²!!"!!!!!"!²!!
x = ! !!!! ± ! !!!!!!
x = ! !!!! ± !!!!!
4m + 1 ≥ 0 m ≥ -‐ !
!
S = {m ∈ R / m ≥ -‐ !
!}
Capítulo 6 – Função Polinomial
Forma: f(x) = 𝑎!𝑥! + 𝑎!𝑥!!! + ... + 𝑎!!!𝑥 + 𝑎!, onde 𝑎!, 𝑎!... 𝑎! ∈ R e n é um número inteiro positivo que representa o grau da função.
Ex 1:
y=2x³ + 5x² + 2x + 1
Ex 2: y= 44 −x D(f) = R
Gráfico: É uma curva que pode apresentar pontos de máximos e mínimos. Estudaremos posteriormente
79
Ex 1: Construir o gráfico da função f(x) = x³ + 1
x y -1 0 0 1 1 2 2 9 -2 -7
D(f) = R Im(f) = R
80
Ex 2: Construir o gráfico da função f(x) = 𝑥!
x y -2 16 -1 1 0 0 1 1 2 16
D(f) = R Im(f) = [0, +∞)
81
Capítulo 7 – Função Racional
Forma: f(x) = !(!)!(!)
, onde P(x) e Q(x) são polinômios e Q(x) ≠ 0. D(f) = R – {x / Q(x) = 0}
Ex 1: Construir o gráfico da função f(x) = !!!!!!!
x y 0 -1 1 1
2
-2 5
D(f) = R – {-‐1} Im(f) = R – {2}
82
Ex 2: Construir o gráfico da função f(x) = !!!!!!
x y - 3 -1 2 -4 -1
D(f) = R – {-‐3} Im(f) = R – {1}
83
Capítulo 8 – Funções pares e ímpares
1) Função par: Uma função f é par quando f(-x) = f(x) ∀ x ∈ D(f)
2) Função ímpar: Uma função f é ímpar quando f(-x) = - f(x) ∀ x ∈ D(f)
• O gráfico da função par é simétrico em relação ao eixo das ordenadas e o gráfico da função ímpar é simétrico em relação a origem.
Ex 1: Verifique se a função f(x) = x³ - 4x é ímpar
f(x) = x³ -‐ 4x f(-‐x) = (-‐x)³ -‐ 4(-‐x) = -‐x³ + 4x = -‐ (x³ -‐4x) = -‐ f(x)
A função é ímpar.
Ex 2: Verifique se a função f(x) = x² é par ou ímpar
f(x) = x² f(-‐x) = (-‐x)² = x² = f(x)
A função é par x y 0 0 1 1 -1 1 2 4 -2 4
84
• O gráfico é simétrico em relação ao eixo y
Ex 3: Verifique se a função f(x) = !
! é par ou ímpar
f(-‐x) = !
!! = -‐ !
! = -‐ f(x)
A função é ímpar.
85
• O gráfico é simétrico em relação a origem
86
Capítulo 9 – Função Inversa Definição: Se f: A → B é uma função bijetora, a relação inversa de f é uma função 𝑓!! : B → A Diagrama:
A B
f f f
f B
B A
𝑓!! 𝑓!! 𝑓!!
𝑓!!
Propriedades: 1) D(𝑓!!) = Im(f) = B
2) Im(𝑓!!) = D(f) = A
3) ff =−− 11)(
87
• Regra prática para determinar a inversa de uma função f: basta trocar x por y e isolar o y.
Exemplos:
1) Dada a função f: R → R definida por f(x) = y = !!!!!
x = !!!!!
x = 2y – 1 2y = 3x + 1 y = !!!!
!
𝑓!!(x) = !!!!!
2) Dada a função f(x) = !!!!
!!!, definida em R – {2}, é inversível. Obtenha 𝑓!! e
dê D(𝑓!!). y = !!!!
!!!
x = !!!!!!!
x(y -‐ 2) = 3y – 1 xy -‐2x = 3y – 1 xy – 3y = 2x – 1 (x -‐ 3)y = 2x – 1 y = !!!!
!!!
𝑓!!(x) = !!!!
!!!
D(𝑓!!) = R – {3}
Ex 3: A função f é dada por f(x) = !!!!
!!!!. Pergunta-se:
a) Qual o domínio e a imagem para existir 𝑓!!(x)? b) Qual o valor de a para que a inversa de f seja definida por 𝑓!!(x) = !!!
!!!!?
88
Resolução:
a) D(f) = R – {!!}
Im(f) = R – {!!}
b) x = !!!!
!!!!
(3y -‐1)x = 2y + 1 3yx – x = 2y + 1 3yx – 2y = x + 1
y(3x -‐ 2) = x + 1
y = !!!
!!!!
𝑓!!(x) = !!!
!!!!
a = -‐2
Exercícios:
1) Construa os gráficos das funções do 1º grau e dar domínio e o conjunto imagem.
a) f(x) = -‐2x b) f(x) = -‐ !
!x
c) f(x) = 2x + 6 d) f(x) = -‐ !
!x – 2
2) A função f dada por f(x) = ax + b satisfaz a condição f(5x + 2) = 5.f(x) + 2, determine a relação entre a e b.
3) Para que valores de m a função f é crescente :
f(x) = (1- 3m)x + 2
89
4) Obtenha a reta y = ax + b que passa pelos pontos (1, 2) e (2, 1).
5) A função f é do 1º grau. Escreva a função sabendo que f(1) = 3 e f(-1) = 2
6) Construir o gráfico das funções quadráticas. Dar o domínio e o conjunto imagem.
a) y = x² -‐ 5x + 6 b) y = -‐x² + 2x + 3 c) y = x² -‐ 4x + 3 d) y = -‐x² + 4x – 3
7) Determine m de modo que o valor máximo da função f(x) = (m + 2)x² + (m + 5)x + 3 seja 4. 8) Construir o gráfico das funções. Dar o domínio e o conjunto imagem.
a) y = x³ + 1 b) y = 𝑥! -‐ 1 c) y = !!!!
!
d) y = !!!!!!
e) y = |x + 2| f) y = |x² + x -‐ 2|
9) Verifique se as funções abaixo são pares ou ímpares.
a) f(x) = !!!
!
b) f(x) = 𝑥! c) f(x) = !
!
d) f(x) = -‐ x²
10) A função f(x) = !!!!!!!
, definida em R – {-3}, é inversível. Obtenha 𝑓!! e dê D(𝑓!!).
90
Capítulo 10 – Função Exponencial
Forma: f(x) = 𝑎!, a > 0, a ≠ 1
D(f) = R Im(f) = (0, + ∞)
Ex: y = 3!
y = ( 3)! y = (!
!)!
• a > 1
91
• 0 < a < 1
• Observações importantes:
1) A curva passa pelo ponto (0, 1). 2) Se a > 1, a função y = 𝑎! é crescente.
3) Se 0 < a < 1, a função y = 𝑎! é decrescente.
4) Na representação gráfica da função y = 𝑎! a reta horizontal é uma assíntota e y = 0, representa o limite inferior da função.
92
Exemplos:
1) Construir o gráfico das funções: a) y = 2! b) y = !
!
!
c) y = 𝑒! (e = 2,7182...)
d) y = 2! + 1
93
a)
x y 0 1 1 2 -1 1
2
2 4 -2 1
4
94
b)
x y 0 1 -1 2 1 1
2
-2 4 2 1
4
95
c) x y 0 2 -1 1 -2 1
2
1 4 2 8
96
d)
x y 0 2 -1 3
2
-2 54
12
35
D(f) = R Im(f) = (1, +∞)
97
2) Para que valores de k ∈ R, a função exponencial f(x) = (2 − 3𝑘)! é crescente?
2 – 3k > 1 -‐3k > -‐1 3k < 1 k < !
!
10.1 - Equações Exponenciais:
São equações que apresentam a incógnita no expoente.
Ex 1: 2! = 16 Ex 2: 3! = 81 Ex 3: (!
!)! = 4
Resolução: Basta usar a propriedade 𝑎!! = 𝑎!! 𝑥! = 𝑥! (para a > 0, a ≠ 1 )
Exemplos:
1) Resolva as equações:
a) 2! = 32 2! = 2!
x = 5
b) 25! = 5! (5²)! = 5
!!
5!! = 5!!
2x = !!
x = !!
98
c) 2!!! -‐ 5. 2! + 2!!! = -‐ 10
2. 2! -‐ 5. 2! + !! 2! = -‐ 10
2!(2 – 5 + !!) = -‐ 10
2!(-‐ 3 + !!) = -‐ 10
-‐ !!2! = -‐ 10
!!. 2! = 10
2! = !"!
2! = 4 2! = 2! 𝑥 = 2
S = {2}
d) !!!!
!"! = 125
!!!!!
!!! = 125
5(
!!!! !!!) = 5!
5
!!!!!!! = 5!
5
!!!!!! = 5!
!!!!!
! = 3
-‐3x + 1 = 6 -‐3x = 5 x = -‐ !
!
99
e) 3!! + 2. 3! − 15 = 0 (3!)² + 2. 3!-‐ 15 = 0 y = 3! y² + 2y – 15 = 0 y = !! ± !!!"
!
y = !! ± !!
𝑦! = 3 𝑦!= -‐5 y = 3! 3! = 3 x = 1 S = {1}
10.2 - Inequações Exponenciais: São inequações que apresentam a incógnita no expoente.
Exemplos: 1) 3!²!!!!! ≥ 1
2) 2! ≤ 3
3) (!
!)!²!!!!! ≥ !
!
Resolução: Basta usar as propriedades
• Para a > 1: 𝑎!! > 𝑎!! x2 > x1
• Para 0 < a < 1: 𝑎!! > 𝑎!! x2 < x1
100
Exemplos:
1)Resolva as inequações exponenciais a) 5! > 25!
5! > 5!!
x > !!
S = {x ∈ R / x ≥ !!} = (!
!,+∞)
b) (!
!)! ≥ !
! ou (!
!)! ≥ !
!
(!!)!! ≥ !
! (!
!)!! ≥ (!
!)!!
[(!!)!!]!! ≥ !
! 2𝑥 ≤ −1
(!!)!!! ≥ (!
!)¹ 𝑥 ≤ − !
!
−2𝑥 ≥ 1 𝑥 ≤ − !
!
S = (-‐ ∞,− !
!]
c) 3! + 3!!! − 4 > 0 3! + 3. 3!! − 4 > 0 3! + !
!!− 4 > 0
3!! + 3 – 4. 3! > 0 3! ! − 4. 3! + 3 > 0
Considerando y = 3! temos:
y² -‐ 4y + 3 > 0 y = !± !"!!"
!
y = !±!!
𝑦! = 3 𝑦! = 1 3! < 1 ou 3! > 3
101
S = (- ∞, 0) ∪ (1, +∞) d) 2!! -‐ 9.2! + 8 ≤ 0 (2!)² − 9. 2! + 8 ≤ 0
Considerando y = 2! temos:
y² -‐9y + 8 ≤ 0 y = !± !"!!"
!
y = !±!!
y1 = 8 y2 = 1 1 ≤ 2! ≤ 8
0 ≤ x ≤ 3
S = [0, 3]
Capítulo 11 – Função Logarítmica
1) Logaritmo de um número
Definição: Sejam N > 0, a > 0 e a ≠ 1. Chama-se logaritmo de um número na base a, é o expoente x que se deve elevar a base a, para obter o número N. Notação: log! 𝑁 = 𝑥 𝑁 = 𝑎!
Ex 1: log! 8 = 𝑥 8 = 2! 2! = 2!
x = 3 log! 8 = 3
102
Ex 2: log! 27 = 𝑥
27!! = 3!
3!! = 3!
x = !! log! 27 = !
!
• Propriedades importantes:
1) log! 𝑎 = 1 2) log! 1 = 0
3) log! 𝑎! = 𝑛
4) 𝑎!"#!! = 𝑁
• Propriedades operatórias
1) log! 𝐴.𝐵 = log! 𝐴 + log! 𝐵 2) log!
!!= log! 𝐴 − log! 𝐵
3) log! 𝐴! = 𝑛. log! 𝐴
4) log! 𝐴! = !
! log! 𝐴
Obs: Se a base do logaritmo é o número irracional 𝑒 ( e = 2,7182...), então devemos considerar 𝑙𝑛𝐴
Exemplos:
1) Determinar o desenvolvimento logarítmico das expressões
a) log!
!!²
b) log!!³!
!
!²
103
a) log!
!!²
= !! log! 𝑥 - 2 log! 𝑦
b) log!!³!
!
!²= log! 𝑏³. 𝑐 − log!𝑚²
!
= !! log! 𝑏³𝑐 - 2 log!𝑚
= !! [3 log! 𝑏 + log! 𝑐] - 2log!𝑚
= !
!log! 𝑏 + !
! log! 𝑐 - 2log!𝑚
2) Dados log!" 𝑎 = 5, log!" 𝑏 = 3 e log!" 𝑐 = 2. Calcule o valor de log!"
!"²!
.
log!"𝑎𝑏!
𝑐= log!" 𝑎 + 2log!" 𝑏 − log!" 𝑐 = 5 + 6 − 2 = 9
• O cologaritmo de um número N na base a é dado por: colog𝑁 = - log𝑁 Ex: colog! 5 = - log! 5
• Mudança de base log! 𝑁 = !"#!!
!"#! !
Ex: Escreva na base 4
a) log! 5 b) log(!!!)(𝑥 − 3)
a) log! 5 = !"#! !
!"#! !
b) log(!!!)(𝑥 − 3) = !"#!(!!!)!"#!(!!!)
104
11.1 - Função Logarítmica:
Forma: y = log! 𝑥, x > 0, a > 0 e a ≠ 1.
D(f) = (0, +∞) Im(f) = R
Ex 1: y = log! 𝑥 Ex 2: y = log!
!𝑥
Gráfico:
• a > 1
105
A função y = log! 𝑥 é crescente para a > 1
• 0 < a < 1
A função y = log! 𝑥 é decrescente para 0 < a < 1
Ex 1: Construir o gráfico das funções: a) y = log! 𝑥 b) y = log!
!𝑥
106
a)
x y 1 0 2 1 12
-1
107
b) x y 1 0 12
12
2 -1
108
11.2 - Equações Logarítmicas:
Equações que são resolvidas aplicando a definição.
Ex 1: log! 𝑥 = 5 x = 3!
x = 243
CE: x > 0
S = {243}
Ex 2: log! 𝑥! − 3𝑥 + 4 = 3
CE: 𝑥! − 3𝑥 + 4 > 0 𝑥! − 3𝑥 + 4 = 8 𝑥² − 3𝑥 − 4 = 0 x = !± !!!"
!
x = !±!!
x1 = 4 x2 = -1 S = {-1, 4}
Ex 3: log!(𝑥 + 1) = 4
CE: x + 1 > 0 x > -1
x + 1 = 2! x = 16 – 1 x = 15 S = {15}
109
Ex 4: Resolver a equação
2 log!" 𝑥 = log!" 4 + log!" 3𝑥 log!" 𝑥² = log!" 12𝑥
x² = 12x x = 0 x = 12
CE: x > 0
S = {12}
Ex 5: Resolva o sistema
log!" 𝑥 − log!" 𝑦 = log!" 3𝑥 + 2𝑦 = 15
CE: x > 0 y > 0 log!"
!! = log!" 3
!!= 3
𝑥 + 2𝑦 = 15
y = !
! y = !
! = 3
x + !
!x = 15
3x + 2x = 45 5x = 45 x = 9 S = {(3, 9)}
110
Ex 6: Resolva a equação
log! 𝑥 − 2 log! 5 = −1
log! 5 =
!"#! !!"#! !
= !!"#! !
CE: x > 0, x ≠ 1 log! 𝑥 −
!!"#! !
= −1 (log! 𝑥)! − 2 = − log! 𝑥 (log! 𝑥)! + log! 𝑥 − 2 = 0 Considerando y = log! 𝑥, temos: y² + y – 2 = 0 y = !!± !!!
!
y= !!±!!
y1 = 1 y2 = -‐2 log! 𝑥 = −2 log! 𝑥 = 1 x = 5!! x = 5 x = !
!"
S = { !
!", 5}
11.3 - Inequações Logarítmicas:
• a > 1 log! 𝑁 > log!𝑀 𝑁 > 𝑀log! 𝑁 < log!𝑀 𝑁 < 𝑀
• 0 < a < 1 log! 𝑁 > log!𝑀 𝑁 < 𝑀log! 𝑁 < log!𝑀 𝑁 > 𝑀
111
Exemplos:
1)Resolva as inequações a) log! 2𝑥 + 1 < log! 7
CE: 2x + 1 > 0 x > -‐ !
!
2x + 1 < 7 2x < 6 x < 3
S = (-‐!
!, 3)
b) log!
!
!!!!!
> log!!2
CE: !!
!!!> 0
3x > 0 ∧ x – 3 > 0 ou 3x < 0 ∧ x – 3 < 0 x > 0 x > 3 x < 0 x < 3
S = (-∞, 0) ∪ (3, +∞) !!
!!!< 2
!!
!!!− 2 < 0
!!!!!!!
!!!< 0
!!!
!!!< 0
(x + 6 > 0 ∧ x – 3 < 0) ou (x + 6 < 0 ∧ x – 3 > 0) x > -‐6 x < 3 x < -‐6 x > 3
112
S = (-6, 0)
Exercícios:
1) Construa o gráfico das funções: a) f(x) = 2!!! b) f(x) = (!
!)!
c) y = log!!𝑥
d) y = log! 𝑥
2) Resolva as equações exponenciais a) 3!²!! = 81 b) 5!³ = 25 c) 8!!! = 16
!!
d) 2!!! + 2! + 2!!! = 44 e) 3!! − 10. 3! + 9 == 0 f) 5!!!! + 124. 5! − 25 = 0
3) Determine m de modo que a equação 5! + 2𝑚 = 1 tenha solução real.
4) Resolva as inequações exponenciais:
a) 2!!! < ( !
!)!
b) (0,5)!!! + (0,5)!!! ≤ 48 c) 2!! − 9. 2! + 8 ≤ 0 d) 3! + 3!!! − 4 > 0
5) Determine o domínio das funções:
a) y = (!!)!!!"
b) f(x) = 81 − 3!!
6) Considere as funções f e g definidas de 𝑅∗! em R por f(x) = log! 𝑥 e g(x) = log!
!𝑥
113
a) Calcule f(5), g(5), f(!!), g(!
!), f(25) e g(25).
b) Calcule f(75) + g(3).
7) Resolva as equações logarítmicas: a) log!" 4 + log!"(𝑥 + 1) = 1 b) log!(𝑥 − 1) + log! 𝑥 + 1 = 3 c) log! 𝑥 + log! 𝑥 − 2 + log!(𝑥 + 3) = 3 d) log!(4𝑥 − 7) − log!(3𝑥 − 1) + log! 5 = 0
8) Resolva as inequações logarítmicas
a) log!(𝑥 + 1) < 3 b) log! 2𝑥 − 3 ≤ log!(12 − 𝑥) c) log!
!(3𝑥) − log!
!𝑥 − 3 > log!
!2
9) Determine o domínio das funções:
a) f(x) = 1 + log !
!"(3𝑥 − 8)
b) f(x) = log!!3𝑥 − 4 + 2
10) Determine o domínio, a imagem das funções:
a) f(x) = log(5𝑥 + 7) b) f(x) = -5 ln (4x+5)
Capítulo 12 – Funções Periódicas
f(x + p) = f(x) p = período
• O gráfico da função periódica se repete a cada intervalo de comprimento |P|.
• As funções trigonométricas que estudaremos a seguir são funções
periódicas.
114
12.1 - Funções Trigonométricas: 12.1.1 – Função Seno: Forma: y = sen x D(f) = R Im(f) = [-‐1, 1]
sen x = 𝑂𝑀’’
P = !!
|!|
sen(x+2𝜋) = sen(x)
115
Valores notáveis:
x 0 𝜋
2 𝜋 3𝜋
2 2 𝜋
sen x 0 1 0 -1 0
116
Ex 1: Construa o gráfico da função e dê o seu domínio, imagem e período.
a) y = sen x + 2
D(f) = R Im(f) = [1, 3] P = 2 𝜋
117
b) y = sen !!
D(f) = R Im(f) = [-‐1, 1] P = !!!
!= 4𝜋
118
12.1.2 – Função Cosseno: Forma: y = cos x D(f) = R Im(f) = [-‐1, 1]
cos x = 𝑂𝑀′ P = !!
|!|
cos (x + 2𝜋) = cos x
119
Valores notáveis:
x 0 𝜋
2 𝜋 3𝜋
2 2 𝜋
cos x 1 0 -1 0 1
120
Ex 1: Construa o gráfico da função y = 2 cos x, dê o domínio e a imagem.
D(f) = R Im(f) = [-‐2, 2] P = 2𝜋
121
12.1.3 - Função Tangente: Forma: y = tan 𝑥 = !"# !
!"# !
D(f) = {x ∈ R / x ≠ !
!+ 𝑛𝜋,𝑛 ∈ 𝑍}
Im(f) = R
tg x = 𝐴𝑇 P = 𝜋 tg(x + 𝜋) = tg x
122
Valores notáveis: x 0 𝜋
4
𝜋2
3𝜋4
𝜋
tg x 0 1 ∄ -1 0
Ex 1: Dê o domínio da função y = tg 2x 2x ≠ !
!+ 𝑘𝜋
x ≠ !!+ 𝑘𝜋
123
D(f) = {x ∈ R / x ≠ !!+ 𝑘 !
!, 𝑘 ∈ 𝑍}
Ex 2: Construir o gráfico da função y = 2 tg x
124
12.1.4 – Função Cotangente:
Forma: f(x) = cotg x = !
!" ! = !"# !
!"# !
D(f) = {x ∈ R / x ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍} Im(f) = R
cotg x = 𝐵𝐷 P = 𝜋 cotg(x + 𝜋) = cotg x
Valores notáveis:
x 0 𝜋4
𝜋2
3𝜋4
𝜋
cotg x ∄ 1 0 -1 ∄
125
Ex 1: Determine o domínio, a imagem e o período da função f(x) = cotg(3𝑥 + !
! )
P = !
!
3x + !
! ≠ 𝑘𝜋
3x ≠ 𝑘𝜋 − !!
x ≠ 𝑘 !!− !
!"
D(f) = {x ∈ R / x ≠ 𝑘 !
!− !
!", 𝑘 ∈ 𝑍}
Im(f) = R
126
12.1.5 – Função Secante:
Forma: f(x) = sec x = !!"# !
D(f) = {x ∈ R / x ≠ !
!+ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍}
Im(f) = (-‐∞,−1] ∪ [1,+∞)
sec x = 𝑂𝑆 P = 2 𝜋 sec(x+2 𝜋) = sec x
127
Valores notáveis:
x 0 𝜋
2 𝜋 3𝜋
2 2𝜋
sec x 1 ∄ -1 ∄ 1
Ex 1: Determine o domínio, a imagem e o período da função y = 3 sec(2𝑥 + !
!)
2x + !
! ≠ !
!+ 𝑘𝜋
2x ≠ !!− !
!+ 𝑘𝜋
2x ≠ !!+ 𝑘𝜋
x ≠ !!"+ 𝑘 !
!
128
D(f) = {x ∈ 𝑅 / x ≠ !
!"+ 𝑘 !
!, 𝑘 ∈ 𝑍}
Im(f) = (-‐∞,−3] ∪ [3,+∞) P = !!
!
12.1.6 - Função Cossecante: Forma: f(x) = cossec x = !
!"# !
D(f) = {x ∈ 𝑅 / x ≠ 𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝑍} Im(f) = (-‐∞,−1] ∪ [1,+∞)
cossec x = 𝑂𝐶 P = 2𝜋 cossec ( x+ 2𝜋) = cossec x
129
Valores notáveis:
x 0 𝜋
2 𝜋 3𝜋
2 2𝜋
cossec x ∄ 1 ∄ −1 ∄
130
Ex 1: Determine o domínio, a imagem e o período da função y = 2cossec (3x -‐ !
!)
3x -‐ !! ≠ 𝑘𝜋
3x ≠ !!+ 𝑘𝜋
x ≠ !!"+ 𝑘 !
!
D(f) = {x ∈ 𝑅 / x ≠ !!"+ 𝑘 !
!, 𝑘 ∈ 𝑍}
Im(f) = (-‐∞,−2] ∪ [2,+∞) P = !!
!
12.1.7 - Relações Fundamentais:
1) 𝑠𝑒𝑛!𝑥 + 𝑐𝑜𝑠!𝑥 = 1 2) tg 𝑥 = !"# !
!"# !
3) cotg x = !
!" ! = !"# !
!"# !
4) sec x = !
!"# !
5) cossec x = !
!"# !
6) 1 + 𝑡𝑔!𝑥 = 𝑠𝑒𝑐!x 7) 1 + 𝑐𝑜𝑡𝑔!𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐!x 8) sen(a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a 9) sen(a - b) = sen a.cos b - sen b.cos a 10) cos(a + b) = cos a.cos b - sen b.sen a 11) cos(a - b) = cos a.cos b + sen b.sen a 12) sen 2a = 2 sen a. cos a
131
13) cos 2a = 𝑐𝑜𝑠!𝑎 − 𝑠𝑒𝑛!𝑎 14) tg(a + b) = !" !!!" !
!!!" ! !" !
12.2 - Funções Trigonométricas Inversas: 12.2.1 - Função arco seno:
Forma: y = arc sen x x = sen y D(f) = [-‐1, 1] Im(f) = [-‐!
!, !!]
132
Ex 1: Determine o domínio da função f(x) = arc sen (3x-‐1)
-‐1 ≤ 3𝑥 − 1 ≤ 1 0 ≤ 3𝑥 ≤ 2 0 ≤ 𝑥 ≤ !
!
D(f) = [0, !
! ]
Ex 2: Calcular cos (𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 !
!)
𝛼 = 𝑎𝑟𝑐 𝑠𝑒𝑛 !!
sen 𝛼 = !!
𝑠𝑒𝑛!𝑥 + 𝑐𝑜𝑠!𝑥 = 1 !!"+ 𝑐𝑜𝑠!𝑥 = 1
𝑐𝑜𝑠!𝑥 = 1 − !!"
𝑐𝑜𝑠!𝑥 = !"!!!"
𝑐𝑜𝑠!𝑥 = !"!"
cos 𝑥 = !!
-‐!! ≤ 𝛼 ≤ !
!
Então cos (arc sen !
!) = !
!
Ex 3: Determine a imagem da função g(x) = 2 arc sen x
-‐!! ≤ arc sen x ≤ !
!
-‐ 𝜋 ≤ 2 arc sen x ≤ 𝜋 Im(f) = [-‐𝜋,𝜋]
133
12.2.2 - Função arco cosseno:
Forma: y = arc sen x x = cos y D(f) = [-‐1, 1] Im(f) = [0, 𝜋]
Ex 1: Qual o domínio da função h(x) = arc cos(!!− 1)?
-‐1 ≤ !
!− 1 ≤ 1
0 ≤ !! ≤ 2
0 ≤ 𝑥 ≤ 4
134
D(f) = [0, 4]
Ex 2: Seja f(x) = arc cos (log! 𝑥). Calcule f(!!), f(1), f(5).
f(!!) = arc cos (log!
!!) = arc cos (-‐1) = 𝜋
f(1) = arc cos (log! 1) = arc cos 0 = !!
f(5) = arc cos (log! 5) = arc cos 1 = 0
12.2.3 - Função arco tangente:
Forma: y = arc tg x x = tg y D(f) = R Im(f) = (-‐!
!, !!)
135
Ex 1: Obtenha x tal que 2x + arc tg 1 = !
!.
2x + arc tg 1 = !
!
2x + !! = !
!
2x = !!− !
!
x = !!
12.2.4 - Função arco cotangente:
Forma: f(x) = arc cotg x = gyx cot=⇔ D(f) = R
136
Im(f) = (0, 𝜋)
12.2.5 - Função arco secante:
Forma: y = arc sec x yx sec=⇔ D(f) = (-‐∞,−1] ∪ [1,+∞) Im(f) = [0, !
!] ∪ [!
!,𝜋)
137
12.2.6 - Função arco cossecante:
Forma: y = arc cossec x = yx seccos=⇔ D(f) = (-‐∞,−1] ∪ [1,+∞) Im(f) = [-‐ !
!, 0) ∪ (0, !
!]
138
Capítulo 13 – Funções hiperbólicas
13.1 – Função seno hiperbólico:
Forma: y = senh x = !!! !!!
!
139
D(f) = R Im(f) = R
Exemplos:
1) Mostre que f(x) = senh x é uma função ímpar.
2) Se f(x) = 2sen h calcule f(2)
140
Resolução:
1) f(x) = !!! !!!
!
f(-‐x) = !!!! !!
! = -‐ !
!! !!!
!= −𝑓(𝑥)
A função é ímpar.
2) Se f(x) = 2 senh x = 2 (!
!! !!!
!) = 𝑒! − 𝑒!!
f(2) = 𝑒! − 𝑒!!
13.2- Função cosseno hiperbólico:
Forma: 𝑦 = cosh !!! !!!
!
D(f) = R Im(f) = [1, +∞]
141
Exemplos:
1) Sendo f(x) = coshx, mostre que 𝑓 ln 𝑥 + 𝑥! − 1 = 𝑥
2) Mostre que 𝑐𝑜𝑠ℎ²𝑥 − 𝑠𝑒𝑛ℎ²𝑥 = 1
142
Resolução:
1) f(x) = 𝑐𝑜𝑠ℎ𝑥 = !!! !!!
!
𝑓 ln 𝑥 + 𝑥! − 1 = !!" (!! !²!!)! !!!" (!! !²!!)
!= 𝑥 + 𝑥² − 1 +
!
!! !²!!= (!! !²!!)
!! !
!(!! !²!!)= !²!!! !²!!!!²!!!!
!(!! !²!!) = !!²!!! !²!!
!(!! !²!!)=
!!(!! !²!!)!(!! !²!!)
= 𝑥
2) 𝑐𝑜𝑠²ℎ𝑥 – 𝑠𝑒𝑛²ℎ𝑥 = (!
!! !!!
!)! − (!
!! !!!
!)! =
!!!! ! !!! !!!!
!− (!
!!! !!!! !!!!)!
= !!! ! ! !!!!! !!!! !!!!
!= !
!= 1
143
13.3 – Função tangente hiperbólica:
Forma: 𝑦 = 𝑡𝑔ℎ𝑥 = !!! !!!
!!! !!!= !"#!!
!"#!!
D(f) = R Im(f) = (-‐1, 1)
144
Exemplos:
1) Dada a função f(x) = 2 senhx calcule f(0).
2) Prove que 𝑡𝑔ℎ 𝑙𝑛𝑥 = !²!!!²!!
. Resolução:
1) 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 = !!! !!!
!
𝑡𝑔ℎ = !!! !!!
!!! !!!
f(x) = 𝑒! + 𝑒!! f(0)=1-‐1=0
2) f(x) = 𝑡𝑔ℎ𝑥 = !!! !!!
!!! !!!
f(lnx) = !!"#! !!!"#
!!"#! !!!"#=
!! !!!!!!
= !²!!!²!!
145
13.4 – Função cotangente hiperbólica:
Forma: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑡ℎ𝑥 = !"#$ !!"#! !
= !!! !!!
!!! !!!
D(f) = R – {0} Im(f) = (-‐∞,−1) ∪ (1,+∞)
146
13.5– Função secante hiperbólica:
Forma: 𝑦 = sech 𝑥 = !!"#$ !
= !!!! !!!
D(f) = R Im(f) = (0, 1]
147
13.6– Função cossecante hiperbólica:
Forma: 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = !!"#! !
= !!!! !!!
D(f) = R -‐ {0} Im(f) = R -‐ {0}
148
13.7- Funções hiperbólicas inversas:
1) 𝑦 = arg 𝑠𝑒𝑛ℎ 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑥! + 1 , 𝑥 𝑞𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑒𝑟 2) 𝑦 = arg cosh 𝑥 = ln 𝑥 + 𝑥! − 1 , 𝑥 ≥ 1
3) 𝑦 = arg 𝑡𝑔ℎ 𝑥 = !
!ln !!!
!!!, −1 < 𝑥 < 1
4) 𝑦 = arg coth 𝑥 = !
!ln !!!
!!!, 𝑥 > 1
5) 𝑦 = arg sech 𝑥 = ln !! !!!!
!, 0 < 𝑥 ≤ 1
6) 𝑦 = arg 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ 𝑥 = 𝑙𝑛 !!+ !!!!
!, 𝑥 ≠ 0
Exemplos: Expresse em termos de logaritmo natural
a) arg sen h (2) b) arg tg h (-!
!)
Resolução:
a) arg 𝑠𝑒𝑛 ℎ 𝑥 = ln (𝑥 + 𝑥² + 1 ) arg 𝑠𝑒𝑛 ℎ (2) = 𝑙𝑛(2 + 5)
b) arg 𝑡𝑔 ℎ 𝑥 = !!ln(!!!
!!!)
arg 𝑡𝑔 ℎ − !!= !
!ln(
!!!!!
!! !!) = !
!ln
!!!!= !
!ln !
!= !
!ln 3!! = − ln 3
149
Exercícios:
1) Esboce o gráfico da função 𝑦 = −2 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 e dê o seu conjunto imagem. 2) Determine o período de cada uma destas funções:
a) 𝑦 = 3 𝑠𝑒𝑛 5𝑥 b) 𝑦 = 1 + 4 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − !
! )
c) 𝑦 = 2 − 6 𝑠𝑒𝑛 (−4𝑥 + !! )
d) 𝑦 = cos 2𝑥 + !!
e) 𝑦 = cos(!!)
3) Determine o domínio e o período das funções:
a) 𝑓 𝑥 = 𝑡𝑔 (𝑥 + !! )
b) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 (3𝑥) 4) Qual é o domínio da função 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐 cos( !
! − 1 )?
5) Determine o conjunto imagem de 𝑓 𝑥 = 3 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥. 6) Demonstre que: 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 !
!+ 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 !
!= !
!
7) Prove que:
a) ! ! !" ! !!!!" ! !
= 𝑒!! b) 𝑠𝑒𝑛ℎ 2𝑥 = 2 𝑠𝑒𝑛ℎ𝑥 cosh 𝑥 c) cosh 2𝑥 = 𝑐𝑜𝑠ℎ!𝑥 + 𝑠𝑒𝑛ℎ!𝑥
8) Expresse a quantidade dada em termos de logaritmo natural
a) 𝑠𝑒𝑛ℎ!!(!!)
b) arg cos ℎ (3) 9) Prove a identidade: 1 − 𝑐𝑜𝑡𝑔ℎ!𝑥 = − 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐ℎ!𝑥.
