Transformada Z

Vimos que as DTFTs de algumas sequências não convergem

uniformemente para funções contínuas de 𝜔, porque as sequências

não são absolutamente somáveis. A transformada Z permitirá a

análise de muitos destes sinais.

Além de simplificar a solução de equações a diferenças e a

computação de convoluções, a representação através da

transformada Z nos permitirá aprofundar o conhecimento de

propriedades de sinais e sistemas no domínio da frequência.

A transformada Z de uma sequência 𝑥 𝑛 é definida como:

𝑋 𝑧 = 𝑥 𝑛 𝑧−𝑛

∞

𝑛=−∞

onde 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜔 é uma variável complexa.

Transformada Z

O somatório acima converge se:

𝑥 𝑛 𝑟−𝑛

∞

𝑛=−∞

< ∞

ou seja, depende apenas dos valores de 𝑟 = 𝑧 .

Portanto, a convergência ocorre para:

𝑅− ≤ 𝑧 ≤ 𝑅+

que define um anel no plano Z.

Essa região do plano Z é chamada de Região de

Convergência (ROC) da transformada.

Transformada Z

Exemplo 1: A transformada Z do degrau unitário 𝑢(𝑛) é

𝑈 𝑧 = 𝑧−𝑛 =1

1−𝑧−1∞𝑛=0 , para 𝑧 > 1

Exemplo 2: A transformada Z da exponencial causal

𝑥 𝑛 = 𝛼𝑛𝑢(𝑛) é

𝑋 𝑧 = 𝛼𝑛𝑧−𝑛 ∞𝑛=0 =

1

1−𝛼𝑧−1, para 𝑧 > 𝛼

Transformada Z

Exemplo 3: A transformada Z da exponencial anti-causal

𝑥 𝑛 = −𝛼𝑛𝑢(−𝑛 − 1) é

𝑋 𝑧 = −(𝛼𝑧−1)𝑛−1𝑛=−∞ =

1

1−𝛼𝑧−1 , para 𝑧 < 𝛼

Exemplo 4: A transformada Z da sequência

𝑥 𝑛 = 𝛼𝑛cos (𝜔0𝑛)𝑢(𝑛) é

𝑋 𝑧 = 𝛼𝑛 𝑒𝑗𝜔0𝑛+𝑒−𝑗𝜔0𝑛

2𝑧−𝑛 −1

𝑛=−∞ =1

1−𝛼𝑒𝑗𝜔0𝑧−1+1

1−𝛼𝑒−𝑗𝜔0𝑧−1

=1−𝛼cos (𝜔0)𝑧−1

1−2𝛼 cos 𝜔0 𝑧−1+𝛼2𝑧−2 , para 𝑧 > 𝛼

Região de Convergência (ROC)

As transformadas Z da maioria das sequências de interesse em

processamento de sinais são funções racionais de z, ou seja:

𝑋 𝑧 = 𝑞𝑘

𝑀𝑘=0 𝑧−𝑘

𝑝𝑘𝑁𝑘=0 𝑧−𝑘

=𝑞0

𝑝0𝑧𝑁−𝑀

(𝑧 − 𝜁𝑘)𝑀𝑘=1

(𝑧 − 𝜓𝑘𝑁𝑘=1 )

onde

𝜁𝑘 são os zeros de 𝑋 𝑧 , ou seja, os valores de 𝑧 tais que 𝑋 𝑧 = 0

𝜓𝑘 são os polos de 𝑋 𝑧 , ou seja, os valores de 𝑧 tais que 𝑋 𝑧 = ∞

Se 𝑁 > 𝑀, 𝑋 𝑧 tem 𝑁 − 𝑀 zeros em 𝑧 = 0

Se 𝑁 < 𝑀, 𝑋 𝑧 tem 𝑀 − 𝑁 polos em 𝑧 = 0

Região de Convergência (ROC)

A ROC de transformadas Z que são funções racionais de z são

delimitadas pela localização dos seus polos, conforme ilustrado nos

exemplos abaixo.

Exemplo 1: Vimos que a transformada Z do degrau unitário é

𝑈 𝑧 =1

1−𝑧−1, para 𝑧 > 1

A localização do polo de 𝑈 𝑧 está indicada por “x” e do zero por “o”

na figura abaixo. Vemos que a ROC de 𝑈 𝑧 se estende desde o

círculo unitário (raio igual ao módulo do polo), sem contê-lo, até ∞.

Região de Convergência (ROC)

Exemplo 2: A sequência

𝑥 𝑛 = 0,5 𝑛𝑢 𝑛 + −0,9 𝑛𝑢(𝑛)

tem transformada Z

𝑋 𝑧 =1

1−0,5𝑧−1 +1

1+0,9𝑧−1 =2𝑧(𝑧+0,2)

(𝑧−0,5)(𝑧+0,9), para 𝑧 > 0,9

Seus polos e zeros e a ROC estão indicados na figura abaixo.

Vemos que a ROC de 𝑋 𝑧 se estende desde a circunferência de

raio igual ao módulo do polo mais afastado da origem até ∞.

Região de Convergência (ROC)

A seguir generalizaremos as observações dos exemplos para 4 tipos

de sequências: sequência de comprimento finito, sequência lateral

esquerda, sequência lateral direita e sequência bilateral.

Sequência de Comprimento Finito:

Seja 𝑥 𝑛 uma sequência de comprimento finito tal que 𝑥 𝑛 = 0 para 𝑛 < 𝑛1 e 𝑛 > 𝑛2. Então, sua transformada Z

𝑋 𝑧 = 𝑥(𝑛)𝑧−𝑛

𝑛2

𝑛=𝑛1

é um somatório finito, que convergirá para todo 𝑧, exceto para 𝑧 = 0 se 𝑛1 < 0 e/ou para 𝑧 = ∞ se 𝑛2 > 0.

Região de Convergência (ROC)

Sequência Lateral Direita:

Uma sequência 𝑥 𝑛 é chamada de lateral direita se 𝑥 𝑛 = 0 para 𝑛 < 𝑛0.

Por exemplo, a sequência

𝑥 𝑛 = (𝑎𝛼𝑛+𝑏𝛽𝑛)𝑢 𝑛 − 𝑛0

é lateral direita e sua transformada Z é

𝑋 𝑧 = (𝑎𝛼𝑛+𝑏𝛽𝑛) 𝑧−𝑛

∞

𝑛=𝑛0

= 𝑎 (𝛼𝑧−1)𝑛+𝑏 (𝛽𝑧−1)𝑛

∞

𝑛=𝑛0

∞

𝑛=𝑛0

O primeiro somatório converge para 𝑧 > 𝛼 e o segundo para

𝑧 > 𝛽 . Supondo 𝛽 > 𝛼 , a ROC é definida por 𝑧 > 𝛽 . Observe que a ROC inclui 𝑧 = ∞ se 𝑛0 ≥ 0.

Região de Convergência (ROC)

Sequência Lateral Esquerda:

Uma sequência 𝑥 𝑛 é chamada de lateral esquerda se 𝑥 𝑛 = 0

para 𝑛 > 𝑛0.

Por exemplo, a sequência

𝑥 𝑛 = (𝑎𝛼𝑛+𝑏𝛽𝑛)𝑢 −𝑛 + 𝑛0

é lateral esquerda e sua transformada Z é

𝑋 𝑧 = (𝑎𝛼𝑛+𝑏𝛽𝑛) 𝑧−𝑛

𝑛0

𝑛=−∞

= 𝑎 (𝛼𝑧−1)𝑛+𝑏 (𝛽𝑧−1)𝑛

𝑛0

𝑛=−∞

𝑛0

𝑛=−∞

O primeiro somatório converge para 𝑧 < 𝛼 e o segundo para

𝑧 < 𝛽 . Supondo 𝛽 > 𝛼 , a ROC é definida por 𝑧 < 𝛼 . Observe que a ROC inclui 𝑧 = 0 se 𝑛0 ≤ 0.

Região de Convergência (ROC)

Sequência Bilateral:

Uma sequência 𝑥 𝑛 é chamada de bilateral se ela se estende de 𝑛 = −∞ a 𝑛 = ∞.

Por exemplo, a sequência

𝑥 𝑛 = 𝑎𝛼𝑛𝑢 𝑛 − 𝑛0 + 𝑏𝛽𝑛𝑢 −𝑛 + 𝑛1

é bilateral e sua transformada Z é

𝑋 𝑧 = 𝑎 (𝛼𝑧−1)𝑛+𝑏 (𝛽𝑧−1)𝑛

𝑛1

𝑛=−∞

∞

𝑛=𝑛0

O primeiro somatório converge para 𝑧 > 𝛼 e o segundo para

𝑧 < 𝛽 . Supondo 𝛽 > 𝛼 , a ROC é definida por 𝛼 < 𝑧 < 𝛽 . Observe que a ROC será um conjunto vazio se 𝛽 < 𝛼 .

Região de Convergência (ROC)

Concluindo:

A ROC de uma sequência de comprimento finito é todo o plano 𝑧,

exceto possivelmente 𝑧 = 0 e/ou 𝑧 = ∞.

A ROC de uma sequência lateral direita 𝑥 𝑛 é a região externa ao

círculo de raio igual ao módulo do polo de 𝑋 𝑧 mais afastado da

origem, exceto possivelmente 𝑧 = ∞.

A ROC de uma sequência lateral esquerda 𝑥 𝑛 é a região interna

ao círculo de raio igual ao módulo do polo de 𝑋 𝑧 mais próximo da

origem, exceto possivelmente 𝑧 = 0.

A ROC de uma sequência bilateral 𝑥 𝑛 é um anel no plano z,

delimitado por círculos de raios iguais a módulos de polos de 𝑋 𝑧 ,

ou será uma região vazia.

A ROC não pode conter polos.

Transformada Z Inversa

A transformada Z inversa é definida pela integral de linha:

𝑥 𝑛 =1

2𝜋𝑗 𝑋 𝑧 𝑧𝑛−1 ⅆ𝑧𝛾

onde 𝛾 é um caminho fechado na ROC e envolvendo a origem do

plano z, percorrido no sentido anti-horário.

Para transformadas z racionais, pode-se utilizar o teorema dos

resíduos de Cauchy para resolver a integral de linha, ou seja:

𝑥 𝑛 = 𝑟𝑒𝑠íⅆ𝑢𝑜𝑠 ⅆ𝑒 𝑋 𝑧 𝑧𝑛−1𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑙𝑜𝑠 ⅆ𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 ⅆ𝑒 𝛾

Transformada Z Inversa

Exemplo: Seja

𝑋 𝑧 =1

1−𝛼𝑧−1, ROC: 𝑧 > 𝛼

A transformada inversa é:

𝑥 𝑛 =1

2𝜋𝑗

𝑧

𝑧 − 𝛼𝑧𝑛−1 ⅆ𝑧 =

1

2𝜋𝑗

𝑧𝑛

𝑧 − 𝛼ⅆ𝑧

𝛾𝛾

Para 𝑛 ≥ 0, a função 𝑧𝑛

𝑧−𝛼 possui um polo simples em 𝑧 = 𝛼, e o

resíduo neste polo é:

(𝑧 − 𝛼)𝑧𝑛

𝑧 − 𝛼 𝑧=𝛼

= 𝛼𝑛

Para 𝑛 < 0, além do pole em 𝑧 = 𝛼, há polos de multiplicidade 𝑛

em 𝑧 = 0.

Transformada Z Inversa

A transformada Z inversa pode ser obtida mais facilmente através da

expansão em frações parciais, usando a propriedade de

linearidade.

Exemplo 1: Seja

𝑋 𝑧 =1 + 2𝑧−1 + 𝑧−2

1 − 1,5𝑧−1 + 0,5𝑧−2

ROC: 𝑧 > 1

Esta função pode ser reescrita como:

𝑋 𝑧 =1 + 2𝑧−1 + 𝑧−2

(1 − 0,5𝑧−1)(1 − 𝑧−1)

= 2 −9

1 − 0,5𝑧−1 +8

1 − 𝑧−1

Transformada Z Inversa

Identificando a transformada inversa de cada termo, temos:

𝑥 𝑛 = 2𝛿 𝑛 − 9 0,5 𝑛u n + 8u(n)

Exemplo 2: Seja

𝑋 𝑧 =1 + 2𝑧−1 + 𝑧−2

1 − 1,5𝑧−1 + 0,5𝑧−2

ROC: 𝑧 <0,5

Como no exemplo anterior, a função pode ser reescrita como:

𝑋 𝑧 = 2 −9

1 − 0,5𝑧−1 +8

1 − 𝑧−1

Identificando a transformada inversa de cada termo, temos:

𝑥 𝑛 = 2𝛿 𝑛 + 9 0,5 𝑛u −n − 1 − 8u(−n − 1)

Transformada Z Inversa

Exemplo 3: Seja

𝑋 𝑧 =1 + 2𝑧−1 + 𝑧−2

1 − 1,5𝑧−1 + 0,5𝑧−2

ROC: 0,5< 𝑧 <1

Como nos exemplos anteriores, a função pode ser reescrita como:

𝑋 𝑧 = 2 −9

1 − 0,5𝑧−1 +8

1 − 𝑧−1

Identificando a transformada inversa de cada termo, temos:

𝑥 𝑛 = 2𝛿 𝑛 − 9 0,5 𝑛u n − 8u(−n − 1)

Transformada Z Inversa

A inversa de transformadas Z racionais também pode ser obtida por

divisão longa, ou seja, dividindo o polinômio do numerador pelo o

do denominador.

Exemplo 1: Seja

𝑋 𝑧 =1

1 − 𝛼𝑧−1

ROC: 𝑧 > 𝛼

A divisão de 1 por (1 − 𝛼𝑧−1) é 1 + 𝛼𝑧−1 + 𝛼2𝑧−2 + ⋯, de onde

identificamos 𝑥 0 = 1, 𝑥 1 = 𝛼, 𝑥 2 = 𝛼2, ⋯. Portanto, a forma

geral da inversa é:

𝑥 𝑛 = 𝛼𝑛𝑢(𝑛)

Transformada Z Inversa

Exemplo 2: Seja

𝑋 𝑧 =1

1 − 𝛼𝑧−1

ROC: 𝑧 < 𝛼

Pela região de convergência (externa ao círculo de raio 𝛼 ),

sabemos que a inversa é uma sequência lateral esquerda.

Portanto, devemos fazer a divisão de polinômios de modo a obter

potências positivas de z.

Neste exemplo, dividimos 1 por (−𝛼𝑧−1 + 1), obtendo −𝛼−1𝑧 − 𝛼−2𝑧2 − 𝛼−3𝑧3 − ⋯, de onde identificamos 𝑥 −1 = −𝛼−1, 𝑥 −2 = −𝛼−2, 𝑥 −3 = −𝛼−3, ⋯.

Portanto, a forma geral da inversa é:

𝑥 𝑛 = −𝛼𝑛𝑢(−𝑛 − 1)

Relação entre a Transformada Z e a DTFT

Escrevendo 𝑧 na forma polar, 𝑧 = 𝑟𝑒𝑗𝜔, temos:

𝑋 𝑟𝑒𝑗𝜔 = 𝑥(𝑛)𝑟−𝑛𝑒−𝑗𝜔𝑛

∞

𝑛=−∞

que é igual à DTFT de 𝑥(𝑛)𝑟−𝑛 .

Para 𝑟 = 1 (i.e, 𝑧 = 1), a transformada Z se reduz à DTFT de 𝑥(𝑛) desde que a ROC de X(𝑧) inclua o círculo unitário.

Em particular, para z = 1, X 1 = X 𝑒𝑗0 , ou seja, é o valor da DTFT

em 𝜔 = 0 (DC).

Em z = 𝑗, X 𝑗 = X 𝑒𝑗𝜋/2 , ou seja, é o valor da DTFT em 𝜔 = 𝜋/2

(Ω = Ω𝑇/4).

Em z = −1, X −1 = X 𝑒𝑗𝜋 , ou seja, é o valor da DTFT em 𝜔 = 𝜋

(Ω = Ω𝑇/2).

Propriedades da Transformada Z

Sejam duas sequências g n ⟷ 𝐺 𝑧 , ROC: ℜ𝑔, e h(n) ⟷ 𝐻 𝑧 ,

ROC: ℜℎ. Então, as seguintes propriedades são válidas:

(i) Linearidade:

αg n + 𝛽ℎ 𝑛 ⟷ 𝛼𝐺 𝑧 + 𝛽𝐻 𝑧

ROC: inclui ℜ𝑔 ∩ ℜℎ

(ii) Deslocamento no tempo:

g 𝑛 − 𝑛0 ⟷ 𝑧−𝑛0𝐺 𝑧

ROC: ℜ𝑔 exceto possivelmente 𝑧 = 0 ou 𝑧 = ∞

(iii) Reversão no tempo:

g −𝑛 ⟷ 𝐺 1/𝑧

ROC: 1/ℜ𝑔

Propriedades da Transformada Z

(vi) Multiplicação por sequência exponencial:

𝛼𝑛g 𝑛 ⟷ 𝐺 𝑧/𝛼

ROC: 𝛼 ℜ𝑔

(v) Diferenciação de 𝐺(𝑧):

𝑛g 𝑛 ⟷ −𝑧ⅆ𝐺 𝑧

ⅆ𝑧

ROC: ℜ𝑔 exceto possivelmente 𝑧 = 0 ou 𝑧 = ∞

(vi) Convolução:

𝑔 𝑛 ∗ ℎ 𝑛 ⟷ 𝐺 𝑧 𝐻(𝑧)

ROC: inclui ℜ𝑔 ∩ ℜℎ

Propriedades da Transformada Z

(vii) Modulação:

𝑔 𝑛 ℎ(𝑛) ⟷1

2𝜋𝑗 𝐺 𝜐 𝐻 𝑧 𝜐 𝜐−1

𝛾

ⅆ𝜐

ROC: inclui ℜ𝑔ℜℎ

Teorema de Parseval:

𝑔 𝑛 ℎ∗ 𝑛 =

∞

𝑛=−∞

1

2𝜋𝑗 𝐺 𝜐 𝐻∗ 1 𝜐∗ 𝜐−1

𝛾

ⅆ𝜐