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KAMILLA Plv6vAR DA CRUZ
ARQUIMEDES: 0 VOLUME DA ESFERA
Monognlfia llprcsent:ldn it Banea Examinadol'a doPl'ograma de Pos-Gl'adua~ao em Educ:H;aoM:ttcmiltica da Univcl'sidadc Tuiuli do Pamna,como exigcncia palTial pam a qllalifica~iio do gmude -Esllccialista em Edllca~;,o Matemlitica.
Ol'icntadol': PI'of. Mestr'c Carlos Petrollzelli
UNl VIi:RSIDADE TUTUTI 00 PARANA
Curitiba - 2001
TNTRODUc;:Ao
A priori, queremos frisar que a conhecimento da genese hist6rica dos
conceitos matematicos pode ser uma ferramenta de grande valia para a
elabora98o da lingua gem matematica. Portanto, enfatizamos tambem que a
genese da produ980 hist6rica do conhecimento expressa com mais profundidade
as conceitos da ciencia matematic8.
o nosso objetivo principal desse trabalho e caracterizar a contribuiC;80 de
Arquimedes para a Matematica, mostrando que a resoluc;ao dos problemas era
feita de maneira empirica, nao havendo regras gerais para a solw;:ao de
problemas semelhantes.
Em particular, daremos enfase ao processo de calculo utilizado par
Arquimedes a cerea do volume da esfera, conceito este consolidado nos trabalhos
ja efetuados per "Euclides" - mais especificamente no livre 5 (Os Elementos) que
aborda 0 estudo de proporl'oes.
Arquimedes - 0 Volume da Esfera
Na bacia do Mediterraneo e em suas adjacencias podemos observar,
atraves dos documentos hist6ricos, que grandes transforma90es econ6micas e
paliticas acarreram do secula VII a.C. aa secula II a.C.
As cidades que surgiram aD longo da costa da Asia Menor e no continente
grego ja nao eram centros administrativQs de urn despotismo oriental. A proposito,
identificamos varias cidades na regiao dominada palos 9re905 que S8 destacaram
devido as suas atividades comerciais. Outro fator que nos chama a atenQflo e a
fonna de governo baseada em principios democn:3ticos que fizeram de Atenas 0
grande centro hegemonica de tada a helade.
Nessa masma perspectiva de desenvolvimento poria mas identificar outras
cidades costeiras que tambem enriqueceram e S8 destacaram, mas, dentre elas,
queremos dar enfase a Siracusa.
A prop6sito, queremos dar destaque a essa nova organiza<;8o social que
propiciou 0 desenvolvimento de varias cidades que se destacavam como centros
comerciais e culturais. Assim, com 0 surgimento de novas necessidades e como
decorrencia desse processo de desenvolvimento nos deparamos com um novo
tipo de homem e de sociedade que tinha na guerra - ou no saque, 0 modelo de
desenvolvimento. E em decorrencia da dissemina9ao das guerras vemos tambem
crescer uma nova classe de comerciantes - os mercadores que nunca tinham
desfrutado de tanta independencia, mas sabiam que estas conquistas eram 0
resultado de uma luta constante e dura.
E como decorrencia desse desenvolvimento comercial destacamos que a
matematica ajudava a encontrar a ordem no caos, a ordenar as idei8s em
sequencias 16gicas, a encontrar principios fundamentais. Ou seja, era a mais
racional de todas as ciencias e tambem queremos destacar a influencia da
matematica oriental na cultura Grega. Os gregos, dado 0 comercio intensivo com
as principais cidades orientais, descobriram depressa que, apesar do grande
desenvolvimento da civiliza9ao oriental, eles tambem tinharn deixado por fazer a
maior parte da sistematizac;ao da ciencia matematica.
Oeste modo, a matematica grega, levada para nossos ambientes,
conservou muita das suas caracteristicas tradicionais. Mas como era de se
esperar ela tambem sofreu as influencias dessa grande civiliza9ao que tinha na
geometria e na astronomia as suas bases de desenvolvimento. Este contato
estreito entre a cultura grega e a cultura oriental foi extrema mente fertil,
especialmente durante os primeiros seculos para 0 desenvolvimento da ciencia
grega.
No entanto queremos destacar que boa parte do conhecimento matematico
foi sistematizado por Euclides e mais tarde aprofundado por Arquimedes.
Neste periodo surgiram os "cientistas profissionaisft ou melhor "os sofistas":
homens que se dedicavam a procura de conhecimento. E um dos representantes
deste grupo, fo; Arqu;medes Este grego nasceu em 287 a.C., na magna Grec;a,
onde hoje e a ilha de Sicilia, na Italia. Estudouem Alexandria e foi considerado urn
dos mais importantes mate maticos gre905 da antiguidade classic8. A prop6sito,
queremos enfatizar a importancia do trabalhos de Arquimedes, como tambem
ressaltar as qualidades desse grande pensador grego. E dentre as sua
descobertas destacamos:
as seus estudos sabre 0 equilibria de figuras planas;
• volume da esfera;
a medlda do circulo;
corpos flutuantes;
as con6ides e esfer6ides;
• e finalmente sobre a esfera e 0 cilindro ao qual daremes destaqu8.
Muitos dos importantes resultados em Geometria obtidos par Arquimedes,
fcram concebidos a partir da equivalencia ou equilibria de modelos fisicos. Assim
podemos supor que sle tenha visualizado urn disco como sendo composto de
circulos concentricos extrapolando 0 modele par cordees.
Nessa perspectiva de analise Arquimedes esticou cada um dos cord6es e
pode intuir e depois provar 0 resultado de que a area do circulo e equivalente a de
um trianguto retimgulo cujo cateto maior e iguat ao perimetro do disco e 0 cateto
menor igual ao seu raio.
Segundo Arquimedes, 0 metoda para calcular areas e volumes baseia-se
em imaginarmos uma dada figura a qual sera decomposta em partes menores que
num processo de aproximac;6es sucessivas totaliza a sua area.
Estas ideias de Arquimedes foram tao ferteis que influenciaram 0
desenvolvimento de grande parte da matematica ate os dias de hoje. Nessa
perspectiva de analise verificamos que esse processo de aproximac;6es
sucessivas permite estimar a area de uma figura qualquer por mais irregular que
seja.
Assim, para obtermos a area de um circulo, podemos tambem decomp6~lo
em partes
E fazendo uso do mesmo conceito podemos imaginar partes cada vez
menores que ao serem colocadas lado a lado por justaposiC;80, se aproximarao
cada vez mais da forma de urn ret~mgulo.
Intuimos assim que a area de um circuto e equivalente a area de um
retanguto que tem por base 0 comprimento do raio e por altura metade do
comprimento do circulo.
1"""111'II II ,,' .:, all lill '.1,
pl\l,"1111 I I i
I ~ii
11,11' 1'111 ''!;r'l ,'1'1'" '! I I I~ pi!! I
Observamos assim que esse resultado e equivalente aquele obtido por
Arquimedes.
E como decorrencia dessas observar;6es constatamos que a percepr;80 das
formas e os process os de medidas de objetos desenvolveram~se desde
civilizar;oes muito antigas. Isto se comprova atraves dos resultados
surpreendentes ja dominados pelos egipcios como 0 calculo do volume de uma
piramide e suas secy6es.
Esses resultados eram amplamente dominados pelos gregos que por um
processo de decomposir;ao concluiram que piramides de qualquer base tin ham
sempre 1/3 do volume do prisma correspondente.
Aproximando 0 cone sucessivamente por piramides tambem concluimos
que seu volume e 1/3 do cilindro correspondente. E por analogia Arquimedes - de
maneira semelhante ao que fizera nurn plano, partiu para a concep9ao de s61idos
e conclui que toda esfera tern quatro vezes 0 volume de urn cone. Ou seja,
ele conclui tarn bern que 0 cilindro cuja base e igual a urn cfrcuto maximo da esfera
cuja altura e igual ao diametro desta, tem volume uma vez e meia maior que a
esfera.
A figura mostra as tres s61idos - esfera, cone e cilindro - como se disp6es
entre si.
Assim, se conduzimos um corte vertical pela figura, passando pelo eixo
comum, e reproduzimos a figura da secyao teremos:
~I--I! .. ,tI :;""
," I ,/ ~.~r;' i "".! ' I~--- --------.-~ -- --
\ I T, ! I" 'If;:
<!-I-II
'"'------iC. I
----.I
I
. I'=1~'. . IL
---~rH
Vejamos como Arquimedes formalizou esse processo: Sejam ABeD um
circulo com diametros perpendiculares AC e BD; um tliangulo (retangulo em A)
isosceles, com base FG e altura AC; e EFGH um retangulo. Girando esta figura
em tome do eixo ee' obtemos: uma esfera, gerada pelo circulo ABeD; urn cone,
gerado pelo tliangulo AFG; e um cilindro, gerado pelo retangulo EFGH. Seja MN
uma reta do plano perpendicular a AC, cortando este segmento no ponto Q. Como
QP = AQ e a triangulo OAQ e retangulo e, como era de se esperar, teremos:
QP' + QO' = AQ' + QO' = AO' (Teorema de Pit"goras)
Provando a Igualdade pelas medidas dadas, temos:
(r)' 3r' _(r)' 3r' _ .'- +-- - +--12 4 2 4
,."+31'" r~+3r~ ~---=---=1'-
4 4
4,." 41':~=-=J'4 4
,.~ =,.1 =1
Par outro lado, 0 trianglilo OAC e retangulo em 0 e OQ e perpendicular a AC,
logo AO'!= AQ . AC. EtllaO,
AO' = AQ . AC ( rela,oes metricas, h' = m n)
Substituindo,
, 1'·21'1'-=--
2r~ = 1
No periodo do renascimento, dezenove seculos mais tarde, as matematicos
e tisicos italianos retomaram os estudos de Arquimedes. Inicia-se entao uma tase
de intensa atividade e cria980 original nas universidades italianas.
Um desses matematicos foi Cavalieri, professor da Universidade de
Bolonha, que se destacou no trabalho inspirado em Arquimedes. Esse principio econhecido como Principio de Cavalieri.
Esse principio parte da concepgao de que urna regiao plana e urna
justaposic;:ao de infinitos segmentos. Um movimento nesses segmentos produz
uma nova figura, mas a area permanece a mesma.
Segundo Cavalieri, esse principio afirma que as figuras que tem por
secc;:oes transversais segmentos de mesmo comprimento tem a mesma area.
Esse principio aplica-se tambem ao volume dos solidos, so que nao
falamos mais em comprimentos de segmentos, mas em areas iguais de secc;:oes
planas.
--
Esse metoda foi utilizado de maneira brilhante de forma intuitiva por
Arquimedes.
o trabalho de Arquimedes e portanto relacionar a esfera com 0 cilindro e
com 0 cone.
Necessitaremos da Lei das Alavancas: a alavanca esta em equilibrio se a
produto do peso A pela distfmcia a entre a fulcra e 0 ponto de suspensao de A for
igual ao produto do peso B e sua distimcia b do fulcro. Em simbolos:
A.iI ~ B.b
Arquimedes prefere escrever a condi<;.3o de equilibrio sob a seguinte forma:
A a
Jj b
Arquimedes percebeu que quando cortamos em um mesmo nivel as tres
s6lidos, obtemos tres fatias, au seja, tres secy6es:
E, segundo os argumentos de Arquimedes a fatia do cilindro sempre se
equilibrava com as fatias do cone e da esfera juntas.
eil.
Esta condi,ao de equilibrio e satisfeita por qualquer se,ao medida.
Arquimedes percebeu que as somas do volume da esfera e do cone e igual
ao volume do cilindro. E como 0 volume do cone e 1/3 do volume do cilindro
conclui·se que 0 volume da esfera s6 podera ser 2/3, 0 que equivale a dizer que a
propon;:ao dos tres volumes e de 3 para 2 para 1,
~~
=~+~
3 2 1
Sendo /Ie, Co e Ci os volumes da esfera, do cone e do cilindro, entao
temos:
Co+Ve(j
Ou seja:
Arquimedes ja sabia que Ci=3Co, substituindo este valor na equa9ao,
obtemos:
Ci = 2·(Co+Vc)
3.Co = 2.C'n + 2Ye
3.C'o - 2.Co =: 2Ve
Co=: 2Ve
Mas como CG = 2TD, segue-se que a volume e 8 vezes a volume do cone
oblido por rolal'ao do triangulo AFG islo e:
-'-iT [(21")' 21"3
8ff r'('0=--
3
on de reo raio da esfera.
De Co= 2Ve,temos:
8lT r~2Ve=:--
3
Ve=8lTr3
6
4lTr3Ve=:--
3
resultando a formula do volume da esfera.
CONCLUSAO
Analisando-se as livros didaticos atualmente disponiveis concluimos que de
uma forma geral ensinamos uma matematica perfeita, exata e infalivel, OU seja, as
teoremas, as f6rmulas, 0 raciocinio encadeado e as resultados apresentados sao
incontestaveis. Os conceitos matematicos, segundo estes manuais didaticos nos
sao apresentados como S8 eles sempre existissem e, num dado momento, como
que por encanto, as homens as descobrem.
Portanto, em nosso estudos procuramos mostrar que 0 conhecimento
mate matico possui uma histOlicidade.
E querendo dar conta desse processo de historiz8yaO apresentamos este
trabalho de Arquimedes como fundamento do pensamento mate matico daquele
momento hist6rica.
Apesar de poucos recursos mate maticos da epoca, Arquimedes desenvo!veu
um grande traba!ho. Ele deduziu formulas, que hoje nos parecem simples mas,
para aquele momenta eram complexas. Ele desenvolveu 0 seu trabalho
embasando-se nos estudos de Euclides sobre proporyoes.
As figuras apresentadas neste trabalho, aquelas em que os solidos sao
considerados como somas de sec;oes planas, e inaceitavel, como demonstrac;ao
para Arquimedes. No entanto hoje ja estamos familiarizados com tais processos.
Com isso temos a impressao que Arquimedes, para a epoca era destemido,
poderoso e muito engenhoso quando se defrontava com um problema diffcil. E
ratificando 0 argumento acima citado, assim dizia Arquimedes:
"Deem-me urn ponto de apoio e eu levantarei 0 mundo"
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