1

Resoluções

Extensivo Terceirão – Matemática 8A

8AMatemática

01.x

xxx

x x x

x x x x

+=

++

+ = ⋅ +

+ + = +=

7 147

7 14

14 49 14

49 0

2

2 2

( ) ( )

Como a igualdade obtida é falsa, os números x, x + 7 e x + 14 não podem estar, nessa ordem, em progressão geométrica.

02. dOs depósitos mensais formam uma progressão geométrica de razão 2.Assim:a

a

a a q

n

n

nn

n

n

1

11

1

1 11

1

2048

2048 1 2

2 2 12

==

= ⋅

= ⋅

= ⇒ =

−

−

−

A soma dos depósitos a cada 12 meses é:

Sa q a

q

S reais

1212 1

12

12048 2 1

2 14095

=⋅ −−

=⋅ −−

=

Portanto, em 21 anos o montante total dos depósitos foi de 21 4 095 00 85 995 00⋅ =R R$ . , $ . , .

03. dSejam x e y, respectivamente, o segundo e o terceiro termos da pro-gressão aritmética.Assim:PA x y

x y x y x

PG

x yx

x y

x x

( , , )

( , x , y)

( )

4

4 2 4

4 2

24 2

2 4

4

2

2

− = − ⇒ = −−

−=

−− =

− + 44 4 2 4

12 20 0 2 10

2 2 2 4 0

10 2 10 4

2

= ⋅ −

− + = ⇒ = == ⇒ = ⋅ − == ⇒ = ⋅ −

( )x

x x x ou x

x y

x y ==16

Como os terceiros termos são estritamente positivos, então y =16.04. 12 (04, 08)

01) INCORRETO.O número de circunferências é 150 20 1 131− + = .

02) INCORRETO.Comprimento da maior circunferência:2 150 300π⋅ = mm

Comprimento da menor circunferência:2 20 40π⋅ = mm

Portanto, o comprimento da maior circunferência é 30040

7 5= , vezes o comprimento da menor.

04) CORRETO.( , , ,..., )40 42 44 300

2

PA

r =

08) CORRETO.a mm

a mm

S

1

131

131

2 20 40

2 150 300

40 3002

131 2

= ⋅ == ⋅ =

=+

⋅ =

π ππ π

π π22270 2227π πmm cm=

05. c

S

a a q

S

n n

n n

n

n n

= + + + +

= = =

=⋅ −

−=

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

1

12

2 3

1

...

; ;

⋅⋅ −

−= −

12

12

12

11

2n

Assim:Sn

n

n n

>

− >

< ⇒ <

0 99

11

20 99

12

0 011

21

100

,

,

,

Como 2 646 = e 2 1287 = , então n≥ 7.Portanto, o menor número n tal que Sn > 0 99, é 7.

06. dA distância total d percorrida corresponde a 15 vezes a medida dos lados dos quadradinhos.Assim:d cm= ⋅ =15 1 5 22 5, ,

07. cSejam x – r, x e x + r os três números em progressão aritmética.Assim:x r x x r

x x

− + + + == ⇒ =

30

3 30 10

( , , )

( , , )

10 4 10 4 10 9

14 6 1

614

16

36 14 14

− + − + −− +

−=+

= + − −

r r PG

r r PG

rr

r r rr

r r r ou r

r PA

r PA

2

2 13 22 0 2 11

2 8 10 12

11 1 10 21

− + = ⇒ = == ⇒= ⇒ −

( , , )

( , , )

Como os três números em progressão aritmética são positivos, então os termos da PA são 8, 10 e 12.

08.a) Os tempos gastos para resolver cada questão formam uma progres-

são geométrica de razão 2.a a a a a

a a a an n

n

1 2 3 2 1

1 2 3 2

63 5

31 5

+ + + + + =+ + + + =

− −

−

... ,

... ,

Atividades Série Ouro

2 Extensivo Terceirão – Matemática 8A

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:a

a

a a

S

n

n

nn

n

n

−

−

− −−

−

−

= −=

⋅ = ⇒ = =

=

1

1

11 1

1

5

27

1

63 5 31 5

32

2 322

22

63 5

3

, ,

,

22 2 22 1

63 5

2 0 5 212

2 2 8

7

7 7 7 1

⋅ −−

=

= ⇒ = ⇒ = ⇒ =

−

− − − −

n

n n n n

,

,

O número de questões da prova é 8.b) Como para resolver a penúltima questão o aluno gasta 32 minutos,

para resolver a última questão o aluno gasta 64 minutos.Assim:S a a a a a a

S

S

n n n n

n

n

= + + + + + += +=

− −1 2 3 2 1

63 5 64

127 5

...

,

,

Portanto, o tempo necessário para resolver todas as questões é 127,5 minutos.

09. 24Sejam x y r= − e z y r= + .

Assim:x y z

y r y y r

y y

+ + =− + + + == ⇒ =

48

48

3 48 16

Progressão aritmética: ( , , )16 16 16− +r r

Progressão geométrica: ( , , )16 16 16 8− + +r r

Portanto:16

1624

16

256 384 16 24

8 128 0 8 16

2

2

−=

+

= + − −

+ − = ⇒ = = −

rr

r r r

r r r ou r

Como a progressão aritmética é crescente, então r = 8.

Portanto:z r

z

z

= += +=

16

16 8

24

10. A medida de cada lado do quadrado A B C D1 1 1 1 é igual à medida decada diagonal do quadrado.

L L LL

2 1 212

22

= ⇒ =

A medida de cada lado do quadrado A B C D2 2 2 2 é igual à medida de

cada diagonal do quadrado A B C D3 3 3 3 .

L L LL

3 2 322

22

= ⇒ =

Assim, a sequência ( , , , ...)L L L1 2 3 é uma progressão geométrica de

razão 2

2.

Sendo ℓ a medida dos lados do quadrado A B C D1 1 1 1 , temos:

L L

L

50 1

49

50

49

22

22

= ⋅

= ⋅

n

11. d10 6400

10 2 10

10 10 10

10 10

3 807

6 2

0 3012 6 2

18072 2

x

x

x

x

x

=

= ⋅

= ⋅

==

+

( )

,

,

,

22

12. aO logaritmo na base 10 de 999999999 é um número entre 8 e 9, pois 10 999999999 108 9< < .Assim, log( ) ,d999999999 8 1= (d1 é a parte decimal). O logaritmo na base 10 de 8 1,d é um número entre 0 e 1, pois 10 8 100

11< <,d .

Assim, log( , ) ,8 01 2d d= (d2 é a parte decimal).O logaritmo na base 10 de 0 2,d é um número negativo, pois 0 102

0,d < .Assim, log( ,d )0 2 = −k , sendo k um número positivo. O logaritmo de um número negativo não é real.Portanto, para que apareça uma mensagem de erro a tecla LOG preci-sa ser pressionada 4 vezes.

13. dlog , ,2 0 3 10 20 3= ⇒ =

Assim:x

x

x

=

=

= = =

100

10

10 2 4

0 3

2 0 3

0 3 2 2

,

,

,

( )

( )

14. b2x x

x

2

2

2

2

2

e (e 1) e e 0

e m

m (e 1) m e 0

[ (e 1)] [ (e 1)] 4 1 ( e)m

2 1

e 1 e 2e 1 4em

2

e 1 e 2e 1m

2

e 1 (e 1)m

2e 1 (e 1)

m m e ou m 12

− − ⋅ − =

=

− − ⋅ − =

− − − ± − − − ⋅ ⋅ −=⋅

− ± − + +=

− ± + +=

− ± +=

− ± += ⇒ = = −

e m

e e x

e x

x

x

x

=

= ⇒ =

= − ⇒ ∉

1

1

Portanto, o conjunto solução da equação é S = { }1 .

3Extensivo Terceirão – Matemática 8A

15.a) As quantidades de visualizações do vídeo em cada dia formam uma

progressão geométrica de razão 3.

DiasQuantidade de visualizações do vídeo

em cada dia

1 7x

2 21x

3 63x

4 189x

5 567x

Assim:7 21 63 189 567 12705

847 12705

15

x x x x x

x

x

+ + + + ==

=

Observação: Outra maneira de determinar o valor de x é utilizar a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica.

b)a x

q

ann

n

n

1

1

1

1

7 7 15 105

3

2066715

105 3 2066715

3 19683

3

= = ⋅ ===

⋅ =

=

=

−

−

− 33 1 9 109 ⇒ − = ⇒ =n n

Portanto, no décimo dia o vídeo teve 2066715 visualizações.

01. dInicialmente, tem-se:

11 1

1

32

10 5 3

3

10

5 3 10

3 10

+ +

=

+ +

=

=+ +( )

= −

xx

x xx

x x

xx

( )330 5 3 101⋅ + +[ ( )]x x

Utilizando o termo geral, tem-se:

T x C x x

T x C C x x

T x

p p p

ppk k p k

= ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

− −

− −

3010

5 3 10

3010

3 5

1( )

( ) ( )−− −

− −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

3010

3 5 5

105 2 30

C C x x

T C C x

ppk k p k

ppk p k

Para que o expoente de x seja igual a 3, deve-se ter 5p – 2k – 30 = 3, ou seja:

pk

=+2 335

Observando que 0 ≤ k ≤ p ≤ 10, tem-se p = 7 e k = 1 ou p = 9 e k = 6. Logo:

T C C x C C x

T C C C C x

T

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ +

107

71 3

109

96 3

107

71

109

96 3

120 7

( )

( 110 84

1680

3

3

⋅ ⋅

= ⋅

) x

T xPortanto, o coeficiente de x3 é igual a 1680.

02. V – F – V – V – V00) VERDADEIRA.

20

13

20

2

21

8

20

13

20

2

20

7

+

=

+

=

x

x

+

+

=

+

20

8

20

13

20

2

20

13

20

8

2

x

00

2

20

13

132

72

2 13 2 13 20

x

x ou x

x ou x

=

= =

= + =

Logo, a e b ou a e b= = = =132

72

72

132

, . Portanto,

a b+ = + = =132

72

202

10.

01) FALSA.

1x

1x

1x

1x

1x

8 8

2+

⋅ −

= +

⋅ −

= −x x x x x

822

8

Logo, o desenvolvimento possui 9 termos.02) VERDADEIRA.

56

15 3

6

25 3 3 5 3 2 646 5 4 2 6 6 6−

⋅ +

⋅ − + = − = =... ( )

03) VERDADEIRA.

C C C C C C C60

61

62

63

65

66 6

642 64 15 49+ + + + + = − = − =

04) VERDADEIRA.

n n n

n

n

n

0 1256

2 2

8

8

+

+ +

=

==

...

03. eT C

T C

T

6 105

6 105 5 5

6

2 7

2 7

252 7

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

( (cos ) sen )

cos sen

5 5

5 5

θ θ

θ θ55 5

65 5

62 6

2

36 7 7 2

6 7 2

⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

sen cos

sen cos

sen

5 5

5

θ θ

θ θ

θ

T

T

( )

( ))

( !) ( )T62 63 7 2= ⋅ ⋅ sen 5 θ

04. cSeja x = +3 93 3 , então, elevando ao cubo ambos os membros da igualdade, tem-se:

x

x

x

3 3 3 3

3 3 3 3 2 3 1 3 1 3 2 3 3

3

3 9

3 3 3 9 3 3 9 9

3

= +

= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

= +

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

33 3 9 3 9 9

3 3 9 12

3 3 12

3

3 3 3 3

3 3

3 33

3

⋅ ⋅ ⋅ + +

= ⋅ ⋅ ⋅ +

= ⋅ ⋅ +

= ⋅

( ) ( ) ( )

( ) ( )x x

x x

x 33 12

9 12

9 12 0

3

3

⋅ +

= +

− − =

x

x x

x x05. b

Utilizando o termo geral, tem-se:T C x x

T C C x x

T C C x

p p p

ppk k p k

ppk p k

= ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

−

−

+

102 10

102

10

1( )

( )

Para que o termo seja independente de x, deve-se ter p + k = 0.Observando que 0 ≤ k ≤ p ≤ 10, tem-se p = k = 0, ou seja:

T C C x

T x

T

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅=

+100

00 0 0

01 1

1Portanto, o coeficiente do termo independente de x, nessa expansão, é igual a 1.

06. eTT

CC

TT

1

2

63 3 3

64 4 2

1

2

0 44 0 560 44 0 56

20 0 5615

=⋅ ⋅⋅ ⋅

=⋅⋅

( , ) ( , )( , ) ( , )

,00 44

4 563 44

5633

170,

,=⋅⋅

= ≅

07. d[( ) ( )] [( ) ]

[( ) ( )] [(

x y x y x y

x y x y x

+ + ⋅ + − = + −

+ + ⋅ + − =

2 1 2 1 2 1

2 1 2 1

3 2 2 3

3 ++ − ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ + ⋅ −

+

2 3 2 1

3 2 1 1

2

2 3 2 2 2 1

2 1 2 2 2 3

y x y

x y

x

) ] [( ) ] ( )

[( ) ] ( ) ( )

[( yy x y x y x y x y+ ⋅ + − = + − ⋅ + + ⋅ + −1 2 1 2 3 2 3 2 13 6 4 2) ( )] ( ) ( ) ( )

Observando que (x + 2y)6 possui 7 termos do sexto grau, que (x + 2y)4 possui 5 termos do quarto grau, que (x + 2y)2 possui 3 termos do segundo grau e que –1 é o termo independente, conclui-se que o desenvolvimento possui 7 + 5 + 3 + 1 = 16 termos.

Resoluções

1Extensivo Terceirão – Matemática 8B

8BMatemáticaAtividades Série Ouro

08. 12 (04, 08)01) FALSA.

Se o desenvolvimento desse binômio possui cinco termos, então n = 4. Para calcular a soma dos coeficientes, podemos substituir x = 1:

11

12 162

3

44+

= =

02) FALSA.Se n = 4, então o binômio possui 5 termos e o termo médio é o 3°. Nesse caso, o coeficiente do termo médio desse binômio é igual a:C 4

2 6= .04) VERDADEIRA.

Se o expoente é igual a n, então o binômio possui (n + 1) termos. Logo, se n é ímpar, necessariamente (n + 1) é par.

08) VERDADEIRA.Considerando que a soma dos coeficientes é igual a 64 e substi-tuindo x = 1, temos:

11

164

2 2

6

23

6

+

=

==

n

n

n16) FALSA.

O primeiro termo é igual a T C x x xnn n

10 3 0 2 0 2= ⋅ ⋅ =− −( ) ( ) .

O último termo é igual a T C x x xn nn n n n n

+− − −= ⋅ ⋅ =1

3 2 3( ) ( ) .O produto destes termos é igual a T T x x x xn

n n n n n1 1

2 3 2 3⋅ = ⋅ = =+− − − .

09. aO termo geral do binômio é dado por:T C

T C

pp p p

pp

pp

p

+−

+−

−

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

1 453 45

1 453 45

452

5 2 3

5 2 3

( ) ( )

Como Cp p45

452⋅ − é racional para qualquer p natural, para que o termo geral seja racional, é necessário e suficiente que p seja divisível por 3 e por 2, pois nesse caso, os expoentes das potências de bases 5 e 3, respecti-vamente, são números inteiros. Portanto, p deve ser um número natural divisível por 6 e não maior do que 45. Para cada valor de p que satisfaz essas condições, há um termo racional do desenvolvimento do binômio. Logo, p ∈ {0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42}, ou seja, existem 8 parcelas racionais.

10. bSe (a, b, c) são números não nulos e formam, nesta ordem, uma progres-

são geométrica, então ba

cb

= . Se o 2°, 3° e 5° termos do desenvolvimen-

to de (2 + X)5 estão, nesta ordem, em progressão geométrica, então:TT

TT

C xC x

C xC x

xx

3

2

5

3

52 2 3

51 1 4

54 4 1

52 2 3

2

1

22

22

8080

1

=

⋅ ⋅⋅ ⋅

= ⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅⋅

= 0080

808

4

2

2

⋅⋅

=

>=

xx

xx

xx ( )Portanto, x = 8.

11. dObserve que:

•++⋅

=

++

=

+

→

= +

⋅+n n n n n

n

n10 1 0

1

0 1

1

1 01

1

1

11

11 1 1

1

1 1

1

212 1

++⋅

=

++

=

+

→ ⋅

•n n n n n

= +

⋅+

++⋅

=

++

=

+

•

11

1

2

12 1 2

1

2 1

1

3

n

n

n n n n→ ⋅

= +

⋅+

13 2

11

1

3

n

n

n

•++⋅

=

++

→ +

⋅

= +

⋅++

nn

n

n

n

n n

n

n n

n

n11

1

11

11

1

1

1

Logo:

n n n n1 1 1... é igual a :

0 1 2 n2 3 n 1

n 1 n 1 n 1 n 11...

1 2 3 n 1n 1

+ + + + +

+ + + + ⋅ + + + + ++

Portanto:

n n n

n

n

n nn

012 1

13 2

11

11

2 1

+

+

+ ++

=+

⋅ −+...nn

n n n

n

n

n

+

+

+

+ ++

1

0

012 1

13 2

11

...

=+

⋅ −

+

+

+ +

+11

2 1

012 1

13 2

1

1

n

n n n

n

n[ ]

...++

= −+

+

12 1

1

1n

n n

n

12. c

13

1

=

+

n

kn

kUtilizando a relação de Fermat, tem-se:133 3

4 3

=+−

+ = −= +

k 1n k

k n k

n k13. b

7! = 8 ∙ (n – 1)! – 7207 ∙ 6! = 8 ∙ (n – 1)! – 6!7 ∙ 6! + 6! = 8 ∙ (n – 1)!(7 + 1) ∙ 6! = 8 ∙ (n – 1)!8 ∙ 6! = 8 ∙ (n – 1)!6! = (n – 1)!6 = n – 1n = 7Portanto, n é um número ímpar

14. e

E

E

=⋅+

⋅+

⋅+ +

⋅

= −

+ −

11 2

12 3

13 4

11 999 2 000

11

12

12

13

...

+ −

+ + −

= −

=

13

14

11999

12000

11

200019992000

...

E

E

EE

E

E

=⋅

= ⋅

= ⋅

−

−

19992 10

999 5 10

9 995 10

3

3

1

,

,15. b

E

E Cnn

=−

=

=

−

=

∑

∑

n

n 1n 1

p

n 1

p1

E C C C C C C

E C C C C C C

pp= + + + + + +

= + + + + + +

−10

21

32

43

54 1

20

21

32

43

54

...

... ppp −1

Utilizando a relação de Stifel, sucessivas vezes, tem-se:E C C C C C Cp

p= + + + + + + −( ) ...20

21

32

43

54 1

2 Extensivo Terceirão – Matemática 8B

E C C C C C

E C C C C C

E C

pp

pp

= + + + + +

= + + + + +

= +

−

−

31

32

43

54 1

31

32

43

54 1

42

( )

CC C C

E C C C C

E C C C

E

pp

pp

pp

43

54 1

42

43

54 1

53

54 1

+ + +

= + + + +

= + + +

=

−

−

−

( )

(( )C C C

E C C

pp

pp

53

54 1

64 1

+ + +

= + +

−

−

Prosseguindo da mesma forma, tem-se:E C C

E C

pp

pp

pp

= +

=

− −

+−

2 1

11

Utilizando o fato de que combinações com taxas complementares são iguais, tem-se:

E C

E C

Ep p

Ep p

pp p

p

=

=

=+ ⋅

=+ ⋅

++ − −

+

11 1

12

1212

( )

( )!

( )

16. 85 No produto dos cinco fatores, o termo em x2 ocorrerá nos casos em que multiplicamos dois fatores do 1o. grau, de dois binômios distintos, e três fatores de grau zero, dos demais binômios. Como C5,2 = 10, exis-tem 10 produtos de dois fatores do 1o. grau que originam um termo em x2. Os produtos são os seguintes:5 ∙ 4 + 5 ∙ 3 + 5 ∙ 2 + 5 ∙ 1 + 4 ∙ 3 + 4 ∙ 2 + 4 ∙ 1 + 3 ∙ 2 + 3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 = 85Logo, o coeficiente de x2 da expansão é igual a 85.

17. d Observe que:

( !) ( )! !( )! !

! ! ( ) ! !( ) ( ) !

n n nn n

n n n n nn n n n

2 12

12 1

+ + ⋅+ ⋅

=⋅ + + ⋅ ⋅+ ⋅ + ⋅ ⋅ !!

! ! [( ) ]( ) ( ) ! !

( !) ( )! !(

=⋅ ⋅ + ++ ⋅ + ⋅ ⋅

=+

+ − ⋅−

n n nn n n n n

n nn

1 12 1

11

11

2

))! !! ! !( )! !

! ( )!( )! !⋅

=⋅ + ⋅−

=⋅ ⋅ −− ⋅

=n

n n nn n

n n nn n

n0

11

1

Logo:

( !) ( )! !( )! !

( !) ( )! !( )! !

n n nn n

n nn n

n

2

2

12

11

11

+ ++

+ −−

+

= + 1

n 1

1

n 1n nn n n

+=

+⋅ + − ⋅ = −

11

1 1 1( )

18. 414Utilizando o termo geral, tem-se:

T C x x

T C C x x

T C C x

p p p

ppk k p k

ppk p k

= ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

−

−

+

92 9

92

9

1( )

( )

Para que o termo seja independente de x, deve-se ter p + k = 4.Observando que 0 ≤ k ≤ p ≤ 9, tem-se p = 4 e k = 0, ou p = 3 e k = 1 ou p = k = 2, ou seja:

T C C x C C x C C x

T C C C C C C

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅94

40 4

93

31 4

92

22 4

94

40

93

31

92( 22

2 4

4

4

126 1 84 3 36 1

414

)

( )

⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅

x

T x

T xPortanto, o coeficiente do termo em x4 é igual a 414.

19. e I. VERDADEIRA.

De acordo com o teorema das combinações com taxas comple-

mentares, tem-se: 50

32

50

18

=

, pois 32 + 18 = 50

II. VERDADEIRA.De acordo com a propriedade da soma das combinações de uma mesma linha, tem-se:

20

0

20

1

20

2

20

202 20

+

+

+ +

=... (linha 20).

III. VERDADEIRA.De acordo com a propriedade da soma das combinações de uma mesma coluna, tem-se:

12

12

13

12

14

12

32

12

33

13

+

+

+ +

=

... (coluna 12)

20. a18 18

182 2 8

0

18

0

18

1818 3 6 6

0

18!! !

!! ( )!

( ), a b a a

Ca b a

a

a= = =∑ ∑= ⋅ −

= = = =∑∑

21. 17 (01, 16)01) VERDADEIRA.

nn

nn

n nn

nn n

nn

!( )!

( )!( )!

( )!( )!

( )!( ) ( )!−

⋅−−

=⋅ −−

⋅−

− ⋅ −=

121

11

21 2 −−1

02) FALSA.C C nn n n, ,− = =1 1

04) FALSA.Px – 1 = 5040(x – 1)! = 7!x – 1 = 7x = 8Logo, x é um número par.

08) FALSA.Se o polinômio possui 13 termos, então o expoente do binômio deve ser igual a 12, ou seja, 3n = 12. Logo, n = 4. Portanto, n é um número par.

16) VERDADEIRA.Os divisores naturais e pares de 12 constituem o conjunto {2, 4, 6, 12}. A quantidade de produtos de 3 fatores distintos é igual a C4,3 = 4.

3Extensivo Terceirão – Matemática 8B

01. ax y y

xm

x y yx

m

− + = ⇒ = + ⇒ =

− − − = ⇒ = − − ⇒ =−

2 1 02

12

12

2 1 02

12

12

Como os coeficientes angulares das retas são distintos e 12

12

1⋅ −

≠ − ,

as retas são concorrentes e não perpendiculares entre si.02. a

m m

s y x

y x

x y

r s=−−

= − ⇒ =

− = ⋅ −== ⇒ = ⋅ =

1 00 3

13

3

0 3 0

3

5 3 5 15

: ( )

Portanto, a reta s passa pelo ponto ( , )5 15 .

03. d2 3 12

0 2 0 3 12 4 0 4

0 2 3 0 12 6 6 0

x y

x y y A

y x x B

− == ⇒ ⋅ − = ⇒ = − → −= ⇒ − ⋅ = ⇒ = →

( , )

( , )

Sendo M o ponto médio do segmento AB, temos:

M0 6

24 02

3 2+ − +

= −, ( , )

04. eA distância entre duas retas paralelas é a distância de um ponto qual-quer de uma delas à outra.Assim:( )

( , )

s x y

y x x

: 4 3 8 0

0 4 8 0 2 2 0

− − == ⇒ − = ⇒ = →

( )

( )

r x y

d

d

: 4 3 17 0

4 2 3 0 17

4 3

255

5

2 2

− + =

=⋅ − ⋅ +

+ −

= =

05. bax by c

by ax c

yab

xcb

+ + == − −

= − ⋅ −

0

Como ab> 0, então a e b são diferentes de 0. Assim, a reta não é

paralela ao eixo x nem ao eixo y. Além disso, o coeficiente angular da

reta é − <ab

0 , ou seja, a reta é descendente (a função corresponden-

te é decrescente).Ponto de intersecção da reta com o eixo das abscissas:

yab

xcb

yab

xcb

xca

ca

= − ⋅ −

= ⇒ = − ⋅ − ⇒ = − → −

0 0 0,

06. cr y x m r: = + ⇒ =2 7 2

Assim, o coeficiente angular da reta s, que contém a outra diagonal é

m s = −12

.

Equação da reta s:

y x

y x

x y

− = − ⋅ − −

− = − −+ + =

112

3

2 2 3

2 1 0

( ( ))

07. dy x

xx e y

y x

yx e y

x

yx e y

= − +=

⇒ = =

= − +=

⇒ = =

==

⇒ = =

2 9

11 7

2 9

14 1

1

11 11

Os vértices do triângulo são os pontos A( , )1 1 , B( , )4 1 e C( , )1 7 . O triân-

gulo ABC é retângulo e os catetos medem 4 1 3− = e 7 1 6− = .Portanto:

3 6Área 9

2⋅= =

08. 0,5 u.c.A altura h do trapézio é a distância entre as retas suportes das bases.Assim:3 4 10 0

1 3 4 1 10 0 2 2 1

x y

y x x

− + == ⇒ − ⋅ + = ⇒ = − → −( , )

6 8 15 0

6 2 8 1 15

6 80 5

2 2

x y

h

− + =

=⋅ − − ⋅ +

+ −=

( )

( ),

09. b12 5 60

0 12 0 12

0 5 5 0

x y

x y

y x

+ == ⇒ = →= ⇒ = →

( , )

( , )

y

x0 5

12

r

r r

rr

5 – r

12 – r 12 – r

5 – r

Medida da hipotenusa do triângulo retângulo:

a

a

a a

2 2 2

2

2

5 12

25 144

169 13

= +

= +

= ⇒ =

Portanto:5 12 13

17 2 13

2 4 2

− + − =− == ⇒ =

r r

r

r r

1

Resoluções

Extensivo Terceirão – Matemática 8C

8CMatemáticaAtividades Série Ouro

10. 31 (01, 02, 04, 08, 16)01) CORRETO.

y

x0 A(2, 0) C(7, 0)

B(7, 1)

O triângulo ABC é retângulo em C.02) CORRETO.

5 1 5Área u.a.

2 2⋅= =

04) CORRETO.x x

y y

y x y

x y

x y y

2 7

0 10

2 7 2 0

5 2 0

0 0 5 2 025

=

+ − − =− − =

= ⇒ − − = ⇒ = −

Portanto, a reta AB intersecta o eixo das ordenadas no ponto

025

, −

.

08) CORRETO.Coeficiente ângulo da reta AB:

mAB =−−

=1 07 2

15

Ponto médio do segmento AB:2 7

20 1

292

12

+ +

=

, ,

Portanto, a equação da mediatriz r do segmento AB é:m

y x

y x

x y

r = −

− = − ⋅ −

− = − +

+ − =

5

12

592

12

5452

5 23 0

16) CORRETO.x x+ = ⇒ = −5 0 5 A equação da reta BC é x = 7. Ambas as retas são verticais e paralelas entre si.

11. 22 (02, 04, 16)01) INCORRETO.

3 2 5 0

3 2 22

55 0

64

55 0

x y

falso

− + =

⋅ − ⋅ + =

− + = ( )

02) CORRETO.

3 2 5 0

3 52

x y

yx

− + =

=+

Se x é racional, então y é irracional.04) CORRETO.

yx

m

tg m

r

r

=+

⇒ = =

= =

3 52

32

1 5

1 5

,

,θ

Como tg tgθ > ° =45 1, o menor ângulo que a reta r forma com o

eixo das abscissas é maior que 45°.

08) INCORRETO.

s x y

y x m s

: 6 3 3 5 0

2 5 2

− + =

= + ⇒ =

Como r sm m≠ , as retas não são paralelas.

16) CORRETO.

yx

x y

=+

= ⇒ =

3 52

05

2Portanto, a reta r intersecta o eixo das ordenadas no ponto

05

2,

.

12. 31 (01, 02, 04, 08, 16)y

x0A

B

C

s r

t

r sy x

xx e y B

r ty x

x yx e y A

∩==

⇒ = = →

∩=+ − =

⇒ = = →

:

:

44 4 4 4

2 01 1 1

( , )

( , 11

4

2 04 2 4 2

)

( , )s tx

x yx e y C∩

=+ − =

⇒ = = − → −:

01) CORRETO.

4 1 4 41Área

4 1 2 42

1Área 4 2 16 8 4 4 9

2

= ⋅−

= ⋅ − + + − − =

02) CORRETO.

AB

AC

BC

= − + − =

= − + − − =

= − + − − =

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

4 1 4 1 18

4 1 2 1 18

4 4 2 4 6

2 2

2 2

2 2

Como 6 18 182 2 2= +( ) ( ) , o triângulo é retângulo no vértice A.

04) CORRETO.

O triângulo é isósceles, pois AB AC= = 18. 08) CORRETO.

A altura relativa ao lado BC mede 4 – 1 = 3.16) CORRETO.

O ponto B( , )4 4 pertence ao primeiro quadrante.

13. 15 (01, 02, 04, 08)01) VERDADEIRA.

k

k

k

⋅ + ⋅ − − =− − ==

1 5 2 7 0

10 7 0

17

( )

02) VERDADEIRA.

k

verdadeiro

⋅ + ⋅ − =

=

0 575

7 0

0 0 ( )

Assim, para qualquer valor de k a reta r passa pelo ponto 075

,

.

Para que a reta s passe por esse ponto, devemos ter:

2 Extensivo Terceirão – Matemática 8C

4 075

5 0

75

5257

⋅ + ⋅ − =

= ⇒ =

k

kk

04) VERDADEIRA.

r kx y ykx

mk

s x ky yx

k km

k

r

r

s

:

:

/

+ − = ⇒ =−

+ ⇒ =−

+ − = ⇒ =−

+ ⇒ =−

5 7 05

75 5

4 5 04 5 4

//sk

kk k ou k⇒

−=−

⇒ = ⇒ = = −5

420 2 5 2 52

08) VERDADEIRA.Sendo t a reta perpendicular à reta s no ponto ( , )2 1 , temos:

s x ky

k k

k m m

t y

s t

:

:

4 5 0

4 2 1 5 0 3

343

43

34

134

+ − =⋅ + ⋅ − = ⇒ = −

= − ⇒ =−−

= ⇒ = −

− = − ⋅⋅ −

− = − ++ − =

( )x

y x

x y

2

4 4 3 6

3 4 10 0

16) FALSA.k

r y y

=

− = ⇒ =

0

5 7 075

:

Portanto, a distância do ponto ( , )−1 3 à fera r é:

375

85

− =

14. 90 (02, 08, 16, 64)01) INCORRETO.

r y x

y x x

: 2 3

0 2 0 3 3

= −= ⇒ ⋅ = − ⇒ =

Portanto, A( , )3 0 .

02) CORRETO.r y x

x y y

: 2 3

0 2 0 332

= −

= ⇒ = − ⇒ =−

Portanto, B 032

, −

e C 0

32

,

.

04) INCORRETO.A distância entre r e s é a distância do ponto C à reta r. r y x

x y

dC r

: 2 3

2 3 0

0 23

23

1 2

6

52 2

= −− − =

=− ⋅ −

+ −=,

( )

08) CORRETO.r y x

yx

m

s r m

t r m

r

s

t

:

//

2 3

232

12

12

2

= −

= − ⇒ =

⇒ =

⊥ ⇒ =−

16) CORRETO.A reta t passa pelo ponto A( , )3 0 .

y x

y x

− = − ⋅ −= − +

0 2 3

2 6

( )

32) INCORRETO.A reta horizontal que passa pelo ponto A( , )3 0 é o eixo das abscis-

sas, cuja equação é y = 0.

64) CORRETO.A equação da reta vertical que passa pelo ponto A( , )3 0 é x = 3.

15. ey

x0

c

b

aA

B

D

E

C

t

s

2

10

4 x2

y1

r

Observe na figura que os triângulos ABD e ACE são semelhantes.Assim:ADAE x

xx

=

= ⇒ =

4

1020

48

2

22

Assim, a reta r passa pelos pontos ( , )4 1y e ( , )8 10 . A reta s passa pelos

pontos ( , )4 1y e ( , )8 0 . Como as retas são perpendiculares, temos:

my y

my y

m m

y y

r

s

r s

=−−

=−

=−−

=−

⋅ = −

−⋅−

= −

10

8 4

10

40

8 4 41

10

4 4

1 1

1 1

1 1( ) ( )11

10 16 0 2 812

1 1 1y y y ou y− + = ⇒ = =

Como y 1 2> , então y 1 8= .

I. CORRETA.Equação da reta r:x x

y y

x y x y

x y

x y

a

4 8

8 100

8 40 8 10 64 4 0

2 4 24 0

2 12 0

0 0

=

+ + − − − =− + − =− + =

→( , ) −− + = ⇒ =2 12 0 6a a

II. INCORRETA.Os coeficientes angulares das retas s e t são iguais a:

m my

s t= =−

=−

= −1

48

42

III. INCORRETA.Como a= 6 e b = + =6 10 16, a ordenada do ponto médio é 6 16

211

+= , diferente de y 2 10= .

3Extensivo Terceirão – Matemática 8C

01. 2

prateada2 2

dourada

prateada

dourada

V 9 1,5V 13 1,5 9 1,5V 81 81 81V 169 81 88 88

π⋅ ⋅=π⋅ ⋅ − π⋅ ⋅

π π= = =π− π π

02. cEmbalagem original:

1 L1V r h A 2 r h= π⋅ ⋅ = π⋅ ⋅Embalagem alterada:

22 L2V R H A 2 R H= π⋅ ⋅ = π⋅ ⋅

As condições do enunciado são:

1 22

2 2 2 2

L1 L2 L1

V V

H rr h R H r h R H (1)

h RA A 1,25 A

5 52 r h 2 R H 2 r h r h R H r h

4 4Dividimos por R h:

r H 5 r(2)

R h 4 R

=

π⋅ ⋅ = π⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⇒ = < ≤ ⋅

π⋅ ⋅ < π⋅ ⋅ ≤ ⋅ π⋅ ⋅ ⇒ ⋅ < ⋅ ≤ ⋅ ⋅

⋅

< ≤ ⋅

Substituímos (1) em (2):2r r 5 r r 5 4 R

1 1R R 4 R R 4 5 r

< ≤ ⋅ ⇒ < ≤ ⇒ ≤ <

Além disso:2 2

2r 5 r 5 H 251 1 1

R 4 R 4 h 16 < ≤ ⇒ < ≤ ⇒ < ≤

03. a I. FALSA. Área lateral da lata quadrada: AL(Q) = 4 . 10 . 20 = 800 cm2

Área lateral da lata redonda: AL(R) = 2π . 5 . 20 = 200π ≅ 628 cm2

Assim, AL(R) < AL(Q).

II. VERDADEIRA. Volume da lata quadrada: V(Q) = 102 . 20 = 2000 cm3

Volume da lata redonda: V(R) = π . 52 . 20 = 500π ≅ 1570 cm3

Assim, V(R) < V(Q).

III. FALSA. Área total da lata quadrada: A T(Q) = AL(Q) + 102

A T(Q) = 800 + 100 = 900 cm2

Área total da lata redonda: A T(R) = AL(R) + π . 52

A T(R) = 200 π + 25 π = 225 π ≅ 706,5 cm2

Como T

T

A (R) 706,50,785

A (Q) 900= = , a quantidade de folha metálica

usada para produzir a lata redonda é aproximadamente 78,5% da quantidade necessária para produzir a lata quadrada.

04. O volume de concreto corresponde à diferença entre o volume de um prisma cujas dimensões são 18 metros, 5 metros e 5 metros e o volu-me de um cilindro de altura 5 metros e base com raio 4 metros. Assim:

2concreto

concreto

concreto3

concreto

V 18 5 5 4 5

V 450 80 3,14

V 450 251,2

V 198,8 m

= ⋅ ⋅ − π⋅ ⋅= − ⋅= −

=

05. cO volume de madeira é dado pela diferença entre o volume do lápis e o volume do grafite.

2 2 2 2madeira

madeira

madeira3

madeira

1 1V 4 150 4 12 1 159 1 3

3 3V (2400 64 ) (159 )

V 2464 160

V 2304 mm

= π⋅ ⋅ + ⋅π⋅ ⋅ − π⋅ ⋅ + ⋅π⋅ ⋅ = π+ π − π+ π= π− π

= π

06. dNo enunciado, afirma-se que a pirâmide formada terá base quadran-gular e centro O. Considerando que a pirâmide tem vértice O, temos:

h

O’ 33

3

E

O

A = C

F

D

A base da pirâmide é um quadrado cujos lados medem 3 cm.Todas as arestas da pirâmide medem 3 cm.Sendo h a altura da pirâmide, temos:

3 2EO cm (metade da diagonal da )

2’ base=

Triângulo retângulo OO’E:2

2 2

2

2

3 23 h

2

9 2h 9

418 3 2

h h cm4 2

= +

⋅= −

= ⇒ =

2pirâmide

3pirâmide

1 3 2V 3

3 2

9 2V cm

2

= ⋅ ⋅

=

Resoluções

1Extensivo Terceirão – Matemática 8D

8DMatemáticaAtividades Série Ouro

07. d I. FALSA.

Sendo x a variação de altura de água no interior da piscina, em uma hora, temos:

3

2

1570 L 1,57 m

1,571,57 2 x x 0,125 m

4 3,14

=

= π⋅ ⋅ ⇒ = =⋅

Assim, h(t) 0,125 t= ⋅ (h é uma função afim).

II. VERDADEIRA.Como a função h é crescente, temos:

0 h(t) 1,57

0 0,125 t 1,57

0 t 12,56

≤ ≤≤ ⋅ ≤≤ ≤

Portanto, o domínio da função h éD {t | 0 t 12,56}= ∈ ≤ ≤ .

III. FALSA. O tempo total será de 12,56 horas.

12,56 h 12 h 0,56 h

12 h 0,56 60 min

12 h 33,6 min

12 h 33 min 0,6 min

12 h 33 min 0,6 60 s

12 h 33 min 36 s

= += + ⋅= += + += + + ⋅=

08. aNa figura a seguir, a região colorida corresponde à área da base do sólido retirado do cilindro.

D

A

F

10

10

A área dessa região é a diferença entre a área de um setor circular de 90° e raio 10 cm e a área de um triângulo retângulo cujos catetos medem 10 cm.

22

colorida10 10 10

A (25 50) cm4 2

π⋅ ⋅= − = π−

Assim, o volume do sólido retirado é:

3

V (25 50) 2

V (50 100) 50 ( 2) cm

= π− ⋅

= π− = ⋅ π−

09. b

A

x

B

10

FC

DE

60º

60º

20 – x

Triângulo retângulo ABD:x

tg60 x 10 3 cm10

° = ⇒ =

A altura h da água, quando o copo está sobre a superfície, é a soma da altura do cilindro CDEF com a metade da altura do cilindro ABCD.

x xh 20 x 20

2 210 3

h 20 (20 5 3) cm2

= − + = −

= − = −

10. aSeja L a medida das arestas do cubo. A base da pirâmide retirada é um triângulo equilátero cujos lados medem L 2 e cada face lateral dessa pirâmide é um triângulo retângulo isósceles (metade de um quadrado). Área total do cubo: 6 . L2

Área total do sólido após a pirâmide ser retirada:2 2 2 2

2 2L (L 2) 3 9L L 1,736 L 3 5,365L

2 4 2 2⋅ ⋅⋅ − ⋅ + = + =

Como 2

25,365L

0,896L

, a superfície externa sofreu uma redução de

aproximadamente 11%.

11. d

A

A

10

5 5

C

C

D

D

B

B M

M

N

N

P

As faces ABC e ACD do tetraedro ABCD, planificadas, formam um lo-sango ABCD. O segmento MN, com extremidades nos pontos médios dos lados do losango, mede 10 cm. Assim, a distância percorrida pelo inseto é MP + PN = 10 cm.

12. b

1

31 1

1 1 1 1

a r

a a 30r

93 a 30a 31a 93 a 3

== += + ⇒ = ⇒ =

Assim, como a progressão aritmética é (3, 6, 9), a base da pirâmide é um triângulo equilátero cujos lados medem 6 e a altura da pirâmide é 9.

2

pirâmide

pirâmide

1 6 3V 9

3 4

V 27 3

⋅= ⋅ ⋅

=

2 Extensivo Terceirão – Matemática 8D

13. d

1

1

P

M

AN B

CD Q

O baricentro de um triângulo equilátero divide qualquer mediana na razão 2:1. Assim, o plano que passa pelos baricentros A, B, C e D de-termina na pirâmide o quadrado MNPQ, cuja medida dos lados é 2/3

da medida dos lados da base da pirâmide, ou seja, 2 2

13 3

⋅ = . Sendo L a medida do quadrado ABCD, temos:

2 22

2

1 2 1 2L

2 3 2 31 2

L 2 (área do quadrado ABCD)9 9

= ⋅ + ⋅

= ⋅ =

14.

4

5

A

BP

O

N

S

Lh

M

130

220

Sendo h a altura da pirâmide, temos:

h 220 1304 5h 280 cúbitos

h 280 0,52 m 145,6 m

+=

=⋅ =

15. aVolume do objeto:

2

3

1V 4 4 1 4 3

3

V 16 16 32 cm

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= + =

Densidade em g/cm3:3

3 36 3

10 g2400 kg/m 2400 2,4 g/cm

10 cm= ⋅ =

Sendo m a massa do objeto, temos:

m2,4 m 76,8 g 77 g

32= ⇒ =

16. aSe o cone é equilátero, então:

3cone

2

2 3 3

(2R) 3g 2R h R 3

210 3

V cm7

1 10 3R h

3 7

1 10 3 30R (R 3) R cm

3 7 7

= ⇒ = =

= π

⋅π⋅ ⋅ = π

⋅ ⋅ = ⇒ =

O cone e a pirâmide têm a mesma altura, de medida h =

3cone

2

2 3 3

(2R) 3g 2R h R 3

210 3

V cm7

1 10 3R h

3 7

1 10 3 30R (R 3) R cm

3 7 7

= ⇒ = =

= π

⋅π⋅ ⋅ = π

⋅ ⋅ = ⇒ =.O raio da base do cone equilátero e a aresta da base da pirâmide têm a mesma medida R.Portanto:

2

Pirâmide

3Pirâmide

3Pirâmide Pirâmide

1 6 R 3V R 3

3 43

V R23 30 45

V V cm2 7 7

⋅ ⋅= ⋅ ⋅

= ⋅

= ⋅ ⇒ =

17. cSendo L a medida dos lados da base da pirâmide e h a altura comum do cone e da pirâmide, temos:

2

cone

2pirâmide

L 2 2 2 2 L 4 cm

1(2 2) hV 83

1V 16 24 h3

= ⋅ ⇒ =

⋅π⋅ ⋅ π⋅ π= = =⋅ ⋅

18. a

Sendo h a altura da água no recipiente cilíndrico, temos:

cilindro cone

2 2

V V

16 h 8 24

336h 512

h 14 cm

=

π⋅ ⋅ = ⋅π⋅ ⋅

=

19. aSendo h a altura da água no recipiente cúbico, temos:

prisma cone

2 2

V V

110 h 8 9

3100h 576

h 5,76 m

=

⋅ = ⋅π⋅ ⋅

==

20. cA superfície lateral do cone foi construída com um setor circular de 240° e raio 15 cm. Assim, a geratriz do cone mede 15 cm e o compri-mento da base é igual ao comprimento do setor. Sendo R a medida do raio da base e h a altura do cone, temos:

360 2 15 360 15R 10 cm

240 2 R 240 R° π⋅= ⇒ = ⇒ =° π⋅

2 2 2

2 2 2

2

g h R

15 h 10

h 125

h 5 5 cm

= +

= +

=

=

3Extensivo Terceirão – Matemática 8D

01. eP x ix P x i x

x i

P i i i P i i i

P i P

( ) ( )

:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

+ ⋅ − = +=

+ ⋅ ⋅ − = ++ − ⋅ =

2

2

2

2

1 0 (( ) ( ) ( )

:

( ) ( ) ( )

− + ⇒ − ==

+ ⋅ ⋅ − = + ⇒ =

1 2 0 1

0

0 0 0 0 2 0 22

P i P

x

P i P i P Assim:P i P

P i

P i

( ) ( )

( )

( )

− =− ==

0 1

2 1

302. 6 + 4i

2 2 2

2 2

22

22

2 2

z a bi

z z 3 b

2aa bi a bi 3b 2a 3b b

3z z 52

(a bi) (a bi) 52

a b i 52

a b 52

2aa 52

3

4aa 52

9

13a 9 52 a 36 a 6 (a 0)

= ++ = ⋅

+ + + = ⇒ = ⇒ =

⋅ =+ ⋅ − =

− ⋅ =

+ =

+ =

+ =

= ⋅ ⇒ = ⇒ = >

Portanto:

ba

z i

= =⋅=

= +

23

2 63

4

6 4

03.2 3

3 2

1

3 2 1

3 22 2

xi y i

y i xi

x yi

x i i xi

x i i xi

+ = − += − + −

+ = −+ ⋅ − + − = −

− + − = −

( )

11

3 1 2 1

3 3

3 2

3 2

3 2 12

x i x

x i x i

y i xi

y i i i

y i i

− − + = −= ⇒ =

=− + −= − + − ⋅

= − + − = − + ii Portanto:x i

x e

x i sen

=

= = °

= ⋅ °+ ⋅ °

1 90

1 90 90

θ

(cos ) y i

y

tg

= − +

= − + =

=−= −

1

1 1 2

11

1

2 2( )

θ

Como o afixo de y pertence ao 2 .º quadrante, então θ = °− ° = °180 45 135 .

y i sen= ⋅ °+ ⋅ °2 135 135(cos )

04. ez z z z

x yi x yi x yi x yi

x y i x

x y x

x

⋅ + + =+ ⋅ − + + + − =

− ⋅ + =

+ + =

0

0

2 0

2 0

2 2 2

2 2

( ) ( )

22 2 2 2

2 2

2 1 0 1

1 1

+ + + = +

+ + =

x y

x y( ) A equação representa uma circunferência com centro no ponto

( , )−1 0 e raio 1 1= .05. a

2 2 2

2 2

2 2

c a 2abi b i 14i

c a b i (2ab 14)

c a b

0 2ab 14

2ab 14 0

ab 7

= + + ⋅ −

= − + ⋅ −

= −

= −

− ==

Como a, b e c são números inteiros positivos, então a= 7 e b =1.Portanto:c a b

c

c

= −

= −=

2 2

2 27 1

48

06. dw w

x x

x x

x x

1 2

2 2 2 2

2 2 2

2

0 7 2 7

7 2 7

14 49 4

=

+ − = − + +

− = − + +

− + = +

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

xx x

x x

2 14 49

28 417

+ +

= − ⇒ = −

07. cO afixo do número complexo z é o ponto A ( , )= −2 3 .O afixo do número complexo w é o ponto B ( , )= −5 5 .Sendo C o afixo do vértice não consecutivo a w, ou seja, o vértice oposto a w, tem-se que A é o ponto médio do segmento BC.

25

21

35

21

=+

⇒ = −

− =− +

⇒ = −

xx

yy

CC

CC

Portanto, o vértice é o número complexo − −1 i.

08. v = 2i

u i

tg

= + ⋅

= = =

32

12

123

2

13

33

θ

Como o afixo do número complexo u pertence ao 1.º quadrante, então θ = °30 . Assim, o argumento de v é igual a 3 30 90⋅ ° = °. v i sen

i

v i

= ⋅ °+ ⋅ °= ⋅ + ⋅=

2 90 90

2 0 1

2

(cos )

v ( )

1

Resoluções

Extensivo Terceirão – Matemática 8E

8EMatemáticaAtividades Série Ouro

09. 135°

z z i

a bi a b i

a bi a b i

a a b

b

+ = +

+ + + = +

+ + + = +

+ + ==

2

2 2 2

2 2

2 2

6 2

6 2

6 2

6

2

( )

+ + =

+ + =

+ − = ⇒ = = −

a a b

a a

a a a ou a

2 2

2 2

2

6

2 6

2 0 1 2 Assim, z i1 1 2= + ou z i2 2 2= − + . Como o afixo de z i1 1 2= + pertence ao 1.º quadrante e o afixo de z i2 2 2= − + pertence ao 2 .º quadrante, o argumento de z 2 é o de

maior medida.Assim:z i

tg

2 2 2

22

1

13534

= − +

=−

= −

= ° =

θ

θπ

10. bz a bi

a bi i

a b

a b

= +

+ + =

+ + =

+ + =

2 1

2 1

2 1

2 2

2 2

( )

( )

A equação representa uma circunferência com centro no ponto ( , )0 2− e raio 1 1= .

11. b = –3A

B

C b

== −=

( , )

( , )

( , )

2 1

4 1

0

Como a área do triângulo ABC é igual a 12 unidades de área, temos:

12

2 4 0 2

1 1 112

2 4 2 4 24

6 6 24

6 6 24 6 6 24

3

⋅−

=

− − + =

− + =

− + = − + = −= −

b

b b

b

b ou b

b oou b = 5

Como b< 0, então b = −3.12. e

a) z w

z w

z w w z

z w

z z

z z z i ou

+ =⋅ =

+ = ⇒ = −⋅ =⋅ − =

− + = ⇒ = + ⋅

1

1

1 1

1

1 1

1 012

32

2

( )

zz i= − ⋅12

32

Portanto:

z = + −

= + =

12

32

14

34

12 2

b)z w

z w

z zw w

z w z w

z w

z w

+ =

+ =

+ + =

+ + ⋅ = ⇒ + = −

+ = −

+

1

1

2 1

2 1 1 1

1

2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2

( )

( 22 2 2

4 2 2 4

4 4 2 4 4

1

2 1

2 1 1 1

) ( )= −

+ + =

+ + ⋅ = ⇒ + = −

z z w w

z w z w13. c

1 2 31

21

2

11 2 3

1

+ + + + =+

⋅ =

⋅ +

= −+ + + +

⋅ +

...( )

( ... )

( )

nn

nn n

i

i

n

n n22 1= −

Para que a igualdade anterior seja verdadeira, o resto da divisão de n n⋅ +( )1

2 por 4 deve ser igual a 2.

Assim:n n

k

n n k

n n k

⋅ += +

⋅ + = +⋅ + = ⋅ +

( )

( )

( ) ( )

12

4 2

1 8 4

1 4 2 1

Portanto, necessariamente n n⋅ +( )1 é um múltiplo positivo de 4.14. 5i

z i

tg

1 1

11

1

= +

= =θ

Como o afixo de z 1 pertence ao 1.º quadrante, então θ = °45 . Assim, o argumento de z 2 é igual a 2 45 90⋅ ° = °. z i sen

z i

z i

2

2

2

5 90 90

5 0 1

5

= ⋅ °+ ⋅ °= ⋅ + ⋅=

(cos )

( )

15. a

+ =

+ =

+ =

− =

+ − =

+ =

+ =

+ =

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2a 3bi 8

(2a) (3b) 8

4a 9b 64

b 2ai 4 2

b ( 2a) 4 2

4a b 32

4a 9b 64

4a b 32

Subtraindo a segunda equação da primeira, temos:

8 32 4

4 32

4 4 32 4 28 7

7 4 11

2 2

2 2

2 2 2

2 2

b b

a b

a a a

a bi a b

= ⇒ =

+ =

+ = ⇒ = ⇒ =

+ = + = + =

2 Extensivo Terceirão – Matemática 8E