ATPS Matemática Aplicada III

7/24/2019 ATPS Matemtica Aplicada III

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Etapa 1

Passo 1

1. A histria do surgimento das integrais

O clculo integral se originou com problemas de quadratura e cubatura. Resolver

um problema de quadratura significa encontrar o valor exato da rea de uma regio

bidimensional cuja fronteira consiste de uma ou mais curvas, ou de uma superfcietridimensional, cuja fronteira tambm consiste de pelo menos uma curva. Para um

problema de cubatura, determinase o volume exato de um s!lido tridimensional

limitado, pelo menos em parte, por superfcies curvas.

"istoricamente, "ip!crates de #$ios %cerca de &&' (.#.) executou as primeiras

quadraturas quando encontrou a rea de certas lunas, regi*es que se parecem com a lua

pr!xima do seu quarto crescente. (ntip$on %cerca de &+' (.#.) alegou que poderia

quadrar o crculo %isto , encontrar a rea de um crculo) com uma sequ-ncia infinita

de polgonos regulares inscritos primeiro um quadrado/ segundo um oct!gono, a seguir

um $exadecaedro, etc., etc. 0eu problema era o etc., etc.. #omo a quadratura do

crculo de (ntip$on requeria um n1mero infinito de polgonos, nunca poderia ser

terminada. 2le teria que ter usado o conceito moderno de limite para finali3ar seu

processo com rigor matemtico. 4as (ntip$on tin$a o incio de uma grande idia agora

c$amado de mtodo de exausto. 4ais de 5''' anos depois, creditouse

a 2udoxo %cerca de +6' (.#.) o desenvolvimento do mtodo de exausto uma tcnicade aproxima7o da rea de uma regio com um n1mero crescente de polgonos, com

aproxima7*es mel$orando a cada etapa e a rea exata sendo obtida depois de um

n1mero infinito destas etapas/ esta tcnica foi modificada para resolver problemas com

cubaturas tambm.

(rquimedes %586595 (.#.), usou o mtodo de exausto para encontrar a

quadratura da parbola. (rquimedes aproximou a rea com um n1mero grande de

tri:ngulos construdos engen$osamente e ento usou o argumento da ;redu7o ao


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absurd dupla< para provar o resultado rigorosamente e evitar qualquer metafsica do

infinito. 2sta tcnica refinou o mtodo de exausto, assim quando existe um n1mero

infinito de aproxima7*es poligonais, c$amase de mtodo da compresso. 4atemticos

mu7ulmanos dos sculos = a 9+ foram grandes estudiosos de (rquimedes, mas nunca

souberam da determina7o de (rquimedes do volume de um con!ide. (ssim, >$abit ibn

?urra$ %85@='9) desenvolveu sua pr!pria cubatura, um tanto complicada, deste

s!lido/ e ento o cientista persa (bu 0a$l alAu$i %sculo 9') simplificou

consideravelmente o processo de >$abit. Bbn al"aCt$am %=@D9'+=), con$ecido no

ocidente como (l$a3en e famoso por seu trabal$o em !tica, usou o mtodo de

compresso para encontrar o volume do s!lido formado pela rota7o da parbola ao

redor de uma reta perpendicular ao eixo da curva. 2 dessa mesma forma, diversos outros

matemticos ultili3aram se deste mtodo implementando novos conceitos, at que

finalmente 2m 9@D=, "endricE van "euraet %9@+&cerca de 9@@') generali3ou seu

trabal$o somando tangentes infinitesimais a uma curva, assim desenvolvendo a ess-ncia

do nosso mtodo moderno de retifica7o usando uma integral para encontrar o

comprimento de um arco.

O termo integral, como usamos em clculo, foi cun$ado por Fo$ann

Gernoulli %9@@696&8) e publicado primeiramente por seu irmo mais vel$o FaEob

Gernoulli %9@D&96'D). Principalmente como uma conseqH-ncia do poder do >eorema

Iundamental do #lculo de JeKton e Leibni3, integrais eram consideradas

simplesmente como derivadas inversas. ( rea era uma no7o intuitiva, quadraturas

que no podiam ser encontradas usando o >eorema Iundamental do #lculo eram

aproximadas. 2mbora JeKton ten$a desferido um golpe muito imperfeito sobre a idia

de limite, ningum nos sculos 98 e 9= teve a viso de combinar limites e reas para

definir a integral matematicamente. 2m ve3 disso, com grande engen$osidade, muitas

f!rmulas de integra7o inteligentes foram desenvolvidas. (proximadamente ao mesmo

tempo em que a tabela de integrais de JeKton tin$a sido publicada, Fo$ann Gernoulli

desenvolveu procedimentos matemticos para a integra7o de todas as fun7*es

racionais, o qual c$amamos agora de mtodo dasfraes parciais. 2stas regras foram

resumidas elegantemente por Leon$ard 2uler %96'6968+) em seu trabal$o

enciclopdico de tr-s volumes sobre clculo %96@8966'). Bncidentalmente, estes

esfor7os estimularam o aumento do interesse durante o sculo 98 na fatora7o e

resolu7o de equa7*es polinomiais de graus elevados.


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?uando (ugustin Louis #auc$C %968=98D6) assumiu a reforma total do

clculo para seus alunos de engen$aria na Mcole polCtec$nique na dcada de 985', a

integral era uma de suas pedras fundamentais. #auc$C definiu a integralde qualquer

fun7o contnua no intervalo Na,b sendo o limite da soma das reas de ret:ngulos finos.

0ua primeira obriga7o era provar que este limite existia para todas as fun7*es

contnuas sobre o intervalo dado. Bnfeli3mente, embora #auc$C ten$a usado o >eorema

do alor Bntermedirio, no conseguiu seu objetivo porque no observou dois fatos

te!ricos sutis mas cruciais. 2le no tin$a no7o das fal$as l!gicas no seu argumento e

prosseguiu para justificar o >eorema do alor 4dio para Bntegrais e para provar

o >eorema Iundamental do #lculo para fun7*es contnuas. Jiels "enriE (bel %98'5

985=) tambm apontou certos erros delicados ao usar a integral de #auc$C para integrar

todo termo de uma srie infinita de fun7*es.

Conceitos de integrais definidas, indefinidas e clculo de reas

( derivada e a integral so duas no7*es bsicas do #lculo Qiferencial e

Bntegral. Qo ponto de vista geomtrico, a derivada est ligada ao problema de tra7ar atangente a uma curva enquanto que a integral est relacionada com o problema de

determinar a rea de certas figuras planas, mas tambm possui muitas outras

interpreta7*es possveis. Para o clculo de uma integral mediante o uso do >eorema

Iundamental do #lculo, necessitamos con$ecer uma primitiva para a fun7o envolvida.

( integral indefinida vai c$egar em uma fun7o primitiva, enquanto a integral

definida vai c$egar em um valor numrico, se essa integral convergir.

m exemplo >emse uma curva que vai te um ponto at outro ponto muito distante. (integral indefinida da a equa7o pra ac$ara rea por baixo desta curva pra quaisquer

dois pontos extremos, enquanto a integral definida, como o nome ja di3, define os dois

pontos extremos, portanto da o valor da rea da curva entre esses dois pontos. 2nto

podemos di3er que

integral definida M o limite da soma das reas dos ret:ngulos.

integral indefinida:M o processo inverso da derivada.


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( rea de uma regio e deSnida, as ve3es, como o n1mero de quadrados de lados

de comprimento um que ;cabem< numa dada regio. Qesse modo, obtivemos formulas

para reas de Sguras planas tais como quadrados, ret:ngulos, tri:ngulos, trap3ios, etc.Gasta, no entanto que a regio seja um pouco mais complicada para que esta deSni7o

se mostre inadequada. 4as como calcular, o numero de quadrados cabem em um crculo

unitrioT solu7*es aproximadas deste problema podem ser obtidas dividindose o

intervalo N',9 em subintervalos e calculandose a soma das reas de ret:ngulos inscritos

ou circunscritos no circulo. ( medida em que aumenta o n1mero de subdivis*es do

intervalo e, consequentemente, o n1mero de ret:ngulos considerados, a soma das reas

desses ret:ngulos se aproxima cada ve3 mais da rea da regio dada. Jo primeiro caso,a estimativa obtida para a rea da regio menor do que o seu valor exato/ no segundo,

maior. (ssim, podemos aSrmar que o valor exato da rea est entre os dois valores

obtidos usandose aproxima7*es. Qesta maneira, o erro cometido menor do que a

diferen7a entre estes dois valores.


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MATEMTICA APLICADA III

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