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MATRIZES
As matrizes são ferramentas básicas da Álgebra Linear,
pois além de fornecerem meios para resolução dos sistemas
de equações lineares, elas também representarão as transformações
lineares entre espaços vetoriais, como veremos futuramente.
Uma Aplicação Real
Definição de Matriz
a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1 a11x 1 +
Matrizes
A= a11 a12 a13
a21 a22 a23
a1n ... ... a2n
a31 a32 a33 a3n ...
...
...
...
am1 am2 am3 amn ...
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
Consideremos o sistema
... +
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3
...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
87410
02452
10221
3x5
a13= 2
a34= 7
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn
As matrizes podem ser classificadas segundo:
A natureza dos elementos
A forma
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn Segundo a forma em:
Rectangular
Quadrada
Coluna
Linha
Se o número de linhas é diferente do número de colunas
Se o número de linhas é igual do número de colunas
Se o número de colunas é igual a um
Se o número de linhas é igual a um
53
05442
12520
43201
33
231
310
201
13
1
0
1
31221
Uma matriz quadrada do tipo m por m diz-se de ordem m
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn Segundo a natureza dos elementos em:
Real
Complexa
Nula
se todos os seus elementos são reais
ijij aAa :
se pelo menos um dos seus elementos é complexo
CaAa ijij :
se todos os seus elementos são nulos
0: ijij aAa
100
251
10
251
i
000
000
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn Segundo a natureza dos elementos em:
Triangular Superior
Triangular Inferior
0: ijij ajiAa
uma matriz quadrada em que os elementos abaixo
da diagonal principal são nulos
uma matriz quadrada em que os elementos acima
da diagonal principal são nulos
0: ijij ajiAa
5000
6200
0300
7211
5103
0220
0025
0001
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn Segundo a natureza dos elementos em:
Diagonal
Escalar
0: ijij ajiAauma matriz quadrada em que os
elementos não principais são nulos
5000
0200
0000
0001
uma matriz diagonal em que os
elementos principais são iguais
ij
ijij
aji
ajiAa 0:
2000
0200
0020
0002
Matrizes Conceitos Básicos
Amxn = [aij]mxn Segundo a natureza dos elementos em:
Simétrica
Densa
Dispersa
5740
7232
4301
0211
se os elementos aij são iguais aos aji
se a maioria dos seus elementos são não nulos
se a maioria dos seus elementos são nulos
645
046
633
BAc
Matrizes
Soma de Matrizes
Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo denomina-se soma de
342
015
321
A
303
031
312
B
3 3 6
6 4 0
5 4 6
A com B a uma matriz C do mesmo tipo que se obtêm somando os
elementos da matriz A com os elementos da matriz B da mesma posição.
njmibac
BACMCMBA
ijijij
nmnm
,,1,,1;
:,
Operações com Matrizes
Matrizes
ABBAMBA nm ,
Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
A soma de matrizes do mesmo tipo
)()(,, CBACBAMCBA nm
AOAMOMA nmnm :
OBAMBMA nmnm :
Matrizes Operações com Matrizes
goza das seguintes propriedades:
Comutativa
Associativa
Tem elemento neutro
Todos os elementos têm inversa
A soma de matrizes do mesmo tipo
Matrizes
Produto por um escalar
Sejam A uma matriz e um escalar
O produto de por A é uma matriz C
342
015
321
A
9126
0315
963
3 A
que se obtêm de A multiplicando todos os seus elementos por
njmiac
ACMAMA
ijij
nmnm
,,1,,1;
:
Operações com Matrizes
do mesmo tipo de A
Matrizes
AA
Operações com Matrizes
e os escalares e as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B do mesmo tipo
AAA )(
BABA
AA1
Matrizes
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a1n ... ... a2n
a31 a32 a33 a3n ...
...
...
...
am1 am2 am3 amn ...
Amxn = [aij]mxn Matriz de ordem m por n de elementos aij
Consideremos o sistema
a12x 2 + a13x 3 + a1nx n = b1 a11x 1 + ... +
a21x 1 + a22x 2 + a23x 3 + ... + a2nx n = b2
a31x 1 + a32x 2 + a33x 3 + ... + a3nx n = b3
...
am1x 1 + am2x 2 + am3x 3 + ... + amnx n = bm
= b1
b2
b3
bm
x1
x2
x3
xn
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3 2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x 3
3 x 3
=
2 x 3
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3 2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x 3
3 x 3
8
2 x 3
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3 2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x 3
3 x 3
8
2 x 3
12
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3 2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x 3
3 x 3
8
2 x 3
12 15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3 2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x 3
3 x 3
8
2 x 3
12 15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3 2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x 3
3 x 3
8
2 x 3
12 15
15
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3 2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x 3
3 x 3
8
2 x 3
12 15
15 29
Operações com Matrizes
Matrizes
1 2 3
2 5 3 2
1 2 3
2 5 3
1 0 2
=
x 3
3 x 3
8
2 x 3
12 15
15 29 27
Operações com Matrizes
Matrizes Operações com Matrizes
Produto de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn e B uma matriz do tipo
O produto de A por B é uma matriz C do tipo
cujos elementos são dados por:
mxp
n
k
jkkiji bac1
e escreve-se C=AB.
nxp.
O produto de matrizes não é comutativo
Matrizes
CBACBA
Operações com Matrizes
Então, se todos os produtos a seguir indicados forem definidos,
as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A, B e C, e a um escalar.
CBCACBA )(
CABACBA
BABABA aaa
Matrizes Operações com Matrizes
Transposição de Matrizes
Seja A uma matriz de tipo mxn. Denomina-se transposta de A a uma matriz B do tipo nxm tal que:
jiji ab mjni ,....;,..., 11
e escreve-se B=AT
5305442
12520
43201
A
35014
523
452
420
201
TA
Matrizes
AATT
Operações com Matrizes
Então, se todos as operações a seguir indicados forem definidas,
as seguintes propriedades são válidas:
Dadas as matrizes A e B e a um escalar.
TTT BABA )(
TT AA aa
TTTABBA