DISCIPLINA: ORGÃOS DE MÁQUINAS III

SEMESTRE: PRIMEIRO. ANO: QUINTO

FACULDADE DE ENGHENARIADEPARTAMENTO DE MECÂNICA

Professor : Dr.Ct. Dr.Cs. Arturo Martinez RodriguezProfessor Titular da Universidade Agrária de Havana

SUMÁRIO

CAP. I TENSÃO DE MEMBRANA EM CASCAS

CAP II. USO DE FERRAMENTAS C.A.D.

CAP III. FLEXÃO DE PLACAS

CAP IV. VIGAS SOBRE FUNDAÇÃO ELÁSTICA

BIBLIOGRAFIA

NOTAS DE CONFERÊNCIAS E APRESENTAÇÕES

MANUAL DE RESISTENCIA DE MATERIALES. Pisarenko, G.S. et.al.

RESISTENCIA DE MATERIALES. Tomo II. Gilda Fernández Levy.

RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS. Timoshenko, S. P.

TUTORIALES DE SOFTWARE C.A.D. (Autodesk Inventor 9.0; Cosmos DesingSTAR 3.0; MathCAD 2000 Professional)

Gear. Mecânica de Materiais.

CAP. I CASCAS. TEORÍA MEMBRANAL.

Entende-se por casca aquele corpo no qual uma de suas dimensões, a espessura, é muito menor comparado com as outras dois.

São incluídas na categoria de cascas (ou reservatórios de paredes finas) aquelas estruturas nas que se cumpre que a espessura da parede não supera a décima parte do raio de curvatura da parede, ou seja, se se cumprir a seguinte relação:

10

1

i

h

EXEMPLOS

Cisternas, tanques de água, balões de ar e gás, cúpulas de edifícios, fuselagens, caldeiras de vapor, chaminés, câmaras de combustão, pneumáticos, etc.

EXEMPLOS

fuselagens

pneus

tanques

silos

balões

lâmpada

Superfície média

O lugar geométrico dos pontos equidistantes das duas caras de uma casca

Se a superfície média é a porção de um cone, de uma esfera, de um cilindro, denominam-se cascas cónicas, esféricas, cilíndricas, respectivamente.

Quando a superfície média é um plano, a casca denomina-se placa.O cálculo de placas constituirá objecto de estudo no CAP. 3.

A característica geométrica das cascas se determina além pela variação da espessura da casca

Na imensa maioria dos casos da prática de engenharia as cascas são de espessura constante

Se a superfície média da casca é de revolução, estas denominam-se cascas simétricas

No caso das cascas de revolução, considera-se que sobre elas atuam cargas uniformemente distribuídas e simétricas, ou seja, considera-se que sobre a parede não atuam momentos flectores

A teoria para o desenvolvimento do cálculo neste caso se conhece como:

Teoria sem Momentos ou Teoria de Membrana

Se pode aplicar sempre que não existam cargas concentradas, engastamentos ou mudanças bruscas da configuração da casca.

(Aplicando o princípio do Saint Venant, é possível aplicar a teoria de membrana a determinadas distâncias dos engastamentos, mudanças de configuração ou zonas de aplicação de cargas concentradas.)

1.1 Cálculo de cascas simétricas1.1.1 Aspectos gerais.

O cálculo das cascas simétricas simplifica-se se admitimos que as tensões que surgem nas paredes do reservatório se distribuem uniformemente dentro de sua espessura. Isto equivale a não considerar a presença de flexão nas paredes.

Esta hipótese denomina-se teoria de membrana das cascas.

Baixo esta hipótese, eo comportamento da casca equivale ao de uma membrana elástica que suporta tensões normais em duas direcções e uniformemente distribuídas em sua espessura.

A aplicação da teoria de membrana simplifica os cálculos, entretanto traz como consequência a introdução de certo erro nos resultados, cuja magnitude dependerá da relação r2/r1 existente entre os raios exterior e interior das paredes da casca respectivamente.

Tensão calculada segundo a teoria de cilindros de paredes grosas

Tensão calculada segundo a teoria de membrana

1 - A espessura da casca é pequena quando comparada com as restantes dimensões.

2 - As acções exteriores são tais que os esforços se desenvolvem somente na superfície média da casca. 3 - As reacções de apoio devem estar localizadas no plano meridiano, caso contrário aparecem esforços transversais e esforços de flexão junto da região de fronteira.

A teoria de membrana é válida desde que se verifiquem as seguintes condições:

A teoria de membrana é válida desde que se verifiquem as seguintes condições:

4 - A variação do raio de curvatura ρm da curva geratriz da superfície de revolução é lenta, não existindo descontinuidades. Nas zonas junto de descontinuidades existirão esforços transversos e momentos flectores. 5 - As tensões resultantes de esforços de membrana consideram-se uniformemente distribuídas ao longo da espessura da casca. Para valores de ρmin / h ≥ 10 e para variações graduais da espessura esta hipótese pode considerar-se válida. Note-se que ρmin é o menor dos raios de curvatura e h é a espessura da casca.

A teoria de membrana é válida desde que se verifiquem as seguintes condições:

6 - A tensão radial é pequena quando comparada com as restantes, sendo possível considerar-se um estado de tensão plana (3 = 0). 7 - Os deslocamentos na direcção normal à superfície média, designados por w, são pequenos e dentro do domínio elástico. Valores de w aceitáveis são tais que w ≤ h/2.

1.1.2 Equações de equilíbrio. Equação do Laplace.Forças e tensões actuando sobre uma casca simétrica:

Projetando as forças sobre a direção a normal ao elemento obtemos:

p.ds1.ds2 – 2 σm.h.ds2. sen dθ/2 – d(σm).h. ds2. sen dθ/2 – 2 σt .h .ds1 . sen dФ/2 = 0

σt: Tensão Circunferêncial

σm: Tensão Meridional

1.1.2 Equações de equilíbrio. Equação do Laplace.

pds1ds2.– 2 σm h ds2 sen dθ/2 – d(σm ) h ds2 sen dθ/2 – 2 σt h ds1 sen dФ/2 = 0

Desprezando os diferenciais de ordem superior e considerando que para ângulos pequenos sen , então a equação se simplifica, assumindo a seguinte forma:

p ds1 ds2 – σm h ds2 dθ – σt h ds1 dФ = 0

Posto que: dθ = ds1 / m e dФ = ds2 / t

então: p ds1 ds2 – σm h ds2 ds1/m – σt h ds1 ds2/t = 0 Dividindo entre h. ds1.ds2 obtém-se finalmente:

h

p

t

t

m

m

ECUACIÓN DE LAPLACE

1.1.2 Equações de equilíbrio. Equação do Laplace.

Da equação do Laplace aprecia-se que há duas incógnitas (m e t) pelo que se faz necessário procurar outra equação.

Psenhrm 2

P é a resultante das acções exteriores ao corpo livre da secção separada da casca, e se determina para cada caso particular.

No caso representado(pressão interior uniforme):

2rpP

h

p

t

t

m

m

+

Corte

1.1.3 Aplicações.

Reservatório esférico sujeito a pressão constante.

Assunto: Determinar as tensões que surgem em uma casca esférica de raio R e de espessura h, submetida à acção de uma pressão interior p.

Neste caso: De acordo às condições de simetria: Substituindo na equação do Laplace obtemos:

Rtm

tm

h

p

t

t

m

m

h

p

RRtm

22 h

pRtm 2

Finalmente obtém-se um estado de tensões plano uniforme, onde as tensões principais serão:

h

pR

221

De acordo a teoria de membrana, a tensão principal 3 considera-se igual a zero, então aplicando o critério de resistência do Von Mises (quarta teoria de resistência) obtém-se:

2

)()()( 231

232

221

VM

Para 3 = 0 2122

21VM

Substituindo:

h

pR

h

pR

h

pR

h

pRVM 2222

22

h

pR

h

pRVM 5.0

2

ph

pR

2

O critério de máximas tensões do Von Mises é usado na maioria dos casos para analisar materiais que falham em forma dúctil. Existirá perigo de fluência se:

sendo:

fl : o limite de fluência do material; n : o factor de segurança.

nfl

VM

1.1.3 Aplicações.

Cilindro sujeito a pressão constante.

Assunto: Determinar as tensões que surgem em uma casca cilíndrica de raio R e de espessura h, submetida à acção de uma pressão interior p

Como primeiro passo requer-se identificar os raios de curvatura do arco meridional m e da secção perpendicular ao meridiano t .

Neste caso:m = ; t = R

Seguidamente aplica-se a condição de equilíbrio do sector do reservatório talhado pela secção A-A:

02 hRP m

A resultante P na direcção do eixo de revolução do cilindro é igual ao produto da pressão p pela área da superfície projectada sobre o plano perpendicular a dito eixo: pRP 2

Então, a tensão meridional e:hR

pRm

2

2

h

pRm 2

Aplicando a equação do Laplace, pudemos determinar t :

h

p

Rtm

h

p

Rt

0

h

pRt

m = ; t = R )

Aplicando o critério do Von Mises:

h

pR

h

pR

h

pR

h

pRVM 22

22

h

pRVM 866.0

Resultando uma tensão equivalente 73,2 % superior à obtida no reservatório esférico da mesma espessura e submetida à mesma pressão.

1.1.3 Aplicações.

Reservatório semi-esférico para líquidos.

Neste caso, ao depender a pressão sobre as paredes do reservatório da altura da coluna de líquido, as tensões nas paredes da casca terão um carácter variável. De todas formas mantém-se a condição de simetria das cargas com respeito ao eixo de revolução do reservatório.

ELUCIDAÇÃO: Quando sobre uma superfície actua a pressão ocasionada por um líquido, a componente vertical da força de pressão será igual ao peso do líquido conteúdo no volume localizado sobre dita superfície, de maneira que sobre a superfície emoldurada pelos pontos ABC, cortada a uma altura H (Fig. 1.4), a força de pressão será o peso do líquido conteúdo no volume ABCED.

Agora analisemos a condição de equilíbrio no sector de casca ABC talhado mediante uma secção normal cónica de ângulo 2.

O volume do segmento esférico ABC é:

)3(231 HRHVABC

cosRRH )coscos( 331

323 RVABC

O volume do segmento cilindrico ACED é:

cos23 senRVACED

O volume total será: )cos1( 3332 RVVV ACEDABCT

Então a força de pressão resultante que actuará sobre o sector esférico, será:

)cos1( 3332 RP

Aplicando a condição de equilíbrio na direcção vertical obtém-se:

Peso específico do líquido

0)cos1(2 3332 RsenhRsenm

2

32 cos1

3 senh

Rm

Então:

Para obter t =f() aplicamos a equação do Laplace e tendo em conta que no caso de uma esfera: m = t = R

h

p

RRtm

A pressão p em função de é:

cosRp Substituindo m e p na equação do Laplace obtemos finalmente:

2

32 cos1cos3

3 senh

Rt

A tensão equivalente segundo o critério do Von Mises será:

tmtmVM22

A distribuição de tensões nas paredes do tanque semi-esferico cheio de líquido será: