Artigo Lilian MR13

7/18/2019 Artigo Lilian MR13

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AJUDANDO A SUPERAR OBSTÁCULOS NA APRENDIZAGEM DE CÁLCULO

Lílian Nasser

IM/UFRJ e CETIQT/SENAI

[email protected]

Muias !e"es n#s$ %r&fess&res '& Ensin& Su%eri&r$ n&s es(ue)em&s (ue & alun& (ue

esam&s re)eben'& es* a)&suma'& a um &ur& i%& 'e r&ina es)&lar. N& Ensin& M+'i&$

em ,eral$ &s alun&s s-& a)&suma'&s a res&l!er me)ani)amene &s eer)í)i&s$ 'e)&ran'&

re,ras e ma)ees$ n-& sen'& esimula'&s a ra)i&)inar. N& iní)i& '& )urs& su%eri&r$ se

'e%aram )&m ei,n)ias (ue n-& es-& %r&n&s %ara enfrenar$ %&is n-& i!eram

&%&runi'a'e 'e 'esen!&l!er 0abili'a'es 'e ar,umena1-&.

A& l&n,& 'a n&ssa e%erin)ia n& ensin& 'e C*l)ul&$ &bser!am&s (ue$ al+m 'esse$ &ur&

&bs*)ul& %ara a a%ren'i"a,em + 'e)&rrene 'as 'ifi)ul'a'es '&s alun&s n& ra1a'& 'e

,r*fi)&s. Esse &bs*)ul& amb+m + 'e naure"a 'i'*i)a$ )&nse(2n)ia 'a ausn)ia 'e um

rabal0& %r+!i& )&m & ra1a'& e a an*lise 'e ,r*fi)&s n& ensin& b*si)&$ ,eran'& uma

inse,uran1a n&s %rimeir&s %erí&'&s '& )urs& su%eri&r. Nese rabal0& a%resenam&s

al,umas su,es3es %ara aju'ar &s alun&s a su%erarem esses &bs*)ul&s.

Palavras-chave: C*l)ul&$ ra1a'& 'e ,r*fi)&s$ 0abili'a'e 'e ar,umena1-&

Inr!"#$%!

4 &bjei!& 'ese rabal0& + i'enifi)ar &bs*)ul&s (ue %reju'i)am & 'esem%en0& '&s

alun&s n& )i)l& b*si)& '& )urs& su%eri&r$ e su,erir mei&s 'e su%er*5l&s. As 'ifi)ul'a'es

'&s alun&s 'as uni!ersi'a'es na a%ren'i"a,em 'e C*l)ul& 6iferen)ial e Ine,ral m si'&

f&)& 'e 'i!ersas %es(uisas na)i&nais e inerna)i&nais$ in!esi,an'& %rin)i%almene &

'&míni& '& )&n)ei& 'e 'eri!a'a e 'a rea an,ene a& ,r*fi)& 'e uma fun1-& 78al'in&$

9::;< =iral'&$ >??$ Tall$9::9.

N& enan&$ 0* %&u)&s rabal0&s enf&)an'& a a%ren'i"a,em '& ra1a'& 'e ,r*fi)&s 'e

fun13es )&m& reas$ %ar*b&las$ esferas$ %arab&l#i'es &u )&nes. Tamb+m n&am&s a

)arn)ia 'e %es(uisas s&bre & '&míni& 'a 0abili'a'e 'e ar,umena1-& %&r alun&s '&

ensin& su%eri&r. Em ,eral$ n-& se ei,e (ue &s alun&s jusifi(uem suas s&lu13es %ara as

arefas %r&%&sas$ &u a%resenem )&nje)uras )uja !ali'a'e 'e!em 'is)uir %&r mei& 'e

ar,umena1-& a'e(ua'a.

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4s sujei&s 'a am&sra s-& alun&s '& )i)l& b*si)& 'e um )urs& 'e En,en0aria In'usrial

Til$ %r&!enienes 'e 'i!ers&s esa'&s '& %aís (ue a%resenam muias 'ifi)ul'a'es$

an& n& ra& al,+bri)& (uan& na !isuali"a1-& es%a)ial. Tamb+m 'em&nsram n-& er

e%erin)ia )&m jusifi)ai!as &u ar,umena1-&.

N& ,ru%& 'e E'u)a1-& 'e Maem*i)a n& Ensin& Su%eri&r 7=T '& I$ II e III Semin*ri&

Inerna)i&nal 'e Bes(uisa em E'u)a1-& Maem*i)a 7SIBEM 0&u!e uma %re'&minn)ia

'e ari,&s 'e %es(uisa s&bre a a%ren'i"a,em 'e C*l)ul& 7Nasser$ >??D e >??< Cur$

>??D< Meer e I,li&ri$ >??D

4s ín'i)es 'e re%r&!a1-& nas 'is)i%linas 'e C*l)ul& s-&$ em ,eral$ mui& al&s$

%reju'i)an'& & ren'imen& '&s esu'anes e arasan'& seu )urs& uni!ersi*ri&. Re"en'e

7>??D e 8arufi 79::: es-& enre &s %es(uisa'&res brasileir&s (ue se %re&)u%am )&m &

bai& 'esem%en0& '&s alun&s em C*l)ul&$ mas iss& n-& + %rerr&,ai!a '&s uni!ersi*ri&s

brasileir&sG 0* uma %re&)u%a1-& mun'ial )&m & fra)ass& em C*l)ul&$ (ue 'eu &ri,em a&

m&!imen& )&n0e)i'& )&m& HCal)ulus ref&rm$ na '+)a'a 'e ? 7Re"en'e$ >??D.

As %es(uisas rela)i&na'as a& fra)ass& em C*l)ul& f&)am %rin)i%almene nas

'ifi)ul'a'es 'a )&m%reens-& 'as n&13es 'e fun1-& 7Kinner$ 9:D$ limie e 'eri!a'a

7=iral'&$ >??>< Tall$ 9::9< Leme e I,li&ri$ >??D$ n& '&míni& '& Te&rema Fun'amenal

'& C*l)ul& 7Kianna$ 9::$ &u na f&rma )&m& &s alun&s esu'am 7Fr&a$ >???.

4s fa&res (ue %r&!&)am 'ifi)ul'a'es 'e a%ren'i"a,em amb+m f&ram &bje& 'e

%es(uisas 'a es)&la fran)esa. 8a)0elar'$ %&r eem%l&$ a%&n&u &s &bs*)ul&s 'i'*i)&s

78r&usseau$ 9:D< Ari,ue$ 9::$ (ue %&'em ser 'e &ri,em &n&,ni)a$ 'e naure"a

'i'*i)a e 'e &r'em e%isem&l#,i)a 7I,li&ri$ >??>.

- as concepções que ocasionam obstáculos no ensino da matemática são

raramente espontâneas, mas advindas do ensino e das aprendizagens

anteriores;- os mecanismos produtores de obstáculos são também produtores de

conhecimentos novos e fatores de progresso;

- o obstáculo está relacionado a um n de resist!ncia mais ou menos forte

segundo os alunos, de acordo com o ensino recebido, pois o obstáculo

epistemolgico se desmembra freq"entemente em obstáculos de outras

origens, notadamente o didático#

$%lorian, apud &gliori, '((', p# ))(*

>



4bser!am&s (ue &s alun&s )0e,am Uni!ersi'a'e )&m muias 'ifi)ul'a'es$

%r&!enienes 'a fala 'e e%erin)ias %r+!ias$ an& )&m ra)i&)íni& l#,i)& (uan& )&m &

ra1a'& e an*lise 'e ,r*fi)&s. A)re'iam&s (ue esses &bs*)ul&s s-& 'e naure"a

'i'*i)a$ )&n)&r'an'& )&m a refle-& 'e =l&rian )ia'a aneri&rmene$ uma !e" (ue a

mai&r %are '&s sujei&s 'a n&ssa am&sra afirm&u er i'& mui& %&u)a &u nen0uma

e%erin)ia aneri&r nesse i%& 'e ai!i'a'e.

Ar&#'ena$%! e (r!vas

4 i%& 'e rabal0& 'esen!&l!i'& nas salas 'e aula e a &riena1-& '&s li!r&s 'i'*i)&s n-&

%r&%i)iam em ,eral & 'esen!&l!imen&$ n&s alun&s 'e ní!el fun'amenal e m+'i&$ 'a

)a%a)i'a'e 'e e%ressar e )&muni)ar i'+ias &u jusifi)ar %r&)e'imen&s e esra+,ias

usa'as na res&lu1-& 'e arefas. C&nse(2enemene$ eles n-& se familiari"am )&m &

ra)i&)íni& l#,i)&5'e'ui!& e$ em %ari)ular$ )&m as 'em&nsra13es.

+ prática freq"ente pelos alunos da argumentação, da ustificação das

prprias afirmações e da procura de uma eplicação em defesa das

conecturas que formulam, no decorrer das atividades de investigação,

constitui modos válidos para melhorar o seu discurso matemático e as

formas de eprimir os seus racioc.nios#

$/eloso, )001, p# 23(*

Na reali'a'e$ ,ran'e %are 'e n&ss&s alun&s n-& m essa %r*i)a. 4s alun&s raramene

!em 'em&nsra13es$ e am%&u)& se %e'e (ue eles jusifi(uem suas res%&sas$ &u a

!era)i'a'e 'e uma afirmai!a. Iss& a)&ne)e an& n& ensin& 'e ,e&meria$ )&m& n& 'e

*l,ebra. Em ,e&meria$ a%resenam5se a&s alun&s 'efini13es %r&nas$ (ue 'e!em ser

re%ei'as$ e f#rmulas %ara serem sim%lesmene a%li)a'as em %r&blemas esere&i%a'&s.

Nas aulas 'e *l,ebra$ & ensin& se '* )&m nfase n&s %r&)e'imen&sG mani%ula1-& 'e

e%ress3es al,+bri)as$ e res&lu1-& 'e e(ua13es$ a&s (uais &s alun&s n-& aribuem

si,nifi)a'& al,um.

A %arir '& lim& (uar& '& s+)ul& $ as %r&!as e 'em&nsra13es m si'& &bje& 'e

mui&s esu'&s e %es(uisas. Oanna 79::? ab&r'a rs as%e)&s 'a %r&!aG %r&!a f&rmal$

%r&!a a)ei*!el$ e & ensin& 'e %r&!a. Ela ar,umena (ue as 'em&nsra13es %&'em er

'iferenes ,raus 'e !ali'a'e f&rmal (ue$ 'e%en'en'& '& ní!el e 'a mauri'a'e '&s

alun&s$ %&'em er & mesm& ,rau 'e a)eia1-&. Se,un'& !an Oiele 79:P$ &s alun&s s#

ain,em & '&míni& '& %r&)ess& 'e'ui!& 7f&rmal n& (uar& ní!el$ mas iss& n-&

D



si,nifi)a (ue eles n-& s-& )a%a"es 'e 'ar jusifi)ai!as inf&rmais anes 'iss&.

Fre(2enemene$ uma jusifi)ai!a e%erimenal + mais si,nifi)ai!a '& (ue uma %r&!a

f&rmal. 4s esu'anes$ em ,eral$ n-& senem ne)essi'a'e 'e 'em&nsrarG eles

sim%lesmene a)eiam a !er'a'e 'e uma afirmai!a$ e n-& se %re&)u%am )&m a sua

,enerali'a'e 76e Killiers$ 9::9< Oers)0$ 9::D.

8ala)0eff 79:P 'isin,ue as %r&!as %ra,m*i)as 'as )&n)eiuais. Ele i'enifi)&u

&s se,uines i%&s 'e %r&!as %ra,m*i)asG em%irism& in,nu&$ e%erimen& )ru)ial$

eem%l& ,en+ri)&$ e e%erimen& %ensa'&. Numa in!esi,a1-& reali"a'a )&m )al&ur&s

'& )urs& 'e maem*i)a$ Re"en'e e Nasser 79:: i'enifi)aram &s se,uines i%&s 'e

ar,umena1-&G ra)i&)íni& in)&nsisene$ jusifi)ai!a em%íri)a$ e%li)a1-& ,r*fi)a$

refern)ia a uma au&ri'a'e$ jusifi)ai!a a)ei*!el e %r&!a f&rmal. Esses resula'&s

su,erem (ue$ 'e%en'en'& 'a e%erin)ia e 'a mauri'a'e '&s alun&s$ &s %r&fess&res

'e!em )&nsi'erar as jusifi)ai!as inf&rmais %ess&ais )&m& es*,i&s n&

'esen!&l!imen& '& '&míni& 'as %r&!as f&rmais.

A 'em&nsra1-& assume !*ri&s %a%+is na maem*i)a 7Oanna e Ja0ne$ 9::.

Al,uns 'esses %a%+is s-& mais rele!anes a%ren'i"a,em 'essa 'is)i%linaG !erifi)a1-&

7em rela1-& !era)i'a'e 'e uma afirmai!a$ e%li)a1-& 7)larean'& %&r(ue a afirmai!a

+ !er'a'eira$ sisemai"a1-&$ 'es)&bera e )&muni)a1-&. Enrean&$

4o dom.nio educacional, é natural ver a prova primeiro e sempre

como eplicação, e, em conseq"!ncia, valorizar as provas que

melhor audam a eplicar#

$5anna e 6ahn7e, )003, p# 0(2*

Sen 79:; in!esi,&u & 'esem%en0& '&s alun&s na reali"a1-& 'e 'em&nsra13es em

,e&meria$ e en)&nr&u uma )&rrela1-& %&sii!a )&m &s ní!eis 'e !an Oiele al)an1a'&s.

Ela su,eriu %ers%e)i!as %ara & 'esen!&l!imen& 'e 0abili'a'es em 'em&nsra13es$

afirman'& ser ne)ess*ri& i'enifi)ar %r+5re(uisi&s )&,nii!&s e afei!&s %ara & '&míni&

'e 'em&nsra13es.

=&'in& e Re)i& 79::P analisaram as )ara)erísi)as '& si,nifi)a'& 'e %r&!a em

'iferenes )&ne&s insiu)i&nais$ )&n)luin'& (ueG

8 necessário de algum modo articular os diferentes significados de

prova, nos diferentes n.veis de ensino, desenvolvendo, assim,

progressivamente entre os estudantes, o conhecimento, capacidadediscriminativa e racionalidade necessários para aplicá-los em cada



caso# 9s esquemas de prova informal não podem simplesmente ser

considerados incorretos, erros ou defici!ncias, mas sim como

estágios no alcance e dom.nio das práticas argumentativas em

matemática# $%odino e :ecio, )00, p# <1*

Tra$a"! "e &r)*+c!s

6e a)&r'& )&m Sier%insa 79::>$ & )&n)ei& 'e ,r*fi)& + 'ifí)il. Al,uns alun&s n-&

)&nse,uem a)eiar um ,r*fi)& bi5'imensi&nal )&m& re%resena1-& %ara uma rela1-&

fun)i&nal$ mas %referem uma re%resena1-& (ue a%resene Hu'& n& mesm& ei&. Ela

afirma (ue & ,r*fi)& + uma re%resena1-& es*i)a (ue es)&n'e &'& & 'inamism& 'as

fun13esG

9 gráfico não mostra diretamente como e quando um determinado

ponto foi representado# 9 ponto e sua imagem são representados em

eios independentes###### 4ão é como as representações de simetrias

ou homotetias, onde se pode ver como um ponto está sendo

transformado# +o contrário, no gráfico de uma função, um =nico

ponto $ , >* é um s.mbolo que contém em si mesmo o argumento, o

valor e a lei de associação# $p# ?'*

8arufi e Laur& 7>??9 a%resenam uma ab&r'a,em '& esu'& '& ,r*fi)& 'e fun13es$

e(ua13es e ine(ua13es uili"an'& & )&m%ua'&r$ e &bser!am (ueG

+ leitura e a interpretação de um gráfico torna-se fundamental, pois

possibilita a compreensão do problema ou da questão tratada# +

problematização realizada a partir dos gráficos obtidos no

microcomputador é muito importante, pois possibilita ao aprendiz

buscar respostas aos questionamentos formulados# $p# 1*

Descr+$%! "a (es,#+sa

4s sujei&s 'a %es(uisa s-& alun&s '& )i)l& b*si)& 'e um )urs& 'e en,en0aria in'usrial

il$ %r&!enienes 'e !*ri&s esa'&s '& 8rasil. A 'i!ersi'a'e 'e e%erin)ias %r+!ias

em maem*i)a fi)a e!i'ene nas 'ifi)ul'a'es a%resena'as %&r esses alun&s$ 'es'e &

%rimeir& %erí&'& na uni!ersi'a'e$ %rin)i%almene n& )*l)ul& al,+bri)& e nas &%era13es

)&m fra13es$ nmer&s 'e)imais e ra'i)ais. As 'efi)in)ias em ,e&meria e na

;



!isuali"a1-& es%a)ial amb+m es-& %resenes$ mas & (ue mais im%ressi&na + a

'ifi)ul'a'e 'e ra)i&)íni& e a ausn)ia 'e jusifi)ai!as %ara as res%&sas a%resena'as.

Bare)e (ue &s alun&s )0e,am Uni!ersi'a'e )&m %re,ui1a 'e ra)i&)inar e (ue f&ram

a)&suma'&s a%enas a a%li)ar al,&rim&s$ %r&)e'imen&s e f#rmulas 'e)&ra'as$ sem

saber bem & (ue es-& fa"en'& e %&r(ue a'&am 'eermina'& %r&)e'imen&.

Um eem%l& (ue m&sra essa 'ifi)ul'a'e a)&ne)eu numa aula 'e Maem*i)a 8*si)a$

'is)i%lina 'e a%&i& a&s alun&s '& 9 %erí&'& '& )urs& 'e En,en0aria. A ai!i'a'e era a

se,uineG

I'enifi(ue e re%resene ,rafi)amene & )&njun& 'efini'& %&rG

( ){ }?<$ >

≤⋅ℜ∈= > - > - @

Nen0um alun& f&i )a%a" se(uer 'e esb&1ar uma enai!a 'e i'enifi)ar &s %&n&s '&

%lan& )uj& %r&'u& 'as )&&r'ena'as + ne,ai!&. N-& %ensaram em ass&)iar essa

%r&%rie'a'e a&s (ua'ranes '& %lan&. Se & %r&'u& 'as )&&r'ena'as 'e um %&n& +

ne,ai!&$ esas m sinais )&nr*ri&s e$ %&ran&$ esse %&n& 'e!e %eren)er a& > &u a&

(ua'ranes.

C&m& & %r&'u& 'as )&&r'ena'as amb+m %&'e ser

nul&$ & )&njun& 6 )&n+m amb+m &s ei&s )aresian&s.

A re%resena1-& ,r*fi)a + a%resena'a na fi,ura a& la'&.

4ur& eem%l& a)&ne)eu mais re)enemene$ na 'is)i%lina 'e C*l)ul& II$ numa

ai!i'a'e 'e res&lu1-& 'e e(ua13es 'iferen)iaisG

En)&nre a f&rma ,eral 'e uma fun1-& )uja 'eri!a'a + & ri%l& '&

(u&)iene enre a fun1-& e sua !ari*!el.

N&!amene$ &s alun&s i!eram 'ifi)ul'a'es$ e n-& )&nse,uiram e%ressar a e(ua1-&

'iferen)ial (ue 'e!eriam res&l!er. Ceramene$ se f&sse 'a'a a e(ua1-& -

>

d-

d>D= $

eles saberiam se%arar as !ari*!eis e res&l!er a e(ua1-&$ en)&nran'& a s&lu1-&

DA7 -7 - > = .



B&ran&$ & %er,una (ue se )&l&)a +G C&m& aju'ar &s alun&s a rans%&r essas

'ifi)ul'a'es$ 'e ra)i&)íni& e 'e ra1a'& 'e ,r*fi)&s

Esra&+as "e ens+n!

K*rias a13es f&ram em%reen'i'as nesse )urs& 'es'e sua )ria1-&$ em 9::$ na enai!a

'e sanar essas 'ifi)ul'a'es$ sem mui& resula'&G aulas 'e a%&i&$ rabal0& era5)lasse$

rabal0&s em ,ru%&$ ai!i'a'es n& lab&ra#ri& 'e )&m%ua1-&. N& m&men& esam&s

'esen!&l!en'& um )urs& &n5line em (ue$ 'e%en'en'& 'as res%&sas 'a'as a um %r+5

ese$ &s alun&s s-& a)&nsel0a'&s a %er)&rrer lins (ue e%l&ram$ numa m&'ali'a'e 'e

ensin& semi5%resen)ial$ &s )&ne'&s (ue %re)isam ser re!is&s$ )&m eer)í)i&s 'e

'ifi)ul'a'e )res)ene e 'esafi&s ineressanes. Esse )urs& esar* 'is%&ní!el a %arir '& >

semesre 'e >??P$ e 'e!e ser f&)& 'e fuur&s esu'&s.

Aualmene$ &s alun&s 'e en,en0aria m D %erí&'&s 'e C*l)ul& 6iferen)ial e Ine,ral$

)&m ? aulas semanais$ sen'& (ue n&s '&is %rimeir&s 0* mais ?> aulas semanais 'e

a%&i&$ 'a'as %el& %r#%ri& %r&fess&r 'a urma$ iniula'as HC&m%lemen&s 'e C*l)ul&.

C&m& se raa 'e uma insiui1-& relai!amene n&!a$ )&m %&u)&s )urs&s e alun&s$ em

,eral n-& 0* a fi,ura '& Hm&ni&r$ (ue %&ssa 'ar a%&i& a&s alun&s f&ra '&s 0&r*ri&s 'e

aula.

4bser!am&s (ue & ra1a'& 'e ,r*fi)&s )&nsiuía um &bs*)ul& %ara & %r&,ress& 'esses

alun&s na a%ren'i"a,em 'e )*l)ul&. 6e a)&r'& )&m &s %es(uisa'&res )ia'&s

aneri&rmene$ esse &bs*)ul& + 'e naure"a 'i'*i)a$ )&nse(2n)ia 'a ausn)ia 'e um

rabal0& %r+!i& )&m & ra1a'& e a an*lise 'e ,r*fi)&s n& ensin& m+'i&$ ,eran'& uma

inse,uran1a n&s %rimeir&s %erí&'&s '& )urs& su%eri&r. Tamb+m &bser!am&s (ue &s

alun&s n-& %r&)ura!am ra)i&)inar s&bre ,r*fi)&s b*si)&s '& mesm& i%&. B&r eem%l&$

se a fun1-& + '& 9 ,rau$ seu ,r*fi)& 'e!e ser uma rea e se a !ari*!el a%are)e ele!a'a a&

(ua'ra'&$ & ,r*fi)& 'e!e ser uma %ar*b&la.

P



B&ran&$ %ara (ue esses alun&s su%erassem esse &bs*)ul&$ f&i %re)is& 'efinir esra+,ias

'e ensin& a%r&%ria'as. Mara 8il&i5Alia,a 7s/' a'&a uma esra+,ia es%e)ial a&

ensinar ,r*fi)&s %ara min&rias n&s Esa'&s Uni'&s$ usan'& mími)as )&r%&rais (ue

in'i)am & %erfil '& ,r*fi)&. 8aruffi e Laur& 7>??9 e%l&ram as ransf&rma13es n&s

,r*fi)&s$ num ambiene )&m%ua)i&nal$ usan'& &s s&fares =ra%0mai)a e in%l& %ara

& ra1a'& 'e ,r*fi)&s 'e fun13es.

N&ssa ab&r'a,em se,ue essas )ara)erísi)as$ em (ue &s alun&s )0e,am a& ,r*fi)&

%reen'i'& %&r mei& 'e ransf&rma13es n&s ,r*fi)&s b*si)&s$ (ue l0es s-& familiares.

Tamb+m usam&s mími)as )&m as m-&s %ara ressalar a )ur!aura 'e %ar*b&las e 'e

su%erfí)ies )&m& &s %arab&l#i'es e )&nes. Assim$ usan'& ra)i&)íni& l#,i)& e

ransf&rma13es$ &s alun&s )&nse,uem esb&1ar e i'enifi)ar &s ,r*fi)&s 'as fun13es 'e

uma &u 'uas !ari*!eis 7Nasser$ >??.

Bara & ra1a'& 'e reas e %ar*b&las$ & %&n& 'e %ari'a s-& &s ,r*fi)&s 'a rea > A e 'a

%ar*b&la > A '$ res%e)i!amene. A %arir 'esses ,r*fi)&s$ &s alun&s s-& in)eni!a'&s a

a%li)ar ransf&rma13es %ara &ber &uras reas e %ar*b&las.

Bara & )as& 'as reas$ usam ransla1-&$ 0&m&eia &u a )&m%&si1-& 'e ransf&rma13es$

)&m&$ %&r eem%l&$ n& ra1a'& 'a rea V > WD. A Fi,ura 9 eibe as ransf&rma13es

a%li)a'as rea V 7em !ermel0& %ara &ber a rea V > W D 7em !er'eG uma

0&m&eia$ &ben'& a rea V > 7em a"ul$ se,ui'a 'e uma ransla1-&.

.

F

Fi,. 9G Transf&rma13es a%li)a'as rea V %ara &ber a rea V > W D.



N& ra1a'& 'e %ar*b&las$ as ransf&rma13es usa'as s-& as ransla13es !eri)ais 7%&r e.G

V > W 9 &u 0&ri"&nais 7%. e.G V 7 5 9> $ as refle3es 7%. e.G V 5 > $ as

0&m&eias 7%. e.G V > > &u a )&m%&si1-& 'essas ransf&rma13es.

A Fi,ura > a se,uir m&sra as ransf&rma13es a%li)a'as %ar*b&la V > 7em !ermel0&

%ara &ber a %ar*b&la V 5 >> W D 7em !er'eG uma 0&m&eia$ &ben'& a %ar*b&la V

>> 7em a"ul$ uma refle-&$ &ben'& a %ar*b&la V 5> > 7em r&&$ se,ui'as 'e uma

ransla1-& !eri)al.

.

F

N& )as& 'as fun13es (ua'r*i)as re%resena'as %&r um %&linXmi& )&m%le& '& > ,rau

)&m&$ %&r eem%l&$ > A ' B < C 2$ + %re)is& )&m%lear & (ua'ra'& %ara i'enifi)ar as

ransf&rma13es (ue 'e!em ser a%li)a'as a %arir 'a %ar*b&la V >. Nese )as&$ al,uns

alun&s a%resenaram 'ifi)ul'a'es em )&m%lear & (ua'ra'&$ %referin'& a)0ar as raí"es

'a fun1-& e as )&&r'ena'as '& !+ri)e. Esa + mais uma e!i'n)ia 'a %re,ui1a '&s alun&s

em usar & ra)i&)íni& menal$ %referin'& res&l!er a e(ua1-& '& > ,rau %ela f#rmula. Kale

&bser!ar (ue (uan'& as raí"es s-& )&m%leas$ ese %r&)ess& fi)a %reju'i)a'& %el& fa& 'e

a %ar*b&la n-& iner)e%ar & ei& 0&ri"&nal.

Essa esra+,ia amb+m em si'& usa'a em C*l)ul& III$ in)eni!an'& &s alun&s a usar as

ransf&rma13es %ara & ra1a'& 'e )ur!as$ %lan&s$ )ilin'r&s$ %arab&l#i'es$ )&nes e esferas

n& es%a1& ri'imensi&nal.

:

Fi,. >G Transf&rma13es a%li)a'as %ar*b&la V > %ara &ber a %ar*b&la V 5>> W D.



C!'en)r+!s *+na+s

4bser!am&s (ue )&m essa esra+,ia$ em C*l)ul& II$ &s alun&s )&me1aram a senir

se,uran1a %ara ra1ar ,r*fi)&s 'e %ar*b&las e reas.

Em C*l)ul& III$ &'&s &s alun&s ini)ialmene a%resenam 'efi)in)ias em !isuali"a1-&

es%a)ial. As 'ifi)ul'a'es !-& 'es'e reas e %lan&s n& IR D$ a)enuan'&5se n& ra1a'& 'e

)ur!as e su%erfí)ies n& es%a1& ri'imensi&nal.

C&m esa esra+,ia 'e a%li)ar ransf&rma13es a %arir 'e ,r*fi)&s b*si)&s$ &s alun&s

i'enifi)am su%erfí)ies 'e %arab&l#i'es e )&nes )&m mais fa)ili'a'e$ e )&nse,uem ra1ar

seus ,r*fi)&s.

N& enan&$ esse %r&,ress& n-& f&i -& e!i'ene %ara su%erfí)ies fe)0a'as )&m& a esfera

e & eli%s#i'e$ em (ue a su%erfí)ie + 'efini'a im%li)iamene %&r uma e(ua1-&. B&r

eem%l&$ %ara 'ar a e(ua1-& )aresiana 'e uma esfera )&m )enr& n& %&n& 7?$?$9 e rai&

9$ um alun& en&u a%li)ar uma ransla1-& !eri)al es)re!en'& 9>>>++= > - z . Tamb+m

a%are)eram 'ifi)ul'a'es em 'ar a e(ua1-& 'e um )ilin'r& 'e rai& 9$ en'& a rea V 9

)&m& ei&G D alun&s )&l&)aram 9>>=+ z - $ e &ur&s D )&l&)aram @

>>=+ z - $ %&is

%er)eberam (ue & %&n& 7?$?$> %eren)ia su%erfí)ie '& )ilin'r&.

B&'em&s en-& )&n)luir (ue a esra+,ia 'e ensin& a'&a'a f&i efi)iene n& esímul& '&

ra)i&)íni& e n& ra1a'& 'e ,r*fi)&s 'e %ar*b&las e reas n& IR >$ e 'e su%erfí)ies 'efini'as

e%li)iamene %&r uma fun1-& real 'e > !ari*!eis. N& enan&$ n-& f&i -& efi)a" n& (ue

se refere a su%erfí)ies 'efini'as im%li)iamene %&r uma e(ua1-&.

Muias (ues3es %e'in'& jusifi)ai!as m si'& esa'as %el&s %r&fess&res en!&l!i'&s

em n&ssa %es(uisa$ e al,umas esra+,ias %ara a%rim&rar a 0abili'a'e 'e ar,umena1-&

f&ram a'&a'as n&s 'i!ers&s ní!eis 'e ensin& 7Nasser e Tin&)&$ 9:::$ )&m&G rabal0&

em 'u%las %ara )&nsruir uma s&lu1-& 7)&m jusifi)ai!a %ara %r&blemas %re!iamene

'is)ui'&s em aula$ a!alia1-& 'e jusifi)ai!as a%resena'as %&r &ur&s alun&s$ ai!i'a'es

'e i'enifi)a1-& 'a 0i%#ese e 'a ese 'e uma afirmai!a$ res&lu1-& 'e %r&blemas

'esafi& (ue re(uerem ra)i&)íni& l#,i)& em &'as as aulas. C&m essas esra+,ias +

%&ssí!el )&nse,uir ,ran'es %r&,ress&s na 0abili'a'e 'e ar,umena1-&$ emb&ra &

9?



resula'& n-& seja ime'ia&G + %re)is& um em%& %ara !en)er a resisn)ia '&s alun&s e

al)an1ar & su)ess& nessa arefa.

Re*er.nc+as:

ARTI=UE$ M. E%isem&l&,ie e 'i'a)i(ue. Cah+er "e D+"+re'$ n.D. Baris$ 9::.

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Bimm 7E'.G Mahe'a+cs/ Teachers an" Ch+l"ren$ >95>D;. L&n'resG O&''er Z

S&u,0&n$ 9:P.

8AL6IN4$ R. C*l)ul& InfiniesimalG %assa'& &u fuur& Te'as e De0aes$ An& KIII$

n.G 4 Ensin& 'e C*l)ul&$ %.;5>9$ S8EM$ 9::;.

8ARUFI$ M.C.8. <LAUR4$ M. M. Fun13es elemenares$ e(ua13es e ine(ua13esG uma

ab&r'a,em uili"an'& mi)r&)&m%ua'&r. CAEM$ IME/USB$ >??9.

8IL4TTI5ALIA=A$ M.G C&m& eu ensin& Maem*i)a %ara min&rias na Uni!ersi'a'e 'e

Mi)0i,an$ [s/'\.

8R4USSEAU$ =. Les &bsa)les e%isem&l&,i(ues e les %r&bl+mes en ma0+mai(ues.

Recherches en D+"ac+,#e "es Mah'a+,#es$ !.$ n.>$ %.9;59:$ 9:D

CUR]$ O.N. An*lise 'e err&s e an*lise 'e )&ne'&G subsí'i&s %ara uma %r&%&sa

me&'&l#,i)a. L+vr! "e res#'!s "! II SIPEM$ %.>$ S8EM$ >??D.

6E KILLIERS$ M.6.G Bu%ilsY nee's f&r )&n!i)i&n an' e%lanai&n i0in 0e )&ne &f

,e&mer. Aas "! PME-12/ !&l. 9$ >;;5>>$ Assissi$ I*lia$ 9::9.

=IRAL64$ K. 6es)ri13es e )&nfli&s )&m%ua)i&naisG & )as& 'a 'eri!a'a. Tese 'e

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99



=IRAL64$ K.< CARKALO4$ L.M. L&)al ma,nifi)ai&n an' 0e&rei)al5)&m%uai&nal

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=46IN4$ J.6. AN6 RECI4$ A.M.G Meanin, &f %r&&fs in Ma0emai)s E'u)ai&n. Aas

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OANNA$ =< JAONÊ$ O.G Br&&f an' %r&!in,. EmG Inerna+!nal 5an"0!!6 !*

Mahe'a+cs E"#ca+!n$ PP5:?$ 9::.

OERSCO$ R.G Br&!in, is )&n!in)in, an' e%lainin,. E"#ca+!nal S#"+es +n

Mahe'a+cs/ >7$ D:5D::$ 9::D.

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ME]ER$ C.< I=LI4RI$ S. Um esu'& s&bre a iner%rea1-& ,e&m+ri)a '& )&n)ei& 'e

'eri!a'a %&r esu'anes uni!ersi*ri&s. L+vr! "e res#'!s "! II SIPEM$ %.?$ S8EM$

>??D.

NASSER$ L. E'u)a1-& Maem*i)a n& Ensin& Su%eri&rG uma *rea 'e %es(uisa em

as)ens-&. L+vr! "e res#'!s "! II SIPEM$ %.;P5;:$ S8EM$ >??D.

NASSER$ L.G A%rim&ran'& & 'esem%en0& 'e alun&s 'e C*l)ul& n& ra1a'& 'e ,r*fi)&s.

Aas "! III SIPEM 7em C6. S8EM$ >??.

NASSER$ L. e TIN4C4$ LG 6esen!&l!en'& a 0abili'a'e 'e ar,umena1-&. Aas "! I

S+'(7s+! "e 5+s7r+a e Tecn!l!&+a "a E"#ca$%! Mae')+ca 7IOTEM$ UERJ$ >??.

RE_EN6E$ .M. 4 ensin& 'e C*l)ul&G 'ifi)ul'a'es 'e naure"a e%isem&l#,i)a. In

MACOA64$ N.< CUNOA$ M.7&r, Lin,ua,em$ C&n0e)imen&$ A1-& ` ensai&s 'e

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9>



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Oarel$=.7e'. T0e C&n)e% &f Fun)i&nG as%e)s &f E%isem&l&, an' Be'a,&,$ MAA

N!es$ %. >;5;$ 9::>.

TALL$ 6. 7E'.G A'!an)e' Ma0emai)al T0inin,. >:%.$ ^luer$ 9::9.

KAN OIELE. B.G Sru)ure an' Insi,0. 4rlan'&$ FLG A)a'emis Bress$ 9:P.

KEL4S4$ E.G F&rmali"a1-&# EmG %eometria B Demas +ctuais# Insiu& 'e In&!a1-&

E'u)a)i&nal$ Lisb&a$ B&ru,al$ 9::.

KIANNA$ C.S.G Su'ensY Un'ersan'in, &f 0e Fun'amenal T0e&rem &f Cal)ulusG an

e%l&rai&n &f 'efinii&ns$ 0e&rems an' !isual ima,er$ Tese 'e '&u&ra'& a%resena'a

Uni!ersi'a'e 'e L&n'res. 9::.

9D

Documents

Artigo Lilian MR13