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AUGUSTO CARLOS DE VASCONCELOSAUGUSTO CARLOS DE VASCONCELOS engenheiro consultor

PALESTRA PROGRAMADA NA ABECE EM SÃO PAULO EM 26.10.06

“Justificativas do Cap. 15 da NB-1/2006 com base no comportamento social das estruturas”.

Este é o título escolhido pela ABECE para a Segunda palestra de abertura do 9º. ENECE em 26.10.06. Julguei importante, para fixar os conceitos,justificar primeiro o motivo da abolição do termo “flambagem” nas normas do mundo inteiro.

Do livro do Prof. Rüsch – Stahlbeton Spannbeton ed. 1972, foram extraídas as duas figuras 1 e 2 (na notação das figuras v(x) é o deslocamento variável).

Fig. 1 – Material perfeitamente elástico: momento interno e externo em função da flecha com e sem excentricidade (Rüsch)

Fig. 2 – Mesmos diagramas da fig. 1, porém para material não elástico

Verifica-se que, existindo alguma excentricidade, por pequena que seja, a reta representativa do momento externo Ma ( força normal x deslocamento) nunca cortará a curva (para materiais não elásticos) a partir de uma excentricidade limite eK. O momento externo sendo maior que o momento interno, não há equilíbrio. Este só se estabelece diminuindo a força normal o que acarreta abaixamento da reta de Ma e elevação da curva de Mi. Nesse caso, os dois diagramas se interceptam num ponto antes do momento interno último MU.

Assim sendo, o dimensionamento com segurança se faz para o momento comum no ponto de encontro dos diagramas. No limite temos o ponto de tangência para o dimensionamento.

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Não se fala mais em flambagem. Existe o dimensionamento para flexão composta com esforços externos majorados e com momento resistente interno determinado com características reduzidas (resistências e inércias). A esbeltez das peças entra no cálculo do coeficiente λ que depende do “comprimento equivalente” (referido por “saudosismo” como “comprimento de flambagem”). A NB-1 não usa mais a denominação “comprimento de flambagem” e sim “comprimento equivalente”. Não interessa mais conhecer a “carga de flambagem” referida como “carga de Euler”. A fixação do afastamento entre a carga de Euler e a carga de serviço igual a 3 (para os arcos igual a 5) não tem mais sentido.

Isto só se aplica para pilares isolados. A maior dificuldade está em conhecer a inércia efetiva do pilar, levando em consideração a fissuração do concreto. A fissuração depende do carregamento. O momento de inércia da peça, depende do grau de fissuração. Por isso foram estabelecidas regras simplificadas para avaliar a inércia do pilar fissurado como sendo 80% da inércia da seção bruta do concreto sem armadura.Para o módulo de elasticidade permite-se adotar o valor tangente na origem, supondo que o momento fletor máximo seja devido ao vento, carga de curta duração. Se tais simplificações não fossem feitas, o dimensionamento seria impraticável.

Na verdade, seria necessário determinar a deformada do pilar. A forma real é a que corresponde à menor energia armazenada. Para evitar esse cálculo, que depende do carregamento horizontal do pilar, são estabelecidas aproximações válidas para os casos correntes. É freqüente o uso do pilar padrão, que corresponde a adotar uma senoide para a deformada. Essa aproximação é bastante boa e corresponde ao cálculo elástico teórico. Já foram usadas outras aproximações, como por exemplo, parábolas de 3º. Grau.

No caso de pórticos, ainda no tempo em que a NB-1 fixava o valor 3 para o coeficiente de segurança à flambagem, o Prof. Langendonck publicou um notável trabalho nos Mémoires do IABSE, abordando a flambagem de pórticos, admitindo a deformada geral como uma parábola de 3º grau superposta com outras parábolas, também do 3º grau entre pavimentos. Com um tratamento matemático original, determinou os parâmetros adequados para obtenção da energia mínima obtendo a carga total de flambagem do pórtico. Essa carga foi ainda reduzida de 10% para possíveis outras formas da deformada que conduzissem a energias armazenadas ainda menores. Esse cálculo foi muito usado e cheguei a preparar um programa de computador “FLAMPOR” que permitia em poucos segundos após digitação de todos os dados do pórtico, o cálculo da carga geral de flambagem. Passado algum tempo, desenvolveu-se de tal maneira a abordagem da estabilidade global, que tal programa ficou obsoleto. Hoje todo o cálculo de flambagem foi substituído, com vantagem pelo dimensionamento em flexão normal composta incluindo o efeito de 2ª. Ordem.

Na abordagem do problema de estabilidade global, a NB-1 está bastante atualizada. É feito um processamento do pórtico espacial, com uma carga horizontal de vento concentrada nos nós do pórtico, de valor arbitrário ( se se desejar obter apenas o coeficiente de amplificação de momentos !), somente para provocar algum deslocamento significativo dos nós. Cada trecho de pilar é considerado reto para avaliação da estabilidade global. Os deslocamentos


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horizontais dos nós multiplicados pela carga vertical de cálculo e somados fornecem um número representativo do efeito da deslocabilidade do pórtico espacial. É o momento externo, que equilibra momento interno Mi com as cargas aplicadas: equivale ao produto das forças de vento pelas alturas dessas cargas em relação ao nível de deslocamentos nulos (fundação) e somadas. É o momento de 1ª ordem.

A simplificação feita para tornar prática a determinação da estabilidade global é a seguinte: retiradas as cargas horizontais de vento e aplicadas as cargas verticais de projeto na estrutura com os nós deslocados conforme o cálculo anterior, surgirão novos deslocamentos que mantêm uma relação “constante r” (<1) com os deslocamentos anteriores. Repetindo o procedimento, obtêm-se novos deslocamentos que serão iguais aos anteriores multiplicados por r. Os deslocamentos finais são as somas de infinitos deslocamentos, nó por nó, de uma progressão geométrica (decrescente), que é proporcional a 1/ (1- r) pois o último termo é sempre nulo. Com rigor, não existe um único valor de r para todos os pavimentos: há pequenas diferenças. Num mesmo pavimento, a relação r não é constante: em cada passo da iteração existe um valor de r e portanto não existe com rigor uma progressão geométrica. Essas diferenças são irrelevantes, como mostra a tabela 1, preparada com um exemplo real. Poderia aqui me referir às palavras de Saint-Venant ao comentar as aproximações de Navier: As duas hipóteses de Navier (manutenção das seções planas e independência das tensões ao longo da altura em relação á largura da seção) são falsas, mas são tão boas na prática que convém mantê-las integralmente. Aqui digo a mesma coisa: a hipótese de progressão geométrica é falsa, mas é tão boa e eficiente, que convém mantê-la.

A comparação com o cálculo feito pelo processo P-Δ mostra a diferença dos resultados. Apresenta-se como exemplo o caso de um edifício de 17 pavimentos em São Carlos, já construído há mais de 10 anos e em perfeitas condições de uso.

A variação dos valores da relação r na 2ª iteração pelo P-∆ foi de 0,133 a 0,141 com desvios de 3% em relação à média, o que corresponde em engenharia a precisão absoluta. Por outro lado, os valores de γz variam de 1,116 a 1,180 com desvios de 3,15% em relação à média). Pelo menos neste exemplo os resultados são praticamente os mesmos nas duas maneiras de cálculo, não se podendo afirmar qual é mais correto: r = 1 – 1/γz = 0,104 a 0,153 ao longo da altura, na 1ª iteração.


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TABELA1

TABELA 2


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O estudo da estabilidade global começou com um trabalho publicado em 1967 por Gert König e Hubert Beck, a partir de uma tese de doutoramento defendida na Alemanha pelo primeiro autor. Nesse trabalho, foi estudado um edifício fictício esbelto, cujos pilares eram contraventados por paredes rígidas. König desenvolveu o trabalho de maneira matematicamente perfeita para materiais elásticos, substituindo os pilares por um sistema contínuo, para poder resolver tudo por meio de equação diferencial com aspecto análogo à equação diferencial da flambagem de barras isoladas. Chegou a um parâmetro parecido com o coeficiente da equação anterior, que denominou “coeficiente de instabilidade α”. Pela primeira vez tal abordagem apareceu nas recomendações do CEB, tendo sido estabelecidos limites para os valores de α. O coeficiente α não é um majorador de momentos. Permite apenas dizer se a estrutura é muito ou pouco deslocável. Como a determinação dos esforços era muito difícil, para resolver o problema prático, estabeleceu-se que diferenças até 10% nos esforços seriam irrelevantes. Em outras palavras, se a estrutura poderia ser considerada de nós fixos, não haveria majoração de momentos. Se fosse de nós móveis, a majoração de momentos poderia ser grande. Aceitou-se o limite de 10% de majoração como desprezável. Verificou-se que, para isso, o coeficiente de instabilidade não poderia ultrapassar 0,6 para aquele tipo especial de estrutura. Isso foi logo generalizado para qualquer tipo de estrutura, usando a mesma expressão que define α.

Os projetistas passaram a conceber suas estruturas de maneira a conseguir α < 0,6, evitando assim a majoração dos esforços solicitantes.

Com a simplificação do coeficiente γz , acontece que este parâmetro não somente indicava se a estrutura era de nós fixos ou móveis, mas também dizia qual era a amplificação de momentos. Não havia mais necessidade de limitar a majoração em 10%. Não haveria dificuldade alguma de amplificar momentos e cortantes de 2, 5 ou 8 %. Porque continuamos então a adotar o limite de 10% quando conhecemos imediatamente, sem cálculos excessivos, o valor correto da amplificação, que poderia ou não ser desprezada, dependendo da vontade do projetista ? Havia ainda a questão de decidir entre valores de γz de 1,09 e 1,11. Com o 1º valor os efeitos de majoração seriam desprezados, com o 2º não. Uma variação de apenas 0,02 no valor de γz seria suficiente para aumentar de 10% momentos que poderiam ser muito grandes e impedir o dimensionamento. Por isso a comissão de preparação da NB-1 resolveu minimizar a descontinuidade de 10% para 5%, multiplicando sempre a majoração superior a 10% por 0,95 e permitindo levar em consideração um valor maior do módulo de deformação do concreto ( por ser a carga de vento de pequena duração). Dessa maneira o cálculo resulta praticamente igual ao que se fazia antes: não usar o carregamento de cálculo e sim o carregamento em serviço usando o valor de γz sem redução por 0,95. O resultado é praticamente o mesmo como mostra a Tabela 1 calculada por Abram Belk e aqui reproduzida com sua autorização (comparação entre as colunas 1 e 5).Muito mais importante do que essas exigências é a questão da rigidez E.J que não deve ser entendida como o produto de um módulo por uma inércia. O valor de EJ vem da fórmula da Resistência dos Materiais:

1/r = M/ EJ EJ = M/ (1/r) kN.m2


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mesmo que o material não seja elástico linear.Aplicando E = Eci e JII no Est. II os resultados dependem do valor da

solicitação. A simplificação de multiplicar EJ por 0,4 para vigas e por 0,8 para pilares pode conduzir a resultados aceitáveis mas conceitualmente errados. Então porque permitir adotar o fator 0,7 indiferentemente para vigas e pilares, se a diferença é irrelevante ?

TABELA 3 (Abram Belk – TQS)

γz γz γz x 0.95 γz γz x 0.95Ecs Ecs Ecs Eci Eci

− γf /γf3 γf /γf3 γf /γf3 γf /γf3

1.10 1.13 1.07 1.11 1.051.12 1.16 1.10 1.13 1.071.14 1.18 1.13 1.15 1.101.16 1.21 1.15 1.17 1.121.18 1.24 1.18 1.20 1.141.20 1.27 1.21 1.22 1.161.22 1.30 1.23 1.24 1.181.24 1.33 1.26 1.26 1.201.26 1.36 1.29 1.29 1.221.28 1.38 1.32 1.31 1.241.30 1.41 1.34 1.33 1.27V10 NB-1/2003

A variação máxima de 0,05 no valor de γz (4,5%) é perfeitamente aceitável e os resultados podem ser considerados em engenharia como precisão absoluta. Tanto faz usar o procedimento anterior como o atual, não havendo senão melhorias in significantes.

Em resumo, o que se faz para aplicar a NB -1/2003 ?

1 – Estabelecer dimensões prévias das vigas e pilares, após um cálculo simplificado de rotina ou uma avaliação por intuição e vivência do problema.2 – Processar o pórtico espacial com várias combinações de carregamentos e ventos em vários azimutes.3 – Verificar os deslocamentos dos nós superiores do pórtico e compará-los com os deslocamentos máximos permitidos pela Tabela 13.2 da NB-1 (H/ 1700 !!)


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4 – Se os deslocamentos não forem aceitáveis, modificar as dimensões dos pilares ou vigas para conseguir reduzir o deslocamento.5 – Aceitos os deslocamentos, processar a Estabilidade Global para obtenção do fator de amplificação der esforços com o coeficiente γz ou com o P-∆ conforme a preferência.6 – Obtido o valor de γz , se for <1,10 nada há a fazer com os esforços solicitantes calculados no pórtico espacial.7 – Se γz > 1,3 é prudente enrijecer a estrutura com vigas mais robustas, com pilares-parede, com melhoria de fck ou com bielas em diagonal e reprocessar.8 – Se γz < 1,3 os esforços solicitantes podem ser amplificados com o valor encontrado de γz para prosseguir com o dimensionamento da armadura.

A norma permite avaliar a rigidez de vigas ou pilares fissurados, reduzindo o valor de EJ com os fatores 0,4 ou 0,8 ou 0,7 ao invés de considerar a perda de rigidez de acordo com a solicitação existente. A diferença deve ser pequena. No futuro os computadores incluirão nos softwares utilizados, o cálculo automático da rigidez efetiva após cálculo inicial dos esforços.

Outro ponto importante inovador na NB-1 foi a questão do valor do coeficiente de segurança externo γf. Nas recomendções do CEB de 1978 ficou definido esse coeficiente como produto de três outros: γf1 , γf2 , γf3 . O 1º se refere à variabilidade das ações, o 2º, que está sendo substituído pelo coeficiente ψo de combinação de ações, refere-se à probabilidade de existirem diferentes ações concomitantes (por exemplo, carregamento máximo em todos os andares ao mesmo tempo), o 3º refere-se a diferentes procedimentos de cálculo. Para todos os efeitos, consideramos apenas γf = γf1 . γf3 deixando γf2 = ψo para ser usado somente nas combinações de ações. No cálculo da estabilidade global isto não comparece. O valor de γf3 = 1,1 na falta de melhor conhecimento de seu valor.

Quando se calcula o efeito dos deslocamentos dos nós, que é não-linear, não é a mesma coisa calcular esses deslocamentos com as ações de uso e multiplicar o resultado por γf ou calcular com as ações majoradas e não multiplicar o resultado por γf . Este resultado é maior do que o 1º por causa da não-linearidade. Julgou a comissão de revisão da NB-1 que não era justo usar a majoração com o valor total de γf pois os deslocamentos não seriam influenciados pelo γf3. Por isso, foi utilizado no cálculo apenas γf1 = γf / γf3 = γf / 1,1. Ao se determinar os deslocamentos, uma parte da segurança já foi usada. Por isso, ao somar os esforços de 2ª ordem com os de 1ª ordem já majorados com γf = 1,4 é necessário multiplica-los por γf3 = 1,1. Este é o motivo do fator 1,1 que aparece na NB-1 15.3.1 – Relações momento-curvatura (fig. 15.1).

É interessante chamar a atenção para o seguinte fato: as subtilezas no estabelecimento dos valores globais não causam controvérsias. Os detalhes sim. Quando na comissão de estudos da normas de ações e segurança, que praticamente copiou o CEB, se passou de γf = 1,5 do CEB para 1,4 na NBR 8681, não houve contestações diante da alegação de que o Brasil era um país pobre, que não podia gastar tanto nas obras como França, Itália e outros e o Brasil com γf = 1,4 poderia fazer mais obras com os mesmos recursos (como se o custo das obras


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dependesse somente do valor de γf !!!). No entanto, na escolha de se majorar ou não as ações antes de calcular os deslocamentos, produziu-se o maior impasse. Esta apresentação tem a finalidade de mostrar que isso influência tão pouco os resultados, que a redação do item da norma se transforma exclusivamente numa questão de preferência individual. No CEB aconteceu exatamente a mesma coisa: ao se definir a carga analítica de ruptura como sendo aquela que causasse na região tracionada a deformação de 1% e não 0,5% com o queriam os alemães, houve a maior briga. Também ao se estabelecer o valor de γf = γg para ações permanentes, discutiu-se com ardor entre 1,3 e 1,4 e o impasse só foi decidido quando o presidente da mesa, cansado com discussões inúteis, tomou a decisão: o valor é 1,35 e não se discute mais. É por isso que aparece o valor com duas casas decimais, precisão absurda !!!

Muita coisa ficou faltando nessa apresentação: efeito de 2ª ordem local, efeito de 2ª ordem localizado. Outros profissionais abordarão neste simpósio os assuntos que deixei omissos.

São Paulo, 26 de outubro de 2006

Eng. Augusto Carlos de Vasconcelos


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