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ObjetivoEspaços de Hilbert

Teorema de representação de RieszEquação de Laplace

Reformulando o problema de Dirichlet para equação de Laplace como um funcional linear limitado num espaco de Hilbert

ANÁLISE FUNCIONAL E EQUAÇÕES DIFERENCIAISPARCIAIS

Nemuel Rocha Lima

Orientador: Prof. Dr. Julio Cesar de Souza Almeida

4 de dezembro de 2013

Nemuel Rocha Lima UFAL




1 Objetivo

2 Espaços de Hilbert

3 Teorema de representação de Riesz

4 Equação de Laplace

5 Reformulando o problema de Dirichlet para equação de Laplace como umfuncional linear limitado num espaco de Hilbert





PIBIC

O objetivo do nosso trabalho é estudar um pouco de análise funcional eaplicar no estudo de Equações Diferenciais Parciais. Apesar de nossoprojeto afirmar que vamos fazer um estudo de certa forma completo, nosentido que além de estudar existência e unicidades das equações tambémnos propomos a estudar a dedução (modelagem) dessas equações, essaúltima proposta foi trânsferida para o segundo ano do nosso trabalho.





1 Objetivo









PIBIC

Definição

Uma forma Bilinear 〈·, ·〉 : E × E −→ R é um produto interno em uma espaçovetorial E sobre R se satisfaz as seguintes propriedades:

1 〈αx + βy , z〉 = α 〈x , z〉+ β 〈y , z〉, ∀ x , y , z ∈ E e α, β ∈ R2 〈x , y〉 = 〈y , x〉, ∀ x , y ∈ E3 〈x , x〉 ≥ 0, ∀ x ∈ E e 〈x , x〉 = 0 ⇔ x = 0

Definição

Dizemos que H é um espaço de Hilbert se H é um espaço vetorial comproduto interno e completo com respeito a norma ||x || =

√〈x , x〉( Toda

sequência de Cauchy em H converge para um elemento de H)

Exemplo 1. Exemplos familiares de espaços de Hilbert são os espaçoseuclidianos Rn

Exemplo 2 . Outro exemplo de espaço de Hilbert é o L2





PIBIC

Definição



Definição










PIBIC

Definição



Definição










1 Objetivo









PIBIC

Teorema

Sejam H um espaço de Hilberta e f : H −→ R um funcional linear limitado.Então existe um único z ∈ H tal que

f (x) = 〈x , z〉 ∀ x ∈ H.

Além disso ‖f‖ = ‖z‖

Para mostrar esse teorema mostramos os seuintes Lemas:

Lema

Seja H um espaço de Hilbert, M ⊂ H subespaço fechado e x ∈ H. Então umúnico elemento z ∈ M mais próximo de x, ou seja, tal que

‖x − z‖ = infy∈M‖x − y‖





PIBIC

Teorema

Sejam H um espaço de Hilberta e f : H −→ R um funcional linear limitado.Então existe um único z ∈ H tal que

f (x) = 〈x , z〉 ∀ x ∈ H.

Além disso ‖f‖ = ‖z‖

Para mostrar esse teorema mostramos os seuintes Lemas:

Lema

Seja H um espaço de Hilbert, M ⊂ H subespaço fechado e x ∈ H. Então umúnico elemento z ∈ M mais próximo de x, ou seja, tal que

‖x − z‖ = infy∈M‖x − y‖





PIBIC

Lema (Teorema da Projeção)

Seja H espaço de Hilbert e M ⊂ H subespaço fechado. Dado x ∈ H existemúnicos z ∈ M e w ∈ M⊥ = h ∈ H/ 〈h, y〉 = 0 ∀y ∈ M tais que x = z + w





1 Objetivo









PIBIC

Nosso objetivo agora é estudar a problema∆u(x) = 0 x ∈ Ω

u(x) = f (x) x ∈ ∂Ω(1)

Para isso, fazemos algumas considerações prévias:

Definição

Seja Ω ⊂ Rn e C2(Ω) . O Laplaciano ∆u é definido por:

∆u = div∇u =n∑

i=1

∂2u(x)

∂x2i

= 0.

A equação homogênea ∆u = 0 é chamada a equação de Lalace





PIBIC

Nosso objetivo agora é estudar a problema∆u(x) = 0 x ∈ Ω

u(x) = f (x) x ∈ ∂Ω(1)

Para isso, fazemos algumas considerações prévias:

Definição

Seja Ω ⊂ Rn e C2(Ω) . O Laplaciano ∆u é definido por:

∆u = div∇u =n∑

i=1

∂2u(x)

∂x2i

= 0.

A equação homogênea ∆u = 0 é chamada a equação de Lalace





Definição

A função Φ(x) : Rn − 0 −→ R definida por:

Φ(x) =

1

2πlog|x | se n = 2

1n(n − 2)ωn

1|x|n−2 sen ≥ 3

(2)

é a Solução Fundamental para equação de Laplace.Utilizando essa função pudemos mostrar

Teorema

Seja f ∈ C2(Rn) com suporte compacto .Defina:

u(y) =

∫Rn

Φ(x − y)f (x)dx

Então , u é de classe C2 e é uma solução da equação de Poisson

∆u(x) = −f (x)

em Rn





Definição

A função Φ(x) : Rn − 0 −→ R definida por:

Φ(x) =

1

2πlog|x | se n = 2

1n(n − 2)ωn

1|x|n−2 sen ≥ 3

(2)

é a Solução Fundamental para equação de Laplace.Utilizando essa função pudemos mostrar

Teorema

Seja f ∈ C2(Rn) com suporte compacto .Defina:

u(y) =

∫Rn

Φ(x − y)f (x)dx

Então , u é de classe C2 e é uma solução da equação de Poisson

∆u(x) = −f (x)

em RnNemuel Rocha Lima UFAL




1 Objetivo









PIBIC

Dada uma função f ∈ C0(∂Ω), o problema de Dirichlet para equação delaplace consiste em encontrar uma função U ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) tal que

∆U = 0 em ΩU = f sobre ∂Ω

Mas resolver a equação de Laplace é equivalente a resolver o seguinteproblema:

v = 0 sobre ∂Ω∆v = −w em Ω

(3)

onde v = U − f e ∆v = ∆f = wAqui Ω ⊂ R2 é um subconjunto aberto limitado e conexo , para o qual vale oteorema da divergente. Consequentemente a formula de integração porpartes também vale.





PIBIC

Dada uma função f ∈ C0(∂Ω), o problema de Dirichlet para equação delaplace consiste em encontrar uma função U ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) tal que

∆U = 0 em ΩU = f sobre ∂Ω

Mas resolver a equação de Laplace é equivalente a resolver o seguinteproblema:


(3)

onde v = U − f e ∆v = ∆f = wAqui Ω ⊂ R2 é um subconjunto aberto limitado e conexo , para o qual vale oteorema da divergente. Consequentemente a formula de integração porpartes também vale.





PIBIC

Em C1(Ω) definimos a forma bilinear por :

〈u, v〉 =

∫Ω

n∑i=1

ux ivx idX

Mas com essa definição o espaço C1(Ω) não é um espaço vetorial comproduto interno pois, basta tomar u = c constante e verificar que asderivadas parcias ux i = 0, i = 1...n; assim temos que

〈u, u〉 =

∫Ω

n∑i=1

0 = 0

mas deveria ser 〈u, u〉 > 0 logo não satisfaz uma das propriedades para serproduto interno.





PIBIC

Definimos agora C10 (Ω) o subespaço das funções u ∈ C1(Ω) com suporte

compacto em Ω. Dessa forma

〈u, v〉 =

∫Ω

n∑i=1

ux ivx idx

define um produto interno em C10 (Ω).

Se v ∈ C2(Ω) é uma solução de (3) e u ∈ C10 (Ω) então usando a fórmula de

integração por partes podemos mostrar que:

〈u, v〉 = −∫

Ω

u∆vdx =

∫Ω

uwdx





PIBIC

Definimos agora C10 (Ω) o subespaço das funções u ∈ C1(Ω) com suporte

compacto em Ω. Dessa forma

〈u, v〉 =

∫Ω

n∑i=1

ux ivx idx

define um produto interno em C10 (Ω).

Se v ∈ C2(Ω) é uma solução de (3) e u ∈ C10 (Ω) então usando a fórmula de

integração por partes podemos mostrar que:

〈u, v〉 = −∫

Ω

u∆vdx =

∫Ω

uwdx





PIBIC

Seja l o funcional linear em C10 (Ω) definido por

l(u) =

∫Ω

uwdX

A nossa solução v deve satisfazer

l(u) = 〈u, v〉

Se C10 (Ω) fosse um espaço de Hilbert e l fosse um funcional linear limitado

em C10 (Ω) a existência de v seria asegurada pelo teorema da representação

de Riesz. A limitação de l seguirá da desigual de cauchy e poincaré que nospermiti obter uma cota superior para a norma L2 em termos da norma deDirichlet, ou seja,

‖u‖2 ≤ N‖u‖ = N (〈u, u〉)12 =

(∫Ω

n∑i=1

u2x idx

) 12

, u ∈ C10 (Ω).





PIBIC

Seja l o funcional linear em C10 (Ω) definido por

l(u) =

∫Ω

uwdX

A nossa solução v deve satisfazer

l(u) = 〈u, v〉

Se C10 (Ω) fosse um espaço de Hilbert e l fosse um funcional linear limitado

em C10 (Ω) a existência de v seria asegurada pelo teorema da representação

de Riesz. A limitação de l seguirá da desigual de cauchy e poincaré que nospermiti obter uma cota superior para a norma L2 em termos da norma deDirichlet, ou seja,

‖u‖2 ≤ N‖u‖ = N (〈u, u〉)12 =

(∫Ω

n∑i=1

u2x idx

) 12

, u ∈ C10 (Ω).





PIBIC

No entanto este espaço não é completo . Por isso consideramos seucompletamente em relação a norma de Dirichlet ‖ · ‖ , denotado por H1

0 (Ω)onde u ∈ H1

0 (Ω) é representado por uma sequência de cauchyu1, u2, u3, ... ∈ C1

0Portanto o nosso problema modificado é:Encontrar v ∈ H1

0 (Ω) tal que φ(u) = 〈u, v〉, para todo u ∈ H10 (Ω) , onde φ(u)

é uma extensão para H10 (Ω) do funcional l(U) em C1

0 (Ω).Por extensão e utilizando a desigualdade de Poincaré, mostramos que ofuncional φ é limitado em H1

0 (Ω). Então pelo Teorema da Representação deRiesz existirá v ∈ H1

0 (Ω) tal que φ(u) = 〈u, v〉, para todo u(x) ∈ H10 (Ω). Com

isso só nos faltará mostrar que tal v é realmente uma solução de (3)





Mostraremos que a solução v do problema modificado é uma solução doproblema (3) ou seja


A solução v pode ser identificada com uma sequência de Cauchyv1, v2, ...vn ∈ C1

0 (Ω). Por causa da desigualdade de Poincaré, v pode seridentificada como um elemento de L2(Ω). Assim não é difícil concluir que∫

ω

v∆u dx = −∫ω

wu dx , para toda função teste u; onde v ∈ L2


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