ASTRONOMIA DE

POSIÇÃOProf. Dra. DANIELE BARROCA MARRA ALVES

SUMÁRIO

Revisão de Trigonometria plana

Definições e Conceitos Básicos de Trigonometria Esférica

Superfície esférica, Círculos máximos, Círculos menores, Polígono esférico, Triângulo esférico

Elementos e Propriedades dos triângulos esféricos

Distância esférica

Triângulos Polares

Excesso esférico, área de um triângulo esférico, fórmula de L’Huillier;

Exercícios

Unidades de medidas de arcos e ângulos

As unidades de medidas de arcos e ângulos são:

Grau: é o arco que mede 1/360 da circunferência

Grado: é o arco que mede 1/400 da circunferência

Hora: é o arco correspondente à 1/24 da circunferência

Radiano: é o arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência

Exercícios:

Desenhe a representação de grau, grado, hora e radiano na circunferência

Transforme 2,566 h em hora, min e seg

Transforme 22º07’18,34” em grau

Transformação de Unidades

Para realizar transformação entre unidades basta aplicar:

Exercício:

Transforme 127 gr em graus, hora e radianos

180o = 200 gr = 12 h = rad

Funções trigonométricas

SENO

COSSECANTESECANTECOTANGENTE

TANGENTECOSSENO

Onde são positivos?

Funções trigonométricas

Exercícios:

Determine os arcos correspondentes a:

sen x = 0,95

cos x = 0,37

tg x = 2,8

1cos22 aasena

asenatg

cos

asen

aag

coscot a

acos

1sec

asena

1seccos

Superfície Esférica

Lugar geométrico dos pontos do espaço que equidistam de um ponto interior chamado centro

R

Círculos máximos e Círculos menores

A interseção de um plano com a esfera forma um círculo. Há duas situações:

círculo máximo - se este plano contiver o centro da esfera

círculo menor - se o plano que “corta” a esfera não contém o centro da esfera

CC

Circunferência máxima Circunferência menor

DISTÂNCIA ESFÉRICA

É o menor arco de circunferência máxima que liga dois pontos na superfície esférica

Exercícios:

Qual o comprimento do Equador terrestre (R ~ 6378 Km)?

Qual o comprimento do paralelo de Presidente Prudente (latitude 22o 7')?

)(radRd

A B

C

Polígono esférico

Denomina-se polígono esférico a porção da superfície esférica limitada exclusivamente por

arcos de circunferência máxima

Triângulo esférico

Triângulo esférico (euleriano) é a porção da superfície esférica limitada por três arcos de

circunferência máxima, menores que 180º

Também pode ser definido como um polígono esférico formado por três lados menores que 180º

3 ângulos – ângulos esféricos formados nos vértices do triângulo, representados por A, B, C

arcos de circunferências máximas que unem os três vértices, representados por a, b, c

B

a

c

A

C

b

Propriedades dos triângulos esféricos A soma dos ângulos de um triângulo esférico está entre 180o e 540º: 180o< A + B + C < 540º

A soma dos lados de um triângulo esférico é sempre menor que 360º: a + b + c < 360º

Um lado sempre é menor que a soma dos outros dois lados e maior que a diferença dos mesmos: a < b + c a > b – c (considerando que b é maior que c)

O lado maior se opõe ao ângulo maior e vice-versa

A lados iguais se opões ângulos iguais

A soma de 180o a um ângulo do triângulo esférico é maior que a soma dos outros dois ângulos: A + 180o > B + C

Os três lados devem ser menores que 180º

Triângulos polares

Polar é o lugar geométrico dos pontos da superfície esférica que distam 90o dos polos

todas as circunferências máximas perpendiculares a polar contém os polos

Dois triângulos esféricos são polares quando os vértices do primeiro são os polos dos lados

homônimos do outro, e reciprocamente.

Assim, considerando o triângulo ABC, seu triângulo polar A’ B’C’ pode ser obtido por:

A + a’ = 180o

B + b’ = 180o

C + c’ = 180o

a + A’ = 180o

b + B’ = 180o

c + C’ = 180o

Exercício: Dado o triângulo abaixo, determine seu polar.

A = 130o a = 55o

B = 120º b = 30o

C = 160º c = 80o

Excesso Esférico

A soma dos ângulos de um triângulo esférico euleriano é sempre maior que 180o, e o que

excede de 180o é denominado de excesso esférico

= A + B + C – 180o

O excesso esférico também pode ser calculado com uso da Fórmula de L’Huillier:

22224

2 cstg

bstg

astg

stgtg

2

cbas

Área do Triângulo Esférico

Exercícios

Determinar a área do triângulo esférico pertencente a uma esfera de raio 6 378 km, onde:

A = 144o 15’ 43”

B = 97o 27’ 21”

C = 68o 21’ 43”

Determinar a área do triângulo esférico polar ao do exercício anterior.

radRS 2o

oRS

180

2