Aula 07

Interpretação Geométrica da Derivada, definição e taxa de variação

Tangente

Se uma curva C tiver uma equaçãoe quisermos encontrar a tangente a C em um ponto , consideramos um ponto

, onde , e calculamos a inclinação da reta secante PQ:

Então aproximamos Q de P, ao longo de C, fazendo tender a .

( )y f x

( , ( ))P a f a( , ( ))Q x f x x a

x a

Graficamente

Graficamente

Definição

A reta tangente a uma curva em um ponto é a reta que passa por P que tem inclinação

Desde que esse limite exista.

( )y f x( , ( ))P a f a

Exemplo

Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto . 2y x (1,1)P

Exemplo

Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto

ou

2y x (1,1)P

Definição

Se então a inclinação da reta tangente pode ser escrita

h x a

Exemplo

Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole no ponto . 3

yx

(3,1)

Velocidade

Suponha que é o deslocamento de um objeto a partir da origem no instante (função posição). No intervalo de tempo entre e a variação na posição será . A velocidade média é

Velocidade Média

( )s f t

tt a h t a

( ) ( )f a h f a

Velocidade

A velocidade média coincide com a inclinação da reta secante . A velocidade instantânea é o limite dessa velocidades médias.

PQ( )v a

Exemplo

Suponha que uma bola foi abandonada do posto de observação da torre, 450m acima do solo.a) Qual a velocidade da bola após 5

segundos?

b) Com qual velocidade a bola chega ao solo?

Derivada

A derivada de uma função em um número denotada , é

se o limite existir.Também podemos escrever

af

'( )f a

Exemplo

Encontre a derivada da função

em um número .

2( ) 8 9f x x x a

Reta Tangente

A reta tangente a em é a reta que passa em e tem inclinação .

( )y f x ( , ( ))a f a( , ( ))a f a

( )f a

Exemplos

Encontre uma equação da reta tangente à parábola no ponto (3,-6). 2( ) 8 9f x x x

Graficamente

Taxa de Variação

Suponha que seja uma quantidade que depende de outra quantidade . Assim

é uma função de , e escrevemos . Se variar de para então uma variação de (incremento de )

corresponde a uma variação de

y

xy( )y f x

x

y

x

xx

Taxa de Variação

O quociente de diferenças é denominado taxa média de variação de em relação a no intervalo e pode ser interpretado como a inclinação das secante .

xy

PQ1 2[ , ]x x

Taxa de Variação

O limite dessa taxas médias de variação é chamado taxa instantânea de variação de em relação a em , que é interpretada como a inclinação da tangente à curva em .

xy1x x

( )y f x1 1( , ( ))P x f x

Taxa de Variação

Taxa instantânea de variação

A derivada é a taxa instantânea de variação de em relação a , quando .

'( )f a( )y f x x

x a

Exemplos

1) Um fabricante produz peças de fazenda com largura fixa e o custo da produção de metros desse material é . a) Qual o significado da derivada ? Quais suas unidades? b) Em termos práticos, o que significa dizer que c) O que você acha que é maior, ou

e

x ( )C f x( )f x

(1000) 9?f

(500)?f (50)f

(5000)?f

Exemplos

2) Seja a dívida pública bruta canadense no instante t. A seguinte tabela dá os valores aproximados dessa função, fornecendo as estimativas da dívida, em meados do ano, em bilhões de dólares, no período de 1980 a 2000. Interprete e estime os valores de

( )D t

'(1990).D

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