Sistemas Lineares
Sistema Linear
É um conjunto de equações lineares, que podem ser representadas por:
𝑆 =
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3
Teorema de Cramer
Seja o sistema linear abaixo:
𝑆 =
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3
De maneira que montamos a matriz A com os coeficientes selecionados acima:
𝐴 =
𝑎11 𝑎12 𝑎13𝑎21 𝑎22 𝑎23𝑎31 𝑎32 𝑎33
Teorema de Cramer
𝑆 =
𝑎11𝑥 + 𝑎12𝑦 + 𝑎13𝑧 = 𝑏1𝑎21𝑥 + 𝑎22𝑦 + 𝑎23𝑧 = 𝑏2𝑎31𝑥 + 𝑎32𝑦 + 𝑎33𝑧 = 𝑏3
Montamos agora a matriz Ax , Ay e Az com os coeficientes selecionados acima:
𝐴𝑥 =
𝑏1 𝑎12 𝑎13𝑏2 𝑎22 𝑎23𝑏3 𝑎32 𝑎33
𝐴𝑦=
𝑎11 𝑏1 𝑎13𝑎21 𝑏2 𝑎23𝑎31 𝑏3 𝑎33
𝐴𝑧 =
𝑎11 𝑎12 𝑏1𝑎21 𝑎22 𝑏2𝑎31 𝑎32 𝑏3
Teorema de Cramer
O cálculo dos determinantes das matrizes fornecerá os valores para x, y e z
𝑥 =𝐷𝐴𝐷𝐴𝑥
𝑦 =𝐷𝐴𝐷𝐴𝑦
𝑧 =𝐷𝐴𝐷𝐴𝑧
Exemplo por Teorema de Cramer
𝑆 =
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 33𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 52𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 1
Resolução do caderno!
Sistemas Escalonados
É um sistema linear onde cada equação apresenta pelo menos uma variável a menos do que a anterior.
Por exemplo:
𝑆 = 2𝑥 − 𝑦 + 5𝑧 = 104𝑦 − 6𝑧 = 12
3𝑧 = 8
Exemplo por Sistemas Escalonados
𝑆 =
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 33𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 52𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 = 1
Resolução do caderno!
Exercício 18 – pg. 56
(Unirio) No Censo 2000, uma equipe era formada por um supervisor e três recenseadores, João, Maria e Paulo, cada um destes com uma produção horária média diferente (número de formulários preenchidos, em média, por hora). O supervisor observou que:
I. Se João, Maria e Paulo trabalhassem por dia, respectivamente, 6, 8 e 5 horas, a produção total diária seria de 78 formulários preenchidos, em média;
II. Se trabalhassem, respectivamente, 7, 6 e 8 horas diariamente, esta produção total já seria de 83 formulários;
III. Se trabalhassem 6 horas diariamente, cada um deles, este total seria de 72.
a) Calcule a produção horária média de Maria.
b) Determine a menor carga horária diária de trabalho (valor inteiro), comum aos três recenseadores, para que a produção total diária supere 100 formulários preenchidos.
Exercício 10 – pg. 55
Discutir e resolver o sistema abaixo.
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0𝑥 − 𝑦 +𝑚𝑧 = 2
𝑚𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = −1
Exercício 16 – pg. 55
(UERJ) Uma indústria produz três tipos de correntes.
A tabela abaixo indica os preços praticados para uma produção total de 100m.
A quantidade z de metros produzidos da corrente do tipo III é um número inteiro. Se 5 < P < 10, calcule os possíveis valores inteiros de P.
Exercício 6 – pg. 55
(PUC-RJ) Seja a um número real. Para que valores de a o sistema linear
1 + 𝑎 𝑥 + 1 − 𝑎 𝑦 = 1
1 − 𝑎 𝑥 + 1 + 𝑎 𝑦 = 1
tem solução? Para quais desses valores a solução é única?
Exercício 21 – pg. 56
(PUC-RJ) Considere o sistema:
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 1𝑥 + 𝑦 = 1
a) Esse sistema tem alguma solução?