OPERAÇÕES COM FUNÇÕES · DEFINIÇÕES Defina as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão, composição e inversão de funções de várias variáveis reais

DEFINIÇÕES

Defina as operações de adição, subtração, multiplicação, divisão,

composição e inversão de funções de várias variáveis reais à valores reais. Dê

exemplos.

Defina as operações de adição e multiplicação por escalar de funções

de várias variáveis reais à valores vetoriais. Dê exemplos.

PROPRIEDADES

Considere 𝑓: ℝ𝒏 → ℝ, 𝑔:ℝ𝒏 → ℝ, funções de várias variáveis reais à

valores reais e que 𝐱 = (x1, ⋯ , xn) , 𝐱𝟎 = (x10, ⋯ , x𝑛

0), 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se 𝐱 =

(x1, ⋯ , xn), 𝐱𝟎 = (x10, ⋯ , x𝑛

0), 𝑛 ∈ ℕ ∃ L = lim𝒙→𝐱𝟎

𝑓 (𝐱) e ∃ M = lim𝒙→𝐱𝟎

𝑔 (𝐱):

a) lim𝐱→𝐱𝟎

(𝑓 + 𝑔) (𝐱) = lim𝐱→𝐱𝟎

𝑓 (𝐱) + lim𝐱→𝐱𝟎

𝑔 (𝐱) = 𝐿 +𝑀

b) lim𝐱→𝐱𝟎

(𝑘 ∙ 𝑓) (𝐱) = k ∙ lim𝐱→𝐱𝟎

𝑓 (𝐱) = 𝑘 ∙ 𝐿, ∀ 𝑘 ∈ ℝ

c) lim𝐱→𝐱𝟎

(𝑓 ∙ 𝑔) (𝐱) = lim𝐱→𝐱𝟎

𝑓 (𝐱) ∙ lim𝐱→𝐱𝟎

𝑔 (𝐱) = 𝐿 ∙ 𝑀

d) lim𝐱→𝐱𝟎

(𝑓

𝑔) (𝐱) =

{

lim𝐱→𝐱𝟎

𝑓(𝐱)

lim𝐱→𝐱𝟎

𝑔(𝐱)=

𝐿

𝑀, 𝑠𝑒 𝑀 ≠ 0

𝜆, 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀, ∇𝑓(𝐱𝟎) = 𝜆∇𝑔(𝐱𝟎) e ∇𝑔(𝐱𝟎) ≠ 𝟎

∄, 𝑠𝑒 𝐿 = 0 = 𝑀, ∇𝑓(𝐱𝟎) ≠ 𝜆∇𝑔(𝐱𝟎) e ∇𝑔(𝐱𝟎) ≠ 𝟎

(Exclusivo)

e) lim𝐱→𝐱𝟎

(ℎ ∘ 𝑔 ) (𝐱) = lim𝑦→𝑀

ℎ (𝑦), se ∃ 𝑀 = lim𝐱→𝐱𝟎

𝑔 (𝐱) e ℎ: ℝ → ℝ.

f) Se 𝑝:ℝ𝒏 → ℝ é uma função de várias variáveis reais à valores reais e existem

curvas 𝛾1 e 𝛾2 tal que 𝛾1(0) = 𝐱𝟎 = 𝛾2(0) e ∃ lim𝐭→𝟎(𝑝 ∘ 𝛾1 ) (t) ≠ lim

𝐭→𝟎(𝑝 ∘ 𝛾2 ) (t),

então ∄ lim𝒙→𝐱𝟎

𝑝 (𝐱).

28 nov. 17

LIVRARIA MOREIRA S.A.

www.livrariamoreira.com.br

OPERAÇÕES COM FUNÇÕES

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 1

(Teorema do Confronto) Mostre que se

∃ 𝑟 > 0, L = lim𝒙→𝒙𝟎

𝑓 (𝐱) = lim𝒙→𝒙𝟎

𝑔 (𝐱) e 𝑓(𝐱) ≤ ℎ(𝐱) ≤ 𝑔(𝐱), 0 < ‖𝒙 − 𝒙𝟎‖ < 𝑟, então

L = lim𝒙→𝒙𝟎

ℎ (𝐱).

Mostre que se ∃ 𝑟 > 0,

0 = lim𝒙→𝒙𝟎

𝑓 (𝐱) 𝑒 𝑎 ≤ 𝑔(𝐱) ≤ 𝑏,0 < ‖𝒙 − 𝒙𝟎‖ < 𝑟, então

lim𝑥→𝑥0

(𝑓 ∙ 𝑔) (𝐱) = 0.

Considere 𝑓: ℝ𝒏 → ℝ, 𝑔:ℝ𝒏 → ℝ, de várias variáveis reais à

valores reais e que 𝐱 = (x1, ⋯ , xn) , 𝐱𝟎 = (x10, ⋯ , x𝑛

0), 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se

∃ 𝜕𝑗𝑓

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) e ∃

𝜕𝑗𝑔

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱), então:

a) 𝜕𝑗(𝑓+𝑔)

𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) =

𝜕𝑗𝑓

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) +

𝜕𝑗𝑓

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ.

b) 𝜕𝑗(𝑓−𝑔)


𝜕𝑗𝑓

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) −

𝜕𝑗𝑓

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ.

c) 𝜕𝑗(𝑘∙𝑓)

𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) = k ∙

𝜕𝑗𝑓

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) , ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ.

d) 𝜕𝑗(𝑓∙𝑔)


𝜕(𝜕𝑗−1(𝑓∙𝑔)

𝜕𝑥𝑖𝑗−1 )

𝜕𝑥(𝐱), ∀ 𝑖 = 1, … , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ, onde

𝜕(𝑓 ∙ 𝑔)

𝜕𝑥𝑖(𝐱) =

𝜕(𝑓)

𝜕𝑥𝑖(𝐱) ∙ 𝑔(𝐱) + 𝑓(𝐱) ∙

𝜕𝑔

𝜕𝑥𝑖(𝐱).

e) 𝜕𝑗(

𝑓

𝑔)


𝜕(𝜕𝑗−1(

𝑓𝑔)

𝜕𝑥𝑖𝑗−1

)

𝜕𝑥(𝐱), ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ, onde

𝜕 (𝑓𝑔)

𝜕𝑥𝑖=

𝜕𝑓𝜕𝑥𝑖

(𝐱) ∙ 𝑔(𝐱) − 𝑓(𝐱) ∙𝜕𝑔𝜕𝑥𝑖

(𝐱)

(𝑔(𝐱))2 , se 𝑔(𝐱) ≠ 0 .

Considere 𝑓:ℝ𝒏 → ℝ, 𝑔:ℝ𝒏 → ℝ, de várias variáveis reais à valores

reais e que 𝐱 = (𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛), ∀ 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ ∇𝑓(𝐱) e ∃ ∇𝑔(𝐱), então:

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 2

Exercício 3

a) ∇(𝑓+𝑔)(𝐱) = ∇𝑓(𝐱) + ∇𝑔(𝐱). b) ∇(𝑘 ∙ 𝑓)(𝐱) = 𝑘 ∙ ∇𝑓(𝐱) , ∀ 𝑘 ∈ ℝ. c) ∇(𝑓 ∙ 𝑔)(𝐱) = ∇𝑓(𝐱) ∙ 𝑔(𝐱) + ∇𝑔(𝐱) ∙ 𝑓(𝐱)

d) ∇(𝑓

𝑔 )(𝐱) = ∇𝑓(𝐱) ∙

1

𝑔(𝐱)+ ∇𝑔(𝐱) ∙

𝑓(𝐱)

(𝑔(𝐱))2 , se 𝑔(𝐱) ≠ 0.

Considere 𝑓:ℝ𝒏 → ℝ, 𝑔:ℝ𝒏 → ℝ, de várias variáveis reais à valores

reais e que 𝐱 = (𝑥1, ⋯ , 𝑥𝑛), ∀ 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ 𝑑𝑓(x) e ∃ 𝑑𝑔(x), então:

a) 𝑑(𝑓 + 𝑔)(𝒙) = 𝑑𝑓(𝒙) + 𝑑𝑔(𝒙)

b) 𝑑(𝑘 ∙ 𝑓)(𝐱) = 𝑘 ∙ 𝑑𝑓(𝐱) , ∀ 𝑘 ∈ ℝ.

c) 𝑑(𝑓 ∙ 𝑔)(𝐱) = 𝑑𝑓(𝐱) ∙ 𝑔(𝐱) + 𝑑𝑔(𝐱) ∙ 𝑓(𝐱)

d) 𝑑(𝑓

𝑔 )(𝐱) =

𝑑𝑓(𝐱)∙𝑔(𝐱)+𝑑𝑔(𝐱)∙𝑓(𝐱)

(𝑔(𝐱))2 , se 𝑔(𝐱) ≠ 0.

Considere 𝐅:ℝ𝒏 → ℝ𝒎, 𝐆: ℝ𝒏 → ℝ𝒎, funções vetoriais e que 𝐱 =

(x1, ⋯ , xn) , 𝐋 = (L1,⋯ , Lm) e 𝐌 = (M1, ⋯ ,Mm), 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ 𝐋 =

lim𝐱→𝐱𝟎

𝐅 (𝐱) e ∃ 𝐌 = lim𝐱→𝐱𝟎

𝐆 (𝐱), então:

a) lim𝐱→𝐱𝟎

(𝐅 + 𝐆) (𝐱) = lim𝐱→𝐱𝟎

𝐅 (𝐱) + lim𝐱→𝐱𝟎

𝐆 (𝐱) = 𝐋 +𝐌.

b) lim𝐱→𝐱𝟎

(𝑘 ∙ 𝐅) (𝐱) = 𝑘 ∙ lim𝐱→𝐱𝟎

𝐅 (𝐱) = 𝑘 ∙ 𝐋, ∀ 𝑘 ∈ ℝ.


(x1, ⋯ , xn) , 𝐋 = (L1,⋯ , Lm) e 𝐌 = (M1, ⋯ ,Mm), 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ 𝐋 =

𝜕𝑗𝐅

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) e ∃ 𝐌 =

𝜕𝑗𝐆

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱):

a) 𝜕𝑗(𝐅+𝐆)


𝜕𝑗𝐅

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) +

𝜕𝑗𝐆

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) = 𝐋 +𝐌, ∀ 𝑖 = 1,… , 𝑛, ∀ 𝑗 ∈ ℕ.

b) 𝜕𝑗(𝑘∙𝐅)

𝜕𝑥𝑖𝑗 (𝐱) = 𝑘 ∙

𝜕𝑗𝐅

𝜕𝑥𝑖𝑗(𝐱) = 𝑘 ∙ 𝐋, ∀ 𝑘 ∈ ℝ.


(x1, ⋯ , xn), 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ ∇𝐅(𝐱) e ∃ ∇𝐆(𝐱), então:

a) 𝛁(𝐅 + 𝐆)(𝐱) = ∇𝐅(𝐱) + ∇𝐆(𝐱).

b) 𝛁(𝑘 ∙ 𝐅)(𝐱) = 𝑘 ∙ ∇𝐅(𝐱) , ∀ 𝑘 ∈ ℝ.

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 7

Exercício

6


(x1, ⋯ , xn), 𝑚, 𝑛 ∈ ℕ. Mostre que se ∃ 𝐝𝐅(𝐱) e ∃ 𝐝𝐆(𝐱), então:

a) 𝐝(𝐅 + 𝐆)(𝐱) = 𝐝𝐅(𝐱) + 𝐝𝐆(𝐱) .

b) 𝐝(𝑘 ∙ 𝐅)(𝐱) = 𝑘 ∙ 𝐝𝐅(𝐱) , ∀ 𝑘 ∈ ℝ.

CÁLCULO DE LIMITES

Assinale a alternativa que descreve o valor de

lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 2𝑦−1:

a) -3 b) 1 c) 2 d) 0 e) N.D.A.


lim(𝑥,𝑦)→(

1

2,1

2)

2𝑥−1

16𝑥4−1+3

4𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑦):

a) -3 b) 1 c) 2 d) 0 e) N.D.A.


lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(3𝑥2 − 4𝑥 + 1) ∙ ln (|𝑠𝑒𝑛(𝑦)

𝑦|):

a) 1 b) 0 c) 3

Exercício 10

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 3

d) -4 e) N.D.A.


lim(𝑥,𝑦)→(3,3)

−𝑥3+2𝑥2−4𝑥+12

cos (𝑦−3):

a) 12 b) 9 c) -9 d) 2 e) N.D.A.


lim(𝑥,𝑦)→(−1,−1)

(−𝑥4 + 𝑦2 − 1)10:

a) -1 b) 0 c) 1 d) -4 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

𝑓(𝑥, 𝑦),

sendo 𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥, se 𝑥 ≥ 1, 𝑦 ∈ ℝ

−𝑥 + 1, se 𝑥 < 1, 𝑦 ∈ ℝ:

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

𝑥𝑐𝑜𝑠 (1

𝑥2+𝑦2):

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

Exercício 7

e) N.D.A


(𝑓 ∘ 𝑔)(𝑥),

sendo 𝑓(𝑥) = {𝑠𝑒𝑛(𝑥), se 𝑥 ≥ 03𝑥 − 4, se 𝑥 < 0

e 𝑔(𝑥, 𝑦) = {(𝑥2 − 3𝑥 + 1) ∙

𝜋

2, se 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ∈ ℝ

𝑥4, se 𝑥 < 0, 𝑦 ∈ ℝ :

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑦

:

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝑥

:

a) -1 b) 0 c) 1 d) ∄ e) N.D.A.


lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(cos(𝑥)

𝑦+1,𝑥𝑦2

𝑥2+𝑦2) :

a) (-1,0) b) (0,0) c) (1,0) d) ∄ e) N.D.A.

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10

Exercício 11


lim(𝑥,𝑦)→(0,0)

(tg(𝑥)

𝑥, 𝑥𝑦2𝑠𝑒𝑛 (

1

𝑥2+𝑦2) , 1) :

a) (1,0,1) b) (0,0,1) c) (1,1,1) d) ∄ e) N.D.A.


lim(𝑥,𝑦)→(1,1)

(𝑥 + 𝑦,𝑥−𝑦

𝑥2−𝑦2, 2𝑥 − 2𝑦,√𝑥 − 𝑦) :

a) (1,0,1,0)

b) (2, 1

2,0,0)

c) (1,1,1,1) d) ∄ e) N.D.A.

DERIVADAS

Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑓

𝜕𝑥(1,1,1), sendo

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 2𝑥−1:

a) −1 + ln (2) b) 1 − ln (2) c) −2 + ln (3) d) −2 + ln (2) e) N.D.A.


𝜕𝑦(1,1,1), sendo

𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦 − 1 +1

𝑦2+ 𝑥𝑧:

a) 2

Exercício 1

Exercício 2

Exercício 12

Exercício 13

b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.


𝜕𝑥(−1,1), sendo

𝑓(𝑥) = (3𝑥2 − 4𝑥 + 1) ∙ 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ ℝ:

a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.


𝜕𝑧(−1,2), sendo

𝑓(𝑥, 𝑧) =−𝑥𝑧3

3𝑧:

a) -3 b) 3

c) −1 +𝑙𝑛3

3

d) 1 −𝑙𝑛3

3

e) N.D.A.


𝜕𝑥(−1,2), sendo

𝑓(𝑥, 𝑦) = (1 + 𝑥2)𝑡𝑔(𝑥):

a) 2 b) 0 c) 1 d) -1 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑛𝑓

𝜕𝑥𝑛|(𝑥,𝑦)=(0,0)

, sendo

𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑒− 1𝑥, se x > 0

0, se x ≤ 0 :

Exercício 3

Exercício 4

Exercício 5

Exercício 6

a) 2 b) 0 c) 1 d) −1 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝑑𝑓

𝑑𝑥|𝑥=0+

, sendo

𝑓(𝑥) = |2𝑥|:

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=0−

, sendo

𝑓(𝑥) = |2𝑥|:

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝜕𝑥(1,2), sendo

𝑓(𝑥, 𝑦) = |2𝑥|:

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=1+

, sendo

𝑓(𝑥) = √𝑥:

a) 2 b) −2

Exercício 7

Exercício 8

Exercício 9

Exercício 10

c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝑑𝑥|𝑥=1−

, sendo

𝑓(𝑥) = √𝑥:

a) 1

2

b) −1

2

c) ∄ d) 0 e) N.D.A.



𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 + 𝑦:

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝜕𝑦(−1,−1), sendo

𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦39

:

a) 1

3

b) −1

3

c) ∄ d) 0 e) N.D.A.



𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥2𝑠𝑒𝑛 (

1

𝑥) , 𝑠𝑒 𝑥 ≠ 0 𝑒 𝑦 ≠ 0,

0, 𝑠𝑒 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0 :

Exercício 11

Exercício 12

Exercício 14

Exercício 13

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.


𝜕𝑦(0,0), sendo

𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑦):

a) 1 b) −1 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.



𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(𝑥):

a) 1 b) −1 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝑢

𝜕𝑡(1,1), sendo

𝑢(𝑡, 𝑥) = log5 √𝑡3:

a) 2 b) −2 c) ∄ d) 0 e) N.D.A.



𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑦 − 2)1000:

a) 2 b) −2 c) ∄

Exercício 15

Exercício 16

Exercício 17

Exercício 18

d) 0 e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝐅


𝐅(𝑥, 𝑦) = ((𝑥 − 5)10,1

𝑥+ 𝑦):

a) (2,0) b) (0, −2) c) ∄ d) (0, −1) e) N.D.A.

Assinale a alternativa que descreve o valor de 𝜕𝐅

𝜕𝑦(0,0), sendo

𝐅(𝑥, 𝑦) = (cos (𝑥 − 2𝑦), 𝑒𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦):

a) (2,0,1) b) (0, −2,1) c) ∄ d) (0,0,1) e) N.D.A.

GRADIENTE E DIFERENCIAL

Determine o gradiente e a diferencial das seguintes funções:

a) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 + 2𝑦−1 b) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑦 − 1 + 𝑥𝑧 c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 − 3𝑥 + 1 + y d) 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + cos (𝑦)

e) 𝑢(𝑡, 𝑥) = log5 √𝑡3

f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (1 + 𝑥2)𝑡𝑔(𝑥) g) 𝐅(𝑥, 𝑦) = (𝑥2, 𝑦2) h) 𝐅(𝑥, 𝑦) = (2𝑥 + 3𝑦 + 1,5𝑥 − 6𝑦 + 2) i) 𝐅(𝑥, 𝑦) = (cos (𝑥 − 2𝑦), 𝑒𝑥𝑦, 𝑥 + 𝑦)

j) 𝐅(𝑥, 𝑦) = ((𝑥 − 5)10,1

𝑥+ 𝑦)

Exercício 1

Exercício 19

Exercício 20

GRÁFICOS

Determine D(f), Im(f) e G(f) das seguintes funções:

a) 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos (𝑥) b) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑦) c) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑡𝑔(𝑥) d) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑐 𝑦 e) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐 𝑥 f) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 g) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥 h) 𝑓(𝑥, 𝑦) = log1

2

𝑦

i) 𝑓(𝑥, 𝑦) = cos (𝑥 + 𝑦) j) 𝑓(𝑥, 𝑦) = sen (𝑥2 + 𝑦2) k) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥−𝑦.

João Carlos Moreira

EDITOR CHEFE

Exercício 1

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