TRIGONOMETRIATRIGONOMETRIACICLO CICLO

TRIGONOMÉTRICOTRIGONOMÉTRICO

A e B são denominados extremidades dos arcos. : arco de extremidades A e B, contendo P. : arco de extremidades A e B, contendo P’.

Arcos de circunferência

AP’B

A e B dividem a circunferência em duas partes. Cada uma dessas partes é um arco de circunferência

(ou apenas arco).

AP’B

A medida do ângulo AÔB é igual à medida angulardo arco AB.

Sempre que nos referirmos à medida de um arco, vamos considerar sua medida angular e usar como unidades de medida o grau ou o radiano.

Medida de arcos de circunferência: medida angular

Quando nos referirmos ao comprimento de um arco, vamos considerar sua medida linear e usar como unidades lineares de medida o metro, o centímetro, o milímetro etc.

Medida de arcos de circunferência: medida angular

A medida linear de um arco é a medida de seu comprimento. Se fosse possível “esticar” o arco CD, poderíamos medir seu comprimento.

Uma das unidades de medida do arco é o grau: 1º (um grau) é cada parte de uma circunferência que foi dividida em 360 partes iguais. Dizemos, então, que a circunferência mede 360º (trezentos e sessenta graus).

Unidade de medida de arcos e ângulos: o grau

O grau tem submúltiplos: 1’ (1 minuto) = do grau

1’’ (1 segundo) = do minuto

med(AB) = 60º e med(AÔB) = 60º

Um arco de um radiano (1 rad) é aquele que tem comprimento igual ao raio da circunferência que o contém, ou seja, o comprimento do arco dividido pelo raio da circunferência é igual a 1. De modo geral:

Unidade de medida de arcos e ângulos: o radiano

OBS.: Quando obtemos o valor de α, sua unidade é o radiano.

Uma circunferência mede 360º; essa medida também pode ser dada em radiano.Sabemos que o comprimento de uma circunferência de centro

O e raio r é dado por 2r e que um arco de medida 1 rad tem comprimento r, assim:

Logo, a medida de uma circunferência, em radiano, é 2rad.

Exemplo

Para se transformar um arco de grau para radiano e vice-versa usamos a relação:

radouradπ 14,3180180

Relação entre grau e radiano

Grau 0 45 90 135 180 270 360

Radiano 0 

medidas em graumedidas em radiano

a) Vamos verificar quanto mede, em grau, um arco de rad. Exemplo

Sabendo que rad = 180º, fazemos a substituição: Assim, um arco de rad mede 30º.

b) Para determinar quanto mede, em radiano, um arco de 200º, fazemos:

radiano grau 180° x 200°

Portanto, um arco de 200º mede rad.

c) Vamos calcular o comprimento de uma circunferência de raio 5 cm:

Exemplo

d) Calcular o comprimento do arco AB de 45º de uma circunferência de 8 cm de raio.

considerando que um ângulo de 45º corresponde à oitava parte da circunferência (360º : 8 = 45º), fazemos:

Assim, o arco mede aproximadamente 6,28 cm de comprimento.

C = 2r ⇒ C = 2∙ 5 ⇒ C ≃ 31,4 Assim, a circunferência tem cerca de 31,4 cm de comprimento.

e) Determinar a medida x, em radiano, de um ângulo correspondente a um arco com aproximadamente 12,56 cm de comprimento, em uma circunferência com 12 cm de raio.

Exemplo

.04,11256,12

radRC

RC

f) Uma pista circular de atletismo tem um diâmetro de 50 m. Calcule a distância percorrida por um atleta ao dar 6 voltas completas nessa pista? 14,3Adote

mserádistânciaavoltasdáatletaoComomCCoRCénciacircunferêdaocomprimentO

RDpoismRentãomDSe

9426.157:,6.15725.14,3.2log,2

.2,25,50

g) Em um relógio, o ponteiro dos minutos mede 15 cm. Determinar o comprimento do arco percorrido pela extremidade do ponteiro das 14h às 14h20min.

ResoluçãoComo 20 minutos equivalem à terça parte de uma hora, a extremidade do ponteiro

descreve um arco de medida igual à terça parte do comprimento da circunferência:

Logo, o ponteiro percorre um arco de cerca de 31,4 cm.

=

PKRU

GER/

SHUT

TERS

TOCK

h) Pela manhã, uma pessoa idosa completou três voltas em torno de uma praça circular de 42 m de raio. Calcular quantos metros a pessoa caminhou.

ResoluçãoTrês voltas: C’ = 3 ∙ 2 ∙ ∙ 42 ⇒ C’ ≃ 791,28 Portanto, a pessoa caminhou aproximadamente 791,28 m.

A circunferência trigonométrica, ou ciclo trigonométrico, tem centro na origem O(0, 0) de um plano cartesiano e raio de 1 unidade. No ciclo trigonométrico, o ponto A(1, 0) é a origem de todos os arcos, isto é, o ponto a partir do qual percorremos a circunferência até um ponto P para determinar o arco AP (P é a extremidade do arco).

Circunferência orientada no plano cartesiano

Adotando o sentido anti-horário para as medidas positivas, determinamos o sentido oposto (horário) para as medidas negativas. Sentido anti-horário: med (AP) = 60ºSentido horário: med (AP) = –300º

Sentido horário e sentido anti-horárioPodemos percorrer uma circunferência em dois sentidos:no sentido horário e no sentido anti-horário.

O eixo das abscissas (eixo ) e o eixo das ordenadas (eixo ) do plano dividem o ciclo em quatro quadrantes (QI, QII, QIII e QIV), como mostram as figuras a seguir.

A’AB’B

Quadrantes do ciclo trigonométrico

med (AP) = rad

Simetria no ciclo trigonométrico

ARCOS CÔNGRUOSDois arcos são côngruos quando tem a mesma origem e a mesma extremidade no ciclo trigonométrico.

Por exemplo: 1. Considerando os arcos de 30º, 390º, 750º, - 330º, - 690º.Todos eles tem a mesma origem e a mesma extremidade. Portanto, eles são côngruos.Eles diferem entre si de um número inteiro de voltas completas, pois

30º + 360º = 390º, 30º + 2.360º = 750º, 30º - 360º = - 330º30º - 2.360º = - 690º

Então podemos representar o arco de 30º e todos os seus arcos côngruos pela expressão

ZK,K.36030x

.,360cosexp,

ZKKαxporeleacôngruosarostodosressar

sepodegrausαmedearcoumse

.,2cosexp

,

ZKπKαxporeleacôngruosarostodosressar

sepoderadianosαmedearcoumse

3600mindet

αexdeprincipalaçãoeraαsendo

παexdeprincipalaçãoeraαsendo

20mindet

DETERMINAÇÃO DO QUADRANTE1. Dados os arcos abaixo, determine o quadrante ao qual eles se encontram.

rad316)frad2

25)e

rad437)d2535)c

1190)b752)a

2. Escreva a expressão geral dos arcos côngruos aos arcos de:

rad419)d rad7

45)c 2580)b 1910)a

3. Determinar o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio circular que marca:

a) 12 h e 20 min b) 10 h e 36 minc) 3 h e 15 min d) 18 h e 12 min