Apostila2016-1 (Com Soluções Dos Exemplos)

7/25/2019 Apostila2016-1 (Com Solues Dos Exemplos)

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Calculo de

Probabilidade

I

Joaquim NetoUniversidade Federal de Juiz de Fora (UFJF)

Instituto de Ciencias Exatas (ICE)Departamento de Estatstica

www.ufjf.br/joaquim neto

4 de maio de 2016


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Nosso mundo, nossa vida, nosso destino, sao

dominados pela incerteza. Esta e talvez a

unica declaracao que podemos afirmar sem

incerteza.

de Finetti


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Sumario

1 Metodos de contagem 7

1.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Princpio fundamental da contagem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Arranjos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Permutacoes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Permutacoes com repeticao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.6 Combinacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.7 Triangulo de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.8 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.9 Respostas dos exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 Introducao a probabilidade 21

2.1 Espaco amostral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Definicoes de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Probabilidade classica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.2 Probabilidade frequentista. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.3 Probabilidade geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.3.4 Probabilidade subjetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.4 Teoria dos conjuntos: revisao de conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.5 Axiomas de probabilidade e espaco de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.6 Principais resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6.1 Probabilidade do vazio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.2 Probabilidade da uniao finita de eventos disjuntos 2 a 2 . . . . . . . . . . 27

2.6.3 Probabilidade do evento complementar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.4 Probabilidade de eventos aninhados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.6.5 Probabilidade entre 0 e 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.6 Probabilidade da subtracao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.7 Desigualdade de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.6.8 Probabilidade da uniao de 2 eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6.9 Probabilidade da uniao de 3 eventos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.6.10 Probabilidade da uniao finita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6.11 Outros resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7 Probabilidade condicional e principais teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7.1 Probabilidade condicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.7.2 Teorema da multiplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7.3 Particao de um conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7.4 Teorema da probabilidade total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.7.5 Teorema de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7.6 Sensibilidade e especificidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.8 Independencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.9 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.9.1 Descritores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.9.2 Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

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2.9.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3 Variaveis aleatorias 493.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Variavel aleatoria discreta e funcao de probabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3 Variavel aleatoria contnua e densidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Funcao de distribuicao acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.5 Variavel aleatoria mista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.6 Funcao de uma variavel aleatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.7 Quantil e mediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.8 Valor esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.9 Valor esperado da funcao de uma v.a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.10 Propriedades do valor esperado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.11 Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.12 Variancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.13 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.13.1 Descritores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.13.2 Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.13.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Famlias de distribuicoes 834.1 Famlias discretas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.1.1 Distribuicao uniforme discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.2 Distribuicao de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.1.3 Distribuicao binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.1.4 Distribuicao geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.5 Distribuicao binomial negativa (Pascal) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.1.6 Distribuicao hipergeometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.1.7 Distribuicao de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

4.2 Famlias contnuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2.1 Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894.2.2 Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 904.2.3 Funcao gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.2.4 Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.5 Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.2.6 Exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.2.7 Chi-quadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.2.8 t de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.2.9 F de Snedecor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2.10 Gama invertida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.2.11 Relacoes entre distribuicoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.1 Descritores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.3.2 Enunciados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.3.3 Respostas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109



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Metodos de contagemwww.ufjf.br/joaquim neto

1.1 Introducao

A princpio, pode parecer desnecessaria a existencia de metodos para realizar uma contagem.Isto de fato e verdade se o numero de elementos que queremos contar for pequeno. Entretanto,se o numero de elementos for grande, a contagem pode se tornar uma tarefa ardua.

Exemplo 1.1. SejaA o conjunto de numeros de 3 algarismos distintos. Assim,

A= {123, 124, 125,..., 875, 876}.Observe que e trabalhoso obter todos os elementos deste conjunto e depois conta-los. Corre-se

o risco de haver omissoes ou repeticoes de elementos.

Resultado 1.1.Consideremos os conjuntosA = {a1, a2,...,an} eB = {b1, b2,...,bm}. Podemosformarn m pares ordenados(a, b), ondea A eb B.

Odiagrama de arvore, ilustrado abaixo, pode ser usado para visualizar os pares ordenados.

Exemplo 1.2. Consideremos 3 cidades: X, Y eZ. Suponhamos 4 rodovias que ligamX aYe 5 que ligamY aZ. Partindo deXe passando porY, de quantas formas podemos chegar ateZ?

Solucao:

SejamA={a1, a2, a3, a4} o conjunto das rodovias que ligamX aY eB ={b1, b2, b3, b4, b5} oconjunto das rodovias que ligamY aZ. Cada modo de viajar deX ateZpode ser associado a

um par(a, b), coma A eb B. Logo numero de modos de viajar deX ateZ e4 5 (numerode pares ordenados).



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Definicao 1.1. Seja n um numero natural (inteiro nao negativo). Ofatorial de n, indicadoporn!, e definido por:

n! =n (n 1) (n 2) 3 2 1, paran 2,1! = 1 e

0! = 1.

Exemplo 1.3. 3! = 3 2 1.

4! = 4 3 2 1.

5! = 5 4 3 2 1.

1.2 Princpio fundamental da contagem

Resultado 1.2(Primeira parte do princpio fundamental da contagem). Consideremosos conjuntos A1, A2, ..., An. O n umero de n-uplas ordenadas (sequencias den elementos) dotipo (a1, a2,...,an) tais queai Aii {1, 2,...,n} e

#A1 #A2 #An.

Exemplo 1.4. Tres classes diferentes contem 20, 18 e 25 estudantes e nenhum estudante emembro de mais de uma das classes. Se uma equipe deve ser composta por um estudante decada classe, de quantos modos diferentes os membros desta equipe podem ser escolhidos?

Solucao: SejamA1, A2, A3 conjuntos que representam as 3 classes. Cada equipe escolhidapode ser associada a um vetor(a1, a2, a3), comai Ai.



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Logo, aplicando a primeira parte do princpio fundamental da contagem, o numero de modosque esta equipe pode ser escolhida e

#A1 #A2 #A3= 20 18 25 = 9000.

Resultado 1.3 (Segunda parte do princpio fundamental da contagem). Sejam A =

{a1, a2,...,an} ep n. O numero de sequencias (vetores) do tipo (b1, b2,...,bp) tais quebi Ai {1,...,p} ebi=bj parai =j e

n!

(n p)! =n (n 1) (n 2) (n p + 1) p fatores

.

Em outras palavras, o numero de sequencias de tamanhop formadas com elementos distintos2 a 2 deA en!/(n p)!.

Exemplo 1.5. Em um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos resultados sao

possveis para os 3 primeiros lugares?Solucao:SejaAo conjunto dos times que participam do campeonato. Os resultados possveis

para os 3 primeiros lugares podem ser associados a sequencias-vetores (b1, b2, b3) de elementosdistintos dois a dois escolhidos emA.

Logo, aplicando a segunda parte do princpio fundamental da contagem, o numero de resultadospossveis para os 3 primeiros lugares e

20!

(20 3)!= 20

19

18 = 6840.



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Como veremos no exemplo a seguir, algumas vezes as sequencias a serem contadas possuemtamanhos diferentes, o que impede o uso do princpio fundamental da contagem.

Exemplo 1.6. Uma pessoa lanca uma moeda sucessivamente ate que ocorram duas caras con-secutivas ou quatro lancamentos sejam feitos, o que ocorrer primeiro. Quantos sao os resultadospossveis?

Solucao: No diagrama abaixo, representamos os resultado cara e coroa com K e C,

respectivamente. Como podemos ver, o numero de resultados possveis e 12.

1.3 Arranjos

Definicao 1.2. Umarranjo e uma sequencia formada com os elementos de um conjunto. Umarranjo de elementos distintos e chamado dearranjo sem repeticao.

O numero de arranjos comp elementos de um conjuntoA comn elementos sera denotado porAn,p e chamado dearranjo de n tomado p a p. Para o numero de arranjos sem repeticao,usaremos a notacao ASn,p e diremosarranjo sem repeticao de n tomado p a p.

Obs: Para formar um arranjo, nao e preciso usar todos os elementos do conjunto.

Resultado 1.4. Pelo princpio fundamental da contagem, temos que

An,p= np

e

ASn,p= n!(np)! , parap n.



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Exemplo 1.7. As placas dos automoveis sao formadas por 3 letras (26 letras no alfabeto)seguidas de 4 algarismos (numeros de 0 a 9). Quantas placas podem ser formadas?

Solucao: Seja A um conjuntos de sequencias de 3 letras e B um conjunto de sequenciasde 4 algarismos. Pelo princpio fundamental da contagem, temos que #A = A26,3 = 26

3 e#B = A

10,4

= 104. Assim, cada placa pode ser associada a um par(a, b) tal quea

A eb

B.Aplicando novamente o princpio fundamental da contagem, o numero de placas que podem ser

formadas e

#A #B = 263 104 = 175760000.

Exemplo 1.8. Uma linha ferroviaria tem 16 estacoes. Quantos tipos de bilhetes devem serimpressos, se cada tipo deve assinalar a estacao de partida e a de chegada.

Solucao:SejaA o conjunto de estacoes da linha ferroviaria. Cada bilhete pode ser associadoa um par (a1, a2), tal que a1 A, a2 A e a1= a2. Logo, pelo princpio fundamental dacontagem, o numero de bilhetes e

AS16,2= 16 15.

Exemplo 1.9. Os caracteres em codigo MORSE sao formados por sequencias de tracos (-) epontos (.), sendo permitidas repeticoes. Por exemplo: - . - - . ..

a) Quantos caracteres podem ser representados usando 3 smbolos?

b) Quantos caracteres podem ser representados usando no maximo 8 smbolos?

Solucao: a) Seja A ={, .}. Cada caracter de 3 smbolos pode ser associado a um vetor(a1, a2, a3), tal quea1, a2, a3 A. Pelo princpio fundamental da contagem, temos que o numerode caracteres de 3 smbolos eA2,3= 2

3 = 8.b) O numero de caracteres usando p smbolos e A2,p e, consequentemente, o numero de

caracteres com no maximo 8 smbolos e a soma do n umero de caracteres obtidos comp = 1, 2, ..., 8smbolos, ou seja,

A2,1+ A2,2+ ... + A2,8= 2 + 22 + ... + 28 = 510.

1.4 Permutacoes

Definicao 1.3. Umapermutacao, e uma sequencia de elementos distintos formada com todosos elementos de um determinado conjunto. O numero de permutacoes de um conjunto com nelementos sera denotado porPn e chamado simplesmente de permutacao den elementos.



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Obs: Para formar uma permutacao, todos os elementos do conjunto devem ser utilizados.

Resultado 1.5. Pelo princpio fundamental da contagem, temos

Pn = ASn,n = n!

Exemplo 1.10. Quantos anagramas possui a palavra Joaquim?

Solucao: SejaA o conjunto das letras da palavra Joaquim. Como cada anagrama e umapermutacao dos elementos deA, temos que a quantidade procurada e

P7= 7! = 5040.

1.5 Permutacoes com repeticao

Resultado 1.6. SejaA=

{a1,...,ar

} um conjunto qualquer. Uma sequencia com

n1 elementos iguais aa1,n2 elementos iguais aa2,

...nr elementos iguais aar

e umapermutacao com repeticaodos elementos deA. Sendon = n1+n2+...+nr, o numerototal de sequencias deste tipo e

Pn1,n2,...,nrn = n!

n1!n2!...nr!.

(, , , , , , )

Exemplo 1.11.Um bairro e formado por 12 quarteiroes dispostos segundo a figura abaixo. Umapessoa sai do ponto P e caminha ate o ponto Q, sempre usando o caminho mais curto (movendo-se sempre da esquerda para direita ou de baixo para cima no grafico). Nestas condicoes, quantoscaminhos diferentes ela podera fazer?



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Solucao: Usando V para denotar um movimento vertical e H para um movimento hori-zontal, cada caminho pode ser associado a uma sequencia com 3 elementos iguais a V e 4elementos iguais a H. Por exemplo, a sequencia (V , V , V , H , H , H , H ) representa 3 movimentosverticais seguidos de 4 movimentos horizontais. Deste modo, o problema se resume a contagemde sequencias com elementos repetidos. Logo, a quantidade procurada e

P3,47 =

7!

4!3! = 35.

1.6 Combinacoes

Definicao 1.4.SejaA um conjunto qualquer. Um subconjunto deAe chamado decombinacaodos elementos deA. O numero de combinacoes compelementos de um conjunto comnelementose denotado porCn,p e chamado decombinacao de n tomado p a p.

Obs: Uma outra notacao paraCn,p e

np

.

E importante notar a diferenca entre combinacao e arranjo sem repeticao. Em uma combi-nacao a ordem dos elementos nao importa, ou seja, elementos que diferem apenas pela ordemsao contados como um unico elemento. Ja em um arranjo, a ordem importa, ou seja, sequenciascom os mesmos elementos, mas em ordem diferente sao contadas separadamente.

Resultado 1.7. A combinacao den tomado p ap e dada por

Cn,p=

n!

(n p)!p! .

Exemplo 1.12. Dentre 10 homens e 8 mulheres, quantas comissoes de 5 pessoas podem serformadas, sendo que em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?

Solucao:SejaA o conjunto dos subconjuntos de 3 homens eB o conjunto dos subconjuntosde 2 mulheres. Pelo resultado1.7, temos que#A= C10,3= 120e#B = C8,2= 28. Alem disso,cada comissao pode ser associada a um par(a, b), coma Aeb B. Logo, pela primeira partedo princpio fundamental da contagem, o numero de comissoes e

#A

#B = 120

28 = 3360.



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1.7 Triangulo de Pascal

O triangulo de pascal e uma forma de organizar os resultados de

np

para diferentes

valores de n e p, conforme indica a figura abaixo.

A seguir, veremos alguns resultados relacionados a combinacoes e, consequentemente, aoTriangulo de Pascal.

Resultado 1.8. Para todo n N, temos que

n0

= 1.

Prova: n0

=

n!

(n 0)!0! =n!

n! = 1.

Resultado 1.9. Para todo n N, temos que

nn

= 1.

Prova: nn

=

n!

(n n)!n! =n!

n!= 1.

Resultado 1.10 (Relacao de Stiefel). Sen, p N en > p 0 entao

np +

np + 1 =

n + 1p + 1 .



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Prova: np

+

n

p + 1

=

n!

p! (n p)!+ n!

(p + 1)! (n p 1)!=

n!

p! (n p)!+ n!

(p + 1)p! (n p 1)!

= n!p! 1(n p)!+ 1(p + 1) (n p 1)!

= n!

p!

1

(n p) (n p 1)!+ 1

(p + 1) (n p 1)!

= n!

p! (n p 1)!

1

(n p)+ 1

(p + 1)

= n!

p! (n p 1)!

n + 1

(n p) (p + 1)

= n! (n + 1)

(n p) (n p 1)!(p + 1)p!= (n + 1)!

(n p)! (p + 1)! = n + 1

p + 1 .

Obs: Podemos usar este resultado para fazer o calculo das combinacoes do triangulo depascal. Note que:

Como

n0

= 1n N, todos os elementos da coluna 0 sao iguais a 1.

Como

nn

= 1n N, o ultimo elemento de cada linha e igual a 1.

Cada elemento do triangulo que nao seja da coluna 0 nem o ultimo de cada linha e igual

a soma daquele que esta na mesma coluna e linha anterior com o elemento que se situa aesquerda deste ultimo (Relacao de Stifel).

A figura abaixo ilustra passo-a-passo como a relacao de Stiefel pode ser usada para construiro triangulo de Pascal.

Resultado 1.11. Sen, p N ep n, entao np

=

nn p

.

Prova: nn p

=

n!

(n p)! [n (n p)!] = n!

(n p)!p! =

np

.

Obs: Este resultado afirma que os elementos de uma linha do triangulo de Pascal equidis-tantes dos extremos sao iguais. Veja a figura abaixo.



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Resultado 1.12. Para todo n N, temos n0

+

n1

+

n2

+ ... +

nn

= 2n.

Prova: SejaA um conjunto comn elementos. Como

np

e o n umero de subconjuntos

comp elementos do conjunto A, temos que

n0

+

n1

+

n2

+ ... +

nn

e o n umero

total de subconjuntos deA. Pensando de outra forma, para formar um subconjunto, temos duasopcoes de escolha para cada elemento de A: ou o elemento esta no subconjunto ou nao esta.Como A temn elementos, tera2n subconjuntos.



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1.8 Exerccios

Exerccio 1.1. Tres classes diferentes contem 20, 18 e 25 estudantes e nenhum estudante emembro de mais de uma das classes. Se uma equipe deve ser composta por um estudante decada classe, de quantos modos diferentes os membros desta equipe podem ser escolhidos?

Exerccio 1.2. Em um campeonato de futebol participam 20 times. Quantos resultados sao

possveis para os 3 primeiros lugares?

Exerccio 1.3. Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9. Osegredo do cofre e formado por uma sequencia de 3 dgitos distintos. Se uma pessoa tentar abriro cofre, quantas tentativas devera fazer (no maximo) para conseguir abri-lo? Suponha que apessoa sabe a quantidade de dgitos do segredo e que este e formado por dgitos distintos.

Exerccio 1.4. De quantas formas 6 pessoas podem sentar-se numa fileira de 6 cadeiras se duasdelas, Joaquim e Rafael, se recusam a sentar um ao lado do outro?

Exerccio 1.5. Considere 10 cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas maneiras 2 pessoaspodem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre eles?

Exerccio 1.6. Quantos anagramas da palavra estudo comecam e terminam com vogal?

Exerccio 1.7. Considere 2 urnas. A primeira com 4 cartas numeradas de 1 a 4 e a segundacom 3 cartas numeradas de 7 a 9. Duas cartas sao extradas da primeira urna, sucessivamentee sem reposicao, e em seguida duas cartas sao extradas da segunda urna, sucessivamente e semreposicao. Quantos numeros de 4 algarismos podem ser formados com os numeros das cartasna sequencia em que foram obtidas?

Exerccio 1.8. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos numeros de 4 algarismoscom pelo menos dois algarismos iguais existem?

Exerccio 1.9. De quantas formas 5 meninos e 5 meninas podem ficar em fila, de modo quemeninos e meninas devem ficar em posicoes alternadas?

Exerccio 1.10. Dez pessoas, dentre elas Antonio e Beatriz, devem ficar em fila. De quantasformas isto pode ser feito de modo que Antonio e Beatriz fiquem sempre juntos?

Exerccio 1.11. De quantas formas 4 homens e 5 mulheres podem ficar em fila se

a) os homens devem ficar juntos?

b) E se os homens devem ficar juntos e as mulheres tambem?

Exerccio 1.12. Considere 15 livros em uma estante, dos quais 4 sao de probabilidade. De

quantas formas podemos coloca-lo em uma prateleira da estante de modo que os livros de proba-bilidade fiquem sempre juntos?

Exerccio 1.13. Quantos anagramas existem da palavra AMARILIS?

Exerccio 1.14. Uma urna contem 3 bolas vermelhas e 2 amarelas, que se distinguem apenaspela cor. Quantas sequencias de cores sao possveis de observar extraindo uma a uma semreposicao?

Exerccio 1.15. Quantos numeros de 7 algarismos existem nos quais comparecem uma so vezos algarismos 3, 4 e 5 e quatro vezes o algarismo 9?

Exerccio 1.16. Uma moeda e lancada 20 vezes. Quantas sequencias de caras e coroas existemcom 10 caras e 10 coroas?



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Exerccio 1.17. Quantos produtos podemos obter se tomarmos 3 fatores distintos escolhidosentre 2,3,5,7 e 11?

Exerccio 1.18. Um time de futebol de salao deve ser escalado a partir de um conjunto de 10jogadores, entre eles Joaquim e Caio. Quantos times de 5 jogadores podem ser formados se Arie Arnaldo devem ser escalados necessariamente?

Exerccio 1.19.Considere 10 homens e 10 mulheres. Quantas comissoes de 5 pessoas podemosformar se em cada uma deve haver 3 homens e 2 mulheres?

Exerccio 1.20. Uma urna contem 10 bolas brancas e 6 pretas, todas marcadas com smbolosdistintos. Quantos conjuntos de 7 bolas (retiradas desta urna) podemos formar de modo que pelomenos 4 bolas do conjunto sejam pretas?

Exerccio 1.21.Em uma reuniao, cada pessoa cumprimentou todas as outras, havendo ao todo45 apertos de mao. Quantas pessoas haviam na reuniao?

Exerccio 1.22. Um qumico possui 10 tipos diferentes de substancias. De quantos modospossveis poder a associar 6 diferentes tipos destas substancias, sendo que dois tipos (somente)

nao podem ser juntados pois produzem mistura explosiva?

Exerccio 1.23. Quantas diagonais tem um polgono regular den lados?

Exerccio 1.24.Obter o numero de maneiras que nove algarismos iguais a 0 e seis algarismosiguais a 1 podem ser colocados em sequencia de modo que dois uns nao comparecam juntos.

Exerccio 1.25. Quantos subconjuntos de 5 cartas contendo exatamente 3 ases podem ser for-mados de um baralho de 52 cartas?

Exerccio 1.26. A diretoria de uma firma e composta por 7 diretores brasileiros e 4 japoneses.Quantas comissoes podem ser formadas com 3 diretores brasileiros e 3 japoneses?

Exerccio 1.27. Em um grupo de 15 pessoas existem 5 medicos, 7 engenheiros e 3 advogados.Selecionando pessoas neste grupo, quantas comissoes de 5 pessoas podemos formar, de modo quecada comissao seja constituda de 2 medicos, 2 engenheiros e 1 advogado?

Exerccio 1.28. Um homem possui 8 pares de meias distintos. De quantas formas ele podeselecionar escolher dois pes de meia (um direito e um esquerdo) de modo que eles sejam depares diferentes?

Exerccio 1.29. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, quantos numeros de algarismosdistintos existem entre 500 e 1000?

Exerccio 1.30. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos numeros pares de 3 algarismosdistintos podemos formar?

Exerccio 1.31.Quantos numeros pares de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1,3, 6, 7, 8 e 9?

Exerccio 1.32. Suponhamos que todos os numeros obtidos a partir da permutacao dos alga-rismos 1,2,4,6 e 8 foram dispostos em ordem crescente. Qual posicao ocupa o numero 68412?



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1.9 Respostas dos exerccios

1.1) 20 18 25 =9000.1.2) 20 19 18 =6840.1.3) 10 9 8 =720.1.4) 6! 2 5! =480.

1.5) 90 18 =72.1.6) 3 2 4 3 2 1 =144.1.7) 4 3 3 2 =72.1.8) 94 9 8 7 6 =3537.1.9) 5! 5! 2 =28800.1.10) 2 9! =725760.1.11) a) 4! 5! 6 =17280; b) 4! 5! 2 =5760.1.12) 4! 11! 12 =11496038400.1.13) 8!2!2! =10080.

1.14) 5!3!2! =10.

1.15) 7!4! =210.

1.16) 20!10!10! =184756.

1.17) C5,3=10.1.18) C8,3=56.1.19) C10,3 C10,2=5400.1.20) C6,4 C10,3+ C6,5 C10,2+ C6,6 C10,1=2080.1.21) Cn,2 = 45 n=10.1.22) C10,6 C8,4 =140.1.23) Cn,2 n= n(n3)2 .1.24) C10,6=210.1.25) C4,3 C48,2 =4512.1.26) C7,3

C4,3 =140.

1.27) C5,2 C7,2 C3,1=630.1.28) 8 7 + 8 7 =112.1.29) 5 8 7 =280.1.30) 3 5 4 =60.1.31) 2 6 6 =72.1.32) 3 4! + 3 3! + 2 2! + 1 =95.



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Introducao a probabilidadewww.ufjf.br/joaquim neto

2.1 Espaco amostral

Definicao 2.1.Suponhamos um experimento realizado sob certas condicoes fixas. Oespaco amostral do experimento e um conjunto que contem representacoes de todos os resultados possveis,onde por resultado possvel, entende-se resultado elementar e indivisvel do experimento. deve satisfazer as seguintes condicoes:

A todo resultado possvel corresponde um, e somente um, elemento . Resultados distintos correspondem a elementos distintos em, ou seja,

nao pode

representar mais de um resultado.

Exemplo 2.1. Considere um experimento que consiste em arremessar dois dados e observar osnumeros obtidos nas faces voltadas para cima. Defina um espaco amostral para este experimento.

Solucao:Nao e difcil encontrar quem defina = {1, 2, 3, 4, 5, 6} como espaco amostral desteexperimento. No entanto, esta definicao esta incorreta, pois no experimento sao arremessadosdois dados e nao um. Lembre-se que o espaco amostral deve conter representacoes de todos osresultados possveis do experimento. Um espaco amostral para este experimento e

= {(1, 1), (1, 2), ..., (1, 6),(2, 1), (2, 2), ..., (2, 6),

(3, 1), (3, 2), ..., (3, 6),

(4, 1), (4, 2), ..., (4, 6),

(5, 1), (5, 2), ..., (5, 6),

(6, 1), (6, 2), ..., (6, 6)}.

Exemplo 2.2. Considere um experimento que consiste em selecionar ao acaso a altura de um

habitante do estado de Minas Gerais. Quais os resultados possveis deste experimento? Supondoque nao exista uma altura maxima, talvez seja razoavel assumir = (0, ). Evidentemente,



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este conjunto contem todos os resultados possveis e tambem resultados impossveis, tais como1 milhao ou 1 bilhao de metros. Outros candidatos para seriam, por exemplo, os intervalos(0, 3) e [1/10, 3].

Exemplo 2.3. Considere um experimento que consiste em escolher aleatoriamente um pontodo crculo de raio unitario centrado na origem do sistema cartesiano. Neste caso, temos

= {(x, y) R2 :x2 + y2 1}.

2.2 Eventos

Quando se realiza um experimento, ha certos eventos que ocorrem ou nao. Por exemplo, aojogar um dado e observar o resultado, alguns eventos sao:

observar um numero par,

observar o numero 2 e

observar um numero maior ou igual a 4.

Todo evento associado a um experimento pode ser identificado a um subconjunto do espacoamostral . Reciprocamente, todo subconjuntoA de pode ser associado a um evento. Assim,podemos associar

o conjunto{2, 4, 6} ao evento observar um numero par e o conjunto{4, 5, 6} ao evento observar um numero maior ou igual a 4.

Definicao 2.2. Seja o espaco amostral do experimento. Todo subconjunto A sera cha-mado evento.

e o evento certo.

e o evento impossvel. Para , o evento{} e dito elementar(ousimples). Eventos com uma atribuicao de probabilidade sao chamados deeventos aleatorios.

Definicao 2.3. O complementar de um evento A, denotado por Ac, e o conjunto formadopelos elementos de que nao pertencem aA. Assim, Ac = { : / A}.



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1 3 5

0.0

0.8

10 arremesos

Resultados

Propores

1 3 5

0.0

0.8

100 arremesos

Resultados

Propores

1 3 50.0

0.8

200 arremesos

Resultados

Propores

1 3 50.0

0.8

1000 arremesos

Resultados

Propores

Figura 2: Proporcao de resultados em 10, 100, 200 e 1000 arremessos de um dado.

2.3.3 Probabilidade geometrica

Definicao 2.6. Consideremos um experimento que consiste em escolher um ponto ao acaso emuma regiao Rp. A definicao geometrica da probabilidadeP(A) de um evento A edada por

P(A) =volume deA

volume de.

Obs:Naturalmente, em espacos unidimensionais (p= 1) o volume e substitudo por compri-mento e em espacos bidimensionais (p= 2), por area.

Exemplo 2.5. O jogo de franc-carreaufoi estudado pela primeira vez em 1733 pelo natura-lista e matematico frances Georges-Louis Leclerc e e apresentado por Badize et al. (1996) comouma proposicao para introducao as probabilidades. O jogo consiste em lancar uma moeda emum piso de azulejos de forma quadrada. Os jogadores entao apostam se a moeda ira parar com-pletamente sobre um unico azulejo, posicao chamada franc-carreau, ou sobrepor algum trechodo rejunte (juncao dos azulejos). Em uma regiao comn azulejos de lado igual ab centmetros,qual e a probabilidade de uma moeda de raior centmetros parar em posicao franc-carreau?

Solucao:



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b

(b-2r)

A B

D C

P

r

E F

H G

Cada localizacao possvel para a moeda pode ser caracterizada pelo seu ponto central. Nafigura acima, o quadrado de vertices A, B, C e D ilustra um azulejo e a circunferencia de centroP e raio r ilustra a moeda. Repare que a moeda estara localizada completamente sobre o azulejo(posicao franc-carreau) se, e somente se, seu centro estiver no interior do quadrado de verticesE, F, G e H. Assim, usando a defini cao geometrica, a probabilidade procurada e

n(b 2r)2nb2

=(b 2r)2

b2 .

Para explorar um aplicativo deste jogo, acessehttp://www.ufjf.br/joaquim_neto/aplicativos .

2.3.4 Probabilidade subjetiva

Definicao 2.7.Adefinicao subjetivade probabilidade baseia-se em crencas e/ou informacoesdo observador a respeito do fenomeno em estudo.

Exemplo 2.6. Consideremos o evento A =chove em Moscou. Para alguem em Minas Geraispodemos ter a seguinte avaliacao: P(A) = 0, 5. Para alguem de Leningrado, podemos terP(A) =0, 8se chove em Leningrado eP(A) = 0, 3se nao chove em Leningrado. Para alguem de Moscou,P(A) = 1 se esta chovendo em Moscou eP(A) = 0 se nao esta chovendo em Moscou.

2.4 Teoria dos conjuntos: revisao de conceitos

Definicao 2.8.Os conjuntos da sequencia (finita ou enumeravel)A1, A2,...saodisjuntos 2 a 2,

seAi Aj = ,i =j.

http://www.ufjf.br/joaquim_neto/aplicativoshttp://www.ufjf.br/joaquim_neto/aplicativoshttp://www.ufjf.br/joaquim_neto/aplicativos


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Definicao 2.9. Oconjunto das partes P(A) de um conjunto A e definido por

P(A) = {B|B A}.

Exemplo 2.7. SeA=

{3, 5, 7

}, entao

P(A) = {{3}, {5}, {7}, {3, 5}, {3, 7}, {5, 7}, {3, 5, 7}, }.

2.5 Axiomas de probabilidade e espaco de probabilidade

Nao vamos nos preocupar, doravante, com o problema de como definir probabilidade paracada experimento. Simplesmente, vamos admitir que as probabilidades estao definidas em umcerto conjunto A2 de eventos, chamados de eventos aleatorios. Vamos supor que a todo A Aseja associado um numero realP(A), chamado de probabilidade deA, de modo que osaxiomasa seguir sejam satisfeitos.

Axioma 1:P(A) 0,A A.

Axioma 2:P() = 1.

Axioma 3:Se A1, A2,... A sao disjuntos 2 a 2, entao

P

n=1

An

=

n=1

P(An).

Definicao 2.10. Umespaco de probabilidade e um trio (,A, P), onde

e um conjunto nao vazio,

A e um conjunto de eventos aleatorios e

P e uma probabilidade emA.

2Geralmente usamos A = P(). Para saber mais sobre condicoes que A deve satisfazer, consulte James(1981).



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2.6 Principais resultados

2.6.1 Probabilidade do vazio

Resultado 2.1. P() = 0.Prova:Temos que

P() =P(

...)

P() =P() + P() + P() + ... 0 =P() + P() + ...

P() = 0.

2.6.2 Probabilidade da uniao finita de eventos disjuntos 2 a 2

Resultado 2.2. SeA1, A2,...,An A sao eventos aleatorios disjuntos 2 a 2 entao

P n

i=1 Ai =n

i=1 P(Ai).Prova:Fazendo Ai = i {n + 1, n + 2,...}, temos que

P

ni=1

Ai

=P

i=1

Ai

= (pelo axioma 3) =

=i=1

P(Ai) =n

i=1

P(Ai) +

i=n+1

P(Ai)

=n

i=1P(Ai) +

i=n+1P() = (pelo resultado anterior) =

=n

i=1

P(Ai) +

i=n+1

0 =n

i=1

P(Ai).

2.6.3 Probabilidade do evento complementar

Resultado 2.3.

P(Ac) = 1 P(A), A A.Prova:Temos que

= A Ac P() =P(A Ac) (aplicando os axiomas 2 e 3)

1 =P(A) + P(Ac) P(A) = 1 P(Ac).

2.6.4 Probabilidade de eventos aninhados

Resultado 2.4.

A, B

A,

A B P(A) P(B).



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Prova:Pelo axioma 1, temos queP(B Ac) 0. Assim,

P(B Ac) 0 P(B Ac) + P(A) P(A) (pelo axioma 3)

P((B Ac) A) P(A)

P(B)

P(A).

2.6.5 Probabilidade entre 0 e 1

Resultado 2.5.0 P(A) 1, A A

Prova: Como A , aplicando o resultado2.4, temos que

P(A) P() (pelo axioma 2) P(A) 1.

Alem disso, pelo axioma 1, P(A)

0. Logo 0

P(A)

1.

2.6.6 Probabilidade da subtracao

Resultado 2.6.A, B A,

P(A Bc) =P(A) P(A B).

Prova:Temos que

(A Bc) (A B) =A P((A Bc) (A B)) =P(A) P(A Bc) + P(A B) =P(A)

P(A Bc) =P(A) P(A B) .

Obs: Em alguns livros o evento A Bc e definido como A B. Aqui nao adotamos estanotacao para evitar confusoes entre a subtracao de probabilidades e a subtracao de conjuntos.

2.6.7 Desigualdade de Boole

Resultado 2.7. Supondo queA1, A2, A3,... sao eventos aleatorios,

P

i=1

Ai

i=1

P(Ai).

Prova: Consideremos a seguinte sequencia de eventos

B1= A1

B2= A2 Ac1B3= A3 (A1 A2)c

...

Bi = Ai

(A1

...

Ai

1)

c

...



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Note que esta sequencia e de eventos disjuntos 2 a 2. Alem disso, temos queBi Ai, o queimplicaP(Bi) P(Ai). Deste modo, temos que

P

i=1

Ai

=P

i=1

Bi

= (pelo axioma 3) =

=

i=1 P(B

i)

i=1 P(A

i)

Resultado 2.8. Supondo queA1, A2,...,An sao eventos aleatorios, temos que

P

ni=1

Ai

ni=1

P(Ai),

Prova:Analoga a prova do resultado anterior.

2.6.8 Probabilidade da uniao de 2 eventos

Resultado 2.9. SeA eB forem eventos quaisquer, entao

P(A B) =P(A) + P(B) P(A B).

Prova:P(A B) =P((A Bc) B)

= (repare queA Bc eB sao disjuntos) ==P(A Bc) + P(B)=P(A) P(A B) + P(B).

2.6.9 Probabilidade da uniao de 3 eventos

Resultado 2.10. SeA, B eCforem eventos quaisquer, entao

P(A B C) =P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P(A C) P(B C) + P(A B C).Prova:

P(A B C) = (pelo resultado 2.9) =P(A B) + P(C) P((A B) C)= (pelo resultado 2.9) =

=P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P((A B) C)=P(A) + P(B) + P(C) P(A B) P((A C) (B C))= (pelo resultado 2.9) =

=P(A) + P(B) + P(C) P(A B)

P(A

C)

P(B

C) + P(A

B

C) .



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2.6.10 Probabilidade da uniao finita

Resultado 2.11. Supondo uma sequenciaA1, A2,...,An de eventos aleatorios, temos que

P(A1 A2 ... An) =n

i=1

P(Ai) n

i


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Eletricas Manuais Totais

Novas 10 60 70

Usadas 200 40 240

Totais 210 100 310

a) Sabendo que uma determinada peca foi soldada usando uma maquina nova, qual e a

probabilidade (classica) de ter sido soldada por uma maquina eletrica?b) Sabendo que uma determinada peca foi soldada usando uma maquina eletrica, qual e aprobabilidade (classica) de ter sido soldada por uma maquina nova?

Solucao:

a)

P(E| N) = P(E N)P(N)

= #(E N)

#N =

10

70= 0, 1428571.

b)

P(N| E) = P(N E)P(E)

=#(N E)

#E =

10

210= 0, 04761905.

Resultado 2.13. Uma probabilidade condicional dado um evento B qualquer e uma probabili-dade.

Solucao:

Para mostrar que a probabilidade condicional e uma probabilidade, devemos verificar que

P(A | B) 0,A A,

P( | B) = 1 e que

seA1, A2,... A sao disjuntos 2 a 2, entao

P

i=1

Ai

B

=i=1

P(Ai|B).

Vamos verificar entao as condicoes acima.

Como P(A|B ) = P(AB)P(B) , comP(A B)0 eP(B)> 0, temos queP(A|B)0 e a

1 condicao foi satisfeita.

Temos tambem queP( | B) =

P(

B)

P(B) = P(B)

P(B) = 1 e a segunda condicao foi satisfeita.

Por fim, temos

P

i=1

Ai

B

=

P

i=1

Ai

B

P(B)

=

P

i=1

(Ai B)

P(B) = (pelo axioma 3) =

=

i=1

P(Ai B)P(B)

=i=1

P(Ai B)P(B)

=i=1

P(Ai|B).



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2.7.2 Teorema da multiplicacao

Teorema 2.1 (teorema da multiplicacao). Seja (,A, P) um espaco de probabilidade comA1, A2,...,AnA. Entao

P(A1 A2 ... An) =P(An|A1 ... An1)

P(An

1|A1

...

An2

)

... P(A2|A1) P(A1)

Prova:Por inducao finita.

Obs: Especificamente, paran= 2, temos

P(A1 A2) =P(A2| A1)P(A1) =P(A1| A2)P(A2).

2.7.3 Particao de um conjuntoDefinicao 2.12. Uma sequenciaA1, A2,... finita ou enumeravel de conjuntos e umaparticaode um conjunto A quando

for uma sequencia de conjuntos disjuntos 2 a 2 e

i

Ai = A.

2.7.4 Teorema da probabilidade total

Teorema 2.2(teorema da probabilidade total). Seja(,A, P)um espaco de probabilidade.

Se a sequencia (finita ou enumeravel) A1, A2,... A formar uma particao de, entao

P(B) =

i

P(B|Ai) P(Ai).



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Prova:

P(B) =P

i

(B Ai)

= (pelo axioma 3) =

=

i

P(B Ai) =

i

P(B|Ai) P(Ai).

Exemplo 2.9. Uma empresa produz circuitos em tres fabricas, denotadas por I, II e III. Afabrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. As proba-bilidades de que um circuito produzido por essas fabricas nao funcione sao 0, 01, 0, 04 e 0, 03respectivamente. Escolhido ao acaso um circuito da producao conjunta das tres fabricas, qual ea probabilidade do circuito nao funcionar?

Solucao: Consideremos os eventos

A1 =o circuito foi produzido pela fabrica I,

A2 =o circuito foi produzido pela fabrica II,

A3 =o circuito foi produzido pela fabrica IIIe

B =o circuito nao funciona.

Primeiro repare que os conjuntos A1, A2 e A3 formam uma particao do espaco amostral.Assim, aplicando o teorema da probabilidade total, temos que

P(B) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3)= 0, 01 0, 4 + 0, 04 0, 3 + 0, 03 0, 3 = 0, 025.

2.7.5 Teorema de BayesTeorema 2.3(teorema de Bayes). Seja(,A, P)um espaco de probabilidade. Se a sequencia(finita ou enumeravel) A1, A2,..., A formar uma particao de, entao

P(Ai|B) = P(B|Ai) P(Ai)j

P(B|Aj) P(Aj) .

Prova:

P(Ai|B) = P(Ai B)P(B)

=P(B|Ai) P(Ai)

P(B)

= (pelo teorema da probabilidade total) =

= P(B|Ai) P(Ai)

j P(B|Aj) P(Aj)

.



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Exemplo 2.10. Uma empresa produz circuitos em tres fabricas, denotadas por I, II e III.A fabrica I produz 40% dos circuitos, enquanto a II e a III produzem 30% cada uma. Asprobabilidades de que um circuito produzido por essas fabricas nao funcione sao 0, 01, 0, 04 e0, 03 respectivamente. Um circuito e escolhido ao acaso da producao conjunta das tres fabricas.Dado que o circuito escolhido nao funciona, qual e a probabilidade do circuito ter sido produzidopela fabrica I?


A1=o circuito foi produzido pela fabrica I,

A2=o circuito foi produzido pela fabrica II,

A3=o circuito foi produzido pela fabrica IIIe

B =o circuito nao funciona.

Primeiro repare que os conjuntos A1, A2 e A3 formam uma particao do espaco amostral.Assim, aplicando o teorema de Bayes, temos que

P(A1|B) = P(B|A1) P(A1)P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + P(B|A3) P(A3)

= 0, 01 0, 4

0, 025 = 0, 16

Exemplo 2.11. Oproblema de Monty Hall e um problema matematico que surgiu a partirde um concurso televisivo dos Estados Unidos da America chamado Lets Make a Deal, exibidona decada de 1970.

O jogo consiste no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas aos concor-rentes, sabendo que atras de uma delas esta um carro (premio bom) e que as outras tem premios

de pouco valor.

1. Na 1 etapa o concorrente escolhe uma porta (que ainda nao e aberta).

2. Em seguida, Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente nao escolheu,sabendo que o carro nao se encontra nela.

3. Agora, com duas portas apenas para escolher e sabendo que o carro est a atras de umadelas, o concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no inciodo jogo ou se muda para a outra porta que ainda esta fechada.

Qual e a estrategia mais l ogica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta?

Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Porque?

Para explorar jogos e aplicativos sobre o problema de Monty Hall, acessehttp://www.ufjf.br/joaquim_neto/aplicativos .

http://www.ufjf.br/joaquim_neto/aplicativoshttp://www.ufjf.br/joaquim_neto/aplicativos


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Para assistir a videos sobre o problema de Monty Hall, acessehttp://www.ufjf.br/joaquim_neto/videos .

Para obter um codigo R que simula o problema de Monty Hall, acessehttp://www.ufjf.br/joaquim_neto/codigos .


A1 = Carro esta na primeira porta,

A2 = Carro esta na segunda porta,

A3 = Carro esta na terceira porta e

B = O apresentador abre a terceira porta.

Naturalmente, iremos assumirP(B| A1) = 0, 5, P(B| A2) = 1 e P(B| A3) = 0. Assim,pelo teorema da probabilidade total, temos

P(B) =P(B|A1) P(A1) + P(B

|A2) P(A2) + P(B

|A3) P(A3) =

=1

21

3+ 1 1

3+ 0 1

3=

1

2= 0, 5

Agora, usando o teorema de Bayes, temos

P(A1| B) = P(B| A1)P(A1)P(B)

=12 13

12

= 1

3,

P(A2| B) = P(B| A2)P(A2)P(B)

=1 13

12

= 2

3 e

P(A3

|B) =

P(B| A3)P(A3)P(B)

=0 13

12

= 0.

Portanto, escolhendo trocar de porta a chance de ganhar o carro e maior.

2.7.6 Sensibilidade e especificidade

Suponhamos um exame medico qualquer com dois resultados possveis. Vamos assumir queX= 1 quando o exame acusa a doenca e queX= 0 caso contrario. Por outro lado, vamos usar para indicar o verdadeiro estado do indivduo submetido ao exame, onde theta= 1 indica umindivduo doente e = 0 indica um indivduo saudavel.

Definicao 2.13. A sensibilidade e a probabilidade de um exame acusar a doenca dado que oindivduo possui a doenca, ou seja,

P(X= 1 | = 1)

Definicao 2.14. Aespecifidadee a probabilidade de nao acusar a doenca dado que o indivduonao tem a doenca.

P(X= 0 | = 0)

Os medicos apoiam-se em exames laboratoriais para estabelecer diagnosticos e sabem que,para tal, quanto maiores forem estas duas medidas, melhor e o teste.

http://www.ufjf.br/joaquim_neto/videoshttp://www.ufjf.br/joaquim_neto/codigoshttp://www.ufjf.br/joaquim_neto/codigoshttp://www.ufjf.br/joaquim_neto/videos


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Exemplo 2.12. Uma pessoa vai ao medico reclamando de dores. O medico acredita que opaciente pode ter uma determinada doenca. Ele entao examina o paciente cuidadosamente,observa seus sintomas e assume subjetivamente queP(= 1) = 0, 6.

Para auxiliar o diagnostico, ele prescreve um exame laboratorial. Vamos assumir queX= 1quando o exame acusa a doenca eX= 0 caso contrario. O exame fornece um resultado incertocom as seguintes probabilidades

P(X= 0 | = 0) = 0, 90 (especificidade: exame nao acusar sem a doenca) eP(X= 1 | = 1) = 0, 95 (sensibilidade: exame acusar com a doenca) e

.

Dado que o exame acusou a doenca (X= 1), qual e a probabilidade do paciente ter a doenca?

Solucao: Pelo teorema de Bayes, temos que

P( = 1 | X= 1) = P(X= 1 | = 1)P(= 1)P(X= 1 | = 1)P(= 1) + P(X= 1 | = 0)P(= 0)

= 0, 95 0, 6

0, 95

0, 6 + 0, 1

0, 4

= 0, 9344262.

Exemplo 2.13. Recomenda-se que, a partir dos 40 anos, as mulheres fa cam mamografias anu-ais. Nesta idade, aproximadamente uma em cada 100 mulheres sao portadoras de um tumorassintomatico de mama.

Seja uma quantidade desconhecida que indica se uma paciente desta faixa etaria tem adoenca ou nao. Se ela possui a doenca entao = 1, caso contrario = 0. Assim, podemosassumir que

P(= 1) = 0, 01 e P(= 0) = 0, 99.

Sabe-se que a mamografia indica a doenca em 80% das mulheres com cancer de mama, mas

esse mesmo resultado ocorre tambem com 9,6%das mulheres sem o cancer. Assim, sejaX umavariavel aleatoria associada ao resultado da mamografia, de modo que seX= 1 o exame acusoua doenca eX= 0 caso contrario. Temos entao que

P(X= 0 | = 0) = 0, 904 (especificidade: exame nao acusar sem a doenca) eP(X= 1 | = 1) = 0, 80 (sensibilidade: exame acusar com a doenca).

Imagine agora que voce encontra uma amiga de 40 e poucos anos aos prantos, desesperada,porque fez uma mamografia de rotina e o exame acusou a doen ca. Qual a probabilidade de elater um cancer de mama?

Solucao: Temos que

P(= 1 | X= 1) = P(X= 1 | = 1)P(= 1)P(X= 1 | = 1)P(= 1) + P(X= 1 | = 0)P(= 0)

= 0, 80 0, 01

0, 80 0, 01 + 0, 096 0, 99 = 0, 07763975

Logo, a probabilidade dela ter a doenca e de aproximadamente 7,8%.Obs:Ao apresentar este problema a varias pessoas, inclusive estudantes de medicina, observa-

se uma tendencia a superestimar a probabilidade a posteriori da doenca. Isto revela que o racioc-nio bayesiano nao e intuitivo. Parece haver uma tendencia geral a ignorar o fato de que a probabi-lidade a priori de doenca e pequena, fen omeno denominadofalacia da probabilidade de basepelo psicologo norte-americano (de origem israelense) Daniel Kahneman, premiado com o No-

bel de Economia em 2002 por estudos sobre o comportamento de investidores. Num sentidoespecfico: as pessoas nao sao racionais.



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Resultado 2.15. SeA eB forem acontecimentos independentes, tambem o seraoa) A eBc,b) Ac eB ec) Ac eBc.Solucao:a)

P(A Bc) =P(A) P(A B) =P(A) P(A)P(B) =P(A)(1 P(B)) =P(A)P(Bc).

b)

P(Ac B) =P(B) P(A B) =P(B) P(A)P(B) =P(B)(1 P(A)) =P(B)P(Ac).

c)P(Ac Bc) =P((A B)c) = 1 P(A B)

= (pelo resultado 2.9) = 1 (P(A) + P(B) P(A B))= 1 P(A) P(B) + P(A) P(B)

= (colocando P(B) em evidencia) == 1 P(A) P(B) (1 P(A))= (colocando1 P(A) em evidencia) == (1 P(A))(1 P(B)) =P(Ac) P(Bc) .



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2.9 Exerccios

2.9.1 Descritores

Descritor

Desc

ri

o

Pa

lavrac

have

D2

.1

D

efin

iroespaoamostra

ldeum

experimento

.

Espaoamostra

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.

Eventos

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Prova,

indepen

dnc

ia

Tab

ela2.1:Descritoresdosexercc

iosdeintroduc

ao`aprobabilida

de(matrizdereferencia).



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2.9.2 Enunciados

Exerccio 2.1. (D2.2) Uma empresa efetuou um estudo sobre fraudes em cartoes de credito,com resultados resumidos no quadro abaixo.

Tipo de fraude QuantidadeCartao roubado 243

Cartao falsificado 85 Pedido por telefone 52

Outros 46

Selecionando aleatoriamente um caso de fraude nos casos resumidos acima, qual e a proba-bilidade (classica) da fraude resultar de um cartao falsificado?

Exerccio 2.2. (D2.2) Oleos de cozinha sao produzidos em duas principais variedades: monoin-saturados e polinsaturados. Duas materias primas para oleos de cozinha sao: milho e canola. Atabela a seguir mostra o numero de garrafas destes oleos em um supermercado.

Tipo de oleoCanola Milho

Tipo de mono 7 13insaturacao poly 93 77

a) Se uma garrafa de oleo e selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade (classica) de serum oleo polinsaturado?

b) Se uma garrafa de oleo e selecionada aleatoriamente, qual a probabilidade (classica) de sermonoinsaturado de canola?

Exerccio 2.3. (D2.2) Qual e a probabilidade (classica) de observar quatro numeros diferentesao lancar quatro dados?

Exerccio 2.4. (D2.2) Se 12 bolas sao colocadas aleatoriamente em 20 caixas, qual e a proba-bilidade (classica) de nenhuma caixa receber mais do que uma bola?

Exerccio 2.5. (D2.2) Uma caixa contem 24 lampadas, das quais 4 sao defeituosas. Se umapessoa seleciona 4 lampadas aleatoriamente desta caixa, qual e a probabilidade (classica) dasquatro lampadas serem defeituosas?

Exerccio 2.6. (D2.2) Suponhamos quen pessoas irao se sentar aleatoriamente emn cadeirasalinhadas em fila (de um teatro). Qual e a probabilidade (classica) de duas pessoas em particular,A e B, sentarem uma do lado da outra?

Exerccio 2.7. (D2.2) Suponhamos quek pessoas irao se sentar aleatoriamente emn cadeirasalinhadas em fila (de um teatro). Qual e a probabilidade (classica) dekpessoas ocuparem cadeirasadjacentes?

Exerccio 2.8. (D2.2) Suponha que um comite de 12 pessoas sera selecionado aleatoriamentedentre 100 pessoas. Qual e a probabilidade (classica) de duas pessoas em particular, A e B,serem selecionadas?

Exerccio 2.9. (D2.2) Uma caixa contem 24 lampadas, das quais 4 sao defeituosas. Supo-nhamos que uma pessoa seleciona 10 lampadas aleatoriamente e, em seguida, uma outra pessoa

seleciona as 14 lampadas restantes. Qual e a probabilidade (classica) das 4 lampadas defeituosasserem selecionadas pela mesma pessoa?



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Exerccio 2.10. (D2.2) Um baralho contem 52 cartas e 4 ases. Se as cartas forem embaralhadase distribudas de maneira aleatoria para 4 pessoas, de modo que cada pessoa receba 13 cartas,qual e a probabilidade (classica) dos 4 ases ficarem com a mesma pessoa?

Exerccio 2.11. (D2.2)a) Suponha que os tres dgitos do numero 123 sejam escritos em ordem aleatoria. Qual e a

probabilidade de que ao menos um dgito ocupe seu lugar proprio?b) Suponha que os quatro dgitos do numero 1234 sejam escritos em ordem aleatoria. Qual

e a probabilidade de que ao menos um dgito ocupe seu lugar proprio?

Exerccio 2.12. (D2.2) Um fabricante de lampadas para farois automotivos testa as lampa-das sob condicoes de alta umidade e alta temperatura, usando a intensidade e vida util comoparametros de interesse. A tabela abaixo mostra a performance de 130 lampadas.

Vida utilSatisfatorio Insatisfatorio

Intensidade Satisfatorio 117 3 Insatisfatorio 8 2

Qual e a probabilidade de uma lampada selecionada aleatoriamente ser insatisfatoria sob pelomenos um dos criterios?

Exerccio 2.13.(D2.5) SejamA eB dois eventos. SeP(A) = 0, 3, P(B) = 0, 2 eP(A B) =0, 1, entao calcule:

a) P(Ac),

b) P(A B),c) P(Ac B),

d) P(A Bc),e) P((A B)c) ef ) P(Ac B).Exerccio 2.14. (D2.5) Um empreiteiro apresentou orcamentos separados para a execucao daparte eletrica e da parte de encanamento de um edifcio. Ele acha que a probabilidade de ganhara concorrencia da parte eletrica e de50%. Caso ele ganhe a parte eletrica, a chance de ganhara parte de encanamento e de3/4, caso contrario esta probabilidade e de1/3.

a) Qual a probabilidade do empreiteiro ganhar os dois contratos?

b) Qual a probabilidade do empreiteiro ganhar apenas um?

c) Qual a probabilidade do empreiteiro perder a parte eletrica e perder a parte de encanamento?

Exerccio 2.15. (D2.5) Um certo tipo de motor eletrico falha se ocorrer uma das seguintessituacoes: emperramento dos mancais, queima dos rolamentos ou desgaste das escovas. Suponhaque o emperramento seja duas vezes mais provavel do que a queima, esta sendo quatro vezes maisprovavel do que o desgaste das escovas. Qual e a probabilidade de que a falha seja devida a cadauma dessas circunstancias?

Exerccio 2.16. (D2.5) Suponha que A e B sejam eventos tais que P(A) = x, P(B) = y eP(A

B) =z. Exprima cada uma das seguintes probabilidades em termos dex, y ez.

a) P(Ac Bc).



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b) P(Ac B).c) P(Ac B).d) P(Ac Bc).Exerccio 2.17. (D2.5) Suponha queA, B, Csejam eventos tais queP(A) =P(B) =P(C) =

1/4, P(A B) =P(B C) = 0 eP(A C) = 1/8. Calcule a probabilidade de que ao menos umdos eventos (A, B ouC) ocorra.Exerccio 2.18. (D2.6) Uma caixa contem 4 valvulas defeituosas e 6 perfeitas. Duas valvulassao extraidas juntas. Sabendo que uma delas e perfeita, qual e a probabilidade da outra valvulatambem ser perfeita?

Exerccio 2.19. (D2.6 e D2.2) Em um lote de 100 chips semicondutores 20 sao defeituosos.Dois deles sao selecionados ao acaso e sem reposicao.

a) (D2.2) Qual e a (classica) probabilidade do primeiro chip selecionado ser defeituoso?

b) (D2.6 e D2.2) Qual e a probabilidade (classica) do segundo chip selecionado ser defeituoso,

dado que o primeiro deles e defeituoso?

c) (D2.6 e D2.2) Qual seria a resposta do item (b) se os chips selecionados fossem repostosantes da proxima selecao?

Exerccio 2.20.(D2.6 e D2.2) Amostras de uma peca de alumnio fundido sao classificadas emduas categorias de acabamento: excelente e bom. Uma outra classificacao divide as pecas emduas categorias de comprimento: excelente e bom. A tabela abaixo exibe o numero de pecaspor categoria de um determinado lote:

ComprimentoExcelente Bom

Acabamento Excelente 75 7 da superfcie Bom 10 8

Suponhamos que uma peca e selecionada aleatoriamente deste lote.

a) (D2.2) Qual e a probabilidade da peca ter um excelente acabamento na superfcie?

b) (D2.2) Qual e a probabilidade da peca ter um excelente comprimento?

c) (D2.6 e D2.2) Se a peca selecionada tiver excelente acabamento na superfcie, qual e a pro-babilidade do comprimento ser excelente?

d) (D2.6 e D2.2) Se a peca selecionada tiver bom comprimento, qual e a probabilidade do aca-bamento na superfcie ser excelente?

Exerccio 2.21.(D2.6 e D5) Um equipamento eletronico e formado por 2 componentes, I e II.Suponha que

a chance do componente I falhar e 0,20;

a chance de apenas o componente II falhar e 0,15 e

a chance de I e II falharem e 0,15.

a) (D2.5) Qual e a probabilidade de apenas o componente I falhar?

b) (D2.6 e D2.5) Qual e a probabilidade do componente I falhar dado que o componente IIfalhou?



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Exerccio 2.22. (D2.6 e D2.5) Uma montagem eletronica e formada de dois subsistemas. Su-ponha que a probabilidade do primeiro sistema falhar e igual a 0,20, que a probabilidade ambos

falharem e 0,15 e que a probabilidade do segundo sistema falhar sozinho e 0,15.

a) (D2.6) Qual e a probabilidade do primeiro sistema ter falhado dado que o segundo sistemafalhou?

b) (D2.5) Qual e a probabilidade de ocorrer falha apenas no primeiro sistema?

Exerccio 2.23.(D2.6 e D2.5) Suponha queA eB sejam eventos, tais queP(A) = 13 ,P(B) =15 eP(A | B) + P(B| A) = 23 . CalculeP(Ac Bc).Exerccio 2.24. (D2.8) Um operador de radio envia pontos e tracos com igual probabilidade,mas devido a perturbacoes atmosfericas, os pontos sao muitas vezes entendidos pelo receptorcomo tracos e vice-versa. Seja 15 a probabilidade de um ponto ser recebido como traco e

14 a

probabilidade de um traco ser recebido como ponto. Supondo que o receptor interpreta todos ospontos aparentes como pontos verdadeiros (o mesmo valendo para os tracos), qual e a probabili-dade de haver um erro na transmissao?

Exerccio 2.25.(D2.8) A urna I contem x bolas brancas e y bolas vermelhas. A urna II contemz bolas brancas e v bolas vermelhas. Uma bola e escolhida ao acaso da urna I e posta na urnaII. Em seguida, uma bola e escolhida ao acaso da urna II. Qual e a probabilidade desta bola serbranca?

Exerccio 2.26. (D2.9) Suponha que temos duas urnas I e II, cada uma com duas gavetas.A urna I contem uma moeda de ouro em uma gaveta e uma moeda de prata na outra gaveta,enquanto a urna II contem uma moeda de ouro em cada gaveta. Uma urna e escolhida ao acasoe, em seguida, uma de suas gavetas e aberta ao acaso. Sabendo que a moeda encontrada nestagaveta e de ouro, qual e a probabilidade de que a moeda provenha da urna II?

Exerccio 2.27. (D2.9) Um software que detecta fraudes em cartoes telefonicos detecta o nu-

mero de areas metropolitanas onde as chamadas sao originadas a cada dia. Sao obtidos osseguintes dados:

- 1% dos usuarios legtimos chamam de duas ou mais areas metropolitanas em um mesmo dia.

- 30% dos usuarios fraudulentos chamam de duas ou mais areas metropolitanas em um mesmodia.

- A proporcao de usuarios fraudulentos e de 0,01%.

Se um mesmo usuario faz chamadas de duas ou mais areas metropolitanas em um mesmodia, qual e a probabilidade de que o usuario seja fraudulento?

Exerccio 2.28. (D2.9) Em uma fabrica de parafusos, as maquinas I, II e III produzem25%,35% e40% do total, respectivamente. Da producao de cada maquina, 5%, 4% e2%, respectiva-mente, sao parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que e defeituoso.

a) (D2.9) Qual e a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na maquina I?

b) (D2.9) Qual e a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na maquina II?

c) (D2.9) Qual e a probabilidade de que o parafuso tenha sido produzido na maquina III?

Exerccio 2.29. (D2.9) Uma urna contem 4 bolas brancas e 6 bolas pretas. Duas bolas sao

retiradas da urna sucessivamente e sem reposicao. Qual e a probabilidade da primeira bola serbranca sabendo que a segunda bola e branca?



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Exerccio 2.30. (D2.9) Suponha que 80% de todos os estatsticos sejam tmidos, enquantoapenas 15% de todos os economistas sejam tmidos. Suponha tambem que 90% das pessoas emum congresso sejam economistas e os outros 10% sejam estatsticos. Se voce estiver no congressoe conhecer, ao acaso, uma pessoa tmida, qual e a probabilidade de que ela seja um estatstico?

Exerccio 2.31. (D2.9 e D2.8) No design preliminar de produtos sao utilizadas avaliacoes declientes. No passado, 95% dos produtos de alto sucesso receberam boas avaliacoes, 60% dosprodutos de sucesso moderado receberam boas avaliacoes, e 10% dos produtos de desempenhopobre receberam boas avaliacoes. Alem disso, 40% dos produtos tiveram alto sucesso, 35% tiveramsucesso moderado e 25% tiveram desempenho pobre.

a) (D2.8) Qual e a probabilidade de que o produto consiga uma boa avaliacao?

b) (D2.9) Se um novo design obtem uma boa avaliacao, qual a probabilidade de que ele tenhaalto sucesso?

c) (D2.9) Se um produto nao recebe uma boa avaliacao, qual e a probabilidade de que ele tenhaalto sucesso?

Exerccio 2.32. (D2.9 e D2.8) Um inspetor trabalhando para uma companhia de manufaturatem uma probabilidade de 99% de identificar corretamente um item com defeito e 0,5% de pro-babilidade de classificar incorretamente um produto bom como defeituoso. A companhia temevidencias de que sua linha produz 0,9% de tens defeituosos.

a) (D2.8) Qual e a probabilidade de um item selecionado para inspecao ser classificado comodefeituoso?

b) (D2.9) Se um item selecionado aleatoriamente e classificado como nao-defeituoso, qual e aprobabilidade dele ser realmente bom?

Exerccio 2.33.(D2.10) SeA, B eC sao eventos disjuntos dois a dois, e possvel terP(A) =0, 3, P(B) = 0, 4 eP(C) = 0, 5? Por que ou por que nao?

Exerccio 2.34. (D2.10) Prove que

P[(A Bc) (B Ac)] =P(A) + P(B) 2P(A B) .

Exerccio 2.35. (D2.10) SejamA eB dois eventos. Prove que

P(A B) P(A) P(A B) .

Exerccio 2.36.(D2.11 e D2.5) Um dado e lancado e, independentemente, uma carta e extrada

de um baralho completo (52 cartas).

a) (D2.11) Qual e a probabilidade de obter um numero par no dado e uma carta de naipevermelho?

b) (D2.5 e D2.11) Qual e a probabilidade de obter um numero par no dado ou uma carta denaipe vermelho?

Exerccio 2.37. (D2.11 e D2.5) Suponha que A e B sao eventos independentes associados aum experimento. Se a probabilidade deA ou B ocorrerem for igual a 0,6 e a probabilidade daocorrencia deA for igual a 0,4, determine a probabilidade da ocorrencia deB.

Exerccio 2.38. (D2.11 e D2.5) Suponha que a probabilidade de se ganhar um certo jogo e de150 . Se voce jog a-lo 50 vezes, independentemente, qual e a probabilidade de ganhar pelo uma vez?



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Exerccio 2.39. (D2.12) Suponha que P(A | B) > P(A). Prove que P(B| A) > P(B) ouforneca um contra-exemplo.

Exerccio 2.40. (Nao classificado ainda) Duas valvulas defeituosas se misturam com duas val-vulas perfeitas. As valvulas sao selecionadas, uma a uma e sem reposicao, ate que ambas asdefeituosas sejam encontradas.

a) Qual e a probabilidade de encontrar a ultima valvula defeituosa no segundo ensaio?

b) Qual e a probabilidade de encontrar a ultima valvula defeituosa no terceiro ensaio?

c) Qual e a probabilidade de encontrar a ultima valvula defeituosa no quarto ensaio?

d) Some os numeros obtidos em (a), (b) e (c) acima. O resultado surprende?

Exerccio 2.41. (Nao classificado ainda) Vinte pecas,12 das quais sao defeituosas e8 perfeitas,sao inspecionadas uma apos a outra. Se estas pecas forem extradas ao acaso e sem reposicao,qual e probabilidade de que:

a) Qual e probabilidade das duas primeiras pecas serem defeituosas?

b) Qual e probabilidade das duas primeiras pecas serem perfeitas?

c) Dentre as duas primeiras pecas inspecionadas, qual e a probabilidade de uma ser perfeita e aoutra defeituosa?



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2.9.3 Respostas

NOVIDADE: A resolucao completa dos exerccios pode ser obtida em

http://www.opentest.com.br .

Basta acessar como estudante e entrar na turma Calculo de probabilidades I do professorJoaquim Neto. Em seguida clique no menu Responder testes.

2.1) 0, 1995305.2.2) a) 0, 8947368; b) 0, 03684211.2.3) 0, 277777.2.4) 0, 01473140.2.5) 9, 410879 105.2.6) 2(n2)!(n1)

n! ou n1 n

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n

k+1

nk

.

2.8) 0.01333333.2.9) 0, 1139657.2.10) 0, 01056423.2.11) a) 0, 6666667; b) 0, 625.2.12) 110 .2.13) a) 0.7; b) 0.4; c) 0.1; d) 0.2; e) 0.6; f) 0.8.2.14) a) 0.375; b) 0.2916667; c) 13 .2.15) 113 ,

413 ,

813 .

2.16) a) 1

z; b) y

z; c) 1

x + z; d) 1

x

y+ z.

2.17) 0.625.2.18) 0, 3846154.2.19) a) 0, 20; b) 1999 = 0, 1919192; c) 0, 20.2.20) a) 0, 82; b) 0, 85; c) 0.9146341; d) 0, 466666.2.21) a) 0, 05; b) 0, 5;2.22) a) 0,50; b) 0,05.2.23) 0, 9166667.2.24) 940 .2.25) ( x

x+y )( z+1z+v+1) + (

yx+y )(

zz+v+1).

2.26) 23 .2.27) 0, 00299.2.28) a) 0,36; b) 0,41; c) 0,23.2.29) 13 .2.30) 0, 372093.2.31) a) 0, 615; b) 0, 6178862; c) 0, 05194805.2.32) a) 0, 013865; b) 0, 9999087.2.33) Nao e possvel, poisP(AB C) =P(A) + P(B) + P(C) = 0, 3 + 0, 4 + 0, 5 = 1, 2> 1.2.34).2.35).2.36) a) 14 ; b)

34 .

2.37) 13 .

2.38) 1 495050.2.39).Joaquim Neto www.ufjf.br/joaquim neto pagina 47 de114
http://www.opentest.com.br/http://www.opentest.com.br/


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2.40) a) 16 ; b) 13 ; c)

12 ; d) O resultado nao surpreende, pois os eventos descritos nos itens

anteriores formam uma particao do espaco amostral. Assim, a soma de suas probabilidades deveser 1.

2.41) a) 3395 ; b) 1495 ; c)

4895 .



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Variaveis aleatoriaswww.ufjf.br/joaquim neto

3.1 Introducao

Informalmente, uma variavel aleatoria (v.a.) e uma caracterstica numerica do resultadode um experimento. Matematicamente, uma variavel aleatoria e uma funcao com domnio econtradomnio R. Porem, nem toda funcao deste tipo e uma variavel aleatoria. Para saber sobreas condicoes que uma funcao deve satisfazer para ser uma variavel aleatoria, consulte James(1981).

Exemplo 3.1. Em um experimento que consiste em lancar uma moeda n vezes, o numero decaras observado e uma caracterstica numerica do experimento.

Exemplo 3.2. Suponhamos agora um experimento que consiste em escolher um numero ao

acaso em [0, 1]. Podemos definir uma v.a. Xque associa o resultado do experimento ao seuquadrado. Assim,

= [0, 1]

e

X() =2, .

Exemplo 3.3. Suponhamos um experimento que consiste em escolher um ponto ao acaso nocrculo de raio unitario. Podemos definir uma v.a. Xque associa o resultado do experimento adistancia entre o ponto escolhido e a origem. Assim,

= {(x, y) :x2 + y2 1}

e, com= (x, y),

X() =

x2 + y2.

Notacao: Seja x Re A R. Consideremos os seguintes conjuntos: [X x] = { : X() x} [X=x] =

{

: X() =x

} [X < x] = { : X()< x}



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Obs: Se X e uma v.a. discreta e A RentaoP(X A) =P([X A] [X {x1, x2,...}])

=P(X (A {x1, x2,...}))

=P

i:xiA[X=xi]

=

i:xiA

P([X=xi]).

Resultado 3.1.Uma funcaop(x)e funcao de probabilidade de alguma variavel aleatoria discretase, e somente se, existir um conjunto finito ou enumeravel{x1, x2,...} R tal que

p(x)> 0 parax {x1, x2,...}, p(x) = 0 caso contrario e

i

p(xi) = 1.

Exemplo 3.5. Considere a funcao de probabilidade

p (x) =

kx2, parax= 1, 2, 30, caso contrario

.

Calcule o valor dek.

Solucao: Temos que

ni=1

p (xi) = 1 k12 + k22 + k32 = 1 k= 114

.

3.3 Variavel aleatoria contnua e densidade

Definicao 3.2. Uma variavel aleatoriaX econtnuase existe uma funcao integravelf(x) 0x R, tal que

P(X A) =A

f(x) dx, paraA R.

SeX for contnua, f(x) e chamada defuncao densidade de probabilidade, ou simples-mentedensidade.

Obs: SeA e um intervalo, A= (a, b), temosP(X (a, b)) =ba

f(x) dx



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Resultado 3.2. SeX e uma v.a. contnua ent ao P(X=x) = 0,x R.Resultado 3.3. SeX e uma v.a. contnua ent ao,a, b R,

P(X a) =P(X < a),

P(X a) =P(X > a), eP(a < X < b) =P(a X b)

=P(a < X b)=P(a X < b).

Prova:Veremos apenas a prova da primeira equacao, pois as demais possuem provas analogas.

P(X a) =P([X < a] [X=a]) = (pelo axioma 3) ==P(X < a) + P(X=a)

=P(X < a) + 0

=P(X < a).

3.4 Funcao de distribuicao acumulada

Definicao 3.3. A funcao de distribuicao acumulada (f.d.a.) de uma variavel aleatoriaX, representada porF, e definida por

F(x) =P([X x]), x R.Obs:A funcao de distribuicao acumulada tambem e chamada de simplesmente deacumulada

oufuncao de distribuicao.Exemplo 3.6.Suponhamos um experimento que consiste em arremessar um dado honesto. SejaX a v.a. associada ao numero observado na face voltada para cima apos o dado parar. Sejam

p(x) eF(x) a funcao de probabilidade e a acumulada deX, respectivamente.a) Calculep(2).b) Calculep(3, 5).c) CalculeF(2).d) CalculeF(3, 7).e) CalculeF(500).

f ) CalculeF(9).Solucao: Temos que a) p(2) =P([X= 2]) = 1/6.

b) p(3, 5) =P([X= 3, 5]) = 0.c) F(2) =P([X 2])

=P([X= 1]) + P([X= 2])

= 1/6 + 1/6 = 2/6.

d) F(3, 7) =P([X 3, 7])=P([X= 1]) + P([X= 2]) + P([X= 3])

= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6.

e) F(500) =P([X 500])=P([X= 1]) + P([X= 2]) + P([X= 3]

+ P([X= 4] + P([X= 5] + P([X= 6])= 1.



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f ) F(9) =P([X 9])=P() = 0.

Exemplo 3.7. Suponhamos um experimento que consiste em jogar dois dados. Suponhamosainda que os resultados sao equiprovaveis, ou seja, que cada resultado possvel tem a mesmaprobabilidade. Seja X uma variavel aleatoria que associa cada resultado a soma dos numerosobtidos em cada dado.

a) Faca o grafico da funcao de probabilidadep deX.b) Faca o grafico da acumuladaF deX.

Solucao: Veja abaixo uma tabela com os valores dex, p(x) eF(x).

x p(x) p(x) (decimal) F(x) F(x) (decimal)

2 1/36 0,028 1/36 0,028

3 2/36 0,056 3/36 0,083

4 3/36 0,083 6/36 0,167

5 4/36 0,111 10/36 0,278

6 5/36 0,139 15/36 0,417

7 6/36 0,167 21/36 0,583

8 5/36 0,139 26/36 0,722 9 4/36 0,111 30/36 0,833

10 3/36 0,083 33/36 0,917

11 2/36 0,056 35/36 0,972

12 1/36 0,028 1 1

A partir da tabela, podemos construir os graficos.

2 4 6 8 10 12

0.

04

0.

08

0.

12

0.

16

x

p(x

)

Funcao de probabilidade

2 4 6 8 10 12

0.0

0.4

0.8

x

F(x

)

Acumulada

Exemplo 3.8. Suponhamos um experimento que consiste em escolher um numero ao acaso

em = [1, 1]. Sejam X uma v.a. que associa o numero escolhido ao seu quadrado e F aacumulada deX.

a) CalculeF(0, 25).b) DetermineF.c) Construa o grafico deF.

Solucao:a)

F(0, 25) =P([X 0, 25]) =P({ :X() 0, 25})=P

:2 0, 25 =P({ : 0, 5 0, 5})

= (pela definicao geometrica de probabilidade) =

=0, 5 (0, 5)1 (1) = 0, 5.



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b) Parax 1) =P() = 1.Logo,

F(x) =

0, sex 1.

c)

0.2 0.2 0.6 1.0

0.0

0.4

0.8

x

F(x

)

Resultado 3.4. SeX e uma v.a. contnua ent ao sua acumulada e

F(x) =

x

f(t) dt, x R.



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Resultado 3.7. Uma funcao F e uma acumulada se, e somente se, as condicoes abaixo foremsatisfeitas:

x y implicarF(x) F(y), ou seja, F for uma funcao nao decrescente. lim

xa+F(x) =F(a), ou seja, F for contnua a direita.

limxF(x) = 0.

limxF(x) = 1.

Prova:Ver James (1981).

Resultado 3.8. Para os pontosx ondeF(x) e deriv avel, temos quef(x) =F(x).Prova:Teorema Fundamental do Calculo

Obs: Este resultado estabelece que a densidade de uma v.a. contnua pode ser obtida deri-

vando a acumulada.

Exemplo 3.10. Sejamk R eX uma v.a. com acumulada

F(x) =

k2(1 ex) , sex >00, sex 0 .

a) Calcule o valor dek.

b) Determine a densidadef deX.

Solucao:a) Lembre-se que o limite da acumulada quando x tende a infinito e igual a 1. Assim,

limxF(x) = 1

limx

k2(1 ex)

= 1

k2 limx (1 ex) = 1

k2 = 1 k= 2.

b) Como a densidade e dada pela derivada da acumulada, temos que

Sex

0,

f(x) =F (x) = (0) = 0.



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Sex >0,

f(x) =F (x) =

1 ex = ex.Logo

f(x) =

0, sex 0ex, sex >0 .

3.5 Variavel aleatoria mista

Vamos estudar as variaveis aleatorias mistas atraves de um exemplo:

Exemplo 3.11. A acumulada de uma variavel aleatoriaX e dada por:

F(x) =

0, sex


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3.6 Funcao de uma variavel aleatoria

Se X e uma variavel aleatoria, entao qualquer funcao de X, digamos g(X), e tambem umavariavel aleatoria. Assim, podemos considerar uma variavel Y = g(X), onde g e uma funcaocom domnio e contradomnio R.

Para cada subconjunto A de R, consideremos um novo conjunto, denotado por g1(A), e

definido por g1(A) = {x R :g(x) A}.

()

=()

( ()) = ( )

A partir da distribuicao de probabilidades da variavel X, podemos calcular chances para avariavel Y . Este calculo pode ser feito com a equacao

P(Y A) =P(g(X) A)=P(X g1(A)).

Exemplo 3.12. SejaXuma v.a. com funcao de probabilidade

pX(x) =

x2

15 , parax= 1, 1, 2, 30, caso contrario

Determine a funcao de probabilidadepY deY =X2.

Solucao: A tabela abaixo exibe uma relacao entre valores e chances.

x y pX(x)

-1 1 1/15

1 1 1/15

2 4 4/15

3 9 9/15

Resumindo as informacoes da tabela acima, podemos construir uma tabela que com a distri-buicao de chances deY, a saber:

y py(y)

1 2/15 4 4/15

9 9/15

Exemplo 3.13. SejaX uma v.a. com densidade

fX(x) =

29(x + 1) , se 1 x 20, caso contrario

.

a) Determine a acumuladaFY deY =X2.

b) Determine a densidadefY deY =X2.

Solucao:a) Primeiro, observe o grafico da densidade e o grafico da funcao g(x) =x2.



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Sejam FX(x) e FY(y) as funcoes de distribuicao acumulada de X e Y, respectivamente.Vamos encontrarFY(y).

Paray 0, temosFY(y) =P(Y y) =P(X2 y) =P() = 0.

Para0< y 1, temosFY(y) =P(Y y) =P(X g1([Y y]))

=P(y X y)

=

y

y

2

9(t + 1) dt=

2

9

t2

2 + t

y

y

= 2

9

y2

+

y y2

+

y

= 4

y

9

Para1< y 4, temosFY (y) =P(Y y) =P

X g1 ([Y y])

=P(1< X y)

=

y

1

2

9(t + 1) dt=

2

9

t2

2 + t

y

1

=2

9

y

2+

y 1

2+ 1

=

y+ 2

y+ 1

9 .

Por fim, sey >4,

FY (y) =P(Y y) =P

X g1 ([Y y])=P(1< X 2) = 1.

Resumindo, temos

FY (y) =

0, sey 04

y

9 , se0< y 1y+2

y+1

9 , se 1< y 41, sey >4

.



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b) Agora, para encontrar a densidade deY, basta derivar a acumulada obtida no item ante-rior, ou seja,

fY (y) =

0, se y 02y0,5

9 , se0< y 11+y0,5

9 , se1< y 40, sey >4

.

Definicao 3.4 (Suporte). SejamX uma v.a. eY =g(X) uma tranformacao deX. Conside-remos os conjuntos

X = {x: fX(x)> 0} eY= {y: y = g(x) para algumx X}.

O conjuntoX e chamado desuporte deX.Resultado 3.9.

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Apostila2016-1 (Com Soluções Dos Exemplos)