Upload
marcus-vinicius-reis
View
212
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 1/14
f : A ⊂ R2 −→ R
f
f : A ⊂ R2 −→ R
Gf = {(x,y,f (x, y)) ∈ R3; (x, y) ∈ Df }
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 2/14
f
R3
z
xz
yz
f : A ⊂ R2 −→ R?
f f
f (x, y) = c
R3
f (x, y) = c
z = c
{(x,y,c) ∈ Gf ; f (x, y) = c}
f f (x, y) = c xy
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 3/14
f (x, y) = x2 + y2 ( ) z = x2 + y2
•
xz
y = 0 ⇒ z = x2 ( )
•
yz
x = 0 ⇒ y = z2 ( )
•
Imf = [0, +∞)
x2 + y2 = 0 ⇒ x = y = 0
(0, 0)
c > 0, x2 + y2 = c ⇒ x2 + y2 = (√
c)2
√ c
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 4/14
•
z = y2 − x2
• xz
y = 0 ⇒ z = −x2
(
)
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 5/14
•
yz
x = 0 ⇒ y = z2 ( )
•
Imf = R
c = 0 ⇒ y2 − x2 = 0 ⇒ y2 = x2 ⇒ y = ±√
x2 ⇒ y = ±|x| ⇒ y = |x|
y = −|x|
c > 0, y2 − x2 = c (
y
√ c
−√ c)
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 6/14
c < 0, y2 − x2 = c ( x
√ c
−√ c)
•
•
f (x, y) = k, k
f xy z k
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 7/14
f (x, y) = x2
f
y
z = x2
• xz
y = 0 ⇒ z = x2 (
)
•
yz
x = 0 ⇒ z = 0
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 8/14
•
Imf = [0, +∞)
c > 0, x2 = c ⇒ x =√
c
x = −√ c
•
•
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 9/14
f (x, y) = y2
f (x, y) = sin y
f (x, y) = sin x cos y
f (x, y) = − 3y
x2 + y2 + 1
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 10/14
f : A ⊂ R3 −→ R Gf
Gf =
{(x,y,z,f (x,y,z))
∈R4 : (x,y,z)
∈Df
}
f
R4
f : A ⊂ R3 −→ R
c ∈ Imf
Df
c f f c
f
f (x,y,z) = c
f (x,y,z) = z − x2 − y2
Imf = R
c ∈ R, z − x2 − y2 = c ⇒ z = x2 + y2 + c
(0, 0, c)
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 11/14
f (x,y,z) = x2 + y2 + z2
Imf = [0, +∞)
c = 0, x2 + y2 + z2 = 0 ⇒ x = y = z = 0
f
c > 0, x2
+ y2
+ z2
= c
√ c
f
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 12/14
f : A ⊂ Rn −→ R µ
|f (x1, x2,...,xn)| ≤ µ
(x1, x2,...,xn) ∈ Df
−µ ≤ f (x1, x2,...,xn) ≤ µ (∀(x1, x2,...,xn) ∈ Df )
xy z = µ z = −µ
f (x, y) = x2
x2 + y2
x2 ≤ x2 + y2 ⇒ x2
x+y2 ≤ 1 ⇒
x2
x+y2
≤ 1
f g(x, y) = y2
x2 + y2
f (x, y) = x
x2 + y2
x x2 + y2
= |x|
|
x2 + y2| =√ x2 x2 + y2
=
x2
x2 + y2 ≤ √
1 = 1
f
f (x, y) = x
x2 + y2 + 1
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 13/14
x
x2 + y2 + 1
= |x|
x2 + y2 + 1 ≤ |x|
x2 + y2 =
√ x2
(x + 1)2=
x2
x2 + 1
1
x2 + 1 ≤
√ 1.1 = 1
f f (x, y) = y
x2 + y2 + 1
f (x, y) = xy
x2 + y2
xy
x2 + y2
= |xy|x2 + y2
=
(xy)2
(x2 + y2)2=
x2y2
(x2 + y2)2 =
x2
x2 + y2y2
x2 + y2 ≤
√ 1.1 = 1
f
xyx2 + y2
≤ 12
f (x,y,z) = x(y + z)
x2 + y2 + z2
x(y + z)
x2 + y2 + z2 = xy + xz
x2 + y2 + z2 = xy
x2 + y2 + z2 +
xz
x2 + y2 + z2 ≤
xy
x2 + y2 + z2
+
xz
x2 + y2 + z2
= |xy|
x2 + y2 + z2 +
|xz|x2 + y2 + z2
≤ |xy|x2 + y2
+ |xz|x2 + z2
≤ 1 + 1 = 2
f
f (x, y) =
x
x2 + y2
R2
(x, 0)
x = 0
f (x, 0) = x
x2 + 02 =
x
x2 =
1
x
8/20/2019 Aula 09 - Gráfico de Funções de Duas Variáveis
http://slidepdf.com/reader/full/aula-09-grafico-de-funcoes-de-duas-variaveis 14/14
x
1
x
f (x, y)
f, g : A ⊂ Rn −→ R
k ∈ R f g kf,f + g, f − g , f g
f g µ1 µ2
|f (x1,...,xn)| ≤ µ1
|g(x1,...,xn)| ≤ µ2,
(x1,...,xn) ∈ A
• |kf (x1,...,xn)| = |k||f (x1,...,xn)| ≤ |k|µ1• |f (x1,...,xn) + g(x1,...,xn)| ≤ |f (x1,...,xn)| + |g(x1,...,xn)| ≤ µ1 + µ2
• |f (x1,...,xn) − g(x1,...,xn)| ≤ |f (x1,...,xn)| + |g(x1,...,xn)| ≤ µ1 + µ2
• |f (x1,...,xn)g(x1,...,xn)| = |f (x1,...,xn)||g(x1,...,xn)| ≤ µ1µ2
kf,f + g, f − g , f g