Atas da XII Semana da Matemática - 2000 · Web viewUniversidade Estadual de Maringá Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática Anais da XII Semana da Matemática 27

Atas da XII Semana da Matemática - 2000

Anais da XII Semana da Matemática, 2000

Anais da XII Semana da Matemática, 2000

Universidade Estadual de Maringá

Centro de Ciências Exatas

Departamento de Matemática

Anais da

XII Semana

da

Matemática

27 de novembro a 01 de dezembro de 2000

Maringá – PR

2000

Anais da XII Semana da Matemática

Reitora

Coordenação Geral

Neusa Altoé

Valdeni Soliani Franco

Comissão Organizadora

Vice-Reitor

João Roberto Gerônimo

José Jesus Previdelli

Marcos Roberto T. Primo

Rui M. de Oliveira Barros

Diretoria do Centro de Ciências Exatas

Ryuichi Fukuoka

Valéria N. Domingos Cavalcanti

Júlio Prates Santiago Filho

Organização e Supervisão Editorial


Chefia do Departamento de Matemática


Nelson Martins Garcia

Capa

Rosali Brusamarello

Alysson Steimacher

Coordenação do Colegiado do Curso de Matemática


Marcos Roberto Teixeira Primo

Endereço para correspondência

Universidade Estadual de Maringá

Departamento de Matemática

Av. Colombo, 5.790, Zona 7

CEP 87.020-900

Maringá – PR

Fone: 261-4333

E-mail: [email protected]

Sumário

Conferências

Aspectos da Geometria Diferencial e das Equações Diferenciais Parciais

Ricardo Sá Earp15

O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLGEBRA

Luiz Antonio Pereira Gomes17

Extensão para o Espaço do Teorema de Pitágoras

Luciano Panek19

A Indução Transfinita: Lema de Zorn

Ma To Fu24

INTERNET E EAD: Uma disciplina “on line”

Ângela Rocha dos Santos 25

Geometria Dinâmica: Aplicando Informática no Ensino

Elizabeth Belfort da Silva31

Singularidades: O que é isso?

Regilene Delazari dos Santos Oliveira37

Desmistificando Figuras Fractais

Rui Marcos de Oliveira Barros

AldÍcio José Miranda38

Modelagem Geométrica: Representação e Manipulação de Objetos Geométricos Utilizando o Computador

Antônio Castello Filho39

Círculos no Espaço

Sadao Massago40

Transformações no Plano com Aplicações ao Traçado de Gráficos de Funções

Ângela Rocha dos Santos42

MINICURSOS

Matemática Comercial e Financeira – Miscelânea de Aplicações

Nelson Martins Garcia47

Espaços Métricos: como medir distâncias

Rui Marcos de Oliveira Barros48

ABORDAGEM METODOLÓGICA PARA O ENSINO DE FRAÇÕES

Akemi Yamagata Yamamoto

João Cesar Guirado

Maria das Graças de Oliveira49

Simetrias no Plano: Uma Abordagem Pedagógica


Valdeni Soliani Franco50

PALESTRA

ANÁLISE CRÍTICA DE QUESTÕES DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR DA UEM


João Cesar Guirado

Maria das Graças de Oliveira

Valdeni Soliani Franco55

Apresentação

A Semana da Matemática tem sido realizada anualmente pelo Departamento de Matemática (DMA) e coordenada pelo colegiado do curso. Ela é de grande importância na formação dos alunos do curso de Matemática devido a sua abrangência. Já é tradição a participação de conferencistas de outras entidades de ensino, proporcionando com isso a troca de conhecimentos e integração com outros centros de pesquisa. A semana visa ainda buscar a participação de professores e alunos da rede de ensino de Maringá e região. A programação da semana visa a complementação da formação de nossos futuros profissionais.

Objetivos

· Integrar a comunidade com o DMA.

· Mostrar as atividades desenvolvidas no DMA.

· Trocar experiências com outras instituições de ensino.

· Integrar alunos do DMA com professores do ensino fundamental e médio.

· Integrar alunos e professores do DMA.

· Estimular o aluno do curso de Matemática a realizar atividades extracurriculares que visem a complementação de sua formação.

Programação

Segunda-feira:

Título

Professores

Inst.

Local

Horários

M1

Matemática Comercial e Financeira (Aula1/4)


UEM

Sala 101 do Bloco F67

13h45-15h25 15h40-17h20

M2

Espaços Métricos: como medir distâncias (Aula1/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

M3

Abordagem metodológica para o ensino de Frações (Aula1/4)

João C. Guirado,Maria das Graças de Oliveira e Akemi Yamamoto

UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

M4

Simetrias no Plano: uma abordagem pedagógica (Aula1/4)

João R. Gerônimo e Valdeni Soliani Franco

UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

Terça-feira:

Título

Professores

Inst.

Local

Horários

M1

Matemática Comercial e Financeira (Aula2/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

M2

Espaços Métricos: como medir distâncias (Aula2/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

M3

Abordagem metodológica para o ensino de Frações (Aula2/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

M4

Simetrias no Plano: uma abordagem pedagógica (Aula2/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

Quarta-feira:

Manhã e Tarde

Título

Conferencistas

Inst.

Local

Horários

P

Análise Crítica de Questões de Matemática no Vestibular da UEM

João C. Guirado, Maria das G. de Oliveira, Akemi Y. Yamamoto e V. S. Franco

UEM


09h30 – 11h30

C1


Ricardo Sá Earp

PUC-RJ

Anf. Ney Marques

15h40-17h20

C11

Transformações no Plano com Aplicação ao Traçado de Gráficos de Funções.

Ângela Rocha dos Santos – IM – UFRJ

IM-UFRJ

Anf. Ney Marques

13h45-15h25

Noite

Título

Conferencistas

Inst.

Local

Horário

A

Abertura da XII Semana da Matemática com Apresentação Musical

Reitora, Diretor do CCE;Chefe do DMA , Coordenador do Curso e Escola de Música

UEM

Anf. Ney Marques

19h30-20h10

C1


Ricardo Sá Earp

PUC-RJ

Anf. Ney Marques

20h10-21h00

C2

O Teorema Fundamental da Álgebra

Luiz Antonio Pereira Gomes

UEM

Anf. Ney Marques

21h20-22h00

C3

Uma Extensão do Teorema de Pitágoras

Luciano Panek

UEM

Anf. Ney Marques

22h00-22h30

Quinta-feira:

Tarde

Título

Professores

Inst.

Local

Horários

M1

Matemática Comercial e Financeira (Aula 3/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

M2

Espaços Métricos: como medir distâncias (Aula 3/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

M3

Abordagem metodológica para o ensino de Frações (Aula 3/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

M4

Simetrias no Plano: uma abordagem pedagógica (Aula 3/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

Noite

Título

Conferencistas

Inst.

Local

Horário

C4

Indução Transfinita: Lema de Zorn

Ma To Fu

UEM

Anf. Ney Marques

19h30-20h10

C5

Internet e EAD - uma disciplina "on-line"

Ângela Rocha dos Santos

IM-UFRJ

Anf. Ney Marques

20h10-21h00

C6

Geometria Dinâmica: Aplicando a informática no ensino

Elizabeth Belfort da Silva

IM-UFRJ

Anf. Ney Marques

21h20-22h10

C7

Singularidades. O que é isso?

Regilene Delazari dos Santos Oliveira

UEM

Anf. Ney Marques

22h10-22h40

Sexta-feira:

Tarde

Título

Professores

Inst.

Local

Horários

M1

Matemática Comercial e Financeira (Aula 4/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

M2

Espaços Métricos: como medir distâncias (Aula 4/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

M3

Abordagem metodológica para o ensino de Frações (Aula 4/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

M4

Simetrias no Plano: uma abordagem pedagógica (Aula 4/4)


UEM


13h45-15h25 15h40-17h20

Noite

Título

Conferencistas

Inst.

Local

Horário

C8


Rui Marcos de Oliveira Barros e Aldício José Miranda

UEM

Anf. Ney Marques

19h30-20h10

C9

Modelagem geométrica: representação e manipulação de objetos geométricos utilizando o computador

Antônio Castello Filho

ICMC-USP

Anf. Ney Marques

20h10-21h00

C10


Sadao Massago

UFSCar

Anf. Ney Marques

21h20-22h10

E

Encerramento com Apresentação Musical.

Escola de Música

UEM

Anf. Ney Marques

22h10-22h40

Conferências


Ricardo Sá Earp

Primeira Palestra (Tarde)

Em meados do século 20, Alexandrov demonstrou o seu renomado teorema:

TEOREMA DE ALEXANDROV: Seja M um superfície fechada (compacta sem bordo)mergulhada no espaço Euclidiano com gênero g qualquer. Se a curvatura média de M é constante então M é uma esfera geométrica.

O método ou processo de Alexandrov está baseado no mais pregnante princípio da equações elípticas de segunda ordem (lineares, quasi-lineares e totalmente não lineares: O PRINCÍPIO DO MÁXIMO. Talvez mais importante que o próprio teorema foi o método introduzido por Alexandrov, conhecido como ALEXANDROV REFLECTION PRINCIPLE (ARP). Além de outras aplicações interessantes na Geometria, como veremos nesta palestra, tal procedimento (e o princípio dom máximo) levou a analista de porte de Serrin, Nirenberg, Caffarelli e outros, a importantes aplicações na própria Análise. Assim o princípio analítico se desdobra na Geometria produzindo belos resultados, e por sua vez, o método geométrico é aplicado para produzir poderosos resultados da Análise.

Trataremos de várias aplicações do (ARP), acoplado com a chamada fórmula do fluxo. De fato, visaremos focalizar alguns problemas e resultados de geometria em torno de uma badalada conjectura, sobre superfícies de curvatura média constante, surgida na década de 90 que continua ainda insolúvel.

Começaremos a palestra pela definição geométrica da curvatura média e desenvolveremos o tema basicamente num tom elementar visual-geométrico que será acessível a todos os participantes.

Segunda Palestra (Noite)

Nesta palestra apresentaremos a equação da superfície mínima vertical no espaço hiperbólico e apresentaremos teoremas gerais de existência e unicidade. Na verdade, estabeleceremos o processo de Perron para tais equações com subsequente aplicações na solução do Problema de Dirichlet para tal equação em domínios limitados e ilimitados. Desta forma serão apresentados gráficos mínimos verticais completos e não completos no espaço hiperbólico.

O Teorema Fundamental da Álgebra

Luiz Antonio Pereira Gomes

O teorema fundamental da álgebra foi enunciado, mas não demonstrado, pelo matemático francês d’Alembert (1717-1783) em 1746. Ele dedicou muito tempo de sua vida tentando provar o teorema e tão intensos foram seus esforços para demonstrá-lo, que na França nos dias atuais o mesmo é conhecido como teorema de d’Alembert.

A primeira demonstração desse teorema foi publicada em 1799 pelo matemático de origem alemã Gauss (1777-1855), um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Ela foi o tema de sua tese de doutorado, que em latim tem o pomposo título: “Nova Demonstração do Teorema que diz que toda Função Algébrica Racional Inteira em Uma Variável Pode Ser Decomposta em Fatores Reais de Primeiro ou Segundo Grau”. Mais tarde Gauss se referiu a esse enunciado como “o teorema fundamental da álgebra” e também mostrou que todas as demonstrações tentadas anteriormente, incluindo algumas de Euler e Lagrange, eram inadequadas.

Uma parte da prova do teorema de d’Alembert dada por Gauss em sua tese baseia-se em considerações geométricas. Anos depois, em 1816, ele publicou duas novas demonstrações, bem como outra em 1850, esforçando-se por encontrar uma demonstração inteiramente algébrica. Acredita-se agora que o teorema fundamental da álgebra depende essencialmente de considerações topológicas (Veja Hans Zassenhaus, “On the Fundamental Theorem of Algebra”, American Mathematical Monthly, 74 (1967), 485-497).

Em geral, o teorema fundamental da álgebra é visto pela primeira vez no ensino médio, quando os alunos estudam polinômios. Nesse nível, o teorema é admitido sem demonstração, tendo em vista que todas as demonstrações existentes exigem ferramentas analíticas que só são estudadas a nível universitário.

Pode-se afirmar que a demonstração mais popular do teorema de d’Alembert é aquela obtida através da teoria de variáveis complexas, como conseqüência do teorema de Liouville. Ela normalmente é vista nos cursos de Licenciatura ou Bacharelado em Matemática, quando a disciplina Variáveis Complexas integra o currículo e é oferecida.

Existem outras demonstrações do teorema fundamental da álgebra que utilizam argumentos diferentes. Como exemplo de duas delas pode-se citar (L. H. J. Monteiro, “Elementos de Álgebra”, L. T. C. (1978), São Paulo), que apresenta uma demonstração baseada no conceito de corpo de raízes de um polinômio e no fato que todo polinômio de grau ímpar e com coeficientes reais tem pelo menos uma raiz real, e (E. L. Lima, “Curso de Análise vol. II”, Projeto Euclides vol. 13, IMPA, Rio de Janeiro), que utiliza ferramentas como índice de uma aplicação e homotopia, que é um conceito não trivial de topologia.

O objetivo desta palestra é apresentar uma demonstração do teorema de d’Alembert diferente daquelas citadas anteriormente. Pretende-se obter o teorema como conseqüência das propriedades das funções contínuas em conjuntos compactos, mais precisamente através do teorema do valor extremo de Weierstrass, que afirma que toda função real contínua definida num subconjunto compacto de R2 atinge seus valores máximo e mínimo.

Extensão para o Espaço do Teorema de Pitágoras

Luciano Panek

Introdução

Nestas notas estamos interessados em apresentar a extensão do teorema de Pitágoras. Este resultado relaciona as áreas dos triângulos que formam um tetraedro retângulo da mesma maneira que o conhecido teorema de Pitágoras relaciona os catetos x e y com a hipotenusa z através da relação

.

z

y

x

2

2

2

=

+

Cerca de 370 demonstrações da última igualdade já foram concebidas e uma grande parte delas encontra-se no livro The Pythagorean Proposition do autor Elisha Scott Loomis. Algumas das demonstrações deste livro se encontram no artigo Mania de Pitágoras de Euclides Rosa (RPM 2, pág.14). Nestas notas não estamos interessados em novas demonstrações deste resultado, mas sim na demonstração da extensão do mesmo para o espaço. Faremos aqui duas demonstrações diferentes. Ambas são de fácil compreensão, permitindo assim que alunos que iniciam os estudos em matemática compreendam a lógica usada.

A Extensão para o Espaço

Estamos interessados em um caso mais simples da generalização do Teorema de Pitágoras, o qual será desenvolvida no decorrer do texto. Apenas a título de curiosidade, a generalização do Teorema de Pitágoras nos diz que:

Teorema 1: A soma dos quadrados das áreas das projeções de uma figura plana sobre três planos perpendiculares dois a dois é igual ao quadrado da área da figura.

Por exemplo, se tomarmos um triângulo qualquer no espaço teremos, conforme a figura A, que

,

W

Z

Y

X

2

2

2

2

=

+

+

cujos X, Y, Z e W são as áreas dos triângulos.

W

Z

X

Y

x

y

z

0

Figura A

Se na generalização do Teorema de Pitágoras considerássemos um segmento de reta ao invés de uma figura plana, teríamos conforme a figura B que

,

2

d

d

d

d

2

GF

2

EF

2

CD

2

AB

+

+

=

onde dAB, dCD, dEF e dGH são os comprimentos dos segmentos AB, CD, EF e GH respectivamente.

A

B

E

F

C

D

G

H

x

y

z

Figura B

Considerando o caso da figura C abaixo, obtemos o conhecido Teorema de Pitágoras, ou seja,

.

c

b

a

2

2

2

+

=

(

a,b,0

)

x

z

y

c

Figura C

Prosseguindo com a versão mais simples da generalização do Teorema de Pitágoras, apresentamos duas demonstrações desta versão: uma utilizando geometria euclidiana e a outra utilizando geometria analítica. Antes de enunciarmos e demonstrarmos o teorema estendido, faremos algumas observações do que vem a ser um tetraedro retângulo e um vértice ortogonal de um tetraedro retângulo. Observemos a figura D abaixo:

A

C

B

D

.

.

.

Figura D

(

)

(

)

(

)

,

c

p

b

p

a

p

p

W

-

-

-

=

onde p é o semiperímetro do triângulo ABC e a, b e c o comprimento dos lados do triângulo. Por exemplo, o semiperímetro do triângulo ABC da figura D é dada como sendo:

.

2

AC

BC

AB

p

ABC

+

+

=

D

Demonstração (Teorema 2, 1ª versão) Aplicando a fórmula de Heron ao ABC da figura D obtemos que:

)

AC

p

)(

BC

p

)(

AB

p

(

p

W

ABC

ABC

ABC

ABC

-

-

-

=

D

D

D

D

,

2

AD

BD

BD

CD

AD

CD

2

2

2

2

2

2

+

+

=

,

2

CD

AD

Y

=

e

2

BD

AD

Z

=

.

2

CD

BD

X

=

Portanto, pelas equações acima temos que:

2

2

2

2

2

2

2

2

2

AD

BD

BD

CD

AD

CD

W

÷

÷

÷

ø

ö

ç

ç

ç

è

æ

+

+

=

4

AD

BD

BD

CD

AD

CD

2

2

2

2

2

2

+

+

=

2

2

2

2

BD

AD

2

CD

BD

2

CD

AD

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

+

÷

÷

ø

ö

ç

ç

è

æ

=

.

Z

Y

X

2

2

2

+

+

=

A segunda demonstração envolverá geometria analítica. Considere a figura E abaixo:

x

z

y

(

a,0,0

)

(

0,0,c

)

(

0,b,0

)

OP

OQ

OR

Figura E

A área do triângulo PQR é dada pela fórmula

(

)

(

)

,

A

C

A

B

2

1

A

PQR

-

´

-

=

D

no qual

OP

é a representação posicional do vetor A,

OQ

é a representação posicional do vetor B e

OR

é a representação posicional do vetor C.

Demonstração (Teorema 2, 2ª versão) Aplicando a fórmula acima no triângulo PQR da figura E obtemos que:

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

2

PQR

0

,

0

,

a

c

,

0

,

0

0

,

0

,

a

0

,

b

,

0

2

1

A

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

´

-

=

D

(

)

(

)

(

)

2

c

,

0

,

a

0

,

b

,

a

4

1

-

´

-

=

(

)

(

)

2

ab

,

ac

,

bc

4

1

-

=

(

)

(

)

(

)

2

2

2

2

ab

ac

bc

4

1

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

-

+

=

.

2

ab

2

ac

2

bc

2

2

2

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

+

÷

ø

ö

ç

è

æ

=

Portanto

.

A

A

A

A

2

OAB

2

OAC

2

OBC

2

PQR

D

D

D

D

+

+

=

(

Não é difícil a verificação da generalização do Teorema de Pitágoras no caso da figura A utilizando a geometria analítica. Deixamos essa prova para o leitor. Portanto demonstramos a extensão do Teorema de Pitágoras de duas maneiras diferentes: uma utilizando geometria plana, dando um pouco de trabalho, e a outra, bem mais simples, com a exigência de conhecimentos da geometria de Descartes. Sugerimos ao leitor, com certa familiaridade com o cálculo diferencial, demonstrar a extensão de Pitágoras de uma maneira elegante usando integrais múltiplas.

A Indução Transfinita: Lema de Zorn

Ma To Fu

Nesta palestra o Lema de Zorn será apresentado como uma extensão do Princípio da Indução Finita para conjuntos não enumeráveis. Algumas aplicações a Teoria dos Conjuntos e Álgebra Linear serão discutidas.

Referências:

[1] I. Kaplansky, Set Theory and Metric Spaces, Chelsea Publ. Co., New York, 1977.

[2] P. Shaw, Uma Aplicação do Lema de Zorn na Álgebra Linear, www.geocities.com/cnumap, 2000.

Internet e EAD: Uma Disciplina “on line”


O Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro (IM-UFRJ) desenvolve um projeto pioneiro com o objetivo de incorporar e aplicar as novas tecnologias de informação ao ensino, em particular para educação à distância e desenvolver e disseminar metodologias, técnicas e ferramentas adequadas a este fim.

Este trabalho tem por objetivo descrever as experiências feitas em EAD, utilizando-se um “site” especialmente concebido para este fim, bem como relatar alguns dos resultados alcançados e as propostas e possibilidades futuras.

Introdução

O mundo atual apresenta aos seus profissionais novos e grandes desafios. O avanço científico e tecnológico, a rapidez dos processos de comunicação, derrubando as barreiras geográficas e colocando os limites de tempo sob um novo prisma, a transformação dos processos culturais, a disseminação de áreas multidisciplinares de conhecimento, a informatização global e intensiva, com a proliferação do uso de computadores domésticos, a cada dia mais poderosos, indicam a necessidade de uma reflexão profunda sobre o processo de formação de recursos humanos.

Às portas do século XXI, respostas a indagações do tipo: O que ensinar ? Para quem ensinar? Como ensinar ? Para que ensinar?, que sempre nortearam a definição de objetivos de cursos e projetos de ensino, assumem um papel de verdadeiro desafio aos educadores, face a novas e inúmeras possibilidades até então, sequer imaginadas.

Essas tendências demonstram a necessidade de se definir como prioridade a formação de profissionais capazes de criar novas formas, métodos e processos de conhecimento - capazes de refletir, criticar, questionar, decidir e atuar na realidade social.

A Universidade não pode se furtar ao seu papel de formar profissionais dentro dessa nova perspectiva científica e de se voltar para a sociedade brasileira como disseminadora de novas tecnologias que venham a se constituir em soluções para alguns de seus complexos problemas sociais, econômicos e culturais.

Dentro dessa perspectiva de buscar soluções e disseminar novas técnicas e métodos se insere o projeto de EAD que começa a ser implantado no IM-UFRJ.

Ensino à distância X Ensino Presencial

Uma disciplina, seja ela oferecida em sala de aula ou à distância, requer um professor ou instrutor, alguns alunos, o conteúdo a ser ministrado, algumas tarefas a serem desenvolvidas pelos alunos e algum tipo de avaliação que deve determinar, ao final de um certo período de tempo pré-estabelecido, o grau de aproveitamento obtido pelos alunos. No entanto, além da diferença óbvia de um curso se desenvolver face a face com os alunos e o outro não, existem algumas outras diferenças básicas entre um curso oferecido à distância e um curso presencial que devem ser levadas em consideração quando se pensa em organizar um curso para ser oferecido à distância.

Em geral, em cursos universitários diurnos, os alunos têm em média de 18 a 24 anos e dedicam-se ao curso em tempo integral. As aulas são predominantemente expositivas e as atividades e discussões acontecem em sala de aula em horários fixos, com a presença dos alunos e do professor. As tarefas determinadas podem ser desenvolvidas dentro do horário das aulas ou entregues posteriormente, ao professor. Testes e exames são realizados com a fiscalização do professor e os alunos têm ao seu dispor laboratórios, bibliotecas, em geral funcionando em tempo integral, e outras atividades extra-curriculares que podem ser programadas para enriquecimento do curso, incluindo-se aí conferências, palestras, participação em encontros, etc.

Por outro lado, em cursos à distância a maioria dos alunos têm mais do que 25 anos e trabalham parte do tempo. O material instrucional utilizado deve ser claro, atrativo e auto-suficiente de modo a permitir e facilitar a compreensão dos tópicos desenvolvidos, levando-se em consideração que os alunos não contarão com a presença física do professor. Discussões e trabalho colaborativo só podem ocorrer utilizando-se recursos tecnológicos. As tarefas, uma vez realizadas, devem ser enviadas ao professor por correio, por fax, por e-mail, ou usando-se algum outro tipo de recurso tecnológico. Como professores e alunos estão afastados geograficamente, o exame final é tipicamente tutorado e os alunos somente têm acesso aos recursos da universidade por acesso remoto.

As desvantagens da distância física devem e podem ser superadas por um planejamento mais cuidadoso das atividades propostas, que devem ser adaptadas aos meios de comunicação existentes e recursos tecnológicos empregados. É esssencial o estabelecimento de um cronograma rígido que deve definir, claramente, metas parciais a serem atingidas no tempo estabelecido. Meios alternativos de avaliação, tais como exames abertos e desenvolvimentos de projetos devem ser considerados.

Por outro lado, alunos que necessitam de diplomas e que não têm ou não podem cursar regularmente uma universidade, apresentam, em geral, um grau de motivação muito maior do que aquele encontrado nos alunos de cursos regulares e como, com o desenvolvimento das tecnologias de informação não existem limitações de tempo ou distância, em cursos “on-line” os alunos podem tirar proveito de uma grande variedade de opiniões e ter acesso a recursos extra-universidade. A chave é saber como passar do estado de “estar presente” para o estado de “estar ligado”.

Por que utilizar a Internet no desenvolvimento de projetos em EAD no Brasil.

Um dos principais obstáculos a ser superado em se tratando do desenvolvimento de projetos para EAD, reside na demora ou, por vezes, na quase inexistência de meios efetivos de comunicação entre o transmissor e o receptor, tornando penosa a interação entre aluno e professor o que aumenta a dificuldade do processo ensino-aprendizagem.

Recentemente os baixos custos dos computadores e o desenvolvimento das novas tecnologias de comunicação, derrubando as barreiras geográficas e colocando os limites de tempo sob um novo prisma, permitiram a aplicação em larga escala do computador no processo educacional, abrindo novas perspectivas, em especial no que se refere à educação a distância, até então sequer imaginadas.

Entretanto, o número de boas experiências no uso do computador no processo de ensino-aprendizagem é menor do que a sociedade poderia esperar. Ao contrário do que muitas vezes se pensa, materiais didáticos de qualidade adequados a este fim, são de difícil produção, necessitando de equipes interdisciplinares e de grande investimento em pesquisa. Em especial, existe a necessidade de se de utilizar aplicativos computacionais que permitam a aplicação de boas metodologias de aprendizagem que sejam adequadas tanto ao nível do indivíduo, quanto dos grupos sociais. Este tipo de material é raro em língua estrangeira e praticamente inexistente em português.

Essa questão aponta para a necessidade da atualização das ementas e metodologia das disciplinas, com inclusão de tópicos abordando aspectos gráficos, numéricos e aplicados, sem detrimento de uma sólida formação matemática, ao contrário, suprindo o mercado de profissionais especializados e prontos a construir a interface entre o mundo virtual e o mundo real.

Por outro lado, as tecnologias da informação, hoje disponíveis no Brasil, para o ensino à distância, incluem, além da internet, televisão, vídeo, vídeo-conferências e uma mistura de internet /CD-ROM. Dessas, nos parece, que o potencial instrucional da Internet é o mais forte e está se fortalecendo mais a cada dia. Numa página “web”, que pode consistir somente de texto e gráficos, é possível incluir animações, formulários, recursos interativos, áudio, vídeo, questões com resposta de retorno imediato, modelos de realidade virtual, discussões e muito mais. Embora o acesso à Internet seja no momento, ainda, difícil e lento em muitos casos, esta situação parece estar se revertendo muito rapidamente e, levando-se em conta, o tempo médio para o desenvolvimento de uma disciplina a ser oferecida via Internet, é necessário começar a preparar agora o material e os cursos a entrarem em regime a médio prazo. Para superar as dificuldades e lentidão de acesso à Internet e sem descartar a grande versatilidade, funcionalidade e potencial de recursos que uma página “WEB” pode apresentar, estamos usando hoje, no IM-UFRJ, uma combinação CD-ROM/INTERNET. No entanto, a escolha do tipo de recursos a serem utilizados depende de vários fatores, incluindo-se aí o custo do equipamento usado para a construção e necessário para a utilização da página e o público a que se destina. Em qualquer caso, o lema principal deve ser “pedagogia primeiro; tecnologia depois”.

Nesse sentido, a ênfase principal do projeto aqui apresentado está na construção e utilização de uma página “web” contento hipertextos interativos que permitam uma participação ativa do aluno e estabeleçam um canal de comunicação permanente e quase imediata com o professor o que poderá minimizar os efeitos negativos que a falta do contato direto entre professor e aluno acarreta no processo ensino-aprendizagem.

Os hipertextos elaborados utilizam, intensamente, animações, mudanças de escala, variação de parâmetros e permitem uma efetiva interação com o usuário, levando o aluno a desenvolver “experiências matemáticas” que integram aspectos algébricos, gráficos-geométricos e numéricos, favorecendo a construção e exploração dos conceitos envolvidos.

O nosso principal objetivo ao usar as novas tecnologias da informação, em particular a Internet, para o desenvolvimento de projetos em EAD, foi o de criar condições para que o aluno, mesmo à distância, aprenda explorando, redescobrindo ou construindo, transformando-o de paciente - que é alguém que consome, aceita, guarda, reproduz e obedece - em agente do processo educativo - alguém que pensa, reflete, dirige, decide e atua.

Descrição, objetivos e estruturação do “site”

Este “site” foi concebido como um primeiro modelo para disciplinas “on line” a serem desenvolvidas dentro do projeto de educação à distância e continuada do IM-UFRJ. Seu conteúdo é constituído por um conjunto de hipertextos interativos que formam a disciplina “Introdução às Funções Reais”. Este tema foi escolhido por ser este o ponto central e unificador de toda a análise matemática e da sua correta compreensão depender o entendimento futuro, mais ou menos penoso, de muitas outras idéias matemáticas de relevante importância. A escolha foi baseada, também, nas principais dificuldades de base apresentadas por professores de matemática do 20 grau. Dessa maneira, esta primeira disciplina-protótipo atende a múltiplos fins e clientelas variadas, permitindo uma avaliação de amplo espectro.

Os hipertextos foram elaborados utilizando-se os programas “Maple V”, “Mathview” e “The Geometer’s Sketchpad”, as linguagens JAVA e HTML e o plugin “X-Theorist”. A utilização conjunta destes recursos permite que se idealize atividades que explorem os aspectos dinâmicos dos conceitos desenvolvidos, promovendo uma interação efetiva com o usuário final. O “site” é dividido em partes com objetivos distintos, a seguir discriminados.

- Apresentação: destina-se a fornecer uma visão geral do conjunto, definir seus objetivos e mostrar um mapa para facilitar a navegação e fornecer um resumo gráfico-visual do "site". Clicando em cada um dos quadros que aparecem no mapa tem-se um acesso rápido à parte procurada.

- Sala de Aula: dividida em Conteúdo, Dicionário, Um pouco de História e Pesquisando na Internet, destina-se à apresentação do conteúdo da disciplina, propriamente dito.

- Recursos Auxiliares: dividida em Instalando o Plugin e Usando os Hipertextos, destina-se a auxiliar na instalação do plugin necessário ao bom aproveitamento dos hipertextos e na correta e proveitosa utilização dos mesmos.

- Avaliação: dividida em Testes, Desafios, Auto-Avaliação e Avaliação do Curso, destina-se a avaliar o trabalho desenvolvido, tanto do ponto de vista dos conteúdos assimilados pelo aluno, quanto do ponto de vista de consecução dos objetivos propostos

- Vamos nos Conhecer?: dividida em Perfil da Galera e Perfil da Equipe, destina-se a permitir que o grupo se conheça melhor, "quebrando o gelo" e ajudando a superar a barreira da comunicação à distância via máquina, facilitando a interação homem-máquina, alunos-professores e alunos-alunos.

- Fale com a gente: dividida em E-mail, Quadro de avisos, Espaço Aberto, Bate-Papo Matemático e Jornal Interativo destina-se a ser um centro de comunicação permanente entre a equipe envolvida no trabalho em seus diversos níveis e, também, a monitorar o trabalho desenvolvido por cada um de seus membros.

- Informações Adicionais: dividida em Plano de Curso, Treinamento de Tutores, Condições para Inscrição, Aquisição de Material e Equipe Responsável, fornece informações adicionais, tanto do ponto de vista didático, quanto do ponto de vista administrativo.

Experiências realizadas e resultados alcançados

Esta disciplina, elaborada inicialmente para o oferecimento à distância em um curso de treinamento para os professores do Colégio Pedro II, no momento está sendo oferecida à distância para alunos de ensino médio (dentro do programa Matemática na UFRJ: Antecipando o Futuro – convênio especial que visa a integração da Universidade com o Ensino médio), para professores do ensino médio (dentro do programa permanente de capacitação docente do IM-UFRJ) e, também, como apoio ao ensino presencial para alunos do primeiro período dos cursos regulares da UFRJ e alunos de Licenciatura do IM-UFRJ, com boa aceitação e excelentes resultados.

O entusiasmo dos professores participantes dos vários projetos, incluindo os tutores da disciplina e os alunos da UFRJ, a procura cada vez maior de escolas interessadas em participar do convênio e o acesso constante e crescente à página permite que se conclua pelo acerto da estratégia e metodologias utilizadas.

Observações Finais e Propostas Futuras

Este projeto está sendo implantado gradualmente e conta com a colaboração de diversos professores do Instituto de Matemática, de alunos de graduação (Licenciatura) e de pós-graduação que atuam como monitores especiais e auxiliares no desenvolvimento e na pesquisa e de analistas do NCE, que auxiliam no canal de comunicação.

A equipe envolvida na realização e implantação do projeto se divide nas tarefas de pesquisa e desenvolvimento (pesquisa metodológica e produção de textos e material didático próprio), aplicação e tutoria no ensino à distância, integração com o ensino de 1o e 2o graus, pessoal de apoio (monitores e funcionários envolvidos) e avaliação. Além disso, com a elaboração do material apropriado, pretendemos, até o ano 2002, disponibilizar na página, um leque de disciplinas que permita o oferecimento, à distância, de um curso completo de Licenciatura em matemática.

Desenvolvendo este material, procuramos mostrar como é possível utilizar a tecnologia para ensinar e aprender matemática. Esperamos que ele se constitua num valioso instrumento de capacitação e apoio ao professor e de melhoria na formação básica de nossos alunos.

Referências

Bauldry, W.C. & Fiedler, J.R. – Calculus Projects with Maple V, Brooks/Cole Publishing Company, 1996.

Bianchini, Waldecir & Rocha, Angela – Aprendendo Cálculo com o MAPLE, volume I, IM-UFRJ, 2000.

Bianchini, Waldecir & Giraldo, Victor & Kubrusly, Ricardo & Rocha, Angela – Introdução às Funções Reais – Um enfoque Computacional, IM-UFRJ, 1998.

Bianchini, Waldecir & Rocha, Angela – Introdução ao Maple V, IM-UFRJ, 1997

Demana, F & Waits, B.K & Clemens S.R & Foley G.D – Precalculus A Graphing Approach, Addison-Wesley, 1996.

Edwards,C.H.Jr. – Calculus and the Personal Computer, Englewood Cliffs, N.J., Prentice Hall, 1986.

Edwards,C.H.Jr & Penney,D.E. – Cálculo com Geometria Analítica, R.J., Prentice-Hall do Brasil, 1997.

Harris, K. & Lopez,R.J – Discovering Calculus with Maple, New York, John Wiley & Sons, 1995.

National Council of Teachers of Mathematics - Yearbooks.

Tinoco, Lucia A.A. – Construindo o Conceito de Função no 10 grau – IM-UFRJ, Projeto Fundão – SPEC/PADCT/CAPES, 1998.

Wells, D & Tilson, L – Precalculus A view of te world around us – Prentice Hall, New Jersey, 1998.

Periódicos:

Revista do Professor de Matemática. SBM.

The Mathematics Teacher. NCTM

International Journal for Mathematics, Science and Technology Education

Softwares Utilizados:

Maple V R5 – Waterloo Incorporation, 1998

MathView – Waterloo Incorporation, 1997

The Geometer's Sketchpad, Version 3.05. N. Jackiw. Key Curriculum Press, 1996.

Geometria Dinâmica: Aplicando Informática no Ensino

Elizabeth Belfort da Silva

Introdução

Este trabalho visa contribuir na discussão de temas gerais, como a interdisciplinaridade e a informatização do ensino. Em um projeto desenvolvido em conjunto com a profa. Danusa Gani, do Colégio Pedro II, Rio de Janeiro, propomos a exploração dos softwares de Geometria Dinâmica (G.Din.), pois estes podem contribuir positivamente para estas questões. Esperamos mostrar, a partir de um exemplo utilizando figuras simétricas (no sentido matemático mais geral) e da criação de painéis, uma possível integração entre as disciplinas de Arte, Desenho e Matemática, usando G.Din.. Argumentamos ainda que é a clareza de objetivos dos professores que transforma a utilização destes recursos em um momento didático rico, permitindo o aprendizado integrado destas disciplinas.

Apresentamos uma proposta, na qual as figuras geométricas são exploradas para a criação artística de formas dinâmicas no computador. Pretendemos integrar Artes e Matemática passando pelo Desenho Geométrico, pois é esta disciplina que estuda os recursos gráficos para a representação das idéias matemáticas.

Os Softwares de Geometria Dinâmica

De uma forma resumida, um software de G. Din. é uma ferramenta que permite a representação gráfica, na tela do computador, de tudo que podemos construir usando os instrumentos clássicos do Desenho, como régua, compasso e transferidor. Estes softwares têm características dinâmicas, que permitem a modificação de figuras na tela pelo arrastar do 'mouse'. As modificações são feitas respeitando as propriedades matemáticas que foram utilizadas na construção original da figura na tela. Por exemplo: os triângulos da figura 1 foram todos obtidos pela movimentação dos vértices de um 'mesmo' triângulo ABC na tela do computador. O triângulo original foi obtido a partir de um recurso do software que permite construir retas perpendiculares. O lado AC foi construído perpendicular ao lado AB. Assim, todas as imagens obtidas, podem ser modificadas em forma, tamanho ou posição, mas sempre respeitam esta propriedade básica (ABC é um triângulo retângulo em Â).

A

B

C

A

B

C

A

B

C

A

B

C

Figura 1

A partir do lançamento da primeira versão do Cabri (Belleiman e Laborde, 1991), outros softwares do tipo foram desenvolvidos, e a ferramenta se sofisticou. Temos hoje no mercado a versão 2 do Cabri (Belleiman e Laborde, 1995), o Geometer's Sketchpad (Jacwik, 1996), o Cinderella (Kortenkamp, 1999), e outros, incluindo versões bem simples em 'shareware', ou seja, que podem ser utilizadas sem necessidade de aquisição do programa, mas que são pobres em recursos. Neste artigo, usamos o Geometer's Sketchpad, um dos recursos explorados em cursos de capacitação de professores oferecidos pelo Instituto de Matemática da U.F.R.J.

Embora as vantagens educacionais da Geometria Dinâmica sejam internacionalmente reconhecidas (ver, por exemplo, MAA - 1996), estes softwares são raros em nossas escolas, devido, entre outros fatores, ao custo. Neste momento, um grupo de professores da U.F.R.J. vem trabalhando em um G.Din. nacional, compatível com recursos de ensino à distância via rede www, e mais acessível às nossas escolas e Secretarias de Educacão. A primeira versão deve ser apresentada no próximo ano.

Objetivos do Trabalho

A proposta didática apresentada foi elaborada com uma preocupação com o desenvolvimento aprofundado dos conteúdos específicos de cada disciplina, em um projeto interdisciplinar (PCNs, 1999). No nosso ponto de vista, a interdisciplinaridade não é uma 'qualidade' em si própria. Ela deve nos permitir explorar conteúdos e habilidades específicas das disciplinas envolvidas, que sejam relevantes para o desenvolvimento de nossos alunos. Em outras palavras, um projeto interdisciplinar não devem se deter em um conhecimento superficial de cada disciplina. Pelo contrário, o projeto deve motivar o aprofundamento. O estudo sistemático de conteúdos não deve 'perder espaço' com estes projetos, muito pelo contrário: deve ganhar. Não devemos levar nossos alunos a tratar superficialmente ciência e cultura.

Um projeto de desenvolvimento de painéis artísticos, deve conduzir a um estudo aprofundado das figuras geométricas e de suas propriedades. Por outro lado, o professor de Artes poderá explorar uma forma de arte das mais antigas: o mosaico. Um painel será obtido de uma figura geométrica 'inicial', através de repetições sistemáticas deste 'motivo' principal. Matematicamente falando, vamos obter imagens do 'motivo' por transformações no plano como a reflexão, a rotação ou a translação, criando-se uma oportunidade para o estudo destes conteúdos.

Desenvolvimento do Projeto

Inicialmente, apresentamos de uma forma de utilização pedagógica do software denominada Caixa Preta. Nela, os alunos são apresentados a uma figura já pronta (figura 2a), preparada previamente pelo professor, com a qual eles podem interagir. O objetivo desta exploração é descobrir como as figuras foram geradas, e quais as propriedades geométricas de cada uma delas. A figura 2a mostra três diferentes composições obtidas na tela a partir de um polígono inicial P. A composição A foi obtida por reflexões, a composição B foi gerada por rotações e a C, por translações.

P

Composição A

Composição B

Composição C

N

Figura 2a

P

Composição A

Composição B

Composição C

N

Figura 2b

A movimentação interativa dos vértices do polígono inicial P modificará, simultânea e continuamente, as três composições. Teremos efeitos de 'caleidoscópio' na composição A e de 'catavento' em B. Um exemplo das composições já modificadas pode ser visto na figura 2b, onde apenas o vértice N do polígono P foi deslocado em relação a sua posição inicial na figura 2a.

A partir desta motivação inicial, cada disciplina tem um caminho próprio a seguir. O professor de Artes pode, por exemplo, mostrar mosaicos em vários momentos da História da Arte, e desenvolver projetos gráficos com seus alunos, explorando outros recursos, como pintura, colagem, etc. Os professores de Desenho e de Matemática têm também um caminho a ser trilhado: polígonos e suas propriedades; transformações geométricas e suas propriedades, etc. Todos são passos importantes para que os alunos possam usar, conscientemente, formas geométricas para a criação de mosaicos e painéis.

Ilustraremos ainda neste artigo algumas possibilidades de utilização de G.Din. durante o estudo das transformações do plano.

Telas Resumo

Estas são telas para serem usadas na sistematização de um conceito, após a exploração inicial pelos alunos. Contendo informações fundamentais, podem ser usadas a qualquer momento, como fonte de consulta. Recursos adicionais de animação e estratégias de 'mostre - esconda' podem ser usados. Na figura 3, ilustramos esta idéia, através de uma tela desenvolvida para a transformação de reflexão. Nesta tela, diferentes propriedades podem ser exibidas na tela em diferentes momentos, e para cada propriedade, um recurso de animação é explorado.

Telas como esta foram também desenvolvidas para o estudo das translações e das rotações. Estas telas já foram testadas em cursos de capacitação de professores, oferecidos pelo Instituto de Matemática da U.F.R.J., tendo sido utilizadas após as aulas exploratórias dos conceitos fundamentais relacionados com as isometrias no plano. Para cada uma destas telas há um roteiro de utilização, além de um acompanhamento, sob a forma de exercícios e problemas (Guimarães e Belfort, 1999).

A'

A

3'

3

1'

2'

6'

5'

4'

1

2

6

5

4

D

C

Esconda

Mostre propriedade 2

Esconda


Esconda


Animate

Propriedade 3: A reflexão muda

a orientação da figura. Assim,

se a fronteira da figura original é

percorrida no sentido

anti-horário, a fronteira da

imagem é percorrida no sentido

horário, e vice-versa. Verifique:

Reflexões

Figura 3

Telas em Branco para Novas Construções

Compreendidas as propriedades básicas das transformações, o aluno pode fazer construções geométricas, explorando seus novos conhecimentos, e obtendo figuras a partir de um polígono inicial. Como exemplo, na figura 4, temos um painel construído a partir do polígono p1, usando reflexão e translação.

p1

v

A

B

Figura 4

As imagens transformadas da figura inicial aparecerão na tela como num 'passe de mágica'. Assim, este recurso deve ser utilizado quando não pretendemos explorar as construções associadas às transformações (o software também permitiria obter as imagens de uma figura ponto a ponto, por construções geométricas).

Painéis Dinâmicos

Através da utilização dos recursos de animação dos softwares, podemos gerar painéis que se movem, criando mosaicos dinâmicos. Como projeto final dos alunos, propomos painéis de inspiração indiana. Um exemplo é mostrado na figura 5: em uma malha quadrada, figuras simétricas são construídas. Os recursos de animação permitem que se visualize uma seqüência contínua de painéis, como ilustrado.

EMBED MSDraw \* MERGEFORMAT

Figura 5

Um mundo de possibilidades está aberto: outras malhas podem ser usadas: paralelogramos, triângulos, etc. A figura 6 ilustra alguns efeitos obtidos.

Figura 6

Conclusão

Esperamos ter mostrado que G. Din. é ferramenta valiosa em Geometria. No entanto, alunos que tenham estudado Desenho como expressão gráfica de conceitos geométricos podem 'lucrar' ainda mais. Não temos dúvidas o estudo de Desenho ajuda o estudo da Geometria. Fica a pergunta: sua escola valoriza o Desenho?

Em um projeto escolar, as malhas decorativas podem ser o objetivo final de projetos interdisciplinares envolvendo Artes, Desenho e Matemática. Para atingir o objetivo, as disciplinas envolvidas seguirão por trilhas diversas, aprofundando conhecimentos e proporcionando diferentes formas de pensar o desafio. A integração e a síntese destes conhecimentos levarão o aluno ao objetivo, criando ainda uma visão da importância dos conhecimentos específicos no trabalho interdisciplinar. Estaremos, então, ensinando os nossos alunos a valorizar o estudo e a pesquisa, a aprofundar seus conhecimentos e a utilizá-los de forma sintética na resolução de desafios.

Referências

Belleiman, J. e Laborde, J.M. (1995) - CABRI GEOMETRY II - Software - Texas Instruments

Guimarães, L.C. e Belfort, E. (1999) - Roteiros de Laboratório de Geometria - I.M. - U.F.R.J., Rio de Janeiro.

Kortenkamp, U. (1999) - Cinderella - Dinamic Geometry - Software Educacional.

Jacwik, N. (1996)- The Geometer's Sketchpad - Sofware - Key Curriculum Press, Emeryville.

Mathematics Americam Association (eds.) (1996) - Geometry Turned On - MAA, New York

Ministério da Educação (eds.) (1999) - Parâmetros Curriculares Nacionais: ensino médio - MEC, Brasília.

Singularidades: O que é isso?

Regilene Delazari dos Santos Oliveira

O objetivo desta palestra é apresentar uma área da matemática que tem se desenvolvido bastante nos últimos 30 anos, a Teoria de Singularidades. Esta teoria utiliza idéias que já fascinaram muitos matemáticos e usuários da matemática. A Teoria de Singularidades teve início nos anos 60 com os trabalhos de um matemático francês, chamado René Thom, que muitas vezes se inspirou nas pesquisas de outro matemático, H. Whitney. Essa teoria não apenas deu sentido preciso a muitos conceitos de geometria diferencial como também enriqueceu a imaginação de grandes geômetras e fornece ferramentas a muitas áreas do conhecimento.

Nesta Palestra falaremos sobre o desenvolvimento dessa teoria, apresentando uma idéia do que é conhecida como máquina da catástrofe gravitacional e falando sobre algumas ferramentas desenvolvidas pela teoria de Singularidades usando apenas conceitos vistos em cursos de cálculo e geometria.



Aldício José Miranda

Nesta conferência mostraremos aos presentes que figuras fractais utilizadas em capas de cadernos, cartões postais, papéis de enfeite, etc. não são difíceis de serem construídas. Primeiramente apresentaremos o que se chama de iteração de funções. Para este propósito poderemos utilizar funções reais. O processo de iteração nada mais é do que calcular a imagem f(x) de um ponto sob uma função f, e depois calcular f(f(x)), depois f(f(f(x))), e assim continuar procedendo. Ao conjunto dessas imagens chamamos de órbita do ponto x sob a função f. Para chegarmos às figuras fractais precisaremos falar em iterações de funções complexas, que associam a um ponto complexo a+bi uma imagem complexa f(a+bi) = c+di. O comportamento das órbitas dos pontos complexos é de modo geral bem imprevisível. Podemos separar o plano complexo em dois conjuntos, o primeiro formado pelos pontos cujas órbitas tendem a origem 0+0i e o segundo formado pelos pontos cujas órbitas tendem ao ponto no infinito, isto é, os módulos dos pontos que formam a órbita crescem tendendo ao infinito. Existe um terceiro conjunto formado pelos pontos que separam os dois primeiros, conhecido como conjunto de Julia. Para criar figuras fractais utilizamos o processo de iteração de função complexa e estudamos quantas iterações são necessária para que os módulos dos pontos da órbita de a+bi sejam maiores que 2. Conseguimos demonstrar que se um ponto da órbita tem módulo maior que 2 então a órbita tende a infinito. De acordo com o número de passos necessários atribuímos uma cor ao ponto a+bi . Assim procedemos iterando uma quantidade suficientemente grande de pontos numa região do plano complexo. Conseguimos colorir essa região com este processo criando uma figura fractal como as descritas acima.

Bibliografia:

Devaney, R. L. Chaos, Fractals, and Dynamics – Computer Experiments in Mathematics, Addison-Wesley Publishing Company, New York, 1990, 182 pg.

Modelagem Geométrica: Representação e Manipulação de Objetos Geométricos Utilizando o Computador

Antônio Castello Filho

Esta palestra apresentará um resumo histórico de modelagem geométrica nos últimos 40 anos, assim como as principais formas de representação e técnicas de modelagem de sólidos. Também serão apresentados os requisitos de sistemas de modelagem de sólidos e por fim os sistemas de modelagem de sólidos SM2 e MIO desenvolvido no ICMC - USP


Sadao Massago

Dizemos que dois círculos (possivelmente deformados no ponto de vista geométrico) colocados no espaço são equivalentes (iguais) quando for possível deformar continuamente (sem recortar, perfurar, etc) um ao outro.

No espaço, podemos colocar círculos de forma que não sejam equivalentes, como mostrado na figura a seguir.

Figura 1: Formas diferentes de colocar círculos no espaço

Se uma formiga caminhar sobre estes círculos, não poderá notar a diferença significativa entre eles. Mas obviamente podemos observar que os dois círculos acima são diferentes, pois um deles está “amarrado". A diferença fundamental está na forma como foi colocado no espaço, que só o poderá a ser observada por quem está fora do círculo.

Em muitos casos, a forma como foi colocado no espaço é fundamental. Na figura abaixo, o conjunto de argolas a esquerda não tem a mesma utilidade do conjunto das argolas a direita.

Figura 2: A forma como é colocado faz a diferença

O estudo destes tipos de problemas é conhecido como “teoria de nós". Este assunto foi estudado por muitos pesquisadores os quais obtiveram diversos resultados importantes na matemática.

Transformações no Plano com Aplicações ao Traçado de Gráficos de Funções


Nos últimos anos o estudo das transformações no plano foi, praticamente, banido dos currículos escolares. Por outro lado, os livros didáticos, de um modo geral, há muito tempo abandonaram a abordagem de tópicos ou desenvolvimento de atividades que conduzam à exploração destas transformações.

A partir das recomendações feitas nos PCNs, parece que esta situação está começando, aos poucos, a se reverter. No entanto, a ausência deste assunto nos livros didáticos aumenta as dificuldades encontradas pelos professores para o desenvolvimento de atividades que explorem estes conceitos e suas aplicações.

Este trabalho pretende suprir, em parte, esta lacuna, desenvolvendo e propondo atividades que visam relacionar o efeito geométrico de cada transformação com uma mudança nas coordenadas e, ao mesmo tempo, enfatizando algumas das vantagens do uso do computador para a consecução destes objetivos. É destinado a professores e alunos a partir do ensino médio, tendo como objetivos específicos:

1. Relacionar transformações no plano com mudanças de coordenadas.

2. Definir congruência e semelhança por meio de transformações no plano.

3. Obter gráficos de funções usando estas transformações.

4. Conscientizar o professor das possibilidades do uso das novas tecnologias no ensino.

Este trabalho é dividido em duas partes. Na primeira, definimos congruências por meio de movimentos rígidos e classificamos estes movimentos. O computador é usado para ilustrar o efeito geométrico destes movimentos, ao mesmo tempo em que torna simples relacioná-los a mudanças ocorridas nas coordenadas dos pontos. Ainda nesta parte, definimos semelhança por meio de transformações de semelhança e as caracterizamos analiticamente. Novamente, o computador é usado para explorar o efeito geométrico destas transformações.

Na segunda parte, aplicamos os conceitos desenvolvidos na primeira, ao traçado de gráficos de funções. As atividades desenvolvidas nesta parte exploram a definição de gráfico de uma função e visam integrar este conceito com os de transformações no plano. A partir da definição de gráfico (conjunto de pontos do plano que satisfazem uma condição dada), as atividades levam os alunos a obter gráficos de várias funções, relacionando-os, por meio de transformações no plano, a um gráfico-padrão conhecido.

Para definir e caracterizar, geometricamente, as transformações, fazemos uso de um aplicativo, elaborado por uma equipe de professores do IM-UFRJ como parte de um projeto de desenvolvimento de material adequado para educação à distância. Este aplicativo foi desenvolvido a partir dos programas comerciais “The Geometre’s Sketchpad”, “Maple V R5” e “Mathview” e funciona em conjunto com um “browser” tipo Netscape ou Internet Explore, a partir da instalação de um “plugin” de domínio público. Por possuir uma interface bastante amigável com o usuário e, por não necessitar de programas computacionais especiais, além de um “browser”, o uso deste material pelo professor e pelo aluno é muito simples, fácil e acessível.

Estas atividades são parte integrante da disciplina “Introdução às Funções Reais” concebida como um primeiro modelo para disciplinas “on line”, a serem desenvolvidas dentro do projeto de educação à distância e continuada do IM-UFRJ. Sua característica principal é a total interatividade com o usuário, permitindo que se explore integral e efetivamente os aspectos dinâmicos dos conceitos envolvidos.

Desenvolvendo este material, procuramos mostrar como é possível utilizar a tecnologia para ensinar e aprender matemática. Esperamos que ele se constitua num valioso instrumento de capacitação e apoio ao professor e de melhoria na formação básica de nossos alunos.

Referências

Bianchini, Waldecir & Rocha, Angela – Aprendendo Cálculo com o MAPLE, volume I, IM-UFRJ, 2000.

Bianchini, Waldecir & Giraldo, Victor & Kubrusly, Ricardo & Rocha, Angela – Introdução às Funções Reais – Um enfoque Computacional, IM-UFRJ, 1998.

Bianchini, Waldecir & Rocha, Angela – Introdução ao Maple V, IM-UFRJ, 1997

Demana, F & Waits, B.K & Clemens S.R & Foley G.D – Precalculus A Graphing Approach, Addison-Wesley, 1996.

Lima, Elon Lages – Coordenadas no Plano, IMPA/VITAE, 1992

National Council of Teachers of Mathematics - Yearbooks.

Wells, D & Tilson, L – Precalculus A view of te world around us – Prentice Hall, New Jersey, 1998.

Periódicos:

Revista do Professor de Matemática. SBM.

The Mathematics Teacher. NCTM

International Journal for Mathematics, Science and Technology Education

Softwares Utilizados:

Maple V R5 – Waterloo Incorporation, 1998

MathView – Waterloo Incorporation, 1997

The Geometer's Sketchpad, Version 3.05. N. Jackiw. Key Curriculum Press, 1996.

Minicursos

Matemática Comercial e Financeira – Miscelânea de Aplicações


Vamos abordar, nestas notas, alguns conceitos e aplicações da matemática financeira, na área de Engenharia Econômica.

A Engenharia Econômica pode ser definida como o conjunto de conhecimentos necessários à tomada de decisão em investimentos. O estudo de engenharia econômica aplica-se a diversas áreas, por exemplo: problemas de transporte de materiais e avaliação de alternativas de investimentos.

Na análise de vantagens e desvantagens, as questões mais complexas de engenharia econômica são os fatores “imponderáveis” ou “irredutíveis”. Como exemplos de fatores imponderáveis podemos citar: valor de estima, prestígio, imagem pessoal e da empresa, satisfação por parte dos empregados e receptividade de clientes. A credibilidade, pessoal ou empresarial, é tratada nos dias de hoje como um fator mensurável, embora podemos dizer que se trata de um fator imponderável. A complexidade reside no fato de que, em geral, esses elementos de análise não podem ser expressos em valores monetários.

A engenharia econômica abstrai-se dos fatores imponderáveis, para oferecer, a quem couber tomar decisão, diversas alternativas, incluindo nelas, o custo final desses mesmos fatores.

Geralmente, a unidade usual de medida na análise de alternativas em negócios é a unidade monetária, ou seja, o dinheiro.

Este minicurso terá como texto básico Apontamentos no. 90 (EDUEM) que será distribuído aos alunos inscritos.

Lembramos que a matemática financeira é a arte de estudar o “valor do dinheiro no tempo”. O capital é um fluxo e, por isso, não pode ser considerado estático; sempre está sob a influência de alguma taxa.

Estas notas não contêm demonstrações detalhadas, pois o objetivo é servir como um roteiro dos comentários, aplicações e leitura extra livro texto de uma disciplina de Matemática Comercial e Financeira. O importante é que, como já experimentamos, o professor de matemática vai chamando a atenção e deduzindo as fórmulas ou equações. O rigor matemático exigido pode ser avocado, em função do nível do curso em foco.

Espaços Métricos: como medir distâncias


Neste minicurso será definida o que é uma métrica num conjunto. Esta função chamada métrica enriquece a estrutura do conjunto e permite a definição precisa de distância entre pontos. Com isso é possível definir vizinhanças especiais de pontos, chamadas bolas abertas. Em seguida consideraremos uma aplicação entre espaços métricos, isto é, uma aplicação entre dois conjuntos onde cada um deles possui uma métrica. É possível então, precisar matematicamente a noção de aplicação contínua, expandindo o conhecimento acerca desse assunto estudado em disciplinas como Cálculo Diferencial e Integral. Demonstraremos que as propriedades elementares de funções reais contínuas são casos particulares das propriedades elementares de aplicações contínuas entre espaços métricos. Finalmente estudaremos o conceito de homeomorfismo entre espaços métricos, o que fornece uma definição matemática para idéia de deformação de espaços.

Referências

Lima, E. L. Espaços Métricos, IMPA-Projeto Euclides, São Paulo, 1977, 299 pg.

Lipschutz, S. Topologia Geral, McGraw-Hill do Brasil, São Paulo, 1979, 301 pg.

Abordagem Metodológica para o Ensino de Frações


João Cesar Guirado


A prática pedagógica tem nos mostrado que a maioria dos alunos apresenta dificuldades na construção do conceito de fração e na aprendizagem das operações fundamentais envolvendo esse conceito. Essas dificuldades permanecem ao longo do processo de escolarização e nem sempre são superadas. Pesquisas revelam que tal fato se deve, em grande parte, ao tratamento metodológico dado ao assunto, quando da introdução do conceito.

No mini curso proposto será apresentada uma fundamentação teórica sobre frações e os encaminhamentos metodológicos para abordagem desse conceito e de suas operações fundamentais.

Os princípios norteadores da proposta metodológica a ser apresentada estão baseados no processo de construção do conhecimento aliados à relação da matemática com o cotidiano.

Simetrias no Plano: Uma Abordagem Pedagógica



Ao se pensar na abordagem de um conteúdo num contexto pedagógico, é fundamental que se tenha clareza de sua importância. Essa clareza, juntamente com as questões do domínio do conteúdo e de uma metodologia de trabalho adequada, imprimem ao professor uma postura favorável ao envolvimento dos alunos no aprendizado daquele conteúdo.

Esta oficina pretende contribuir tanto para o enriquecimento do conhecimento do professor, como para sua atuação no ensino.

A simetria se apresenta como propriedade de formas geométricas. Constitui-se num tema que, a princípio, se integra à educação artística, uma vez que suas noções possibilitam o desenvolvimento do senso estético, motivando a elaboração de bonitos desenhos ou mesmo recortes. Além disso, as noções de simetrias levam a uma compreensão mais rica das figuras geométricas e suas propriedades. E isso por sua vez, nos permite trabalhar sua ligação com o desenho geométrico, sua relação com a geometria plana, com a geometria analítica, com matrizes e trigonometria.

A importância de se ter conhecimento sobre simetria, destaca-se também nos trabalhos de marketing, nos dos marceneiros, dos engenheiros e arquitetos, até do biólogo, que leva em conta simetrias para classificar plantas e animais.

As atividades que proporemos podem ser aplicadas em mais de uma série, e cabe ao professor decidir o momento de suas abordagens. Neste enfoque, é importante ressaltar que uma das características dos currículos atuais é ser helicoidal, isto é, os tópicos estudados em determinada série não devem ser esgotados numa única abordagem, e sim devem ser retomados para aprofundamento ou ampliação de novos conceitos.

A abordagem será feita utilizando os seguintes temas:

1. O conceito de simetria no plano.

2. Classificação geral das simetrias no plano.

3. Classificação dos ornamentos.

4. Aplicações na geometria.

5. Aplicações em desenho geométrico.

6. Aplicações na trigonometria.

7. Aplicações na álgebra de matrizes.

O minicurso será apresentado através do desenvolvimento de atividades manipulativas e teóricas referentes ao conteúdo especificado no programa. Todas as atividades desenvolvidas estão contidas na proposta de um livro sobre o tema [Gerônimo e Franco]. Teremos como objetivo geral aplicar conceitos da geometria plana, geometria analítica plana, matrizes, trigonometria e desenho geométrico. Teremos como objetivo específico dar uma abordagem pedagógica do conceito de simetria no plano com uma fundamentação teórica básica.

Referências

J. R. Gerônimo, V. S. Franco. Simetrias no Plano. Apostila utilizada no minicurso Verão 2000 realizado no Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá em janeiro de 2000.

Abdala, A. O. e Gerônimo, J. R.. Notas de Curso: Oficina de Geometria. Seminários do Conhecimento, Faxinal do Céu, junho de 1998.

Armstrong, M. A., Groups and Symmetry, Spring-Verlag, New York, 1988.

Lima, E. L., Isometrias. Fundamentos de Matemática, Coleção Professor de Matemática, SBM, 1995.

Site na Internet: http://www.ucs.mun.ca/mathed/Geometry/ Transformations/ symmetry.html.

Palestra

Análise Crítica de Questões de Matemática do Vestibular da UEM


João Cesar Guirado



Com o objetivo de contribuir para um aperfeiçoamento do processo seletivo da UEM e subsidiar os professores de matemática para uma reavaliação do ensino dessa disciplina, um grupo de professores do Departamento de Matemática da UEM vem desenvolvendo o projeto “Redimensionando o Ensino-Aprendizagem da Matemática” por meio do qual realizam uma pesquisa com alunos de 3ª série do ensino médio e calouros do curso de matemática da UEM.

Na primeira etapa da pesquisa foi aplicada a prova de matemática do Concurso Vestibular de Inverno/99, a 246 (duzentos e quarenta e seis) alunos e Concurso Vestibular Verão/00 a 115 (cento e quinze) alunos, pertencentes ao universo já mencionado. O procedimento adotado para essa aplicação foi o mesmo utilizado quando da realização do concurso vestibular em questão. Porém, solicitou-se aos alunos que além do preenchimento da folha de respostas, apresentassem a resolução de cada alternativa das questões, em folha própria, e se manifestassem quanto ao grau de dificuldade, FÁCIL, MÉDIO, DIFÍCIL, apresentado para a resolução da questão, e se o conteúdo havia sido trabalhado ou não.

Após a aplicação, discutiu-se as soluções apresentadas pelos alunos, anotando-se as diferentes formas de resolução e os principais erros cometidos, com o objetivo de subsidiar a análise crítica da questão e verificar se no ensino médio é dada ênfase ao conteúdo envolvido na mesma.

As folhas de respostas foram processadas em máquina de leitora ótica e os resultados estatísticos por alternativa/questão foram apresentados segundo a técnica proposta por Heraldo Marelim Vianna, que consiste em subdividir o universo pesquisado em três grupos: 27 - S, 27 - I e 46 - M, correspondendo, respectivamente, a 27% dos que apresentaram os maiores índices de aproveitamento, 27% dos que apresentaram os menores índices de aproveitamento e 46% compreendidos na faixa intermediária.

Além disso, realizou-se um levantamento estatístico por alternativa/questão, segundo o critério: “não fez”, “errou” e “acertou”. Nessa estatística, o grupo “errou” corresponde aos alunos que tentaram resolver a questão mas não chegaram à resposta correta e também aos alunos que embora acertaram o resultado/alternativa, cometeram erros na resolução. Isso justifica a eventual discrepância entre as duas estatísticas apresentadas.

Nesta palestra discutir-se-á os resultados da pesquisa em questão esperando, desta forma, contribuir para a melhoria da qualidade da prova de Matemática do processo seletivo da UEM e do ensino preparatório a esse processo.

� Professor Doutor da Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.

E-mail: [email protected]

� Professor Doutor do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá.

E-mail: � HYPERLINK mailto:[email protected] ��[email protected]�.

� Aluno do 4º ano do Bacharelado em Matemática da UEM.




� Professora DSc. do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, Caixa Postal 68530 – CEP – 21945-970 Rio de Janeiro – RJ .


� Professora Doutora do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro.

E-mail: �HYPERLINK "mailto:[email protected]"��[email protected]�

� Professora Doutora do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá.




� Aluno do 3º do Bacharelado em Matemática da Universidade Estadual de Maringá.


� Professor Doutor do ICMC – Universidade de São Paulo – São Carlos - SP.

E-mail:

� Professor Doutor do Departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos – São Carlos - SP.

E-mail:

� Professora DSc. do Instituto de Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, Caixa Postal 68530 – CEP – 21945-970 Rio de Janeiro – RJ.

E-mail: � HYPERLINK mailto:[email protected] ��[email protected]�





� Professores Mestres do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá.

E-mail: � HYPERLINK mailto:[email protected] ��[email protected]�, � HYPERLINK mailto:[email protected] ��[email protected]�, � HYPERLINK mailto:[email protected] ��[email protected]�.

� Professores Doutores do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá.

E-mail: � HYPERLINK mailto:[email protected] ��[email protected]�, � HYPERLINK mailto:[email protected] ��[email protected]�.

� Professores Mestres do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá.

E-mail: � HYPERLINK mailto:[email protected] ��[email protected]�, � HYPERLINK mailto:[email protected] ��[email protected]�, � HYPERLINK mailto:[email protected] ��[email protected]�.


E-mail: [email protected].

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Atas da XII Semana da Matemática - 2000 · Web viewUniversidade Estadual de Maringá Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática Anais da XII Semana da Matemática 27