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APRESENTAÇÃO
MARCELO CARRION ENGENHEIRO MATEMÁTICO ESPECIALISTA MATEMÁTICA – UNICAMP MESTRANDO EM MATEMÁTICA - UNESP
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
1. Conceitos Básicos de Aritmética e
Álgebra
2. Geometria Plana
3. Geometria Espacial
4.Função do Primeiro Grau
5. Função do Segundo Grau
6. Função Exponencial
7. Função Logarítmica
8. Álgebra Elementar em R
AVALIAÇÃO
P1 - PROVA VALOR 7,0 L - LISTAS DE EXERCÍCIOS VALOR 1,0 P2 - PROVA VALOR 2,0 M – MÉDIA E – EXAME MF – MÉDIA FINAL M=P1+L+P2 SE M≥7,0 – ALUNO APROVADO SE M<3,0 – ALUNO REPROVADO SE 3,0≤M <7,0 – EXAME (5,0)
2
M EMF
NÚMEROS RACIONAIS (Q)
{ , , *}a
Q a Z b Zb
São números racionais:
Números naturais:
Números inteiros:
Números decimais exatos:
Números decimais periódicos: 0,333; 2,5151...
33
1
84
2
252,5
10
FRAÇÃO GERATRIZ DE DÍZIMA PERIÓDICA
Método Prático:
3 10,333...
9 3
760,7676...
99
3410,341341...
999
1,2525... 1 0,2525...
25 99 25 1241
99 99 99 99
Regra Geral:
1,252525...(1)
10 12,52525...(2)
100 125,2525...(3)
(3) (1) 100 125,2525... 1,2525....
12499 124
99
x
x
x
x x
x x
INTERVALOS REAIS
a b
a
a
a
b
b
b
]a,b[ ou {xR/a<x<b}
[a,b] ou {xR/a≤x≤b}
[a,b[ ou {xR/a≤x<b}
]a,b] ou {xR/a<x≤b}
a
]a,+) ou {xR/x>a}
b
(−,b] ou {xR/x≤b}
ADIÇÃO EM Z
NÚMEROS POSITIVOS: CRÉDITO NÚMEROS NEGATIVOS: DÉBITO SALDO CREDOR (+): CRÉDITO > DÉBITO SALDO DEVEDOR(−): CRÉDITO < DÉBITO EXEMPLOS: −20+(+17)= −3 +52+(−2)=+50 −35+(−5)= −40 +27+(+8)=+35
SUBTRAÇÃO EM Z
ESTORNO: REPARAR LANÇAMENTO INDEVIDO TIRAR CRÉDITO: SALDO ↓, LOGO TIRAR CRÉDITO=DÉBITO TIRAR DÉBITO: SALDO ↑, LOGO TIRAR DÉBITO=CRÉDITO EXEMPLOS: +50−(+20)=+50 −20=+30 +23−(−7)=+23+7=+30 −48−(+30)=−48−30=−78 −36−(−6)= −36+6=−30
MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO EM Z + + = +
+ − = −
− + = −
− − = +
EXEMPLOS: (+5).(+8)=+40 (+18):(+2)=+9 (+3).(−6)= −18 (+21):(−3)= −7 (−2).(+7)= − 14 (−10):(+5)= −2 (−9).(−8)=+72 (−25):(−5)=+5
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM Q
DENOMINADORES IGUAIS: MANTER DENOMINADOR E OPERAR COM NUMERADORES DENOMINADORES DIFERENTES: REDUZIR AS FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR EXEMPLOS: 2 1 3
7 7 7
2 1 8 3 5
3 4 12 12 12
3 5 3 81
5 5 5 5
MULTIPLICAÇÃO EM Q
a c acx
b d bd
EXEMPLOS:
2 3 2 3 6 3
5 4 5 4 20 10
xx
x
4 7 4 7 4 287
5 1 5 1 5 5
xx x
x
DIVISÃO EM Q
a c a d adx
b d b c bc
a
a c adbcb d bc
d
ou
EXEMPLOS:
5 2 5 3 15 5
6 3 6 2 12 4x
5
5 2 5 3 15 5626 3 6 2 12 4
3
x
x
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Dois estudantes, A e B, receberam Bolsas de
Iniciação Científica de mesmo valor. No final do mês, o
estudante A havia gasto 4/5 do total de sua Bolsa, o
estudante B havia gasto 5/6 do total de sua Bolsa
sendo que o estudante A ficou com R$ 8,00 a mais
que o estudante B.
a) Qual era o valor da Bolsa?
b) Quantos reais economizou cada um dos
estudantes, naquele mês?
xy
yx
5
2x
2
1y2. Se A= , calcule o valor de A sabendo que e
,
2 1 4 5 1
10 15 2 10 10 102 1 2 2 20 2
.5 2 10 10
A
1 1 12 14
3 9 3Y
4. Calcule
6 1 1 314
3 3 9 9
7 214
3 9
7 1 2.
3 14 9
7 2
42 9
1 2
6 9
3 4 7
18 18 18
Y
5. Sendo a = 0,555... + 0,111... e b = 0,2 + 0,04, determine
na forma decimal
a
b
0,2 0,04 0,24 0,24 0,24
5 1 6 20,555... 0,111...
9 9 9 3
24 6
18 36100 25 0,362 2 50 100
3 3
b
a
POTENCIAÇÃO
. . ...na a a a a
n fatores a
a base n expoente
EXEMPLOS:
5
4
3
2
2 2.2.2.2.2 32
( 3) ( 3).( 3).( 3).( 3) 81
2 2 2 2 8. .
5 5 5 5 125
7 (7.7) 49
PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS
.
1 .
2
3 ( . ) .
4
5
m n m n
m n m n
n n n
n n
n
nm m n
P a a a
P a a a
P a b a b
a aP
b b
P a a
POTÊNCIAS COM EXPOENTES INTEIROS
OBSERVE A TABELA
24 23 22 21 20 2-1 2-2 2-3 2-4
1
16
1
8
1
4
1
216 48 2 1
꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2 ꞉2
NOTAÇÃO CIENTÍFICA
Modo de representação de números reais utilizando-se potências de base 10. Consideramos um número representado em notação científica caso este obedeça o padrão y⋅10n, onde yR/ 1≤ y < 10 e n Z. Exemplos: 27000=2,7.104
0,0000031=3,1.10-6
ORDEM DE GRANDEZA
Primeiro passo: escreva o número em notação científica, isto é, da forma y⋅10n Segundo passo: - se o valor de y for menor do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10n -se o valor de y for maior ou igual do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10n+1
Exemplos: A superfície do território brasileiro é aproximadamente: 8547403 Km2=8,5.106Km2 O.G. é 107
A massa de um átomo de hidrogênio é 0,00000000000000000000000166g=1,66.10-24g O.G. é 10-24
RADICIAÇÃO
nn a x x a
n a Raiz
Radical
a Radicando
n Índice
x Raiz
3
4
10
125 5
81 3
1024 2
,pois
, pois
, pois
35 125
43 81
102 1024
EXEMPLOS:
SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS
Utilizar as propriedades dos radicais para representar uma raiz com o menor radicando possível. Exemplos:
5 2 2
2 2
3 33 3
32 2 2 .2 .2 2.2. 2 4 2
180 2 .3 .5 2.3. 5 6. 5
375 3.5 5. 3
RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES
. .
.
. .
.
. .
.
n n m n n m
n m n m n n m
a a b a b
bb b b
a a b a b
bb b b
a b c a b ca
b cb c b c b c
EXEMPLOS
3 2 3 3 3
3 3 3 32 3
1 1 2 2.
22 2 2
2. 3 1 2. 3 12 2 3 1. 3 1
3 1 23 1 3 1 3 1
2 2 . 2 12 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2. 2
2 1 1 12 1 2 1 2 1
2 2 4 2. 16 2. 16 16.
4 24 4 4 4
PROPRIEDADES DOS RADICAIS
. .
.
1 . .
2
3
4
5
n n n
n
n
n
n pn m m p
m
n m n
n m n m
P a b a b
a aP
bb
P a a
P a a
P a a
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
3 42 3 73 4 7 6 12 7 11
2
2 1 10 91 52
3 . 3 .39 . 27 . 3 3 .3 .3 3) 3 9
1 3 .3 33 . 3. 2433
a
6 33 26 3 18 6 12
4
3 7 6 14 82 7 6 2
5 . 5125 . 25 5 .5 5) 5 625
5 .5 55 . 25 5 . 5b
1. Simplifique
2 3 2 3
1 5 1 5
2. Simplifique
2 3 2 3 1 5 2 2. 5 3 15.
1 51 5 1 5 1 5
2 2. 5 3 15 2 2. 5 3 15
4 4
A
A B
2 3 2 3 1 5 2 2. 5 3 15.
1 51 5 1 5 1 5
2 2. 5 3 15 2 2. 5 3 15
4 4
B
3
23 3 3 3
2 2 2 2
6 3 3 34 64 2 2 2
3 3
2 2 33 33 3 3 12 12 22 2 2 2
3 3
2 2
3
2
1 3 9 3 12 9 3 3 3 4 39 . 3 . . . .
4 4 4 4 4 322 2 2 2
9
4 4
4 2 2 .33 3.3 .3 .3 .3 2 .3 2 .32 6 3
2 3
12 .
3
M
1
2 1 1 2. 2 2. 68. 2. 2.
3 33 3
4 6
2
3
2
2
3
4440
13 .
...,)(m
3. Calcule M
PRODUTOS NOTÁVEIS
2 2 2
2 2 2
2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
2. .
2. .
.
3. . 3. .
3. . 3. .
A B A A B B
A B A A B B
A B A B A B
A B A A B A B B
A B A A B A B B
2 2 ( ).( )A B A B A B
A B
2 24 2 225 (5. . ).(5. . )
9 3 3x y x y x y
5.x 2.
3y
DIFERENÇA DE QUADRADOS
125
6²304
a
ba1. Determine o valor da expressão para a=−1 e b=4.
2
4 2 2 2 2
30 ² 6. 6.(5. ) 6
25 (5. ).(5. ) 5.
a b a b
a b a b a b a b
Para a=−1 e b=4, temos:
2 2
6 6 6 6 2
5 4 9 35. 5.( 1) 4a b
1²³
14
yyy
y2. Determine o valor da expressão para y=999.
4 2 2 2
2 2
1 ( 1).( 1) ( 1).( 1).( 1)1
³ ² 1 .( 1) ( 1) ( 1).( 1)
y y y y y yy
y y y y y y y y
Substituindo y por 999, temos:
1 999 1 1000y