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Introduo: Objetivos, Tpicos e Bibliografia 1

Francisco A. Lotufo

CONTROLE LINEAR

Objetivos:

Utilizar tcnicas como: modelagem, funo de transferncia, diagrama de blocos, tcnicas clssicas e tambm tcnicas modernas, como variveis de estado, para anlise de sistemas lineares. E tcnicas como diagrama de Bode, Nyquist, Root Locus para anlise de estabilidade e para projeto de sistemas de controle lineares com realimentao.

Tpicos:

1 Conceitos e Classificaes de Sistemas 2 Modelagem e Anlise de Sistemas Contnuos e Discretos 3 Sistemas Lineares: Entrada/Sada 4 Funes Singulares 5 Transformada de Laplace 6 Funes de Transferncia 7 Diagramas de Blocos e Fluxograma 8 Variveis de Estado 9 Introduo ao problema de Sistemas de Controle 10 Sistemas com realimentao 11 Anlise de Estabilidade 12 Mtodo do lugar das Razes (Root Locus) 13 Controladores PID 14 Resposta em Freqncia 15 Compensao

Bibliografia:

MAYA, P. A.; LEONARDI, F. Controle essencial. So Paulo: Pearson Education do Brasil, 2011.

OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 5.ed. So Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.

NISE, N. S. Engenharia de Sistemas de Controle. Rio de Janeiro: LTC, 2002.

DORF, R.C.; BISHOP, R.H. Sistemas de Controle Modernos. Rio de Janeiro: LTC, 2001.

CARVALHO, J.L.M. Sistemas de Controle Automtico. Rio de Janeiro: LTC, 2000.

PHILLIPS, C.L.; HARBOR, R.D. Sistemas de Controle e Realimentao. So Paulo: Makron Books, 1996.

DAZZO, J. J.; HOUPIS, C. H. Anlise e Projeto de Sistemas de Controle Lineares. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1984.

OPPENHEIM, A. V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas. 2.ed. So Paulo: Pearson Education do Brasil, 2010.

GEROMEL, J.C.; PALHARES, A.G.B. Anlise Linear de Sistemas Dinmicos. So Paulo: Edgard Blcher, 2004.

HAYKIN, S.; VEEN, B. V. Sinais e Sistemas. Porto Alegre: Bookman, 1999.

BOTURA, C. P. Anlise Linear de Sistemas. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982.

CZESLAU, L. B. Uma Introduo Anlise de Sistemas Lineares. So Paulo: Edgard Blcher, 1977.

SCHAWRZ, R.J.; FRIEDLAND, B. Linear Systems. New York: McGraw Hill, 1965.

Conceitos e Classificaes de Sistemas 2

Francisco A. Lotufo

1- Conceitos e Classificaes de Sistemas

1.1- Conceitos Fundamentais

Sinal: formalmente definido como uma funo de uma ou mais variveis, a qual veicula informaes sobre a natureza de um fenmeno fsico (Haykin & Van Veen)1.

Unidimensional: quando a funo depende de uma nica varivel. Ex.: sinal de voz (fala).

Multidimensional: quando a funo depende de duas ou mais variveis. Ex.: sinal de imagem.

Sistema: a combinao de componentes que agem em conjunto para atingir determinado objetivo. A idia de sistema no fica restrita apenas a algo fsico, podendo ser aplicada a fenmenos abstratos, dinmicos. Assim, empregada para se referir a sistemas fsicos, biolgicos, econmicos e outros.

Modelo: representao dos aspectos essenciais de um sistema tal que ele apresente conhecimento do sistema em uma forma utilizvel (Sinha)2.

Modelo Matemtico: Conjunto de equaes que descrevem o sistema. Sendo a preocupao principal com as relaes matemticas que governam o sistema linear ao invs dos detalhes de sua estrutura fsica. freqentemente adequado representar o sistema esquematicamente por meio de uma caixa contendo os terminais de entrada e sada.

S(Sistema)

u (t)1u (t)2

u (t)n

y1(t)y2(t)

y (t)n

Entrada(s): So as causas ou excitaes ou controles aplicados aos terminais de entrada.

Sada(s): So os efeitos ou respostas, ao sinal de entrada, observados nos terminais de sada.

1.2- Classificao dos Sistemas

a - Classificao quanto ao nmero de variveis de entrada e sada:

Monovarivel: Sistema de varivel nica, ou sistema de uma s entrada e uma s sada.

SistemaSISOu(t) y(t)

Multivarivel: Mltiplas entradas e/ou mltiplas sadas

SistemaMIMO

u (t)1u (t)2

u (t)n

y1(t)y2(t)

y (t)n

1 Haykin, S.; Veen, B.V. Sinais e Sistemas, Bookman, Porto Alegre, 2001.

2 Sinha, N.K. Linear Systems, John Wiley&Son, New York, 1991.


Francisco A. Lotufo

b - Classificao segundo a Varivel Temporal

Contnuos: Um sistema dito ser contnuo, se as entradas e sadas so capazes de mudar em qualquer instante de tempo. Sistema a sinal contnuo no tempo, sistema contnuo no tempo.

Discretos: So aqueles onde os sinais mudam somente em instantes discretos, digamos, cada segundo, ou hora, ou ano, ou talvez, irregularmente.

Quantizados: So aqueles onde as variveis podem assumir somente um nmero contvel de valores (nveis), mas as trocas de um nvel pra outro nvel podem ocorrer em qualquer instante.

t

v(t)

10

t

v(t)

t1 t2 t3 t4 tn

Hbridos: So sistemas em que uma parte opera em tempo discreto e a outra em tempo contnuo, como por exemplo, os conversores A/D3 e D/A4.

3 Figura copiada do livro: Garrett, P.H. Advanced Instrumentation and Computer I/O Design, IEEE Press, Piscataway, NJ, 1994.

4 Figura copiada do livro: Dailey, D.J. Operational Amplifiers and Linear Integrated Circuits: Theory and Applications, McGraw-Hill

Book Company, New York, 1989.


Francisco A. Lotufo

c - Classificao quanto ao tipo de Modelo

Lineares: O sistema linear, caso ele obedea ao princpio da Superposio.

2121 )( HxHxxxH +=+ Exemplo:

=+

+=+++

+=+++

=+

=+

222

212121

212121

111

22

11

)()()(

uydt

dy

uuyydt

yyduuyy

dtdy

dtdy

uydt

dy

yu

yu

uydtdy

Assim,

)()( 2121212121 yydtyyd

uuyydt

dydt

dy++

+=+=+++

No Lineares: Um sistema dito ser no linear se ele no segue o princpio da superposio (aditividade e homogeneidade)

Exemplos:

a. bmxy +=

bxxmyybmxy

bmxy

yxyx

2)( 212122

11

2211

++=+

+=+

+=

que diferente de bxxmyy ++=+ )()( 2121

Logo, o sistema no linear.

b.

tAxdtdx

dtxd

sen2

2

2

=+

+

Cxdtdx

xdt

xd

yxzxy

=++

+==

)1( 222

222

x

y

b

2b

-b/m-2b/m

x

y

trecho linear


Francisco A. Lotufo

d - Classificao quanto Memria

Instantneos (Estticos): Se a sada (resposta) em qualquer instante t ou (tk) depende apenas do valor da entrada (excitao) no mesmo instante.

)(1)( tvR

ti =

Dinmicos: Se a sada em qualquer instante depende de valores presentes, assim como de valores passados da entrada, tal sistema pode ser considerado um sistema com memria.

diC

tvt

= )(1)(

e - Classificao quanto ao relacionamento Causa-Efeito

Causal (Fsico ou No Antecipatrio): Diz-se que um sistema causal se o valor atual do sinal de sada depender somente dos valores presentes e/ou passados do sinal de entrada. Por exemplo, o sistema de mdia mvel descrito pela equao a diferena abaixo causal:

])2[]1[][(31][ ++= kukukuky

No Causal (Antecipatrio): Por outro lado, o sinal de sada de um sistema no causal depende dos valores futuros do sinal de entrada. Como exemplo tambm, temos que o sistema de mdia mvel descrito pela equao a diferena abaixo no causal:

])1[][]1[(31][ +++= kukukuky

Outro exemplo. Considere um sistema descrito pela caracterstica de transferncia )()( 0ttxty += , onde x(t) uma entrada, y(t) a sada correspondente, e t0 > 0. Esse sistema no causal, pois o pulso de sada aparece antes que a entrada.

(a) entrada x(t) e (b) sada y(t) de um sistema no realizvel, pois a sada antecipa a entrada que a produz.

R

v(t)

i(t)


Francisco A. Lotufo

f - Classificao quanto a Estacionaridade

Invariante no Tempo (Estacionrio ou Fixo): Se as relaes de entrada e sada no se modificam com o tempo, eles so chamados de estacionrios.

Exemplo: Seja o operador de deslocamento Q, cujo seu efeito ilustrado na figura ao lado (a sada de Q igual entrada atrasada de segundos). A relao HQu = QHu = Qy, implica que se uma entrada deslocada de segundos, a forma de onda de sada permanece a mesma exceto por um deslocamento de segundos. Em outras palavras, no importa em que instante uma entrada aplicada a um sistema invariante no tempo e relaxado, a forma de onda de sada sempre a mesma.

Variante no Tempo: aquele em que as relaes de entrada e sada se modificam. Quando os parmetros variam no tempo o sistema variante no tempo.

)()()()()()(

=

=

tytytHxty

tHxty

Ex: )(122

tuydtdy

tdtyd

=++

g - Classificao quanto ao tipo de Sinal

Determinstico: Um sistema dito ser determinstico se a funo de transferncia operacional, assim como a entrada (ou entradas) aplicada(s) ao sistema, (so) conhecida(s) exatamente. Para tais sistemas, a sada (ou sadas) para qualquer entrada dada pode ser determinada para todos os instantes futuros se todas as condies iniciais (estados) so conhecidas.

Estocstico: So aqueles para os quais ou os parmetros da funo de transferncia operacional ou as entradas no so conhecidos precisamente podendo ser descritas somente em um sentido estatstico.


Francisco A. Lotufo

1.3- Linearizao

Na tentativa de se obter um modelo linear (para poder usar o ferramental analtico disponvel) feito aproximaes lineares (linearizaes) das relaes no lineares atravs do desenvolvimento em srie de Taylor em torno de um ponto de operao de referncia, e utilizao apenas de seus termos lineares.

Suponhamos ter uma relao entrada X sada Y no linear como a da figura abaixo, e que o ponto de operao seja ),( 00 YX .

....

!2)(

!1)()()(

20

2

20

0

00

+

+

+====

XXdX

YdXXdXdYXFXFY

XXXX

(expanso em srie de Taylor)

=

+++=

=

mdXdY

eyYeyYY

XX 0

Fazendo

pequenoser dever onde ,00

Temos: )( 00 XXmYY += , ou mxy =

A idia essencial admitir somente pequenas perturbaes em torno da condio de equilbrio estacionrio de forma que tais aproximaes sejam admissveis e vlidas.

Exemplo:

amplificadoroperacional

K=105

x(t) y(t)-

+

-Vcc

+Vcc

x

y

x0

-x0

y0

-y0

Se x(t) satisfaz 0)( xtx ou y(t) satisfaz 0)( yty , 0

0

x

yK =

Vy

K 15 tenso)defontepelaadeterminad(

sadamxima

10TpicolOperacionaorAmplificad

05

Conseqentemente, podemos modelar o Amplificador Operacional como elemento proporcional, se a entrada satisfaz Vtx 150)( .

Modelagem e Anlise de Sistemas Contnuos e Discretos 8

Francisco A. Lotufo

2 Modelagem e Anlise de Sistemas Contnuos e Discretos

Modelagem significa o processo de organizao do conhecimento sobre um dado sistema (Bernard Zeigler). Uma simulao um experimento realizado em um modelo (Gramino Korn & John Wait) 1.

Espectro de modelagem e simulao (Franois E. Cellier)2

Mu (entrada) y (sada)

Na modelagem h a discusso: Complexidade x fidelidade Sistema complexo til ou intil (verdadeiro/falso)

Exemplos de modelos:

1 JFET (Junction Field Effect Transistor Transistor de efeito de campo de juno)3

Este exemplo ressalta o fato de que um sistema pode ter vrios modelos, dependendo do tipo de questo que se deseja estudar.

1 Cellier, F.E. Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, 1991.

2 Cellier, F.E. Continuous System Modeling, Springer-Verlag, New York, 1991.

3 Figuras retiradas dos livros: Mims, F.M. Eletrnica Iniciao Prtica, McGraw-Hill, So Paulo, 1988. Millman, J.; Halkias, C.C. Eletrnica: dispositivos e circuitos, McGraw-Hill, So Paulo, 1981.

Baixas Freqncias

Altas Freqncias

Modelo para pequenos sinais em Baixas Freqncias

Modelo para pequenos sinais em Altas Freqncias

Sistema Fsico


Francisco A. Lotufo

2 Suspenso de um automvel4

Sistema Fsico Modelo Fsico

3 Motor Eltrico DC

Sistema Fsico

Va

Ra

Laia

e

ArmaduraCampo

Rf

vfLf

Modelo Fsico

2.1 Mtodos para Determinao dos Modelos Matemticos

Os mtodos conhecidos de identificao e modelagem podem ser divididos em dois grandes grupos: Mtodos prticos ou de Laboratrio, e mtodos tericos ou lpis e papel.

Os mtodos prticos requerem a aplicao de entradas reais ao sistema em estudo, entradas do tipo impulso, degrau, senoidal entre outras.

Caixa pretaentrada sada

4 Figura retirada do livro: Dorf, R.C.; Bishop, R.H. Modern Control Systems, Addison-Wesley Publishing Company,

Massachussets, 7th Ed., 1995.


Francisco A. Lotufo

2.2 Mtodo Terico para a Determinao de Modelos Matemticos

Requerem aplicao de conhecimentos sobre as leis da Natureza. Para sistemas eltricos, as leis de Kirchoff, para sistemas mecnicos, as leis de Newton.

2.3 Modelos Matemticos de Sistemas Mecnicos Lineares e Invariantes no Tempo

2.3.1 Sistemas Mecnicos Translacionais

As variveis usadas so:

fora)(

acelerao)()()(velocidade)()(

todeslocamen)(

=

===

==

=

tF

tatvtx

tvtx

tx

Os elementos componentes dos sistemas mecnicos translacionais so:

1 - MASSA: Dado um corpo de massa M, da 2a Lei de Newton temos:

f(t) M

dtmvdf )(= , ou seja, fora a variao da quantidade de movimento.

Se no houver variao da massa, podemos escrever:

)()()()( txMtvMtMatf

===

2 - ATRITO VISCOSO: Foras que so funes algbricas da velocidade entre dois pontos so modeladas por elementos de atrito viscoso (conhecido como amortecedor)

v1v2

f B

v

f B

B: coeficiente de atrito viscoso Representao simplificada


Francisco A. Lotufo

3 Mola Ideal: obedece a Lei de Hooke

k: coeficiente de elasticidade da mola Representao simplificada

4 Alavanca:

Admitindo-se pequenos deslocamentos temos:

)()(),()( 11

221

1

22

11

22 tvLL

tvndodiferenciatxLL

txLxLx

==

=

=

Aplicando-se a lei dos momentos em relao ao ponto de apoio, temos:

)()( 12

122211 tfL

LtfLfLf ==

Lei de DAlembert

um reenuciado da segunda lei de Newton, relacionando a variao da quantidade de movimento.

Ou seja, = 0

)(dt

tdvMf ext , onde dttdvM )( a fora de DAlembert. =

iif 0

A soma algbrica das foras em qualquer corpo nula


Francisco A. Lotufo

Exemplo: Modelar

K1K2 K3 K5

K4

M2

M1

B2

x ,v ,a4 4 4x ,v ,a55 5

x ,v ,a33 3

B1

x ,v ,a11 1

x ,v ,a22 2

M3

f(t)

De incio arbitra-se o deslocamento e sentido para cada corpo, ou juno, que se mova com velocidade diferente dos demais. A seguir, os diagramas de corpo livre devem ser estabelecidos: observe o deslocamento arbitrado para saber a colocao das foras no diagrama de corpo livre.

a)

Logo, pela Lei DAlembert, temos:

0)()()()(

0)(

1121111

2111111

=+

+

=++

txKtxtxBtxM

xxBxKxM (I)

b)

[ ] 0)()()()()( 32212122 =+

+

txtxKtxtxBtxM (II)


Francisco A. Lotufo

c)

Temos:

)()()(

0)()()(

53344232

23244533

xxKxKxxKRtf

xxKRxKxxKtf

H

H

+++=

=

(III)

[ ] [ ]

( ) ( )[ ]{ } ( ) ( )[ ]{ } ( )[ ] 0)(

0)()()(

144253322321

253314422321

=++

=++

ltxKltxtxKltxtxKltf

lxxKlxKlxxKltf (IV)

d)

1

54

2

35

21

34

lxx

lxx

llxx

=

=

+

2

21

35

34

)()()()(

lll

txtx

txtx +=

(VI)

e)

H

H

RtxKtxtxKtxBtxM

RxKxxKxBxM

=+++

=+++

)()]()([)()()(

553535253

553535253 (V)

Isolando-se RH na equao III e substituindo na equao V, ficamos com 5 (cinco) equaes que constituem o modelo matemtico deste sistema.


Francisco A. Lotufo

2.3.2 Sistemas Mecnicos Rotacionais

As variveis usadas so:

torqueTangularacelarao

angularvelocidade

angulartodeslocamen

=

===

==

=

Os elementos componentes dos Sistemas Rotacionais so:

1 - Inrcia: Dado um corpo de inrcia J, a 2a Lei de Newton estabelece que: )]([)( tJdtd

tT = ,

caso no haja variao em J, resulta )()()()( tJtJdt

tdJtT

=== 5

2 Atrito Viscoso: O atrito viscoso de Rotao surge quando dois corpos, dos quais pelo menos um est em rotao, so separados por uma pelcula de leo, etc.

JB

B

J2J11

B

2 1 2

Representaes simplificadas

3 Mola de Toro: Componente no qual o torque proporcional ao deslocamento angular:

Representaes simplificadas

5 Figura retirada do livro: Shearer, J. L.; Murphy, A. T.; Richardson, H. H. Introduction o system dynamics. Addison

Wesley. Massachusetts, 1971.


Francisco A. Lotufo

4 Engrenagem: Componente utilizado para acoplamento mecnico

a) engrenagem em viso tridimensional b) acoplamento de duas engrenagens, uma de raio maior r1, e outra de raio menor r2

4.1 Para que no haja deslizamento necessrio que distncia percorrida em um determinado tempo t, seja a mesma para as duas engrenagens.

Temos: 2

22

1

11

r

c

r

c== ,

Logo devemos impor que: )()( 21

212211 t

r

rtrr == (1)

4.2 Assumiremos que o nmero de dentes proporcional ao raio da engrenagem, logo:

2

2

1

1

r

Nr

N= , donde de (1), vem )()()()( 2

1

212

1

21 tN

Ntt

NN

t == (2)

4.3 Considerando-se engrenagens ideais e que toda a potncia seja transmitida

)()()()(

)()()(

22

112211 tTN

NtTtTtT

ttTtP

==

=


Francisco A. Lotufo

2.3.2.1 Obteno de Modelos matemticos de Sistemas Mecnicos Rotacionais

Utilizamos as mesmas leis j vistas no caso translacional

Lei de DAlembert: Assume a seguinte forma no caso Rotacional

j

ext dtdJT , onde

dtdJ o torque de inrcia e podemos reescrever 0=

jjT

Exemplo 1: Consideremos o modelo de um velocmetro

J2J1T

, ,1 1 1 , ,2 2 2

J3K2

K3

, ,3 3 3

O procedimento anlogo ao corpo translacional. Arbitra-se o deslocamento angular e sentido para cada corpo, ou juno, que girar com velocidade angular diferente dos demais. A seguir, se estabelece os diagramas de corpo livre, e ento se aplica a lei de DAlembert:

0)()()]()([)( 1121211 =++

tTtBttBtJ

0)]()([)]()([)()( 3222122122 =++

ttKttBtBtJ

0)()]()([)()( 333223333 =++

tKttKtBtJ


Francisco A. Lotufo

Exemplo 2: Consideremos o modelo de uma carga acoplada a um motor por intermdio de uma reduo

Diagrama de corpo livre

a)

=

=

)()(

)()(

21

21

22

11

tNN

t

tTNN

tT

b)

)()()( 222 tTtBtJ =+

)()()(

)()()(

1

2

2

11

2

2

1

1

21

2

11

2

1

tTtNNBt

NNJ

tTNN

tNNBt

NNJ

=

+

=

+

Obs: Se N1 for muito menor que N2, o torque ser menor.


Francisco A. Lotufo

2.3.3 Sistemas Mecnicos Mistos

Sem novidades! Bastando relacionar as partes rotacionais e translacionais convenientemente.

Exemplo: Descrever as equaes dinmicas (ou seja, determinar o modelo matemtico) relativas ao sistema.

Diagrama de corpo livre

a)

)(.)()( 1111 tTrftKtJ =++

b)

ftxM =

)(11

Notemos que 112 )( rddondexdKf ==

)()]()([)()( 1121111 tTtxtrrKtKtJ =++

0)]()([)( 11211 =+

trtxKtxM


Francisco A. Lotufo

2.3.4 Modelos Matemticos de Sistemas Eletromecnicos

As interaes entre as partes mecnica e eltrica so feitas por intermdio do campo eltrico e/ou magntico.

Exemplo 1: Servomotor DC com controle de Armadura (Corrente de Campo Constante)

Va

Ra

Laia

e

ArmaduraCampo

Rf

vfLf

a) O fluxo magntico do motor : cteKtiKt f == 11 )()( b) O torque mecnico resultante : )()()()( 22 tKKtitKtT ma == c) A fora contra-eletromotriz : )()()()( 343 tKKttKte == d) Admitindo que toda potncia eltrica seja convertida em potncia mecnica, ento:

ia

e

Armadura

T(t)w(t)

)()()()()()(

)()(

tetittTttTP

tetiP

a

m

ae

=

=

=

donde 44 )()()()( KKttiKttiK maam ==

Finalmente pode-se escrever

+=

=+++

)()()(

0)()()(

tBdt

tdJtT

tedt

tdiLtiRv aaaaa

E substituindo T(t) e e(t), temos:

=+

=++

0)()()()()()()(

tiKtBdt

tdJ

tvtKtiRdt

tdiL

am

amaaa

a


Francisco A. Lotufo

Exemplo 2: Servo motor DC com controle de campo (corrente de armadura constante)

Va

Ra

Laia

e

ArmaduraCampo

Rf

vfLf

Exemplo 3: Alto-falante

Sistema Fsico

microfone

sinal processado sinal eltricoprocessado

Modelo Fsico do alto-falante:


Francisco A. Lotufo

A interao entre as partes eltricas e mecnicas feita via e(t) e fm(t). No que se refere a e(t) temos: )()()( 11 tvKdt

tdxKte == , K1 depende do nmero de espiras e

da intensidade do im natural. Ao circular uma corrente I2 pela bobina surge uma fora f dada por: )(22 tIKf m = Caso toda a potncia eltrica seja convertida em potncia mecnica, tem-se:

122 )()();()( KKtvtfPtetIP mme ===

Finalmente:

=++

=++

=++

)3()()(2)()(

)2(0)()()]()([1)1(0)]()([1)()(

221

211

tftKxtxBtxM

tedt

tdILdttItIC

dttItIC

tRItu

m

Exemplo 4: Microfone Capacitivo

Estamos interessados no sinal y(t). Sabemos que entre duas placas com cargas +Q e Q h um campo eltrico

dVE = .

Por definio: C = capacitncia dE

QCondeVQC

==

Alm disso

QdSD =

, onde D o vetor densidade de fluxo eltrico, logo, D.A=Q (no nosso caso particular)

Ou seja, d

ACA

QEdondeEDmasAQD =

===


Francisco A. Lotufo

A energia armazenada em um capacitor :

AdQ

CQCVW

221

21 222

=== , donde: AdQW

2

2=

Devido conservao de energia

AQFWdF ee 2

2

==

Para o nosso caso particular:

AqqF

xx

AC e

2)(

e)(2

0

0

+=

=

Para a parte eltrica

vqtqA

txxtqRtqL

dttiCdt

tdiLtRiv

=+

++

=+++

])([.

)]([)()(

0)(1)()(

00

(1)

Para a parte mecnica

fAqtq

xtxKtxBtxM

fFtxxKtxxBtxxM e+

+=+++

+=+++++

2])([])([)()(

)]([)]([)]([2

01

1'

1"

1

(2)

2.4 Equao de Lagrange

Propcia uma abordagem sistemtica e unificada para modelar uma ampla classe de sistemas dinmicos.

Equao de Lagrange: ii

iii

Qq

DqV

qT

q

Tdtd

=

+

+

Onde:

T = energia cintica V = energia potencial D= energia dissipada Qi = excitaes

Adendo: as expresses de energia em funo das coordenadas generalizadas sero dadas abaixo. As coordenadas generalizadas mais utilizadas so:

q= carga eltrica x = posio linear = posio angular


Francisco A. Lotufo

1 Energia Cintica

22

22

22

21

21

21

21

21

21

==

==

==

JJT

xmmvT

qLLiT

2 Energia Potencial

2

2

2

212121

KV

KxV

CqV

=

=

=

3 Energia Dissipada

2

2

22

2121

21

21

=

=

==

BD

xBD

qRRiD

Exemplo 1: Consideremos o exemplo com acoplamento capacitivo


Francisco A. Lotufo

Como coordenadas generalizadas usaremos

)()()()(

2

1

txtqtqtq

=

=

a) Energia Cintica

22 )]([21)]([

21

txMtqLT

+=

b) Energia Potencial

210

202

1

2

))((21))(())((

21)(

21

21

txxKtxxA

qtqxxK

CqV +++=++=

c) Energia Dissipada

22 )]([21)]([

21

txBtqRD

+=

Para a coordenada generalizada carga, temos:

)()(1 tqtq =

vA

txxqtqtqRtqL

vQtqRtq

DA

txxqtqqV

tqT

qLq

TdtdqL

tq

T

=+

++

==

+

=

=

=

=

)](][)([)()(:Logo

)()(

))()()((0)(

)(

00

100

Para a coordenada generalizada deslocamento, temos:

)()(2 txtq =

)()()(

txMtxMdtd

tx

Tdtd

=

=

fA

qtqtxxKtxBtxM

fQtxBtx

D

txxKAqtq

tx

Vtx

T

=

++++

==

+++

=

=

20

1

2

1

20

])([21)]([)()(

)()(

))((.

])([21

)(0)(


Francisco A. Lotufo

Exemplo 2:

Exemplo 3: Considere um sistema representado pelo circuito eltrico da figura abaixo. Usando Lagrange determine o modelo para este sistema, e compare com o modelo obtido usando as leis de Kirchoff.

Exemplo 4: Brao mecnico (pndulo duplo) em um plano inclinado

r

1

2

a

b

1

2

MB1

B2

B3


Francisco A. Lotufo

2.5 Sistemas Discretos

2.5.1 Equaes Discretas

So por excelncia modelos matemticos de sistemas discretos.

Exemplo 1: Seja k o instante no qual se faz uma contagem, e y(k) o nmero de bactrias nesse instante. Admitindo-se que:

a: Taxa de reproduo; b: Taxa de mortalidade;

Resulta: 0)()()1()()()1( =+=+ kybakykybaky ,

Que uma equao de diferenas (ou frmula de recorrncia) de 1a ordem no forada.

Exemplo 2: Integrao numrica aproximada.

=t

duty0

)()(

Se y(k-1) for a rea no instante (k-1)T ento:

])1[(])1[()()1()1()( TkTuTkykTykTukyky +=+=

Exemplo 3: Podemos usar uma diferena para aproximar a derivada de uma funo em um dado ponto.

)()()1(])1[(1

)()()(])1[(

)()()(][])1[()(.

kTbukTyT

aTkyT

kTbukTayT

kTyTky

tbutaydt

tdyT

kTyTkydt

tdyTkt

=++

=++

=++

=

Onde T escolhido como sendo um pequeno valor para ocasionar uma pequena variao.


Francisco A. Lotufo

2.5.1.1- Solues de Equaes Discretas Lineares

Os mtodos so anlogos queles empregados na soluo de equaes diferenciais.

A - Soluo da Equao Homognea

0)]([)(0)(...)1()(

1

1

=+

=+++

=

n

i i

n

ikyaky

nkyakyaky

Admitindo-se que:

=

ZkC

ky k)()(

Seja, soluo, ento:

ticacaracters equao0)...(0...

22

11

22

11

=++++

=++++

n

nnnnk

nkn

kkk

aaa

aaa

Exemplo: Determine a soluo da equao homognea:

y(k)+1,5y(k-1)-y(k-2)=0 k 0

25,00)15,1(05,1

)(

21

22

21

==

=+

=+

=

k

kkk

kky

logo: 0,)2()5,0()( 21 += kCCky kk

Com C1 e C2 dependendo das condies iniciais y(-2) e y(-1) para k=0


Francisco A. Lotufo

O comportamento qualitativo da seqncia {y(k)} em funo de :

y(k)= k >1 Crescente =1 Constante 0


Francisco A. Lotufo

Exemplo1: Obtenha a soluo completa da equao a diferenas dada abaixo, dar o valor de )(ky para k=0, 1, 2, 3, 4 e 5. Diga, como )(ky .

5)1(e2)0(com9)2(8)1(6)( ===++ yykykyky

Soluo Homognia

=

=

=++=++= 42

0)86(086)(2

12221

kkkkkky

kkh CCky )4()2()( 21)( +=

Soluo Particular

Aky =)(

159)(

159915986 )( ====++ pkyAAAAA

159)4()2()()()()( 21)()( ++=+= kkph CCkykykyky

Para as condies iniciais dadas, temos:

4,12159)4()2()0( 210201 =+=++= CCCCy

4,4425159)4()2()1( 211211 ==++= CCCCy

6,3 e 5 Assim, 21 == CC 159)4(6,3)2(5)( += kkky

,3527)5(,841)4(,191)3(,37)2(,5)1(,2)0( ====== yyyyyy )(ky alternada e crescente.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

k - inteiro

y(k)

Soluao de y(k) = crescente e alternado

Sistemas Lineares Entrada/Sada 30

Francisco A. Lotufo

3- Sistemas Lineares Entrada/Sada

3.1- Funes Singulares (Sinais Elementares Haykin)

Muitos sinais de excitao utilizados no estudo de sistemas dinmicos so funes simples no domnio do tempo, expressos matematicamente por um conjunto de funes denominadas funes singulares, que constituem um conjunto de entradas padres utilizadas para caracterizar a resposta dinmica de um sistema.

3.1.1- Degrau Unitrio

O degrau unitrio a funo bsica da famlia de funes singulares. Sua definio a seguinte:

( )

), dizemos simplesmente que )t(f de ordem exponencial.

A caracterstica principal das funes de ordem exponencial de no poder crescer em valor absoluto, mais rapidamente que tMe .

Na prtica, isto no representa restrio, pois M e podem ser escolhidos to grandes quanto se queira.

Quando a transformada de Laplace de uma funo existe, ento a integral:

( )dttfe st 0 (4)

Converge para algum valor finito. Para que isso acontea, a seguinte condio deve ser satisfeita:

( ) 0lim =

tfe stt

(5)


Francisco A. Lotufo

3.3.2- Transformada de Laplace de algumas funes simples

a- Constante

Seja k uma constante qualquer, ento:

[ ]s

ks

kedtekkst

st=

==

00

L

donde:

[ ]s

kk =L (6)

evidentemente: ( )

= 1

0tu 1 degrau unitrio

[ ]s

tu1)(1 =L (7)

b- Exponencial crescente

Seja um nmero real positivo, ento:

[ ]

=

===

ssedtedteee

tstssttt 1

0

)(

0

)(

0

L (8)

c- Exponencial decrescente

[ ]

+=

se t

1L

(9)

d- Co-seno

Seja uma onda co-senoidal de amplitude unitria e freqncia ]/[ srad . Evidentemente real e positivo. A transformada de Laplace (TL) dessa funo de acordo com a definio :

[ ] dtett st

=

0

)cos()cos( L (10)

)()cos( tjsente tj += e )()cos( tjsente tj = Sabe-se que

2cos

tjtj eet

+

=

ento a equao (10) torna-se

[ ] dteeet sttjtj

+=

0 2cos

L (11)

+

=

tje

tje

LL

21

(12)


Francisco A. Lotufo

[ ]

jstje

=1

L (13)

[ ]

jstje

+=

1L (14)

Substituindo as equaes (13) e (14) em (12), temos:

[ ] 22cos += ss

tL (15)

e- Seno

[ ] 220

)()(

+==

sdtetsentsen stL

f- Co-seno com amplitude e ngulo de fase quaisquer

Seja um co-seno de amplitude Amx e ngulo de fase . A sua transformada de Laplace dada por:

[ ] dtetAtA stmxmx

+=+0

)cos()cos( L

Pode-se escrever:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

costjj

mxtjj

mxtjtj

mxmxeeAeeAeeAtA

++

+=

+=+

Seja A a constante complexa definida por:

jbaAeAA mxj

mx +===

22 e jbaAeAA mx

jmx

===

22*

( )

=

=

A

AA mx

arg2

( )( )

==

==

senImcosRe

AAbAAa

tjtjmx eAAetA

+=+ *)cos(

Ento:

[ ]

jsA

jsA

tAmx ++

=+*

)cos(L

Alternativamente pode-se fazer:

2222

sencos22

+

=

+

=

+

+

+

s

AsAs

basjsjba

jsjba mxmx

( )( ) )sen()sen()cos()cos(cos

)sen()sen()cos().cos(cos tAtAtA

BABABA

mxmxmx =+

=+


Francisco A. Lotufo

seno com amplitude e ngulo de fase quaisquer

[ ]

jsA

jsA

tsenAmx ++

=+*

)(L

=

=

22

22* pi

pi

mx

mx

AA

AA

3.3.3- Propriedades fundamentais

a- Linearidade [ ] )()()()( 2121 sbFsaFtbftaf +=+L

b- Translao na freqncia

)()( asFtfate +=

L

c- Diferenciao na freqncia

[ ]ds

sdFsFttf )()()( ' ==L

d- Transformada de Derivadas

A transformada de Laplace da derivada de uma funo )t(f pode ser expressa por qualquer uma das seguintes formas:

[ ] dtetftpftfdt

tdf st

==

=

0

)()()()( LLL

Lembrando: integrao por partes

( ) ( )tfvdttfdvdtsedueu

vduudvuvvduudvuvd

vduuvudv

stst

==

==

+=

+==

)(

( ) ( ) ( ) dtetfstfedtetf ststst

+= 000 .

)0()()()(

=

=

fssFtfdt

tdfLL

[ ] [ ] =

===

1

0

)(1)( )0()()()()(n

k

kknnnnn

n

fssFstfptfdt

tfdLLL

Esta ltima equao importantssima, pois a que permite resolver equaes diferenciais lineares invariantes no tempo atravs da transformada de Laplace, este o mtodo de soluo no qual se baseia a anlise de sistemas dinmicos lineares invariantes no tempo.


Francisco A. Lotufo

e- Transformadas de integrais

)()]([)()(1)()()1(

1)1( tfdt

tfddftfp

tfptft

====

[ ] )()0()()( )1()1()1( sFftfsdt

tdf==

LL

onde:

( ) ( ) ( )

=

01 0 dttff

Logo:

[ ]s

fsF

sdftf

t )0()(1)()()1(

)1(

+=

= LL

f- Propriedade de translao no tempo

Seja f(t) uma funo do tempo, cuja transformada de Laplace F(s). Considere-se que essa funo seja transladada de um tempo a, e anulada para t < a, conforme mostrado abaixo pela figura. Ento, a transformada de Laplace desta operao dada por

Funo transladada no tempo

[ ] )()()( 1 sFeatuatf as =L

3.3.4- Teorema do valor inicial

( ) ( ) ( )ssFtffst

+==

+limlim0

0

3.3.5- Teorema do valor final

( ) ( ) ( )ssFtffst 0limlim

==


Francisco A. Lotufo

Exerccios:

1- Dado que a resposta ao degrau de um sistema linear, invariante no tempo, inicialmente em

repouso : )(34

371)( 12 tueety tt

+=

Determinar a Transformada de Laplace da resposta do sistema entrada:

Quais os valores, inicial e final, da resposta resultante?

2- Determinar a transformada de Laplace da onda quadrada:

3.4- Transformada inversa de Laplace

O processo de se obter uma funo no tempo a partir de uma transformada de Laplace denominado transformao inversa.

[ ])()( 1 sFtf = L (16)

( )tf a transformada inversa de ( )sF , matematicamente, ( )tf obtida a partir de ( )sF atravs da seguinte expresso:

( ) ( ) ( ) +

+

==

jdc

jdcst

d

jc

jcst dsesFjdsesFjtf lim2

121

pipi, para 0t > (17)


Francisco A. Lotufo

Onde c escolhido de modo que todos os pontos singulares de ( )sF estejam localizados esquerda da reta ( ) cs =Re no plano complexo s , como:

=Re(s)

j = Im(s)Regio admissvelpara os pontossingulares de F(s)

c

A expresso da transformada inversa de uso complicado, e por isto pouco utilizada na prtica.

O procedimento normal , para expresses simples de ( )sF , buscar a expresso da transformada inversa em tabelas. Para transformadas mais complicadas, procura-se desmembrar

( )sF numa soma ponderada (combinao linear) de expresses mais simples, ou seja:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

+++==N

kNNkk sFAsFAsFAsFAsF

12211 ... (18)

onde NAAA ,..., 21 so constantes. Devido propriedade da linearidade das TLs a transformada inversa ser dada pela mesma soma ponderada das transformadas inversas de cada parcela, ou seja:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

+++==N

kNNkk tfAtfAtfAtfAtf

12211 ... (19)

Este procedimento o mais utilizado na obteno de transformadas inversas, especialmente quando as transformadas so funes racionais.

3.4.1- Transformadas de Laplace racionais

Definies bsicas

Funo racional - uma relao de dois polinmios da forma:

( ) ( )( ) 01221101

22

11

...

...

asasasasa

bsbsbsbsbsQsP

sFn

n

n

n +++++

+++++==

(20)

Uma caracterstica importante das funes racionais a diferena entre os graus do numerador e do denominador. Sob este ponto de vista, as funes racionais so classificadas da seguinte maneira:

- se n , ( )sF uma funo imprpria


Francisco A. Lotufo

Zeros de ( )sF : So as razes de

( ) 0=sF (21)

Ou seja, so os valores de s que anulam a funo. Se ( )sF for racional, da forma dada pela equao (20), os zeros de ( )sF so os zeros de seu numerador, isto , so as razes de:

( ) 0=sP (22)

Plos de ( )sF : So as razes de

( ) 01

=

sF (23)

Ou seja, so os valores de s que anulam o inverso da funo. Se ( )sF for racional, da forma dada pela equao (20), os plos de ( )sF so os zeros de seu denominador, isto , so as razes de:

( ) 0=sQ (24)

Forma fatorada de ( )sF : Se os zeros e os plos de uma funo racional ( )sF forem conhecidos, ento a funo poder ser escrita em forma fatorada, como segue:

( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )nn pspspsa

zszszsbsQsP

sF

==

...

...

21

21 (25)

Onde: zzz ,..., 21 so os zeros de ( )sF

ppp ,..., 21 so os plos de ( )sF

Representao de plos e zeros no plano s

comum a representao de plos e zeros de funes racionais pelas suas coordenadas cartesianas em um par de eixos ortogonais. As partes reais dos plos e zeros so as abscissas dos pontos correspondentes e as partes imaginrias, as ordenadas. O plano definido por um par de eixos com a finalidade de representar nmeros e variveis complexas denominado plano complexo; o eixo horizontal o eixo real, e o eixo vertical o eixo imaginrio; a metade do plano esquerda do eixo imaginrio denominada semiplano esquerdo, e a regio direita denominada semiplano direito. O semiplano esquerdo o lugar geomtrico dos nmeros complexos com parte real negativa, e o semiplano direito o dos nmeros complexos com parte real positiva.

Quando um plano utilizado para representar valores da varivel complexa js += , esse plano conhecido como plano s ; o eixo real como eixo e o eixo imaginrio como eixo j .

Quando se representa quantidades complexas em planos complexos, comum o uso simultneo de coordenadas retangulares e polares. Isto implica a necessidade de se usar a mesma escala para os dois eixos, a fim de evitar deformaes dos ngulos.

Na representao de plos e zeros de uma funo racional em s , normalmente usa-se a seguinte conveno:


Francisco A. Lotufo

os plos so marcados com X (denominador) os zeros so marcados com O (numerador)

Exemplo: representao grfica de plos e zeros.

Seja a funo:

( ) ( )( )( )( )jsjssss

sF31313

210++++

+=

Pode surgir a necessidade de se representar, em um mesmo plano complexo, plos e zeros de funes diferentes. Em tais casos, pode ser conveniente o uso de smbolos diferentes para os plos e zeros de cada funo.

plo smbolo

zero smbolo

X

3.4.2- Propriedades importantes

Propriedade 1: Toda funo racional estritamente prpria pode ser desmembrada em uma soma de fraes parciais. Seja:

( ) ( )( ) 01221101

22

11

...

...

asasasasa

bsbsbsbsbsQsP

sFn

n

n

n +++++

+++++==

( )( ) ( )( )( ) ( )nn pspspsa

zszszsb

=

...

...

21

21 , n


Francisco A. Lotufo

Por frao parcial entende-se uma funo racional elementar do tipo

=

)!1()(1

ktAe

psA kpt

k L

Onde p o plo, A o resduo e k o grau da frao parcial; p e A podem ser reais ou complexos. Quando 1k = , diz-se que a frao parcial simples. Na expanso em fraes parciais, existem dois casos a considerar.

Caso1 - Plos distintos: o mais freqente, quando todos os plos da funo so distintos, isto , diferentes entre si, ou seja,

npppp ...321

Neste caso, haver uma frao parcial simples para cada plo, e a expanso em fraes parciais ser:

( )n

nn

k k

k

psA

psA

psA

psA

sF

++

+

=

= =

...

2

2

1

1

1

O resduo kA de cada plo distinto kp calculado da seguinte maneira:

( ) ( ) ( )( )kkk

pskk pQ

pPsFpsA

k

==

=

, onde ( ) ( )( )kk pssQ

sQ

=

A transformada inversa ser:

( ) 0...211

21 >++===

teAeAeAeAtf tpntpn

k

tptpk

nk

Caso 2 - Plos mltiplos: Se uma funo racional tiver plos mltiplos, isto , repetidos, ento a expanso em fraes parciais conter fraes de grau igual ou superior a dois, correspondentes aos plos mltiplos. Para apresentao da forma de clculo dos resduos dessas funes parciais, ser considerada uma funo racional que tenha um plo mltiplo qp , sendo r a sua multiplicidade. Isto quer dizer que a funo ter r plos iguais, sendo os demais distintos, ou seja:

1121 ......... +++ === rqqqnrqq pppeppppp

Nesse caso, a expanso em fraes parciais tomar a forma:

( ) ( ) ( )

( ) ( )rqqr

q

q

q

q

n

n

rq

rq

q

q

n

rqqqkk

r

kk

q

qk

k

k

ps

Aps

Aps

Aps

Aps

Aps

Aps

A

ps

Aps

AsF

++

+

+

++

+

++

=

+

=

+

+

++= =

...

......

221

1

1

1

1

1,...,1,1 1


Francisco A. Lotufo

V-se ento que a cada plo simples continuar correspondendo apenas uma frao parcial simples, j os resduos correspondentes ao plo mltiplo so dados por:

( )( )( ) ( )

qps

r

qkr

kr

qk pssQsP

dsd

krA

=

=

!1

para rk ,...,2,1=

Para outros plos mltiplos, procede-se de forma semelhante.

A transformada inversa ser:

( ) ( )

( )

+++++

+++++=

+=

+

=

++=

+

!1...

!2

......

!1

12

321

11

1

1

1,...,1,1

11

r

tAtAtAAe

eAeAeAeA

ktAeeAtf

r

qrqqqtp

tpn

tprq

tpq

tp

n

k

k

qktp

n

rqqqkk

tpk

q

nrqq

qk

Exemplo:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )313

21211

3

2

111132

++

++

+=

+

++=

s

As

As

As

sssF

111 =A 012 =A 213 =A

( ) ( ) ( )312

11

++

+=

sssF

[ ]

+==

22)()(

21 teesFtf ttL

( ) [ ]21 tetf t +=

Exerccio:

( ) ( )( ) ( )( )4321

2 +++

+=

sss

ssF

A importncia da expanso em fraes parciais

A expanso em fraes parciais a tcnica mais importante para obteno de transformadas inversas de Laplace de funes racionais em s . Uma vez superadas as dificuldades de colocao de ( )sF em forma fatorada e de clculo dos resduos, a obteno da transformada inversa um procedimento trivial.

Uma observao importante a ser feita a de que o caso das funes racionais com plos distintos o mais freqentemente encontrado na prtica. Neste caso, seis tipos de plos podem ocorrer:


Francisco A. Lotufo

* plos reais - que podem ser negativos, nulos ou positivos. * plos complexos - com parte real negativa, nula ou positiva.

Quando a parte real de um plo complexo nula, diz-se que o plo imaginrio, ou imaginrio puro.

Como as transformadas de Laplace que esto sendo consideradas so racionais, com os respectivos polinmios do numerador e do denominador tendo coeficientes reais, quando houver plos complexos, eles sempre aparecero em pares conjugados. Logicamente, as fraes parciais correspondentes tambm ocorrero em pares conjugados. A transformada inversa de um par de fraes parciais complexas conjugadas uma funo co-senoidal, com a amplitude variando exponencialmente; a parte real do plo define a taxa de variao do expoente da exponencial que define a variao da amplitude, e a parte imaginria a freqncia de oscilao, em radianos por segundo.

Propriedade 2:

Toda funo racional no-estritamente prpria pode ser desmembrada em uma soma de um polinmio de grau ( )n e uma funo estritamente prpria, cujo denominador o mesmo da funo original. Isto , se ( )n , possvel demonstrar que

( )01

22

11

012

22

21

101

11

...

...

...

asasasasa

cscscscscBsBsBsBsFn

n

n

n

n

n

n

nn

n

n

n +++++

++++++++++=

Este desmembramento feito com base na seguinte identidade:

rDenominadoRestoQuocienteprpria teestritamen-no Frao +=

Propriedade 3:

A transformada inversa de uma funo racional no estritamente prpria possui ( )1+ n componentes impulsivas.

3.4.3- Teorema do valor final para transformadas de Laplace racionais

Para transformadas de Laplace racionais, o teorema de valor final pode ser enunciado de forma mais rigorosa, estabelecendo de forma absolutamente inequvoca as condies em que pode ser usado.

Seja )(tf uma funo do tempo, com uma transformada de Laplace racional )(sF dado por:

[ ] ( ) ( )( )( )( ) ( )( )( ) ( )nnnnnn pspspsa

zszszsbasasasasa

bsbsbsbsbsQsP

sFtf

=

+++++

+++++===

...

...

...

...)(21

21

012

21

1

012

21

1

L


Francisco A. Lotufo

Ento a existncia e o clculo do valor final podem ser estabelecidos como segue:

Se a transformada ( )sF tiver todos os seus plos com parte real negativa, ento o valor final de ( )tf nulo.

Se ( )sF tiver um nico plo nulo, e todos os seus demais plos tiverem parte real negativa, ento o valor final de ( )tf constante e no nulo, sendo dado por:

( ) ( ) ( )1

00

limlima

bssFtff

st===

Nos demais casos, ( )tf no possui valor final constante.

3.4.4- Transformada de Laplace de vetores e matrizes

Pesquisar nos livros contidos na bibliografia

Ex.: ( ) ( ) ( ) ( )[ ]tttt m ...21= dimenso m , ( )( )( )

( )

=

tx

tx

tx

tx

3

2

1

M dimenso n

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

=

tata

ta

tatata

tatata

ta

lml

ij

m

m

LL

MMM

L

L

1

22221

11211

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

=

sAsAsA

sAsAsAsAsAsA

sA

lml

ij

m

m

LL

MMM

L

L

1

22221

11211

3.5- Convoluo

3.5.1- Convoluo escalar

Sejam ( )tf e ( )tg duas funes escalares. A convoluo destas duas funes definida como:

( ) ( ) ( ) ( )+

=t

dtgftgtf0

(26)

( ) ( ) ( ) ( )tftgtgtf = (27)

Teorema da convoluo: Se as funes ( )tf e ( )tg forem nulas para 0


Francisco A. Lotufo

Exemplo1: Convoluo de uma exponencial e um seno causais. Neste exemplo, o teorema da convoluo utilizado para determinar a transformada inversa de:

( ) ( )( )22

++=

sassF

Seja ( )as

sF+

=

11 ( ) 222

+=

ssF

De modo que: ( ) ( ) ( )sFsFsF 21=

O teorema da convoluo s pode ser aplicado se as respectivas transformadas inversas forem causais, e nulas para 0


Francisco A. Lotufo

Finalmente:

( ) 0,sen1 12222

++

+=

ta

wtgt

aa

etf

at

Um aspecto interessante deste exemplo a representao da funo seno atravs de variveis complexas. Quando se chega ao final dos clculos, as partes imaginrias das expresses se cancelam, de modo que o resultado final seja real. Isto sempre acontece quando problemas reais so tratados com variveis complexas.

Exemplo 2: Encontre a inversa ( )tf para a seguinte funo:

( ) ( )( )213++

+=

ss

ssF

Soluo:

tt eetfsFss

sF - 2.2)()]([)2(1

)1(2)( 1 ==

+

+= L

Exemplo3: ( ) ( )11

2 ++

+=

sss

ssF ( ) ( )3

2

132

+

++=

s

sssF

ADENDO: Plos e zeros

Definimos os plos da funo racional ( )sF como sendo as razes do denominador e os zeros da ( )sF como as razes do numerador. Vamos considerar alguns diagramas de plos e zeros correspondentes a sinais padres1.

a- Funo degrau e sua transformada de Laplace (Plo na Origem)

1 Figuras retiradas do livro: Sinha, N.K. Linear Systems, John Wiley & Sons, New York, 1991.


Francisco A. Lotufo

b- Uma exponencial e sua transformada (Plo no eixo real)

c- Funo rampa e sua transformada (Plo duplo na origem)

d- Funo coseno e sua transformada

e- Funo seno e sua transformada


Francisco A. Lotufo

f- Funo coseno amortecido e sua transformada

g- Funo seno amortecido e sua transformada

Funes no tempo e suas correspondentes localizaes dos plos no plano s


Francisco A. Lotufo

Destes diagramas conclumos:

Funes decaem exponencialmente quando possuem plos sobre o eixo real negativo, tendo partes imaginrias nulas.

Os plos e zeros correspondentes s senides no amortecidas esto sobre o eixo imaginrio, tendo partes reais nulas;

Os plos e zeros de senides amortecidas devem ter partes reais, imaginrias e complexas. Quanto mais o plo estiver afastado da origem do eixo real negativo, maior ser sua razo

de amortecimento, ou seja, o plo mais afastado da origem do eixo real negativo corresponde exponencial que decai mais rapidamente.

Considerando duas ondas senoidais temos que: a distncia da origem sobre o eixo j representa a freqncia de oscilao, sendo quanto maior a distncia, maior a freqncia.

3.6- Funo de transferncia

definida como a razo entre a transformada de Laplace da sada (funo resposta) do sistema e a transformada de Laplace da entrada (funo excitao) com condies iniciais nulas. Considere o sistema linear invariante no tempo definido pela equao diferencial:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tubdt

tudbdt

tudbtyadt

tyda

dttyd

am

m

mm

m

mn

n

nn

n

n 01

1

101

1

1 ...... +++=+++

onde ( )ty a sada do sistema e ( )tu a entrada. A funo de transferncia obtida aplicando-se a transformada de Laplace a ambos os lados da equao sob a hiptese de que todas as condies iniciais so nulas.

Funo de Transferncia ( ) ( )( ) mnasasabsbsb

sUsY

sGn

n

n

n

m

m

m

m >+++

+++==

,

...

...

01

1

01

1

A funo de transferncia uma propriedade do sistema em si ( dada em termos dos parmetros do sistema) independente da funo excitao. Porm, ela no proporciona qualquer informao relativa estrutura fsica do sistema (Funes de transferncia de muitos sistemas fisicamente diferentes podem ser idnticas).

Usando o conceito da funo de transferncia podemos representar a dinmica do sistema por equaes algbricas em s.

A maior potncia de s no denominador da funo de transferncia igual ordem do termo de mais alta derivada da sada.

Se a mais alta potncia de s igual a n , o sistema chamado de n -sima ordem.

Exemplo:

C

R

i(t)

L

e(t)i e (t)0


Francisco A. Lotufo

( ) ( ) ( )

( ) ( )

=

=++

tedttiC

tedttiC

tRidt

tdiL

o

i

1

1)(

Laplace:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

==

=++

sCsEsIsEs

sIC

sEs

sIC

sRIsLsI

oo

i

1

1

( ) ( ) ( ) ( )sEsEsRCsEsELCs iooo =++2 ( )( ) 1

12 ++

=

RCsLCssEsE

i

o

Exerccios:

1-) Determine a funo de transferncia para o circuito abaixo:

C

R

i(t)e(t)i e (t)0

2-) Considere a Funo de Transferncia: 1)1(

2)( 2 +++

=

s

ssH

a) Desenhe o diagrama de Plos e Zeros e calcule a magnitude e o argumento de H(s) com js = .

b) Determine os valores da magnitude e argumento de H(s), para:

= 0,1; 0,8; 1,0; 2,0; 5,0; 10,0; 100.

3.7- Regime permanente em sistemas assintoticamente estveis

Quando a entrada aplicada a um sistema linear no tem parcelas transitrias, ento a resposta particular a resposta em regime permanente, denotada como segue:

( ) ( )tytyt

RP

= lim

primeira vista, esta equao pode parecer estranha, j que uma funo no tempo igualada a um limite para t . O significado o seguinte: ( )tyRP a parcela de ( )ty que no tende a zero quando t , mas nada impede que ela seja uma funo no tempo. Se ( )sU (Transformada


Francisco A. Lotufo

de Laplace da entrada) no tiver nenhum plo com parte real negativa, ento a resposta em regime permanente dada por

= )(

)(1sDsNy

P

PRP

-

L

Por exemplo, se ( )tu for um degrau, ( )sU tem um plo na origem (s=0); neste caso, a resposta em regime permanente ser constante. Se a entrada for senoidal, da forma ( ) +tU mx cos , ( )sU ter um par de plos imaginrios em js = ; neste outro caso, a resposta em regime permanente ser senoidal, com a mesma freqncia do sinal de entrada.

3.7.1- Regime permanente senoidal

Para um sistema linear invariante no tempo cuja entrada seja ( )tu , a sada seja ( )ty e a funo de transferncia operacional ( )pG , como:

u(t) y(t)G(p)

Ser considerado que os plos do sistema sejam conhecidos, de modo que a funo de transferncia possa ser escrita em forma fatorada como:

)).....()(()()(

21 nn

G

ssssssa

sNsG

=

( )

yppydtdp

tutaydt

tdy

=

=+ )()(

( )

( )( ) ( )aptuty

uyaptutaytpy

+=

=+

=+

1

)()()(

A entrada senoidal considerada :

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ++ +=+= tjtjmxmx eeUtUtu 2cos

ento, a transformada de Laplace da entrada :

( )

++

=

jse

jseU

sUjj

mx

2

Como o sistema considerado estvel, quando a resposta livre sempre tem valor final nulo, supe-se condies iniciais nulas. Neste caso, a transformada de Laplace da sada :

( ) ( ) ( ) ( )

++

==

jse

jsesGU

sUsGsYjj

mx

2( )

( )( ) ( )

++

=

jse

jse

ssssssa

sNU jj

nn

Gmx

...2 21


Francisco A. Lotufo

considerando jsss n ...21 , a expresso acima admite a seguinte expanso em fraes parciais

( ) js

bjs

bss

AsY

n

k k

k

++

+

==

*

1

onde

( ) ( )[ ]ksskk

sYssA=

=

( ) ( )[ ] ( ) ( )( )( )22

jmx

js

jjmx

jsejGU

jsejs

esGU

sYjsb =

+

+===

=

Considerando a forma polar de ( )jG

( ) ( ) ( ) == jGejGjG j

Pode-se escrever

( ) ( ) ( ) +==

jmxjjmx ejGU

eejGU

b22

De forma anloga, obtm-se:

( ) ( )[ ] ( ) ( ) += =+= jmxjs ejGUsYjsb 2*

logo

( ) ( ) ( )

=

++

++

+

=

n

k

jjmx

k

k

jse

jsejGU

ss

AsY

1 2)(

Seja ( )jGUY mxmx =

+=

ento a transformada inversa ser:

( ) ( )=

++=n

k

tjjtjjmxtsk eeee

YeAty k

1 2

Finalmente

( ) ( )=

++=n

kmx

tsk tYeAty k

1cos

Se o sistema for estvel

( ) nkesR tst

kek

,...2,1,0lim0 == ); Fig. (b) atenuao de amplitude e atraso de fase ( 0


Francisco A. Lotufo

( )jG conhecida como funo de transferncia no domnio da freqncia. O grfico de ( )jG em funo de (ou [ ]Hzf

pi

2= ) conhecido como curva de mdulo do sistema, e o

grfico ( ) conhecido como curva de fase. As duas curvas so conhecidas como diagrama de resposta em freqncia ou grficos de resposta em freqncia.

Estas duas expresses, juntamente com a srie de Fourier e o princpio da superposio de efeitos, so a base de todas as tcnicas para projetos de filtros e sintonizadores, tanto nas aplicaes industriais quanto em telecomunicaes. Uma aplicao importante no projeto de filtros para eliminao de harmnicos na sada de conversores tiristorizados, e de outros elementos que provocam distores em ondas de tenso e corrente, onde o projeto do filtro feito de modo que a amplitude da curva de mdulo se aproxime de zero nas freqncias dos harmnicos que devam ser eliminados.

Exemplo: R

e (t)oCe(t)i i(t)

3.8- Diagrama de blocos de sistemas lineares

A integrao entre os diversos componentes de sistemas dinmicos lineares e sistemas de controle pode ser visualizada mais facilmente atravs dos diagramas de blocos funcionais, ou simplesmente, diagramas de blocos. Um diagrama de blocos obtido a partir das equaes dinmicas do sistema. Os blocos representam as funes que cada subsistema ou componente desempenha, e o diagrama de blocos mostra as relaes entre os sinais e o fluxo dos sinais dentro do sistema.

3.8.1- Elementos bsicos

Para os sistemas lineares, os diagramas de blocos podem ser construdos com apenas 3 tipos de elementos, que so:

(I) Bloco: representa a operao de multiplicao da entrada pela funo de transferncia ou pelo ganho do bloco. O produto resultante a sada.

u yG

)()()( tupGty =

Muitos sistemas, principalmente os que realizam amplificao de sinais ou de potncia, recebem energia de fontes externas, o que no necessrio indicar no bloco.


Francisco A. Lotufo

(II) Somador: representa uma soma algbrica de variveis, que so as entradas, cada uma afetada pelo respectivo sinal. A sada do somador a soma resultante. Na literatura, o somador representado por:

Na figura acima, w, x e y so entradas, indicando que yxwz +=

(III) Ponto de retirada (Identidade ou Ramificao): devem aparecer sempre que um sinal for entrada para mais de um somador e/ou bloco do diagrama, como acontece nos sistemas de controle com realimentao. A figura abaixo mostra como podem aparecer os pontos de retirada, vendo-se que existe uma flexibilidade bastante grande para se colocar tais pontos no diagrama.

y

Pontos de retirada(identidade)

y

y

y

y

3.8.2- Construo de diagramas de blocos

O diagrama de blocos sempre obtido a partir das equaes do sistema em estudo. A regra bsica para a obteno de um diagrama de blocos :

"O nmero de equaes independentes necessrio e suficiente para se obter um diagrama de blocos completo de um sistema igual ao nmero de variveis incgnitas."

Note-se que esta condio a mesma para que o conjunto de equaes tenha soluo. Um diagrama de blocos completo aquele que permite obter todas as variveis do sistema, isto , resolver o sistema. interessante observar que o diagrama de blocos de um sistema pode se apresentar sob diferentes aspectos, dependendo da maneira e dos mtodos utilizados para se obter as equaes. Entretanto, se os diferentes diagramas de blocos, obtidos para um mesmo sistema, forem simplificados, todas as simplificaes tero como resultado a mesma funo de transferncia (ou ganho) global.


Francisco A. Lotufo

Exemplo 1: Diagrama de blocos de um sistema completo.

TB

, ,1 1 1 , ,2 2 2

J1 J2

( ) ( )( ) ( )

=+

=+

012222111

&&&&

&&&&

BtJTBtJ

Obs.:

( )

( )

=+

=+

01222

211

1

Bdt

dJ

TBdt

dJ 21 TTT += (condio de continuidade)

22

211

1 TdtdJT

dtdJ ==

( ) ( ) +=+= 0101 20 22

210 11

1 tt

dtTJ

dtTJ

Diagrama de blocos operacional completo para o sistema rotacional


Francisco A. Lotufo

Obviamente se no estivermos interessados em visualizar o fluxo de energia do sistema pela observao do diagrama de blocos, podemos agrupar as equaes e obter relacionamentos de entrada/sada que simplificam o diagrama de blocos para o sistema.

Exemplo 2: Diagrama de blocos de uma carga mecnica.

T

JB

Neste exemplo, deseja-se obter um diagrama de blocos detalhado para a carga mecnica rotacional. O diagrama de blocos deve mostrar a relao entre a excitao (conjugado de acionamento) e todas as respostas do sistema, ou seja, a acelerao e a velocidade angulares e os conjugados de reao de inrcia e de atrito.

Soluo: O diagrama de blocos desejado vai ser construdo a partir das equaes mais simples onde, da expresso de conjugado de reao de inrcia, temos:

BJ TTT = (29) onde

BTB = (30)

Uma vez conhecido JT (conjugado de inrcia), obtm-se a acelerao angular , que proporcional a JT .

( ) JTJt1

= (31)

p= (onde dtdp = ) (32)

Ento, a velocidade angular dada por:

( ) ( ) ( ) ( )+== 011 0 dttTJtpt Jt

( ( )0 condio inicial) (33)

( ) ( )tpt = ( ) ( )tp

t 1=


Francisco A. Lotufo

Com as equaes (29) a (33) constri-se o diagrama de blocos mostrado, partindo da excitao (T ) e procurando definir todas as variaes de interesse. A excitao aparece na equao (29), que indica o uso de um somador cujas entradas so o conjugado de acionamento (T ) e o conjugado de atrito ( BT ), e cuja sada o conjugado de acelerao ( JT );

- de acordo com a equao (31) JT deve ser a entrada para um bloco de ganho J1

, cuja sada a acelerao angular ;

- de acordo com a equao (32) ou (33), deve entrar em um integrador em cuja sada ter-se- a velocidade ;

- a velocidade deve entrar num bloco de ganho B para que se tenha em sua sada o conjugado BT , que a segunda entrada para o somador, completando assim o diagrama.

Note-se que o diagrama apresenta 4 incgnitas ( JT , BT , e ), e para constru-lo foram necessrias 4 equaes independentes (29) a (32) e notado que as equaes (32) e (33) so equivalentes.

Exemplo 3: R1

eoei R2i

1Reei oi = (34)

oRi eee +=

oiR eee =

1Reei oi =

iReo 2= (35)

oeie+

_

1R1Re i

2R

oe


Francisco A. Lotufo

Exemplo 4: R

voCvi+

-

+

-

i

oRi vvv += ( ) i

Rvv oi

=

( )dttiC

tvt

o

=

1)( ( )tipC

tvo11)( =

( )tCpvti o=)(

No domnio da freqncia

R

V (s)o1sCV(s)i I(s)

+

_

R1

sC1V (s)i V (s)0

V (s)0


Francisco A. Lotufo

3.8.3- Condies para operaes de diferenciao e integrao serem comutativas

Sejam dois sistemas sujeitos a uma mesma entrada

No sistema 1, ( )tu sofre primeiro uma derivao, e o resultado ( )tx1 integrado, resultando na sada ( )ty1 , portanto: ( ) ( ) ( )tutputx &==1 (36)

( ) ( ) ( ) ( )+==

01 10

111 ydxtxpty

t

( ) ( ) ( ) ( ) +==

00 10

yutudut

& (37)

Considerando condies iniciais quaisquer, as transformadas de Laplace das equaes (36) e (37) so, respectivamente:

( ) ( ) ( )= 01 ussUsX

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s

ys

usU

s

ys

sXsY

+=+=000 111

1 (38)

No sistema 2, ( )tu sofre primeiro uma integrao e o resultado passa, em seguida, por uma diferenciao. Neste caso,

( ) ( ) ( ) ( )+==

01 20

2 xdutuptx

t

(39)

( ) ( ) ( )txtpxty 222 &== (40)

As transformadas

( ) ( ) ( )s

x

s

sUsX

+=02

2 (41)


Francisco A. Lotufo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUxxsUxssXsY =+== 000 22222 (42)

Comparando as equaes (38) e (42), v-se que

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) === 00 121 yusUsYsY (43)

Portanto, os dois sistemas somente sero equivalentes se esta equao for satisfeita, pois s assim as sadas dos dois sistemas sero iguais. Evidentemente, esta equao abrange o caso de condies iniciais nulas, que considerado com freqncia em anlise de transitrios.

3.8.4- lgebra dos diagramas de blocos

Todo diagrama de blocos pode ser modificado e at reduzido a um nico bloco equivalente, para o caso de sistemas com apenas uma entrada e uma sada. Cada modificao tem que ser feita de forma a no alterar as relaes entre as variveis envolvidas. O conjunto de regras para as modificaes bsicas dos diagramas de blocos conhecido como lgebra dos diagramas de blocos. A lgebra dos diagramas de blocos se aplica tanto a diagramas de blocos operacionais quanto a blocos na freqncia.

Dedues bsicas

1- Cascata

1G 2G

U(s)

Y(s)

X(s)G .G1 2

U(s) X(s)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )sUGGsXsYGsX

sUGsY21

2

1=

=

=

2- Paralelo

U(s) Y(s)

W(s)

X(s)G +G1 2

G1

G2

U(s) X(s)

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )sWsYsXsUGsW

sUGsY+=

=

=

2

1


Francisco A. Lotufo

3- Retroao (realimentao ou feedback)

U(s)

G(s)

H(s)

U(s) Y(s)

Y(s)G(s)1 G(s) H(s).

a

b

+ -

( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( )( ) ( )sHsG

sGsUsY

sUsGsYsHsGsYsYsHsUsGsY

asGsYsYsHbbsUa

m

m

1=

=

==

=

=

4- Deslocamento para frente

x2x1

x2

x2

x2x1x1x1

G(s)

G(s) G(s)

( ) 12 xsGx =

5- Deslocamento para trs

( ) 12 xsGx =


Francisco A. Lotufo

6- Eliminao de Blocos

H1

R C_ GH

_

R G

H

C

)( HCRGC =

= C

HRGHC

7- Reagrupamento de pontos de soma

( )YXRC +=

8- Reagrupamentos

8a- Bloco / Ponto de Soma

R

X

R

X

GC

G

G

8b- Ponto de Soma / N

CR

X

R

C

C

X

C

XRC =


Francisco A. Lotufo

R

RX

C R

X

R

C

m

Exemplo 1:

4G

1H

2H

_

R(s) C(s)G1G1 G3

G2

Exemplo 2:

1G 2G

R(s) C(s)

H3

H2H1

-

+++

---

Exemplo 3:

sC1G 3G

1H

2H

4G

_

++

+

+

++

_

_

_

_

_

G2


Francisco A. Lotufo

Exerccio: Determine 2R

C para o sistema

1R

2R

1G 2G 3G

3H

2H

1H

+

+ +

+

_

_

C_

3.9- Diagrama de fluxo de sinais e regra de Mason

uma alternativa para o diagrama de blocos. Cada varivel representada por um n e cada bloco representado por um ramo.

Fonte: um n com apenas sada. Sumidouro: um n com apenas chegada.

Exemplo 1:

R G1

G2

G3 G4

H1

H2

H3

C+-

++

+

-

-


Francisco A. Lotufo

Exemplo2:

+ +

_

+

_ _

G1 G2

H1H2

H3

R C

Exemplo 3:

Exemplo 4:


Francisco A. Lotufo

Exemplo 5:

3.8.1- Regra de Mason

( )sT = funo de transferncia = ( )( )sRsC

( )

=iiPsT

=i nmero de caminhos diretos

=iP ganho de um caminho direto (entre a entrada e a sada)

= 1 ("ganhos" de todas as malhas) + (produto das malhas que no se tocam duas a duas) (produto das malhas que no se tocam trs a trs)+...

i o para as malhas que no tocam o caminho direto


Francisco A. Lotufo

Exemplo:

b d

e f h

i jl

1L 2L

3L 4L

5L

( )

==iiP

u

ysT 1=i

abxcdP1 =

bfeL =1 chgL =2 ijL =3 lL =4 mL =5

( ) ( )( )541521

45254323514121543211LLLLLL

LLLLLLLLLLLLLLLLLLL+

+++++++++++=

)()(1 54435431 LLLLLLL ++++=

( )11P

u

ysT ==

Exerccios:

1-)

C+

+

+

+

+

+

+ R G1 G2 G3

G4

H1

H2 H3


Francisco A. Lotufo

2-)

+

+

+ +

as +

1

s

s

+

+

212

ss + )1(1

R C

3-)

+ + + +

_

_

_

+ G1 G2 G3

G4

H1H2

R C

4-) Desenhar o diagrama de blocos, o diagrama de fluxo de sinal e reduzir:

C+

-

+

-

ig RbRa i2i1ig

L

igentrada i2sada

5-) Usando a frmula de Mason, determinar T2(s), para o sistema representado, abaixo, onde: )()()()()( 22113 sUsTsUsTsX +=


Francisco A. Lotufo

6-) Desenhe o diagrama de blocos e o grfico do fluxo de sinais, para o circuito abaixo, e depois determine a funo de transferncia deste circuito.

C+

-

+

-

R2

C+

-

+

-

1 2

R1

V (t)2V (t)1

7-) No sistema com dois tanques mostrado abaixo, juntamente com seu anlogo eltrico, ignorado os efeitos da inrcia fludica e assumido que os elementos do sistema so lineares. Escreva as equaes de continuidade de massa em termos dos nveis de liquido h1 e h2. Desenhe o diagrama de blocos e o grfico do fluxo de sinais, para esse sistema, e depois determine a funo de transferncia para ele.

Variveis e Equaes de Estado 77

Francisco A. Lotufo

4- Variveis e Equaes de Estado

4.1- Forma Geral

As equaes de estado formam uma classe de modelo importantssima, tanto para fins de anlise quanto de simulao e projeto. Neste tipo de modelo, definido um conjunto de variveis de estado, que diferente do conjunto de sadas, sendo geralmente mais amplo. Normalmente, o conjunto de variveis de estado (VEs) inclui uma ou mais sadas. As variveis de estado devem ser escolhidas de tal modo que o conhecimento de seus valores em qualquer instante inicial 0t e o conhecimento das entradas para todo 0tt seja suficiente para determinar as sadas e as variveis de estado tambm para todo 0tt . Uma exigncia adicional a de que as variveis de estado sejam independentes, significando que no pode ser possvel expressar uma varivel de estado como uma funo algbrica (soma, diferena, combinao linear, produto) de outras.

Este mtodo especialmente conveniente para anlise de sistemas com vrias entradas e sadas e para a obteno de solues computacionais. As variveis de estado podem justificar aspectos importantes do comportamento do sistema quaisquer que sejam as sadas. Assim, as equaes das sadas podem ser escritas como funes algbricas das variveis de estado, das entradas e do tempo. Por esta caracterstica, o modelo de estado, ou seja, a representao do sistema atravs de equaes de estado, considerada como uma representao interna do sistema, isto , contendo todos os seus detalhes.

Variveisde estado

u 1u 2

u m

y 1y 2

Documents

apostila_sistema_controle.pdf