ANTENAS CURSO: Antenas e Propagação PROF.: Roberto da Costa e Silva Edição: 05/02/2007

1)Principio da Propagação das Ondas

Para se entender como as ondas se propagam vamos considerar o caso de uma linha de transmissão. Nesta linha circulam as correntes de sentidos opostos que alimentam as cargas, sendo assim, o vetor campo magnético que produzem em um ponto do espaço é praticamente nulo, devido ao cancelamento dos efeitos motivados pela direção oposta das correntes. Vamos agora dobrar as extremidades da linha. Note-se agora que a corrente nas extremidades dobradas tem o mesmo sentido e desta maneira o vetor campo magnético não mais se anulará dando origem aos campos eletromagnéticos que se propagam. A figura 1 mostra as linhas de força do campo elétrico numa linha de transmissão e como elas se comportam quando entortamos a linha dando origem a uma antena dipolo. Note que as linhas se fecham no infinito quando a linha é cortada. A figura 2 mostra as linhas de campo se formando e se afastando da antena. Veja que num período T/2(estamos supondo linha de cima positiva e linha de baixo negativa), os campos se formam e se afastam no espaço até /2. No próximo período T/2( a linha de cima fica negativa e a de baixo positiva), as linhas se formam com sentido contrario e se afastam /2, as que já haviam se formado se afastam mais outro /2, totalizando . Para a formação de um novo período as linhas de força do período anterior se fecham no “infinito” e temos assim a propagação das mesmas o que pode ser visto na figura 3. Nestas figuras as linha de campo estando próximas indicam valores de campo altos. As linhas estando mais afastadas indicam valores de campo baixos. Na figura 3 as linhas cheias indicam valores de campo crescentes e as linhas tracejadas indicam valores de campo decrescentes. A figura 2 mostra como em um espaço /2 estas linhas se formam. Num espaço temos a formação de dois conjuntos fechados onde cada conjunto representa uma direção do campo.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

1) Processo de Radiação

1.1) Irradiação por fios Vamos considerar a seguinte figura

Figura 4 Nesta figura os pontos sobre a antena serão escritos com linhas e os pontos fora da antena serão escritos sem linhas. Do mesmo modo o tempo “ t’ ” será contado sobre a antena e o tempo “t” será o tempo contado no espaço. Estes tempos são diferentes pois existe uma velocidade finita de propagação da onda, sendo no vácuo de 3*108 m/s. A função J(r’) representa a densidade superficial de corrente em A/m2 na antena, esta função pode ser constante ou variável com a distancia “ r’ ” sobre a antena.

)()(.

)(

)()(

formulas pelas calculadosser podem t instante no )tI( corrente pelaproduzidos P ponto no t instante no magnetico e eletrico campos Os

).tI( corrente a contem que volumeno calculadaser deve integralA

dv onde )(

*4

)(

:por dado sera P ponto no vetor potencial O

)()()()(

:por dada sera corrente de densidade a modo Deste unitario. e não )J(r' assim fio, do longo

ao senoidalou r triangulacontinua, ãodistribuiç se-considera eNormalmentJ(r teremosfio, do longo ao distancia a com variar não corrente a Quando

1. sendo como )J(r' considerar se-deve uniforme ãodistribuiç uma Para fio. do longo ao corrente da uniforme não ãodistribuiç uma se-ter

permite que função a sendo como )J(r' função a considerar vamosisto

para e fio no corrente de densidade acalcular Vamos .)'I(t

por dada corrente uma circule fio neste que considerar Vamos

20

20

02

0

~

'0

rtjwAjw

rtArtE

rtxArtH

dzrR

dVtrJrtA

rerJI

rrJtI

trJ

eI

V

tjw

jwt

−

∇∇=

∇=

′′

′

=′′

=

′=

′′=′′

=

′

µε

µ

ππµ

ππ

potencial. o determinar se-quer onde ponto ao volumedo ponto cada de distancia a R sendo )rJ( função a contem que

volumeno feitaser deve integral a onde )(

4)(

:por se-pode modo deste e )()trJ(

:por se-pode assim e )(

)(chamar vamos

)()()()( :por

se-pode fato este se- Usandos.dieletrico meios para somente vale

igualdade ultima esta onde 1

onde : valee

ainstantaneser não onda da propagação de e velocidada devido t tempoao relação em atrazado esta t tempoo que se-Note

20

0

20

02

0

)(

02

0

0

′

′=

′=′′

′=′

′=

′=

′=′′

==−=′

′

−

−

−−′

RdVetrJ

rtA

etrJ

rrJeI

trJ

reerJI

rerJI

rerJI

trJ

wv

vR

tt

Rj

Rj

jwt

RjjwtvR

tjwtjw

β

β

β

πµ

π

πππ

µεβ

Projetar-se uma antena consiste na pratica em se determinar a função J(r’). Uma vez que a mesma seja conhecida consegue-se mediante o uso de formulas matemáticas determinar-se os campos iradiados. 1.2) Irradiação por superfícies A irradiação também pode acontecer por uma superfície que não seja um fio. Para entendermos como uma superfície pode irradiar, vamos nos lembrar do principio de Huygens o qual afirma que toda frente de onda pode ser considerada como uma nova fonte de ondas. Sendo assim vamos supor que na figura 5-A exista uma fonte de ondas J1 e M1 as quais produzem os campos E1 e H1. O valor J1 representa uma densidade de corrente elétrica(A/m2) e M1 uma densidade de corrente magnética(V/m2), a qual sabemos ser fisicamente não realizável. Esta corrente magnética vai produzir

um vetor potencial elétrico F e um potencial escalar magnético m, a partir dos quais os campos elétrico e magnético podem ser determinados por:

jwFHFE m −−∇=×∇−= φε

e 1

Onde “F” é o vetor potencial elétrico e m o potencial escalar magnético. Este vetor potencial elétrico seria calculado por:

−

=V

jkR

dVR

eMF

πε

4

O campo magnético “H” pode ainda ser calculado por:

⋅∇∇+−=µεjwF

jwFH

A corrente elétrica “J” ira produzir o vetor potencial magnético “A” e o potencial escalar elétrico , a partir dos quais os campos elétrico e magnético podem ser calculados por:

jwAjw

AjwAEAH −

+⋅∇∇=−−∇=×∇=

µσµεφ

µ e

1

Assim um campo elétrico ou magnético pode ser formado por duas parcelas,uma devido ao vetor potencial magnético “A” e outra devida ao vetor potencial elétrico “F”, sendo o campo total dado por:

FA

FA

HHH

EEE

+=+=

Isto posto, vamos dividir o espaço em duas regiões V1 e V2 através de uma superfície S1. Deste modo pode-se raciocinar que na superfície S1 existam correntes equivalentes Js e Ms as quais produzem na região V2 o mesmo campo E1 e H1. Esta superfície se comporta baseada no principio de Huygens como origem de um novo campo. Para que isto aconteça o campo na região V1 deve ser dado por E e H, satisfazendo as seguintes condições na fronteira das duas regiões:

( ) ( )

11

1

11

e

:em resultando 0E

por se-pode V região na osinteressad estamos não como

e

EnMHnJ

H

EEnMHHnJ

ss

ss

×−=×=

==

−×−=−×=

Onde Js e Ms são densidades lineares de corrente eletrica(A/m) e densidade linear de corrente magnética(V/m). Utilizando agora a figura 5-B, onde a origem do sistema de coordenadas está próxima da superfície S1 que é a mesma da figura 5-A, vamos supor que existam fontes de correntes Js e Ms, nesta superfície. Estas fontes produzem na região de campo distante vetores A e F que podem ser calculados fazendo-se:

sdeJ

Nr

esd

Re

JA

rrR

rjs

rjRj

s

′=

=′=

=′−=

′

−−

ϕβ

ββ

πµ

πµ

ϕ

cosN

:onde 44

:por dados são vetoresOs amplitude. de variaçõesnasr Re fase de variaçõesnas cos

′=

=′=

′

−−

sdeML

Lr

esd

Re

MF

rjs

rjRj

s

ϕβ

ββ

πε

πε

cos

44

Com o auxilio das equações de Maxwell transformadas, dadas abaixo, onde estamos supondo que o meio seja não condutor ou seja = 0.

)(1

1)(

Fw

jFjwAH

FAw

jAjwE

⋅∇∇−−×∇=

×∇−⋅∇∇−−=

µεµ

εµε

e das expressões dos vetores A e F vistos acima chega-se as seguintes equações para os campos eletromagnéticos na região de campo distante, ou seja na região onde a dependência com r é do tipo 1/r.

Onde os vetores N e L podem ser calculados por:

( )( )

′++=′=

′++=′=′

′

′

′

sdezMyMxMsdeML

sdezJyJxJsdeJNrj

rj

zyxrj

s

zyxrj

s

ϕβ

ϕβ

ϕβ

ϕβ

cos

cos

cos

cos

Em coordenadas esféricas teremos:

( )( )( )( )

′+−=

′−+=

′+−=

′−+=

′

′

′

′

sdeMML

sdeMMML

sdeJJN

sdeJJJN

rjyx

rjzyx

rjyx

rjzyx

ϕβφ

ϕβθ

ϕβφ

ϕβθ

φφ

θφθφθ

φφ

θφθφθ

cos

cos

cos

cos

cossin

sinsincoscoscos

cossin

sinsincoscoscos

( )

( )

+−=

−=

−=

=+−=

≅=

−

−

−

−

ηπβ

ηπβ

ηπ

βεµηη

πβ

φθ

β

φ

θφ

β

θ

φθ

β

φ

θφ

β

θ

LN

rej

H

LN

rej

H

NLr

ejE

NLr

ejE

HE

rj

rj

rj

rj

rr

4

4

4

4

0

Figura 5 Considerando-se agora a figura 5-C pode-se supor a superfície S1 como sendo um plano e assim a depender da orientação deste plano teríamos:

ydxdsdyxr

zdxdsdzxr

zdydsdzyr

′′=′′+′=′′′=′′+′=′′′=′′+′=′

:para sinsinsinsincos :para cossinsincos :para cossinsincos

φθφθϕθφθϕθφθϕ

Deste modo as integrais podem ser calculadas usando-se:

2

2sin

2/

2/ c

c

cdzec

c

zj

α

αα

=−

E os campos irradiados por superfícies planas podem enfim serem determinados.

2) Características das Antenas

Quando se trabalha com uma antena em primeiro lugar deve-se considerar a distancia onde deseja-se calcular o campo produzido por esta antena. Vamos considerar que se está interessado numa região considerada como sendo de campo distante. Esta região é definida como sendo aquela em que a distancia de qualquer ponto onde se deseja calcular o campo a antena seja dada por:

utilizado onda de ocompriment o é e antena da dimensãomaior a é D

:onde 2 2

λ

λD

d ≥

É a partir desta região que uma antena produzira uma onda plana. Para distancias menores do que a calculada se estará dentro da região de campo próximo, onde as formulas deduzidas para campo próximo não valem. É usual na pratica adotar-se a expressão d > 10, para se definir a região de campo distante Uma antena é caracterizada pelos seguintes parâmetros:

a) Banda de freqüência b) Ganho

c) Diagrama de irradiação d) Impedância e) Polarização

Vamos definir primeiramente o que sejam ganho e diagrama de irradiação. Para isto vamos definir: W = potencia irradiada ou recebida por uma antena de teste Wr = potencia irradiada ou recebida por uma antena de referencia S = densidade de potencia irradiada por uma antena de teste Sr = densidade de potencia irradiada por uma antena de referencia W’ = potencia recebida por uma antena de teste Wr

‘= potencia recebida por uma antena de referencia

r4

WS

:modo deste direções, as todasem nteuniformemeirradia que antena uma sejaou onal,omnidireci antena uma seja testedeantena a que considerar Vamos .),,( :escrever se-pode modo

deste e posição da função uma é Poynting de vetor o que se-Sabe

:sendo como antena uma de deDiretivida se-define

20

0 π

φθ

==

=

′′

==

r

rr

S

rfS

WW

SS

D

Aplicando-se este conceito considerando-se que a antena de referencia seja um radiador isotrópico, ou seja uma antena omnidirecional em todas as direções pode-se escrever( Sr = S0 e Wr = W0 )

Ω=

=

Ω=

Ω=

≤≤

=Ω

=

==

=Ω

Ω=

==Ω

Ω===

==

df

dff

dfSfS

D

funçãoAf

fSd

SD

radiaçãodeeIntensidadSrddW

SrdW

ddrds

d

poisdSrddSrSdsW

WSr

SS

D

SSM

M

S

SSS

o

),(4

D

:então 1,),f( quando ocorre dediretivida da maximo

valoro que doConsideran ),(

),(4),(

),(4:por se-pode Assim antena. da radiação

de diagrama o fornece que a é ),( U .1),(0

:onde constante,r para ),(SS doconsideran 4

:escrever se-Pode antena uma de Use-Define

Sr se-fazendo e d

:se-Fazendo sin

: sin

por expressaser pode radiada potencia a como 4

max

M

2

2020

2

220

2

0

φθπ

φθ

φθφθπ

φθφθπ

φθφθ

φθπ

φθθ

φθθ

π

Supondo-se que a função “ f “ seja do formato de um cone, conforme pode ser visto na figura 6A então a expressão fica:

graus) em (valores41253

radianos) em (44

00max φθθφππ =≅

Ω= valoresD

Figura 6A Define-se ganho da antena como sendo :

antena da rendimento o é onde max RRDG ηη= O rendimento de uma antena depende dos seguintes fatores: a) Casamento da antena b) perdas ôhmicas na antena c) eficiência de irradiação A banda de freqüência compreende a faixa de freqüência na qual o ganho da antena se mantém dentro de 3 db, a mesma define a largura de faixa na qual a antena pode operar sem perda das suas características. A impedância da antena é o valor da carga que a mesma apresenta quando ligada a um gerador ou um receptor. Quando a antena esta descasada tem-se perda de

potencia devido ao descasamento. A polarização da antena esta relacionada ao tipo de polarização da onda que a mesma produz ou recebe. Existem antenas de polarização simples e dupla. A figura 6B a seguir mostra a largura de banda de uma antena.

Figura 6B

3) Dipolo Infinitesimal Vamos iniciar nosso estudo de antenas analisando a antena denominada de dipolo infinitesimal ou dipolo elementar. Vamos considerar a figura 7 a seguir.

Figura 7 Vamos considerar a figura 7 A. O dipolo é dito infinitesimal quando seu comprimento total “l” for menor que /50. Seja r0 o raio deste dipolo, onde r0 << l. Seja R a distancia de qualquer ponto do dipolo a um ponto afastado e r a distancia do ponto (0,0,0) a este mesmo ponto. Para este caso a corrente neste dipolo pode ser expressa por:

0A sin e cos:esfericas scoordenada se-doconsideran então

4 : teremosassim 1e pois

: valeintegral a ,z como 4

A

:fica integralA . l pois r,R

colocamosr denominado no onde ,4

A

: teremosassim ,

4)(

4A

: valeramagnetico potencial vetor do valor o z, eixo dosentido o tenha)tI( corrente a que se-supondo Assim, .cos

:que se-7A ve figura Pela 1.)rJ( pois )(

0

)(0coscos

max0

cos)(

0z

0

)cos(0

z

20

20

0z

20

0

=−==

=≅=

<<==

<<<≅

=

=

=′

=

′−=

=′=′

−

−

−−

−−

φθ

βθβθβ

θββ

θβ

ββ

θθ

πµ

λπ

µ

πµ

πππ

µπµ

θπ

zzr

l

rwtj

zzjzj

l zjrwtj

l zrjjwt

V

jwtRj

V

Rj

jwt

AAAA

rleI

Aeldze

ldzer

eI

R

dzr

eeI

dzrdVonde

dVRreeI

dVRetrJ

zrR

reI

trJ

Considerando-se que estamos em um meio onde = 0, então pode-se calcular os campos eletromagnéticos pelas formulas:

.377 ar vale o para que

onde )11

1(4

sin

)1

1(2

cos

)1

1(4

sin

0H

:se-obtendo , e

)(22

0

)(2

0

)(0

r

Ω=

−+=

+=

+=

==

−

⋅∇∇=×∇=

−

−

−

εµη

ββπθµ

βπθη

βπθβ

µεµ

βθ

β

βφ

θ

Rwtj

Rwtjr

Rwtj

errjr

lIjwE

erjr

lIE

erjr

lIjH

H

jwAjw

AE

AH

Na região de campo próximo ( r < 10) os campos são dados por:

30

30

20

4sin

2

cos

4sin

rlIj

Er

lIjE

rlI

H r πβθη

πβθη

πθ

θφ−=−==

Veja que nesta região os campo elétrico e magnético estão defasados de 900,

e isto se deve ao fator “j” da equação. Deste modo este defasamento faz com que o vetor médio de Poyting seja nulo, conforme se pode ver pela formula:

)cos(21

0)Re(21 *

MEmmHEHES ψψ −==×=

Na região que nos interessa a região de campo distante (r>10) os campos valem:

µεβηβµ

πθµ

πθβ

φ

θ

θφ

θφ

ww

rlIjw

Er

lIjH

HHEE rr

===

==

====

pois HE

:que veja4

sin

4sin

0

00

O vetor de Poyting médio vale:

[ ]∗×== φθπθηβ

HEr

lISr Re

21

32sin

22

2220

2

2

2220

22

32sin

πθηβ lI

SrU rr ==

PU

PSr

D rr ππ 44 2

==

A potencia irradiada por um dipolo infinitesimal vale:

( ) ==×= ∗π π

φ λπφθθη 2

00 2

220

222 40sin

2Re

21 lI

ddrHdsHEP

Veja que esta potencia está sendo transmitida na direção “r”( note que a direção é dada pelo vetor de Poyting), e se a mesma, fosse dissipada em uma resistência que será chamada de resistência de irradiação da antena, poderia se escrever:

aresistenci desta valor o 80R

antena da irradiação de aresistenci a R sendo 2

22

r

r

20

=

=

λπ l

RIP r

4) Dipolo de comprimento Finito Vamos considerar agora um dipolo de comprimento finito, conforme mostra a figura 7, e vamos considerar também que o raio deste dipolo r0 seja bem menor que o comprimento do mesmo( r0 << l), na pratica isto é conseguido quando se tiver : r0 < / 40. Com esta hipótese a corrente no dipolo poderá ser dada pela seguinte equação: zBzAzI ββ sincos)( += sujeita as seguintes condições de contorno: 0)2/()2/( e )0()0( =−==== lIlIIIzI AD Onde IAD é a corrente no ponto de alimentação do dipolo. Com estas condições é possível se determinar os valores das constantes A e B na formula proposta da corrente no dipolo.

±==

2sin

2cos

e l

l

IBIA ADAD β

β

A equação fica então:

zl

lIzIzI AD

AD ββ

ββ sin)2/sin(

)2/cos(cos)( ±=

A qual pode ser posta na forma:

( )

)2/sin( :I onde

)2

(sin)2

(sin)2/sin(

)(

)2/cos(sin)2/sin(cos)2/sin(

)(

0maxmax

max

lI

IIvale

zl

Izl

lI

zI

lzlzl

IzI

AD

AD

AD

β

βββ

βββββ

==

=

=

±=

Convem notar-se que fazendo-se : ......1,3,5,7,9,n onde 42

== λn

l

Teremos sempre: ADII =max . Deste modo vamos considerar que a corrente no dipolo seja dada por:

λπββ

β2

onde 0zl/2- para ))2/(sin()(

:e l/2z0 para ))2/(sin()(

0

0

=≤≤+=′

≤≤−=′

jwt

jwt

ezlIrI

ezlIrI

Assim na região de campo distante vamos pensar que o dipolo de comprimento finito, seja formado por infinitos dipolos elementares de comprimento dz, cada um carregando uma corrente dada por I(r’). Deste modo cada dipolo deste produzira um campo distante dado por:

)(0

0

4sin

elementar dipolo do equação na )(I e dzl

:se-fazendo obtida foi equação esta 4

sin)(

Rwtj

Rj

eRlIjw

E

rIr

dzerIjwdE

βθ

β

θ

πθµ

πθµ

−

−

=

′==

′=

Vimos pela figura 8 que: R = r – z cos. O campo total pode ser determinado fazendo-se a integral ao longo do comprimento total da antena. Com a substituição de “R” a integral fica, lembrando que no denominador pode-se considerar, r R, e estamos omitindo a variação temporal ( ejwt ).

−

−

−

−−

−

′=

′==

2/

2/

cos

2/

2/

)cos(2/

2/

)(4sin

4sin)(

l

l

zjrj

l

l

zrjl

l

dzerIr

ejwE

dzr

erIjwdEE

θββ

θ

θβ

θθ

πθµ

πθµ

Substituído-se I(r’) pela equação vista: [ ]

−==

−=

=′

−

−

θ

βθβ

πη

θ

βθβ

πη

β

βθ

φ

β

θ

sin

)2/cos()cos2

cos(

2

sin

)2/cos()cos2

cos(

2E

:se-obtem integral a se-resolvendo e )2/(sin)(

0

0

0

ll

rejIE

H

ll

reIj

zlIrI

rj

rj

O vetor de Poyting médio valera: )Re(21 ∗×= φθ HESr obtendo-se:

2

22

20

sin

)2/cos()cos2

cos(

8

−=

θ

βθβ

πη l

l

rI

Sr

A potencia irradiada por um dipolo longo valera:

[ ]

==

−+++−+−+

=

−==

∞−

xx

Sr

dzz

zxSidz

zz

xCionde

lCilCill

lSilSillCilIP

dllI

dsSP

0

20

0

220

sin)( e

cos)( :

)](2)2()2/ln(5772.0)[cos(5.0)](2)2()[sin(5.0)()ln(5772.0

4

sin2/cos()cos2/cos(

4

βββββββββ

πη

θθ

βθβπ

η π

Estas integrais estão tabeladas e se chamam integral coseno e integral seno.

Estamos aptos agora para calcularmos o ganho e o diagrama de radiação dos dipolos elementar e longo, porem vamos primeiramente entender o que é diagrama de irradiação de uma antena.

5) Diagrama de Irradiação Denomina-se diagrama de radiação de uma antena os gráficos da função U(,), intensidade de radiação em dois planos perpendiculares. Um dos planos é obtido fixando-se e variando-se , e o outro fixa-se e varia-se . Estes planos denominam-se planos E e H. Para obtenção do plano E faze-se = 00 e varia-se . Para obtenção do plano H faz-se = 900 e varia-se . A figura 9 tenta melhor esclarecer.

Irradiação de eIntensidad ),(),( 2 = φθφθ SrU

Figura 9 É usual apresentar-se os diagramas de radiação normalizados, ou seja:

H plano ),90(

E plano )0,(

max

max

UU

U

UU

U

N

N

φθ

φθ

==

==

Também é usual expressar-se estes diagramas em db:

Ndb UU log10= A potencia radiada por uma antena pode ser calculada por:

Ω

Ω===π π

φθφθθφθ2

0 0

2 ),(sin),( dUddrSSdsPS

Numa região de campo distante teremos sempre:

),(21

),( 2 φθη

φθ θES =

Denomina-se radiador isotrópico uma antena teórica onde: IsotropicoRadiador tan),( 0 == teconsUU φθ

Para um radiador Isotrópico teremos:

02

22 4),(4

),(4),(4 UU

rUr

SrP πφθπφθπφθπ ====

Vejamos agora as formulas da intensidade de irradiação para o dipolo elementar e o dipolo longo:

longoDipololl

lIU

sin

)2/cos()cos2/cos(8

I),U(

Elementar Dipolo 32

sin),(

2

2

20

2

2220

2

−=

=

θβθβ

πηφθ

πθηβφθ

Vamos apresentar um exemplo de diagrama de radiação na figura 10 abaixo

Figura 10 6) Resistência de Irradiação

Como vimos a resistência de irradiação pode ser entendida como um valor de resistência que dissipa a potencia irradiada pela mesma. Funcionaria como se a antena ao invés de irradiar uma potencia dissipa-se a mesma em uma resistência. Esta resistência é definida por:

antena da radiação de aresistenci a é R onde 2 r

20 = rRI

P

Vimos que para o dipolo elementar esta resistência é dada por: 22 )/(80 λπ lRr = Para o dipolo longo esta resistência vale:

−+++−+−+

=)](2)2()2/ln(5772.0)[cos(5.0

)](2)2()[sin(5.0)()ln(5772.02 lCilCill

lSilSillCilRr ββββ

βββββπ

η

Calculando –se este valor para o dipolo longo de comprimento l = /2 encontra-se o valor de Rr = 73,2 .

7) Ganho da Antena O ganho de uma antena é como foi visto o produto de sua diretividade pelo seu rendimento e é dada pela seguinte formula:

antena da rendimento o é :onde RηηRDG = O rendimento de uma antena depende basicamente de dois fatores:

a) O casamento da antena com o cabo ou guia que a alimenta. b) A resistência de perda ôhmica da antena. Deste modo o rendimento da antena pode ser dado pelo produto de dois fatores, sendo o primeiro devido ao descasamento e por isto chamado de fator de descasamento ( er ), e o segundo devido as perdas ohmicas e por isto chamado fator de perda ôhmica ( el ). Estes fatores são dados pelas seguintes formulas:

metros em antena dacondutor do al transversseção da perimetro o é Pmetros em antena da ocompriment é L

antena a feito é que do material do eletricas constantes as são e

hz em antena da operação de frequencia a é f onde R

:por dada antena da perda de aresistenci a é R

e antena da radiação de aresistenci a é R :onde e

antena. a alimenta

que linha da impedancia Z antena da impedancia Z

:onde Z

:por dado antena, da reflexão de ecoeficient o é onde 1

L

L

Rl

LA

A

2

σµσπµ

ρ

ρρ

fPL

RRR

ZZZ

e

LR

R

LA

L

r

=

+=

==+−=

−=

O rendimento da antena é dado pelo produto destes fatores.

lrR ee=η

8) Dipolo de meia onda e comparação de ganhos A antena mais popular é o dipolo de meia onda, ou seja o dipolo longo com comprimento total de /2. Para este dipolo o ganho do mesmo vale:

2

sin

)cos2

cos(64.1),(

=θ

θπ

ηφθ RG

Veja que o ganho não depende do ângulo e é máximo para = 900 valendo 1.64 ou 2.1 db (10log1.64 = 2.1). Vimos que a resistência de irradiação deste dipolo é de 73.2 ohms. Os campos produzidos por este dipolo valem:

2

2

20

0

0

sin

)cos2

cos(15

sin

)cos2

cos(

2

sin

)cos2

cos(60

=

=

=

θ

θπ

π

θ

θπ

π

θ

θπ

φ

θ

rI

S

rI

jH

rI

jE

O ganho para o dipolo elementar vale:

θφθ 2sin5.1),( =G Note que o ganho também independe do ângulo e é máximo para = 900 . O valor máximo deste ganho é de 1.5 ou 1.76 db. Para o radiador isotrópico teremos ganho unitário independente dos ângulos e .

9) Teorema da Reciprocidade

Vamos mostrar que uma antena funciona do mesmo modo quando esta transmitindo ou recebendo. Sendo assim podemos considera-la do ponto de vista de receptor ou transmissor a depender do caso, e esta consideração facilita seu estudo. Vamos considerar a figura 11 abaixo: Considerando o meio como um quadripolo, conforme sugere a figura 11 pode-se escrever:

2112

2222112

1221111

Z:que considerar se-pode isotropico

elinear homogeneo, meio o doconsideran

Z

ZIZIV

ZIZIV

=+=+=

Vamos aplicar estas equações considerando primeiramente que a antena do lado esquerdo esta transmitindo e a do lado direito recebendo, e depois vamos considerar o contrario ou seja que a antena do lado esquerdo esteja recebendo e que a do lado direito transmite.

Figura 11 Sendo assim teremos:

receba direita da a e transmitaesquerda da antena

a que se-doconsideran obtido foi isto ))((

I

:se-encontra quadripolo do equaçõs nas

equações estas se-usando e

2122211

122

2211

ZZZZZZV

ZIVZIVV

LT

G

LTG

−++−=

−=−=

2122211

121

2211

))((I

: teremosquadripolo do equações nas equações estasse- Usando. transmitadireita da a e receba esquerda da antena a

que supondo estamos agora onde e

ZZZZZZV

ZIVVZIV

LT

G

LGT

−++′−=′

′−′=′−=

Comparando-se estas equações das correntes nos dois caso pode-se por:

12

G12 I

Vou

IV

VIVI GGG ′

′=′=′

E se fizermos VG = V’G pode-se ver obrigatoriamente que deve-se ter I2 = I’1

Isto nos provando que as antenas funcionam do mesmo modo tanto transmitindo quanto recebendo, ou seja as correntes produzidas e induzidas são as mesmas.

11) Área Elétrica e Comprimento Elétrico de uma antena

Vamos considerar uma antena na presença de um campo elétrico, e vamos supor que seja “S” o vetor de Poyting deste campo. Este campo ira produzir na antena uma corrente que alimentara o receptor ligado a mesma, transferindo deste modo energia do campo para o receptor. Deste modo a antena pode ser vista como sendo um gerador de tensão alimentando uma carga que é o receptor. Vamos supor que exista casamento de impedância entre a antena e o receptor. A figura 12 sintetiza o que foi dito.

Figura 12 Pode-se definir área elétrica de uma antena como sendo a potencia máxima que a mesma entrega a uma carga dividida pelo valor do vetor de Poyting que atinge a antena.

SP

Aemax=

Deste modo a antena é pensada como um objeto que retira potencia da onda quanto maior for sua área mais potencia a mesma conseguira retirar da onda. Vimos que:

2

1

2

1

2

1

R

R

2

1

2

1

2

1

2

: então recebida potencia a sera

maior eletrica, area amaior quanto sejaou Ppor se-odeonda. uma de retira mesma a que potencia a

alproporcion ediretament éou produz mesma a que Poyting devetor ao alproporcion ediretament é antena uma de ganho o assim sendo

SdsP

: valeantena umapor recebida potenciaA GG

:sejaou produz mesma a que Poyting de vetor o seramaior quantoantena uma de ganho omaior quanto Poyting, de vetor e ganho entre

lidadepropociona existe que ver se-pode assim r Ue 4

AA

SS

PP

SAP

UU

SS

SPU

G

R

R

E

==

=

=

==

==

π

Vamos considerar agora a figura 11 e supor que :

carga. da impedancia a Z

Seja mesma. da radiação de aresistenci a é R e

antena da perda de aresistenci a é R onde )(

L

r

p

LL

GrpG

jXR

jXRRZ

+=

++=

O valor da corrente induzida na carga valera:

22

22

22

)()(22I

P

: valeiradiada potenciaA )()(

LGLrp

rGr

LGLrp

G

XXRRRRVR

XXRRRV

I

++++==

++++=

A potencia máxima irradiada ocorre quando se tiver ∗= LG ZZ ou seja:

0R que supondo estamos onde X e pG ≅−== LLR XRR

A equação ficara:

r

G

RV

P42

1 2

max =

A área elétrica valera portanto: SR

VA

r

GE 8

2

=

Considerando o dipolo infinitesimal teremos:

π

λπ

12021

S

: valeraregião nesta Poyting de vetor O

)(80

2

22

E

lR

ElV

r

G

=

=

=

Substituindo estes valores na expressão da área elétrica resulta na sua

formula para o dipolo infinitesimal: π

λ4

5.12

=eA

Usando-se as expressões entre área e ganho pode-se verificar que considerando o radiador isotrópico e o dipolo infinitesimal conclui-se:

πλ4

A

logo 5.1G 1G como

2

eRI

DIRI

=

===eDI

eRI

DI

RI

AA

GG

Generalizando-se para o radiador isotrópico e uma antena qualquer encontra-se a formula da área elétrica de uma antena:

πλ4

2

GAe = que como era de se esperar a área elétrica é um

sinônimo de ganho, ou seja quanto maior for o ganho, maior será a área elétrica da antena. Vamos agora generalizar a relação entre campo incidente e tensão induzida ( VG ), a qual para o dipolo elementar vale: VG = E*l, fazendo:

eG EhV = onde he é o comprimento eletrico da antena, ou seja um valor que multiplicado pelo campo elétrico que chega na antena fornece a tensão induzida VG . Vamos supor que a antena esteja numa região de onda plana onde o vetor

de Poyting vale: π1202

1 2ES =

Neste caso pode-se por:

eletrico ocompriment 0291.0120

h

:resultando 1202

148

)(8

e

2222

max

===

====

rr

er

e

r

G

GRGR

EGSA

REh

RV

P

λπλ

ππλ

12) Formula de Friis

Sejam duas antenas radiadores isotrópicos separadas de uma distancia “r”. Uma delas esta transmitindo uma potencia “PT“ e a outra recebe uma potencia “PR” dada por:

)log(*20)log(*2044.32)(a:resulta db em exp

61.175410*9

10*10*16

:resulta Mhz em f e km emr se-oexpressand

livre espaço do atenuação 10*9

16

10*3 vacuoo para que lembrando 16

444P

4

0

222216

1262

0

022

16

2

8

2

22

2

22

R2

Mhzkm

MhzkmMhzkm

R

T

R

T

TE

T

frdb

seressando

frfra

afrPP

fr

PP

rP

SSAr

PS

++=−

==

===

==

====

π

π

λλ

π

ππλ

πλ

π

13) Temperatura de ruído de uma antena

antena da banda*Boltzman de const.antena pela recebida ruido de Potencia

T

:por definida é antena uma de ruido de aTemperatur

==kBP

A

A constante de Boltzman vale: 1.38*10-23 J/K0 A temperatura de ruído da antena praticamente não depende do seu ganho e apenas da sua freqüência de operação e seu valor médio vale conforme Tabela 1: Freq( Mhz)

1 5 10 20 30 100 400 1000 10000

TA( K0)

2.6*107 106 2.6*105 6.5*104 3*104 2500 200 100 50

Tabela 1 14) Impedância de uma Antena Seja a figura 13 a seguir:

Figura 13 Aplicando-se uma tensão “V” nos terminais de alimentação da antena conforme mostra a figura 13, esta força eletromotriz ira produzir na antena a circulação de uma corrente I(z), que como vimos pode ser dada por:

[ ] )2/(sin)( 0 zlIzI β= Veja que a corrente varia ao longo do comprimento da antena e I0 é o seu valor máximo, e não esta necessariamente no ponto de alimentação.

Figura 13 A certa distância “r” da antena esta corrente ira produzir um campo externo “Ez” dado por:

)( :por dada Z

ncia transferede impedância da atravez I(z) corrente a com mentação

-ali de ponto no V"" F.E.M. a relacionar se-Pode ),(

11z

0

zIV

Z

fEE

z

z

=

= φθ

O campo externo “Ez” induzira na própria antena um campo “Ei” de modo que o campo total no condutor da antena seja praticamente nulo (será nulo se a antena for um condutor perfeito), deste modo pode-se por:

iizT EEEE −=≅+= zE :logo 0 Em cada elemento dz da antena o campo interno “Ei” produzira uma diferença de potencial dada por:

dzEzdVdzEzdV zi −== )( :por se-pode e )( Pelo teorema da reciprocidade, considerando-se a antena e o meio linear, homogêneo e isotrópico, esta diferença de potencial dV(z), produzira no ponto de alimentação uma corrente dI e ambas estarão relacionadas pela impedância de transferência Zz1 .

I(z)dV(z)VdI :assim e )(dI

dV(z)

:por se-pode Zcomo )(

1z11

==

==

zIV

ZdI

zdVZ zz

Define-se impedância da antena como a relação entre a tensão e a corrente, no ponto de alimentação da mesma.

A11 Zantena da impedância ====dIdV

IV

Z

Pelas relações vistas pode-se por:

dzEzIP

PPPP

ePjPPdzEzIP

XIRI

jPPjXRIZIVIP

jXRjXRdzEzII

Z

dzEzI

dzEzI

dzEzIzdVzIIdVVdI

z

l

l

IR

jl

l IRz

I

IR

l

l AAzA

l

l z

z

z

−

−

−

−

=

==

=+=−=

==

+=+===

+=+=−==

=

=

−===

2/

2/

2/

2/

112

112

R

11112

112

2/

2/ 1111211

2/

2/

)(21

sin e cos

)(21

:por se-pode e 21

P e 21

P

:onde )(21

21

21

: valeraantena a entregue potenciaA

)(1

Z

: valeantena da impedancia a modo deste )(I1

-V

:antena da longo ao integrando )(I1-

dV

em resultando ))(()()(

ψψ

ψ

Veja que é a diferença de fase entre a corrente na antena (I) e o campo externo (Ez) produzido pela corrente. Examinando-se a figura 13, vê-se que o eixo “z” passa pelo centro da antena. Iremos usar a notação com linha(‘) para designar pontos sobre a antena. Assim um ponto sobre a antena obrigatoriamente terá: y=|a|. e x=|a|, sendo “a” o raio da antena. Assim pode-se escrever:

)2/(R )2/(

)(22

222

1

2222

ylzylzR

yzryzzR

++=+−=

+=+′−=

A impedância da antena valera:

AA

l

l zAD

A jXRzdEzII

Z +=′′−= − ′

2/

2/2 )(1

A impedância de Irradiação da antena valera:

− ′ ′′−=2/

2/20

)(1 l

l zR zdEzII

Z

Veja que a diferença entre as formulas é o valor da corrente. Para calculo da impedância de radiação, usa-se o valor máximo da corrente na antena e para o calculo da impedância da antena usa-se o valor da corrente no ponto de alimentação da mesma. A integral é calculada sobre a antena, bem como o campo externo. O campo externo pode ser expresso pela seguinte formula(cuja demonstração pode ser encontrada no livro Antenna Theory de Constantine A.Balanis nas paginas de 285 á 290):

[ ] )2/sin(

: valeoalimentaçã de corrente a e )2/(sin)(

:onde )2/cos(230

0

0

210

21

lII

zlIzI

re

lR

eR

eIjE

AD

rjRjRj

z

ββ

ββββ

=−=

−+−=

−−−

Esta formula é diferente da encontrada para o dipolo longo anteriormente vista (item 4) porque ela deve ser valida para o campo próximo, já que desejamos calcular o campo sobre a antena. O campo visto anteriormente é valido somente na região de campo distante. Re-escrevendo a equação de Ez para facilitar a identificação de sua fase com I(z), teremos:

[ ])2/(0)2/(

2

0)2/(

1

0

j00

)2/cos(603030

e )2/(sin)(

21 πβπβπβ ββ

−−+−+− ++=

−=

rjRjRjz e

rlI

eR

Ie

RI

E

zlIzI

Assim a diferença de fase “” entre a corrente e o campo valera:

)sin()2/cos(cos

)sin()2/cos(cos

)sin()2/cos(cos

3

222

111

rr

RR

RR

βπβψβπβψβπβψ

=−=−=+=−=+=

Substituído-se estes valores na equação da impedância e calculando a mesma sobre a antena ou seja nos pontos com (x=a, y=a, z), encontra-se:

−−−−+

=

−+++−+−+

=

)]/2()2()(2)[sin(

)]2()(2)[cos()(230

)](2)2()2/ln(577)[.cos(5.0)](2)2()[sin(5.0)()ln(577.0

60

2 laCilCilCil

lSilSillSiX

lCilCill

lSilSillCilR

R

R

ββββββββ

βββββββββ

A impedância de alimentação da antena valera, pois:

: teremosassim x)(sinI

: como 21

21

20

220

β=

==

AD

AADr

I

RIRIP

Ω+≅==

−=

==

6.422.73:em resulta /2 xde caso o para que Veja

antena. da eextremidad a oalimentaçã de ponto do distancia a é x oalimentaçã de ponto ao antena da centro do distancia a é z

:onde 2

:sendo

][sinX e

][sin 22

jZZ

zl

x

xX

xR

R

AR

RA

RA

λ

ββ

Com estas fórmulas pode-se calcular a impedância de uma antena alimentada de qualquer ponto e não apenas pelo centro.

15)Impedância Mutua entre elementos Considere duas antenas dipolo longo, separadas por uma certa distância, conforme figura 14, abaixo

Figura 14 Seja I1 a corrente de alimentação da antena 1, e seja V21 a F.E.M. induzida na antena 2 pela corrente da antena 1. Pode-se afirmar que a impedância mutua entre as antenas 1 e 2 pode ser expressa por:

=

===

−=−=

+==−==

l

z

zz

l

z

m

dzEzII

V

EEIzIzI

VVdzEzII

V

jXRZI

VZZ

0 222

21

2212

211101

11

21211

212112

)(1

:por se-pode I )()(

:se-fazendo )(1

:que vistofoi

Onde E2z representa o campo na antena 2, induzido pela corrente I1 da antena 1. Vimos também que a corrente pode ser expressa por:

[ ]

−=

−+−=

−=−−−

l

o zm

rjrjrj

z

dzEzIII

Z

re

lr

er

eIjE

zlIzI

2221

121

12

2z22

)(1

:por dadaser pode antenas as entre mutua

impedancia a assim )2/cos(230

:por expressoser pode E campo o que e )2/(sin)(21 βββ

β

β

Estes valores foram calculados para o dipolo de meia onda, para diversos valores de separação das antenas e constam da figura 15 a seguir. Esta figura mostra o valor da impedância mutua entre dipolos de meia onda separados longitudinalmente e transversalmente por distancias em função do comprimento de onda. Os gráficos apresentam os valores de resistência e reatância. Mostram ainda os valores em função da relação entre o comprimento do dipolo e seu raio, como parâmetro de separação dos dipolos.

Figura 15

16) Dipolos Gordos Denomina-se dipolos gordos aos dipolos que possuem a (raio) > /40. Para antenas com raio menor do que o especificado os efeitos da espessura são desprezíveis e podem ser tratadas como antenas finas ou seja sem espessura. A espessura do elemento do dipolo afeta sua impedância . Verifica-se que quanto maior for o valor do raio “a” , menor será o valor de Xr . Encurtando-se um pouco o dipolo, verifica-se que o valor de Rr pouco se altera porem o valor de Xr varia bastante. Ao valor do comprimento do dipolo que anula Xr chama-se comprimento ressonante do dipolo. Denomina-se Cr ao valor que multiplicado pelo comprimento do dipolo, fornece seu comprimento ressonante. Este coeficiente depende da relação entre o comprimento do dipolo e seu raio. A figura 16 a seguir apresenta este coeficiente.

Figura 16 Note que este coeficiente varia entre 0,78 e 0,98, e para valores usuais situa-se na faixa de 0,93, fazendo com que a impedância do dipolo fique na faixa de 60 , puramente resistiva. 17) Dipolo sobre Plano Terra Para se resolver o problema do dipolo sobre um plano Terra (condutor perfeito) se lança mão do método das imagens, conforme mostra a figura 17, abaixo.

Figura 17 Deste modo pelo método da imagem a Terra pode ser substituída por outro dipolo, com uma corrente na direção definida pela figura 17a. Os casos de interesse são os mostrados nas figuras 17b e 17c, para os dipolos nas posições horizontal e vertical. Note-se em todos os casos o método das imagens só fornece valores corretos no semi-plano superior, pois os campos sobre o condutor perfeito (plano Terra) são nulos, não existindo campos neste semi-plano. Assim como só temos um semi-plano a potencia que o dipolo propaga é a metade, como a corrente sobre o mesmo não se modifica, sua impedância fica então reduzida a metade do dipolo normal, para atender a equação P=1/2*I2*R

1.235.3622

1111 jjXRZ

Z DNPT +=+==

O dipolo da figura 17c é a popular antena de quarto de onda. Ela tem o mesmo ganho do dipolo de meia onda com metade de sua impedância. 18) Baluns e Dipolos Banda larga 18.1) Dipolo Banda Larga

Quando o diâmetro do tubo com o qual dipolo é feito for menor que 0,05, o dipolo é bastante sensível á freqüência. Quando este diâmetro for maior que 0,05 este dipolo pode funcionar em freqüências diferentes do que foi projetado, constituindo-se numa antena banda-larga. Quando este diâmetro aumenta a resistência de radiação pouco se altera mas a reatância se altera bastante. Para estudar isto usa-se a teoria da antena bicônica. 18.2) Antena Bicônica Nesta antena mostrada na figura 18, a impedância característica da mesma é dada por:

( )

)/2ln(120Z

: valepequeno para qual a )2/cot(ln120)()(

k θ

θθ

=

==rIrV

Zk

Assim uma antena cilíndrica pode ser pensada como uma antena bicônica( ver figura 18.a) onde cada ponto tem uma impedância característica dada por:

a/z pois )/2ln(120)( == θazzZc Deste modo uma antena de comprimento total 2h, tem uma impedância característica media dada por:

−==h

cc ahdzzZh

Z0

)1)/2(ln(120)(1

E deste modo com o auxilio da equação da linha de transmissão:

)tan()tan(

)(0

00 sjZZ

sjZZZsZ

L

L

ββ

++=

Pode-se calcular a impedância da antena com a variação da freqüência. Shelkunoff, assim procedeu e são deles os estudos que mostram o valor da impedância das antenas com esta técnica.

Figura 18.a A técnica usada por Schelkunoff para este estudo foi lembrar que sempre tem-se um máximo da corrente de uma antena a /4 do extremo da mesma, e deste modo calcular a impedância ZL com o uso da equação da linha de

transmissão considerando 24

.2 πλλπβ ==x . Este valor de ZL seria a

impedância de carga que a antena bicônica vê. Deste modo ele considerou a antena como uma linha de transmissão, entregando potencia a esta carga ZL Assim ele calculou:

m

kL Z

ZZ

2

=

Onde Zm é a impedância da antena no ponto de máxima corrente ou seja ZR,( impedância de irradiação da antena) que é conhecida, e com o uso novamente da equação da linha de transmissão calcular a impedância da antena para qualquer freqüência. Esta técnica funciona bem para valores de menores que 30. 18.3) Balluns Balun é um dispositivo que realiza a passagem de um sistema balanceado para outro não balanceado e vice-versa. Denomina-se sistema balanceado aquele sistema, cujos componentes tem o mesmo potencial em relação ao plano terra. Aplicando-se estes conceitos a linhas de transmissão verifica-se que linhas não balanceadas apresentam perdas por irradiação. Em linhas balanceadas isto não acontece pois existirão correntes circulando nos dois sentidos de igual intensidade. Note-se que dobras muito acentuadas provocam o aparecimento de irregularidades ocasionando o desbalanceamento das linhas. Convém lembrar que:

)1(P

: valeutil potencia a que e 11

e

2U

0

0

ρρρρ

−=

−+

=+−=

T

L

L

P

SZZZZ

Existem vários tipos de Baluns, veremos os mais populares: o balun Bazooka e o balun Trombone. A figura 18.b, mostra estes baluns.

Figura 18.b Na parte de cima da figura vê-se o balun Bazooka e na de baixo o balun Trombone. Para estudo do balun Trombone é necessário estudar-se o dipolo dobrado, mostrado na figura 19. 18.4) Dipolo dobrado

Figura 19 O dipolo dobrado pode ser analisado considerando-se a corrente composta de dois modos, o modo linha e o modo antena. Seja V a tensão que alimenta o dipolo vinda da linha. Note que no modo linha esta tensão e composta de duas tensões de V/2, uma em cada dipolo com sentidos opostos devido ao sentido da corrente nos dipolos. No modo antena esta tensão é nula pois as tensões V/2 tem mesmo sentido. A figura 20 a seguir mostra estas tensões.

Figura 20 Sendo assim pode-se escrever as seguintes equações para as correntes totais nos dois modos:

)2/tan( Zonde 2/

I e 2/

0TA ljZZ

VZ

VI

DTT β===

Note que ZT é a impedância dada pala linha de transmissão curto circuitada e ZD é a impedância de um dipolo simples de meia onda. A corrente entregue pela linha vale a soma da corrente IT com metade da corrente IA . Assim a corrente que a linha entrega vale IT mais IA /2. A impedância vista pela linha vale:

Ω≅+==

∞=+

=+

=

300Z

: valeressonante dipolo o para que 1682924Z:finalmente resulta onda meia

de dipolo o para Zcomo 2

42/

in

in

T

jZ

ZZZZ

IIV

Z

D

DT

DT

ATin

Veja que o dipolo Bazooka tem como objetivo tornar idênticas as correntes que alimentam o dipolo, evitando que a corrente seja diferente nos dois ramos do dipolo, devido ao retorno da corrente pelos dois lados da malha de terra do cabo coaxial. O toco de /4, cria uma alta impedância impedindo a circulação da corrente pelo lado externo da malha de terra do cabo coaxial. O balun Trombone casa um cabo de 75 com um dipolo dobrado que tem impedancia de 300 , pois teremos para o valor da potencia na saída do cabo:

C

AA

CC

Z

ZIZ

I

ZIP

4Z

:potencias duas as se-comparando 4

)2

(P

valepotencia esta antena da entrada na

A

21

21A

1

=

==

=

Provando-se o que foi dito. 19) Antenas com ganho maior A figura 21 mostra que a medida que o comprimento do dipolo for aumentando o ganho do mesmo oscila porem sempre apresenta tendência de subir. Assim se desejamos antenas de alto ganho deveremos ter dipolos de vários comprimentos de onda, fazendo com que na pratica a construção destes dipolos seja impossível. Deste modo para conseguir-se antenas de alto ganho faz-se uso de conjunto de dipolos, que será nosso próximo assunto.

Figura 21 20) Conjunto de Antenas Seja a figura 22 abaixo:

Figura 22 Vamos considerar primeiramente que só existam duas fontes radiadores isotrópicos. O campo num ponto distante produzido por estas duas fontes será dado por:

φββ cos :onde e

:por dados são campos Estes 2. fonte pela produzido campo

o é E e 1, fonte pela produzido campo o é E onde

)(02

)(01

2121

drreEEeEE

EEE

rwtjrwtj −=′==

+=

′−−

Deste modo o campo E2, pode ser expresso por:

φβϕβϕϕφββ cos onde eeE r)-j(wtj01

cos)(02 deEeeEE jdjrwtj ==== −

E o campo total “E” por:

)(

0021 )( rwtjj eeEEEEE βϕ −+=+=

Mantendo-se sub-entendido )( rwtje β− resulta:

( )

( )

=+=

=

+=

=++=

=++=+=

−

2cos

2sin2sin e cos1

21

2cos

:que temospois 2cos1

sintan

)2/cos(2sin)cos1(

:onde sincos1

2

1

22

0000

ϕϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕ

B

A

AeEjEeEEE jBj

Deste modo a expressão para o campo total E pode ser posta na forma:

20 2

cos2ϕϕ j

eEE

=

Analisando-se esta expressão, vê-se que a amplitude do campo resultante das duas fontes é composta pelo produto de dois fatores:

a) A amplitude do campo da fonte isotrópica: 0E

b) Um fator devido ao conjunto: ( )2/cos2 ϕ A fase do conjunto difere da fase de uma das antenas pelo fator dado por: 2/ϕ

Generalizando-se esta demonstração para duas antenas quaisquer, onde E0 fosse seu diagrama de irradiação, dependente dos ângulos e , pode-se expressar a seguinte regra geral: “ O diagrama de irradiação de um conjunto de duas antenas iguais é o produto do diagrama de uma antena do conjunto pelo fator do conjunto e a fase do conjunto é a soma da fase de uma antena do conjunto com a fase do conjunto”. Vamos agora retomar a figura 22, supondo a existência de “n” fontes iguais e igualmente espaçadas. Seja E0 o campo produzido por cada uma destas fontes e = dcos a defasagem entre elas. O campo total “ E” pode ser expresso por:

).........1(

:ou .........)1(32

0

)1(0

30

2000

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

−

−

+++++=

+++++=njjjj

njjjj

eeeeEE

eEeEeEeEEE

Expressão que ainda pode ser posta na forma:

( )[ ] ( )[ ]ϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕ

ϕϕ

jnjnjjjj

jnjjjj

jn

x

xj

eeeeeEEeE

eeeeEEe

eeEE

++++++==−

++++=

=

−

=

−

..E- ..1)e-E(1

:resulta ,Ee-E :se-fazendo ),.........(

:resulta ,por expressão esta se-ndomultiplica

0)1(2

0j

j320

1

)1(0

resultando em:

( )( )

( )( )

conjunto defator do fase de diferença a representa )

amplitude em conjunto dofator o representa 2/sin2/sin

)

menteindividual antena cada de campo o representa E a)

: temosonde 2/sin2/sin

11

11

:portanto )1()1(

2)1(

0

2)1(

000

0

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

−

−=

−−=

−−=

−=−=−

nj

nj

j

jn

j

jn

jnjj

ec

nb

en

Eee

Eee

EE

eEeEEeE

Para chegar-se a esta conclusão usou-se:

2cos e

2e

sin

1 e 1

j

222222

αααα

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ααjjj

jjjj

jnjnjnjn

eeje

eeeeeeee

−−

−−

+=−=

−=−

−=−

21) Conjunto Broadside e Conjunto Endfire

Denomina-se conjunto Broadside ao conjunto formado por duas antenas idênticas, separadas por uma distância “d “ e alimentadas por correntes iguais e de mesmo sentido. Neste caso, pode-se escrever:

( )

cos2

:sendo e :pois

000

φ

βββββ

drrrrrrr

eeeEeEeEEEE

BA

rjrjrjrjrjBA

BA

=∆∆−=∆+=

+=+=+= ∆∆−−−−

)cos(2

:em resulta 2

cos

0 reEE

eer

rj

rjrj

∆=

+=∆

−

∆−∆

β

ββ

ββ

No conjunto Endfire as duas antenas estão alimentadas por correntes iguais mas de sentidos opostos, assim teremos:

( )

)sin(2

2)sin(

0

000

rjeEE

jee

r

eeeEeEeEEEE

rj

rjrj

rjrjrjrjrjBA

BA

∆=

−=∆

+−=+−=+=

−

∆−∆

∆∆−−−

β

β

β

ββ

βββββ

Veja que a diferença entre estes conjuntos é que um é máximo para = 00 enquanto o outro é mínimo. Temos o oposto para = 900 ou seja um tem o maximo no eixo das antenas enquanto o outro tem o maximo a 900 do eixo das antenas. A figura 23 abaixo mostra o conjunto, onde no caso broadside as antenas tem correntes I tanto em A como em B, e no caso endfire a antena A tem corrente –I e a antena B corrente I, conforme tabela 2

Antena A Antena B Conjunto I0 I0 Broadside -I0 I0 Endfire

Figura 23

22) Ganho do Conjunto Vamos supor dois dipolos perpendiculares ao plano do papel e separados por uma certa distânçia d, conforme mostra a figura 23, e alimentados por correntes iguais. Podemos pensar neste conjunto como um quadripolo e escrever:

2221212

2121111

IZIZV

IZIZV

+=+=

Como a antena é um sistema linear pode-se por: Z12 = Z21. Estas impedâncias são dadas pelas impedâncias próprias e mutuas entre os dipolos. O campo produzido por cada dipolo individualmente vale:

)(PP : valedipolos dos conjunto ao entregue

potenciaA )(21

: valedipolo cada a entregue

irradiada potenciaA 60

K : valeconstante a onde KIE

por expressoser pode campo este referencia como distância

certa uma dado 60

:por dado sera campo o e 90

papel do plano no que ver se-pode sin

cos2

cos60

12112

A

12112

0

RRIP

RRIPP

rj

rIj

E

rIj

E

B

BA

+=+=

+==

==

==

=

θ

θ

θπ

Assim pode-se expressar a corrente de alimentação dos dipolos por:

1211DC

1211

KE

:por dadoser pode dipolo estepor produzido campo o e

RRP

RRP

I

+=

+=

Supondo-se que esta mesma potência fosse entregue a um único dipolo isolado teríamos usando-se o mesmo raciocínio, o campo elétrico dado por:

mutua. impedancia da atravez manifestam se que elementos outros de

influencia sofre não isolado esta dipolo o como pois 2

11RP

KEDI =

Usando-se o que foi visto no item 18 para o conjunto dos dipolos, pode-se por para o campo produzido pelo conjunto dos dipolos

ddd

EE rr

C βφ == onde )2cos

cos(2

O ganho do conjunto em relação ao dipolo isolado vale:

+=

+==

2cos

cos2

2

)2cos

cos(2

1211

11

11

1211

φ

φ

r

r

DI

C

dRR

RG

RP

K

dRR

PK

EE

G

A figura 24 ilustra a situação

Figura 24 23) Rede de Antenas Considerando-se duas antenas radiadores isotrópicos separados por uma certa distância “d” e alimentados por correntes iguais, mas de fases diferentes chega-se ao seguinte diagrama de irradiação no plano H, mostrado na figura 25.

Figura 25 Estes diagramas podem ser obtidos fazendo-se:

φβδϕ cosd+= na equação do conjunto de antenas visto no tópico

19. A equação do campo vale:

+=2

coscos2 0

φβδ dEE

Para entender-se como estes diagramas são desenhados é necessário lembrar que:

RIZIIZIZIVIP222

21

)Re(21

)Re(21

)*Re(21

)Re(21 ===== ∗∗

24) Antena Yagi Vamos iniciar nosso estudo pela antena yagi de dois elementos. Esta antena é constituída por dois dipolos separados de uma distancia d, onde somente um deles é alimentado por uma corrente I. Vamos supor referindo-se a figura 24 que o dipolo alimentado esteja em A e o dipolo sem alimentação esteja em B. Deste modo pode-se escrever tratando-se o conjunto das duas antenas como um quadripolo:

)(

22

121

)(

22

121

22

121

22

1212

12

2221212

1221111

22122212

22

12

:resulta I de função em I se-calculando

alimentado esta não dipolo segundo o pois 0

ααπααα

α−+− =−=−=−=

=+=+=

jjj

j

eZZ

IeZZ

IeZeZ

IZZ

II

ZIZIV

ZIZIV

fazendo-se: 2212 ααπδ −+= resulta:

δjeZZ

II22

1212 =

O campo elétrico a uma distancia grande do conjunto pode ser expresso por:

+=

=+=

+ )cos(

22

121

cos21

1)(

:por se-podeanterior equação da

uso o com assim onde )(

φδ

φ

φ

βφ

r

r

dj

rjd

eZZ

KIE

ddeKIKIE

Retornando-se as equações do quadripolo tem-se:

22

12

22

2212

1122

212

1111

1

22

212

11122

212

11111

α

α

j

j

eZeZ

ZZZ

ZZIV

ZZ

ZIZZ

IZIV

−=−==

−=−=

Sabe-se que: 121212111111 e jXRZjXRZ +=+= então:

Entregando-se uma potencia “P” ao dipolo alimentado do conjunto tem-se:

)2cos(

:em resultando

221222

212

111

111

αα −−=

+=

ZZ

RR

jXRZ

)2cos(

22

221222

212

111

1

αα −−==

ZZ

R

PRP

I

Substituindo este valor da corrente na equação do campo resulta em:

+

−−= + )cos(

22

12

221222

212

11

1

)2cos(

2)( φδ

ααφ rdje

ZZ

ZZ

R

PKE

Entregando-se esta mesma potencia a um dipolo de meia onda resulta:

1111

2)( :em resultando

2R

PKE

RP

I DD == φ

O ganho do conjunto em ralação ao dipolo de meia onda pode ser expresso por:

+

−−== + )cos(

22

12

221222

212

11

11 1

)2cos()()(

)( φδ

ααφφφ rdj

D

eZZ

ZZ

R

REE

G

Procedendo-se de modo análogo pode-se construir Yagis de vários elementos. A tabela 2 a seguir mostra algumas antenas Yagi já desenvolvidas com excelentes resultados.

Tabela 2 As antenas yagi possuem largura de banda inferior a 10% da sua freqüência de operação. 25) Antena log-periodica As antenas log-periodicas são antenas caracterizadas por terem uma largura de banda bastante ampla, sendo conhecidas como antenas independentes da freqüência. Nestas antenas a impedância e o diagrama de radiação variam periodicamente com o logaritmo da freqüência.

Figura 26 O principio de funcionamento destas antenas baseia-se no fato de que se todas as dimensões de uma antena forem reduzidas de um fator K, a performance da antena (diagrama de radiação, impedância) permanece inalterada se a freqüência de operação for aumentada do mesmo fator K. Isto se chama escalonamento de uma antena. Este escalonamento é conseguido com estrutura como as mostradas na figura 26 onde se deve ter:

=

00 lnsin

rr

bθθ

brr

rrb

bww

wew b

/2lnln

2)/ln(/2lnln

0

0

/2

ππ

π

π

+==

+=′=′

Assim, os valores de w e r são repetidos na razão do logaritmo da freqüência inicial e distancia inicial respectivamente e são periódicos em 2/b. Na antena log deve-se ter:

a) A impedância de entrada e o diagrama de radiação devem variar periodicamente com o logaritmo da freqüência, isto é não devem portanto se alterar com o logaritmo da freqüência permanecendo constantes. b) Para que isto seja possível deve-se ter em coordenadas esféricas que a estrutura da antena deve ter: = f ( ln(r)), ou seja a coordenada da antena deve ser uma função logarítmica da coordenada r. A antena log-periodica é formada por dois braços, tendo cada um deles uma estrutura deste tipo conforme mostra a figura 26. A realização disto na pratica é feito com estruturas com as mostradas na figura 27 abaixo.

)ln(

: omod jvurew

jyxln(w)zf(ln(r))

y e x como bem s,coordenada são ,

j

θ

θθ

θ

==

+==+==

=

y

rx

teremosdesde

r

Nesta geometria deve-se ter:

...1 11

1

2

1

2

1

2

1

2 ======= ++

n

n

n

n

RR

ll

ss

dd

RR

ll

τ

Deve-se ter em mente que a relação:

121n

n

3

2

2

1 f :para ff

...... fff

ff ≥====

+

τ define a gama de

funcionamento da antena em termos da freqüência. Define-se também nesta estrutura um parâmetro de espaçamento dado por:

1

1

2 +

+ −=n

nn

lRRσ

Figura 27 O projeto destas antenas é realizado com o auxilio das curvas da figura 28 obedecendo os seguintes passos:

Figura 28

( )[ ]

τσσ

τ

αλ

λ

ατατ

στα

στ

=′

=

−

=

+=

−=

==

−+==

−+=

=

−= −

)120/cosh(

25.2ln120

)/1ln(ln

1

cot1

14

2

cot)1(7.71.1

cot17.71.1

4

1tan

:então se-calculando 28, figura dauso o com e fatores os se-escolhe desejado ganho o Com

0

max

minmaxmax

2

2

min

max1

ZDs

dl

Z

BN

BL

fv

l

BBBB

B

ff

B

n

na

s

s

ars

ar

onde: Bs = largura de banda utilizada nos cálculos B = largura de banda desejada Bar = largura de banda da região ativa da antena L = comprimento total da antena N = numero de dipolos da antena Za = impedância media dos dipolos da antenas Z0 = impedância característica da linha de alimentação dos dipolos Rin = impedância de entrada da antena d = diâmetro dos elementos D= diâmetro do elemento da linha de transmissão

s = espaçamento entre os condutores da linha de transmissão fmax = freqüência máxima desejada. fmin = freqüência mínima de operação Valores típicos de projeto são: 100 < <450 e 0,7 < < 0,95. A terminação da linha de alimentação normalmente é feita por um curto a uma distancia menor ou igual a max/8 do maior dipolo da estrutura. 26) Antenas de abertura Vejamos agora com base na teoria de irradiação por superfícies já vista como pode ser calculado o campo irradiado por uma superfície plana que contem uma onda plana. 26.1) Irradiação por uma superfície plana

Figura 29 Considere uma onda como mostra a figura 29 com campo elétrico Ex e campo magnético Hy viajando na direção ‘z ‘. Como vimos esta onda plana pode ser substituída na superfície por correntes equivalentes dadas por:

yEnyEMEn

xHnxE

xHJHn

xzxyxz

yzx

yxyz

90sin

90sin

−=−=−=×−

====×η

+

+

=

=

ba

yxjy

ba

yxjx

dxdyeML

dxdyeJN

,

)sinsinsinsin(

,

)sinsinsinsin(

φθφθβ

φθφθβ

+=

+

+

+

=

−=

=

ba

yxjy

ba

yxjy

ba

yxjx

ba

yxjx

dxdyeML

dxdyeML

dxdyeJN

dxdyeJN

,

)sinsinsinsin(

,

)sinsinsinsin(

,

)sinsinsinsin(

,

)sinsinsinsin(

cos

sincos

sin

coscos

φθφθβφ

φθφθβθ

φθφθβφ

φθφθβθ

φ

φθ

φ

φθ

Fazendo-se uso destas equações chega-se a:

( )

( )

φθβ

φθβπ

βηη

θφ

θφ

β

θφ

φθ

φ

θ

cossin2

cossin2

H

sinsincos1cos

2

sinsincos1sin

2

bY

aX

reEjab

c

EEH

YY

XXc

E

YY

XXc

E

rjx

=

=

=

=−=

+=

+=

−

26.3) Irradiação por cabo coaxial

Seja um cabo coaxial alimentado por um lado e com o outro aberto conforme mostra a figura 30. O campo irradiado por esta estrutura pode ser calculado pela teoria, supondo-se que exista uma tensão V entre a alma e a malha do cabo no lado aberto, pode-se por:

ηθεηβ

φρ

ρρ

θφ

βθ

ρ

EHe

abrabVw

E

abV

abV

E

rj =−−=

−=

=

− sin)/ln(8

)(

:á se-chega vista teoriada uso o com e)/ln(

M

M determinar se-pode valor este com )/ln(

22

s

s

Figura 30

26.4) Cornetas Uma superfície plana conforme a que foi vista e que na pratica, pode ser pensada como uma guia de onda em aberto, apresenta um baixo rendimento devido a súbita mudança do meio de propagação e ao fato de suas dimensões serem pequenas. Para resolver tais problemas surgiram as cornetas que podem ser vistas na figura 31. A figura mostra por ordem a corneta H, a corneta E, a corneta piramidal e a corneta cônica. A corneta H pode ser projetada com o uso da figuras 32 e 33. Para entendimento desta figuras deve-se observar a figura 32 que vale tanto para o plano H como para o plano E. Nesta figura teremos:

1

21

1

21

max

1

2

1

8)2/(

21

fase

)y(fase 21

)(

cos

ρβ

ρβ

βδρ

δ

ϕρρ

bb

yy

ee

==

′=′

=′

=

Figura 31

Figura 32

Figura 33

1

21

1

21max

8821

2 λρρβ

ππbbfase

t ===

As curvas são apresentadas em função do parâmetro “t” e do parâmetro “1”( dado em função de ). A figura 33 permite o dimensionamento da corneta em função da Diretividade pretendida DH. A figura 34, permite o calculo dos diagramas de irradiação.

Figura 34 As cornetas E podem ser dimensionadas com o uso das figuras 35 e 36.

Figura 35

Figura 36 A corneta piramidal apresenta diagrama de irradiação no plano E idêntico ao diagrama no mesmo plano da corneta setorial E. O diagrama de irradiação no plano H é igual ao diagrama no mesmo plano da corneta setorial H. A diretividade da corneta piramidal é dada por:

BD

AD

D HE λλπ32

=

Onde DE e DH são as diretividades das cornetas setoriais. 26.5) Parábolas As antenas parabólicas nada mais são do que antenas de aberturas com áreas grandes. Esta grandes áreas são obtidas colocando-se uma antena de abertura

no foco de um refletor parabólico e deste modo consegue-se maiores áreas devido as propriedades da parábola. A diretividade de uma abertura pode ser calculada com o uso de:

SrU

ESdsSP

PU

D

2

2

2 e onde

4

=

=•== ηπ

Com o auxilo destas formulas, sendo o campo calculado pelas diversas formas das aberturas( guias, cabos), chega-se a seguinte formula para ganho máximo da antena:

2

4λπA

D =

Onde “A” é a área da abertura. Para antenas parabólicas de diâmetro “d” esta formula fica:

22

2

dDλπ=

Expressando em db com troca de unidades resulta em: )log(204.20 Ghzm fdG += Como em geral esta alimentação é feita com guias de ondas que não produzem um campo plano em toda a abertura a eficiência da antena fica em torno de 57%. Resultando em um ganho de:

2

22

57,0λ

π dG =

Expressando-se em db com mudança de unidades temos a seguinte formula pratica: )log(2018 Ghzm fdG += 27) Exercícios

1) Qual o ganho máximo de uma antena supondo-se que seu rendimento seja de 80% e que o vetor de Poyting por ela produzido seja:

φθ 22 sinsin10

1r

S =

2) Em uma antena foram lidos os seguintes valores: Ângulo(graus) Campo horizontal(mV/m) Campo vertical(mV/m)

90 1.23 7.98 80 1.65 3.59 70 2.07 11.0 60 2.38 6.5 50 3.04 9.0 40 5.82 13.0 30 11.7 22.2 25 17.4 26.3 20 28.02 32.8 10 32.77 36.6 0 39.63 37.15

-10 35.7 28.8 -15 28.02 26.3 -20 27.65 17.74 -30 15.55 14.48 -40 9.45 12.5 -50 5.95 6.4 -60 1.4 7.3 -70 2.4 2.5 -80 1.37 6.5 -90 2.01 5.6

Qual o ganho mínimo e máximo da antena considerando-se pontos de 3db? 3) Plote o diagrama de radiação de um dipolo elementar operando em

300 Mhz, com I = 2A e l = 2cm. 4) Qual o ganho do dipolo elementar nas direções de 200 e 600 ? 5) Calcule a área e o comprimento eletrico das seguintes antenas:

Fequencia(Mhz) 170 470 850 Ganho(db) 13 17 20

Resistência de Radiação() 50 50 50 6) Plote o diagrama de radiação de um dipolo de meia onda, operando

em 200Mhz com corrente de alimentação de 5A.

7) Qual a potencia em dbm na entrada de um receptor operando em 850 Mhz, submetido a um campo de 50 V/m se sua antena tem:

a) 20 db de ganho b) -1 db de ganho

8) Calcule a impedância do dipolo de meia onda operando em 150 Mhz, alimentado a 25 cm de distancia do seu fim. O diâmetro do condutor do dipolo é de 0,25 cm. 9) Calcule a impedância de radiação e a de alimentação de um dipolo de 1,5 m de comprimento, operando em 300 Mhz, alimentado pelo centro, feito com condutor de 0.3 cm de diâmetro. 10) Calcule as impedâncias de radiação e alimentação para dipolos de 0.5 cm de condutor, operando em 200 Mhz com os seguintes comprimentos: 0.75 cm, 3m, 4.5m, 6m. 11) Calcule os ganhos dos dipolos da questão 10.

12) Calcule a impedância mutua entre dipolos de meia onda espaçados de: 0,25; 0,1 e 1.5

13) Qual a potencia de ruído na saída de uma antena operando em 100 Mhz, com banda de 20 Mhz.

14) Projete uma antena log-periodica para operar de 54 á 216 Mhz, com ganho de 9 dbi(= 0,157 e = 0,865) e 75 de impedancia. Use para linha de alimentação tubo de 1,18” de diametro e como elementos tubo de 3/8”.

15) Projete uma antena Yagi para funcionar no canal 7 de TV com ganho de 8dbi e impedancia de 50 ohms. Use tubos de 3/8”. Qual a largura de banda estimada para esta antena?

16) Projete um dipolo de meia onda ressonante para operar no canal 2 de

TV. Use tubo de diametro 3/8”. Qual o valor esperado para a impedancia deste dipolo?

17) Qual o ganho estimado para uma parabola de 3m de diametro

operando em 7,5Ghz? Qual seu comprimento eletrico supondo sua impedancia de 50 omhs?

18) Calcule o ganho e impedancia de uma antena yagi de tres elementos de meio comprimento de onda com separação de:

a. R-A: 0,25 b. A-D: 0,2

19) Projete uma antena log-periodica com ganho de 8 dbi e 75 de

impedancia para funcionar de 174 á 216 Mhz.

20) Calcule o ganho de dois dipolos de meia onda alimentados com corrente iguais e espaçados de 0,3 .

21) Calcule o ganho de dois dipolos de meia onda alimentados com

correntes iguais e de fase opostas espaçadas de 0,4 .

22) Calcule o ganho e impedancia de uma antena Yagi de dois elementos de meio comprimento de onda espaçados de 0,3 .

1. RIOS, L. G. & PERRI, E. B, Engenharia de Antenas. 2.ª Edição. Ed. Edgard Blücher 2. KRAUS, John D., Antenas. 1ª edição. Ed.LTC 3. BALANIS, C., Antenna Theory – Analysis and Design. Ed. John Wiley & Sons 4. Roberto da Costa e Silva; Eletromagnetismo Aplicado; Ed. EDUFBA; Salvador 1998 5.Luiz Cláudio Esteves; Antenas; Ed. McGraw-Hill do Brasil; São-Paulo 1981 6. M. Dolukhanov; Propagation of Radio Waves; Ed. Mir; Moscou 1971 7.Robert E. Collin; Antennas and Radio Wave Propagation; Ed. McGraw-Hill; Singapore 1985 8.Contel; NTC-19; Ed. Arte Moderna; Rio de Janeiro 1967 9. Vincent F. Fusco; Teoria e pratica de antenas, Ed. Bookman, Porto Alegre 2006