Aula 1 Momento Angular Ou Torqueenviada

8/19/2019 Aula 1 Momento Angular Ou Torqueenviada

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Aula 1 – Estática do Corpo Material. Prof. Dr Irval Cardoso de Faria 1

TORQUE OU MOMENTO DE UMA FORÇA.

Voce já deve ter se perguntado o que é o momento de uma força?Imagine-se aplicando uma forca para empurrar um armário que esteja suportado

sobre quatro pequenas rodas.

Suponha que que tal força seja aplicada em pontos diferentes do armário e perpendicular ao mesmo. Você notará que ó resulatado é completamente diferente emcada situação de aplicação da força. Observe a figura abaixo e procure analisar o queocorrerá quando você aplicar a força nas três posições indicadas, uma por vez.

Ao aplicarmos a força ⃗ a tedência é que o armário “tombe”, ou seja, gire em torno deum ponto de apoio (suas rodas), no sentido horário; enquanto que o efeito de ⃗ é o de fazercom que o armário se desloque, ou seja, não “tombe”; ele irá transladar. No caso de aplicarmos

⃗ o armário tende a girar no sentido anti-horário; ele “tomba”. Note, então, que o ponto de aplicação da força é de extrema importância. E se

mudarmos o sentido de aplicação da força ⃗ , ou seja ao invés de aplicarmos ⃗ da esquerda para a direita, aplicarmos da direita para a esquerda. Responda o que deverá ocorrer.

Um caso mais simples pode ser observado na figura abaixo.

Ao ponto O da figgura acima, chamamos de ponto de apoio, ou ponto de referência. É o ponto em torno do qual o corpo gira ou tende a girar .

Á distância, perpendicular, da linha de aplicação das froças ao ponto de apoio, ou dereferência O chamamos de braço da força aplicada.

braço da força F3 = 1m,

braço da Força F1 = 2m,

braço da força F2 = 0m, Note que neste caso o braço é zero porque a linha deaplicação da força F 2 passa pelo ponto O, logo esta não provoca giro.

Agora podemos responder o que significa o momento de uma força.

2,00 m

⃗

⃗

⃗

Efeito de ⃗

Efeito de ⃗


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Momento de uma força é uma grandeza que representa a magnitude da força aplicada aum sistema rotacional a uma determinada distância de um eixo de rotação. Note que a eficiência do efeito de rotação do corpo está relacionado com a força

aplicada e a distância do ponto de aplicaçao da força ao eixo de rotação. A grandeza física querelaciona a força aplicada e a distância do ponto de aplicaçãodessa força ao eixo de rotação é

denominada momento ou torque .Assim quanto maior for a distância do ponto de apoio á linha de aplicação da força

(braço), ou quanto maior for o valor da força , perpendicular ao braço; maior o momento. Logo podemos definir o momento em relação a um ponto como.

⃗ = ∧

ou seja o produto vetorial entre a força e o braço.Assim é de extrema importância que recordemos como operar com vetores.

RECORDE

representção vetorial na base i, j, k .

adição e subtração de vetores. Produto entre vetores

produto escalar ou produto interno entre vetores, = . . produto vetorial ou produto externo entre vetores, ⃗ = ∧ produto misto entre vetores.

Discutiremos neste tópico o Momento de uma força em duas e em três dimensões.

Notemos então.O momento em relação a um ponto O pode ser positivo ou negativo . Por convenção, se

a tendência de rotação é no sentido anti-horario, adota-se o valor positivo (+) e, se a rotação for

no sentido horario, adota-se o valor negativo (-). A unidade de momento no SistemaInternacional de Unidades (SI) é o Newton por metro, representado por N⋅m.

Momento resultante da aplicaçáo de várias forças.

Se um corpo esta sob a ação de várias forçaas, o momento resultante em relação a um ponto O é a soma dos momentos em relação ao ponto.

⃗ = ⃗, + ⃗,+ . . … + ⃗,

⃗ = ⃗,

Ou seja;

assim

http://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7ahttp://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7ahttp://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7ahttp://pt.wikipedia.org/wiki/For%C3%A7a


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Vamos então aos exercício.

1-) Uma barra de massa desprezivel e fixada num plano vertical e pode girar em torno do ponto

de fixacao. A forca F tem intensidade de 30 N. Determine o momento da forca F nos seguintescasos:

Solução.

a) O momento é dado por ⃗ = ∧ ; substituindo os valores, temos:

= 3 0 ∗ 0 , 1 = 3 .

b) O momento é dado por ⃗ = ∧ ; substituindo os valores, temos: = 3 0 ∗ 0 , 4 = 12 .

c) O momento é dado por ⃗ = ∧ ; substituindo os valores, temos: = 3 0 ∗ 0

= 0 .

d) O momento é dado por ⃗ = ∧ ; substituindo os valores, temos: = 3 0 ∗ 0 = 0 .

2-) Calcule o momento resultante produzido pelas forcas F1 = 10 N, F2 = 12 N e F3 = 8 N emrelação ao polo O e determine o sentido em que a barra ira girar.

Solução.

Vamos calcular o momento de cada uma das forças que atuam sobre a barra.

- Como a força F1 faz a barra girar no sentido horário, o momento será negativo, ou seja:

⃗ = ⃗ ∧ ⃗

⃗ = −⃗ ∧ ⃗ ; ou seja = −10 ∗ 2; logo = −20 .

- A linha de ação da força F2 passa pelo polo O; portanto, o momento e igual a zero, ou seja,


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= 0 N.m.

- Como a força F3 faz a barra girar no sentido anti-horário, o momento será positivo, ou seja:

⃗ = ⃗ ∧ ⃗ ou seja = 8 ∗ 1; logo = 8 .

O momento resultante é a soma dos momentos individuais de cada força, ou seja,

⃗ = ⃗ + ⃗ + ⃗ = − 2 0 + 0 + 8

= −12 . Como o momento resultante e negativo (-), a barra irá girar no sentido horário.

EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS

Devemos ter satisfeitas duas condições para que um corpo esteja em equilíbrio. Sãoelas.

A resultante das forcas externas que agem sobre o corpo deve ser nula:

= + + . … … … + = 0⃗ ou

= =

0⃗

Isso significa que a força resultante das projeções dessas forças sobre o eixo x deve ser igual azero; como também deve ser zero a resultante das forças, projetadas, sobre o eixo y.

= + + . … … … + = 0⃗ ou

= =

0⃗

e

= + + . … … … + = 0⃗ ou

= =

0⃗

A resultante dos momentos externos em relação a qualquer ponto deve ser nula:

Ou seja;

⃗ = ⃗, + ⃗,+ . . … + ⃗, = 0⃗


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assim

⃗ = ⃗ = 0⃗

Vamos então aos exercício.

1-) Uma barra homogenea de peso 10 N esta apoiada nos extremos A e B, distanciados de 1 m.A 0,30 m da extremidade B, foi colocado um corpo C de peso 30 N. Determine as intensidadesdas reaçõess dos apoios A e B sobre a barra.

Solução.

Façamos um esquema das forças que agem no sistema.A barra e o corpo C estão fazendo uma forca para baixo sobre o apoio A; o apoio A, por

sua vez, reage (reação do apoio), fazendo uma força sobre a barra de mesma intensidade, porémde sentido contrário.

Essa força e chamada força normal e vamos representá-la por NA.O peso da barra, que chamaremos de PB, e, como a barra é homogênea, podemos

considerar que o peso está concentrado no seu centro de gravidade; nesse caso, no centro da barra.

Temos o peso do corpo C, que representado por PC, e temos, no apoio B, situaçãosemelhante à do apoio A; portanto, temos a força normal NB.

Então, nosso objetivo é determinar os valores de NA e NB.

Como o sistema está em equilíbrio, uma das condições é que a resultante das forças que

agem no sistema deverá ser igual a zero, ou seja, ∑ = 0⃗ .Montemos, assim, um sistema de equações envolvendo as forças encontradas no

sistema; (veja o desenho acima).Considere as forças na direção e sentido do eixo y como positivas, e no sentido

contrário negativas, logo.

⃗ + ⃗ − ⃗ − ⃗ = 0⃗ + − 1 0 − 3 0 = 0

+ − 4 0 = 0 + = 40 (1)

Note que não temos o valor de NA e nem o de NB, devemos, então aplicar a outracondição de equilíbrio estático; para podermos determinar NA e NB.


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A outra condição é que a resultante dos momentos deve ser igual a zero, ou seja, ∑ ⃗ = 0⃗ Considerando o polo em A, temos:

Momento da reação do apoio NA (a linha de ação da força passa pelo polo):

M NA,A = 0 N.m.

Momento do peso da barra PB (barra gira no sentido horário):

M PB,A = -10 x 0,5 N.m.

M PB,A = -5 N.m.

Momento do peso do bloco PC (barra gira no sentido horário):

M PC,A = -30 x 0,7 N.m.

M PC,A = -21 N.m.

Momento da reação do apoio NB (barra gira no sentido anti-horário):

M NB,A = NB ⋅1M NB,A = NB (N . m)

ƒ ƒA resultante dos momentos será:

M NA,A + M PB,A + M PC,A+ M NB,A = 0

0 – 5 – 21 + NB = 0

-26 + NB = 0

NB = 26 N

ƒ ƒ Substituindo o valor de NB na equação (1), temos: + = 40 + 2 6 = 4 0 = 4 0 − 2 6

= 14

Observe que uma outra maneira seria resolver o problema calculando o momentoconsiderando o ponto de apoio como sendo o ponto B; assim, temos:

Momento da reacao do apoio NA (barra gira no sentido horário):

M NA,B = - NA . 1

M NA,B = - NA N.m

Momento do peso da barra PB (barra gira no sentido anti-horário):

M PB,B = 10 x 0,5 N.m.


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M PB,B = 5 N.m.

Momento do peso do bloco PC (barra gira no sentido anti-horário):

M PC,B = 30 x 0,3 N.m.

M PC,B = 9 N.m.

ƒƒMomento da reacao do apoio NB (a linha de ação da força passa pelo polo):

M NB,B = NB ⋅0 M NB,A = 0 (N . m)

ƒ ƒ A resultante dos momentos será:M NA,B + M PB,B + M PC,B+ M NB,B = 0

- NA + 5 + 9 + 0 = 0

- NA + 14 = 0

NA = 14 N

ƒ ƒ Substituindo o valor de NA na equação (1), temos: + = 40 1 4 + = 40 = 4 0 − 1 4

= 26

EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 1-) Uma barra AO situada num plano vertical pode girar em torno de um ponto O. Determine omomento da força F de intensidade 120 N em relação ao ponto O, nos casos:

2-) Uma barra de peso desprezível está em equilíbrio na posição horizontal, conforme oesquema a seguir.

As massas de 90 kg e 1,5 Kg se encontram em sua extremidade, sendo que o ponto deapoio está a 40 cm da extremidade direita. Qual o valor da distância “x”, do apoio até a extremidade esquerda, para manter a barra em equilíbrio?a) 240cm. b) 120cm.c) 1,5cm.

d) 3/2 cm.


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3-) É possível se equilibrar uma balança na horizontal sem que seu ponto de apoio estejalocalizado precisamente em seu centro, conforme a figura abaixo.

Aliás, em várias aplicações e diferentes tipos de balança, é necessário que o equilíbrio se dêexatamente desta forma.a) Considerando a figura e os comentários acima, diga quais as condições necessárias paraque o equilíbrio seja possível neste caso.b) Sendo m 2 = 100 g, d 1 = 5 cm e d 2 = 60 cm, calcule o valor de m1 para que a balança permaneça em equilíbrio na horizontal.

4-) (UFMG/2005) Gabriel está na ponta de um trampolim, que está fixo em duas estacas – I e II,como representado nesta figura:

Sejam F I e F I I as forças que as estacas I e II fazem, respectivamente, no trampolim. Com basenessas informações, é CORRETO afirmar que essas forças estão na direção vertical eA) têm sentido contrário, F I para cima e FI I para baixo.B) ambas têm o sentido para baixo.C) têm sentido contrário, F I para baixo e F I I para cima.D) ambas têm o sentido para cima.

5-) (UFV) Um rapaz de 900 N e uma garota de 450 N estão em uma gangorra. Das ilustraçõesabaixo, a que representa uma situação de equilíbrio é:

6-) Observe a figura abaixo, que representa uma barra que pode girar livremente em torno doapoio O sofrendo a ação de uma força F inclinada em relação à barra.a) Pelo desenho, a barra irá girar no sentido horário ou anti-horário?b) CALCULE o Momento provocado pela componente x, F x , da força. JUSTIFIQUE suaresposta.

7-) (UFMG/2010) Para pintar uma parede, Miguel está sobre um andaime suspenso por duascordas. Em certo instante, ele está mais próximo da extremidade direita do andaime, comomostrado nesta figura:


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Sejam T E e T D os módulos das tensões nas cordas, respectivamente, da esquerda e da direita e P o módulo da soma do peso do andaime com o peso de Miguel. Analisando-se essasinformações, é CORRETO afirmar queA) T E = T D e T E + T D = P . B) T E = T D e T E + T D > P .C) T E < T D e T E + T D = P . D) T E < T D e T E + T D > P .

8-) (ENEM/1998) (SP-C6-H20) Um portão está fixo em um muro por duas dobradiças A e B,conforme mostra a figura, sendo P o peso do portão.

Caso um garoto se dependure no portão pela extremidade livre, e supondo que as reaçõesmáximas suportadas pelas dobradiças sejam iguais,(A) é mais provável que a dobradiça A arrebente primeiro que a B.(B) é mais provável que a dobradiça B arrebente primeiro que a A.(C) seguramente as dobradiças A e B arrebentarão simultaneamente.(D) nenhuma delas sofrerá qualquer esforço.(E) o portão quebraria ao meio, ou nada sofreria.

SOLUÇÃO

2-) Para o Equilíbrio, o Momento Resultante deve ser igual a zero.M = F.d.cosθ, que leva a: F 1 . d 1 = F 2 . d 2.

90.x=1,5.40⇒x= 2/3 cm.3-)a) Para que haja o equilíbrio, o Momento Resultante deve ser igual a zero.F 1 . d 1 = F 2 . d 2 . b) Aplicando a equação: x . 5 = 100 . 60 ⇒ x = 1200 g = 1,2 Kg .4-) Basta analisar a figura.

Quando o atleta salta no trampolim, seu peso força o lado direito para baixo, provocando ummomento no sentido horário. A estaca central se comporta como ponto de apoio e a outra, lateralesquerda, é obrigada a aplicar uma força para baixo, provocando momento no sentido anti-

horário para anular o momento provocado pelo peso do atleta. Alternatica C.


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5-) Basta aplicar a equação de equilíbrio, observando no visual as distâncias em relação aoapoio: F 1 . d 1 = F 2 . d

2 . Como o homem pesa o dobro que a garota, deve estar na metade dadistância ao apoio. 900 . 1 = 450 . 2 alternativa b.

6-) a) Pela figura, a barra gira no sentido horário. b) Decomponha a força.

7-) Esta é uma questão de Equilíbrio de um Corpo Extenso. O andaime não é uma partícula.Para equilibrá-lo, devemos obedecer a duas condições:• FRes = 0 ou Σ F = 0. A força resultante deve ser igual a zero, 1

a Lei de Newton;• MRes = 0 ou Σ M = 0 . O momento resultante deve ser igual a zero, para não girar.

Qualitativamente, e usando o bom senso, quando o peso não é igualmente distribuído em umcorpo, isto causa alguns efeitos. É por esta razão que caminhões têm mais rodas atrás. Aviõestambém, por exemplo! Desta forma, olhando a figura, como o homem está mais perto dacorda da direita, a tração deve ser maior nela. Além de o peso ser equilibrado pela somadas duas trações. Desenhando:As duas trações para cima igualam o peso, para baixo.E, para anular o momento provocado pelo pesoem relação aos apoios nas cordas, a da direita deveser maior.Façamos de outra maneira, com números. Veja o desenhoabaixo, de uma barra de peso desprezível apoiada emsuas extremidades A e B. Valores e distâncias estãona figura.Aplicando ao problema abaixo as condições de equilíbrio: P = 4 = NA + NB .Além disto, calculandoo momento em relação aoapoio A e lembrando que para forças perpendicularesM = F.d, teremos: NB.(20+60)= 4(P).60 ⇒ NB = 3 kgf.Substituindo na equaçãoanterior, NA = 1 kgf. Lembre-se também de que, ao escolhermos A como apoio, o momento

de NA se anula! Alternativa C8-) Questão de análise relativamente complexa, sobre Momentode Uma Força, ou Torque.Trace na figura o peso P do portão, no Centro de Gravidade(meio), e o do menino na extremidade direita da figura.

O Torque é dado por: T = F.d.senθ, onde F é a força, d adistância até o apoio e θ o ângulo formado entre F e d. Mas pode-se interpretar Fsenθ como a componente da força perpendicular à distância até o apoio d, ou dsenθ o chamado “braço dealavanca”, ou a distância perpendicular do apoio até a linha deação da força, que tracejei de vermelho. Veja a figura:

Os braços de alavancas são iguais em comprimento paraas duas dobradiças, e assim o Torque provocado pelos pesos é o


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mesmo, medido em relação a A ou a B. Assim, argumentar pelo módulo do Torque não farádiferença! E o sentido do Torque, nos dois casos, é o horário. Observe então que ao girar sob aação do peso do menino, o portão tende a se apoiar embaixo, que destaquei com um círculo preto, mais distante de A. Isto fará a diferença!

Como num pé-de-cabra, o portão sob o peso do menino tende a arrancar as dobradiçasda parede ao girar no sentido horário, e neste caso a A deve arrebentar, saindo da parede,primeiro. Porque a dobradiça A será forçada para fora da parede, enquanto a B, num primeiromomento servindo como apoio do giro horário, será forçada para dentro! Alternativa A.

Exercícios Propostos

1. De acordo com o estudo sobre a estática do corpo rígido, mais precisamente sobre momentode uma força, marque a alternativa que completa a frase abaixo.Quando um corpo extenso está sujeito à ação de forças de resultante não nula, ele pode adquirirmovimento de _______, de _______ ou ______, simultaneamente.a) translação, rotação, ambos. b) aplicação, rotação, relação.

c) translação, relação, rotação.d) equilíbrio, rotação, ação.e) equilíbrio, relação, ambos.

2. Suponha que para fechar uma porta de 0,8 metros delargura, uma pessoa aplica perpendicularmente a ela umaforça de 3 N, como mostra a figura abaixo. Determine omomento dessa força em relação ao eixo O.a) M = -3,75 N.m b) M = -2,4 N.mc) M = -0,27 N.md) M = 3,75 N.m

e) M = 2,4 N.m

3. Vejamos a figura abaixo. Na figura temos dois blocos cujas massas são, respectivamente, 4 kg e 6kg. A fim de manter a barra em equilíbrio, determinea que distância x o ponto de apoio deve ser colocado.Suponha que inicialmente o ponto de apoio esteja a40 cm da extremidade direita da barra.4a) x = 60 cm b) x = 20 cm c) x = 50 cm d) x = 30 cm e) x = 40 cm

5. (Ufrj 1999) Um jovem e sua namorada passeiam de carro por uma estrada e sãosurpreendidos por um furo num dos pneus. O jovem, que pesa 750 N, pisa a extremidade deuma chave de roda, inclinada em relação à horizontal, como mostra a figura 1, mas só conseguesoltar o parafuso quando exerce sobre a chave uma força igual a seu peso.A namorada do jovem, que pesa 510 N, encaixa a mesma chave, mas na horizontal, em outro parafuso, e pisa a extremidade da chave, exercendo sobre ela uma força igual aSupondo que este segundo parafuso esteja tão apertado quanto o primeiro, e levando em contaas distancias indicadas nas figuras, verifique se a moça consegue soltar esse segundo parafuso.Justifique sua resposta.


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