Aula 07

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Raciocínio Lógico p/ PF - Agente - 2014

Professor: Marcos Piñon

Raciocínio Lógico p/ Polícia Federal (Agente)

Teoria e exercícios comentados

Prof Marcos Piñon – Aula 07

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AULA 07: Problemas Geométricos

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SUMÁRIO PÁGINA1. Resolução das questões da Aula 06 1 2. Geometria Plana 22 3. Geometria Espacial 39 4. Exercícios Comentados nesta aula 54 5. Exercícios Propostos 56 6. Gabarito 60

1 - Resolução das questões da Aula 06

(Texto para as questões de 286 a 288) Uma equipe de 10 profissionais, composta por 2 juízes, 4 promotores e 4 defensores públicos, atuou durante 4 dias em julgamentos de processos em determinado tribunal. A cada dia atuaram 1 juiz, 1 promotor e 1 defensor público. Na escala de trabalho, conta que Gerson, Marta e Julia atuaram na segunda-feira; Luiz, Paula e Carlos atuaram na terça-feira; Bianca e Adalberto atuaram na quarta-feira; Luiz e Diogo atuaram na quinta-feira.

Nessa situação, sabendo que Edna é defensora pública e atuou na quarta ou na quinta-feira, que a juíza Marta atuou em 2 dias, que Gerson e Bianca são promotores e que 3 promotores são do sexo masculino, julgue os itens seguintes:

286 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Diogo e Carlos são promotores.

Solução:

Vamos começar organizando as informações:

Segunda-feira: Gerson, Marta e Julia Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca e Adalberto Quinta-feira: Luiz e Diogo

Sabe-se ainda que:





- Edna é defensora pública - Edna atuou na quarta ou na quinta-feira - Marta é juíza - Marta atuou em 2 dias - Gerson é promotor - Bianca é promotora - 3 promotores são do sexo masculino

Para facilitar a explicação, os juízes serão marcados pela cor vermelha, os promotores pela cor azul e os defensores pela cor verde. Assim:

Segunda-feira: Gerson , Marta e Julia Terça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca e Adalberto Quinta-feira: Luiz e Diogo

Olhando para a segunda-feira, podemos concluir que Júlia é defensora, pois já temos um promotor e uma juíza atuando nesse dia.

Segunda-feira: Gerson , Marta e JuliaTerça-feira: Luiz, Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca e Adalberto Quinta-feira: Luiz e Diogo

Podemos perceber, também, que Luiz está atuando em dois dias (terça e quinta-feira), o que nos leva a concluir que ele é Juiz, já que temos apenas dois juízes para atuar nos quatro dias e Marta atua em apenas 2 dias.

Segunda-feira: Gerson , Marta e JuliaTerça-feira: Luiz , Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca e Adalberto Quinta-feira: Luiz e Diogo

Agora, podemos concluir que Marta atua na quarta-feira, já que temos Luiz (que é juiz) atuando na terça e na quinta-feira.

Segunda-feira: Gerson , Marta e JuliaTerça-feira: Luiz , Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca, Adalberto e MartaQuinta-feira: Luiz e Diogo

Podemos concluir, agora, que Adalberto é defensor, pois já temos uma promotora e uma juíza atuando na quarta-feira.

Segunda-feira: Gerson , Marta e JuliaTerça-feira: Luiz , Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca, Adalberto e MartaQuinta-feira: Luiz e Diogo





Sabemos, também, que Edna é defensora e que ela atuou na quarta ou na quinta-feira. Como na quarta nós já temos 3 pessoas atuando, podemos concluir que Edna atuou na quinta-feira.

Segunda-feira: Gerson , Marta e JuliaTerça-feira: Luiz , Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca, Adalberto e MartaQuinta-feira: Luiz , Diogo e Edna

Como na quinta-feira nós já temos um juiz e uma defensora, podemos concluir que Diogo é promotor.

Segunda-feira: Gerson , Marta e JuliaTerça-feira: Luiz , Paula e Carlos Quarta-feira: Bianca, Adalberto e MartaQuinta-feira: Luiz , Diogo e Edna

Por fim, falta sabermos as profissões de Paula e Carlos. Já sabemos quem são os dois juízes (Marta e Luiz), três promotores (Bianca, Gerson e Diogo) e três defensores (Adalberto, Julia e Edna). Portanto, faltam um promotor e um defensor. Sabendo que 3 promotores são do sexo masculino, podemos concluir que Carlos é o promotor e que Paula é a defensora que faltam. Assim:

Segunda-feira: Gerson , Marta e JuliaTerça-feira: Luiz , Paula e CarlosQuarta-feira: Bianca, Adalberto e MartaQuinta-feira: Luiz , Diogo e Edna

Portanto, concluímos que o item está correto .

287 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Os 2 juízes são do sexo feminino.

Solução:

Vimos na resolução da questão anterior que os dois juízes são Marta e Luiz. Portanto, apenas um dos juízes é do sexo feminino. Item errado .

288 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Adalberto e Paula são defensores públicos.

Solução:

Novamente, utilizando as informações obtidas anteriormente, vimos que Paula e Adalberto são defensores públicos. Item correto .

289 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Em determinado município, há, cadastrados, 58.528 eleitores, dos quais 29.221 declararam ser do sexo feminino e 93 não





informaram o sexo. Se, entre os eleitores que não informaram o sexo, o número de eleitores do sexo masculino for o dobro do número de eleitores do sexo feminino, então, nesse município, os eleitores do sexo masculino são maioria.

Solução:

Primeiramente, devemos encontrar a quantidade de eleitores que declararam ser do sexo masculino (x):

29221 + 93 + x = 58528

x = 58528 – 29221 – 93

x = 29214

Agora, chamando de y o número de eleitores do sexo feminino entre os 93 que não informaram o sexo, e, supondo que a quantidade de homens é o dobro da quantidade de mulheres, temos:

y + 2.y = 93

3.y = 93

y = 3

93 = 31

Assim, considerando que entre os eleitores que não informaram o sexo, o número de eleitores do sexo masculino é o dobro do número de eleitores do sexo feminino, temos:

Total do sexo masculino: 29214 + 2 × 31 = 29214 + 62 = 29276

Total do sexo feminino: 29221 + 31 = 29252

Portanto, há mais homens que mulheres. Item correto .

(Texto para as questões de 290 a 292) As atividades de manutenção, operação e instalação na área de informática de um escritório são desenvolvidas por Edson, Humberto e Danilo; cada um é responsável por uma única atividade. Os seus salários são: R$ 2.300,00, R$ 2.400,00 e R$ 2.500,00. Sabe-se que o responsável pela instalação de sistemas, que é irmão de Danilo, não tem o maior salário; Edson é o operador de sistemas; o responsável pela manutenção tem o menor salário.

Com base nessa situação hipotética, julgue os itens seguintes.

290 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Danilo é o operado de sistemas.





Solução:

Para facilitar a resolução dessa questão, vamos montar a seguinte tabela:

Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 Edson Humberto Danilo

Agora, a partir das informações da questão, vamos preencher a tabela:

Edson é o operador de sistemas.

Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 Edson Não Sim Não Humberto Não Danilo Não

O responsável pela instalação de sistemas é irmão de Danilo.

Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 Edson Não Sim Não Humberto Não Danilo Não Não

Com isso, podemos concluir que Danilo é o responsável pela Manutenção e que Humberto é o responsável pela instalação.

Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 Edson Não Sim Não Humberto Não Não SimDanilo Sim Não Não

O responsável pela manutenção tem o menor salário.

Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 Edson Não Sim Não Não Humberto Não Não Sim Não Danilo Sim Não Não Sim Não Não

O responsável pela instalação de sistemas não tem o maior salário





Manutenção Operação Instalação 2.300,00 2.400,00 2.500,00 Edson Não Sim Não Não Não SimHumberto Não Não Sim Não Sim Não Danilo Sim Não Não Sim Não Não

Com isso, podemos concluir que Danilo não é o operador de sistemas. Item errado .

291 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) O salário do instalador de sistemas é igual a R$ 2.400,00.

Solução:

A partir das informações da questão anterior, podemos concluir que o salário do instalador de sistemas (que é Humberto) é igual a R$ 2.400,00. Item correto .

292 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Edson tem o maior salário.

Solução:

Mais uma vez, a partir do que vimos anteriormente, Edson tem o maior salário. Item correto .

293 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Se em um município que tem 2.500 eleitores, a votação dura 10 horas, cada seção eleitoral possui apenas uma urna, todos os eleitores votam e cada eleitor leva 1 minuto e meio para votar, então, nesse município serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais.

Solução:

Vamos organizar as informações:

Total de eleitores: 2.500 eleitores

Duração da votação: 10 horas

Quantidade de urnas por seção eleitoral: 1

Tempo de votação por eleitor: 1 minuto e meio

Bom, com as informações da questão, vamos, primeiro, calcular quantos eleitores votam em um dia de votação com uma única seção eleitoral:

Duração da votação: 10 horas = 10 x 60 minutos = 600 minutos





Nº de eleitores / seção / dia de votação: meioeutomin1

utosmin600 =

5,1600

= 400 eleitores

Assim, o total de seções necessárias para que 2500 eleitores votem num dia é dado por:

400500.2

= 6,25

Agora, como o número de seções não pode ser um número fracionário, devemos arredondar esse número para cima, pois, com apenas 6 seções, 100 pessoas deixam de votar.

Portanto, serão necessárias, no mínimo, 7 seções eleitorais neste município para que os 2.500 eleitores desta cidade possam votar. Item correto .

294 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Se, em um município, as seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores; os tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio de votação nas três seções é de 2.175 minutos; e o número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do número de eleitores das seções X e Z, então, nesse caso, a seção eleitoral que tem o maior número de eleitores é a X.

Solução:

Nessa questão, vamos chamar de x, y e z o número de eleitores das seções X, Y e Z. Assim:

As seções eleitorais X, Y e Z têm, juntas, 1.500 eleitores

x + y + z = 1.500 (equação 1)

O número de eleitores da seção Y é igual à metade da soma do número de eleitores das seções X e Z

y = 2

)zx( +

2.y = x + z (equação 2)

Substituindo o valor de x + z da equação 2 na equação 1, temos:

x + y + z = 1.500

y + 2.y = 1.500

3.y = 1.500





y = 3

1500 = 500 eleitores

Voltando para a equação 1, temos:

x + y + z = 1.500

x + 500 + z = 1.500

x + z = 1.500 – 500

x + z = 1.000

z = 1000 – x (equação 3)

Os tempos médios de votação nessas seções são 1 minuto e 30 segundos, 2 minutos e 1 minuto por eleitor, respectivamente; o tempo médio de votação nas três seções é de 2.175 minutos

1,5.x + 2.y + 1.z = 2175

1,5.x + 2.(500) + z = 2175

1,5.x + 1000 + z = 2175

1,5.x + z = 2175 – 1000

1,5.x + z = 1175 (equação 4)

Agora, substituindo o valor de z da equação 3 na equação 4, temos:

1,5.x + z = 1175

1,5.x + 1000 – x = 1175

0,5.x = 1175 – 1000

0,5.x = 175

x = 5,0

175 = 350

Voltando para a equação 3, temos:

z = 1000 – x

z = 1000 – 350 = 650

O





Portanto, a seção que tem o maior número de eleitores é a seção Z. Item errado .

(Texto para as questões 295 e 296) Um banner da Corregedoria Regional Eleitoral do Espírito Santo, parcialmente reproduzido abaixo, alerta a população acerca de possíveis irregularidades no processo de alistamento e cadastro de eleitores.

De acordo com o panfleto apresentado, João, José, Pedro, Marta e Lurdes tenham cometido crimes, cada um por motivo diferente do outro. Sabe-se que:

- os homens não transferiram domicílio de forma fraudulenta;

- as mulheres não omitiram declaração em documento;

- uma dessas pessoas aliciou e induziu outra pessoa do grupo, do sexo oposto, a alistar-se eleitor(a) de forma fraudulenta;

- Pedro ou Marta deram declaração falsa;

- José e João se alistaram de forma não fraudulenta.

Considerando o banner e as informações hipotéticas apresentadas acima, julgue os itens seguintes.

295 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A pessoa responsável pelo aliciamento é do sexo feminino.

Solução:





Para resolver esta questão, vamos preencher a seguinte tabelinha:

Alistar-se de forma

fraudulenta

Transferir domicílio de forma

fraudulenta

Aliciar / Induzir eleitor a alistar-

se de forma fraudulenta

Dar declaração

falsa

Omitir declaração em

documento

João José Pedro Marta Lurdes

Agora, a partir das informações da questão, vamos preencher a tabelinha:

- os homens não transferiram domicílio de forma fraudulenta;

Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dar declaração

falsa


documento

João Não José Não Pedro Não Marta Lurdes

- as mulheres não omitiram declaração em documento;

Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dar declaração

falsa


documento

João Não José Não Pedro Não Marta Não Lurdes Não

- José e João se alistaram de forma não fraudulenta.





Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dar declaração

falsa


documento

João Não Não José Não Não Pedro Não Marta Não Lurdes Não

- Pedro ou Marta deram declaração falsa;

Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dar declaração

falsa


documento

João Não Não Não José Não Não Não Pedro Não Marta Não Lurdes Não Não

Podemos perceber que só restou a José e a João terem aliciado e induzido outra pessoa a alistar-se de forma fraudulenta ou omitido declaração em documento, pois eles não se alistaram, não transferiram domicilio nem deram declaração falsa. Assim:

Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dar declaração

falsa


documento

João Não Não Não José Não Não Não Pedro Não Não Não Marta Não Não Lurdes Não Não Não

- uma dessas pessoas aliciou e induziu outra pessoa do grupo, do sexo oposto, a alistar-se eleitor(a) de forma fraudulenta;

Como quem aliciou e induziu foi um homem (José ou João), podemos concluir que quem alistou-se de forma fraudulenta foi uma mulher. Assim:





Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dar declaração

falsa


documento

João Não Não Não José Não Não Não Pedro Não Não Não Não Marta Não Não Lurdes Não Não Não

O que nos leva a concluir que Pedro deu a declaração falsa:

Alistar-se de forma

fraudulenta


fraudulenta



Dar declaração

falsa


documento

João Não Não Não José Não Não Não Pedro Não Não Não Sim Não Marta Não Não Não Lurdes Não Não Não

Portanto, a pessoa responsável pelo aliciamento é do sexo masculino (José ou João). Item errado .

296 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Pedro deu declaração falsa.

Solução:

Vimos na questão anterior que foi Pedro quem deu a declaração falsa. Item correto .

(Texto para as questões 297 e 298) Um cliente contratou os serviços de cartão pré-pago de uma financeira e, em seguida, viajou. Esse cliente gastou

metade do limite do cartão com hospedagem, 31

com combustível e 91

com

alimentação. Nesse caso,

297 - (Assembléia Legislativa/CE - 2011 / CESPE) o cliente gastou todo o limite do cartão contratado com hospedagem, combustível e alimentação.

Solução:

Essa é uma questão bem simples. Vamos chamar de x o limite total do cartão. Assim:

O





Gasto com Hospedagem = 2

x

1 de x =

2

Gasto com Combustível = 31

de x = 3x

Gasto com Alimentação = 91

de x = 9x

Assim, apenas com hospedagem, combustível e alimentação o cliente gastou:

Total gasto = 2x

+ 3x

+ 9x

= 18

x.2x.6x.9 ++=

18x.17

Total que sobrou = x – 18

x.17 =

18x.17x.18 −

= 18x

Com isso, concluímos que ainda restou 181

do limite do cartão. Item errado .

298 - (Assembléia Legislativa/CE - 2011 / CESPE) se o gasto do cliente com hospedagem utilizando o cartão pré-pago atingiu o montante de R$ 1.500,00, então, nesse cartão, o seu gasto com combustível foi de R$ 1.000,00.

Solução:

Sabemos que metade do limite do cartão foi gasto com hospedagem, ou seja, 50% do limite corresponde a R$ 1.500,00. Assim:

2x

= 1.500

x = 2 x 1.500

x = R$ 3.000,00

Portanto, o limite total é igual a R$ 3.000,00. Com isso, podemos calcular o gasto com combustível:

Gasto com combustível = 3x

= 3

3000 = R$ 1.000,00

Item correto .





(Texto para as questões 299 a 301) O Flamengo, o Corinthians e o Cruzeiro foram convidados para jogos amistosos de futebol contra times europeus. Os jogos serão realizados em Lisboa, em Roma e em Paris, nos dias 22, 23 e 24 de agosto. Além disso, sabe-se que:

� cada clube jogará apenas uma vez; � somente um jogo acontecerá em cada dia; � em cada cidade ocorrerá apenas um jogo; � o Flamengo jogará em Roma; � o Cruzeiro jogará no dia 24; � o jogo do dia 23 será em Lisboa.

Considerando essa situação hipotética, julgue os itens a seguir.

299 - (ANS - 2013 / CESPE) O Flamengo jogará no dia 22.

Solução:

Bom, temos a informação que cada clube jogará apenas uma vez, somente um jogo acontecerá em cada dia e que em cada cidade ocorrerá apenas um jogo. Assim, a melhor forma de resolver essa questão é montando uma tabelinha. Vejamos:

Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 Flamengo Corinthians Cruzeiro

Agora, vamos preencher a tabela com base nas informações da questão:

o Flamengo jogará em Roma;

Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 Flamengo Não Sim Não Corinthians Não Cruzeiro Não

o Cruzeiro jogará no dia 24;

Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 Flamengo Não Sim Não Não Corinthians Não Não Cruzeiro Não Não Não Sim

o jogo do dia 23 será em Lisboa.

Com essa informação, podemos concluir que o cruzeiro não jogará em Lisboa, já que seu jogo é dia 24. Podemos concluir também, que o Flamengo não jogará dia 23, pois seu jogo será em Roma:





Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 Flamengo Não Sim Não Não Não Corinthians Não Não Cruzeiro Não Não Não Não Sim

Concluímos, então, que o Cruzeiro jogará em Paris e que o Flamengo jogará dia 22:

Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 Flamengo Não Sim Não Sim Não Não Corinthians Não Não Não Não Cruzeiro Não Não Sim Não Não Sim

Por fim, concluímos que o Corinthians jogará dia 23 em Lisboa:

Lisboa Roma Paris Dia 22 Dia 23 Dia 24 Flamengo Não Sim Não Sim Não Não Corinthians Sim Não Não Não Sim Não Cruzeiro Não Não Sim Não Não Sim

Portanto, o item está correto , já que o Flamengo jogará dia 22.

300 - (ANS - 2013 / CESPE) O jogo em Paris ocorrerá no dia 24.

Solução:

Com base nas informações obtidas na questão anterior, concluímos que este item está correto , já que o Cruzeiro jogará dia 24 em Paris.

301 - (ANS - 2013 / CESPE) O Corinthians jogará em Paris

Solução:

Com base nas informações obtidas anteriormente, concluímos que este item está errado , já que o Corinthians jogará no dia 23 em Lisboa.

(Texto para a questão 302) Considere que a empresa X tenha disponibilizado um aparelho celular a um empregado que viajou em missão de 30 dias corridos. O custo do minuto de cada ligação, para qualquer telefone, é de R$ 0,15. Nessa situação, considerando que a empresa tenha estabelecido limite de R$ 200,00 e que, após ultrapassado esse limite, o empregado arcará com as despesas, julgue o item a seguir.





302 - (PC-DF - 2013 / CESPE) Considere que, em uma nova missão, o preço das ligações tenha passado a depender da localidade, mesma cidade ou cidade distinta da de origem da ligação, e do tipo de telefone para o qual a ligação tenha sido feita, celular, fixo ou rádio. As tabelas abaixo mostram quantas ligações de cada tipo foram feitas e o valor de cada uma:

celular fixo rádio

mesma cidade 6 3 1

cidade distinta 7 1 3

Tabela I: número de ligações realizadas por tipo de telefone

mesma cidade cidade distinta

celular 0,20 0,50

fixo 0,15 0,30

rádio 0,20 0,20

Tabela II: preço de cada ligação, em reais

Nessas condições, se A =

317

136 for a matriz formada pelos dados da

tabela I, e B =

20,020,0

30,015,0

50,020,0

for a matriz formada pelos dados da tabela II,

então a soma de todas as entradas da matriz A × B será igual ao valor total das ligações efetuadas.

Solução:

A primeira coisa que devemos entender é qual será o valor total das ligações efetuadas. Assim, temos:

Para a mesma cidade, foram feita 6 ligações para celular, 3 ligações para fixo e 1 ligação para rádio, ou seja, o valor total foi:

6 × 0,20 + 3 × 0,15 + 1 × 0,20 = 1,2 + 0,45 + 0,2 = R$ 1,85

Para uma cidade distinta, foram feitas 7 ligações para celular, 1 ligação para fixo e 3 ligações para rádio, ou seja, o valor total foi:

7 × 0,50 + 1 × 0,30 + 3 × 0,20 = 3,5 + 0,3 + 0,6 = R$ 4,40

Portanto, o custo total foi de 1,85 + 4,4 = R$ 6,25





Agora, devemos comparar se este valor é igual ao valor da soma dos elementos da matriz resultante da multiplicação entre as matrizes A e B acima. Vejamos:

A x B =

317

136 x

20,020,0

30,015,0

50,020,0

=

×+×+××+×+××+×+××+×+×

20,0330,0150,0720,0315,0120,07

20,0130,0350,0620,0115,0320,06 =

++++++++

6,03,05,36,015,04,1

2,09,032,045,02,1 =

4,415,2

1,485,1 =

Assim, a soma de todos os elementos dessa matriz fica:

1,85 + 4,1 + 2,15 + 4,4 = R$ 12,50

Portanto, a soma de todas as entradas da matriz A × B NÃO será igual ao valor total das ligações efetuadas. Item errado .

(Texto para as questões 303 a 306) A figura acima ilustra um brinquedo virtual, em que duas bolas — I e II — se movimentam em uma haste a partir do momento que o brinquedo é ligado, ambas com a mesma velocidade e de maneira contínua, indo de uma extremidade à outra. A bola I se movimenta de A para B e de B para A; a bola II, de A para C e de C para A. Antes de o brinquedo ser ligado, devem ser indicados valores nos mostradores TI e TII. Indicar TI = M significa que a bola I levará M segundos para ir de A até B; TII = N significa que a bola II levará N segundos para ir de A até C. O mostrador Tempo indica há quantos segundos o brinquedo está ligado. No momento que o brinquedo é ligado, os movimentos se iniciam sempre a partir do ponto A.





Com relação às funcionalidades do brinquedo descrito acima, julgue os itens a seguir.

303 - (AFT - 2013 / CESPE) Se TI = 3 e TII = 9, então, toda vez que o mostrador Tempo indicar um múltiplo de 6, as bolas I e II se encontrarão no ponto A.

Solução:

Nessa questão, devemos entender que a bola I voltará ao ponto A a cada 2 vezes o tempo TI, pois ela leva TI para ir de A até B e levará o mesmo TI para ir de B até A. O mesmo ocorre com a bola II, ela levará 2 vezes TII para voltar ao ponto A. Com isso, podemos concluir que sempre em tempos múltiplos de 2×TI e 2×TII, as bolas I e II se encontrarão no ponto A.

Com TI = 3 e TII = 9, temos:

2 × TI = 2 × 3 = 6 segundos

2 × TII = 2 × 9 = 18 segundos

Portanto, a cada 6 segundos a bola I se encontrará no ponto A, mas apenas a cada 18 segundos a bola II se encontrará no ponto A. Item errado .

304 - (AFT - 2013 / CESPE) Se TI = 5 e TII = 8, então, depois que o brinquedo foi ligado, as bolas nunca mais se encontrarão simultaneamente no ponto A.

Solução:

Questão semelhante à anterior. Assim, sempre em tempos múltiplos de 2×TI e 2×TII, as bolas I e II se encontrarão no ponto A:

Com TI = 5 e TII = 8, temos:

2 × TI = 2 × 5 = 10 segundos

2 × TII = 2 × 8 = 16 segundos

Para saber quando as duas bolas se encontrarão simultaneamente no ponto A, calculamos o m.m.c. entre 10 e 16:

m.m.c. entre 10 e 16 = 80 (pois 10 = 2 × 5 e 16 = 24. Assim, m.m.c. = 24 × 5 = 80)

Portanto, a cada 80 segundos as duas bolas se encontrarão simultaneamente no ponto A. Item errado .

305 - (AFT - 2013 / CESPE) Se TI = 3, então, quando o mostrador Tempo indicar 15 segundos, a bola I estará no ponto B.





Solução:

Sabemos que a cada TI a bola I vai de A para B e em seguida de B para A em novo período TI, e assim sucessivamente. Com isso, podemos dividir 15 segundos por TI, para sabermos quantas vezes a bola I percorreu a distancia entre os pontos A e B:

15 ÷ 3 = 5 com resto igual a zero

Como este resultado foi um número ímpar (5), e o resto foi igual a zero, concluímos que a bola I estará em B após 15 segundos, pois já sabemos que a cada 2 vezes TI ela retorna ao ponto A. Item correto .

306 - (AFT - 2013 / CESPE) Se TII = 5, então, quando o mostrador Tempo indicar 64 segundos, a bola II estará mais próxima de C do que de A.

Solução:

Questão semelhante à anterior. Vamos dividir 64 segundos por TII para sabermos quantas vezes a bola II percorreu a distancia entre os pontos A e C. Em seguida, com o resto da divisão, analisaremos se a bola II estará mais perto de A ou de C:

64 ÷ 5 = 12 com resto igual a 4

Assim, após percorrer 12 vezes a distância entre A e C a bola II se encontrará em A. Em seguida, após mais 4 segundos (o resto da divisão) a bola II estará mais próxima de C do que de A, pois faltará apenas mais 1 segundo para chegar em C. Item correto .

(Texto para as questões 307 a 309) Paulo, Tiago e João, auditores do trabalho, nasceram, um deles em Brasília, o outro, em Goiânia e o terceiro, em Curitiba. Suas idades são 25, 27 e 28 anos. Sabe-se que João não nasceu em Brasília e não tem 25 anos; que o auditor que nasceu em Goiânia tem 28 anos; que Paulo não nasceu em Curitiba nem tem 25 anos; e que Tiago nasceu na região Centro-Oeste.

Com base nessas informações, julgue os seguintes itens.

307 - (AFT - 2013 / CESPE) O auditor brasiliense tem 27 anos.

Solução:

Nessa questão, vamos começar desenhando a tabelinha para organizar as informações:





Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos Paulo Tiago João

Agora, vamos preencher a tabela com as informações da questão:

João não nasceu em Brasília e não tem 25 anos

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos Paulo Tiago João Não Não

Paulo não nasceu em Curitiba nem tem 25 anos

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos Paulo Não Não Tiago João Não Não

Aqui podemos concluir que Tiago tem 25 anos, pois nem João nem Paulo possuem esta idade:

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos Paulo Não Não Tiago Sim Não Não João Não Não

Tiago nasceu na região Centro-Oeste

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos Paulo Não Não Tiago Não Sim Não Não João Não Não

Aqui podemos concluir que João nasceu em Curitiba, pois nem Paulo nem Tiago nasceram nesta cidade:

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos Paulo Não Não Tiago Não Sim Não Não João Não Não Sim Não





o auditor que nasceu em Goiânia tem 28 anos

Bom, como João nasceu em Curitiba, ele não possui 28 anos:

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos Paulo Não Não Tiago Não Sim Não Não João Não Não Sim Não Não

Assim, concluímos que João possui 27 anos:

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos Paulo Não Não Não Tiago Não Sim Não Não João Não Não Sim Não Sim Não

Podemos concluir também que Paulo possui 28 anos e, com isso, concluir que ele nasceu em Goiânia, sobrando para Tiago nascer em Brasília:

Brasília Goiânia Curitiba 25 anos 27 anos 28 anos Paulo Não Sim Não Não Não SimTiago Sim Não Não Sim Não Não João Não Não Sim Não Sim Não

Como Tiago é o auditor brasiliense e possui 25 anos, concluímos que o item está errado .

308 - (AFT - 2013 / CESPE) Paulo nasceu em Goiânia.

Solução:

Utilizando as informações da questão anterior, concluímos que Paulo nasceu em Goiânia. Item correto .

309 - (AFT - 2013 / CESPE) O auditor que nasceu em Curitiba tem 25 anos.

Solução:

Vimos que João nasceu em Curitiba e possui 27 anos. Item errado .





Vamos tratar hoje dos “Problemas Geométricos”. Antes, vamos relembrar um pouco da Geometria Básica. Vamos lá:

2 - Geometria Plana

Ponto, reta e plano

O conceito de ponto é um conceito primitivo, pois não existe uma definição aceita de ponto, temos nesse caso que aceitar sua existência e indicaremos um ponto por uma letra maiúscula do alfabeto (A, B, C, P, ...).

Podemos definir uma reta como sendo um número infinito de pontos em sequência. É possível perceber que sobre um ponto passa um número infinito de retas, porém sobre dois pontos distintos passa apenas uma reta distinta, a qual passaremos a chamar por uma letra minúscula do alfabeto (s, t, q, r, ...). Além disso, chama-se de semirreta aquela que começa em um ponto qualquer de uma reta e não tem fim. Já o segmento de reta é aquele que começa em um ponto qualquer da reta e termina em outro ponto desta mesma reta.

O plano será definido por três pontos não-colineares (que não estão na mesma reta). Todas as retas que passam por dois desses pontos que definem o plano estão contidas nele. Denominaremos o plano por uma letra grega minúscula qualquer (α, β, γ, ...).

Posições relativas entre retas, semirretas, segmentos e planos

Duas retas distintas podem assumir diferentes posições no espaço. Elas podem ser: paralelas , coincidentes , concorrentes , perpendiculares ou reversas .

• Retas Paralelas

Duas retas serão paralelas se pertencerem ao mesmo plano (coplanares) e não possuírem ponto de intersecção ou ponto em comum.

• Retas Coincidentes

s r

s r

Reta

Semirreta

Segmento de reta





Duas retas são ditas coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos os pontos em comum.

• Retas Concorrentes

Retas concorrentes são aquelas que possuem apenas um ponto comum, elas se tocam apenas uma vez.

• Retas Perpendiculares

Duas retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes. Sua peculiaridade é que o ângulo formado por essas duas retas é igual a 90°.

• Retas Reversas

Duas retas serão ditas reversas se, ao mesmo tempo, elas não forem paralelas e não possuírem nenhum ponto em comum.

Podemos, também, definir outras posições relativas das retas, semirretas, segmentos e planos:

• Semirretas Opostas

Duas semirretas são denominadas opostas se elas estão numa mesma reta, possuem um mesmo ponto de origem e possuem sentidos opostos (na figura acima o ponto “O” divide a reta em duas semirretas opostas).

• Segmentos Consecutivos

Dois segmentos de reta são ditos consecutivos se a extremidade de um dos segmentos é também a extremidade do outro, ou seja, se uma extremidade de um coincide com uma extremidade do outro. Na figura acima, os segmentos AB e BC são consecutivos.

• Segmentos Colineares

s

r

.

s

r

. .

s

r

. O

. . . . A B C D

. . . A B

C





Dois segmentos de reta serão colineares se eles pertencerem a uma mesma reta. Na figura acima, os segmentos AB e CD são colineares.

• Segmentos Congruentes

Dois segmentos serão congruentes se eles tiverem as mesmas medidas. Na figura acima, os segmentos AB e CD são congruentes, pois ambos medem cinco centímetros.

• Segmentos Adjacentes

Dois segmentos serão ditos adjacentes se eles forem consecutivos e colineares, e ainda, se possuírem apenas uma extremidade em comum e não tiverem outros pontos em comum. Na figura acima, AB e BC são adjacentes.

• Reta paralela a um plano

Uma reta será paralela a um plano se eles não tiverem nenhum ponto em comum.

• Reta contida num plano

Uma reta estará contida num plano se todos os seus pontos pertencerem a este plano.

• Reta secante (ou concorrente) a um plano

Uma reta será secante (ou concorrente ) a um plano se ambos só tiverem um ponto em comum.

Se o ângulo que se formar entre a reta e o plano for 90°, dizemos que eles são perpendiculares.

Ângulos

. . . . 5 cm

5 cm A B

C D

. . . A B C





Podemos definir um ângulo como sendo uma região formada pela abertura de duas semirretas que possuem uma origem em comum. A origem dessas duas semirretas chama-se vértice do ângulo.

Existe uma semirreta importante no estudo dos ângulos que é a bissetriz . Ela tem origem no vértice de um ângulo qualquer e o divide em dois ângulos iguais.

As unidades de medida mais comuns para os ângulos são radianos ou graus . Existem outras unidades, porém, muito pouco usadas e não merecem que percamos nosso tempo com elas.

A medida em radianos de um ângulo é o comprimento do arco cortado pelo ângulo, dividido pelo raio do círculo. Já a medida em graus de um ângulo é o comprimento desse mesmo arco, dividido pela circunferência do círculo e multiplicada por 360.

ααα (em radianos) = RL

ααα (em graus) = R..2

Lπππ

.360

Obs: Veremos mais na frente que o comprimento da circunferência vale 2.π.R.

Agora, vamos verificar as seguintes classificações dos ângulos: quanto à medida, quanto à posição e quanto à complementação.

. s O

r

α

α/2

α/2

Bissetriz

s

r





• Classificação quanto à medida

Os ângulos podem ser:

Nulo : O ângulo nulo é aquele que mede 0° (ou 0 radianos ).

Agudo : O ângulo será agudo, se sua medida valer mais que 0° (ou 0 radianos) e

menos que 90° (ou 2π radianos).

Reto : O ângulo reto é aquele que mede exatamente 90° (o u 2π radianos).

Obtuso : O ângulo será obtuso, se sua medida valer mais que 90° (ou 2π

radianos) e menos que 180° (ou π radianos).

Raso : O ângulo raso é aquele que mede 180° (ou π radianos).

• Classificação quanto à posição

Congruentes : Dois ângulos são classificados como congruentes, quando eles possuem a mesma medida.

Consecutivos : Dois ângulos são chamados consecutivos se um dos lados de um deles coincide com um dos lados do outro ângulo. Na figura abaixo, ααα e βββ são consecutivos.

Adjacentes : Dois ângulos são classificados como adjacentes quando são consecutivos e não possuem pontos internos comuns. Na figura abaixo, ααα e βββ são adjacentes.

Opostos pelo vértice : São ângulos formados por duas retas concorrentes e que possuem seus dois lados nas mesmas retas. Na figura abaixo, ααα e βββ são opostos pelo vértice.

α β

β α





• Classificação quanto à complementação

Complementares : Dizemos que α e β são complementares quando a soma de suas medidas é igual a 90°. Assim, dizemos que α é o complemento de β e vice-versa.

Suplementares : Dizemos que α e β são suplementares quando a soma de suas medidas é igual a 180°. Assim, dizemos que α é o suplemento de β e vice-versa.

Circunferência

Podemos definir uma circunferência como o lugar geométrico dos pontos de um plano que possuem a mesma distância (raio) de um ponto fixo (centro).

O segmento de reta que passa pelo centro e une dois pontos da circunferência é chamado de diâmetro (D). Esse diâmetro vale o dobro do raio (R).

D = 2.R

O comprimento da circunferência, ou perímetro (P), é igual a:

P = 2.πππ.R ou P = πππ.D

A área de uma circunferência é dada pela seguinte expressão:

Área = πππ.R2 ou Área = πππ.4

D2

Polígonos

O polígono é uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se interceptam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do

α β

D

R





polígono. Os pontos de interseção são denominados vértices do polígono. Os polígonos podem ser: Convexo ou Côncavo.

O Polígono Convexo é aquele construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento de reta tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.

O Polígono Côncavo é aquele construído de modo que existam dois pontos contidos no polígono de forma que o segmento de reta com esses dois pontos nas extremidades possua pontos fora do polígono.

Triângulos

Os triângulos são polígonos que possuem três lados e a soma de seus ângulos internos vale 180°. Para podermos garantir a exist ência de um triângulo, devemos garantir que cada lado seja menor que a soma dos outros dois lados. Além disso, devemos garantir que cada lado seja maior que o módulo da diferença entre os outros dois lados e que os seus três vértices não estejam numa mesma reta:

a < b + c a > |b - c|

Eles podem ter as seguintes classificações:

- Quanto à medida dos ângulos (acutângulo, retângulo e obtusângulo) - Quanto à medida dos lados (equilátero, isósceles e escaleno)

Classificação dos triângulos quanto à medida dos seus ângulos

• Triângulo Acutângulo

b

a

c

A

B

A

B





O triângulo é classificado como acutângulo , quando ele possui todos os ângulos menores que 90°.

• Triângulo Retângulo

Classificamos o triângulo como retângulo , quando ele possui um ângulo medindo exatamente 90°. Nesse triângulo, os lados que forma m o ângulo reto denominam-se catetos, e o lado oposto ao ângulo reto denomina-se hipotenusa.

Cabe destacar logo agora o Teorema de Pitágoras . Esse teorema estabelece que o quadrado da hipotenusa é igual a soma do quadrado dos catetos:

(Hipotenusa) 2 = (Cateto 1) 2 + (Cateto 2) 2

• Triângulo obtusângulo

O triângulo é classificado como obtusângulo , quando possui um ângulo medindo mais de 90°.

Classificação dos triângulos quanto à medida dos seus lados

• Triângulo equilátero

O triângulo é classificado como equilátero , quando todos os seus lados possuem a mesma medida. Este triângulo também possui todos os seus ângulos medindo 60° (é dito equiângulo).

• Triângulo Isósceles

O triângulo é classificado como isósceles , quando possui dois lados de mesma medida. Pode-se dizer que o triângulo equilátero é um caso particular do triângulo isósceles, quando o terceiro lado também apresenta a mesma medida dos outros dois.

• Triângulo Escaleno

Classificamos o triângulo como escaleno se todos os seus lados possuírem medidas diferentes.

Cateto 1

Cateto 2 Hipotenusa

.





Existem algumas medidas dos triângulos que devem ser destacadas

Mediatriz, Altura, Mediana e Bissetriz

• Mediatriz

A mediatriz de um triângulo é a semirreta perpendicular a um lado do triângulo, traçada a partir do seu ponto médio.

As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, chamado de circuncentro , que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo (o triângulo fica dentro da circunferência). O circuncentro pode ficar dentro ou fora do triângulo.

• Altura

A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Ela é o segmento de reta que liga um vértice ao seu lado oposto, ou ao prolongamento do seu lado oposto, formando um ângulo reto com esse lado, que é chamado de base dessa altura. Na figura abaixo, “h” é a altura relativa à base “a”.

O ponto de encontro das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro . No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo.

h

a .

xx





• Mediana

A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une o vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.

O ponto de interseção das três medianas é chamado de baricentro do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice

Num triângulo retângulo, a mediana relativa à hipotenusa mede metade desta hipotenusa.

• Bissetriz

A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice, e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes.

O ponto de encontro das três bissetrizes internas do triângulo chama-se incentro . O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito.

Aqui, cabe destacar que os dois segmentos de reta que ligam um vértice do triângulo aos pontos em que o circulo inscrito tangencia os lados do triângulo, possuem a mesma medida.

α α

2.a a

x x





Área do triângulo

Para se calcular a área de um triângulo, devemos primeiro saber quem é a altura do triângulo. A altura é medida em relação a qualquer um dos seus lados. Na figura abaixo, “h” é a altura relativa à base “a”. Pode-se calcular a área de um triângulo multiplicando-se um lado qualquer desse triângulo por sua altura relativa e dividindo o resultado por dois.

Área = 2

h.a

Num triângulo retângulo, as alturas relativas às bases que formam o ângulo reto coincidem com os lados desse triângulo, conforme figura abaixo. Assim, para calcular a área desse triângulo basta multiplicar esses dois catetos e dividir o resultado por dois.

Área =2

b.a

Outra forma de calcular a área de um triângulo é por meio da medida de seus lados. Assim, um triângulo de lados a, b e c, possui a seguinte área:

Área = )cs).(bs).(as.(s −−−−−−−−− , onde s = 2

cba ++++++(semi-perímetro)

Semelhança entre triângulos

Podemos definir a semelhança entre dois triângulos da seguinte forma:

“Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.”

h

a .

.

a

b





Os triângulos 1 e 2 são ditos semelhantes se:

∧X =

∧A

∧Y =

∧B

∧Z =

∧C

cz

by

ax ==

A semelhança de triângulos possui um teorema fundamental que numa prova pode nos ajudar a rapidamente identificar dois triângulos semelhantes:

“Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois em dois pontos distintos, então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro”

Considerando que a reta r é paralela ao lado AB, os triângulos ABC e XYC são semelhantes.

Existem outras formas de se determinar que dois triângulos são semelhantes:

AA (Ãngulo-Ãngulo) : Se dois triângulos possuem dois ângulos internos correspondentes iguais, então os dois triângulos são semelhantes.

LAL (Lado-Ângulo-Lado) : Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são proporcionais aos lados homólogos do outro triângulo e os ângulos determinados por estes lados são iguais, então os triângulos são semelhantes.

a

b c y z

x

X

Y Z

B

A

C 1

2

A B

C

X Y

r





LLL (Lado-Lado-Lado) : Se as medidas dos lados de um triângulo são respectivamente proporcionais às medidas dos lados homólogos de outro triângulo, então os dois triângulos são semelhantes.

Quadriláteros

O quadrilátero é o polígono que possui quatro lados e a soma de seus ângulos internos vale 360°. As diagonais do quadrilátero sã o segmentos de reta que unem seus vértices opostos.

Concentraremos o estudo nos quadriláteros que possuem dois lados opostos paralelos. Eles se dividem em dois grupos: os paralelogramos e os trapézios.

Os paralelogramos possuem os lados paralelos dois a dois (lados opostos paralelos) e suas diagonais se encontram no ponto médio. Eles se dividem em: Quadrados, Retângulos, Losangos e Paralelogramos obliquângulos.

Os trapézios possuem apenas dois de seus lados paralelos, mas o comprimento dos seus lados e a medida de seus ângulos variam sem nenhuma relação uns com os outros. Eles se dividem em: trapézio retângulo, trapézio isósceles e trapézio escaleno.

Quadrado : É um quadrilátero que possui todos os lados do mesmo tamanho e todos os ângulos iguais a 90°.

Retângulo : É um quadrilátero que possui todos os ângulos iguais a 90°, seus lados paralelos com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos diferentes.

Losango : É um quadrilátero que possui todos os lados de mesmo tamanho, seus ângulos oposto com a mesma medida e seus ângulos adjacentes com medidas diferentes.

Paralelogramo obliquângulo : É um quadrilátero que possui seus lados paralelos com o mesmo tamanho e seus lados adjacentes com tamanhos diferentes. Seus ângulos opostos são congruentes e os adjacentes de medidas diferentes.





Trapézio Reto : É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos diferentes, e dois ângulos adjacentes medindo 90°.

Trapézio Isosceles : É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos diferentes, e dois lados opostos não paralelos de mesmo tamanho. Num trapézio isósceles, os ângulos adjacentes à mesma base são iguais.

Trapézio Escaleno : É um quadrilátero que possui dois lados paralelos com tamanhos diferentes e dois lados não paralelos, também de tamanhos diferentes, sem nenhum ângulo reto.

Polígonos de “n” lados

Além dos triângulos e dos quadriláteros, os polígonos podem ter 5, 6, 7, ..., n lados. Segue uma tabelinha com algumas de suas nomenclaturas:

Nº de lados Nomenclatura Nº de lados Nomenclatura3 lados Triângulo 7 lados Heptágono 4 lados Quadrilátero 8 lados Octógono 5 lados Pentágono 9 lados Eneágono 6 lados Hexágono 10 lados Decágono

Uma informação importante a respeito dos polígonos, é a quantidade de diagonais que possui cada polígono. Vamos ver alguns exemplos:

Triângulo: Não possui nenhuma diagonal

Quadrilátero: Possui duas diagonais

α α

β β

90°

90°





Pentágono: Possui cinco diagonais

Hexágono: Possui nove diagonais

Percebam que fica cada vez mais difícil contar a quantidade de diagonais do polígono. Mas existe uma lógica que nos permite estabelecer uma “fórmula” para o seu cálculo. Para um polígono convexo de n lados, o número de diagonais é dado por:

D = 2

)3n.(n −−−

Vamos testar a fórmula com os exemplos que vimos acima:

Quadrilátero:

D = 2

)3n.(n −=

2)34.(4 −

= 2

)1.(4 = 2

Pentágono:

D = 2

)3n.(n −=

2)35.(5 −

= 2

)2.(5 = 5

Hexágono:

d2 d1





D = 2

)3n.(n −=

2)36.(6 −

= 2

)3.(6 = 9

É interessante, também, sabermos como calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer. Já sabemos que a soma dos ângulos internos do triângulo é igual a 180º e do quadrilátero é igual a 360°. Isso se deve ao fato de podermos dividir o quadrilátero em dois triângulos:

Si = 2 x 180° = 360° (S i é a soma dos ângulos internos)

Para o pentágono, temos:

Si = 3 x 180° = 540°

Para um polígono de n lados também podemos fazer a mesma coisa, mas pode dar muito trabalho e nos levar a errar na prova. Assim, para um polígono de n lados, existe uma expressão que resume o que fizemos:

Si = (n – 2) ××× 180°

Perímetro

O perímetro de uma figura plana qualquer é o comprimento de seu contorno. Assim, o perímetro de um polígono qualquer é igual à soma das medidas de seus lados.

Áreas de regiões planas

Já vimos como calcular a área de uma circunferência e a área de um triângulo qualquer. Vamos ver agora, como encontrar a área dos outros polígonos.





Área dos paralelogramos : A área de um paralelogramo é dada pelo produto da base por sua altura relativa.

Área = base ××× altura

No caso do quadrado, a base e a altura coincidem com seus lados (L). Como os lados do quadrado são iguais, temos:

Área do quadrado = L 2

No caso do retângulo, a base e a altura também coincidem com seus lados (L1 e L2). Assim:

Área do retângulo = L1 ××× L2

No caso do losango, é possível demonstrar que sua área é igual à metade do produto de suas diagonais. Assim:

Área do losango = 2

2D1D ×××

Por fim, no caso de um trapézio qualquer, é possível demonstrar que a sua área é igual ao produto da média de seus lados paralelos por sua altura relativa:

Área do trapézio = 2

AlturaBase2)(Base1 ×××+++

Ainda, cabe destacar que para calcular a área de qualquer polígono, podemos dividi-lo em triângulos, calcular suas áreas e somá-las.

Área do pentágono = A1 + A2 + A3 Área do hexágono = A1 + A2 + A3 + A4

1

1 2

3

2

3

4





3 - Geometria Espacial

A Geometria Espacial é o estudo da geometria no espaço, onde estudamos as figuras que possuem mais de duas dimensões. Essas figuras recebem o nome de sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais e são conhecidas como: prisma (cubo, paralelepípedo), pirâmides, cone, cilindro e esfera.

Cada plano do sólido é chamado de face .

As arestas são os segmentos de reta que unem duas faces do sólido.

Os vértices são os pontos onde mais de duas arestas do sólido se encontram.

Prisma

O prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos. O prisma cujas bases são paralelogramos é chamado de paralelepípedo .

Prisma reto

As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são perpendiculares ao plano da base e as faces laterais são retangulares. O prisma reto que possui em todas as faces um quadrado é chamado de cubo .

Prisma oblíquo

As arestas laterais têm o mesmo comprimento, são oblíquas ao plano da base e as faces laterais não são retangulares.





• Altura do prisma

A altura do prisma é a medida da distância entre sua base inferior e sua base superior.

• Área Lateral e Área Total

A área lateral do prisma é dada pela soma das áreas de cada quadrilátero de suas faces laterais. No caso de um prisma com base triangular, teremos que sua área lateral será igual à soma das áreas dos três quadriláteros que formam suas faces laterais.

A área total do prisma é igual à soma de sua área lateral com a área de suas duas bases, a inferior e a superior.

• Volume

O volume do prisma é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida de sua altura:

V = Área da base ××× Altura

Pirâmide

Uma pirâmide é todo um sólido formado por uma face inferior (base) e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base.

• Altura da pirâmide

A altura da pirâmide é a medida da distância entre o vértice e sua base inferior.






A área lateral da pirâmide é dada pela soma das áreas de cada triângulo de suas faces laterais. No caso de uma pirâmide com base quadrada, teremos que sua área lateral será igual à soma das áreas dos quatro triângulos que formam suas faces laterais.

A área total da pirâmide é igual a soma de sua área lateral com a área de sua base.

• Volume

O volume da pirâmide é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida de sua altura e dividindo-se o resultado por 3:

Vpirâmide = 3

AlturaBasedaÁrea ×××

Pose ser cobrado numa prova o volume, a área lateral ou alguma outra medida de um tronco de pirâmide . Mas o que é isso? Simples, o tronco de uma pirâmide é obtido ao se traçar uma seção transversal em uma pirâmide, conforme mostrado abaixo:

O tronco da pirâmide está representado pelo sólido limitado pelas arestas azuis.

Normalmente o que é cobrado é o tronco de pirâmide formado a partir de um corte paralelo à base. Assim, para calcular o volume do tronco dessa pirâmide, temos:

Vtronco = Vpirâmide maior – Vpirâmide menor

O mesmo serve para a área lateral do tronco.

Pirâmide maior

Pirâmide menor

Tronco da pirâmide





Cilindro

O cilindro é semelhante a um prisma, sendo que sua base é um círculo. Ele pode ser formado pela rotação de um quadrado ou retângulo em torno de um de seus lados.

• Altura do cilindro

A altura do cilindro é a medida da distância entre sua base inferior e sua base superior.


A área lateral do cilindro é dada por:

Alateral = 2.πππ.R.h

A área total do prisma é igual à soma de sua área lateral com a área de suas duas bases, a inferior e a superior.

Atotal = 2.πππ.R.h + πππ.R2 + πππ.R2 = 2.πππ.R.(h + R)

• Volume

O volume do cilindro é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida de sua altura:

V = Abase ××× Altura = πππ.R2.h

Cone

Aqui, só iremos tratar dos cones circulares retos, que são os cones onde a projeção do vértice na sua base coincide com o centro da circunferência. Um coneé semelhante a uma pirâmide, sendo que sua base é um círculo. Ele pode ser formado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos.

O





A hipotenusa desse triângulo é chamada de geratriz (ou apótema), que é a medida do segmento de reta que liga o vértice do cone à borda da sua base.

• Altura do cone

A altura do cone é a medida da distância entre o vértice e sua base inferior. Para um cone onde a geratriz é igual ao diâmetro da base (cone equilátero), a altura vale:

h = R. 3


A área lateral do cone é dada por:

Alateral = πππ.R.g

A área total do cone é igual à soma de sua área lateral com a área de sua base.

Atotal = πππ.R.g + πππ.R2 = πππ.R.(R + g)

• Volume

O volume do cone é calculado multiplicando-se a área de sua base pela medida de sua altura e dividindo-se esse resultado por 3:

V = 3AlturaAbase ×××

= 3

.h.R 2πππ

Semelhante ao que vimos para a pirâmide, pode ser cobrado numa prova as medidas de um tronco de cone. Utilizaremos os mesmo conceitos vistos lá em cima.

Esfera

geratriz





A esfera é um sólido formado por uma superfície curva onde todos os seus pontos possuem a mesma distância de um outro ponto denominado centro . Ela pode ser formada pelo giro de uma semi-circunferência em torno de um eixo.

• Área

A área da superfície de uma esfera é dada por:

Área = 4.πππ.R2

• Volume

O volume de uma esfera é dado por:

Volume = 3R.π.4 3

Ufa! Agora vamos às questões!

R

R





(Texto para as questões de 310 e 311) Três crianças costumam brincar de caça ao tesouro, em local plano, na praia, da forma descrita a seguir: de posse de uma bússola, elas fixam um ponto P na praia com uma bandeirinha, uma delas esconde um brinquedo sob a areia e, depois, passa o mapa e a bússola para que as outras duas tentem encontrar o tesouro. O mapa consiste em uma sequência de instruções formadas pelo número de passos em linha reta e um sentido — a partir da bandeirinha —, que deve ser observada para se encontrar o tesouro.

A partir do texto acima e considerando que a medida do passo de todas as crianças seja idêntica e que as instruções do mapa sejam seguidas na ordem apresentada, julgue os itens seguintes.

310 - (MEC - 2011 / CESPE) Se as crianças se unirem no ponto P e a primeira caminhar 2 passos para o norte, a segunda, 2 passos para o sudoeste e a terceira, 2 passos para o sudeste, o triângulo cujos vértices corresponderão às posições finais das crianças será equilátero.

Solução:

Vamos, primeiro, tentar desenhar o triângulo da questão:

No desenho acima, os traços azuis representam os caminhos e o triangulo vermelho é o que devemos analisar se é equilátero ou não. Com um desenho bem feito nós já podemos perceber que o triângulo é isósceles e não equilátero, haja vista que um dos lados é menor do que os outros dois. Uma forma de provar isso é que num triângulo equilátero seus ângulos internos são iguais. Observe que os

ângulos dos vértices SO e SE possuem 83

da circunferência cada um, enquanto

que o ângulo do vértice N possui 82

da circunferência, conforme demonstrado na

figura abaixo:





Assim, o item está errado .

311 - (MEC - 2011 / CESPE) O mapa contendo as instruções “4 passos para o norte, 5 passos para o sudeste e 5 passos para o oeste” conduzirá ao mesmo ponto que o mapa com a instrução “2 passos para o oeste”.

Solução:

Nessa questão, vamos desenhar os caminhos indicados pelos dois mapas:

Mapa 1 Mapa 2

Novamente, com um desenho bem feito, podemos perceber que a questão está errada. De qualquer forma, vamos analisar os mapas. Percebam que a última instrução do mapa 1 é para oeste, assim como o mapa 2. Com isso, podemos concluir que, para os mapas levarem ao mesmo lugar, é necessário que a última instrução do mapa 1 faça o menino cruzar o ponto de partida quando faltarem ainda 2 passos para oeste, ou seja, após o terceiro passo.

Mapa 1

Agora, percebam que andar para o norte e andar para oeste são direções perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 90º entre si. Além disso, andar para o norte e andar para sudeste formam um ângulo de 45º, da mesma forma que andar para sudeste e andar para oeste também formam. Assim, podemos concluir que o triângulo formado pelo mapa 1 é isósceles, já que possui 2 ângulos de 45º e um ângulo de 90°. A base desse triângulo i sósceles é a segunda instrução do mapa, portanto, ela mede 5 passos. Assim:

P P

P

2 3

4 5

45

5

2





Por fim, percebam que há uma contradição nos dois últimos desenhos, pois no primeiro desenho os lados do triângulo são 3, 4 e 5, e no segundo desenho dois dos lados do triângulo possuem a mesma medida.

Portanto, o item está errado .

(Texto para as questões 312 e 313) Nas retas paralelas, R e S, que distam 10 cm uma da outra, marcaram-se 4 pontos na reta R e 5 pontos na reta S; dois pontos adjacentes em uma mesma reta distam 7 cm um do outro. Julgue os itens que se seguem, acerca dos triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses 9 pontos.

312 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Nenhum desses triângulos tem área superior 138 cm 2.

Solução:

Vamos, primeiro, desenhar o que o texto nos informa:

Bom, agora devemos analisar se algum dos triângulos formados pelos nove pontos marcados nas retas pode ter uma área superior a 138 cm2. Sabemos que a área de um triângulo é dada por:

Área = 2

hxa

Com isso, podemos ver que a área do triângulo será maior, quando sua base e sua altura forem as maiores possíveis. Assim, se a base for formada pelos pontos

5

45º 45º

90º

R

S

10 cm

7 cm

h

a .





extremos da reta “S”, teremos uma base de 28 cm, que é a maior possível. Ligando essa base a qualquer um dos pontos da reta “R”, teremos uma altura de 10 cm. Assim:

Área = 2

hxa =

210x28

= 2

280 = 140 cm2

Portanto, como existe a possibilidade de a área de um triângulo formado pelos pontos das retas “R” e “S” possuir mais do que 138 cm2, o item está errado .

313 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Todos esses triângulos têm área superior a 32 cm 2.

Solução:

Para formarmos os triângulos necessariamente teremos que utilizar pontos das duas retas, pois três pontos numa mesma reta não formam um triângulo. Assim, o menor triângulo possível de ser formado com esses pontos terá uma base de 7cm e uma altura de 10 cm:

Área = 2

hxa =

210x7

= 2

70 = 35 cm2

Portanto, se o menor triângulo possível de ser formado com esses pontos possui 35 cm2, podemos concluir que todos os triângulos têm área superior a 32 cm2. Item correto .

R

S

10 cm

28 cm

R

S

10 cm

7 cm





314 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considerando 20 pontos sobre uma circunferência, em posições distintas, o polígono que tem vértices nesses 20 pontos tem 170 diagonais.

Solução:

Bom, para resolver essa questão, devemos nos lembrar de como encontrar o número de diagonais de um polígono qualquer. Para isso, vamos utilizar a seguinte equação:

D = 2

)3n.(n −, onde D é a quantidade de diagonais e n o número de lados do

polígono.

No nosso caso, como o polígono possui 20 vértices, ele também possui 20 lados. Assim:

D = 2

)3n.(n −

D = 2

)320.(20 −

D = 10 x 17 = 170

Item correto .

(Texto para a questão 315) A figura abaixo ilustra uma quadra de basquete correspondente a um retângulo com 28 m de comprimento e 15 m de largura. O círculo central tem diâmetro de 3,6 m, e o ponto O, seu centro, coincide com o centro do retângulo. O ponto A está sobre o círculo central, no ponto de interseção deste com a reta que une o centro da quadra com o vértice B, conforme apresentado na figura. Durante a partida, um jogador marca pontos para sua equipe se, depois de arremessar a bola, acertá-la no cesto que fica no campo adversário. Dependendo da distância do arremesso e da circunstância da partida, um acerto da bola no cesto pode valer 1, 2 ou 3 pontos.





Com base nessas informações e tomando 15,88 como valor aproximado de 25,252 , julgue os itens seguintes.

315 - (IFB - 2010 / CESPE) O comprimento do segmento AB é superior a 14,2m.

Solução:

Nessa questão, vamos começar encontrando o comprimento do segmento OB. Vejamos:

Podemos ver na figura acima que o segmento OB é a hipotenusa do triângulo vermelho. Assim:

OB2 = 142 + 7,52

OB2 = 196 + 56,25

OB2 = 252,25

OB = 25,252 = 15,88 m

Assim, podemos desenhar o segmento OB da seguinte forma:

Sabemos que OB mede 15,88 m. Além disso, sabemos que OA é igual ao raio do círculo central, que possui 3,6 m de diâmetro. Com isso, temos:

OA = R

OA = 2D

O A B





OA = 26,3

= 1,8 m

Por fim, podemos encontrar o comprimento de AB:

AB = OB – OA

AB = 15,88 – 1,8

AB = 14,08 m

Portanto, o item está errado .

(Texto para as questões 316 e 317) A área de um retângulo é 23 m 2 e a soma das medidas de seus 4 lados é 20 m. Com relação a esse retângulo, julgue os itens seguintes.

316 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As diagonais do retângulo em apreço são medidas, em metros, por números não fracionários.

Solução:

Nessa questão, sabemos que a soma das medidas dos lados do retângulo vale 20 m:

A + B + A + B = 20

2.A + 2.B = 20

Dividindo tudo por 2, temos:

A + B = 10

A = 10 – B

Além disso, temos a informação de que a área do retângulo vale 23 m2:

A.B = 23

Substituindo o valor de A que encontramos logo acima, temos:

A.B = 23

A

B B

A





(10 – B).B = 23

10.B – B2 = 23

B2 – 10.B + 23 = 0

Agora, devemos resolver esta equação do segundo grau:

∆ = b2 – 4.a.c

∆ = (–10)2 – 4.1.23

∆ = 100 – 92 = 8

B = 1.2)10( ∆±−−

B = 2

810 ±

B = 2

2.210 ±

B = 25 ±

Para B = 5 + 2 , temos:

A = 10 – B

A = 10 – (5 + 2 )

A = 10 – 5 – 2

A = 5 – 2

Para B = 5 – 2 , temos:

A = 10 – B

A = 10 – (5 – 2 )

A = 10 – 5 + 2

A = 5 + 2





Portanto, um dos lados mede 5 + 2 e o outro lado mede 5 – 2 .

Assim, podemos calcular a medida da diagonal do retângulo utilizando Pitágoras:

D2 = (5 + 2 )2 + (5 – 2 )2

D2 = 52 + 2.5. 2 + ( 2 )2 + 52 – 2.5. 2 + ( 2 )2

D2 = 25 + 10. 2 + 2 + 25 – 10. 2 + 2

D2 = 25 + 2 + 25 + 2

D2 = 54

D = 54 = 3. 6

Assim, como 6 é um número irracional, concluímos que o item está correto, já

que 3. 6 também é um número irracional, e, portanto, não é um número fracionário.

Item correto .

317 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As medidas dos lados desse retângulo, em metros, são números fracionários.

Solução:

Utilizando as informações que obtivemos na questão anterior, os lados do retângulo medem 5 + 2 e 5 – 2 . Com isso, podemos concluir que os lados do retângulo não são números fracionários pois 2 é um número irracional, e, portanto, não fracionário.

Item errado .

5 + 2

5 + 2

5 – 2 5 – 2 D





4 - Questões comentadas nesta aula

(Texto para as questões de 310 e 311) Três crianças costumam brincar de caça ao tesouro, em local plano, na praia, da forma descrita a seguir: de posse de uma bússola, elas fixam um ponto P na praia com uma bandeirinha, uma delas esconde um brinquedo sob a areia e, depois, passa o mapa e a bússola para que as outras duas tentem encontrar o tesouro. O mapa consiste em uma sequência de instruções formadas pelo número de passos em linha reta e um sentido — a partir da bandeirinha —, que deve ser observada para se encontrar o tesouro.

A partir do texto acima e considerando que a medida do passo de todas as crianças seja idêntica e que as instruções do mapa sejam seguidas na ordem apresentada, julgue os itens seguintes.

310 - (MEC - 2011 / CESPE) Se as crianças se unirem no ponto P e a primeira caminhar 2 passos para o norte, a segunda, 2 passos para o sudoeste e a terceira, 2 passos para o sudeste, o triângulo cujos vértices corresponderão às posições finais das crianças será equilátero.

311 - (MEC - 2011 / CESPE) O mapa contendo as instruções “4 passos para o norte, 5 passos para o sudeste e 5 passos para o oeste” conduzirá ao mesmo ponto que o mapa com a instrução “2 passos para o oeste”.

(Texto para as questões 312 e 313) Nas retas paralelas, R e S, que distam 10 cm uma da outra, marcaram-se 4 pontos na reta R e 5 pontos na reta S; dois pontos adjacentes em uma mesma reta distam 7 cm um do outro. Julgue os itens que se seguem, acerca dos triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses 9 pontos.

312 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Nenhum desses triângulos tem área superior 138 cm2.

313 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Todos esses triângulos têm área superior a 32 cm2.

314 - (TJ/ES - 2010 / CESPE) Considerando 20 pontos sobre uma circunferência, em posições distintas, o polígono que tem vértices nesses 20 pontos tem 170 diagonais.

(Texto para a questão 315) A figura abaixo ilustra uma quadra de basquete correspondente a um retângulo com 28 m de comprimento e 15 m de largura. O círculo central tem diâmetro de 3,6 m, e o ponto O, seu centro, coincide com o centro do retângulo. O ponto A está sobre o círculo central, no ponto de interseção





deste com a reta que une o centro da quadra com o vértice B, conforme apresentado na figura. Durante a partida, um jogador marca pontos para sua equipe se, depois de arremessar a bola, acertá-la no cesto que fica no campo adversário. Dependendo da distância do arremesso e da circunstância da partida, um acerto da bola no cesto pode valer 1, 2 ou 3 pontos.

Com base nessas informações e tomando 15,88 como valor aproximado de 25,252 , julgue os itens seguintes.

315 - (IFB - 2010 / CESPE) O comprimento do segmento AB é superior a 14,2m.

(Texto para as questões 316 e 317) A área de um retângulo é 23 m2 e a soma das medidas de seus 4 lados é 20 m. Com relação a esse retângulo, julgue os itens seguintes.

316 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As diagonais do retângulo em apreço são medidas, em metros, por números não fracionários.

317 - (PM/ES - 2010 / CESPE) As medidas dos lados desse retângulo, em metros, são números fracionários.





5 - Questões para praticar! A solução será apresentada na próxima aula

(Texto para as questões de 318 a 320) No prisma reto da figura acima, que representa, esquematicamente, uma urna eletrônica, as bases são trapézios retos, em que a base maior mede 27 cm, a base menor, 14 cm, e a altura, 13 cm. A altura do prisma é igual a 42 cm. No retângulo da parte frontal do prisma mostrado na figura, em um dos retângulos destacados, localizam-se as teclas e, no outro, uma tela em que aparece a foto do candidato escolhido pelo eleitor. Para atender aos eleitores portadores de deficiência visual, cada tecla possui, além do caractere comum, sua correspondente representação na linguagem braille. Cada caractere na linguagem braille é formado a partir de seis pontos colocados em duas colunas paralelas de três pontos cada. Seguindo as regras da linguagem braille, cada caractere é formado levantando o relevo de alguns desses pontos, que pode ser apenas um ponto ou até cinco pontos. A partir dessas informações e considerando 1,4 como valor aproximado de 2 , julgue os itens que se seguem.

318 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) Se duas urnas serão armazenadas, sem sobras de espaço, em uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, então a soma das dimensões dessa caixa será igual a 96 cm.

319 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) A área da face da urna onde estão localizados a tela e as teclas é superior a 7 dm2.

320 - (TRE/ES - 2010 / CESPE) O volume do prisma é superior a 11 dm3.

(Texto para as questões 321 e 322) Sabe-se que as semirretas R e S são perpendiculares entre si e possuem a mesma origem e que sobre elas são mercados 5 pontos, 3 deles pertencentes à semirreta R e 1 desses 3 pontos pertencente também à semirreta S. Sabe-se, ainda, que, em cada semirreta, a distância entre pontos adjacentes é de 6 cm. Julgue os itens que se seguem acerca dos triângulos que têm vértices nesses pontos.

321 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) A proposição “Entre todos os triângulos formados a partir desses 5 pontos, o de menor perímetro tem área superior a 16 cm2” é falsa.





322 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) A proposição “Se um triângulo formado a partir desses 5 pontos é isósceles, então esse triângulo tem um ângulo reto” é verdadeira.

(Texto para as questões 323 e 324) Em uma circunferência com raio de 5 cm, são marcados n pontos, igualmente espaçados. A respeito dessa situação, julgue os próximos itens.

323 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Se n = 4, então a área do polígono convexo que tem vértices nesses pontos é igual a 60 cm2.

324 - (TJ/RR - 2011 / CESPE) Se n = 6, então o polígono convexo que tem vértices nesses pontos tem perímetro inferior a 32 cm.

(Texto para a questão 325) O artista plástico estadunidense Richard Serra é notável por suas enormes esculturas em aço inspiradas em figuras geométricas. A figura acima mostra uma das salas do museu Guggenheim, em Bilbao, Espanha, com algumas de suas obras em exposição permanente. A escultura apontada pela seta, nessa figura, corresponde à superfície lateral de um tronco de cone circular reto, cuja área é dada pela diferença entre as áreas das superfícies laterais dos cones que o determinam. Com base nessas informações, julgue o item a seguir.

325 - (PREVIC - 2010 / CESPE) Se o diâmetro da base maior medisse 5 m, o diâmetro da base menor medisse 3 m e a altura do tronco de cone fosse igual 3 m, teriam sido necessários mais de 36 m2 da lâmina de aço para construir essa escultura com a superfície lateral completamente fechada.

(Texto para as questões 326 e 327) Considerando que os números x, x + 7 e x + 8 sejam as medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo retângulo, julgue os próximos itens.

326 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A soma das medidas dos lados desse triângulo é superior a 28 cm.





327 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A área desse triângulo é inferior a 32 cm2.

(Texto para as questões 328 a 330) Três caixas de água têm os seguintes formatos: paralelepípedo retângulo, com altura de 1 m e base quadrangular de 2 m de lado; cilíndrico, com altura de 1 m e base circular de raio igual a 1 m; e cone invertido, com base circular de 1 m de raio e altura igual a 3 m. Com referência a essas informações, tomando 3,14 como o valor aproximado da constante B e desprezando a espessura das paredes das caixas, julgue os itens subsequentes.

328 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A caixa com o formato cônico tem um volume de 3,14 m3.

329 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A caixa com a maior capacidade é a que tem o formato de um paralelepípedo retângulo.

330 - (PM/ES - 2010 / CESPE) A caixa com o formato cilíndrico tem capacidade menor que a caixa com formato cônico.

(Texto para as questões 331 e 332) Considerando que o triângulo ABC seja retângulo no vértice A, que a hipotenusa desse triângulo meça 10 cm e que AH seja a altura desse triângulo relativa ao vértice A, julgue os itens que se seguem.

331 - (PM/ES - 2010 / CESPE) Se esse triângulo for isósceles, então a altura AH medirá 5 cm.

332 - (PM/ES - 2010 / CESPE) Se o segmento BH medir 2 cm, então as medidas, em centímetros, dos catetos desse triângulo serão números fracionários.

(Texto para as questões 333 e 334) Considere que as retas r e s sejam paralelas e que a distância entre elas é de 2 cm; que, na reta r, sejam marcados 4 pontos, de forma que a distância de qualquer um deles ao mais próximo seja de 5 cm; que, na reta s, sejam marcados 5 pontos, de forma que a distância de qualquer um deles ao mais próximo seja de 3 cm. Com base nessas informações e considerando, ainda, as áreas dos triângulos de vértices nos pontos marcados nas retas r e s, é correto afirmar que

333 - (EBC - 2011 / CESPE) a menor área é igual a 5 cm2.

334 - (EBC - 2011 / CESPE) a maior área é igual a 15 cm2.

(Texto para as questões 335 a 337) Considerando que as retas R1, R2, R3 e R4 sejam distintas e estejam no mesmo plano, e que, se a reta Ri intercepta a reta Rj,





Pij — em que i, j = 0, 1, 2, 3, 4 e i ≠ j — denote o ponto de interseção dessas retas, julgue os itens seguintes.

335 - (ANS - 2013 / CESPE) No caso de os pontos P12, P13 e P14 existirem e P12 = P13 = P14, então os pontos P34 e P23 também existirão e P34 = P23.

336 - (ANS - 2013 / CESPE) Se R1 for perpendicular a R2 e se R3 for perpendicular a R4, então, no mínimo, duas dessas quatro retas serão paralelas.

337 - (ANS - 2013 / CESPE) Se os pontos P12, P13 e P23 existirem e forem distintos, então a reta R1 não poderá ser perpendicular à reta R2.

(Texto para a questão 338) Os moradores de um município utilizam o marco zero da cidade, onde está localizada a estátua de seu fundador, como referência para endereços. Nesse município, existem 3 delegacias de polícia: a primeira localiza-se a 14 km ao norte do marco zero; a segunda, a 5 km ao sul e a 12 km a oeste do marco; e a terceira, a 9 km ao sul e a 12 km a leste do marco. Além disso, nesse município, a responsabilidade pelo inquérito de um delito é da delegacia mais próxima do local onde aconteceu o delito.

Considerando essas informações e que um latrocínio tenha sido praticado em um estabelecimento comercial situado a 3 km ao sul e a 1 km a leste do marco zero, julgue o item seguinte.

338 - (PO/AL - 2013 / CESPE) O inquérito do latrocínio ficou sob a responsabilidade da segunda delegacia.





6 - Gabarito

310 - E 311 - E 312 - E 313 - C 314 - C 315 - E 316 - C 317 - E 318 - C 319 - C 320 - C 321 - E 322 - C 323 - E 324 - C 325 - C 326 - C 327 - C 328 - C 329 - C 330 - E 331 - C 332 - E 333 - E 334 - C 335 - C 336 - E 337 - E 338 - E

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Aula 07