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DANIELE APARECIDA COSTA CUNHA
AS APOSTILAS DE CONCURSO PÚBLICO E OS CONTEÚDOS MATEMÁTICOS: UMA ANÁLISE
Assis2010
DANIELE APARECIDA COSTA CUNHA
AS APOSTILAS DE CONCURSO PÚBLICO E OS CONTEÚDOS MATEMÁTICOS: UMA ANÁLISE
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis, como requisito do curso de Licenciatura em Matemática
Orientadora: Profa. Ms. Leonor Farcic Fic MenkÁrea de concentração: Ciências Exatas e da Terra
Assis2010
FICHA CATALOGRÁFICA
CUNHA, Daniele Aparecida CostaAs apostilas de concurso público e os conteúdos matemáticos: uma
análise / Daniele Aparecida Costa Cunha. Instituto Municipal de Ensino Superior de Assis (IMESA) – Assis, 2010.
30 p.
Orientadora: Leonor Farcic Fic MenkTrabalho de Conclusão de Curso – Instituto Municipal de Ensino Superior de
Assis
1. Apostilas de Concurso Público. 2.Conteúdos Matemáticos.
CDD: 510 Biblioteca da FEMA
APOSTILAS DE CONCURSO PÚBLICO E OS CONTEÚDOS MATEMÁTICOS: UMA ANÁLISE
Daniele Aparecida Costa Cunha
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
ao Instituto Municipal de Ensino Superior de
Assis, como requisito do Curso de
Licenciatura em Matemática, analisado pela
seguinte comissão examinadora:
Orientadora: Profa. Ms. Leonor Farcic Fic Menk
Analisador : Prof. Esp. José Carlos Cavassini
Assis
2010
AGRADECIMENTOS
Agradeço primeiramente a Deus por me sustentar nas dificuldades
enfrentadas.
A professora Leonor Farcic Fic Menk pela orientação, estímulo e suporte
nesse ano. Por ter aceitado a idéia deste trabalho e se empenhado tanto
nesta tarefa, que agora está concluída.
Ao professor José Carlos Cavassini por ter aceitado fazer parte da
banca examinadora deste trabalho.
Ao meu noivo Willen Ribeiro do Prado, por todo o apoio oferecido
durante a minha graduação.
Aos meus pais Manoel A. da Cunha Neto e Benedita de F. C. Cunha,
minha irmã Solange Ap. Costa Cunha e amigos que colaboraram direta
ou indiretamente na execução deste trabalho.
RESUMO
A proposta deste trabalho é a de analisar e comparar os conteúdos matemáticos
apresentados em duas apostilas destinadas ao concurso público para o cargo de
“Atendente Comercial” da Empresa Brasileira de Correios e Telégrafos; com o
objetivo de verificar se as mesmas atendem aos requisitos básicos para o bom
desempenho do candidato que as utilizem. Com este intuito, investigamos se
estas apostilas estão de acordo com o conteúdo apresentado nos editais, o
conteúdo é apresentado de maneira adequada ou apresenta erros conceituais
e/ou de digitação e a seqüência de conteúdos respeita as condições de pré-
requisitos. No decorrer da pesquisa foi possível observar que esses itens foram
parcialmente comprovados.
Palavras-chave: Apostilas de Concurso Público, Conteúdos Matemáticos.
ABSTRACT
The purpose of this study is to analyze and compare the mathematical contents
presented in two booklets for the public contest to the post of “Commercial
Attendant” from the Brazilian Post and Telegraph Company; in order to verify if
they have the basic requirements to the good development of the candidate who
uses them. To this end, we investigated if these booklets are in accordance with
the presented contents; the content is presented in an adequate way or has
conceptual and/or typing mistakes and the contents sequence respects the
prerequisites conditions. During the research it was possible to observe that these
items were partially proved.
Key words: Public Contests Booklets, Mathematical Contents
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ......................................................................................9
CAPITULO 1 - REVISÃO DA LITERATURA ........................................12
CAPITULO 2 - DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA.........................15
2.1 ESCOLHA E CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DAS APOSTILAS................15
2.1.1 Apostila 1 .......................................................................................................17
2.1.2 Apostila 2 .......................................................................................................23
CAPITULO 3 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ..........................................27
3.1 COMPARANDO AS APOSTILAS.............................................................28
3.2 FINALIZANDO O TEXTO....................................................................................29
3.3 SUGESTÃO DE NOVOS TRABALHOS..............................................................29
REFERÊNCIAS .....................................................................................30
9
INTRODUÇÃO
Na realidade atual, sabemos que cada vez mais, as pessoas têm procurado a sua
inserção no mercado de trabalho por meio de concursos públicos. Exemplos dessa
afirmação são facilmente obtidos em sites de busca e/ ou em notícias divulgadas por
meio da imprensa escrita e televisiva, tais como as publicadas no site de “O Globo”
em 30/03/2010, citando a relação candidato/ vagas dos concursos mais concorridos
em 2010 que reproduzimos, parcialmente, abaixo:
- Banco Central – cargo: “Analistas” (nível superior), 157,86 candidatos/vaga;
“Técnicos da Área 1”, 1.900 candidatos/vaga e “Técnicos da área 2”, 615,70
candidatos/vaga.
- Petrobras 1 - vagas oferecidas: nível médio e superior, 301 candidatos/vaga.
- Petrobras 2 - formação de cadastro de reserva para funções de nível médio e
superior em todo o país, 176,47 candidatos/vaga.
- Advocacia Geral da União - vagas para “Bacharéis em Direito”, 217,27
candidatos/vaga
- Correios - vagas oferecidas: nível médio e superior, 162 candidatos/vaga
- Superintendência de Seguros Privados (Susep)- cargo: “Analista Técnico (nível
superior), 111,67 candidatos/vaga.
- Ministério do Trabalho - 233,68 candidatos/vaga. (não especifica os cargos)
- Ministério do Planejamento, Orçamento e Gestão- cargo: “Analista de
Planejamento e Orçamento” (nível superior), 121,25 candidatos/vaga; “Analista de
Tecnologia da Informação”, 65,63 candidatos/vaga.
- Instituto Nacional do Câncer (Inca) - vagas oferecidas: nível médio e superior, e
formação de cadastro, 142,95 candidatos/vaga
- Secretaria de Fazenda do Estado do Rio de Janeiro (Sefaz/RJ)- cargo: “Fiscal
de Renda do Estado”, 52,21 candidatos por vaga.
10
Como podemos observar mesmo os concursos que se propõem apenas a formalizar
um cadastro de reserva, têm atraído a atenção das pessoas. E isso, já vem
ocorrendo há algum tempo.
De acordo com o site www.concursosolucao.com.br, no concurso público referente
ao cadastro de reserva da Caixa Econômica Federal, realizado em 2008, mais de
767 mil pessoas se inscreveram para o cargo de Técnico Bancário,
Não podemos ignorar também o fato, de que, cada vez que um desses concursos é
aberto, surgem várias ofertas de cursos preparatórios e material apostilado que
prometem ser elaborados para atender as exigências dos mesmos.
No entanto, podemos levantar algumas questões:
• Essas apostilas estão de acordo com o conteúdo apresentado nos
editais?
• O conteúdo é apresentado de maneira adequada ou apresenta erros
conceituais e/ou de “digitação”?
• A seqüência de conteúdos respeita as condições de pré-requisitos?
Considerando os fins para os quais essas apostilas se destinam, é possível supor
que as mesmas devam estar de acordo com o que se pede nos editais; apresentem
os conteúdos de forma adequada e precisa, sem erros conceituais e/ou de digitação
e que a seqüência didática respeite as condições de pré-requisitos. No entanto, não
podemos ignorar a possibilidade de que nem todos os itens sejam totalmente
contemplados
Numa busca preliminar, que pudesse fornecer condições para avaliar esse material
não encontramos nenhum texto e/ou artigo que apresentasse análises e/ou
comentário a esse respeito.
Neste contexto, definimos a nossa proposta de pesquisa: analisar os conteúdos
matemáticos apresentados nas apostilas destinadas a preparação de candidatos a
cargos públicos, principalmente no que se refere à fidelidade do conteúdo descrito
no edital; precisão de conceitos e à adequação da forma de apresentação dos
mesmos, frente aos resultados esperados, ou seja, um bom desempenho nas
provas.
11
Objetivando delimitar nossa pesquisa, escolhemos um concurso específico:
“Atendente Comercial” da Empresa Brasileira de Correios e Telégrafos e duas das
mais utilizadas apostilas para esse fim, objetivando analisar cada uma delas e
também efetuar uma comparação entre as mesmas
Para a realização dessas análises, buscamos na literatura, textos e/ou artigos que
apresentavam parâmetros de avaliação de livros didáticos, que continham os
conteúdos exigidos no concurso.
No sentido de apresentar esse trabalho, o presente texto está dividido em três
capítulos, além da introdução. No primeiro capítulo são apresentadas e comentadas
as leituras feitas, no segundo, o desenvolvimento da pesquisa e no terceiro, as
considerações finais.
12
CAPÍTULO 1 - REVISÃO DA LITERATURA
Dentre o material pesquisado, não foi encontrado nenhum trabalho referente à
análise de apostilas para concurso público, mas sim, a análise de livros didáticos
destinados a alunos do ensino regular.
Consultando o site do Ministério da Educação http://portal.mec.gov.br, mais
especificamente no link: Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), encontramos
informações que nos permite afirmar que a preocupação com a qualidade dos
mesmos não é algo recente.
De acordo com a fonte citada, a avaliação dos livros didáticos existe desde 1929,
quando foi criado um programa para distribuí-los aos alunos da rede pública de
ensino brasileira.
Dessa data até hoje, o programa sofreu várias alterações tanto no formato como em
seu nome. Basicamente o programa prioriza o ensino fundamental público.
A partir de 1997, já com o nome atual (PNLD), o Ministério de Educação e Cultura
(MEC), em parceria com universidades, tais como: Universidade de São Paulo
(USP), Universidade Estadual Paulista (UNESP), Universidade Federal de Minas
Gerais (UFMG), Universidade Federal de Pernambuco (UFPE), entre outras, passou
a elaborar o Guia dos Livros Didáticos, no qual são divulgados os princípios e
critérios utilizados na avaliação bem como resenhas de obras recomendadas.
Inicialmente os livros eram divididos nas seguintes categorias: recomendados com
distinção, recomendados, recomendados com ressalvas, não recomendados e
excluídos, sendo que em 1997 e 1998 os professores tinham a liberdade de optar
por um livro não recomendado.
Para que essas classificações fossem estabelecidas, o Ministério da Educação
publicou as mesmas no Guia Nacional de Livros Didáticos – PNLD/2004. Deste
modo, eram considerados recomendados com distinção (RD) os livros que
apresentavam qualidades bem próximas do ideal segundo os princípios e critérios
estabelecidos; os recomendados (R) os que possuíam todos os requisitos de
qualidades exigidos; os recomendados com ressalvas (RR) as obras isentas de
13
erros conceituais ou preconceitos, mas com algumas limitações; os não
recomendados (NR) e excluídos (EX) aqueles que apresentavam conceitos
equivocados e/ou preconceitos de qualquer espécie.
Os conteúdos matemáticos voltados para as classes de 5ª a 8ª Séries do ensino
fundamental (atuais 6º e 7° anos), foram avaliados pela primeira vez em 1999, ano
no qual o termo “não recomendado” deixou de existir.
Desde 2001, o programa tem sido ampliado, contemplando também alunos que
apresentam necessidades especiais, por exemplo, livros em Braille, para atender os
portadores de deficiências visuais.
Os alunos do Ensino Médio também passaram a ser objeto desse programa a partir
de 2004 com a criação do PNLEM (Programa Nacional do Livro Didático para o
Ensino Médio).
Com a publicação do Guia do PNLD/2005, a classficação das obras (RD, R, RR, NR
e EX) deixa de ser utilizada, sendo categorizadas em aprovadas e excluídas.
Atualmente, são apresentadas resenhas, critérios de avaliação das obras e
sugestões de utilização das coleções aprovadas e apenas os critérios usados para a
exclusão, sem citar quais coleções foram consideradas excluídas.
As aprovações, apresentadas no “Guia Nacional do Livro Didático”, constituíram a
fonte principal da análise pretendida nessa pesquisa. Para verificar se as apostilas
apresentavam o conteúdo de forma adequada e se sua sequência respeitava as
condições de pré requisitos, selecionamos como base bibliográfica a coleção
“Matemática Hoje é Feita Assim” de Antônio José Lopes Bigode, a coleção
“Matemática: Ensino Médio” de Kátia Stocco Smole e Maria Ignez Diniz e a coleção
“Matemática” de Luiz Roberto Dante.
Embora não constantes dessa lista de livros, também consideramos para efeito de
análises, os onze volumes da coleção “Fundamentos da Matemática Elementar”,
escrita por vários autores conceituados com destaque para o prof. Gelson Iezzi,
autor ou co-autor de todos os volumes.
No entanto, outros textos que apresentam preocupação em avaliar materiais
didáticos, seja como um todo ou um conteúdo específico, também foram utilizados.
14
Por exemplo, o Núcleo Regional de Educação de Pato Branco disponibiliza na
internet, no site www.diaadia.pr.gov.br/nre/patobranco/.../File/LDP_JORNADA.ppt,
um material em forma de slides, o qual fornece algumas sugestões de como avaliar
um livro didático para se obter um material de boa qualidade.
Em nossa busca, encontramos ainda relatos que parecem sugerir, que nem sempre
as recomendações, para o que seria um bom material em termos de aprendizagem,
costumam ser observadas. Pereira (2004) que faz uma análise de conteúdos
matemáticos apresentados em livros didáticos nos últimos 30 anos argumenta que
os mesmos passaram por mudanças significativas, perdendo, assim, a qualidade e o
rigor matemáticos necessários.
Oliveira Junior (2007) em um relato de experiência apresentado no IX ENEM
(Encontro Nacional de Educação Matemática) que analisa livros didáticos, buscando
conceitos relacionados à probabilidade no Ensino Médio; comenta que a maioria
deles trabalha esse conteúdo de maneira mecânica, trazendo exercícios que só
exigem que os alunos conheçam as fórmulas e saibam aplicá-las, não auxiliando,
portanto, o desenvolvimento do raciocínio dos mesmos.
Desse modo, nos propomos a selecionar e se necessário adaptar sugestões para a
realização da análise das duas apostilas escolhidas, dando ênfase às perguntas de
pesquisa no sentido de respondê-las do modo mais abrangente possível.
15
CAPÍTULO 2 - DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA
Neste capítulo apresentamos, primeiramente, como se deu a escolha das duas
apostilas e sob quais critérios as mesmas foram avaliadas. Na sequência, são
apresentados os dados obtidos por meio da análise da apostila 1 e da apostila 2,
nesta ordem.
2.1 ESCOLHA E CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO DAS APOSTILAS
Como já exposto, o objetivo desse trabalho é de, após selecionar duas apostilas,
destinadas ao concurso de “Atendente Comercial” dos Correios, verificar se as
mesmas contemplam todos os itens constantes no edital; se a sequência
apresentada respeita as condições de pré-requisitos relacionados aos conteúdos
propostos e se os conceitos são apresentados do modo correto e adequado ao tipo
de concurso para o qual foi elaborado.
Considerando que em uma busca preliminar não encontramos parâmetros para
análise das apostilas de concurso, optamos, como já citado, por coletar dados sobre
trabalhos e artigos referentes à análise de livros didáticos.
Sabemos que os objetivos de um, não são os mesmos do outro, uma vez que a
utilização do livro didático está voltada para o ensino de conteúdos, enquanto que
nas apostilas de concurso, supõe-se que esses conteúdos sejam apresentados na
forma de revisão e aplicação, tendo por objetivo o bom desempenho na realização
das provas do concurso escolhido pelo candidato.
No entanto, em pelo menos alguns aspectos deverão ocorrer coincidências, como
por exemplo, o não aceite de erros conceituais ou textos que possam induzir a
interpretações equivocadas ou ao erro.
Desse modo, optamos por avaliar as apostilas escolhidas, utilizando prioritariamente
o Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), analisando os critérios por ele
definidos. Primeiramente estudamos os critérios eliminatórios comuns a todas as
áreas de ensino, que estão descritos abaixo:
16
Serão sumariamente eliminados os livros regionais e as coleções que não observarem os seguintes critérios:(i) correção dos conceitos e das informações básicas;(ii) coerência e adequação teórico-metodológicas;(iii) respeito às especificidades do manual do professor;(iv) observância aos seguintes preceitos legais e jurídicos: Constituição Federal, Estatuto da Criança e do Adolescente, Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional, Lei n° 10.639/2003, Diretrizes Nacionais do Ensino Fundamental, Resoluções e Pareceres do Conselho Nacional de Educação, em especial, o Parecer CEB n° 15/2000, de 04/07/2000, o Parecer CNE/CP n° 003/2004;(v) projeto gráfico-editorial adequado aos fins a que se destinam as obras. (P.19)
Como nosso objetivo não é classificar e/ou eliminar alguma das apostilas existentes
no mercado, mas sim fazer uma análise das mesmas, delimitamos nossa
investigação ao primeiro item, verificando a correção dos conceitos, observando os
erros e acertos presentes nas apostilas.
O PNLD, também descreve que algumas falhas conceituais são comumente
encontradas nos livros didáticos e indica alguns exemplos:
● as tentativas de definição de elementos primitivos da geometria, tais como ponto, reta e plano;● a conceituação parcial de perímetro como a soma dos lados de uma figura, o que exclui as figuras que não possuem lados;● a confusão entre as grandezas comprimento, área e volume e os entes geométricos a que estão associadas;● a confusão entre um sólido e sua representação em perspectiva, em particular quando estão envolvidas medidas de gradezas nos sólidos ou a noção de simetria;● o tratamento da porcentagem como um número e não como uma razão entre dois números;● erros no uso de recursos didáticos (quadro-valor-de-lugar, ábaco, material dourado) para representação de números no sistema de numeração decimal. (P. 31)
É importante ainda ressaltar que uma obra didática não poderá se equivocar na
apresentação de conceitos e induzir o aluno (ou candidato) ao erro.
Paralelamente a essas leituras, iniciamos a escolha das apostilas. Para tanto,
realizamos uma pesquisa informal com pessoas que estão se preparando ou já
participaram de algum tipo de concurso público ou ainda que apenas informaram ter
conhecimento da existência de determinado material, embora não tenham utilizado.
17
2.1.1 Apostila 1
A mais citada, que indicaremos por A1, tem seu conteúdo apresentado na seguinte
ordem: “Números inteiros e racionais”, “Números reais”, “Problemas de contagem”,
“Sistema Legal de Medidas”, “Razões e proporções”, “Divisão proporcional”, “Regras
de três simples e composta”, “Porcentagens”, “Equações e inquações de 1º e 2º
graus”, “Sistemas Lineares”, “Funções; gráficos”, “Seqüências numéricas”, “Funções
exponencais e logarítmicas”, “Noções de probabilidade e Estatística”, “Juros
simples” e “Sistema monetário brasileiro”. Após cada unidade, são propostos
exercícios para a fixação dos conteúdos.
Embora a sequência apresentada no índice da apostila seja a mesma que a do
edital do concurso, pudemos observar que a apresentação dos conteúdos não
segue essa ordem. Exemplificando: no item “Funções; gráficos” quando define e
comenta a obtenção da (s) raíz (es) de uma determinada função, diz que basta
resolver a equação que se obtém ao se igualar a sentença a zero. No entanto, o
conteúdo “Equações e inequações de 1º e 2º graus” é apresentado posteriormente.
Ainda na apresentação dos conteúdos, encontramos um conceito que inicialmente
gerou polêmica: “Zero é o oposto dele mesmo” (grifo nosso), pois na nossa
concepção o zero não apresenta oposto.
Isso fez com que ampliássemos nossa busca, no sentido de validar ou não esse
conceito e descobrimos que essa definição apresenta formas distintas de
apresentação dependendo do autor considerado. A definição abaixo foi encontrada
no sita sercomtel:
Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0. (grifo nosso) (pessoal.sercomtel.com.br/matematica/.../inteiros/inteiros.htm)
Considerando que a página é construída por professores do departamento de
Matemática da UEL (Universidade Estadual de Londrina) acreditamos que seja uma
fonte confiável.
18
No livro “Matemática Hoje é feita assim” de Antônio José Lopes Bigode, publicado
no ano 2000, encontramos, nas páginas 142, 145 e 146, respectivamente, as
seguintes afirmações: “O número que expressa a distância do ponto correspondente
a sua representação na reta até o ponto correspondente ao 0 (zero) é chamado de
módulo ou valor absoluto do número inteiro”; “Números que têm o mesmo módulo
são simétricos” e “Quando dois inteiros são simétricos, dizemos que um é o oposto
do outro”.
De acordo com essas sentenças, nada se pode concluir em relação ao zero, uma
vez que as referências são feitas sempre comparando dois números inteiros e
nenhum comentário é feito especificamente em relação ao zero.
No entanto, encontramos na p.7 do livro “Matemática” dos autores Ênio Silveira e
Claudio Marques, uma observação relacionada a definição de números opostos e
simétricos que afirma; “O zero é simétrico dele mesmo”. Porém, como este não
constava na relação de livros aprovados pelo PNLD, continuamos nossa busca e
encontramos o livro “Matemática. Ciência e Aplicações”, volume único, de Gelson
Iezzi, (p 10), que diz “o oposto de zero é o próprio zero”. Esse mesmo argumento foi
observado em “Matemática, Temas e Metas”, de Antonio dos Santos Machado, na
página 34.
Considerando essas situações, não podemos argumentar que o conceito
apresentado na apostila seja inválido.
Porém existem outros conceitos que julgamos equivocados. Um deles diz respeito
ao fato de confundir adição (operação) com soma (resultado). Exemplo: ao
apresentar as regras de sinais válidas para a adição de números inteiros, cita a
seguinte regra: “A soma de dois números de mesmo sinal é obtida conservando-se o
sinal comum as parcelas e somando-se seus módulos” (grifo nosso). O correto seria
“adicionando-se” seus módulos e não “somando-se” seus módulos.
Observamos também outra confusão de conceitos. Ao apresentar a notação
simplificada afirma que: “A notação simplificada chama-se soma algébrica”. No
entanto, ao definir soma algébrica argumenta:
19
“A adição algébrica é uma expressão numérica onde aparecem apenas as operações de adição e subtração, cujo resultado é chamado de soma algébrica. Para resolvê-las, basta eliminar os parênteses, passando para a notação simplificada, usando o seguinte raciocínio direto: +(+)=+ ou +(-)=- ou -(-)=(+) ou -(+)=-.”
Ou seja, primeiramente soma algébrica pode ser entendida como sinônimo de
“notação simplificada” e na seqüência como resultado de um cálculo que é efetuado
utilizando a notação simplificada.
Quanto a eliminação de parênteses, nem sempre eles estão presentes em uma
adição algébrica. Nesse caso, deveria existir uma observação de que caso
existissem parênteses, eles deveriam ser eliminados passando-os para a notação
simplificada (grifo nosso).
Em outra passagem o autor exemplifica a teoria exposta sobre “Expressões
numéricas com Adição, Subtração e Multiplicação em Z” com a seguinte expressão:
“2(x-4)-5(2x+4)+3”, que não é uma expressão numérica e sim uma expressão
algébrica, uma vez que não existem apenas números e sinais de operações.
Outro exemplo não adequado é apresentado desta forma: “4x-3xy+2y=quando x=-2
e y=+1”, sem os espaçamentos convenientes, e acompanhado da informação de
que cada letra deve ser substituída pelo valor atribuído antes de se calcular a
expressão numérica. Finaliza afirmando que a situação exposta no exemplo “chama-
se cálculo do valor numérico de uma expressão literal” (grifo nosso).
Ao explicar potenciação com expoente racional, não é apresentada em nenhum
momento a potência com expoente negativo, tendo exemplos somente com
expoente positivo.
Algo parecido ocorre com a radiciação. Com o subtítulo de “Radiciação de Frações”,
o autor só cita a raíz quadrada: “A raiz quadrada de uma fração que é quadrado
perfeito é obtida extraindo-se a raíz do numerador e do denominador” (destaques
do autor).
Neste caso, o subtítulo mais adequado seria “Raíz quadrada de frações”.
Quando o autor explica “Operações com frações ordinárias”, ele apresenta apenas
as operações, omitindo a definição de frações ordinárias. Para facilitar o
20
entendimento, a definição deveria ser apresentada antes das operações, mesmo
que simplificada ou apresentada de forma informal.
Além disso, ao abordar os números decimais, o autor omite exemplos de números
decimais que são resultados de uma transformação de fração não decimal,
utilizando apenas exemplos com frações decimais. Exemplos apresentados dessa
forma, além de serem equivocados, induz ao erro, ao se supor que uma fração com
um denominador que não atenda a essas características não possa ser
transformada em um número decimal.
Para melhor entendimento, deveriam ser apresentados ambos os tipos de
transformações de frações: decimais e não decimais, já que frações não decimais
também podem representar números decimais, como por exemplo, a fração 3
1 que
representa o decimal 0,3333...
Como podemos perceber, são citados termos como frações ordinárias, frações
decimais, números decimais, sem que exista uma relação entre eles.
Essa situação poderia ser evitada definindo-se inicialmente o número racional, para
posteriormente comentar a representação decimal dos números racionais.
Segundo Dante (2005, p.23), número racional é todo número que “pode ser escrito
na forma b
a, com a ∈ Z, b∈ Z e b ≠ 0”. Complementando esse texto, encontramos
na página 24:
Dado um número racional b
a, a representação decimal desse número é
obtida dividindo-se a por b, podendo resultar em;
• decimais exatas, finitas:
25,04
1 = - 625,08
5 −= 0,61
66 == 8,0
5
4 =
• decimais ou dízimas periódicas, infinitas:
6,0...666,06
2 == 781,0...1787878,0990
177 ==
21
A apostila também não comenta formas diferenciadas para resolver problemas sobre
porcentagens. Afirma que os mesmos são “resolvidos facilmente, por meio de regra
de três simples e direta”. Poderia mostrar que existem outras formas de resolução,
como, por exemplo, ao se calcular 5% de 100; podemos montar uma regra de três
para chegarmos à resposta, mas também temos outras formas para resolver, como
por exemplo, considerando o tratamento da porcentagem como a razão entre dois
números
5% de 200 =100
5x 200= 10.
Outro aspecto observado é a apresentação do “Sistema de medidas”, sendo assim
definido: “É o sistema cujas unidades guardam em si a relação que têm as potências
de 10”.(grifo nosso) Tal definição, nos parece, deveria vir acompanhada de uma
explicação sobre qual é a relação que existe entre as potências de 10, tornando
assim mais claro o seu entendimento e compreensão.
De forma indireta, o autor faz uma breve afirmação sobre isso, que só aparece
posteriormente. Devemos destacar também o fato de que o título mais adequado
para esta definição seria “Sistema métrico decimal”, considerando-se que existem
outros sistemas de medidas que não são decimais, com por exemplo: jardas, pés,
léguas, milhas, libras, etc.
Em relação aos sistemas de medidas não decimais, nos deparamos com a seguinte
definição: “Se num sistema de medir, a unidade fundamental e as unidades
secundárias não estão ligadas por relação decimal, o sistema é chamado não
decimal ou complexo.” (Destaques do autor)
O autor ainda define número complexo como o que “representa a medida de uma
grandeza num sistema complexo e é formado de duas ou mais unidades da mesma
espécie que não são ligadas por relações decimais” e cita como exemplos valores
que representam horas, minutos, segundos e medidas de ângulos (graus, minutos e
segundos)
Como essa não é definição que geralmente encontramos para números complexos,
ampliamos nossa pesquisa para poder melhor entendê-la.
22
Por meio de fontes informais descobrimos que esse tipo de definição era comum em
livros antigos de Matemática.
Passamos então a procurar por algum desses livros e encontramos um datado de
1943, que na página 237, conceitua o sistema de medidas não decimais como citado
na apostila.
A definição atualmente utilizada apresenta pouca relação com o sistema de medidas
não decimais, definido na forma da apostila.
No livro “Matemática: Ensino Médio, vol. III” de Kátia Cristina Stocco Smole e Maria
Ignez de Souza Vieira Diniz publicado no ano de 2003 encontramos a definição
atual: “Número complexo é todo par ordenado (a, b) que pode ser escrito na forma
a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária, isto é, 1i2 −= ou
1− = i”
Outras definições semelhantes a essa podem ser encontradas, como por exemplo, a
apresentada no site: pessoal.sercomtel.com.br/matemática: “Número complexo é
todo número que pode ser escrito na forma z = a + bi onde a e b são números reais
e i é a unidade imaginária. O número real a é a parte real do número complexo z e o
número real b é a parte imaginária do número complexo z”.
Quando o assunto é Juros simples, são apresentadas várias fórmulas para a
resolução de problemas de acordo com a unidade de tempo pedida nos exercícios,
como por exemplo, 100J=C.i.t (quando o tempo estiver em anos); 1200J=C.i.t
(quando o tempo estiver em meses); e 3600J=C.i.t (quando o tempo estiver em
dias). Essas fórmulas podem confundir o candidato que utilize a apostila, pois ele
pode se equivocar ao escolher qual fórmula usar.
É sabido que essas fórmulas já foram utilizadas antigamente, mas agora caíram em
desuso e atualmente o mais adequado é a utilização de apenas uma formula
(J=C.i.t) onde as mudanças de tempo ou taxa serão efetuadas antes dos dados
serem colocados para a resolução dos exercícios.
Ao abordar funções de probabilidade, observamos um aspecto interessante: com o
subtítulo de “Funções de densidade conjunta” ele define que F(x,y) é uma função de
densidade conjunta se:
23
( ) 1 dy dx y,xF =∫ ∫
∞
∞−
∞
∞−
Ou seja, para a definição é usada uma integral dupla. Aqui verifica-se uma falha na
abordagem do conteúdo “Noções básicas de estatística”, pedido no edital do
concurso e apresentado como um título na apostila, pois vemos que este conteúdo
(integral dupla) só é estudado no Ensino Superior e não no Ensino Médio (titulação
exigida no concurso).
Além das considerações feitas, foram também detectados erros de digitação, tais
como: correspon-dentes, encontra-dos, coordena-dos, porém acreditamos que eles
não criam situações de dúvidas para os estudantes uma vez que é fácil perceber
que o erro é de digitação.
2.1.2 Apostila 2
A segunda apostila mais citada indicaremos por A2. Ela apresenta o conteúdo
desenvolvido seguindo a ordem apresentada no edital do concurso, distribuído da
seguinte forma: “Números inteiros, racionais e reais; problemas de contagem”,
“Sistema legal de medidas”, “Razões e proporções; divisão proporcional; regras de
três simples e composta; porcentagens”, “Equações e inequações de 1° e 2° graus;
sistemas lineares”, “Funções; gráficos”, “Seqüências numéricas”, “Funções
exponenciais e logarítmicas”, “Noções de probabilidade e estatística”, “Juros
simples” e “Sistema monetário brasileiro”. Ao final dos conteúdos é apresentada uma
prova simulada composta por 120 exercícios com resposta, utilizando toda a matéria
estudada anteriormente.
Os conteúdos e conceitos são apresentados de maneira simples e clara, em um
número reduzido de páginas, não apresentando muitos erros de digitação ou erros
conceituais.
Porém alguns pontos negativos também foram detectados. No início da apostila,
para definir números inteiros é apresentado o conjunto N dos números naturais
como sendo o conjunto N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ....., }.
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Como se pode observar, na indicação do conjunto N, provavelmente ocorreu um
erro de digitação, pois além das reticências serem grafadas de forma inadequada,
aparece uma vírgula após as reticências, o que também não é adequado.
No parágrafo seguinte encontramos a afirmação: “Assim, os números precedidos do
sinal + chamam-se positivos, e os precedidos de sinal – são negativos”. Na
sequência indica como exemplos: “Números inteiros positvos: {+1, +2, +3, +4, ...}” e
“Números inteiros negativos: {-1, -2, -3, -4, ...}”.
Nota-se ainda que ao utilizar o termo “Assim”, o texto parece sugerir uma
associação entre a forma como o conjunto N é apresentado e os números
precedidos por algum sinal. No entanto essa associação não se faz presente, pois
as representações são distintas.
Desse modo, acreditamos que o termo “Assim” deveria ser substituído por algum
outro que tivesse apenas a idéia de nomear os números positivos e negativos.
Na mesma página, os números opostos ou simétricos são definidos da seguinte
maneira: “Se a é um número inteiro qualquer, existe um número oposto ou simétrico
representado por (-a), tal que (+a) + (-a) = 0 = (-a) + (+a)”(grifo nosso). No entanto o
próprio texto cita que zero é um número inteiro e que não é positivo nem negativo.
Esse fato pode gerar um conflito. Desse modo, para que a definição fosse coerente,
ou o zero deveria ser excluído da mesma, pois não temos (+0) ou (-0), ou então o
autor deveria considerar, como já comentamos anteriormente que o “zero é o oposto
dele mesmo”.
Outro fato que nos chamou a atenção, diz respeito ao item: “Múltiplos e Divisores”. O
autor inicia a explicação do conteúdo da seguinte forma:
Um número é divisível por 2 quando termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.Um número é divisível por 3 quando a soma de seus valores absolutos é um número divisível por 3.Um número é divisível por 5 quando o alegarismo das unidades é 0 ou 5.Um número é divisível por 10 quando os algarismos das unidades é 0 (ou termina em 0).
Como podemos observar, não é apresentado o conceito de múltiplos e de divisores,
mas sim o critério de divisibilidade por 2, 3, 5 e 10.
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Quando o conteúdo radiciação de frações é abordado, podemos observar que,
apesar do título ser abrangente, só é citada a raíz quadrada, não apresentando a
raíz cúbica, raíz quarta, e assim sucessivamente. Além disso, a potenciação de
frações não apresenta nem bases nem expoentes negativos.
Ainda em relação aos pontos negativos, notamos também que a apostila apresenta
carência em alguns aspectos, como, por exemplo, ao abordar “Juros simples”, o
autor apresenta a seguinte proposta seguida de sua solução:
Calcular os juros produzidos por um capital de R$ 720 000,00, empregado a 25% ao ano, durante 5 anos.De acordo com os dados do problema, temos:25% em 1 ano 125% (25.5) em 5 anos125% = 125/100 = 1,25Nessas condições, devemos resolver o seguinte problema:Calcular 125% de R$ 720 000,00. Daí:x = 125% de 720 000 = 1,25 . 720 000 = 900 000900 000 – 720 000 = 180 000Resposta: Os juros produzidos são de R$ 180 000,00
Embora esse procedimento seja correto, poderia ser comentado que o mesmo
exercício possui outras formas de resolução. Uma delas utilizando a fórmula para
obter os juros simples: J = C.i.t , sendo C o capital, i a taxa unitária e t o tempo. Esse
modo permitiria facilitar os cálculos, pois bastaria substituir os valores dados e
efetuar os cálculos necessários:
J (juros) = 720000 . 0,25 . 5
J = 180000
Considerando que os usuários da apostila estão se preparando para um concurso, o
fator tempo gasto na resolução de cada questão não deve ser ignorado.
Outro exemplo é diagnosticado ao abordar porcentagem, quando o autor, depois de
fazer brevemente uma introdução ao assunto, não leva o leitor a refletir efetivamente
em nenhum tipo de exercício, dizendo apenas que qualquer problema que envolva
porcentagem pode ser resolvido como o exemplo mostrado:
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Numa situação em que você tiver de calcular 40% de R$ 300,00, o seu trabalho será determinar um valor que pode ser resumido na proporção:
300
x
100
40 =
Então, o valor de x será de R$ 120,00
Porém existem outros tipos de problemas que talvez exijam um raciocínio mais
elaborado e poderiam ser mostrados, como por exemplo: ”Tenho R$ 40,00 e 35% do
que tenho correspondem a 20% do que tem o meu irmão. Quanto ele tem?”
Em relação aos pré requisitos, com o título “Sistemas lineares”, o autor mostra a
resolução dos sistemas utilizando matrizes, porém não se verifica em toda a apostila
algum tipo de referência à matrizes ou qualquer conhecimento relacionado a elas.
Na sequência, o autor cita que um sistema linear é resolvido por meio de
determinantes, porém também não encontramos na apostila alguma referencia, ou
exemplo, de como se resolve um determinante ou um sistema linear.
Podemos observar, também, que a apostila apresenta o conteúdo de forma
superficial, não se aprofundando nos conceitos. Um exemplo aparece ao abordar o
“Sistema Monetário Brasileiro”. Em seis parágrafos, ele diz que a nossa moeda é o
Real e que ela “admite somente um múltiplo, que é o centavo”. Diz ainda que, para
fazermos suas operações, utilizamos o sistema de números decimais.
Não podemos afirmar com certeza, se na referencia ao centavo, ocorreu um erro de
digitação, ou se o conceito está equivocado, pois o centavo é considerado um
submúltiplo do Real e não um múltiplo.
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CAPÍTULO 3 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
Nesse capítulo apresentaremos as considerações finais relacionadas a pesquisa
realizada. Para tanto, retornamos ao início da apresentação desse texto, no sentido
de, mais uma vez, citar a proposta da mesma que é analisar e comparar duas
apostilas destinadas a preparação de candidatos ao concurso público de “Atendente
Comercial” da Empresa Brasileira de Correios e Telégrafos.
3.1 COMPARANDO AS APOSTILAS.
Ao iniciarmos nossas comparações, nos reportamos as perguntas da pesquisa:
• Essas apostilas estão de acordo com o conteúdo apresentado nos editais?
Em relação a esse item, podemos afirmar que tanto a apostila 1 quanto a apostila 2
possuem todo o conteúdo exigido no edital do concurso. Porém notamos que as
mesmas apresentam algumas peculiaridades: a primeira, ao abordar o item “Noções
básicas de estatística”, utiliza conceitos não compatíveis ao grau de instrução
exigido no concurso e a segunda aborda os conteúdos de forma superficial.
• O conteúdo é apresentado de maneira adequada ou apresenta erros
conceituais e/ou de “digitação”?
Em relação ao conteúdo, vários aspectos já foram apresentados e discutidos no
capítulo anterior. Desse modo, passamos a apresentar nossas considerações a
respeito.
Pensamos que as equipes que produzem esses materiais, deveriam ter um cuidado
maior em relação a esse item, principalmente ao que se refere a forma correta de
apresentação dos conceitos e das informações básicas; e aos textos que possam
induzir a interpretações equivocadas ou ao erro.
Exemplos dessas situações foram observados em ambas as apostilas: número
decimal associado a fração decimal; potenciação, utilizando apenas base e /ou
expoente positivos; radiciação, apresentada como raiz quadrada, exemplos de
expressões numéricas que apresentam expressões algébricas, anunciar o conteúdo:
Sistema de medidas, e apresentar apenas o sistema decimal, etc.
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Ainda em relação ao conteúdo, pensamos que definições, como a relacionada ao
sistema não-decimal de medidas, entendido como número complexo, utilizada na
década de 40 e em desuso, não deveriam ser citadas nas apostilas, pois elas podem
criar um conflito com a definição atual de complexos.
Porém, como é possível observar nos relatos feitos no capítulo 2, embora seja a
mais impactante, essa não é a única forma desatualizada de apresentação de
conteúdos e exemplos. Algo semelhante ocorre em uma das apostilas, quando se
calculam juros. Utilizam-se várias fórmulas, todas derivadas de uma geral: j=C.i.t.
Tais fórmulas, cada uma utilizada para um período de tempo, eram comuns nas
décadas de 60 e 70, porém dificilmente encontradas em textos atuais.
Quanto aos erros de digitação, poucos foram observados e, na nossa opinião, a
maioria deles não podem ser considerados como prejudiciais ao entendimento do
texto. Porém, destacamos uma situação, que como comentado anteriormente, não
se pode afirmar com certeza se o erro é de digitação ou de conceituação, mas em
ambos os casos, ele pode induzir ao erro, pois argumenta que o centavo é um
múltiplo do real. Essa afirmação pode confrontar com a própria definição de múltiplo.
• A seqüência de conteúdos respeita as condições de pré-requisitos?
Em relação a esse aspecto, podemos afirmar que nem sempre essas condições
foram respeitadas. Na primeira apostila, esse problema surge desde a distribuição
dos conteúdos. A sequência apresentada no índice segue a ordem do edital, no
entanto o desenvolvimento do conteúdo não. Por exemplo: um determinado item é
iniciado em uma determinada página e o item subsequente está contemplado em
alguma das páginas anteriormente trabalhadas. Isso pode gerar pontos conflitantes,
uma vez que alguns conceitos surgem apenas após a aplicação dos mesmos.
Assim, podemos observar que a condição de pré-requisito fica prejudicada e pode
contribuir para um possível desgaste por parte do candidato que utilize a apostila,
pois caso o mesmo queira seguir uma sequência lógica de conteúdos, deverá
retornar ao índice e procurar a página na qual o próximo item está inserido.
Outro aspecto observado é que algumas definições fazem uso de alguns conceitos,
como se eles fossem de domínio de todos os usuários da apostila. Como isso
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geralmente não acontece, alguns conceitos ou até mesmo exemplos provavelmente
ficam sem entendimento, por necessitarem de informações complementares.
3.2. FINALIZANDO O TEXTO
Ao finalizar esse trabalho, gostaríamos de dizer, que embora as duas apostilas
tenham apresentado alguns problemas: seja por desconsiderar os pré-requisitos, ou
o cuidado ao apresentar os conceitos ou até mesmo a observação de erros de
digitação; se estabelecermos uma relação entre erros e acertos, verificaremos que
tanto uma quanto a outra, apresentou mais aspectos positivos do que negativos, o
que não significa que sejam perfeitas.
Desse modo, é nosso propósito encaminhar as editoras responsáveis pelo material
avaliado, nossas observações e / ou sugestões e nos colocarmos a disposição das
equipes para possíveis discussões, sobre a validade ou não das mesmas.
3.3. SUGESTÃO DE NOVOS TRABALHOS
Ao realizar essa pesquisa, notamos que novos aspectos, podem ser avaliados,
dando origem a outras investigações.
Por exemplo: comparar as questões de provas já realizadas com os exemplos e
exercícios apresentados no material a ser avaliado, de modo a verificar se o mesmo
contempla questões que realmente são cobradas no concurso; analisar questões de
provas já realizadas, e elencar quais dos itens solicitados no edital são cobrados
com maior freqüência e em que nível de entendimento, pois é comum encontrarmos
em uma apostila exercícios, ora muito simples, ora muito complexos para o grau de
instrução exigido no edital do concurso.
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Referências
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DANTE, Luiz Roberto. Matemática. São Paulo: Ática, 1ª ed. 1ª Série. 2005
IEZZI, Gelson, et. al . Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Saraiva S.A. Livreiros Editores. Vol 1 a11.
IEZZI, Gelson, et. al . Matemática. Ciências e aplicações. São Paulo: Atual editora. Volume único.
MACHADO, Antônio do Santos. Matemática. Temas e metas. São Paulo: Atual editora. Livro do professor.
Ministério da Educação: Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). Disponível em http://portal.mec.gov.br. Acesso em 06/04/2010.
OLIVEIRA, Júnior, AILTON Paulo de. Análise de livros didáticos e sugestões para aulas teóricas e práticas da Probabilidade para o Ensino Médio. Universidade Católica de Brasília, Brasília, DF, 2007, 12 p.
PEREIRA, Ana Carolina Costa. Uma análise da abordagem de alguns conceitos matemáticos nos livros didáticos de matemática para o segundo segmento do Ensino Fundamental nos últimos 30 anos. Universidade Estadual Paulista (UNESP), São Paulo, SP, 2004, 09 p.
Secretaria do Estado de Educação do Paraná: Núcleo Regional de Educação de Pato Branco. Análise do livro didático. Disponível em www.diaadia.pr.gov.br. Acesso em 26/03/2010.
SILVEIRA, Ênio, MARQUES, Claudio. Matemática. São Paulo: Moderna, 6ª Série. 1997.
SMOLE, Kátia Stocco, DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio. 3.ed. São Paulo: Saraiva, 2003. 349 p.
STÁVALE, Jacomo. Elementos de Matemática. 24. Ed. São Paulo, Companhia Editora Nacional, 1943.
