Aula 06 - Corpo Ordenado Completo

7/24/2019 Aula 06 - Corpo Ordenado Completo

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Prof. Vitor Gustavo de Amorim


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Definio 1: Seja X um subconjunto de um corpoordenado . Ento X dito limitado superiormentese existe , tal que , .

Obs:

A definio dada equivale a dizer que , ;

O elemento chamado de cota superiorde.


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Definio 2: Seja X um subconjunto de um corpoordenado . Ento X dito limitado inferiormenteseexiste , tal que , .

Obs:

A definio dada equivale a dizer que , );

O elemento chamado de cota inferiorde.

Se

limitado superiormente e inferiormente,ento dizemos que limitado e, nesse caso,existem , tais que , -.


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Exemplos:

1) O subconjunto limitado inferiormente. Os

nmeros 0,

e

7so cotas inferiores de .

2) O subconjunto

; limitado

inferiormente e superiormente. So cotas inferior esuperior os nmeros 0e 1, respectivamente.

3) O subconjunto ; < 2 limitadosuperiormente pelo nmero 1,42, que uma de suascotas inferiores.


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Definio 3: Um corpo ordenado ditoarquimediano, se para todo , , com >0, existe , tal que > .

Obs:

possvel provar que o corpo arquimediano.

Existem corpos ordenados que no soarquimedianos.


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Definio 4:Seja um corpo ordenado e umsubconjunto limitado superiormente. Um elemento chama-se supremo de, quando a menor desuas cotas superiores. Denota-se = .

Assim, para que seja o supremo de , necessrio e suficiente que sejam vlidas ascondies:

S1. , ;

S2.Se cota superior de, ento .


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Exemplos:

4) Determine, se existir, o supremo dos conjuntosabaixo no corpo ordenado .

a) = (, )(intervalo aberto em )

b) =

9

;

c) =

;

d) =

;


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Propriedades

Se o supremo do subconjunto , ento:

1) e < ; < < .

2) O supremo de um conjunto, quando existe, nico.

3) > 0 , tal que < < .


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Definio 5:Seja um corpo ordenado e umsubconjunto limitado inferiormente. Um elemento chama-se nfimo de , quando a maior desuas cotas inferiores. Denota-se = .

Assim, para que seja o nfimo de , necessrio e suficiente que sejam vlidas ascondies:

S1. , ;

S2.Se cota inferior de, ento .


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Exemplos:

5) Determine, se existir, o nfimo dos conjuntosabaixo no corpo ordenado .

a) = (, )(intervalo aberto em )

b) =

;

c) = 2 ;

d) =

;


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Propriedades

Se o nfimo do subconjunto , ento:

1) e < ; < < .

2)O nfimo de um conjunto, quando existe, nico.

3) > 0 , tal que < < .


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Definio 6:

a)Se = tal que , ento chamadode mximodo conjunto X. Denota-se: = .

Exemplos 6:4-d); intervalo (,-; + ;

b)Se = tal que , ento tambm chamado de mnimo do conjunto X. Denota-se:

= .Exemplos 7:4-c); 5-d); intervalo , )


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Teorema 1: Considere os conjuntos = * +; < 2 e = * +; > 2 . Ento noexistem, em , o e o .

Definio 7:Um corpo ordenado dito completoquando todo subconjunto no vazio limitadosuperiormente admite supremo em .

Teorema 2:Um corpo ordenado completo se, esomente se, todo subconjunto no vaziolimitado inferiormente admite nfimo em .


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Corolrio 3: O corpo dos nmeros racionais no completo.

Corolrio 4: Se limitado superiormente,ento = *; limitado inferiormentee sup = inf().

Teorema 5: Todo corpo ordenado completo arquimediano.


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Questes Importantes:

Existem corpos ordenados completos?

Como resolver o problema da descontinuidade de?

possvel construir, a partir de , um corpoordenado completo que o contenha? Como?


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Mtodo dos Cortes de Dedekind

Definio 8: Um Corte de Dedekind todo par (, )de conjuntos no vazios de nmeros racionais, tais

que = e que < , e .

Postulado de Dedekind: Todo corte possui um

elemento de separao tal que = ou = .


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Exemplo 8: O par (,) dado por = * ; 2 um corte.


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Observaes:

1) No sistema de Dedekind, cada corte = , representa um nmero real;

2) No conjunto que formado por todos os cortes, possvel definir igualdade, adio, multiplicao erelao de ordem;

3) A partir dessas definies, pode-se mostrar que

este conjunto, munido das operaes definidas, umcorpo ordenado completo.


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Outros Mtodos:

Sequncias de Cauchy, de Georg Cantor;

Intervalos Encaixados;

Sequncias Montonas;

Propriedade do Supremo.


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Teorema 6: A menos de isomorfismo, um corpoordenado completo nico. Ou seja, se e socorpos ordenados completos, ento existe uma nicabijeo: tal que:

() =

= ()

Questo: No seria o caso de tomar como ponto departida a definio de conjunto dos nmeros reaiscomo sendo um corpo ordenado completo, j queeste nico?


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A construo formal do conjunto dos nmerosreais pode ser feita de forma precisa pelo mtododos cortes de Dedekind, pelo mtodo dassequncias de Cauchy entre outros;

Tais construes completam o conjunto , nosentido de que toda medida de segmento de retapossa ser dada por elementos do novo conjunto;


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A utilidade dessas construes, porm, se restrigeao ponto de vista teorco de mostrar comonmeros irracionais podem ser formalmentedefinidos, ou ainda, mostrar que corpos

ordenados completos existem;

Do ponto de vista prtico, entretanto, todas aspropriedades do conjunto dos nmeros reais

podem ser demonstradas assumindo que existeum conjunto que satisfaz os axiomas de corpoordenado completo.


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Mtodo Axiomtico

Axioma da Completude: Existe um corpo ordenado

completo que contm , chamado corpo dos

nmeros reais.

Obs.:Todas as propriedades j demonstradas para oscorpos ordenados so vlidas em .


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Definio 9:Um subconjunto dito densoem, se para todos , , com < , existe ,tal que < < . Ou equivalentemente, dito denso em se qualquer intervalo aberto (,)

de nmeros reais contm um elemento X.

Exemplo 10:O conjunto denso em .

Teorema 7:Os conjuntos e (irracionais) sodensos em .


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Exemplo 11: Considere os conjuntos = * +; < 2e = * +; > 2.

a)Mostre que existem, em , = inf e = sup .

b)Mostre que = .c)Mostre que = = 2, ou seja, = = 2.

Exemplo 12: Sejam + e , com > 1.

Ento possvel mostrar que, se = * +; < e = * +; > , entoinf = sup = .


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Teorema 8

Teorema dos Intervalos Encaixados:

Considere uma sequncia infinita de intervalosfechados , com = , .Ento existe pelo menos um nmero real tal que , -para todo .

Exemplo 13:Considerando a sequncia de intervalos

encaixados dada por =

,

, temos que 0 para todo .

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