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Universidade de Caxias do Sul
Matemática para Engenharia IVPROFESSOR: DR. VALDECIR BOTTEGA
1: EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1.1 Conceitos Básicos
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função incógnita e suas derivadas. Porexemplo y ′ + 2y = 0, onde y = fx (y é uma função incógnita dependente de uma outra variável x).
Observação: As derivadas ordinarias (dependentes de uma variável) serão descritas ao longo deste
curso com a notação de Leibnizd3y
dx3,
d2y
dx2,
dy
dx, ou com a notação linha y ′′′, y ′′, y ′. Também existe a
notação ponto de Newton...y,
..y,
.y, para denotar derivadas com relação ao tempo.
Exemplos:
a)dy
dx= fx ou y ′ = fx y : função incógnita, onde y = yx, ou seja, por exemplo, y ′ = x + 3
b)d2y
dx2+ 2
dy
dx
2
= 1 y = yx
c)d3y
dx3+ x + 3
d2y
dx2+
dy
dx+ xy = 0 y = yx
d)d2y
dx2
3
+ ydy
dx
7
+ y3 dy
dx
2
+ 5x = 0 y = yx
e)∂2y
∂t2= c
∂2y
∂x2y = yx, t
f) md2xt
dt2= F t,xt,
dxtdt
(Lei de Newton)
1.1.1 Classificação:1. Tipo:
Eq, Diferencial
↙ ↘
Eq.Diferencial Ordinária(EDO) Eq. Diferencial Parcial (EDP)
- EDO: uma equação diferencial ordinária é aquela cuja função incógnita depende de apenas umavariável independente.Exemplos.: a), b), c), d) e f).
- EDP: uma equação diferencial parcial é aquela cuja função incógnita depende de duas ou maisvariáveis independentes.Exemplo: e).
2. Ordem: A ordem de uma equação diferencial é a ordem da mais alta derivada que nelaaparece.
Exemplos.: a) é equação diferencial de primeira ordem.b), d), e) e f) são equações diferenciais de segunda ordem.c) é equação diferencial de terceira ordem.
1
3. Linearidade: Eq. Diferencial
↙ ↘
Linear Não - linear
- Linear: uma equação diferencial ordinária (EDO) de ordem n é linear se for linear com relação a y esuas derivadas. Uma EDO linear pude ser escrita na forma:
a0xdny
dxn + a1xdn−1y
dxn−1+. . .+anxy = gx
(Definição semelhante aplica-se a EDP).
- Não-linear: uma equação diferencial que não tenha a forma da equação acima é dita não-linear.Exemplos.: a), c) e e) são lineares.
b) e d) são não-lineares (potências das derivadas).
1.1.2 Verificação de uma Solução
Uma solução de uma equação diferencial na função incógnita y e na variável independente x, numintervalo I, é uma função que verifica a equação diferencial identicamente para todo x em I.
Exemplo 1: yx = C1 sin2x + C2 cos2x é solução de y ′′ + 4y = 0 ?y ′x =
y ′′x =Substituindo na EDO, verifica-se que yx satisfaz a equação diferencial para ∀x ∈ −∞,∞.Portanto, yx é solução da EDO no intervalo −∞,∞.
Exemplo 2: yx = x2 lnx é solução de x2y ′′ − 3xy ′ + 4y = 0 , x > 0 ?y ′x = 2x lnx + x
y ′′x = 2 lnx + 3
Definição: Uma solução particular de uma equação diferencial é qualquer solução. A solução geral deuma equação diferencial é o conjunto de todas as soluções.Exemplo 3: Pode-se mostrar que yx = C1 sin2x + C2 cos2x é a solução geral de y ′′ + 4y = 0. Isto é, todaa solução particular da EDO tem esta forma. Por exemplo, são soluções particulares:
y = 5sin2x − 3cos2x C1 = 5,C2 = −3y = sin2x C1 = 1,C2 = 0y = 0 C1 = 0,C2 = 0
1.1.3 Problemas de Valores Iniciais e de Valores no Contorno:
Condições Iniciais: Uma equação diferencial acompanhada de condições adicionais sobre a funçãoincógnita e suas derivadas (todas no mesmo valor da variável independente) constitui um problema devalores iniciais. Estas condições são chamadas C.I. (condições iniciais).Exemplo 1: y ′′ + 2y ′ = ex
yπ = 1 , y ′π = 2 (CI)Este é um problema de valor inicial, pois as condições adicionais são dadas em x = π.
Condições de Contorno: Se as condições adicionais são dadas para mais de um valor da variávelindependente, temos um problema de valores no contorno e as condições são C.C. (condições de
2
contorno).Exemplo 2: y ′′ + 2y ′ = ex
y0 = 1 , y1 = 1 (CC)Este é um problema de valor no contorno, pois as condições adicionais são dadas em x = 0 e x = 1.
Exemplo 3: Determine uma solução do problema y ′′ + 4y = 0 onde y0 = 0 , y ′0 = 1 se a solução geralé yx = C1 sin2x + C2 cos2x
y0 =y ′x =y ′0 =Solução particular: yx = 1
2sin2x
Observação⋅ Solução geral: conjunto de todas as soluções (família de curvas)⋅ Solução particular: solução que satisfaz as CI ou as CC (uma única curva)
20-2-4
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
x
y
x
y
20-2-4
2.5
1.25
0
-1.25
-2.5
x
y
x
y
Solução particular do exemplo 3: Soluções particulares C2 = 0 e C1 = 12
, 1, 2, 3.
1.2 LISTA DE EXERCÍCIOS I
1- Nos exercícios seguintes, determine:(a) a ordem da eq. diferencial. (b) o tipo EDO ou EDP.(c) a variável independente. (d) a função incógnita.1.1 y ′ + xy = x2 1.2 y ′3 = sinx
1.3 ∂2u∂x2
+ ∂2u∂x∂y
+ 7 ∂2u∂y2
+ 8 ∂u∂x
+ 2u = sinxy
1.4d3y
dx3+ 3
d2y
dx2+ y = ex 1.5
d4y
dx4
d3y
dx3
d2y
dx2=
dy
dx
1.6 y ′′2 − 3yy ′ + xy = 0 1.7 x4yIV + xy ′′′ = ex 1.8dny
dxn = y2 + 1
2 - Quais, entre as funções abaixo, são soluções de y ′ − 5y = 0?a) y = 5 b) y = 5x c) y = x5 d) y = e5x e) y = 2e5x f) y = 5e2x
3 - Quais, entre as funções abaixo, são soluções de x ′′ − 4x ′ + 4x = e t ?a) x = e t b) x = e2t c) x = e2t + e t d) x = te2t + e t e) x = e2t + te t
4 - Determine os valores das constantes, de modo que as funções dadas satisfaçam as condições iniciaisindicadas:4.1 yx = C1ex + C2e2x + 3e3x; y0 = 0; y ′0 = 0
4.2 yx = C1 sinx + C2 cosx + 1; yπ = 0; y ′π = 0
3
Respostas:1.1 (a) 1 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.2 (a) 1 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.3 (a) 2 (b) E.D.P. (c) x,y (d) ux,y1.4 (a) 3 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.5 (a) 4 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.6 (a) 2 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.7 (a) 4 (b) E.D.O. (c) x (d) yx1.8 (a) n (b) E.D.O. (c) x (d) yx2- (d) e (e) 3- (a), (c) e (d)4.1 C1 = 3, C2 = −6 4.2 C1 = 0, C2 = 1.
2: EDO DE PRIMEIRA ORDEM2.1 Equações a Variáveis Separáveis:
A forma padrão de uma EDO de primeira ordem édy
dx= fx,y. No entanto, podemos escrever fx,y
comoMx,y−Nx,y
, assim,
dy
dx=
Mx,y−Nx,y
-Nx,ydy = Mx,ydx
e obtemos a forma diferencial para esta equação:Mx,ydx + Nx,ydy = 0
Exemplo 1: Escreva yyy ′ − 1 = x na forma padrão e na forma diferencial:
Forma padrão:dy
dx=
x + y
y2
Forma diferencial: (existem infinitas)x + y
y2dx − dy = 0 ou x + ydx − y2dy = 0
Uma EDO de primeira ordem é uma equação a variáveis separáveis se pode ser escrita como:
Mxdx + Nydy = 0
e sua solução geral é obtida via integração:
∫Mxdx + ∫Nydy = C
Exemplo 2: Determinar a solução geral da equaçãody
dx= x2
1 − y2:
Solução: x3 + y3 − 3y = C
Obs.: y = yx implícitamente.
Exemplo 3: Determinar a solução geral da equaçãody
dx= 3x2 :
Solução: y = x3 + C
Obs.: dependência explícita ( yx está isolado)
4
Exemplo 4: Determinar a solução geral da equaçãody
dx= 4y :
Solução: y = Ce4x
2.2 Lista de Exercícios II1 - Escreva as seguintes equações diferenciais na forma padrão:
1.1 exy ′ + e2xy = sinx 1.2 yyy ′ − 1 = x
1.3 xy + 3dx + 2x − y2 + 1dy = 0 1.4 xy ′ + cosy ′ + y = 1
2 - Determine a equação da curva que passa pelo ponto P5,6, conhecendo a declividade de sua
tangente num ponto qualquer dada por:dy
dx= 2x
3y.
3 - Resolva as seguintes equações diferenciais:
3.1 y ′ = 5y 3.2 y ′ = 5 x2 3.3 dbdp
= 2b 3.4dy
dx= − sinx 3.5 xdx + ydy = 0
4) Resolva as seguintes equações diferenciais:
a) 3xy2 + 1dx + yx2 + 2dy = 0 d) v dvdt
= g (g é constante)
b)dy
dx= 8xy + 3y e) y ′ = 1 + x + y2 + xy2
c) yy ′ = cos2wx. (w é constante)5) Resolva os seguintes problemas de valor inicial:
a) y ′ = − xy , y1 = 2 c) dI
dt+ 5I = 10 , I0 = 0
b) sin2ydx + cos2xdy = 0 , y π4 = π
4d) v dv
dt= g , vt0 = v0
Respostas
1.1 y ′ = −exy + e−x sinx, onde fx,y = −exy + e−x sinx 1.2 y ′ =x + y
y2
1.3 y ′ =xy + 3
y2 − 2x − 11.4 Não pode ser escrita na forma padrão.
2 3y2 − 2x2 = 58
3.1 y = ce5x 3.2 y =5
3x3 + c 3.3 b = Ce2p 3.4 y = cosx + c 3.5 y = ± k − x2
4.a) x2 + 23y2 + 1 = k. 4.b) y = ke4x2+3x. 4.c) (use cos2wx = 12+ 1
2cos2wx) y2 = x + sin2wx
2w.
4.d) v2 = 2gt + k. 4.e) (use ∫ 1
y2+1dy = arctgy) arctgy = x2
2+ x + k.
5.a) x2 + y2 = 5 5.b) tgx − cot gy = 0 5.c) It = 21 − e5t 5.d) v2 − 2gt = v02 − 2gt0
Exercícios Extras:1) Encontre o(s) valor(es) de m para os quais y = emx seja solução das equações diferenciais queseguem:1.1) y ′ + 2y = 0
1.2) y ′′ − 5y ′ + 6y = 0
2) Encontre a solução geral ou uma solução particular para as equações diferencias a seguir, conforme ocaso:
2.1) y ′ = − xy ; 2.2) r′ + r = 1; 2.3) y ′ = xy; 2.4)
y ′
y − 2= 2; 2.5) yy ′ = x; 2.6) dT
dt= 0,5T − 10
satisfazendo T0 = T0; 2.7) y ′ = y2 satisfazendo y1 = 2; 2.8) r′ + 2r = 20 satisfazendo r1 = 10;
2.9) x2 dy
dx= y − xy satisfazendo y−1 = −1; 2.10) xe−y sinxdx − ydy = 0;
5
Respostas: 2.1) y2 + x2 = C; 2.2) rx = 1 + ke−x; 2.3) yx = ke12
x2
; 2.4) yx = 2 + ke2x; 2.5) y2 − x2 = k
2.6) Tt = 10 + T0 − 10e0,5t; 2.7) yx = 23−2x
; 2.8) rx = 10 − ke−2r; 2.9) yx = e− 1x
ex ;
2.10) ey1 − y = −x cosx + sinx + C
2.3 Exemplo de Aplicação2.3.1 Cultura de Bactérias
Considere uma cultura de bactérias cuja taxa de crescimento populacional é proporcional àpopulação presente. Determinar a quantidade de bactérias presentes, após 15 horas, sabendo que após3 horas a quantidade inicial duplicou:
Sejam Nt o número (população) de bactérias no intante t, k uma constante de proporcionalidade, N0
a população inicial (no instante de tempo t = 0) e dNdt
, a taxa de crescimento populacional (velocidade de
crescimento). Então, a EDO é dada por:dNdt
= kNt
N0 = N0 e N3 = 2N0
A solução desta EDO é N = Aekt, substituindo as condições de contorno, determinamos A e k :
Nt = N0et ln2
3 e, em t = 15, obtemos N15 = 32N0
2.3.2 Problemas de Temperatura: Lei do Resfriamento de Newton (válida também paraaquecimento).“ A taxa de resfriamento de uma substância numa corrente de ar é proporcional à diferença entre atemperatura da substância e a temperatura do ar”.
Sejam T: temperatura do corpoTm: temperatura do meiok: constante de proporcionalidade.
dTdt
= kT − Tm
Exemplo 1: Considere a temperatura do ar 250C. Se uma substância resfria, neste ambiente, de1000 C
para 700 C, em 20 minutos, ache o intante em que a temperatura da substância é 500C.
Obs.: Suponha que a temperatura da substância é homogênea.Sejam Tt a temperatura da substância 0 C no instante t (min) e k uma constante de
proporcionalidade. Então, a EDO é dada por:dTdt
= kT − 25
T0 = 100 e T20 = 70
A solução desta EDO é T = Aekt + 25 , substituindo as condições de contorno, encontramos A e k :
Tt = 75e
t20
ln35 + 25 e, queremos encontrar t1 tal que Tt1 = 50. Substituindo na solução, obtemos
t1 = 42,25 min, ou seja, 42 min e 15 seg.
6
1007550250
100
87.5
75
62.5
50
37.5
x
y
x
y
Grafico da solução da EDO.
2.3.3 Um corpo em queda livre:
Um corpo em queda livre, satisfaz a segunda lei de Newton que indica que a força líquida que ajesobre o corpo (peso) é proporcional à sua aceleração.considerações: - massa e gravidade são constantes;
- resistência do ar é proporcional à velocidade v da queda;- direção positiva é para baixo.
Da segunda lei do movimento de Newton, obtemos: F = m dvdt
onde F é a força líquida e dvdt
é a taxa
de variação da velocidade (aceleração) e m é a massa (constante). Equação do movimento resulta
mg − kv = m dvdt
mg = m dvdt
+ kv dvdt
+ km v = g
onde mg = W é o peso do corpo e kv é a resistência do ar. .
Observação: Se k = 0 (desprezamos a resistência do ar) a equação se reduz à: dvdt
= g.
2.4 LISTA DE EXERCÍCIOS III1) Determinar o tempo necessário para que uma certa quantia duplique seu valor quando aplicada à jurosde 5% ao ano, continuamente acumulados.2) Sabendo que o rádio se decompõe numa razão proporcional à quantidade existente e que a metadeda porção original desaparece em 1600 anos, calcular a percentagem perdida em 100 anos.3) Numa cultura, a quantidade de fermento ativo cresce proporcionalmente à quantidade presente.Sabendo que em uma hora a porção inicial foi duplicada, qual a multiplicação que se pode esperar nofinal de 2 : 45 horas?4) Uma certa substância esfria-se de 1000C a 600C, em 10 minutos. Agora, sendo a temperaturaambiente, 200C. Achar a temperatura da substância depois de 40 minutos.
5) O nuclídeo radioativo plutônio 241 decai de acordo com a eqação diferencialdQ
dt= −0,0525Q, onde Q
está em miligramas e t em anos.a) Determinar a meia vida τ do plutônio 241.b) Se 50 mg de plutônio estiverem presentes numa atmosfera no dia de hoje, quanto plutônio existirádaqui a dez anos?6) Uma bola, com massa de 0,25 kg, é lançada para cima, com uma velocidade inicial de 20 m/s, doterraço de um edifício com 30 m de altura. Desprezar a resistência do ar.a) Calcular a altura máxima que a bola atinge acima do nível do solo.b) Admitindo que a bola não caia no terraço, ao retornar, calcular o tempo que leva para atingir o solo.Respostas.1) 13,9 anos. 2) 4,23%. 3) 6,73 vezes a quantia original 4) 250C.
5) a) 13,20 anos b) 29,6 mg 6) a) 50,4 m. b) 5,25 s.
7
2.5 Equações Diferenciais Lineares:
Quando podemos escrever fx,y == pxy + qx na equação diferencialdy
dx= fx,y, dizemos que a
equação é linear, ou seja,dy
dx+ pxy = qx
Solução: Utilizamos o fator de integração Ix = e∫ pxdx
.
Ixdy
dx+ Ixpxy = qxIx
e∫ pxdx dy
dx+ Ixpxy = qxe∫ pxdx
ddx
e∫ pxdx
.y = e∫ pxdx
.qx
Integrando em relação a x:
e∫ pxdx
.y = ∫ e∫ pxdx
.qxdx
y = e−∫ pxdx
. ∫ e∫ pxdx
.qxdx + C
Exemplo 1: Resolva y ′ + 2y = e−x , y0 = 0.75
Fator integrante: Ix = e2x
Solução geral: y = e−x + Ce−2x
Solução particular: y = e−x − 0.25e−2x
Exemplo 2: Resolva y ′ − 2xy = x , y0 = 0
Fator integrante: Ix = e−x2
Solução geral: y = − 12
+ Cex2
Solução particular: y = − 12
+ 12
ex2
2.6 LISTA DE EXERCÍCIOS IV
1) Verifique se as seguintes equações são Equações diferenciais Lineares e resolva-as.
a)dy
dx+
yx = 1 b)
dy
dx− 2y
x = x2 sin3x. c)dy
dx= 2xy − x + 1
d) xdy
dx+ y = 2x, y1 = 2.
Respostas.
1.a) yx = x2
+ kx , 1.b) yx = x2− cos3x
3+ k. 1.c) yx = x + kex2
.
1.d) yx = x + kx
2) Encontre a solução da equação diferencial:a) x
dy
dx+ 4y = x3 − x Resposta: yx = x3
7− x
5+ C
x4
b) y ′ − y = 1 − x Resposta: yx = x + Cex
c) dq
dt− 0,5q = 0,1cos t com a condição q0 = 1
Resposta: qt = −0,04cos t + 0,08sin t + 1,04e0,5t
d) 2xy ′ − y = x com y1 = 2 Resposta: yx = x + x
e) 20q′ + 100q = 60e−2t tal que q0 = 0 Resposta: qt = e−2t − e−5t
f) 0,2y ′ = y
x2+ 0,1
x2Resposta: yx = −0,1 + Ce−5/x
g) xdy
dx− 4y = x6ex Resposta: yx = x5ex − x4ex + Cx4
h) y ′ + 3xy = x Resposta: yx = 13+ Ce−1,5x2
8
i) y ′ = −2y + cosx com y1 = 1 Resposta: yx = 0,4cosx + 0,2 sinx + 4,5486e−2x
2.7 Aplicações das EDOs de Primeira Ordem Lineares- Problemas de Diluição:
Considere um tanque contendo inicialmente V0 litros de salmoura com a kg. de sal. Uma outrasolução com b kg. de sal por litro começa a entrar no tanque a uma razão de e l/min e, simultaneamente,a mistura deixa o tanque a razão de f l/min. Qual a quantidade de sal no instante t?
Seja: Qt: quantidade (kg) de sal no instante t.dQ
dt: taxa de variação de Q.
dQ
dt= Tent − Tsai = taxa que o sal entra no tanque - taxa que o sal sai do tanque.
Tent: be (kg/min) onde b é a quantidade de sal por l (concentração de sal na solução que entra)e é a quantidade de l de solução que entra por minuto.
Tsai: concentração de sal no tanque no instante t (kg/l).f (quantidade em litros de mistura que saipor minuto).
Tsai:Q
V0 + et − ftf onde Qt é a quantidade de sal (kg) em t
et é o que entrou em t minft é o que saiu em t min
V0 é o volume inicial.
A EDO fica:dQ
dt= be − Q
V0 + et − ftf ou
dQ
dt+
Q
V0 + et − ftf = be, que é linear.
Exemplo: Um tanque contém inicialmente 350 litros de salmoura com 10 kg de sal. No intante t = 0,água pura começa a entrar no tanque a razão de 20 l por minuto, enquanto a mistura sai do tanque amesma taxa. Determine a quantidade de sal no tanque no instante t.V0 = 350 l. b = 0 kg/l f = 20 l/minQ0 = 10 kg e = 20 l/mindQ
dt+ 20
350 + 20t − 20tQ = 0.20 ∴ dQ
dt+ 2
35Q = 0 É linear.
Fator integrante: It = e2t35
Solução geral: Q = Ce− 2t
35
Solução particular: Qt = 10e− 2t
35
Observe que Q → 0 quando t → ∞ , o que esperávamos, pois está entrando água pura.
- Problemas de Circuitos Elétricos:Concidere: R é o resistor (ohms), L é o indutor (henries), C é o capacitor (Faradays), E é a forçaeletromotriz (volts), I é a corrente (ampères).
Casos Particulares:
- Circuito RL: Lei que rege a quantidade de corrente no circuito é dIdt
+ RL
I = EL
Obs.: Não necessariamente E é constante. É uma equação linear não-homogênea.
- Circuito RC: Lei que rege a quantidade de carga édq
dt+ 1
RCq = E
RObs.: A EDO é linear e não-homogênea.
A relação entre q e I é: I =dq
dt
9
Atenção:It = corrente transiente + corrente estacionária.
- Estado transiente: Tem forte influência no início do experimento. Vai para zero quando t → ∞.
- Estado estacionário: caracteriza a corrente quando t → ∞ (muito grande).
Exemplo: Um circuito RL tem uma f.e.m. de 5 volts, uma resistência de 50 ohms, uma indutância de 1henry e não tem corrente inicial. Determine:a) a corrente no instante t;b) sua componente no estado estacionário;c) sua componente no estado transiente.
a) dIdt
+ 50I = 5 I0 = 0
Fator integrante: e50t Solução particular: It = 110
− 110
e−50t.
b) Iest = 110
A, c) Itrans = − 110
e−50t A
2.8 LISTA DE EXERCÍCIOS V
1) Um tanque de 50 litros contém inicialmente 10 litros de água pura. No instante t = 0, começa a serdespejada uma solução contendo 0,1 kg de sal por litro, a razão de 4 l/min, enquanto a mistura sai dotanque a razão de 2 l/min. Determine:a) O instante em que ocorre o transbordamento.b) A quantidade de sal no tanque neste instante.
2) Um circuito RL tem f.e.m. dada (em volts) por 3sin2t , uma resistência de 10 ohms, uma indutância de0.5 henry e uma corrente inicial de 6 ampères. Determine a corrente em t:
Respostas. 1. a) t = 20 min, 1.b) Q = 4,8 Kg, 2) It = − 3101
cos2t + 30101
sin2t + 609101
e−20t
Trabalho de Pesquisa
Pesquise, nos livros abaixo indicados, uma aplicação para as equações diferenciais ordinárias deprimeira ordem. Escolha uma aplicação na área que preferir, como por exemplo: biologia (crescimentopopulacional e disseminação de doenças), química (decaimento radioativo, misturas e datação porcarbono), física (resfriamento de Newton e corpo em queda livre) e engenharia (circuitos elétricos eeletromagnetismo).
O trabalho deve conter no mínimo duas páginas com: introdução, descrição do problema de formageral (pelo menos uma página), um exemplo resolvido e conclusão, contendo a sua opinião sobre asaplicações das equações diferenciais e sobre a aplicação escolhida.
Procure pesquisar em mais de um livro da biblioteca, escolhendo a aplicação que achar maisinteressante. Coloque no trabalho a bibliografia utilizada.
Referências*BOYCE W.E. DIPRIMA R.C.. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno.Rio de Janeiro LTC. 1998.*EDWARDS C.H. PENNEY D.E. Equações Diferenciais Elementares com Problemas de Contorno.Prentice-Hall, 1995.*HUGHES-HALLETT, D., GLEASON, A. M. Cálculo v. 2. Rio de Janeiro LTC. 1997.*ZILL, D. G., CULLEN M. R. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. Thomson Learning2003.ZILL, D. G., CULLEN M. R. Equações Diferenciais v 1. MAKRON BOOKS.MATOS, M. P., Séries e Equações Diferenciais. São Paulo, Prentice Hall, 2002.( * mais indicados )
10
3: EDOs LINEARES DE SEGUNDA ORDEM
3.1 EDO Lineares de Segunda Ordem
Uma EDO de segunda ordem é linear se pode ser escrita na forma:y ′′ + a1xy ′ + a0xy = gx
Uma EDO linear de segunda ordem homogênea é dada com gx ≡ 0
y ′′ + a1xy ′ + a0xy = 0
Caso contrário, a equação é dita não-homogênea.
Uma EDO linear de segunda ordem é dita com coeficientes constantes se a1,a0 são constantes.Caso contrário, a equação é com coeficientes variáveis.Exemplos.:a) y ′′ + 4y = ex − sinx a1 = 0,a0 = 4 gx = ex − sinx
EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes não-homogênea.
b) x2y ′′ + xy ′ + x2 − 1y = 0 ou y ′′ + 1x y ′ +
x2 − 1x2
y = 0 a1x = 1x ,a0x =
x2 − 1x2
gx ≡ 0
EDO linear de segunda ordem com coeficientes variáveis homogênea.c) yy ′′ − y ′ = 0; O produto yy ′′ indica a não linearidade da EDO.d) y ′′ − y = 0; A potência indica a não linearidade da EDO.
TEOREMA: (Princípio da Superposição)Se y1 e y2 são duas soluções da equação diferencial y ′′ + a1xy ′ + a0xy = 0 , então a combinação
linear c1y1 + c2y2 também é solução para quaisquer constantes c1 e c2.
Corolário: Se y1 e y2 são soluções L.I. da EDOLH (Ly = 0), então y = c1y1 + c2y2 é a solução geral deLy = 0.
Exemplo: y ′′ − y = 0
ex,e−x são soluções L.I. da equação acima, logo a solução geral da EDO é yx = c1ex + c2e−x
3.2 EDOLH de Segunda Ordem com Coeficientes Constantes:
Considere a equação diferencial y ′′ + a1y ′ + a0y = 0. A esta equação associamos uma equaçãoalgébrica conhecida como equação característica λ2 + a1λ + a0 = 0. Fatorando a equação característica,obtemos: λ − λ1λ − λ2 = 0.
Obtemos a solução geral da EDOLH a partir das raízes da equação característica.
CASO 1:λ1 e λ2 são raízes reais distintas.Como eλ1x e eλ2x são soluções L.I., então a propriedade 2 nos garante que a solução geral é
yx = C1eλ1x + C2eλ2x
Exemplo 1: y ′′ + 5y ′ + 6y = 0
λ2 + 5λ + 6 = 0 → λ + 2λ + 3 = 0
Solução geral: y = C1e−2x + C2e−3x
Exemplo 2: y ′′ − 4y = 0 y0 = 1 , y ′0 = 0
Solução geral: y = C1e2x + C2e−2x
Solução particular: yx = e2x + e−2x
2ou yx = cosh2x
CASO 2:
11
λ1 = λ2 (raízes reais e iguais).Solução L.I. eλ1x e xeλ1x
A solução geral é yx = C1eλ1x + C2xeλ1x.
Verifique se eλ1x e xeλ1x são soluções L.I. W ≠ 0
Exemplo: y ′′ + 2y ′ + y = 0
Solução geral: y = C1e−x + C2xe−x
CASO 3:λ1 = a + bi , λ2 = a − bi (aparecem aos pares complexos conjugados).Solução L.I.: ea+bix e ea−bix.
Solução geral: y = C1 ea+bix + C2 ea−bix
Mas, pela propriedade 6, podemos equivalentemente escrever a solução geral comoy = C1eax cosbx + C2eax sinbx
Exemplo 1: y ′′ + 20y ′ + 200y = 0
Solução geral: y = C1e−10x cos10x + C2e−10x sin10x
Exemplo 2: y ′′ + 9y = 0
Solução geral: y = C1 cos3x + C2 sin3x.
3.3 EDOL de Ordem n com Coeficientes Constantes:
EDO: yn + an−1yn−1 +. . .+a1y ′ + a0y = 0 com ai ∈ ℜ i = 1, . . . ,n − 1
Polinômio característico (equação característica):Pλ = λn + an−1λn−1 +. . .+a1λ + a0 = 0 (possui n raízes).
Soluções L.I.:- Se λi é raiz real simples: y i = Cie
λix
- Se λi é raiz real de multiplicidade p: eλ1x; xeλ1x; . . . ; xp−1eλ1x
- Se λi = a + bi e λi∗ = a − bi são raízes complexas conjugadas: eax cosbx; eax sinbx
Exemplo 1: y ′′′ − 6y ′′ + 11y ′ − 6y = 0
Solução geral: yx = C1ex + C2e2x + C3e3x
Exemplo 2: y ′′′ + 4y ′′ + 13y ′ = 0
Solução geral: yx = C1 + C2e−2x cos3x + C3e−2x sin3x
3.4 LISTA DE EXERCÍCIOS VI
1) Resolva as seguintes EDOH.1.1) y ′′ − 2y ′ + 2y = 0 1.2) y ′′ + 7y = 0
1.3) y ′′ + 2y ′ + 5y = 0 1.4) y ′′ − 4y ′ + 4y = 0 1.5) y ′′ − 6y ′ + 9y = 0
respostas1.1) y = c1ex cosx + c2ex sinx 1.2) y = c1 cos 7 x + c2 sin 7 x
1.3) y = c1e−x cos2x + c2e−x sin2x 1.4) y = c1e2x + c2xe2x
1.5) y = c1e3x + c2xe3x
2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial.12
2.1) y ′′ + 2y ′ + y = 0, y0 = 1,y ′0 = 2.
2.2) y ′′ − 6y ′ + 9y = 0, y0 = 2, y ′0 = 8.
2.3) y ′′ + 4y ′ + 4y = 0, y0 = −1, y ′0 = 3
respostas
2.1) y = e−x + 3xe−x 2.2) y = 2e3x + 2xe3x 2.3) y = −e−2x + xe−2x
3) Resolva os seguintes problemas:a) 4y ′′ − y = 0 Resposta: yx = Aex/2 + Be−x/2
b) y ′′ − y ′ − 3y = 0 Resposta: yx = Ae1+ 13 x/2 + Be−−1+ 13 x/2
c) y ′′ − 0,5y ′ − 2y = 0 Resposta: yx = Ae−1,1861x + Bxe−1,186x
d) 4y ′′ − 2y ′ + 0,5y = 0 Resposta: yx = ex/4A cos x4+ B sin x
4
e) 0,6u"−0,2u′ − u = 0 Resposta: ux = Ae−1,135x + Be1,4684x
f) u′′ − 2u′ + 2u = 0 Resposta: ux = exA cosx + B sinx
g) d2q
dq2− 5
dq
dt+ q = 0 Resposta: qt = Ae5+ 21 t/2 + Be−−5+ 21 t/2
h) 0,4d2q
dq2− 0,2
dq
dt= 0 Resposta: qt = A + Be0,5t
i) −0,8d2q
dt2+ 0,1
dq
dt+ q = 0 Resposta: qt = Ae−1,0573t + Be1,1823t
j) 2u′′ − 2u′ + u = 0 com u0 = −1 e u′0 = 0 Resposta: ux = ex/2sin x2+ cos x
2
k) q′′ − q = 0 com q0 = q′0 = 1 Resposta: qx = ex
l) 0,4y ′′ − 0,2y = 0 com y0 = 0,2 e y ′0 = 0,5
Resposta: yx = −0,25355e− 2 x/2 + 0,45355e 2 /2
m) y ′′ + y = 0 com y π3 = 0 e y ′ π
3 = 0 Resposta: yx = − 3 cosx + sinx
4) Resolva as seguintes EDOH de ordem n.3.1) y ′′′ − 3y ′′ + 2y ′ = 0 3.2) y ′′′ + 2y ′′ + 2y ′ = 0
respostas
3.1) y = c1 + c2ex + c3e2x, 3.2) y = c1 + c2e−x cosx + c3e−x sinx.
3.5 EDOL Não Homogênea com Coeficientes Constantes: Método dos Coeficientesa Determinar:
Considere a EDO não homogênea Ly = y ′′ + a1y ′ + a0y = gx
Propriedade 1:Se yh é a solução geral de Ly = 0 e yp é a solução particular de Ly = gx então: yx = yh + yp é a
solução geral de Ly = gx.
Exemplo: y ′′ − y = e2x
Equação homogênea associada y ′′ − y = 0 cuja solução geral é yx = c1ex + c2e−x.
yp = ? Supõe que yp = Ae2x onde A é uma constante. Derive yp e substitua na EDO para encontrarA = 1
3.
∴ yp = 13
e2x e a solução geral yx = yh + yp será yx = c1ex + c2e−x + 13
e2x
Propriedade 2:Se yh é a solução geral de Ly = 0, yp1 é uma solução particular de Ly = g1x e yp2 é uma solução
particular de Ly = g2x, então, pelo princípio da superposição, y = yh + yp1 + yp2 é a solução deLy = g1 + g2.
Exemplo: y ′′ − y = e2x + 1
13
yh = c1ex + c2e−x solução de y ′′ − y = 0
yp1 = 13
e2x solução particular de y ′′ − y = e2x
yp2 = ? Supõe yp2 = A constante, deriva e substitui na EDO para encontrar A = −1.∴ yp2 = −1
∴ y = yh + yp1 + yp2 y = c1ex + c2e−x + 13
e2x − 1 é a solução geral de y ′′ − y = e2x + 1.
Solução geral: yx = yhx + ypx
Para determinarmos ypx, vamos utilizar o método dos coeficientes a determinar:
CASO 1:Quando y = keax a,k ∈ ℜ, devemos supor yp = Aeax.
Observação: Sse a é raiz simples ou raiz dupla da equação característica λ2 + a1λ + a0 = 0, devemossupor yp = Axeax ou yp = Ax2eax.
Exemplo : Resolva y ′′ + 5y ′ + 4y = 5e−4x
A solução particular yp = Ae−4x não deve funcionar, pois -4 é raiz da equação característica. Supõe,então, yp = Axe−4x , que derivando e substituindo na EDO, obtém-se A = − 5
3.
CASO 2:Ly = k sinαx ou k cosαx : devemos supor yp = A cosαx + B sinαx.
Observação: Se esta solução particular coincidir com a solução homogênea devemos suporyp = Ax cosαx + Bx sinαx.
Exemplo : Resolva y ′′ + 4y = − sin2x + cosx
yh = C1 cos2x + C2 sin2x
Solução particular 1 (para y ′′ + 4y = − sin2x)yp1 = Ax cos2x + Bx sin2x . Deriva e substitui na EDO,
encontra: A = 14
e B = 0. yp1 = 14
x cos2x
Solução particular 2 (para y ′′ + 4y = cosx)yp2 = A cosx + B sinx . Deriva e substitui na EDO,
encontra: A = 13
e B = 0. yp2 = 13
cosx
CASO 3:
Ly = keαx cosβx ou Ly = keαx sinβx
Vamos considerar wp = keα+iβx que equivale à wp = Aeαx cosβx + Beαx sinβx.
Observação: Se esta solução particular coincidir com a solução homogênea devemos suporwp = Axeαx cosβx + Bxeαx sinβx.
Exemplo : Resolva y ′′ + 2y ′ + 5y = −2ex cos2x
yh = C1e−x cos2x + C2e−x sin2x
wp = Ae1+i2x. Deriva e substitui na EDO
yp = − 110
ex cos2x − 15
ex sin2x.
CASO 4:Ly = b0 + b1x +. . .+bnxn supõe yp = A0 + A1x +. . .+Anxn.
Observação: Se esta solução particular coincidir com a solução homogênea devemos suporyp = xA0 + A1x +. . .+Anxn ou yp = x2A0 + A1x +. . .+Anxn
Exemplo 1: Resolva y ′′ + 3y ′ = 2x2 + 3x
yh = C1e−3x + C2
yp = xA0 + A1x + A2x2. Deriva e substitui na EDO,
obtém: A0 = − 527
, A1 = 518
e A2 = 29
yp = − 527
x + 518
x2 + 29
x3
14
CASO 5:Ly = b0 + b1x +. . .+bnxneαx, supõe yp = A0 + A1x + A2x2eαx
Observação: Se esta solução particular coincidir com a solução homogênea devemos suporyp = xA0 + A1x +. . .+Anxneαx ou yp = x2A0 + A1x +. . .+Anxneαx
Exemplo: Resolva y ′′ + 2y ′ + 4y = −xe2x + 3e2x
yh = C1e−x cos 3 x + C2e−x sin 3 x
yp = A0 + A1xe2x. Deriva e substitui na EDO:
A0 = 724
,A1 = − 112
yp = 724
− 112
x e2x
3.6 LISTA DE EXERCÍCIOS VII1) Resolva as seguintes equações usando o método dos coeficientes a determinar.1.1) y ′′ − 3y ′ + 2y = 5xex 1.2) y ′′ − 4y ′ + 4y = 3e2x.
1.3) y ′′ + 7y ′ + 12y = 3cos2x. 1.4) y ′′ + 4y = x
1.5) y ′′ + 3y ′ + 2y = xe−x + cos2x + x2
RESPOSTAS
1.1) y = c1ex + c2e2x − − 52
x2 − 5xex
1.2) y = c1e2x + c2xe2x + 32
x2e2x
1.3) y = c1e−3x + c2e−4x + 665
cos2x + 21130
sin2x
1.4) y = c1 cos2x + c2 sin2x + 14
x
1.5) y = c1e−x + c2e−2x−xe−x + 12
x2e−x − 120
cos2x + 320
sin2x + 74− 3
2x + 1
2x2
yH yP1 yP2 yP3
2)Encontre uma solução particular para as seguintes equações diferenciais:2.1. y ′′ − 7y ′ + 12y = 3e−x; 2.2. y ′′ − 5y ′ + 4y = 8ex; 2.3. y ′′ − 5y ′ + 6y = 2x2 − 1
2.4. y ′′ − y ′ = x; 2.5. y ′′ − 3y ′ + 2y = 2sinx; 2.6. y ′′ − 4y = 5cos2x
Respostas: 2.1. ypx = 320
e−x 2.2. ypx = − 83
xex 2.3. ypx = x2
3+ 5x
9+ 5
27
2.4. ypx = −x − 0,5x2 2.5. ypx = 15
sinx + 35
cosx 2.6. ypx = − 58
cos2x
3.7 Exemplos de Aplicação:
- Problemas de Mola:Lei de Hooke: A força F de uma mola é igual e oposta às forças aplicadas sobre esta mola e é
proporcional à distensão (contração) x da mola resultante da força aplicada. F = −kx onde k é aconstante da mola (constante de proporcionalidade) .
Considerações:- Desprezamos a massa da mola.- Resistência do ar é proporcional à velocidade do corpo.- Forças sobre o corpo no instante t são: força da resistência do ar: −ax ′ a > 0
força restauradora: −kx k > 0 Lei de HookeObs.: A resistência do ar é sempre no sentido oposto ao da velocidade do movimento.Segunda Lei de Newton: FR = mx ′′
Ft − ax ′ − kx = mx ′′ ou x ′′ + am x ′ + k
m x =Ftm C.I. x0 = 0 e x ′0 = 0
Obs.: Se a gravidade for considerada: x ′′ + am x ′ + k
m x = g +Ftm
Exemplo: Uma massa de 2 kg. está suspensa em uma mola cuja constante é 10 N/m e permaneceem repouso. É, então posta em movimento, imprimindo-lhe uma velocidade inicial de 150 cm/s. Determinea expressão da posição da massa, desprezando a resistência do ar:
15
xt = 0.671sin 5 t
- Problemas de Circuitos Elétricos:Seja um circuito RCL (resistência-capacitância-indutância).Lei de Kirchhoff: A soma algébrica das quedas de tensão em um circuito elétrico fechado simples é
zero.QT(resistência)+QT(capacitância)+QT(indutância)-E(t)=0
Rq′ + Lq′′ + 1C
q = Et ou q′′ + RL
q′ + 1LC
q =Et
Lcom C.I. q0 = q0 e q′0 = I0 = I0
que é a equação da carga q com o tempo t.Por outro lado, a equação da corrente I com o tempo t, é dada por:
I′′ + RL
I′ + 1LC
I = 1L
dEtdt
com C.I. I0 = I0 e I′0 = 1L
E0 − RL
I0 + 1LC
q0,
onde I =dq
dt.
Exemplo: Um circuito RCL tem R = 10 ohms, C = 10−1 farad, L = 0.5 henry e uma tensão aplicada de12 volts. Admitindo que não haja corrente inicial nem carga inicial em t = 0 , quando a tensão é aplicadapela primeira vez, determine a corrente subseqüente no sistema:
Equação diferencial: I′′ + 20I′ + 200I = 0
Condições iniciais: I0 = 0 e I′0 = 24
Solução: It = 125
e−10t sin10t
3.8 LISTA DE EXERCÍCIOS VIII
1) A equação diferencial 0,1q′′ + 0,3q′ + 0,2q = 0 representa o decaimento da carga num circuito RCL.Sabendo que a carga no circuito no instante zero é 5C e a corrente inicial é nula, encontre o valor dacarga e da corrente no circuito após 1 segundo. Em quanto tempo a carga no circuito é 0,5C? Resposta:q1 = 3C , I1 = −2,32A , t = 1,9s
2) A equação x ′′ + 0,25x ′ + 25,2x = 0 representa o movimento oscilatório de um corpo. Se x0 = 0 ex ′0 = 1,22, encontre a solução da equação que representa a posição do corpo em cada instante.Resposta: xt = e−0,125t0,243sin5,018t.
3) Considere o modelo de um circuito RCL dado por Lq′′ + Rq′ + q
C= Et.
Calcule a carga máxima e a carga estacionária no capacitor se L = 5/3 henry, R = 10 ohms, C = 1/30farad e Et = 300 volts, sabendo que a corrente inicial é de 2 amperes e carga inicial nula. Resposta:qt = e−3t−10cos3t − 28
3sin3t − 10 ; It = 58e−3t sin3t + 2e−3t cos t.
16
