APRENDIZAGEM DOS MODELOS DE GRAFOS, POR ALUNOS DE MACS DO 11 ANO, ATRAVS DA RESOLUO DE PROBLEMAS

Maria Irene Marques Gonalves Floriano Augusto Veiga Viseu

Escola Secundria Padre Benjamim Salgado Universidade do Minho

irenegoncalvesm@gmail.comfviseu@ie.uminho.pt

RESUMO. Uma das finalidades do ensino de matemtica desenvolver a capacidade do aluno de resolver problemas. Esta atividade, para alm de dotar de significado o que se aprende, prepara o aluno para fazer face a problemas do quotidiano. Os modelos de grafos,

situaes de sistemas de distribuio e explorar solues para problemas. Em detrimento de uma pedagogia expositiva, os conceitos e notaes de grafos foram introduzidos edesenvolvidos, numa turma do 11. ano, atravs da resoluo de problemas. Pretendemos assim averiguar como os alunos interpretam problemas, que estratgias estabelecem na sua resoluo e como formulam problemas. Nessa resoluo, qualquer processo era valorizado e no existiam indicaes para a utilizao de conhecimentos destes modelos. Adotando uma metodologia qualitativa e interpretativa, os dados foram recolhidos atravs da resoluo de trs problemas pelos alunos, de gravaes de aulas e de uma entrevista no final da experincia. As concluses do estudo evidenciam que os alunos apresentam dificuldades de interpretao e formulao de enunciados de problemas, utilizam diferentes estratgias na resoluo de problemas em grupo e aprenderam os conhecimentos dos modelos grafos, reconhecendo a sua utilidade na resoluo de problemas do quotidiano.

Introduo

A ltima reformulao dos programas de Matemtica do ensino secundrio

integrou os modelos de grafos no currculo do ensino secundrio com a criao da

disciplina de Matemtica Aplicada s Cincias Sociais (MACS), no Curso Cientfico-

Humanstico de Cincias Sociais e Humanas e no Curso Tecnolgico de Ordenamento

do Territrio e Ambiente. A pertinncia da aprendizagem de tais modelos relaciona-se

com a misso que a escola tem de preparar os seus alunos para a sociedade como

cidados, participativos e responsveis na tomada de decises. Como um dos objetivos

dos programas escolares do ensino secundrio preparar o aluno para o mundo do

trabalho, para o exerccio da cidadania crtica e para a prossecuo de estudos, escola

de hoje exige-se que no se limite a informar mas procure formar pessoas capazes de se

adaptarem a uma sociedade em constante mudana e cada vez mais exigente (Menezes,

1999). As orientaes metodolgicas da disciplina de MACS referem explicitamente

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o, 2001, p. 3), na modelao de situaes

reais, tem um papel preponderante na formao dos alunos que frequentam esta

disciplina. Na concretizao destas orientaes delineamos uma estratgia de ensino que

envolvesse os alunos na aprendizagem de tpicos de grafos atravs das atividades de

resoluo e de formulao de problemas de contexto real. Com base nestas atividades,

pretendemos averiguar como os alunos interpretam problemas, que estratgias

estabelecem na sua resoluo e como formulam problemas.

Resoluo de Problemas

Nas ltimas dcadas, a resoluo de problemas surge nas sucessivas

reformulaes dos programas dos diferentes anos escolares como uma atividade

, enquanto processo que fornece o

contexto em que os conceitos so apreendidos e so desenvolvidas capacidades como,

por exemplo, de raciocnio e de comunicao matemtica. A atividade de resoluo de

problemas torna-se primordial na aprendizagem de conceitos matemticos e permite,

segundo

a experimentar e a fazer matemtica no sentido prprio do termo, o que constitui um dos

objetivos -se de uma perspetiva de ver o ensino de

Matemtica que promove a construo do conhecimento matemtico em detrimento da

perspetiva que enfatiza processos de transmisso desse conhecimento do professor para

o aluno. As recomendaes atuais da educao matemtica apontam para um ensino que

valorize a Matemtica como uma forma de pensar que envolve a resoluo de

problemas, comunicao e compreenso de conceitos, em vez de limitar o aluno a ouvir,

ler e a repetir processos. A resoluo de problemas surge no currculo como uma

atividade transversal que desenvolve atitudes e capacidades que contribuem para a

fazer Matemtica e desenvolver a perseverana e o esprito investigativ

matematicamente -29).

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A discusso sobre a resoluo de problemas faz emergir a distino entre esta

atividade e a noo de problema. Para Polya (1986) e Ponte (2005) um problema uma

tarefa com as seguintes caractersticas:

uma questo para a qual o aluno no dispe de um mtodo que permita a sua

resoluo imediata (Polya, 1986);

- uma tarefa de natureza fechada, que apresenta claramente o que dado e o que

pedido, e de grau de desafio elevado, por traduzir situaes no rotineiras s

quais o aluno no dispe de um processo imediato de resoluo e que pode ser

resolvido por vrios mtodos (Ponte, 2005).

Um problema surge assim como uma situao que se apresenta ao aluno com um

certo grau de complexidade, para a qual no possui resposta imediata ou no sabe

resolver com os conhecimentos que possui naquele momento e cuja resposta o obriga a

usar diferentes estratgias, mobilizando diferentes capacidades e procedimentos.

Quando os alunos enfrentam uma situao-problema da realidade, muitas vezes no a

conseguem resolver por considerarem que ela no em nada parecida com os

problemas que resolvem na sala de aula (Abrantes, 1992). Na vida real, muitas vezes os

problemas no apresentam uma formulao adequada e esta indefinio tende a gerar

dificuldades aos alunos. Uma forma de ultrapassar esta dificuldade na sala de aula passa

por envolver os alunos na formulao de problemas de contexto real, a partir de, por

exemplo, uma expresso ou de um grfico. Esta atividade entendida como uma

estratgia de aprofundamento de conceitos matemticos e de desenvolvimento da

compreenso dos procedimentos implicados na sua resoluo (Boavida et al., 2008).

Ponte et al. (1998) consideram que a formulao de problemas uma atividade que

proporciona um grande envolvimento dos alunos em termos de trabalho de grupo,

embora este envolvimento tenha de ser estimulado por no acontecer espontaneamente.

Uma interveno educativa adequada permite que, segundo estes autores, os alunos

distingam a formulao de um enunciado de um exerccio do de um problema.

A formulao de problemas na disciplina de Matemtica tem sido objeto de

alguns estudos. Por exemplo, Silver et al. (1996) efetuaram uma experincia com 53

professores do ensino secundrio e 28 futuros professores, na qual era dado aos

participantes um conjunto de dados e lhes era pedido que, com base neles, formulassem

um problema, o resolvessem e testassem a soluo encontrada. A resoluo desta tarefa

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poderia ser feita individualmente ou em pares. Foram analisadas 399 respostas, algumas

delas contendo esquemas e diagramas, juntamente com a fundamentao escrita. As

respostas apresentadas evidenciaram que os participantes foram capazes de criar e

responder de um modo diversificado, mostrando que tinham capacidade pessoal para

este tipo de tarefa. Os autores salientam que este tipo de tarefa proporcionou o

desenvolvimento do sentido crtico dos participantes, j que estimulou a sua

envolvncia, contrariando o simples aceitar de processos. Defendem ainda que a

realizao destas tarefas promove a discusso e a apresentao de diferentes processos

de resoluo, estimulando a criatividade. As atividades de formulao e resoluo de

problemas ganham relevncia pela aplicao da Matemtica a situaes do quotidiano

do aluno.

Grafos

Nas ltimas dcadas, os modelos de grafos assumiram um papel de relevo como

ferramenta matemtica em variadssimas reas do conhecimento (Cardoso, 2009). A

necessidade de aplicar conceitos matemticos a situaes do mundo real transporta-nos

para um dos tpicos da matemtica discreta: os modelos de grafos. O surgimento destes

modelos remonta ao sculo XVIII, associada s ideias de Euler para resolver o clssico

problema das pontes da cidade de Knigsberg. Inicialmente, tais modelos eram

considerados pouco significativos do ponto de vista matemtico, sendo basicamente

usados em passatempos. No final da dcada de oitenta, reconhece-se a importncia da

matemtica discreta na resoluo de situaes do dia-a-dia e a sua influncia no

desenvolvimento da tecnologia (Gouveia, 1999). As diretivas da educao matemtica

apontam desde ento a incluso de alguns tpicos da matemtica discreta nos programas

escolares, nomeadamente os modelos de grafos, que, na perspetiva do NCTM (1991),

O ensino dos modelos de grafos apoia-se basicamente na lec

eulerianos que envolvem as arestas de um grafo. Na resoluo deste tipo de problemas,

o programa oficial sugere, entre outras, que o professor trabalhe situaes relacionadas

com patrulhamento ou distribuio postal, sobre um mapa desde encontrar

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quaisquer caminhos possveis, passando por encontrar caminhos sem repetir arestas, at

(Ministrio da Educao, 2001, p. 19). No segundo tpico esto englobados os

hamiltonianos e que tm aplicao em situaes do quotidiano, como so exemplo as

situaes relacionadas com a Gesto e a Economia. So tambm recomendados o uso de

rvores e a procura de algoritmos que facilitem a determinao de solues.

As orientaes metodolgicas do programa da disciplina de MACS (Ministrio da

Educao, 2001) sugerem que os alunos trabalhem situaes concretas nas comunidades

em que vivem, como forma de promover o desenvolvimento de competncias de

interveno cvica e de comunicao matemtica. Apesar de ser uma matria complexa,

o ensino dos grafos pode ser iniciado de uma forma intuitiva (Pires & Hravchenko,

2006). A naturalidade inerente aos modelos de grafos faz com que muitos autores

apresentem uma definio de grafo baseada em princpios intuitivos, onde existe um

conjunto de pontos do plano, chamados de vrtices, unidos por linhas, s quais se chama

de arestas (Malta, 2008). Existem porm outras definies de grafo que apresentam

maior rigor cientfico, como exemplo a definio apresentada por Furtado (1973):

Do ponto de vista geomtrico, um grafo pode ser descrito, em um espao euclidiano de n dimenses, como sendo um conjunto V de pontos e um conjunto A de curvas contnuas que no se intersectam, satisfazendo as seguintes condies: 1) Toda a curva fechada de A contm exatamente um ponto de V; 2) Toda a curva aberta de A contm exatamente dois pontos de V; 3) As curvas de A no tm pontos em comum, a no ser de V. (p. 1)

Trata-se de uma definio que veicula uma linguagem que culturalmente

entendida por quem possui formao matemtica. No mbito deste estudo e de acordo

com as orientaes metodolgicas do programa de MACS, a noo de grafo entendida

como um conjunto de pontos do plano, designados por vrtices, e por linhas incidentes

nesses pontos, chamadas de arestas, sem evidenciar aspetos no essenciais do conceito,

tais como a forma do grafo e as dimenses das arestas.

Os grafos promovem o conhecimento de algumas tcnicas matemticas que

assumem grande importncia na tomada de decises das empresas. Permite ainda o

desenvolvimento de ndices de concentrao na anlise das relaes entre os vrios

objetos e a criatividade (Furtado, 1973). A formalizao dos conceitos apreendidos

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intuitivamente faz com que, na perspetiva de Holliday (1991), os alunos percebam a

importncia do domnio das definies. A simplicidade com que se podem introduzir e

explorar os modelo aluno do ensino secundrio a oportunidade

Metodologia

Atendendo natureza do objetivo delineado, este estudo segue uma abordagem de

natureza qualitativa e interpretativa. A experincia realizou-se numa turma do 11. ano

de MACS com 20 alunos, de uma escola secundria do distrito de Braga. A turma foi

subdividida em cinco grupos de trabalho, cada um com quatro elementos. Das

atividades realizadas, debruamo-nos sobre o trabalho desenvolvido por trs deles:

Grupo de Brito (GB), Grupo de Sande S. Martinho (GS) e Grupo de Airo Santa Maria

(GA). A escolha destes grupos teve por base os seguintes critrios: (i) a rea de

residncia (procurou-se que os alunos fossem provenientes da mesma freguesia); (ii) o

valor da mdia obtida pelos alunos no final do 1. perodo; e (iii) a pertinncia da

informao recolhida em cada grupo.

A estratgia delineada no estudo de grafos integrou as seguintes fases: (1)

visualizao de vdeos, retirados da Internet, sobre a poluio e recolha de lixo, seguido

de um debate sobre formas de recolher e minimizar a proliferao do lixo; (2) formao

de grupos com alunos que residissem na mesma freguesia; (3) descrio de medidas

para uma boa gesto do lixo no papel das autoridades locais; (4) distribuio a cada

grupo de um mapa com as ruas onde era realizada a recolha de lixo nas suas freguesias

de residncia; (5) elaborao de um problema sobre formas de minimizar o percurso de

ressolha do lixo.

Numa primeira fase, devido ausncia de conhecimentos sobre os modelos de

grafos, os alunos resolveram dois problemas, Problema1 e Problema2, com as

estratgias que achassem mais convenientes. Posteriormente, cada grupo apresentou

turma a resoluo efetuada, o que permitiu formalizar os primeiros conceitos de

modelos grafos. Aps a aquisio de alguns conceitos, cada grupo elaborou um

enunciado de um problema, designado por Problema3, com base no mapa que lhes foi

entregue e nas ideias debatidas na visualizao dos vdeos sobre o lixo, a poluio e a

. No final, cada grupo apresentou turma a resoluo do

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problema 3. Os dados sobre o trabalho realizado foram recolhidos atravs de gravaes

udio, que foram transcritas, e das produes efetuadas pelos alunos. Da anlise dos

dados relativos aos trs problemas, apresentamos a informao sob a designao de: (1)

Interpretao de problemas; (2) Estratgias de resoluo de problemas; e (3)

Formulao de problemas.

Anlise e apresentao dos resultados

O estudo de grafos desenvolveu-se com base na resoluo de trs problemas,

sendo um deles formulado pelos alunos, que apresentavam em comum a elaborao de

percursos.

Interpretao de problemas. Na resoluo do primeiro problema abordado nas

aulas sobre grafos, os alunos reagiram de diferentes formas provavelmente devido

ausncia de introduo de qualquer conceito sobre grafos. Alguns manifestaram

dependncia da ao da professora, como foi o caso dos alunos do GB, outros

procuraram identificar os elementos essenciais do problema, como evidenciam os

alunos do GS e do GA, e outros revelaram iniciativa de pr em prtica as ideias que

retiraram da interpretao do problema, como foi o caso dos alunos do GA: Na cidade de Knigsberg existem sete pontes que atravessavam o rio Pregel, como demonstrado na figura a seguir, que ligam duas pequenas ilhas entre si e a cada uma das margens. No sculo XVII as pessoas entretinham-se com um desafio ao qual ningum tinha ainda conseguido responder.1. Ser possvel que algum consiga passear pela cidade

passando por todas as pontes uma nica vez?2. Que percurso se poder fazer, se quisermos finalizar o percurso no local onde se iniciou?

Rosa: Vamos l ver o percurso. Carlos: Espero que a professora nos diga o que fazer. (GB)

Hlder: Ento podemos ir assim, assim. Paula: Duas pequenas ilhas, esta e qual? Sofia: esta. (GS)

Rui: Isto so as ilhas. Tatiana: Rui: Queremos passar pelas pontes, sem repetir. Ins: Vamos experimentar, comeamos aqui? (GA)

Na discusso deste problema introduziram-se as noes de grafo, vrtice e aresta.

Estas noes tornam-se explcitas na forma como alguns alunos interpretaram o

segundo problema, como exemplifica o discurso dos alunos do GS:

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Os alunos de uma escola esto a programar para o dia 21 de Maro de 2010 uma campanha de limpeza num parque natural, que consiste em apanhar o lixo das ruas assinaladas no mapa. 1. Admitindo que os alunos iniciam a limpeza no ponto A e que

finalizam tambm em A, ser possvel recolherem o lixo de todas as ruas sem as repetir?

2. Indica o melhor percurso para os alunos efetuarem a limpeza das ruas, admitindo que iniciam e finalizam em A.

3. Indica um percurso para os alunos realizarem, admitindo que iniciam em A e que terminam em F? E se finalizarem em D?

4. Ser possvel que os alunos iniciem o percurso de limpeza em qualquer cruzamento e finalizarem noutro qualquer cruzamento? Justifica a tua resposta.

5. Admite agora que foi aberta uma segunda rua a ligar diretamente os cruzamentos A e F. Ser possvel os alunos elaborarem um percurso de limpeza das ruas, sem repetir qualquer rua, iniciando e finalizando a limpeza em A?

Rosa: Tu queres passar nas ruas, no nos pontos. Adlia: No percebo. J viste quantas ruas tem? Rosa: AdmitiAdlia: Rosa, espera um bocadinho, deixa-me pensar. Indica o melhor

percurso. Ele tem de repetir pelo menos duas. Teresa: AF e FA so ruas diferentes. (GB)

Hlder: As ruas so as nossas linhas? Sofia: Sim, so as arestas. Paula: Ento, o nosso percurso pode ser 2, 7, 10. (GS)

Sara: E e F. Agora temos de pr estas linhas. Tatiana: Como? Ah, a professora disse que eram as pontes. Mas aqui como

que vamos pr? (GA)

Nem todos os alunos revelaram uma apropriao da terminologia dos grafos,

como revelam os alunos do GB e do GA. Os elementos do grupo GB manifestam ainda

alguma confuso de linguagem e tendncia para trabalharem individualmente, o que no

acontece com os alunos do grupo GS, que evidenciam hbitos de trabalharem

cooperativamente.

Na fase de interpretao destes dois problemas, a interao da professora com os

alunos incidiu na formalizao dos novos conceitos e na clarificao das dificuldades

que emergiram. Dessas dificuldades destacam-se, no primeiro problema, a compreenso

do enunciado e da figura (nos trs grupos), e no segundo problema, a compreenso do

sentido das arestas (GB) e do seu significado no contexto do problema (GS).

Estratgias de resoluo de problemas. As diferenas que os grupos revelaram na

interpretao dos dois problemas refletem-se nas estratgias que utilizaram na resoluo

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dos problemas. Relativamente ao Problema1, os alunos do grupo GS revelam

preferncia pelo trabalho individual:

Sofia: Passar por todas as pontes uma nica vez. Sofia: Falta-te uma. Eu j fiz e tambm j fiz o que agora ests a fazer e

continua a no dar. Paula: J fizeste? Eu ainda no consegui fazer e j ests a dizer que no

d!

J os alunos do grupo GB revelam hbitos de trabalho de grupo ao estabelecerem

o que cada um faz na resoluo do problema:

Rosa: Somos quatro, eu comeo na A. Adlia: Mas, na A podes comear por esta ou por esta ou por esta. Teresa: Rosa: No d! Vamos tentar outra vez, vamos comear em stios

diferentes. Eu comeo aqui. Adlia: E eu comeo aqui. (GB)

Aps algumas tentativas, alguns alunos comearam a relacionar a impossibilidade

de resoluo devido inexistncia de um nmero mpar de pontes, como exemplifica a

afirmao de Adlia:

GB). De seguida, os grupos apresentaram a sua

resoluo turma na forma de um esquema, como exemplifica o que foi realizado pelo

GB: Figura 1: Esquema que traduz a resoluo do Problema1 pelo grupo GB.

As noes de grafo, vrtice e aresta forneceram aos alunos do GB e do GS

elementos a considerar na resoluo do Problema2. Figura 2: Resoluo do Problema2 pelos grupos GB e GS.

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Estas resolues revelam que os alunos destes grupos adquiriram a noo de

grafo, vrtice e aresta. Porm, os alunos do grupo GA no adotaram esta estratgia

servindo-se da prpria figura: Figura 3: Resoluo do Problema2 pelo grupo GA.

A estratgia utilizada pelos alunos deste grupo indicia que no tiveram presente a

compreenso da noo de grafo, vrtice e aresta e que no perceberam a utilidade destas

noes na resoluo do problema.

Com a discusso sobre a resoluo do Problema2 foram introduzidos os restantes

conceitos de grafos: ordem e dimenso de um grafo, grau de um vrtice, vrtice isolado,

lacete, arestas paralelas, dgrafo, grafo conexo, grafo completo, grafo regular, grafo Kn,

subgrafo, caminho, circuito, caminho e circuito de Euler, condies do teorema de Euler

e o processo de eulerizao.

Formulao de Problemas. Com a aquisio das noes programticas de grafos,

os alunos foram desafiados a elaborar um problema sobre o percurso da recolha de lixo

na sua freguesia, tendo como referncia o mapa que lhes foi entregue. Numa primeira

fase, os alunos revelaram dificuldade em compreender que tipo de problema deveriam

elaborar, como evidenciado pelos alunos do grupo GS:

Paula: Mas que problema que vamos criar? Hlder: Sei l, nunca fiz isto, nunca criei problemas em Matemtica. Paula: No sei que problema que a professora quer. Sofia: Mas ser qualquer problema? Vamos chamar a professora.

professora, no estamos a perceber bem o que para fazer. para inventar um problema?

Apesar dessa dificuldade, alguns alunos dividiram tarefas e deram ateno s

ideias dos colegas do grupo, como foi o caso do grupo GB:

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Rosa: Vamos criar um problema. Qual que o nosso problema? Olha, pomos este, para gastar o menos tempo possvel ser rentvel passar pela mesma rua duas vezes?

Carlos: Eu acho que isso vai se um trabalho, vai ser muito complicado. Teresa: O qu? Rosa: Por exemplo, ele vai aqui e quer voltar para aqui, ser que ele pode

vir assim ou melhor assim? Teresa: Pode ser, ou ento temos uma ideia nova, criamos o nosso

Adlia: No, eu acho que devemos seguir.

Os alunos deste grupo reagem s dificuldades e trocam ideias no sentido de as

ultrapassar entre si. Porm, outros alunos continuam a revelar dificuldades no trabalho

em grupo, limitando-se a esperar pelo apoio da professora, como foi o caso do grupo

GA:

Tatiana: Mas que problema que havemos de criar? Rui: No tenho a mnima ideia. Vamos dizer que o nosso problema

criar um problema. Ins: Sabemos l que problema que devemos inventar com o mapa?Tatiana: Ainda estamos a comear e j est complicado! Rui: E eu que pensava que isto ia ser simples, acho que antes quero

teste! Esperamos que a professora passe por aqui para nos ajudar. Ins: Vamos mas cham-la.

Os alunos deste grupo mostram pouca autonomia de trabalho em grupo e pouco

esprito de persistncia perante as dificuldades sentidas. Ao terem que apresentar a sua

atividade turma elaboraram como problema um conjunto de questes relacionadas

com os debates realizados em sala de aula, bem distintos do que realizaram, por

exemplo, os alunos do grupo GB, que apresentaram mais questes e mais elaboradas: Figura 4: Primeira formulao do problema pelos alunos do GA e do GB.

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As questes formuladas pelos grupos apresentam-se muito gerais e focam aspetos

passveis de no poderem ser respondidos por falta de informao, como por exemplo a

relao distncia tempo, a complementaridade entre as diferentes freguesias, a forma

como efetuada a recolha do lixo e os custos despendidos. A maioria das questes

formuladas de resposta curta. Perante a discusso no grupo turma sobre as questes

formuladas, os grupos GB e GS consciencializaram-se da importncia da tarefa e

reagiram com sentido de responsabilidade, como se pode constatar a seguir:

Rosa: No se esqueam que ns vamos criar um problema, que vamos trabalh-lo at ao fim, portanto temos de pensar bem no problema que vamos pr. (GB)

Sofia: Olhem, vamos ao livro ver se diz alguma coisa que nos ajude. Paula: Vamos ver. Tem aqui algumas coisas que podemos usar. Vamos

adaptar. Sofia: Pomos assim, os escuteiros de Sande S. Martinho pretendem

averiguar se o percurso que o camio do lixo faz na recolha de lixo o melhor entre as vrias freguesias. Como podero eles responder a esta questo? (GS)

J os alunos do grupo GA acomodam-se perante as dificuldades, continuando a

revelar pouca responsabilidade e autonomia, ao recorrerem novamente ajuda da

professora:

Tatiana: Ainda estamos a comear e j est complicado!Rui: E eu que pensava que isto ia ser simples. Esperamos que a

professora passe por aqui para nos ajudar. Ins: Vamos mas cham-la. (GA)

A partir da anlise do que os grupos formularam, foram elaborados os enunciados

do problema de cada grupo, como ilustra o que foi formulado pelo grupo GB:

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Os valores das distncias entre as localidades foram obtidos atravs do Google

Maps. Na resoluo do problema, os alunos elaboraram um grafo e procederam sua

eulerizao, como se observa na resoluo de uma das questes pelo grupo GB: Figura 5: Grafo eulerizado pelo grupo GB.

Para alm do grafo, os alunos do grupo GA recorreram rvore geradora mnima

para poderem dizer qual a canalizao de gua potvel de menor custo numa zona da

sua freguesia: Figura 6: rvore mnima elaborada pelo grupo GA.

O presidente da junta de freguesia de Brito pretende reunir-se com o presidente da cmara de Guimares para lhe apresentar uma proposta de recolha de lixo na sua freguesia. a) Admitindo que a recolha de lixo feita por um nico camio, que percurso poder o presidente de junta apresentar, de forma a repetir o menor nmero de ruas possvel e considerando que, a recolha inicia-se e finaliza a recolha no mesmo local, inicia e finaliza noutro local?b) Vai realizar-se uma reunio entre o presidente da cmara de Guimares e os presidentes das juntas de freguesia de Brito, Ronfe, Sande S. Martinho, Vermil e Santa Maria de Airo. Sabendo que o presidente pretende gastar um nico dia para reunir com os vrios presidentes de junta de freguesia, que percurso poder ele fazer para efetuar o menor nmero de km possvel?c) O presidente de junta pretende renovar a rede de esgotos numa certa zona de Brito. Para isso ir pedir apoio ao presidente de Cmara de Guimares. Como poder ser feita essa rede de modo a que seja necessrio gastar a menor quantidade de tubos possvel?

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A formulao do problema pelos grupos, para alm de estimular a pesquisa e a

comunicao escrita, permitiu que os alunos tomassem conscincia de alguns cuidados a

ter na elaborao de problemas. A sua resoluo possibilitou que os restantes contedos

programticos de grafos fossem estudados numa situao problemtica de contexto real,

prxima dos alunos.

Concluses

A resoluo de problemas propostos consistiu numa atividade que, como referem

Polya (1986) e Ponte (2005), os alunos no apresentaram de imediato uma estratgia de

resoluo. A ausncia de noes de grafos ajuda a explicar a complexidade dos

problemas para os alunos. Essa complexidade fez com que, na interpretao desses

problemas, alguns alunos revelassem dependncia da ajuda da professora. Outros alunos

procuraram compreender os elementos essenciais do enunciado dos problemas que os

ajudassem na sua resoluo. A diferena de atitude manifestada pelos alunos na

interpretao de problemas indicia dever-se a hbitos enraizados no desenvolvimento

das atividades na aula de matemtica. Como referem Stein e Smith (1998), muitas das

vezes os alunos pressionam o professor para reduzir a complexidade da tarefa e o

professor acaba por lhes dizer o que devem fazer. As dificuldades verificadas

relacionam-se com a interpretao do enunciado da figura do primeiro problema e no

segundo problema com a interpretao do sentido das arestas e do significado destas no

contexto do problema.

No que concerne s estratgias utilizadas, intuitivamente os alunos procuraram

resolver os problemas por tentativa e erro, o que no lhes permitiu faz-lo com sucesso

devido ausncia de conceitos sobre grafos. A discusso das resolues serviu de

pretexto para a introduo desses conceitos, que, como defende Holliday (1991),

possibilitou que os alunos participassem no processo matemtico. A maior parte dos

alunos revelou preferncia pelo trabalho individual, o que pode dever-se forma como

costumam trabalhar nas diferentes disciplinas, em geral, e na aula de matemtica, em

particular. A importncia que o trabalho cooperativo tem nas aprendizagens dos alunos

valoriza a articulao entre as estratgias delineadas pelos professores da mesma turma.

Essa articulao pode ser potenciada atravs do contributo de cada disciplina na

realizao de trabalhos de projeto.

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Relativamente formulao de problemas, verificou-se que todos os alunos

sentiram dificuldade, o que indicia dever-se falta de hbito desta atividade. Algumas

das questes por eles formuladas no podiam ser respondidas somente com base nos

conhecimentos de grafos, o que indicia que nas suas atividades de estudo de contedos

matemticos no costumam formular problemas relativos a um dado contexto. A

formulao de problemas exige do aluno mais capacidade para dar sentido ao que

aprende do que a resoluo de problemas cujos enunciados so fornecidos pelo

professor ou pelo manual escolar.

Na resoluo dos dois primeiros problemas os alunos evidenciaram alguns

constrangimentos por no possurem conhecimentos de grafos. Como sugesto para um

futuro trabalho, importa averiguar as atitudes dos alunos na resoluo de problemas de

contexto real depois de possurem esses conhecimentos: Que constrangimentos

evidenciam? Que capacidades revelam na formulao de problemas?

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