Sistemas Lineares

Sistema Linear

É um conjunto de equações lineares, que podem ser representadas por:

𝑆 =

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3

Teorema de Cramer

Seja o sistema linear abaixo:

𝑆 =

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3

De maneira que montamos a matriz A com os coeficientes selecionados acima:

𝐴 =

𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33

Teorema de Cramer

𝑆 =

𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3

Montamos agora a matriz Ax , Ay e Az com os coeficientes selecionados acima:

𝐴𝑥 =

𝑏1 𝑎12 𝑎13𝑏2 𝑎22 𝑎23𝑏3 𝑎32 𝑎33

𝐴𝑦=

𝑎11 𝑏1 𝑎13𝑎21 𝑏2 𝑎23𝑎31 𝑏3 𝑎33

𝐴𝑧 =

𝑎11 𝑎12 𝑏1𝑎21 𝑎22 𝑏2𝑎31 𝑎32 𝑏3

Teorema de Cramer

O cálculo dos determinantes das matrizes fornecerá os valores para x, y e z

𝑥 =𝐷𝐴𝐷𝐴𝑥

𝑦 =𝐷𝐴𝐷𝐴𝑦

𝑧 =𝐷𝐴𝐷𝐴𝑧

Exemplo por Teorema de Cramer

𝑆 =

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 33𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 52𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 1

Resolução do caderno!

Sistemas Escalonados

É um sistema linear onde cada equação apresenta pelo menos uma variável a menos do que a anterior.

Por exemplo:

𝑆 = 2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 104𝑦 − 6𝑧 = 12

3𝑧 = 8

Exemplo por Sistemas Escalonados

𝑆 =

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 33𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 52𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 1

Resolução do caderno!

Exercício 18 – pg. 56

(Unirio) No Censo 2000, uma equipe era formada por um supervisor e três recenseadores, João, Maria e Paulo, cada um destes com uma produção horária média diferente (número de formulários preenchidos, em média, por hora). O supervisor observou que:

I. Se João, Maria e Paulo trabalhassem por dia, respectivamente, 6, 8 e 5 horas, a produção total diária seria de 78 formulários preenchidos, em média;

II. Se trabalhassem, respectivamente, 7, 6 e 8 horas diariamente, esta produção total já seria de 83 formulários;

III. Se trabalhassem 6 horas diariamente, cada um deles, este total seria de 72.

a) Calcule a produção horária média de Maria.

b) Determine a menor carga horária diária de trabalho (valor inteiro), comum aos três recenseadores, para que a produção total diária supere 100 formulários preenchidos.

Exercício 10 – pg. 55

Discutir e resolver o sistema abaixo.

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 − 𝑦 +𝑚𝑧 = 2

𝑚𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −1

Exercício 16 – pg. 55

(UERJ) Uma indústria produz três tipos de correntes.

A tabela abaixo indica os preços praticados para uma produção total de 100m.

A quantidade z de metros produzidos da corrente do tipo III é um número inteiro. Se 5 < P < 10, calcule os possíveis valores inteiros de P.

Exercício 6 – pg. 55

(PUC-RJ) Seja a um número real. Para que valores de a o sistema linear

1 + 𝑎 𝑥 + 1 − 𝑎 𝑦 = 1

1 − 𝑎 𝑥 + 1 + 𝑎 𝑦 = 1

tem solução? Para quais desses valores a solução é única?

Exercício 21 – pg. 56

(PUC-RJ) Considere o sistema:

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 = 1

a) Esse sistema tem alguma solução?