CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2

TrigonometriaParte 2

Daone Santos - Engenheiro Civil

Problema

Uma empresa de fornecimento de energia elétrica, ao instalara rede elétrica numa fazenda, precisou colocar 2 postes emlados opostos de um lado. Contudo, um problema surgiu: parafazer o projeto da rede, seria necessário saber a distânciaentre os postes, mas a presença do lago impedia a mediçãodireta.

Problema

Um dos Engenheiros posicionou-se em um local onde erapossível visualizar os 2 postes. Com uma Estação Total, mediu-se o ângulo entre a linha de visão dele e os postes, a distânciaentre o poste mais afastado e o Engenheiro e o ângulo entre alinha do poste mais próximo do Engenheiro e a linha entrepostes.

Solução

A resolução desse problema consiste em determinara distância do lado AB do triângulo obtusângulo. Paratanto, podemos usar a Lei dos Senos.

Lei dos Senos

Relação matemática de proporção sobre a medida detriângulos arbitrários em um plano.

𝑨

𝒔𝒆𝒏(𝜶)=

𝑩

𝒔𝒆𝒏(𝜷)=

𝑪

𝒔𝒆𝒏(𝜸)= 𝟐𝑹

Resolução

Aplicando a lei dos senos:100

𝑠𝑒𝑛(45°)=

𝑑

𝑠𝑒𝑛(120°)100

22

=𝑑

32

∴ 2𝑑 = 100 3

𝑑 =100 3

2

Racionalizando: 𝑑 = 50 6 𝑚

Lei dos Cossenos

Corresponde a uma extensão do Teorema dePitágoras.

𝑨𝟐 = 𝑩𝟐 + 𝑪𝟐 − 𝟐𝑩𝑪𝒄𝒐𝒔(𝜸)

𝑩𝟐 = 𝑨𝟐 + 𝑪𝟐 − 𝟐𝑨𝑪𝒄𝒐𝒔(𝜷)

𝑪𝟐 = 𝑨𝟐 +𝑩𝟐 − 𝟐𝑨𝑩𝒄𝒐𝒔(𝜶)

Exercício

O ângulo agudo de um losango mede 20° e seuslados medem 5 cm. Quais são as medidas dasdiagonais mais e menor do losango?

5 5

20° Diagonal menor: 1,73 cmDiagonal maior: 9,84 cm

Arcos e ângulos

Arco é a parte da circunferência delimitada por 2 pontos.

Ângulo central é a medida da abertura referente ao arco,delimitado por 2 pontos.

Comprimento da circunferência: 𝑪 = 𝟐𝝅𝒓

Arcos e ângulos

Vamos praticar...

Se 𝛼 e 𝛽 são arcos que medem, respectivamente,83°30’39’’ e 12°43’45’’, determine a medida de 𝛼 +𝛽.

𝜶 + 𝜷 = 𝟗𝟓°𝟏𝟒′𝟐𝟒′′

Arcos e ângulos

Vamos praticar...

Na circunferência da figura, de raio 9 cm.Determinou-se, com os lados do ângulo central, umarco de comprimento 10,8 cm. Calcule, em radianos,a medida de 𝛼.

𝜶 = 𝟏, 𝟐 𝒓𝒂𝒅

Vamos praticar...

Na figura abaixo, conhecidos o raio de 4 cm do arco de circunferência e ângulo central de 30°, calcular o comprimento do arco em mm.

𝒙 =𝟐𝝅

𝟑𝒄𝒎 = 𝟐𝟎, 𝟗𝟒𝒎𝒎