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Area de curvas parametricas
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Danilo Sande
October 24, 2013
Danilo Sande Area de curvas parametricas
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Vamos determinar a area sob uma curva dada por
equacoesparametricas:
(1)
{x = x(t)y = y(t)
, t [, ], tais que, parat1 6= t2 ((x(t1), y(t1)) 6= ((x(t2),
y(t2)) pois nao queremosrepetir o calculo de trechos repetidos da
curva.
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A area sob uma curva y = F (x) para a x b e:(2) A =
ba
F (x)dx , onde F (x) 0.Vamos usar as equacoes parametricas (1)
como uma mudanca naintegral definida (2):*Vamos supor que quando x
= a, t = e quando x = b, t = * dxdt = x
(t) dx = x (t)dt*y = F (x) = F (x(t)) = y(t)
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Com essas modificacoes, temos:
A =
y(t)dx(t)
dtdt para area em relacao ao eixo x, e
A =
x(t)dy(t)
dtdt para area em relacao ao eixo y.
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Exemplo 1
Determinar a area abaixo do cicloide
{x(t) = 6(t sin t)y(t) = 6(1 cos t) ,
0 t 2pi
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Exemplo 2
Calcule a area da regiao do plano limitada pelo laco da curva C
de
equacoes parametricas
{x = t33 + ty = t2 1
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Exemplo 3
Calcule a area entre as elipses dadas por{x = 2 cos ty = 4 sin
t
e
{x = 2 cos ty = sin t
*Lembrar que para funcoes de x, positiva e a area ACIMA do eixoe
que e construda no sentido crescente do eixo x.
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