AULA 04 - fabianotaguchi.files.wordpress.com · Se hoje é dia de aula de lógica para computação -> 2 + 4 = 9 A B A -> B V V V V F F F V V F F V BI-CONDICIONAL Representa uma conjunção

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LÓGICA MATEMÁTICA

Prof. Esp. Fabiano Taguchi

[email protected]://fabianotaguchi.wordpress.com

“

Conectivos lógicos e tabela verdade

CONECTIVOS LÓGICOS

Os conectivos lógicos são utilizados para formarnovas preposições. Já vimos três:◉ Negação;◉ Conjunção;◉ Disjunção.

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NEGAÇÃO

Proposição: O sorvete é quente.

~ Proposição = Verdade

Proposição: 2 + 5 = 7~ Proposição = Falso

NEGAÇÃO

ATENÇÃO!

A negação de uma proposição deve ser feita com cuidado, principalmente quando se trata de uma proposição composta. Vejamos a tabela do

próximo slide.

Proposição Negação correta Negação incorreta

O dia está quente

O dia não está quente.É falso que o dia está quenteNão é verdade que o dia está quente.

Paulo é baixo e gordo

É falso que Paulo seja baixo e gordo.Paulo não é baixo ou não é gordo.Paulo é alto ou magro.

Paulo é alto e magro.

O rio é raso ou não está poluído

É falso que o rio seja raso ou não esteja poluído.Não é verdade que o rio é raso ou não está poluído.O rio é fundo e está poluído

O rio não é raso ou está poluído.

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CONJUNÇÃO

Une duas proposições em uma única. Podeassumir o sentido de “mas” ou “porém”.

Proposição 1: Carlos trabalha.

Proposição 2: Carlos dirige.

Proposição 1 ^ Proposição 2: Carlos dirige e trabalha

DISJUNÇÃOEXCLUSIVA

Une duas proposições em uma única.

Proposição 1: Carlos é chinês.

Proposição 2: Carlos é inglês.

Proposição 1 v Proposição 2: Carlos é chinês ou inglês.

DISJUNÇÃOINCLUSIVA

Une duas proposições em uma única.

Proposição 1: Carlos é pai.

Proposição 2: Carlos é brasileiro.

Proposição 1 v Proposição 2: Carlos é pai ou brasileiro.

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DISJUNÇÃO

INCLUSIVA

Um dos dois valores pode ser verdadeiro, ou os dois podem ser verdadeiros ao

mesmo tempo.

Carlos é médico ou professor.

EXCLUSIVA

Somente um dos dos valores pode ser verdadeiro, não sendo possível os dois

serem verdadeiros ao mesmo tempo.

Mário é alagoano ou gaúcho.

HORA DE PRATICAR

EXERCÍCIOS

01 – Crie duas disjunções exclusivas.

02 – Classifique as disjunções abaixo:

a) O colchão é macio ou não é macio.

b) O carro é vermelho ou azul.

c) A mulher é inteligente ou bonita.

d) O homem é rico ou pobre.

e) O jogo é bom ou divertido.

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EXERCÍCIOS

03 – Dê a negação das seguintes proposições:

a) O processador é rápido, mas a impressora é lenta.

b) O processador é rápido ou a impressora é lenta.

c) A comida é boa ou o serviço é excelente.

d) Pepinos são verdes e não têm sementes.

CONDICIONALSE... ENTÃO...

A partir de duas proposições, obtém-se umaterceira, chamada condicional.

Se chover então o barranco desabará

Chover -> Barranco desabará

BI-CONDICIONALSE E SOMENTE SE... (<->)

A partir de duas proposições, obtém-se umaterceira, chamada bi-condicional.

A figura abc é um triângulo retângulo.

A figura abc tem um ângulo reto.

abc é um triângulo retângulo se abc tem um ânguloreto e abc tem um ângulo reto se abc é um triânguloretângulo.

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HORA DE PRATICAR

EXERCÍCIOS

Proposição: O piso está molhado.

Pede-se: ~Proposição

Resultado?

EXERCÍCIOS

Proposição 1: João é magro.

Proposição 2: João é alto.

Pede-se: Proposição 1 ^ Proposição 2

Resultado?

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EXERCÍCIOS

Proposição 1: Carlos é brasileiro.

Proposição 2: Carlos é amazonense.

Proposição 3: Carlos é manauara.

Pede-se: Proposição 1 ^ Proposição 2 ^ Proposição 3

Resultado?

EXERCÍCIOS

Proposição 1: A bola é pequena.

Proposição 2: A bola é azul.

Proposição 3: A bola é minha.

Pede-se: (Proposição 1 ^ Proposição 2) ^ (~Proposição 3)

Resultado?

EXERCÍCIOS

Proposição 1: A casa é de madeira.

Proposição 2: A casa é de tijolo.

Proposição 3: A casa não possui banheiro.

Pede-se: (Proposição 1 v Proposição 2) ^ (~Proposição 3)

Resultado?

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HORA DE PRATICAR

EXERCÍCIOS

Proposição 1: “Se o copo é de alumínio ou de plástico,então o copo pode ser amassado”.

Pede-se: Reduzir a proposição composta em proposições simples e fazer uso dos conectivos

Resultado?

EXERCÍCIOS

Proposição 1: O homem é o animal racional

Proposição 2: O animal racional é o homem.

Pede-se: Fazer a representação utilizando o conectivoadequado.

Resultado?

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EXERCÍCIOS

Considere as proposições simples A: “Está frio”, B, “Estáchovendo” e C “Está quente”. Represente as proposições:

a) Está frio e está chovendo

b) Está frio mas não está chovendo

c) Está chovendo ou está quente.

d) Se está frio então não está quente.

e) Estará frio se, e somente se, estiver chovendo.

EXERCÍCIOS

continuação...

f) Está quente ou está chovendo

g) Se está frio e está chovendo, então não está quente.

h) Se está quente, então não está chovendo nem estáfrio.

i) Estar frio é condição suficiente para chover.

j) Está chovendo, logo não está quente.

TABELA VERDADE

Instrumento usado para determinar os valores lógicos dasproposições compostas, a partir de atribuições de todosos possíveis valores lógicos das proposições simples.

Fórmula: 2 elevado ao número de proposições simplescalcula o número de linhas de uma tabela.

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NEGAÇÃO

A: Cobra é um réptil

Valor lógico: Verdade

A ~A

V F

F V

CONJUNÇÃO

(2 + 2 = 4) ^ (7 * 3 = 22)

Valor lógico: Falso

A B A ^ B

V V V

V F F

F V F

F F F

DISJUNÇÃO

(2 + 2 = 4) v (7 * 3 = 22)

Valor lógico: Verdade

A B A v B

V V V

V F V

F V V

F F F

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CONDICIONAL

Exprime a ideia de que uma proposição é uma condiçãonecessária para outra.

Se Pedro nasceu em Fortaleza, então é ele cearense (V)

Pedro ter nascido em Fortaleza é uma condição necessáriapara ser cearense, porém, o contrário não é verdadeiro.

Se Pedro é cearense, então ele nasceu em Fortaleza (F)

CONDICIONAL

Nem sempre as proposições simples precisam serverdadeiras para tornar a implicação verdadeira.

Se amanhã for feriado, então não irei a faculdade.

Amanhã será feriado é falso

Amanhã não irei à faculdade é verdadeiro

A implicação é verdadeira

CONDICIONAL

Podemos ter ainda as duas proposições falsas, porém com aimplicação verdadeira.

Se estiver nevando em Sinop, então te empresto dinheiro.

Está nevando em Sinop é falso

Te empresto dinheiro é falso

A implicação é verdadeira

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CONDICIONAL

A implicação só será falsa se a primeira proposição forverdadeira, mas a proposição condicionada não for.

Se 2 é par, então 4 é impar.

2 é par é verdade

4 é ímpar é falso

A implicação é falsa

CONDICIONAL

p: NONONO é eleito.

q: NONONO vai reduzir os impostos

p -> q: Se NONONO for eleito, então NONONO vaireduzir os impostos.

CONDICIONAL

Existem diversas maneiras de se interpretar preposiçõescondicionais, vejamos:

p: Maria tira nota 10 no exame final

q: Maria recebe o conceito A

Se Maria tirar nota 10 no exame final, então teráconceito A.

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CONDICIONAL

OUTROS INTERPRETAÇÕES:◉ Maria vai receber conceito A quando tirar nota 10 no examefinal.◉ Para receber o conceito A, é suficiente que Maria tire nota 10no exame final.◉ Maria vai receber conceito A, a menos que não tire 10 noexame final.

CONDICIONAL

Se verde é vermelho -> 2 = 2

Se hoje é dia de aula de lógica para computação -> 2 + 4 = 9

A B A -> B

V V V

V F F

F V V

F F V

BI-CONDICIONAL

Representa uma conjunção entre proposição condicionante eproposição condicionada.

Se José tem média superior a 6, então está aprovado.

Existe reciprocidade:◉ José está aprovado, então ele tem média superior a 6.◉ José está aprovado se e somente se tiver média superior 6.

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BI-CONDICIONAL

É considerada verdadeira se e somente se as duasproposições possuírem o mesmo valor lógico.◉ Hoje haverá prova de Lógica se e somente se hoje for

domingo;◉ Pedro é cearense se e somente se ele nasceu emFortaleza;◉ 4 é impar se e somente se 2 for par.

BI-CONDICIONAL

p: Você pode tomar um avião.

q: Você comprou uma passagem aérea.

p <-> q: Você pode tomar um avião se e somente sevocê comprou uma passagem aérea.

BI-CONDICIONAL

A figura abc é um triângulo retângulo <-> A figura abc tem um ângulo reto.

A B A <-> B

V V V

V F F

F V F

F F V

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ORDEM DE PRIORIDADE DOS CONECTIVOS LÓGICOS.

HORA DE PRATICAR

EXERCÍCIOS

01 – Sejam as proposições p: Está frio e q: Estáchovendo. Faça a tradução para a linguagem corrente dasseguintes proposições:

a) ~p

b) p ^ q

c) ~p ^ q

d) p ^ ~q

e) ~p ^ ~q

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EXERCÍCIOS

02 – Sejam as proposições p: Paula é alta e q: Paula éelegante. Faça a tradução para a linguagem simbólica dasseguintes proposições:

a) Paula é alta e elegante.

b) Paula é alta, mas não é elegante.

c) Paula não é alta nem elegante.

EXERCÍCIOS

03 – Traduza para a linguagem simbólica as seguintesproposições:

a) Os preços não sobem.

b) Pedro não é justo.

c) Carlos é asseado

d) Os preços sobem e Pedro é justo.

e) Os preços sobem ou Carlos é asseado.

f) Carlos não é asseado ou Pedro é justo.

EXERCÍCIOS

continuação...

f) Oferta cai

g) Se os preços sobem, então a oferta cai.

h) Se Pedro não é justo, então os preços sobem.

i) A oferta não cai e Pedro é justo se e somente se ospreços sobem.

j) Se os preços sobem e a oferta cai, então Carlos éasseado ou Pedro é justo.

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. Exemplo:Maria vai ao colégio ou João vai à igreja

p: Maria vai ao colégioq: João vai à igreja

2² = 4 linhas

CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA VERDADE

. Para a primeira proposição:2n-1 de valores V seguidos de 2n-1 de valores F

Para a segunda proposição:2n-1 de valores V seguidos de 2n-1 de valores F,alternadamente.


.


p q

V V

V F

F V

F F

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. Dado um argumento composto por 3proposições simples.

P (p, q, r)2³ = 8 linhas na tabela verdade


. Para a primeira proposição:2n-1 de valores V seguidos de 2n-1 de valores F

Para a segunda proposição:2n-2 de valores V seguidos de 2n-2 de valores F

Para a terceira proposição:2n-3 de valores V seguidos de 2n-3 de valores F


.


p q r

V V V

V V F

V F V

V F F

F V V

F V F

F F V

F F F

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HORA DE PRATICAR

EXERCÍCIOS

Verifique se as expressões abaixo são verdades ou falsas.

a) (2+5=7) ^ (cachorro possui penas).

b) Nenhum animal respira ^ Brasília é a capital do Brasil

c) (2x3+1=7) ^ Cachorro possui penas

d) Se o leão respira -> Existe oxigênio no planeta Terra

e) Se o cão late -> O gato cacareja ^ Se 4x4=16 -> 16/4=4

. Para negar um proposição conjuntiva deveser feito:◉ Negação da primeira parte;◉ Negação da segunda parte;◉ Trocar o “e” por “ou”.

NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES

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. Exemplo:João é médico e Pedro é dentista.

p: João é médicoq: Paulo é dentista~p v ~q: João não é médico ou Paulo não édentista.


. Exemplo:Ana é bonita e Adilson estuda

p: Ana é bonitaq: Adilson estuda~p v ~q: Ana não é bonita ou Adilson nãoestuda.


. Para negar um proposição disjuntiva deveser feito:◉ Negação da primeira parte;◉ Negação da segunda parte;◉ Trocar o “ou” por “e”.


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. Exemplo:Nao é verdade que Pedro é dentista ouPaulo é engenheiro.

~p: Pedro não é dentista~q: Paulo não é engenheiro~p ^ ~q: Pedro não é dentista e Paulo não éengenheiro.


. Exemplo:Manuela é rubro negra ou 2 + 2 = 5.

p: Manula é rubro negraq: 2 + 2 = 5~p ^ ~q: Manuela não é rubro negra e 2 + 2 = 5


. Para negar um proposição condicional deveser feito:◉ Manter a primeira parte;◉ Negação da segunda parte;◉ Trocar o “ou” por “e”.


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. Exemplo:Se chover então levarei o guarda chuva

p: Chove~q: Não levo o guarda chuva~p ^ ~q: Chove e não levo o guarda chuva.


. Exemplo:Se faz sol, vou à praia.

p: Faz solq: Vou à praia

p ^ ~q: Faz sol e não vou à praia.


. Exemplo:Se uma pessoa é mineira, então comequeijo.

p: Uma pessoa é mineira.q: Come queijo.

p ^ ~q: Uma pessoa é mineira e não come queijo.


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. Para negar uma disjunção exclusiva:◉ Negação da primeira parte;◉ Negação da segunda parte;◉ Utilizar o símbolo e


. Exemplo:Ou Ana é médica ou advogada.

p: Ana é médica.q: Ana é advogada.

~p ^ ~q: Ana não é média e Ana não é advogada.


. Para negar uma bicondicional:◉ Mantenha a primeira parte◉ Negação da segunda parte;◉ Utilizar o símbolo e


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. Exemplo:Jonas irá a Europa se, e somente se odólar cair.

p: Jonas irá a Europa.q: Dólar cair.

~p ^ q: Jonas irá a Europa e o dolár não irá cair.


HORA DE PRATICAR

EXERCÍCIOS

Negue as expressões abaixo:

a) Pimenta nos olhos dos outros é refresco ou colírio.

b) Se vergonha matasse, Gabriela já teria morrido.

c) Ou vai ou racha.

d) Se o cavalo é velho, o remédio é capim novo.

e) Se Maomé vai a montanha, a montanha vem até Maomé.

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EXERCÍCIOS

Negue as expressões abaixo:

f) Falar é prata se, e somente se calar for ouro.

g) 2 é par e 3 ímpar.

h) Se Ana viajar, Jurandir vai viajar.

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