Aritmética:

NOVAS PERSPECTIVAS

Implicações da teoria de Piaget

Contance Kamii

Linda Leslie Joseph

Por que defender que as crianças reiventem a aritmética?

As pesquisas e a teoria de Piaget, conhecida como construtivismo, mostram, no entanto que as crianças adquirem os conceitos de número e operação por meio de uma construção interna e não por meio de uma interiorização proveniente do meio ambiente.

A aquisição do conceito de número pelas crianças

Experimento: dois copos idênticos e 30 a 50 contas ou grãos. A criança recebe um dos copo e o pesquisador fica com o outro. Pede-se que a criança coloque uma conta toda vez que o adulto fizer o mesmo no seu. Após algum tempo, numa correspondência um a um, o adulto diz: _”Vamos parar e você observe o que eu vou fazer.”O pesquisador coloca outra conta no copo e a criança não depois convida a criança a continuar o que faziam antes. E continua colocando cerca de 5 contas. O adulto pergunta: _”Nós temos o mesmo número, você tem mais ou eu tenho mais?”

Prova piagetianas que demostram a diferença entre conhecimento empírico e conhecimento lógico-matemático.

Os três tipos de conhecimento segundo Piaget

A diferença entre conhecimento empírico e conhecimento lógico-matemático pode ser esclarecida,examinando-se as distinção que Piaget estabeleceu entre os três tipos de conhecimento: físico, lógico-matemático e social.

Conhecimentos físico e lógico-matemático

O conhecimento físico é portanto, um conhecimento empírico cuja origem reside parcialmente nos objetos. Ex: A cor e o peso.

O conhecimento lógico-matemático, consiste em relações criadas por cada indivíduo, pois sua origem está na mente de cada indivíduo Ex: diferenças.

Conhecimento social As fontes primárias do conhecimento social

são convenções desenvolvidas por pessoas. A principal característica do conhecimento social é sua natureza arbitrária. Para a criança adquirir conhecimento social, sua convivência com pessoas é indispensável.

Duas maneiras de conceber o aprendizado da aritmética

Por quase todos os autores de matemática o aprendizado é dividido em quatro níveis básicos:

1. Nível concreto: contagem de objetos reais. 2. Nível semiconcreto: contagem com objetos em figuras. 3- Nível simbólico: uso de números escritos 4. Nível abstrato:generalização das relações numéricas. Esta

teoria da aprendizagem peca por dois tipos de não-diferenciação entre abstração e representação e entre representação com símbolos pessoais e representação com símbolos convencionais.

Abstração De acordo com Piaget, há dois tipos de

abstração: empírica ou simples e reflexiva ou construtiva.

Na abstração empírica, a criança focaliza apenas uma certa propriedade do objeto e ignora as demais. Conhecimento físico Ex: cor

Na abstração reflexiva ou construtiva, envolve a construção, feita pela criança, de relações entre os objetos. É utilizada na aquisição de conhecimento lógico-matemático.

Representação É aquilo que a criança faz, e não o que a

palavra ou a figura dizem.

Por que as crianças deveriam reiventar a aritmética

A primeira é que o ensino da aritmética não está funcionando atualmente porque a teoria de aprendizagem da aritmética dos educadores matemáticos tradicionais é errônea.

O segundo argumento consiste no fato de que crianças que reinventam a aritmética tornar-se mais competentes que crianças com instrução tradicional.

O terceiro argumento é que os procedimentos que as crianças inventam estão enraizados de forma profunda em sua intuição e na sua maneira natural de pensar.

Valor posicional e adição de números de dois algarismos

Compreender o valor posicional é, sem dúvida, muito importante, pois a criança que não o fizer terá sérias dificuldades em somar, subtrair, dividir e multiplicar grandes números.

Para que as crianças realmente compreendam o sistema decimal, é preciso que tenham tido tempo suficiente para construir o primeiro sistema, isto é, o de unidades.

Implicações para o ensino O que falta completamente, são as

relações mentais que a criança tem que estabelecer entre os objetos a fim de quantificá-los numericamente.

O sistema decimal precisa ser construído pela criança sobre o de unidades, internamente, por meio de abstração construtiva.

A importância da interação social O conhecimento lógico-matemático tem suas

fontes dentro de cada criança e é elaborado a partir de sua própria ação mental.

As ideias dos outros são importantes porque elas promovem situações que levam a criança a pensar criticamente sobre suas próprias ideias em relação às dos outros. Conhecimento lógico-matemático não pode ser adquirido por interiorização daquilo que é do outro, mas pelo pensamento autônomo de cada criança.

Conhecimento lógico-matemático não pode ser adquirido por interiorização daquilo que é do outro, mas pelo pensamento autônomo de cada criança. Quando crianças se convencem de que a

ideia do outro é mais sensata que a sua própria, elas mudam a sua forma de pensar, corrigindo-se de dentro para fora.

Autonomia: a meta da educação Piagetiana

Autonomia significa ser governado por si mesmo. É o oposto da heteronomia, que significado ser governado por outra pessoa.

Regras que são seguidas cegamente para obter respostas corretas reforçam a heteronomia natural das crianças pequenas e prejudicam o desenvolvimento da autonomia.

Retornando ao problema da adição, seria muito melhor que o professor encorajasse a troca de pontos de vista entre as crianças em vez de reforçar as respostas “corretas” ou a correção das “erradas”.

No domínio lógico matemático as crianças são capazes de chegar à verdade autonomamente se elas debaterem o suficiente.

Autonomia como meta da educação

Uma vez que tenhamos entendido a superioridade da autonomia intelectual, começamos a nos convencer de que é mais desejável o pensamento independente, honesto e crítico que a reprodução de respostas “corretas”.

Se as crianças são silenciadas no campo social e moral, elas não se sentirão livres para expressar suas ideias no campo intelectual.

Quando se permite que as crianças tomem decisões, elas muitas vezes fazem as mesmas regras que os adultos; entretanto, as crianças respeitam as regras que elas próprias fazem muito mais do que quando as mesmas regras são impostas por adultos.

Valor posicional e adição de números de dois algarismos

O objetivo na adição de números de dois algarismos é: que as crianças inventem seus próprios procedimentos para somar números de dois algarismos e aprendam o valor posicional durante o processo. 13 + 13 10 + 10 =2010 + 10 =20 20 + 3 = 23 3 + 3 = 6 23 + 3 = 2620 + 6 = 26

Subtração de números de um e dois algarismos

Nos textos tradicionais, a subtração vem imediatamente após a adição, como uma mera inversão da adição, a subtração é muito mais difícil para as crianças pequenas do que pensa usualmente.

De fato, a sequência do ensino deveria ser, provavelmente, adição, multiplicação, subtração e divisão.

43 – 16 = 40 -10 = 30 40 – 10 = 30 30 – 6 = 24 30 + 3 = 33 24 + 3 = 27 33 – 6 = 27 O objetivo para subtrações de números de dois

algarismos é que as crianças, na medida de suas possibilidades, inventem seus próprios procedimentos para a subtração com ou sem “reagrupamento”.

Multiplicação e divisão A maior diferença entre os objetivos de Kamii e

dos livros tradicionais é que, enquanto o ensino tradicional busca ensinar técnicas específicas, uma após a outra, ela proponhe que as crianças não sejam ensinadas e treinadas. Ao invés de ensiná-las a somar, subtrair, multiplicar e dividir Kamii procura incentivá-las a usar seus próprios meios para resolver os problemas e a construir por si mesmas procedimentos gradativamente mais eficazes.

Discutindo cálculos e problema com história

Educação Infantil e no primeiro ano trabalhasse com duas espécies de atividades: situações da vida diária e jogos. No segundo ano, acrescentamos um terceiro tipo de atividade: discussões iniciadas pelo o professor envolvendo problemas de cálculo ou problemas com um texto.

Princípios de ensino 1. Incentivar as crianças a inventarem seus próprios

procedimentos, em vez de mostrar-lhes como resolver os problemas.

2.Encorajar as crianças a inventarem vários métodos diferentes para resolver um mesmo problema.

3.Abster-se de reforçar respostas corretas e corrigir as erradas e, em lugar disso,incentivar a troca de pontos de vista entre as crianças.

4.Incentivar as crianças a pensarem, em vez de ficarem escrevendo, e escrever no quadro para elas, facilitando a troca de pontos de vista.

Ponto de partida Jogo bem animado: “Volta ao mundo.” Duas crianças de cada vez competem para ver

quem obtém mais rapidamente a soma de dois números, após mostrar um cartão. Quem vencer coloca-se então à frente da próxima criança e assim sucessivamente. Uma criança que derrota todas as outras e retorna a seu lugar após mover-se da frente de um colega para outro é o campeão que deu a “volta ao mundo.”

O uso de situações do dia a dia e outras atividades

Um professor de matemática construtivista está constantemente procurando situações que possam ser usadas para desenvolver o pensamento numérico das crianças. Algumas dessas situações aparecem em rotinas diárias, semanais ou mensais.

Rotinas diárias, semanais e mensais Lista de presença, escolha do lanche e contagem

de dinheiro. Registro de tempo para idas ao banheiro. Votação. Visitas ao centro de mídia ( uso de

computadores). Verificando se peças de jogo não foram perdidas. Pagamento de material escolar.

Situações ocasionais Pizzas. Os tênis.

Atividades planejadas pelo professor

Biscoitos

Bolinhos

Confeitos coloridos

Para-quedas

Jogos em grupo Jogos podem ser usados de modo a

incentivar ou dificultar o desenvolvimento da autonomia. Eles podem ser usados para estimular e desenvolver a habilidade de a criança pensar de forma independente , contribuindo para o seu processo de construção de conhecimento lógico matemático.

Metamorfose Depois de muito tempo trabalhando com a

matemática percebi que as crianças não estavam pensando então comecei a usar atividades do cotidiano da vida das crianças. Lancei num território desconhecido. Comecei a mudar minha estratégia. Passei a planejar caminhos a fim de desafiar as crianças, ao invés de oferecer-lhes modelos de soluções para que imitassem.