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5/25/2018 Apostila_calculoIII_2014
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CLCULO III
Prof. Luly Rodrigues
Prof. Edna Alves Oliveira
- 2013 -
5/25/2018 Apostila_calculoIII_2014
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UNIVERSIDADE FUMEC FEA / FACULDADE DE ENGENHARIA E ARQUITETURA
Clculo III
2
FFUUNNCCEESSDDEEVVRRIIAASSVVAARRIIVVEEIISSIINNDDEEPPEENNDDEENNTTEESS
1. DEFINIES:
Considere o exemplo: "uma caixa d'gua na forma retangular, com capacidade para
256 litros, sem tampa, deve ser construda com chapa de ferro galvanizado de
espessura desprezvel. Calcular as dimenses da caixa de maneira que seja mnima a
quantidade de chapa metlica necessria para constru-Ia".
Figura 3-Caixa d'gua retangular
A quantidade de chapa metlica necessria para construir a caixa d'gua ser
determinada pela rea total: Atotal = 2xz + xy + 2yz - a cada terno de valores
atribudos a x, y, e z (domnio) corresponde um valor da rea total (imagem). Dizemos
que a rea total (Atotal) uma funo com trs variveis independentes.
Mas, sabe-se que xyz = 256 litros (equao), ento, neste exemplo podemos diminuir
o nmero de variveis independentes para duas, pois, z = 256 / xy.
Portanto,
total
512 512A xy
y x= + + .
Peloexemplo, pode-se definir funoe equao:
Funo: " uma correspondncia que associa a cada elemento de seu domnio (D)
a exatamente um elemento do seu contradomnio (I)".
z
y
x
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Equao algbrica: " uma igualdade com incgnitas - representadas por variveis
(x, y, z) que pertencem ao conjunto dos reais".
Uma funo f de duas variveis uma regra que associa, a cadapar ordenado
de nmeros reais (x, y)de um conjunto D, um nico valor realdenotado por f(x,y).
O conjunto D o domnio de f, e sua imagem, o conjunto de valores possveis de f, ou
seja, { }f x y x y D( , ) ( , ) .(STEWART, 2007)
Utilizando notaes, pode-se definir uma funo de vrias variveis da seguinte
forma:
D : Rn I : R
Portanto, uma funo de duas variveis reais:
D : R2 I : R
=D:(x,y) I:z f (x,y)
Representao grfica:
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2. ESTUDO DO DOMINIO
Domnio de uma funo de duas variveis (f(x,y)): o mais amplo subconjunto
de R2 em cujos pontos a funo assume valores reais bem definidos.
Exemplos:
a) Considere a funo: ( )x y
f x,yx y
+=
. Este quociente s no definido
quando x - y = O, isto , quando y = x. O domnio , pois, o conjunto:
{ }2
D (x,y) R / y x= .
Geometricamente, D o conjunto dos pontos do plano xyque no pertencem
reta y = x.
b)Examinemos a funo: ( )2 2
x y 7f x,y1 x y
+ =
O numerador um polinmio do 10grau nas variveis x e y, e, como tal, definido
em R2.
Para que o denominador seja real e no nulo, deve-se ter:
1 -x2-y2> 0, ou x2+ y2< 1.
Segue-se que o domnio da funo f (x, y) Sabe-se da Geometria Analtica que D
{ 2 2 2D (x,y) / x y 1= +
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EXERCCIOS SOBRE DOMNIO DAS FUNES DE DUAS OU TRS VARIVEIS
1.Estude o domnio das funes (represente algbrica e geometricamente).
a) = =z f(x,y) xy
Resposta: representao algbrica ( ) }= 2D x,y R / x 0 e y 0 x 0 e y 0 ,
representao geomtrica do domnio: o primeiro e o terceiro quadrantes incluindo os eixos.
b) = = z f(x,y) ln(y 3x)
Resposta: ( ){ }= >2D x,y R / y 3x
c)z=y
yxyxf12
34),( 3 +++=
Resposta: ( )
= >
2 3D x,y R / x y 04
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d) = =+2 2y
z f(x,y)x y
Resposta: ( ) ( ) ( )0,0,/, 2 = yxRyxD
e)( )
= = 2 22xyz f(x,y)
ln 36 x 9y
Resposta: ( )
= +
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g) = =
uvz f(u,v)
u 2v
Resposta: todos os pontos do plano uv,exceto os pontos da reta u = 2v.
h)z=2 23
( , )9
x yf x y
x y
+=
Resposta: ( ){ }= 2 2 2D x,y R / x y 9
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3. GRFICO DE FUNES DE DUAS VARIVEIS INDEPENDENTES (IMAGEM)
As propriedades da funo refletem-se no seu grfico, por isso, este um elemento de
valor no estudo da funo. Ao observar o grfico de uma funo, percebe-se
imediatamente vrias propriedades desta.
O grfico de uma funo de duas variveis trata-se de um subconjunto do espao
tridimensional R3. Esse grfico denomina-se superfcie representativa da funo. A
figura 4 ilustra o grfico de funes duas variveis. Cada ponto P = (x, y)do domnio
D da funo corresponde um nico valor realz, na forma de notao tem-se:z = F (x,
y).
Figura 4 Grfico de funes de duas variveis
Exemplos:
a)Represente graficamente = = z f (x,y) 6 2x 3y .
Soluo:esta funo pode ser escrita na forma + + =2x 3y z 6 o que corresponde
a equao de um plano. Sabe-se que, para representar geometricamente um
plano, so necessrios, no mnimo, trs pontos, por exemplo:
= = =
= = =
= = =
se x 0 e y 0 z 6
se x 0 e z 0 y 2
se y 0 e z 0 x 3
z
y
x
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b)Represente graficamente = =z f (x,y) 5 .
Soluo:a superfcie um plano paralelo ao plano cartesiano XY, que intercepta
o eixo Z em 5.
c) Represente graficamente = = 2 2z f (x,y) 100 x y e trace as curvas de nvel f(x,
y)=0, f(x, y)=51 e f(x, y) = 75 no domnio de f no plano.
Soluo: o domnio de f o plano xy, e a imagem de f o conjunto de nmeros
reais menores ou iguais a 100. O grfico o parabolide z = 100 x2 y2, uma
parte se encontra ilustrada na figura 5.
A curva de nvel f(x, y)= 0 o conjunto de pontos no plano xynos quais:
2 2 2 2f (x,y) 100 x y 0 ou x y 100= = + =
que representa uma circunferncia de raio 10 centrada na "origem. Similarmente as
curvas de nvel f(x,y) 51 e f(x,y) 75= = (figura 5) so as circunferncias:
2 2 2 2f (x,y) 100 x y 51 ou x y 49= = + =
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2 2 2 2f (x,y) 100 x y 75 ou x y 25= = + =
A curva de nvel f(x, y)= 100 consiste apenas a origem (ainda uma curva de
nvel).
Figura 5 - Grfico e curvas de nvel selecionadas da funo f (x,y) = 100 x2 y2
Observe que a projeo (ortogonal) da superfcie S sobre o plano xy
precisamente o domnio D da funo.
d) Represente graficamente = = 2 2z f (x,y) 1 x y .
Soluo:a superfcie gerada uma semi-esfera de centro na origem e raio 1.
e) Represente graficamente = = +2 2z f (x,y) x y .
Soluo:a superfcie gerada um parabolide de revoluo.
100
z
f(x,y)=75
1
1f x
A superfciez = (f, x) = 100 x2 y2 ogrfico de f
y
f(x,y) = 51(uma curva de nveltpica no domnio da funo)
x
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f) Represente graficamente = = z f (x,y) 6 2x 3y .
Soluo:esta funo pode ser escrita na forma + + =2x 3y z 6 o que corresponde
a equao de um plano. Sabe-se que, para representar geometricamente um
plano, so necessrios, no mnimo, trs pontos, por exemplo:
= = =
= = =
= = =
se x 0 e y 0 z 6
se x 0 e z 0 y 2
se y 0 e z 0 x 3
3.1 SUPERFCIES QUDRICAS
Vimos que, em duas dimenses, o grfico de qualquer equao do segundo graux e y,
+ + + + + =2 2Ax By Cx Dy Exy F 0
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umaseo cnica(salvo em casos degenerados). Em trs dimenses, o grfico de
uma equao de segundo grau emx, y, z,
+ + + + + + + + + =2 2 2Ax By Cz Dxy Exz Fyz Gx Hy Iz J 0
uma superfcie qudrica (salvo em casos degenerados). Por simplicidade,limitaremos o estudo ao caso em que os coeficientes D, E, F, H, eI so todos zero. As
equaes mais gerais podem reduzir-se a este caso mediante translaes e rotaes
adequadas de eixos.
H trs tipos de superfcies qudricas: elipsides, hiperbolides e parabolides. Os
nomes se devem ao fato de que os traos em planos paralelos aos planos coordenados
so em geral elipses, hiprboles e parbolas, respectivamente. A seguir, apresentam-
se algumas superfcies qudricas com os traos em cada plano cartesiano.
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ELIPSIDE
Trao Equao do
Trao
Descrio
do TraoEsboo do Trao
Trao-xy 2 22 2
x y1
a b+ =
Elipse
Trao-yz 2 22 2
y z1
b c+ =
Elipse
Trao-xz 2 22 2
x z1
a c+ =
Elipse
+ + =2 2 2
2 2 2
x y z1
a b c
x
y
(0, b, 0)
(a,
z
z
y(0, b,
x
(0, 0,
z
y(0, b,
x
(0, 0,
(a, 0,
z
y
(0, b, 0)
x
(0, 0, c)
(a, 0, 0)
trao-yz
trao-xytrao-xz
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HIPERBOLIDE DE UMA FOLHA
Trao Equao doTrao
Descrio
do TraoEsboo do Trao
Trao-xy 2 22 2
x y1
a b+ =
Elipse
Trao-yz =
2 2
2 2
y z1
b c
Hiprbole
Trao-xz =
2 2
2 2
x z1
a c
Hiprbole
+ =2 2 2
2 2 2
x y z1
a b c
z
y
(0, b, 0)
x
(a, 0, 0)
z
y
(0, b, 0)
x
z
y
x
(a, 0, 0)
z
yx
trao emz = -k
z = k
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HIPERBOLIDE DE DUAS FOLHAS
Trao Equao doTrao
Descrio
do Trao Esboo do Trao
Trao-xz 2 22 2
x y1
a b =
Hiprbole
Trao-xz =
2 2
2 2
x z1
a c
Hiprbole
+ =2 2 2
2 2 2
x y z1
a b c
trao emz = -k
Trao emZ=K
y
z
x
z
y(0, b,
x
z
y
x
(0, 0,
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- TABELA 1
OS SEIS TIPOS NO DEGENERADOS DAS SUPERFCIES QUDRICAS
SUPERFCIE EQUAES SUPERFCIE EQUAES
ELIPSIDES
2 2 2
2 2 2
x y z1
a b c+ + =
Os traos nos planoscoordenados soelipses, comotambm so elipsesos traos em planosparalelos aos planoscoordenados, queinterceptam a
superfcie em maisde um ponto.
CONE ELPTICO= +
2 22
2 2
x yz
a b
Os traos do planoxy um ponto (aorigem) e os traosem planos paralelosao planoxynoelipses. Os traos yze
xy so pares de retasque se interceptam na
origem. Os traos emplanos paralelos aestes so hiprboles.
HIPERBOLIDE DE
UMA FOLHA
2 2 2
2 2 2
x y z1
a b c+ =
O trao no planoxy uma elipse, comoso os traos nosplanos paralelos aoplano xy. Os traosnos planos yz exz
so hiprboles, bemcomo os traos nosplanos paralelos aeles que no passampelos interceptosxey. Nestesinterceptos, ostraos so pares deretas concorrentes.
PARABOLIDE ELPTICO 2 2
2 2
x yz
a b= +
O traos em planoxyum ponto (a origem) eos traos em planos
paralelos e acima delesaio elipses. Os traosnos planosxy exz,bem como em planosparalelos a eles soparbolas.
HIPERBOLIDE DEDUAS FOLHAS
2 2 2
2 2 2
z x y1
c a b =
No h trao noplanoxy. Em planosparalelos ao plano
xyque interceptama superfcie em maisdo que um ponto ostraos so elipses.Nos planos yz, xz enos planos paralelosa eles, os traos sohiprboles.
PARABOLIDEHIPERBLICO
2 2
2 2
y xz
b a=
O trao no planoxy um par de retas quecruzam na origem. Ostraos em planosparalelos ao planoxyso hiprboles. Ashiprboles acima doplanoxyabrem-se nadireo y e as abaixona direox. Ostraos nos planos yze
xz so parbolas,assim como os traosnos planos paralelos a
estes.
Y
X
z
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EXERCCIOS SOBRE IMAGEM DAS FUNES DE DUAS VARIVEIS
1.Represente a funo dada desenhando algumas curvas de nvel, no mesmo plano
coordenado, e tente visualizar a superfcie a partir do mapa de contorno resultante.
a) = = +2 2z f(x,y) x y : Resposta: curvas de nvel circunferncias concntricas
centradas na origem / superfcie parabolide circular
b) = = 2 2z f(x,y) y x Resposta: curvas de nvel hiprboles que interceptam os
eixos x (se K < 0) e o eixo y (se K > 0) e retas que passam pela origem (se K = 0) /
superfcie: parabolide hiperblico (sela)
2.Esboce a superfcie definida pelas funes ou equaes.
a) 2 2z f(x,y) 36 9x 4y= = e) 2 2z f(x,y) 9x 4y 36= = +
b) 2 2z f(x,y) 72 4x 9y= = + f) 2 2z f(x,y) 9x 4y 36= = + +
c) 2 2z f(x,y) 9 x y= = g) 2 2z f(x,y) 25 x y= =
d) = = z f(x,y) 4 4x 2y h) + + =2 2x 4y z 16
3.Ache a equao da curva ouda superfcie de nvel de fque contm o ponto P.
a) f(x,y) yarctg x;P(1;4)= : Resposta: y arctg x =
b)2 xy
f (x,y) (2x y ) e ; P(0; 2)= + Resposta: (2x + y2
) exy
= 4
c) = + 2 2 2f(x,y,z) x 4y z ; P(2; 1; 3) / FAA UM ESBOO DA SUPERFCIE DE NVEL
Resposta: 2 2 2x 4y z 1 + = / hiperbolide de duas folhas
d) 2 2f (x,y) 2x y ; P(0, 2)= + / FAA UM ESBOO DA CURVA DE NVEL QUE CONTM P
Resposta:2 2x y
12 4
+ = / elipse
e) 2 2f (x,y,z) x 4y z; P(2; 1; 12)= + / FAA UM ESBOO DA SUPERFCIE DE NVEL
Resposta: 2 2z x 4y 4= + / parabolide elptico
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4. Uma chapa plana de metal est situada em um plano xy, de modo que a
temperatura T(em C no ponto (x,y) inversamente proporcional distncia do
ponto at a origem.
a)Descreva as isotrmicas; Resposta: crculos com centro na origem
b)Se a temperatura no ponto P (4, 3) de 40C, ache a equao da isotrmica para
uma temperatura de 20C. Resposta: x2+ y2= 100
5.De acordo com a lei da gravitao universal de Newton, se uma partcula de massa
m0 est na origem de um sistema coordenado xyz, ento o mdulo F da fora
exercida sobre uma partcula de massa msituada no ponto (x, y, z) dada por:
02 2 2
Gm mF
x y z=
+ +
em que G a constante de gravitao universal.
a)Quantas variveis independentes esto presentes?
b) Se m0 e m so constantes, descreva as superfcies de nvel da funo x, y, z
resultante. Qual o significado fsico dessas superfcies de nvel.
Respostas:a) cinco
b) esferas com centro na origem.
6. Se o potencial eltrico no ponto P(x, y, z) dado por V = 6 / (x2+ y2+ 9z2)1/2,ache a equao da superfcie equipotencial (superfcie de nvel) quando V = 120
volts e faa um esboo desta superfcie.
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4. DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
Se z f (x,y),= ento a derivada parcial de fem relao x (tambm chamada
de derivada de z em relao x) a derivada em relao y da funo que
resulta quando y mantido fixo e x permitido variar. Essa derivada parcial
denotada por xf
f (x,y)x
=
e pode ser expressa como limite:
+ = =
x x 0
f f (x x,y) f (x,y)f (x,y) lim
x x
Analogamente, a derivada parcial de f em relao y (tambm chamada de
derivada parcial de z em relao y) a derivada em relao y da funo que
resulta quando x mantido fixo e y permitido variar. Esta derivada parcial
denotada por
+ = =
y y 0
f f (x,y y) f(x,y)f (x,y) lim
y y
Exemplos:
a)Determinar as derivadas parciais de primeira ordem da funo
( ) ( )= = + 3 2
z f (x,y) x y sen 2x :
Soluo
( ) ( ) ( )
= = + + 2 3 2
x
ff (x,y) 3x sen 2x 2 x y cos 2x y cons tante
x
( )
= = yf
f (x,y) 2y sen 2x x cons tantey
b) Exemplo de uma funo de trs variveis independentesSe os resistores eltricos R1, R2, R3ohms so conectados em paralelo para formar um
resistor de R ohms, o valor de Rpode ser encontrado a partir da equao:
1 2 3
1 1 1 1R R R R
= + +
(Figura 6). Encontre o valor2
RR
quando R1= 30, R2= 45 e R3= 90 ohms.
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Figura 6 Resistores em paralelo
Soluo: para encontrarmos2
R
R
tratamos R
1e R
3como constantes e derivamos
ambos os lados da equao em relao a R2.
++
=
32122 R
1
R
1
R
1
RR
1
R
0R
10
R
R
R
1
2222
+=
2
22
2
2
2 R
R
R
R
R
R
==
Quando R1=30, R2=45 e R3=90,
15
1
90
1
45
1
30
1
R
1=++= ,
assim R = 15 e
9
1
3
1
45
15
R
R 22
2
=
=
=
+ -
R1
R2
R3
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4.1 Interpretao geomtrica das derivadas parciais
A derivada parcial ( )0000 ,),( yxx
fyxfx
= a inclinao da tangente `a curva C1 [z =
f(x, y0)] no ponto P (x0, y0) - (tangente trigonomtrica do ngulo que a tangente curva C1em P forma com o eixo X) ver figura 7.
Figura 7 Interseo do plano y = y0com a superfciez = f(x, y)vista de um
ponto acima do primeiro quadrante do planoxy Fonte/ THOMAS, 2003.
A derivada parcialy
f)y,x(fy
= a inclinao da tangente `a curva C2[z = f(x0, y)] no
ponto P (tangente trigonomtrica do ngulo que a tangente curva C2em P forma
com o eixo Y) ver figura 8.
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Figura 8 Interseo do plano x = x0com a superfciez = f(x, y)vista de um
ponto acima do primeiro quadrante do planoxy Fonte/ THOMAS, 2003.
As tangentes s duas curvas C1e C2em P so, em geral, duas retas concorrentes
em P (figura 9), as quais determinam um plano que se diz plano tangente
superfcie definida pela funoz = f(x, y).
Figura 9 As figuras 7 e 8 combinadas as retas tangentes no ponto P (x 0,y0)
determinam um plano tangente superfciez = f(x, y).
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EXERCCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM
1. Em cada caso achar as derivadas parciaisy
yxfex
yxf
),(),( das funes dadas:
a) f(x, y) = ( x + y ) ( x y ) d)f(x, y) = ln ( x + 3y )b)f(x, y) = sen ( x + y ) + cos ( x y ) e)
)y3x(
y)y,x(f
+=
c) f(x, y) = ( x + xy + y ) f) xye)ylnx()y,x(f = g)
2xye)y,x(f =
Respostas:
a) fx=4x + y - 3xy , fy= 3xy - x - 4y
b) fx = cos (x + y) sen (x y) , fy= cos ( x + y ) + sen ( x y )
c) fx=3( x + xy +y ) ( 2x + y ) , fy= 3( x + xy +y ) ( x + 2y )
d)232
2
yx
xxf
+= ,
232
6
yx
yyf
+=
e)2
3y)(x
yxf
+
= ,2
3y)(x
xyf
+
=
f) ylny)xy(1ex
f xy += ;
=
y
1xlnyxeyf
2xy
2. Calcular as derivadas parciais primeiras da funo f(x,y) = ln ( x tg (y) )no ponto
4;3:
P .
Respostas: 2)(31)( =
=
P
yfeP
xf
3. O volume de uma certa quantidade de gs determinada pela temperatura (T) epela presso (P) atravs da frmula 0,08
TV
P= . Calcule e interprete
V Ve
P T
quando P = 20 N/m e T = 300 K.
Respostas:
3 3
2(20;300) 0,06 (20;300) 0,04/
V m V meP N m T K
= =
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24
4. Calcule as derivadas parciais de primeira ordem - )y;x(x
f
e )y;x(
y
f
- da funo
( ) 32
22 yx)y,x(f += e descreva em quais pontos as derivadas parciais de primeira
ordem deixam de existir (faa o grfico).
5. Imagine uma chapa metlica fina e retangular desigualmente aquecida sobre oplanoXY, com o canto inferior esquerdo na origemx e y, conforme Figura 1:
Figura 1 - Chapa metlica sobre o planoXY(X e Y so distncias em centmetros).
A temperatura (em graus Celsius) no ponto (x, y) 22
5),(
yx
xyxT
+= . No ponto P (3,
4), pede-se:
(a) a taxa de variao instantnea da temperatura em relao distncia
quando uma partcula, sobre a placa, move-se para a direita e paralelamente ao
eixoX,a partir do ponto P;
(b) a taxa de variao instantnea da temperatura em relao distncia
quando uma partcula, sobre a placa, move-se para cima e paralelamente ao
eixo Y, a partir do ponto P;
(c) interprete os resultados encontrados nas letras (a) e (b).
6. Calcular a inclinao da tangente curva segundo a qual o plano y = 1 corta oparabolide de revoluo z = x + y, no ponto P:( 2; 1; 5 ).
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Resposta:14tan
= .
7. Calcular a inclinao da tangente curva C1, que corresponde interseo dasuperfcie 2 3z f x y 4x y xy( , )= = com o plano y = 2, no ponto P (3, 2, 48).
Resposta: ( )1 40 88 57tan , = = .
5. DIFERENCIAL TOTAL
A diferencial de uma funo fem um ponto uma combinao linear das diferenciais
das projees x e y tendo como coeficientes as derivadas parciais da funo no dito
ponto.
Se f = f (x, y), tem-se:
f fdf dx df
x y
= +
Se f uma funo de n variveis, a diferencial dada pela expresso:
1 2 3 n1 2 3 n
f f f f df dx dx dx ... dx
x x x x
= + + +
Usando um somatrio, pode-se escrever, de modo mais condensado:
n
kk l k
fdf dx
x=
=
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EXERCCIOS SOBRE DIFERENCIAL TOTAL
1. Determinar a diferencial total da funo:
=
yz arc tg x
a)em um ponto genrico ( x, y ), x O; Resposta: ( )= ++2 21
dz ydx xdyx y
b)no ponto P:( 1,-2). Resposta: ( )= +1
dz 2dx dy5
2. Uma lata de metal fechada, na forma de um cilindro circular reto, deve possuiraltura interna igual a 6 cm, raio interno de 2 cm e espessura de 0,1 cm. Se o
custo do metal a ser usado de 10 centavos por cm3, encontre por diferenciao
o custo aproximado do metal a ser usado na fabricao da lata.
Resposta:custo por lata = R$ 1,00
3. Deseja-se dimensionar um vaso, na forma de um cilindro circular reto, de aoinoxidvel, cujas dimenses internas so: altura igual a 40 cm, dimetro de 20cm. Sabendo que a espessura da chapa de 1 mm, qual o volume do material
empregado? (USE O CONCEITO DE DIFERENCIAL TOTAL)
4. Determine a quantidade de estanho numa lata cilndrica fechada com 7,5 cm dedimetro e 15 cm de altura se a espessura da folha de estanho for de 0,03 cm.
(Utilize o conceito de diferencial total). Resposta: v 4 219, = cm3
5. Utilize o conceito de diferencial total para determinar o mximo erro no clculo darea da superfcie e no clculo de volume de uma caixa aberta retangular com
altura = 25 m, largura = 30 cm e comprimento = 70 cm , com erro mximo de
0,3 cm em cada dimenso. Respostas: v 1380 = cm3e A 120 = cm2
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6. A potncia consumida numa resistncia eltrica dada porR
VP
2
= watts.
Se V = 12 volts e R = 6 ohms, determine o valor da variao da potncia se V
aumentada de 0,015 volts e R aumentada de 0,002 ohms. Interprete o sinal do
resultado: a potncia reduzida ou aumentada? (Utilize o conceito de diferencial
total). Resposta: P 0 052, = watts
7. Seja um retngulo com lados 3=x cm e 4=y cm. Utilize o conceito de diferencialtotal para definir a variao aproximada da diagonal deste retngulo, sabendo que
o lado x foi aumentado 005,0 cm e o lado y diminudo 0,004 cm. Resposta:
0002,0=dD cm
8. A resistncia de um circuito eltrico dada por ERI
(= ohms). Sabendo que
E = 18 V (volts) e I = 6 A (ampres), porm, foi feita a leitura de E= 17,985 Ve
I = 6,125 A, determinar a variao da resistncia. (Utilize o conceito de diferencial
total). Resposta: R 0 063, = (ohms)
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EXERCCIOS SOBRE DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR
1. Calcular as derivadas parciais de segunda ordem das funes e verificar quexy yxf f=
a) xf (x, y) e sen(y) ln(xy)= +
b)2 2x y
f(x,y) ,x 0 e y 0y x
=
c)xy yf(x,y) e ln ,x 0 e y 0
x
= + > >
Respostas:
a) x x xxx yy xy yx21 1
f e seny , f e seny , f f e cos y2 y
= = = =
b) x x xxx yy xy yx21 1
f e seny , f e seny , f f e cos y2 y
= = = =
c)
= + =
x xy y
xx yy2 2 3 2
1 1 x x 1f e , f e 2
yy x y y
= =
xy
xy yx 21 xf f e 1
yy
2. Determine o conjunto domnioe calcule as derivadas parciais de 2aordemdecada uma das funes:
a)x
xyyyxf24
712),(2 ++= b) 325 158),( yxxyyxf ++=
c)y
yxyxf 1234),( 3 +++= d) 223),( xxt
ttxf ++=
e) 125),( 25 +++= srsrsrf f) yyxyxf 5)cos()sen(3),( 2 ++=
Respostas:
a) 23
127
=
xy
x
f 2
5
2
2
18)(
=
x
x
f xy
y
f724 +=
24
)( 2
2
=
y
f
722
=
=
xy
f
yx
f { }0/),( 2
)( >= xIRyxD
f
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b) 354
2)15(5
1xyx
x
f+=
35
9
2
2
2)15(25
4
)(yx
x
f+
=
2238 yx
y
f=
yxy
f 22
2
6)(
=
2
22
6xyxy
f
yx
f=
=
{ }2
)(),( IRyxD
f =
c) 21
)34(2
+=
x
x
f 2
3
2
2
)34(4)(
+=
x
x
f 23
2
123
1 =
yy
y
f 33
5
2
2
249
2
)(
+
=
yy
y
f
022
=
=
xy
f
yx
f
= 0,4
3/),( 2)( yxIRyxD f
d) xtxx
f22 +=
22)(
3
2
2
+=
tx
x
f 136 +=
xt
t
f 4
2
2
18)(
=
t
t
f
2
22
=
=
x
xt
f
tx
f { }2fD x t IR x 0 e t 0( ) ( , ) / =
e) 2425 srr
f+=
3
2
2
100)(
rr
f=
2
1
)12(2
++=
srs
s
f 2
3
2
2
)12(2)(
+=
sr
s
f
srs
f
sr
f2
22
=
=
=2
1/),( 2)( sIRsrD f
f) )cos(3 xx
f=
)sen(3
)( 2
2
xx
f=
5)sen(2 2 +=
yy
y
f
)sen(2)cos(4)(
222
2
2
yyyy
f=
0
22
=
=
xy
f
yx
f 2)( ),( IRyxD f =
3. Determine o domnio (algbrico e geomtrico) e a derivada parcial4
xzyx
ff
x y z x
=
da funo
( )
2f ( x, y,z ) 3xz
x y z 4= +
+ + , no ponto P (1, -1,
1).
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6. PLANO TANGENTE E RETA NORMAL
6.1 Plano tangente
Seja z =f (x, y) uma funo diferencivel no ponto P:(xo; yo). Quando passamos do ponto P
a um ponto prximo (x, y) o acrscimo z f = da funo (eq. [1]) :
f fz f (P) x (P) y
x y
= = +
[1]
ou
0 0 0f fz z (P)(x x ) (P)(y y )x y = +
[2]
A equao [2] representa um plano do espao, o qual passa pelo ponto P:(xo; Yo),
pertencente ao grfico da funoz = f(x, y). Trata-se do plano tangenteao grfico
de f no ponto P. Observando os resultados, conclumos que o valor f (x, y) da funo
em um ponto (x, y) prximo de (x0; y0) aproximadamente igual cotazdo plano
tangente ao grfico de f no ponto P:(x0; Y0; f(x0; y0)). Desse modo quando
escrevemos (eq.[3]):
x0
x0Z = f (x,
z0
0 0f
tg (x ,y )y
y
z
P: (x0, y0, z0)
xx
0 0
ftg (x y )
x
=
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0 0f f
f (x,y) (P)(x x ) (P)(y y )x y
+
[3]
estamos substituindo a superfcie de equaoz f(x, y), na vizinhana do ponto P:(x0,
y0, f(x0;y0)), pelo plano tangente neste ponto.
6.2 Reta normal
A normal superfcie no ponto P a reta que passa por P e perpendicular ao plano
tangente neste ponto.
Portanto, da equao [2] do plano tangente: 0 0f f(P)(x x ) (P)(y y ) (z c) 0
x y
+ =
deduzimos que a direo da normal dada pelo vetor
=
ur f fv (P); (P); 1
x y.
Portanto, podemos escrever a equao cartesiana da normal superfcie em P na
forma (eq. [4]):
0 0 0x x y y z zf f 1(P) (P)x y
= =
[4]
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EXERCCIOS SOBRE PLANO TANGENTE E RETA NORMAL
1. Achar a equao do plano tangente e a equao da normal ao parabolide elptico:= = +2 2z f (x, y) 2x 5y no ponto P:( -2; 1: 13 )
Resposta:plano tangente: 8x-10y+z+13=0 reta normal:2 1 13
8 10 1
x y z+ = =
.
2. Considere a superfcie definida pela funo z = f(x,y)= e3x sen(3y) e o ponto
P : 0,6
. Determine:
a)a inclinao do plano tangente em relao aos eixos cartesianos no ponto Pe a
equao cartesiana do plano;
b)a equao da reta normal superfcie em P.
Respostas:
a) Inclinao do plano = = = 1x yf (P) 3 tan 3 e f (P) 0 plano paralelo aoeixo Y / Equao do plano tangente: 3x z + 1 = 0;
b) retax 3t
normal: y6
z t 1
=
=
= +
Equao paramtrica da reta
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7. DERIVADA DIRECIONAL/ GRADIENTE
A derivada da funo f = f(x, y), no ponto P, na direo de um vetor Sur
dada pelo
produto escalar do gradiente ( )f(P)ur
e o vetor unitrio 0S ,ur
isto :
= =
ur
ur urur 0S
fD f(P) f(P) S
S
Sendo: 0S
SS
=
rr
r - vetor unitrio;
i j kx y z
= + +
rr r r- operador diferencial vetorial;
f f ff i j k
x y z
= + +
rr r r- gradiente de uma funo f = f(x, y, z).
EXERCCIOS SOBRE DERIVADA DIRECIONAL / GRADIENTE
1. Calcular a derivada da funo 4 2 2 3z x 3x y 2y 5xy 3x 5= + + + z, no pontoP:(-1,2), na direode cada um dos vetores dados a seguir:
a) = +v v v3 1u i j
2 2 Resposta: ( )
117 13 3
2 +
b) = v v vu 6i 3j Resposta:
9
5
c) AB, sendo A :(1; 3) e B:(3; 5) uv
Resposta: 2 2
d)w z(P)= uv uv
Resposta: 458
2. Dada a superfcie de nvel: e2z (sen x - cos y) = 1 e o ponto P:(0, , 0).Determine:
a)o gradiente da funo f (x,y, z) em P; Resposta: f (P) gradf (P) i 2K = = +
ur v uv
b)explique o significado geomtrico do resultado obtido na letra a.
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3. Determinar a equao do plano tangente esfera x2+ y2+ z2= 14, no P:(3, 1, -2).
Resposta: 3x + y - 2z - 14 = O .
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EXERCCIOS COMPLEMENTARES
1. Esboce o domnio de f. Use as linhas cheias para a parte que inclui a fronteira no
domnio e linhas tracejadas para as que noincluem.
a) xylny)f(x, = ;
b)3
1y)f(x,
2
22
+
+=
y
yx;
c) 222x-25z)y,f(x, zy = .
Respostas: a) primeiro e terceiro quadrante, exceto os pontos pertencentes aos
eixos cartesianos; b) os pontos pertencentes circunferncia centrada na origem
de raio 1 e os externos essa circunferncia; c) esfera centrada na origem de raio
5 e os pontos externos essa esfera.
2. Esboce a superfcie definida pela funo:.
a) 22x-1y)f(x, y= ;
b) 1y)f(x, 22 += yx ;
c) 3y-2x-6y)f(x,z == ;
d) 164x-yy)f(x, 22 =
Respostas:
a) b)
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c) d)
3. Esboce as curvas de nvel de fpara os valores dados de k.
a)22
yy)f(x, x= k = -4 , 0 , 9
b) yx = 2y)f(x, k = -2 , 0 , 3
c) ( ) ( )22 32-xy)f(x, ++= y k = 1 , 4 , 9
Respostas:
a) b) c)
4. Esboce a superfcie de nvel de f(x,y,z) = k.
a) 222 44xz)y,f(x, zy ++= , k = 16;
b) f(x,y,z) 4x 2y z= + , k = 1.
5. Determine o gradiente de fem Pe ento use o gradiente para calcular a derivadade fna direo do vetor u
r. Sendo:
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( ) kjiuPzyzyxrrrr
13
12
13
4
13
3;4,2,1;)32xln(),,(f 222 =++=
Respostas:741
314)(;
57
24
57
8
57
2)(fgrad =++= PfDkjiP ur
rrr
6. Determine a derivada direcional de ( )zx
yzyxf
+=,, em P(2, 1, -1)na direo de Pa
Q(-1, 2, 0).
Resposta:11
3
7. Determine um vetor unitrio na direo do qual fcresce mais rapidamente em Pe
determine a taxa de crescimento de fnaquela direo.
( )1,1,1;1),,(f 323 ++= Pzzyzxzyx Respostas: 23)(;
2
1
2
1== Pfgradjiu
rrr
8. A temperatura (em graus Celsius) em um ponto (x, y, z) de um slido de metal
( )22
1
,,
zx
xyzzyxT
++
=
(a)Determine a taxa de variao da temperatura em relao distncia em P(1,
1, 1)na direo da origem.
(b)Determine a direo na qual a temperatura eleva-se mais rapidamente a
partir do ponto P. (Expresse a sua resposta como um vetor unitrio).
(c)Determine a taxa na qual a temperatura eleva-se movendo de Pna direo
obtida na letra (b).
9. A temperatura (em graus Celsius) em uma regio no espao dada por:
T(x, y, z) = 2x2 xyz.
Uma partcula se move nesta regio e sua posio no instante t dada porx = 2t2,
y = 3t,z = -t2, onde o tempo medido em segundos e a distncia em metros.
(a)Qual a taxa de variao mxima da temperatura sentida pela partcula em
graus Celsius por metro quando a partcula est no ponto P:(8, 6, -4).
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(b)Qual a taxa de variao da sentida pela partcula em graus Celsius por
segundo em P?
Respostas: (a) 80,4 C/m ; (b) 352 C/s
EXERCCIOS DE APLICAO
10. Um prdio industrial de formato retangular com dimenses x, y, e z est
esquematizado na Fig.1 (a). Na Fig. 1 (b) fornecemos a quantidade de calor
perdida por dia atravs de cada uma das laterais do prdio, do teto, e do piso,medidas em unidade apropriada de calor, por metro quadrado. Seja f(x,y,z) a
perda de calor total em um dia.
Figura 1 Esquema do formato retangular de um prdio retangular e quantidade de calor
perdida por dia
(a) Encontre uma frmula para f(x,y,z).
(b) Encontre a perda total de calor diria tendo o prdio o comprimento de 100 m,
largura de 70 m e altura de 50 m.
(c) Calculex
f
,
y
f
e
z
f.
(d) Calcule )1,3,2(f
z
.
(e) Interprete o resultado obtido na letra (d)
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11. FUNO PRODUO
Os custos de um processo de manufatura podem em geral ser classificados em dois
tipos: custo de mo-de-obra e custo de capital. O significado do custo de mo-de-
obra evidente. Por custo de capital entendemos a soma de diversos custos, como
o de prdios, ferramentas, maquinrio e itens similares utilizados no processo de
produo. Usualmente um empresrio tem algum controle sobre parte dos custos
de mo-de-obra e capital utilizados em seu processo de produo. Ele pode
automatizar completamente a produo, de forma a reduzir a mo-de-obra para o
mnimo possvel, ou pode utilizar mo-de-obra ao mximo e reduzir os custos de
capital. Suponha que x unidade de mo-de-obra e y de capital sejam utilizadas.
Seja f(x,y) o nmero de unidades acabadas do produto manufaturado. Economistas
descobriram que f(x,y) freqentemente uma funo da forma:
Ay = 1AxCy)f(x, ,
em que A e C so constantes, 0 < A < 1. Um funo desse tipo chamada de
Funo Produo de Cobb-Douglas. (SCHNEIDER, David I.; LAY, David C.;
GOLDSTEIN, Larry J. Matemtica Aplicada Porto Alegre: Bookman, 2000).
(Produo em uma empresa)Suponha que durante um certo perodo de tempo o
nmero de unidades de bens produzidos, quando utilizando xunidade de mo-de-
obra e yunidades de capital, 4/13/4x60y)f(x, y= .
(a)Quantas unidades do bem sero produzidas, utilizando 81 unidades de mo-
de-obra e 16 unidades de capital?
(b)Mostre que a produo ser dobrada sempre que as quantidades de mo-de-
obra e capital forem dobradas. (Economistas dizem que a funo produo
tem retorno constante por escala).
(c)Determine a curva de nvel na qual 600 unidades so produzidas.
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Resposta:
Figura 2 Representao geomtrica da curva de nvel definida na letra (c).
(d)Encontrex
f
e
y
f
.
Observao: as quantidadesx
f
e
y
f
so comumente chamadas de
produtividade marginal de mo-de-obra e de produtividade marginal de
capital.
(e)Encontrex
f
e
y
f
, em x = 81 e y = 16.
(f)Interprete os valores obtidos na parte (e).
12. A produtividade de um pas dada por 3/12/3x300y)f(x, y= , em quex a unidade
de mo-de-obra e yunidades de capital.
(a)Calcule as produtividades marginais de mo-de-obra e capital quando x =
125 e y = 64.
(b)Seja h um nmero pequeno. Utilize o resultado do item (a) para determinar
o efeito aproximado na produo, provocado pela mudana na quantidade demo-de-obra de 125 para 125+h unidades, enquanto o capital permanece
fixo em 64 unidades.
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(c)Utilize o resultado da letra (b) para determinar o efeito aproximado de
decrescer a mo-de-obra de 125 para 124 unidades, enquanto o capital
permanece fixo em 64 unidades.
(d)Qual seria, aproximadamente, o efeito na produtividade provocado pelo
aumento de capital de 64 para 66 unidades, enquanto a mo-de-obra
permanece fixa em 125 unidades?
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
ANTON, Howard. Clculo um novo horizonte. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 6 ed.
Porto Alegre: Bookman, 2000. (Traduo de: Calculus). V.2.
VILA, Geraldo S. S. Clculo. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 2v.
LElTHOLD, Luiz. Oclculo com geometria analtica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3ed. So Paulo: Harbra, 1984. 688 - 1178p. (Traduo de: The calculus with analytic
geometry). V.2.
SIMMONS, George F. Clculo com geometria analtica. Trad. Seiji Hariki. So Paulo:
McGraw-Hill, 1987. 807p. (Traduo de: The calculus with analytic geometry). V.2.
SWOKOWSKI, Earl. W. Clculo com geometria analtica. Trad. Alfredo Alves de Faria.
2 ed. So Paulo: Makron Books. (Traduo de: Calculus). Y.2.
Notas de aula do Prof. Edson Duro Judice Funes de Vrias Variveis.
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IINNTTEEGGRRAALLDDUUPPLLAA
1. DEFINIO E INTERPRETAO GEOMTRICA
Na tentativa de resolver o problema de determinar reas, chegamos definio deintegral definida. Vamos aplicar procedimento semelhante para calcular o volume de
um slido e, no processo, chegar definio de integral dupla.
Considere uma funo f de duas variveis definida em um retngulo fechado (FIG. 1)
R = [a,b] x [c,d] = {(x,y) IR2| a < x < b, c < y < d }.
Figura 1 Regio retangular R.
Vamos, inicialmente, supor f(x, y) > 0. O grfico de f a superfcie de equaoz =
f(x,y) conforme ilustra a figura 1.
Figura 2 Grfico de uma superfcie Sdefinida em um retngulo fechado R.
Seja S o slido que est contido na regio acima de R e abaixo do grfico de S, ou
seja,
y
ba x
d
c
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S = {(x,y,z) IR3| (x,y) R, 0 < z < f(x,y)}.
Nosso objetivo determinar o volume de S.
O primeiro passo consiste em dividir o retngulo R em sub-retngulos. Faremos isso
dividindo o intervalo [a,b] em m subintervalos [xi-1 , xi], de mesmo comprimento
x = (b a) / m, e o intervalo [c,d] em n subintervalos [yj-1 , y j], de mesmo
comprimento y = (b a) / n. traando retas paralelas aos eixos coordenados
passando pelos extremos dos subintervalos, formamos os sub-retngulos.
Rij= [x i-1,x i] x [y j-1,y j ] = {(x,y) | x i-1< x < x i, y j-1< y < y j } cada um dos quais
com rea A = xy ver figura 3.
Figura 3 Diviso da regio retangular Rem sub retngulos.
Se escolhermos um ponto arbitrrio (xij, yij) em cada Rij, podemos aproximar a parte
de S que est acima de cada R ij por uma caixa retangular fina (ou um prisma) com
base Rije altura f(xij, y ij). O volume desta caixa dado pela sua altura vezes a rea
do retngulo da base (Figura 4):
Vij= f(xij, yij)A.
Se seguirmos com esse procedimento para todos os retngulos e somarmos os
volumes das caixas correspondentes, obteremos uma aproximao do volume total de
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S:
V ==
m
1j
ijij
n
1i
A)y,x(f
Essa dupla soma significa que, para cada sub-retngulo, calculamos o valor de f no
ponto amostra escolhido, multiplicamos esse valor pela rea do sub-retngulo e,
ento, adicionamos os resultados.
Figura 4 Volume de um prisma (Vij) interno ao slido limitado inferiormente pela regio Re
superiormente pela superfcie S.
A aproximao V ==
m
1j
ijij
n
1i
A)y,x(f melhora quando aumentamos os valores de m e
de n e, portanto, devemos esperar que:
V = ==
m
1j
ijij
n
1in,m
A)y,x(flim .
Usamos essa expresso para definir o volume do slido S que corresponde regio
que est acima do retngulo Re abaixo do grfico de f.
Mesmo fno sendo uma funo positiva, podemos dar a seguinte definio:
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A integral duplade f sobre o retngulo R
=R dA)y,x(f == m
1jijij
n
1in,m A)y,x(flim
se esse limite existir.
Pode-se provar que o limite existe sempre que ffor uma funo contnua. Alm disso,
se f(x,y) > 0, ento o volume do slido que est acima do retngulo R e abaixo da
superfcie z = f(x.y) :
=R
dA)y,x(fV .
A soma ==
m
1j
ijij
n
1i
A)y,x(f chamada soma dupla de Riemann e usada como
aproximao do valor da integral dupla.
2. PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS DUPLAS:
1) +=+DDD
dA)y,x(gdA)y,x(fdA)]y,x(g)y,x(f[
2) =DD
dA)y,x(fcdA)y,x(cf , onde c uma constante
3) +=21 DDD
dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f , se D = D1D2, onde D1e D2no sesobrepem exceto, possivelmente,nas fronteiras.
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3. EXEMPLO
O volume do slido que est acima do quadrado R = [0,2] x [0,2] e abaixo do
parabolide elptico z = 16 x2 2y2pode ser aproximado pela subdiviso de R em
quatro quadrados iguais e a escolha do ponto amostra como o canto superior de cada
quadrado Rij.
Soluo:Os quadrados esto ilustrados na figura acima e a rea de cada um vale
1. O parabolide o grfico de f(x,y) = 16 x2 2y2. Aproximando o volume pela
soma de Riemann com m = n = 2, temos:
==
2
1j
ijij
2
1i
A)y,x(fV = f(1,1)A + f(1,2) A + f(2,1) A + f(2,2) A
= 13(1) + 7(1) + 10(1) + 4(1) = 34
Esse um volume aproximado das caixas, como mostra a figura 5:
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Figura 5 Slido limitado superiormente pelo parabolide elptico e inferiormente pelo
retngulo R.
Obtemos melhor aproximao do volume quando aumentamos o nmero de
quadrados. A figura 6 mostra como as figuras comeam a parecer mais com o slido
verdadeiro e as aproximaes correspondentes vo se tornando mais precisas quando
usamos 16, 64 e 256 quadrados.
Figura 6 Melhor preciso matemtica: maiores subdivises retangulares.
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INTEGRAIS ITERADAS
Se f for contnua no retngulo R = { (x,y) | a < x < b, c < y < d }, ento
calculamos a integral dupla de f em R atravs de integrais iteradas, como mostrado
abaixo:
=
=
d
c
b
a
b
a
d
cR
dydx)y,x(fdxdy)y,x(fdA)y,x(f
Este resultado, conhecido como Teorema de Fubini, vale sempre que f for
limitada em R, podendo ser descontnua em um nmero finito de pontos de R.
Exemplo 2: Calcule o valor da integral R
2 ydAx , onde R = [0,3] x [1,2]
Soluo: R2
ydAx =
3
0
2
1
2
dxydyx =
3
0
2
1
22
dx2
y
x =
3
0
22
dx2
1x2
4x =
y
3
2
x
1
0
R
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49
3
0
2 dxx2
3=
3
0
3
3
x
2
3
= 5,13
2
27
2
x3
0
3
==
ou
R
2 ydAx =
2
1
3
0
2 dyydxx =
2
1
3
0
3
dyy3
x=
2
1
dy0y3
27=
( )=2
1
dyy9 =
2
1
2
2
y9
=
5,132
27
2
9
2
36===
O valor obtido o volume do slido
acima de R e abaixo do grfico da
funo f(x,y) = x2y (Veja figura ao
lado)
Exemplo 3: Calcule R
dA)xysen(y , onde R = [1,2] x [0,].
Soluo:
[ ]
00sen0sen2
1sensen
2
1
yseny2sen2
1dy)ycosy2cos(
dyxycosdydx)xysen(ydA)xysen(y
00
0
2
1
0
2
1R
=++
=
+=+
===
Obs.:1) Se mudarmos a ordem de integrao, invertendo as integrais iteradas, a
resoluo das mesmas ir requerer a aplicao de tcnicas de integrao, tornando
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o trabalho mais demorado. Portanto, importante observar o tipo de funo que
iremos integrar e fazer uma boa escolha da ordem de integrao.
2) O valor obtido nesta integral representa a diferena do volume da parte do
slido que est acima do retngulo R e do volume da parte do slido que est
abaixo de R. Como o resultado foi zero, estes volumes so iguais.
Exemplo 4: Determine o volume do slido S que delimitado pelo parabolide
elptico x2+ 2y2+ z = 16, os planos x = 2 e y = 2 e os trs planos coordenados.
Soluo: Observemos, primeiro, que
S o slido que est abaixo da superfcie
z = 16 x2 2y2e acima do retngulo R =
[0,2] x [0,2], como mostra a figura.
Vamos calcular o volume deste slido
usando integral dupla:
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( )
( )
48
3
8.42.88
3
y4y
3
88
dyy43
88
dyy43
832
dyxy23
xx16
dydxy2x16
dAy2x16V
2
0
3
2
0
2
2
0
2
2
0
2
0
23
2
0
2
0
22
R
22
=
=
=
=
=
=
=
=
INTEGRAIS DUPLAS EM REGIES NO RETANGULARES (IRREGULARES)
Para integrais simples, a regio sobre a qual integramos sempre um
intervalo. Mas, para integrais duplas, queremos ser capazes de integrar a funo f,
no somente sobre retngulos, mas tambm sobre um regio D de forma mais geral,
como mostra a figura abaixo. Vamos supor que D seja uma regio limitada, o que
significa que D pode ser cercada por uma regio retangular R. Definimos, ento, uma
nova funo F com domnio R por
( )f ( x, y ), se x, y estem DF( x,y )
0, se( x, y )estem Dmas noestem R
=
D
RRR RRR
x x
yy
0 0
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Se a integral dupla de F sobre D existe, ento definimos a integral dupla de f
sobre Rpor
R D
f ( x, y )dA F( x, y )dA=
Clculo da integral dupla em regies planas no retangulares (irregulares)
1)Regies planas inscritas em faixas verticais:
Consideremos uma regio D inscrita na faixa vertical a < x < b e entre ogrfico de duas funes contnuas de x, ou seja:
D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }
onde g1e g2so contnuas em [a,b]. Por exemplo, as regies D representadas abaixo:
A integral dupla de fem D calculada pelas seguintes integrais iteradas:
=b
a
)x(g
)x(gD
dxdy)y,x(fdA)y,x(f2
1
sempre que ffor contnua em D.2)Regies planas inscritas em faixas horizontais:
DDD
x
y
0
DDD
x
y
0
DDD
x
y
0
bbb aa
a y = g1(x)y = g1(x) y = g1(x)
y = g2(x)y = g2(x)y = g2(x)
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Consideremos uma regio D inscrita na faixa horizontal c < y < d e entre o
grfico de duas funes contnuas de y, ou seja:
D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }
onde h1e h2so contnuas em [c,d]. Por exemplo, as regies D representadas abaixo:
A integral dupla de f em D calculada pelas seguintes integrais iteradas:
=d
c
)x(h
)x(hD
dydx)y,x(fdA)y,x(f2
1
sempre que f for contnua em D.
Exemplo 5: Calcule +D
dA)y2x( onde D a regio limitada pelas parbolas
y = 2x2 e y = 1 + x2.
Soluo:
A regio D est inscrita na faixa vertical
1 < x < 1, pois essas so as abscissas dos pontos
de interseco das duas parbolas e podemos
escrever:
D = { (x,y) | 1 < x < 1, 2x2< y < 1 + x2 }
DDD
x
y
0
DDD
x
y
0
DDD
x
y
0
dd
d
ccc
x = h1(y)
x = h1(y)
x = h1(y)
x = h2(y)
x = h2(y)x = h2(y)
x
y
1 1
y = 2x2
y = 1 + x2
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Assim, calculamos a integral dupla atravs das seguintes integrais iteradas:
[ ]
[ ] [ ]
( )
( )
15
32
x2
x
3
x
24
x
5
x
3
dx1xx2xx3
dxx4x2xx21xx
dxx4x2)x1()x1(x
dxyxydxdy)y2x(dA)y2x(
1
1
2345
1
1
234
1
1
43423
1
1
43222
1
1
x1
x22
1
1
x1
x2D
2
2
2
=
+++=
+++=
++++=
++++=
+=
+=+
+
+
Exemplo 6: Determine o volume do slido que est abaixo do parabolide z = x2+ y2
e acima da regio do plano xy limitada pela reta y = 2x e pela parbola y
= x2.
Soluo: D uma regio inscrita na faixa vertical 0 < x < 2, portanto:
D = { (x,y) | 0 < x < 2, x2< y < 2x }
Assim, o volume :
( ) ( )
35
216
21
128
5
32
12
16.14
21
x
5
x
12
x14dx
3
xx
3
x14
dx3
xx
3
x8x2dx
3
yyx
dxdyyxdAyxV
2
0
7542
0
64
3
2
0
64
33
2
0
x2
x
32
2
0
x2
x
22
D
22
2
2
==
=
=
+=
+=
+=+=
y = 2x
y = x2
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Mas tambm podemos inscrever a regio D na faixa horizontal 0 < y < 4, com:
D = { (x,y) | 0 < y < 4, yx2
y }
Portanto, o volume pode ser calculado como:
( ) ( )
35
216256.
96
13128.
7
232.
5
2y
96
13y
7
2y
15
2dyy
24
13yy
3
1
dy2
y
24
yy
3
yxy
3
xdydxyxdAyx(V
4
0
427
25
4
0
325
23
4
0
33
252
34
0
y
2y
234
0
y
2y
22
D
22
=+=
+=
+=
+=
+=
+=+=
Exemplo 7: Calcule D
xydA , onde D a regio limitada pela reta y = x 1 e pela
parbola y2= 2x + 6.
Soluo:
A interseco das duas curvas calculada da seguinte maneira:
[y2= 2x + 6] [y = x 1] 2
6yx
2 = e x = y + 1 1y
2
6y2+=
y2 2y 8 =
0
y = 2 ( x = 1 ) ou y = 4 (x = 5 )
y2= 2x + 6
y = x 1
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Portanto os pontos de interseco das curvas so (-1,-2) e (5,4).
Novamente, a regio D pode ser considerada inscrita tanto em uma faixa
vertical como em uma faixa horizontal. Mas a descrio de D considerada inscrita na
faixa vertical -3 < x < 5 mais complicada, pois sua fronteira inferior constituda
por mais de uma curva.
Assim, preferimos expressar D como:
D = { (x,y) | -2 < y < 4,2
6y 2 < x < y + 1 }
Logo:
36643
6464
3
32256
3
5121024
3
2048
8
1
y163
y8y4
6
y
8
1
dy4
y32y8y16y
2
1
dy)8
y36y12y
2
yy2y(
dyy2
xdyxydxxydA
4
2
23
46
4
2
235
4
2
3523
4
2
1y
2
6y
24
2
1y
26yD
22
=
+++++=
++=
++=
+
++=
=
=
+
+
Exemplo 8: Determine o volume do tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x
= 2y, x = 0 e z = 0.
Soluo: Em uma questo como esta, prudente desenhar dois diagramas: um do
slido tridimensional e outro da regio plana D sobre a qual o slido est.Igualando as equaes dos planos, duas a duas, obtemos as retas que
contm as arestas do tetraedro:
(0, 1, 0)
(0, 0, 2)
x + 2y + z =
x = 2y
y
zy
1
x + 2y = 2
D
T
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A figura acima, esquerda, mostra o tetraedro T limitado pelos planoscoordenados x = 0, z = 0, o plano vertical x = 2y e o plano x + 2y + z = 2.
Como x + 2y + z = 2 intercepta o plano xy (de equao z = 0) na reta x + 2y
= 2, vemos que T est sobre a regio triangular D, do plano xy, limitada pelas retas x
= 2y, x + 2y = 2 e x = 0.
O plano x + 2y + z = 2 pode ser escrito como z = 2 x 2y e a regio D
como:
D = { (x,y) | 0 < x < 1, x/2 < y < 1 x/2 }.
Portanto o volume de T :
( ) ( ) [ ]
( )3
1
3
xxxdxxx21
dx4
x
2
xx
4
xx1
2
xxx2
dx4
x
2
xx
2
x1
2
x1x
2
x12
dxyxyy2dxdyy2x2dAy2x2V
1
0
32
1
0
2
1
0
2222
1
0
222
1
0
2x1
2x
21
0
2x1
2/xD
=
+=+=
++++=
++
=
===
x1
x = 2y
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EXERCCIOS SOBRE INTEGRAL DUPLA EM COORDENADA CARTESIANA E
POLAR
1. Faa um esboo da regio R (regio de integrao) e calcule as integrais:
a) 2
1
2
0
32 dxdyyx
b) 1
0 22
y
ydydxyx
c) 4
0
2
3
0
2
16
x
dxdyx
d) ( ) +
+2
1
2
221
y
ydydxx
2. Calcule a integral dupla R
dAxy2 (considerando dA = dx dy e dA = dy dx),
sendo R a regio entre a parbola 2yx= e a reta xy= ,
3. Calcule a integral dupla ( )
+
R
dAx21 (considerando dA = dx dy e dA = dy dx). R
a regio limitada entre a parbola 2yx= e a reta 2=yx ,
4. Calcule a integralR
I x dS= , sendo R a regio, pertencente ao plano XY (no 1
quadrante), limitada pelas equaes 2y x= , y x= e 2 2 4x y+ = .
5. Utilize integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos
2 4x y z+ + = , x = 0, y = 0 e z = 0.
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6. Calcule a integralR
I y dS= , sendo R a regio, pertencente ao plano XY (no 1
quadrante), limitada pelas equaes 2y x= , y x= e 2 2 16x y+ = .
7. Utilize integral dupla para calcular o volume do tetraedro limitado pelos planos
2 2x y z+ + = , x = 0, y = 2x e z = 0.
8. Use a integral dupla para calcular as reas das regies limitadas pelas curvas:
a) 2yx= e 2=xy
b) 2xxy = e 0=+xy
c) 2=xy e 2=xy
d) 2yx= e xy=
e) xy= e 23 xxy =
EXERCCIOS SOBRE COORDENADA POLAR E INTEGRAL DUPLA EM
COORDENADA POLAR
1.Determine as equaes polares para as curvas dadas em equaes cartesianas:
(a)xy = 3 Resposta: r2sen 2= 6
(b)(x2+ y2)2= x2 y2 Resposta: r2= cos 2
(c)x3= y2(2a x) Resposta: r = 2a sentg
2.Esboce o grfico das seguintes equaes polares:
(a)r = a
(b)=6
3. Converta a funo em coordenadas polares r = 2a sen para coordenadas
cartesianas e faa um esboo da curva definida pela funo.
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4.Ache a rea da menor das regies delimitadas pelo eixo polar, pelos grficos de r=1
e r=2 e pela parte da espiral r=1 de =2
1a =1. Resposta: 1
5. Utilize coordenadas polares para calcular ( ) +R
dSyx 23
22 onde R a
circunferncia x2+ y2= 4.
Resposta:5
64
6.Ache a rea da regio R exterior ao crculo r = a e interior ao crculo r = 2a sen.
Resposta: 1,9a2(u.a)
7.Ache o volume da regio que fica no exterior do cilindro x2+ y2= 9 e no interior da
esfera x2+ y2+ z2= 25. Resposta:3
256
8.Calcule +
R
yx dxyde22
, usando coordenadas polares, onde R a regio semicircular
limitada pelo eixo x e pela curva 2x1y = . Resposta:2
(e-1).
9. Calcular a integral convertendo para coordenadas polares
+1
0
x1
0
222
dxyd)yx( .
x
r = 2r = 1
r= 1
= 6
5
r = 2a sen
r = a
= 6
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Resposta:8
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QUESTES DE PROVA DOS SEMESTRES ANTERIORES
1. Considere a integral
1 6 3
0 3 ( , )
x
xI f x y dydx
= , pede-se:(a)faa um esboo regio Rde integrao;
(b)considere a regio definida na letra (a) e, inverta a ordem de integrao, isto
, defina os limites das integrais considerando ( , )R
I f x y dxdy= .
2. Resolva a integral ( )G
I x y dV= + , sendo G o slido, no 2 octante, que fica no
interior do parabolide 2 236z x y= e interno ao cilindro de equao
2 216x y+ = - obs.: regio limitada por circunferncia. (Determine todos os pontos
de interseo do slido com os eixos cartesianos e as equaes das curvas no plano
xy).
3. Utilize uma integral dupla para calcular o volume do slido limitado pelos planos
2 2x y z+ + = ,1
2x y= , 0y= , 0z= . (Faa um esboo do slido)
4. Considere a integral1
1 24
0 2( , )
x
xI f x y dydx
= , pede-se:
(a)faa um esboo regio Rde integrao;
(b)considere a regio definida na letra (a) e, inverta a ordem de integrao, isto
, defina os limites das integrais considerando ( , )
R
I f x y dxdy= .
5. Resolva a integral ( )G
I x y dV= + , sendo G o slido, no 1 octante, que fica no
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interior do parabolide 2 216z x y= e interno ao cilindro de equao 2 2 4x y+ = -
obs.: regio limitada por circunferncia. (Determine todos os pontos de interseo do
slido com os eixos cartesianos e as equaes das curvas no plano xy).
6. Utilize uma integral dupla para calcular o volume do slido limitado pelos planos
2 2x y z+ + = , 2x y= , 0x= , 0z= . (Faa um esboo do slido)
7. Considere a integral1 1
2
02
( , )x
xI f x y dydx
= , pede-se:
(a)faa um esboo regio Rde integrao;
(b)considere a regio definida na letra (a) e, inverta a ordem de integrao, isto
, defina os limites das integrais considerando ( , )R
I f x y dxdy= .
8. Dada a integral2
1 2
0( , )
y
yI f x y dxdy
= , pede-se:
(a)faa um esboo regio Rde integrao;
(b)considere a regio definida na letra (a) e inverta a ordem de integrao, isto
, defina os limites das integrais considerando ( , )R
I f x y dydx=
.
9. Dada a integral2
1 2
0( , )
x
xI f x y dy dx
+
= , pede-se:
(a)faa um esboo regio Rde integrao;
(b)considere a regio definida na letra (a) e inverta a ordem de integrao, isto
, defina os limites das integrais considerando ( , )R
I f x y dxdy= .
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REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
ANTON, Howard. Clculo um novo horizonte. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 6 ed.
Porto Alegre: Bookman, 2000. (Traduo de: Calculus). V.2.
VILA, Geraldo S. S. Clculo. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientficos, 2v.
LElTHOLD, Luiz. Oclculo com geometria analtica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3
ed. So Paulo: Harbra, 1984. 688 - 1178p. (Traduo de: The calculus with analytic
geometry). V.2.
Notas de aula do Prof. Edson Duro Judice Funes de Vrias Variveis, 1975.
SIMMONS, George F. Clculo com geometria analtica. Trad. Seiji Hariki. So Paulo:
McGraw-Hill, 1987. 807p. (Traduo de: The calculus with analytic geometry). V.2.
SWOKOWSKI, Earl. W. Clculo com geometria analtica. Trad. Alfredo Alves de Faria.
2 ed. So Paulo: Makron Books. (Traduo de: Calculus). Y.2.
www.pucrs.br/famat/beatriz/calculoII/INTEGRAL_DUPLA.doc
INTEGRAL TRIPLA
1. INTEGRAL TRIPLA EM COORDENADAS CARTESIANAS (RETANGULARES)Sejaf(x, y, z)uma funo de trs variveis independentes definida em uma regio fechada e limitada
(slido G) do espao XYZ.
Se subdividir G em pequenas sub-regies traando planos paralelos aos planos cartesianos e
considerar um ponto arbitrrio P (xk, yk, zk) para cada paraleleppedo no interior de G, conforme
ilustra a figura 1 (FIG. 1), tem-se:
( )=
n
k
kkkk Vzyxf
1
,,
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Onde kV o volume do paraleleppedo no interior do slido G.
Figura 1 Slido G (regio fechada e limitada do espao XYZ).
Para considerar os nparaleleppedos (cujo volume kV ), todos os pontos internos ao slido G e
que as arestas dos paraleleppedos tendem a zero quando n, deve-se fazer:
( )=
n
k
kkkkn Vzyxf
1
,,lim .
Este limite (se existir) definido como integral tripla de f (x, y ,z) em relao ao slido G e
representa-se da seguinte forma:
( ) dVzyxfVzyxfG
n
k
kkkkn ==
),,(,,lim
1
Cujas propriedades, de forma anloga integral dupla, so:
a. ;,),,(),,( RcdVzyxfcdVzyxfc
GG
=
b. ( ) dVgdVfdVgf
GGG
= , sendo quefe gso funes de (x, y, z);
c. dVfdVfdVf
GGG
=21
, 21 GGG =
COMO CALCULAR UMA INTEGRAL TRIPLA
A integral tripla pode ser calculada atravs de integraes sucessivas, reduzindo-a inicialmente a
uma integral dupla. Neste caso, podem-se ter diversas situaes, conforme ilustram as figuras FIG.
2, FIG. 3 e FIG. 4, designadas como Regio tipo I, tipo II e tipo III, respectivamente.
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REGIO TIPO I
Figura 2 O slido G limitado inferiormente pela funo h1(x, y)e superiormente pelo grfico de h2(x, y), onde h1e h2
so funes contnuas sobre a regio R pertencente ao plano XY.
REGIO TIPO II
Figura 3 O slido G limitado esquerda pelo grfico p1(x, z)e direita pelo grfico de p2(x, z), ondep1ep2 so
funes contnuas sobre a regio R do plano XZ.
REGIO TIPO III
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Figura 4 O slido G limitado na parte de trs pelo grfico q1(y, z)e na frente pelo grfico de q2(y, z), ondep1ep2 so
funes contnuas sobre a regio R do plano YZ.
EXEMPLO: EXERCCIO RESOLVIDO
1. Determine os limites de integrao para calcular a integral tripla de uma funoF(x, y, z)sobre o tetraedro, no primeiro octante, limitado pelos planosz = 0, y = x
+ z e y = 1.
SOLUO:
REGIO TIPO I
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1
0 0 0( , , ) ( , , )
y y x
G
F x y z dV F x y z dz dx dy
=
ou
1 1
0 0
( , , ) ( , , )y x
xG
F x y z dV F x y z dzdydx
=
Por exemplo, se F(x, y, z) = 1, encontrar-se-ia o volume do tetraedro:
1 1
0 0
1 1
0
11
2
0
12
0
1
2 3
0
( )
1
2
1 1
2 2
1 1 1
2 2 6
1
( . )6
y x
x
x
y
y x
V dzdydx
V y x dydx
V y xy dx
V x x dx
V x x x
V u v
=
=
=
=
=
= +
= +
=
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REGIO TIPO II
1 1 1
0 0( , , ) ( , , )
x
x zG
F x y z dV F x y z dy dz dx
+=
ou
1 1 1
0 0( , , ) ( , , )
z
x zG
F x y z dV F x y z dy dxdz
+=
Se considerar F(x, y, z) = 1, o resultado ser o mesmo obtido na regio anterior:
( )1
.6
V u v= . Tente e verifique!!!
REGIO TIPO III
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1
0 0 0( , , ) ( , , )
y y z
G
F x y z dV F x y z dxdz dy
=
ou
1 1
0 0( , , ) ( , , )
y z
zG
F x y z dV F x y z dxdy dz
=
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EXERCCIOS
1. Utilize uma integral tripla em coordenadas cartesianas para calcular o volume do
slido G limitado pelos planos y = 0, z = 0, y + z = 4 e pelo cilindro parablico
24 xz = . (FAA UM ESBOO DO SLIDO)
Resposta:
50
3V= (u. v).
2. Esboar a regio de integrao e calcular as integrais:
a)1 1 1
0 0 0
y x ydzdxdy
b) 21 2
0 0
x x y
xxdzdxdy
Respostas:
a) b)
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3. Resolva a integral triplaG
I dV= , onde G o slido, no 1 octante, delimitado
pelo cilindro parablico 24x y= , pelos planos 5y z+ = ,1
3y x= e x = 0. Em
seguida, defina o significado do resultado encontrado. (FAA UM ESBOO DO
SLIDO)
Resposta:
24V= (u. v).
4. Calcule a integralG
I dV= , onde G o slido, no 1 octante, delimitado pelo
cilindro 2 2 4 0x y y+ = , pelo plano 10x y z+ + = e pelo plano z = 2. Em seguida,
defina o significado do resultado encontrado.
Resposta:
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( )127 1
. .8 12
V u v
=
5. Resolva a integral ( )2 2G
I x y dV= + onde G o cilindro2 2 1x y+ e 0 4z .
Resposta: ( )2 2 2G
x y dV + = .
Bom estudo!
Edna.
REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS
ANTON, Howard. Clculo um novo horizonte. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 6 ed.
Porto Alegre: Bookman, 2000. (Traduo de: Calculus). V.2.
LElTHOLD, Luiz. Oclculo com geometria analtica. Trad. Cyro de Carvalho Patarra. 3
ed. So Paulo: Harbra, 1984. 688 - 1178p. (Traduo de: The calculus with analytic
geometry). V.2.
SIMMONS, George F. Clculo com geometria analtica. Trad. Seiji Hariki. So Paulo:
McGraw-Hill, 1987. 807p. (Traduo de: The calculus with analytic geometry). V.2.
SWOKOWSKI, Earl. W. Clculo com geometria analtica. Trad. Alfredo Alves de Faria.
2 ed. So Paulo: Makron Books. (Traduo de: Calculus). V.2.