Aula 08 - 10_07_2013 - Coordenadas Totais_Áreas_Memorial Descritivo.pdf

Prof. Dr. Daniel Anijar de Matos

Servio Pblico Federal

Ministrio da Educao

Fundao Universidade Federal de Mato Grosso do Sul

Centro de Cincias Exatas e Tecnologia CCET

Departamento de Hidrulica e Transportes DHT

TOPOGRAFIA I

Aula 08 MTODOS DE LEVANTAMENTO PLANIMTRICOS (cont.)

Coordenadas Totais, Clculo de reas

EXERCCIO Soluo

8) Clculo das coordenadas parciais corrigidas: (RESUMO)

Ponto Alinha

mentos

Distncia

(m)

Azimute

Calc.

Comp

Coordenadas

Parciais Calc. (m)

Coordenadas

Parciais Corr. (m)

X Y XC

YC

OPP

dado

OPP

1 56,57 45 0,00 0,00 0,00 0,00

1 1 2 60,83 80 32 40,001 40,001 39,996 39,989

2 2 3 60,75 189 26 100,003 50,006 99,992 49,981

3 3 4 44,72 296 33 90,046 - 9,922 90,030 - 9,960

4 4

OPP 51,01 258 41 50,042 10,067 50,022 10,028

OPP

calc

OPP

1 45 0,024 0,057 0,00 0,00

= 273,88

Desenho da Poligonal Em Escala

EXERCCIO Soluo

Desenho da Poligonal Croqui

EXERCCIO Soluo

Clculo das Coordenadas Totais ou Absolutas (XT, YT)

Ponto Alinha

mentos

Distncia

(m)

Azimute

Calc.

Comp

Coordenadas

Parciais Calc. (m)

Coordenadas

Parciais Corr. (m)

Coordenadas

Totais (m)

X Y XC

YC

XT YT

OPP

dado

OPP

1 56,57 45 0,00 0,00 0,00 0,00

1 1 2 60,83 80 32 40,001 40,001 39,996 39,989

2 2 3 60,75 189 26 100,003 50,006 99,992 49,981

3 3 4 44,72 296 33 90,046 - 9,922 90,030 - 9,960

4 4

OPP 51,01 258 41 50,042 10,067 50,022 10,028

OPP

calc

OPP

1 45 0,024 0,057 0,00 0,00

= 273,88

9) Clculo das coordenadas Totais ou Absolutas:

3

1

OPP

4

2


(XC ,YC )

(0, 0)

y

x


Ponto Alinha

mentos

Distncia

(m)

Azimute

Calc.

Comp

Coordenadas

Parciais Calc. (m)

Coordenadas

Parciais Corr. (m)

Coordenadas

Totais (m)

X Y XC

YC

XT YT

OPP

dado

OPP

1 56,57 45 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

1 1 2 60,83 80 32 40,001 40,001 39,996 39,989 39,996 39,989

2 2 3 60,75 189 26 100,003 50,006 99,992 49,981 99,992 49,981

3 3 4 44,72 296 33 90,046 - 9,922 90,030 - 9,960 90,030 - 9,960

4 4

OPP 51,01 258 41 50,042 10,067 50,022 10,028 50,022 10,028

= 273,88

9) Clculo das coordenadas Totais ou Absolutas:

PP

Levantamento dos Cantos de uma rea Coordenadas Totais (EXEMPLO)

PP

Coordenada do Ponto PP = (1500, 500 )


Planilha de Clculo - Levantamento

Ponto Alinhame

ntos

Distncia

(m)

Azimute

Calc. Comp

Coordenadas Parciais

Corr. (m)

Coordenadas Totais

(m)

XC

YC

XT YT

PP 1500 500 1500 500

1 PP 1 125,32 37 25 75,86 99,75 1575,86 599,75

2 PP 2 98,12 118 45 86,27 - 46,74 1586,27 453,26

3 PP 3 63,16 210 15 - 31,72 - 54,62 1468,28 445,38

4 PP 4 78,46 317 25 - 53,26 57,61 1446,74 557,61

= 365,06

Coordenada do Ponto PP = (1500, 500 )


CLCULO DE

REAS

Um dos objetivos de um levantamento topogrfico a estimativa da rea do terreno

com seus limites;

Clculo de reas

A estimativa da rea pode ser dada atravs de medies realizadas diretamente no terreno ou

atravs de medies grficas sobre uma planta

topogrfica;

As reas que realmente interessam em todos os trabalhos topogrficos so as da projeo

horizontal, isto , as denominadas base

produtiva, visto que todas as construes

apiam-se em projeo horizontal.

Clculo de reas

TERRENO

PLANO HORIZONTAL

TERRENO

PLANO HORIZONTAL

TERRENOTERRENO

Clculo de reas

rea plana de uma GLEBA

A rea de uma gleba definida pela rea do polgono dos vrtices projetados no plano horizontal do Sistema

Cartesiano.

Em Topografia a estimativa de uma rea, de uma poro do terreno, pode ser obtida em funo de

uma planta que representa a sua projeo

horizontal, ou ento pelo mtodo numrico,

empregando-se os valores das coordenadas

retangulares dos pontos limtrofes do terreno.

Clculo de reas

rea plana de uma GLEBA

Clculo de reas

Levantamento dos limites de uma gleba

(rea plana)

Para se estimar uma rea, pode-se utilizar diversos mtodos;

A escolha do mtodo funo de alguns fatores, tais como: a preciso desejada, aplicao de

medies diretas obtidas no terreno, informaes

obtidas atravs de planta topogrficas, etc.;

Clculo de reas

Essa estimativa a partir de uma planta que representa a sua projeo horizontal.

Clculo de reas

A rea de uma gleba pode ser estimada por vrios processos:

1. Mtodo geomtrico (grfico);

2. Mtodo analtico;

3. Mtodo mecnico;

4. Mtodo computacional.

Clculo de reas 1. Mtodo Geomtrico

Decomposio do polgono topogrfico em figura geomtricas;

Consiste em se dividir a rea a ser estimada em figuras geomtricas conhecidas, tais como:

tringulos, quadrilteros, trapzios;

O topgrafo deve estar atento a forma de decomposio mais conveniente, a fim de que as

medidas das alturas dos tringulos e as bases dos

trapzios sejam as mais rigorosas possveis.

A rea total a ser estimada ser dada pela somatria das reas das figuras geomtricas utilizadas, como por

exemplo:


h1

h2 h3

h4

h5

A rea total grfica do polgono ser dada pela somatria das reas dos cinco tringulos gerados pela decomposio

da figura original.


Decomposio do polgono topogrfico em

figura geomtricas


A) MTODO DO SEMIPERMETRO (HERON) :

A expresso, deduzida por HERON, deve ser somente aplicada para reas triangulares;

A rea total do polgono dar-se- pela somatria das reas triangulares avaliadas;

Este mtodo geralmente aplicado quando o levantamento realizado por trena, onde o

prprio trabalho de campo fornece a formao de

tringulos, cujos lados podem ser medidos in

loco.



A

B

C

a

b

c

2

cbap

cpbpappA

Semipermetro =



Exemplo para um tringulo retngulo :

mp 62

345

263646566 mA

Semipermetro =



Exemplo para um tringulo qualquer :

mp 1342

1206880

Semipermetro =

274,585.21201346813480134134 mA

274,585.22

0957,43120mA



Clculo com figuras geomtricas (rea composta):

Este mtodo utiliza instrumentos mecnicos para realizar medies numa carta para a avaliao de

reas:

Planmetros

Clculo de reas 2. Mtodo Mecnico

A preciso do trabalho funo da escala da planta e da habilidade do operador.


Planmetro Digital


Planmetro Analgico

A estimativa da rea gerada pelo conjunto de pontos definidores dos limites de um terreno pode

ser obtida a partir das coordenadas retangulares

destes pontos.

Clculo de reas 3. Mtodo Analtico

Coordenadas Cartesianas dos Vrtices de uma Gleba :



Coordenadas no plano cartesiano rea da Gleba: Decomposio em reas Parciais


Coordenadas no plano cartesiano rea da Gleba: REA 1


Coordenadas no plano cartesiano rea da Gleba: COMPOSIO DAS REAS (4)

REAG = REA1 + REA2 REA3 REA4


Coordenadas no plano cartesiano rea da Gleba:

CLCULO DA REA

Somando, simplificando e rearranjando as expresses das reas parciais, obtm-se a expresso abaixo:

rea = [(X1Y2+X2Y3+X3Y4+X4Y1)

(X2Y1+X3Y2+X4Y3+X1Y4)]

MTODO DE GAUSS


Gauss desenvolveu um mtodo rpido para calcular a expresso da rea:

rea = [(X1Y2+X2Y3+X3Y4+X4Y1) (X2Y1+X3Y2+X4Y3+X1Y4)]

O mtodo consiste em multiplicar diagonalmente os elementos da tabela das coordenadas dos pontos, acrescentada com as coordenadas

do primeiro ponto e posteriormente somar, ou seja:

SOMA 1 = (X1Y2+X2Y3+X3Y4+X4Y1)

SOMA 2 = (X2Y1+X3Y2+X4Y3+X1Y4)

rea = [SOMA 1 SOMA 2]

MTODO DE GAUSS EXEMPLO


rea = |(50.90+80.110+130.70+100.50) (80.50+130.90+100.110+50.70)|

rea = |(27400) (30200)| = 1.400,00 m2

EXERCCIO Soluo

Clculo da rea do Polgono

Ponto Alinha

mentos

Distncia

(m)

Azimute

Calc.

Comp

Coordenadas

Parciais Calc. (m)

Coordenadas

Parciais Corr. (m)

Coordenadas

Totais (m)

X Y XC

YC

XT YT

OPP

dado

OPP

1 56,57 45 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

1 1 2 60,83 80 32 40,001 40,001 39,996 39,989 39,996 39,989

2 2 3 60,75 189 26 100,003 50,006 99,992 49,981 99,992 49,981

3 3 4 44,72 296 33 90,046 - 9,922 90,030 - 9,960 90,030 - 9,960

4 4

OPP 51,01 258 41 50,042 10,067 50,022 10,028 50,022 10,028

= 273,88

10) Clculo da rea:

EXERCCIO Soluo


EXERCCIO Soluo


= 0,5 (1 2)

= 0,5 (8001,1002 1905,4002)

= 3047,852

1) Determinao das coordenadas do ponto de partida;

2) Determinao da orientao da poligonal (Azimute do OPP);

3) Clculo dos azimutes;

4) Clculo do erro de fechamento angular, sendo pela:

- diferena dos azimutes OPP1, ou;

- diferena do somatrio dos ngulos de deflexo a direita e a esquerda, ou;

- somatrio dos ngulos internos ou externos (sentido horrio ou anti-horrio);

5) Distribuio do erro angular de fechamento;

6) Clculo das coordenadas parciais (X, Y);

7) Clculo do erro linear de fechamento;

8) Clculo das coordenadas parciais corrigidas (XC, YC).

9) Clculo das coordenadas totais ou absolutas (XT, YT).

10) Clculo da rea do polgono.

Levantamento da Poligonal RESUMO

COORDENADAS TOTAIS Regra mneumnica


A rea do polgono pode ser estimada pela semissomas dos produtos cruzados das coordenadas totais;

A conveno de sinais, normalmente, usada :

Positiva nos produtos descendentes

Negativa nos produtos ascendentes

A resoluo por esta regra nada mais que a expresso desenvolvida por Gauss, na forma matricial:

Vrtice Coordenadas Totais

X Y

A XA YA

B XB YB

C XC YC

D XD YD

E XE YE

F XF YF

A XA YA




Clculo de reas 4. Mtodo Computacional

A rea estimada a partir da plotagem dos pontos limtrofes em um software especfico:

Clculo de reas REAS EXTRAPOLIGONAIS

rea total

do terreno

rea poligonal

bsica

reas

extrapoligonais = +

Linha de

divisa

Poligonal

bsica

A rea final resultante da soma da rea da poligonal, acrescida da somatria das reas extrapoligonais positivas

e diminudas das reas extrapoligonais negativas.



Defini-se rea extrapoligonal como sendo a rea definida entre um trecho reto (lado da poligonal) e a curva limite da

rea;

Linha de

divisa

Poligonal

bsica

As reas extrapoligonais podem ser internas e/ou externas poligonal bsica, assim:


O levantamento da linha limite da rea pode ser obtido atravs de uma amarrao com trena, amarrando-se os

diversos pontos limites por coordenadas cartesianas ou por

triangulao.

Entre os processos analticos, os mais usados so os que subdividem as reas extrapoligonais em pequenos

trapzios, apresentado na figura a seguir:

Y1 Y2 Y3 Y4 Yn

X1

X2 X3

X4 Xn

Y

X


Decomposio em Trapzios

Quando a rea extrapoligonal apresenta grandes mudanas direcionais (grande

sinuosidade), a figura deve ser

decomposta em trapzios desiguais e suas

reas parciais serem avaliadas pela equao

do trapzio para determinao da rea.



Decomposio em Trapzios Desiguais

Nos casos em que as reas extrapoligonais no apresentarem grandes sinuosidades,

recomendvel a aplicao de equaes

baseadas na diviso da figura em trapzios de

intervalos regulares, empregando uma das trs

frmulas clssicas: BEZOUT, PONCELET

e/ou SYMPSON.


Decomposio em Trapzios

Clculo de reas Extrapoligonais Decomposio em Trapzios

Frmula dos Trapzios ou de BEZOUT

Neste mtodo divide-se a rea extrapoligonal em trapzios de mesmas

alturas X, e sejam Y1, Y2, Y3, ..., Yn as

bases dos trapzios.



A rea total extra-poligonal dada pelo somatrio das sub-reas dos trapzios, ou

seja:

XYY

XYY

XYY

XYY

A nnt

2222

1433221



Chamando de be as bases extremas (Y1 e Yn) e de bi as bases internas (Y2, Y3, Y4,

... , Yn-1), temos:

bebiX

At 22

A aplicao da Frmula de SYMPSON implica na subdiviso da rea

extrapoligonal em um nmero par de

trapzios de mesma altura.


Frmula de SYMPSON


piet YYYX

A 423

eY Soma das ordenadas extremas

iY Soma das ordenadas impares

pY Soma das ordenadas pares

Frmula de SYMPSON

A aplicao da Frmula de PONCELET, tambm implica na diviso da rea

extrapoligonal em um nmero par de

trapzios de mesma altura X.


Frmula de PONCELET

42

EEPXAt

P = soma das ordenadas pares;

E = soma das ordenadas extremas;

E= soma da segunda e da penltima ordenada.


Frmula de PONCELET

Clculo de reas SEGMENTOS PARABLICOS (CURVAS)

Quando as curvas que limitam a superfcie forem simtricas, em relao s

perpendiculares ao meio de suas respectivas

cordas, podemos consider-las como

segmentos parablicos e avaliar a rea

compreendida entre elas e as cordas pela

seguinte equao:


BFACA 3

21 GDCEA

3

22

c = corda;

f = flecha tirada perpendicularmente ao

meio da corda.

f*cAt3

2



EXEMPLO

245790136*5053

2mrea

247880mreaAutoCAD

Calcular a rea da figura abaixo:

EXERCCIO 1

EXERCCIO 2

Calcular a rea do polgono definido pelas coordenadas fornecidas na tabela abaixo, aplicando o MTODO DE

GAUSS.

EXERCCIO 3

Calcular a rea da figura abaixo pelo MTODO DE HERON (semipermetro):

EXERCCIO 4

Calcular a rea do polgono abaixo:

EXERCCIO 5 Calcular a rea da figura abaixo:

ELABORAO DO

TRABALHO (ROTEIRO)

Elaborao do Trabalho (Roteiro) Elaborao da planta planimtrica

COMPOSIO DO QUADRO TCNICO

Modelo de Quadro Tcnico


Memorial Descritivo


Memorial Descritivo EXEMPLO

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