1 – Distribuição de Bernoulli2 – Distribuição Binomial3 – Multinomial4 – Distribuição de Poisson

Renata Souza

Probabilidade

Distribuição de BernoulliUma lâmpada é escolhida ao acaso

A lâmpada é defeituosa(sucesso)

X = 0 se a lâmpada não édefeituosaX = 1 se a lâmpada édefeituosa

P(X=1)= 3/5P(X=0)= 2/5

Ensaio de Bernoulli

Número de ensaios = 1

Distribuição de BernoulliSeja X uma v.ª com dois resultados possíveis: fracasso e sucesso.X→ x1 =1 sucesso; P(X=1)=pX→ x1 =0 fracasso; P(X=0)=1-p=qMédia: μX = p Variância σ2 = pq

Distribuição Binomial

P(não defeituosa)=1-p= 4/7P(defeituosa)= p =3/7

3 Ensaios de Bernoulli, n = 3

Seja X o número de defeituosas

1. O experimento consiste de três ensaios idênticos;2. Dois resultados são possíveis;3. As probabilidades p e (1-p) são as mesmas em cada ensaio;4. Os ensaios são independentes.

Distribuição Binomial

S= { 111, 110, 101, 011, 001, 010, 100, 000}

P(001) = 4/7 × 4/7 × 3/7= 48/343P(010) = 4/7 × 3/7 × 4/7=48/343P(100) = 3/7 × 4/7 × 4/7=48/343

P(X=1) = P(001) + P(010) + P(100)P(X=1) = 3 × 48/343

X = 0 - {000}X = 1 – {001, 010, 100}X = 2 - {110, 101, 011}X = 3 - {111}

Seja X o número de defeituosas

P(não defeituosa)= (1-p)= 4/7P(defeituosa)= p =3/7

Distribuição Binomial

( ) ( )21 7/47/313

)1( ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛==XP

P(X=1) = P(001) + P(010) + P(100)P(X=1) = 3 × 48/343

Seja X o número de defeituosas

Distribuição Binomial

( ) ( ) xnx ppxn

xXP −−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== 1)(

Função de Probabilidade

ondep(x) = a probabilidade de x sucessos em n ensaiosn = o número de ensaios

p = probabilidade de um sucessoem um ensaio(1-p) = probabildidade de um fracasso em um ensaio

X ∼ B(n,p)

Distribuição Binomial

Seja X uma v.a. Binomial com parâmetros n e p onde p é a probabilidade de sucesso.X→ {0,1,2,..n}Média: μX = npVariância σ2 = npq

Exemplo

Considere uma loja de roupas que receba 3 clientesp = o cliente faz compra = 0,30(1-p) = o cliente não faz compra = 0,70

x p(x)

0 0,343

1 0,441

2 0,189

3 0,027

1,00

30 )70,0()30,0(!3!0

!3

Total

21 )70,0()30,0(!2!1

!3

12 )70,0()30,0(!1!2

!3

03 )70,0()30,0(!0!3

!3

X- número de clientesque compram

Exemplo: Representação Gráfica

0 1 2 3

0,10

0,20

0,30

0,40

0.50

x

P(x)

Função de Probabilidade

Exemplo: CaracterísticasValor Esperado

E(X) = μ = np

Variância

Var(X) = σ2 = np(1-p)

Considerando o exemplo, temos

E(X) = μ = 3 × 0,30 = 0,90

Var(X) = σ2 = np(1-p)= 3 × 0,30 × 0,70 = 0,63

Distribuição MultinomialÉ uma extensão da binomial para mais de dois resultados possíveis.Seja um experimento que permite ter k resultados diferentes (A1,...Ak) formando o espaço amostral.Considere n tentativas deste experimento, sendo que os pi i=1,..,k associados aos k resultados permanecem constantes durante as repetições do experimento, comSejam Xi,..Xk v. as. que são os números de ocorrências associados aos k resultados possíveis com

∑=

=k

iip

11

Distribuição MultinomialFunção de Probabilidade

Com Média: E(Xi)= n × pi

Variância: Var(Xi) = n × pi × qi

knk

nn

kkk ppp

nnnnXnXP ×××××

=== ....!...!

!)...,( 2121

1,1

∑=

=k

ik nn

1

ExemploUm dado é lançado 10 vezes. Qual é a probabilidade de terem aparecido duas vezes o no

2, duas vezes o no 5, três vezes o no 1 e uma vez os demais resultados?n=10 p1= p2= p3 = p5 = p6 = 1/6X1=3, X2=2, X3=1,X4=1,X5=2,X6=1

0025,061

61

61

61

61

61

!1!2!1!1!2!3!10

)1,2,1,1,2,3(121123

654321

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×××××=

======= XXXXXXP

ExemploE(Xi)=nipi e Var(Xi) = n × pi × qi

E(X1)= 10 × 1/6 =5/3 e Var(X1) = 10 × 1/6 ×5/6=50/36E(X2)= 10 × 1/6 =5/3 e Var(X2) =10 × 1/6 ×5/6=50/36E(X3)= 10 × 1/6 =5/3 e Var(X3) = 10 × 1/6 ×5/6=50/36E(X4)= 10 × 1/6 =5/3 e Var(X4) = 10 × 1/6 ×5/6=50/36E(X5)= 10 × 1/6 =5/3 e Var(X5) = 10 × 1/6 ×5/6=50/36

Carros que passam por um cruzamento por minuto, durante uma certa hora do dia.Erros tipográficos por página,em um material impresso.Defeitos por unidade (m2,m, etc) por peça fabricadaMortes por ataque de coração por ano, numa cidade.Problemas de filas de espera

Distribuição de Poisson

Distribuição de PoissonRepresenta a distribuição de probabilidade de umavariável aleatória que registra o número de ocorrências sobre um intervalo de tempo ouespaço específicos.Propriedades do experimento Poisson:

A probabilidade de uma ocorrência é a mesma paraquaisquer dois intervalos de tempo.A ocorrência ou não ocorrência em qualquer intervaloé independente da ocorrência ou não-ocorrência em qualquer intervalo

!)(

xexP

x λ−λ= X ∼ P(λ)

Função de Probabilidade de Poisson

Uma variável aleatória de Poisson não tem limites. x = 0,,1,2,3,…P(x) = a probabilidade de x ocorrências em um intervaloλ = valor esperado ou número médio de ocorrências em um

intervaloe = 2,71828 Média: E(X) = λVariância: Var(X)= λ

ExemploSuponha que é observado o número de chegadas a uma caixa automática de um banco durante um período de 15 minutos.A probabilidade de um carro chegar é a mesma

para quaisquer dois períodos de tempo de igualcumprimento.A chegada ou não chegada de um carro em qualquer período de tempo é independente dachegada ou não chegada de um outro carro em qualquer outro período de tempo.

Suponha que o número médio de carros que chegam no período de 15 minutos é 10, então

!10

!)(

xe

xexP

xx λ−π−

=λ

=

X- número de carros que chegam em qualquer período de 15 minutos

A probabilidade de 5 chegadas em 15 minutos

0378,0!5

10)5(105

====−eXP

Exemplo

E(X) = 10 e Var(X) = 10