Aula 11

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Mais Ondas de Matria II

Fsica Geral F-428

1

http://www.bugman123.com/Physics/

2

O tomo de hidrognio

segundo a Mecnica Quntica

Experimentos de espectroscopia

de tomos de H apresentavam

linhas (raias) espectrais discretas:

p. ex. Srie de Balmer 656 486 434 410 (nm)

22

1

2

11

nRH

RH =109737,3 cm-1

n=3, 4, 5, ...

Recordando: O modelo atmico de Bohr (1913)

Motivao experimental: Niels H. D. Bohr

(1885 -1962) Prmio Nobel de

Fsica: 1922

3

Considerando o experimento de espalhamento de Rutherford e

as ideias de quantizao e da existncia dos ftons, Bohr

introduziu o seu modelo para o tomo de hidrognio, baseado

em quatro postulados:

1. O eltron se move em uma rbita circular em torno do

ncleo sob influncia da atrao coulombiana do ncleo,

(mecnica clssica).

2. O eltron s pode se mover em rbitas que apresentem

momentos angulares L quantizados:

,....,,nnL 321

O modelo atmico de Bohr (1913)

4

3. O eltron fica em rbitas estacionrias e no emite

radiao eletromagntica. Portanto, a sua energia total E

permanece constante.

4. Radiao emitida se um eltron, que se move inicialmente

numa rbita de energia Ea , muda para uma rbita de energia

menor Eb. A freqncia f da radiao emitida dada por:

Em outras palavras, na transio do estado a para o

estado b o tomo emite um fton de frequncia f.

h

EEf ba


5

Considerando o ncleo em repouso, a fora

eltrica no eltron dada por

v

-e, m

+e 2

0

2 1

4 r

eF

r

vm

r

e 2

2

0

2 1

4

Para uma rbita circular:

nL

rmvL

rm

nv

2

2

0

2

nme

hr

n

Quantizao das rbitas!


Se

e 6

Assim, a energia total das diferentes rbitas ser dada por:

Portanto, Bohr prev que as rbitas tm raios:

eVnnh

meE

n 2222

0

4 6,131

8

2

2

0

2

nme

hr

n

5291,02

0

2

0me

hr

2

0nrrn

com

ou

(raio de Bohr)


Mas: r

e

r

emvUKE

0

2

0

22

842r

vm

r

e 2

2

0

2 1

4

v

-e, m

+e

7

As freqncias emitidas nas transies seriam:

Portanto, Bohr prev que:

sendo um xito para a sua teoria!

1

32

0

4

1097378

cmch

meRH

22320

4 11

8 'nnh

me

h

EEf nn'nn


2222320

4

'

1

1

11

8

1

nnR

nnch

meH

nn

(constante de Rydberg)

222

0

4 1

8 nh

meEn

8

O modelo de Bohr explicou as raias espectrais conhecidas

para o tomo de hidrognio e mostrou que deveriam existir

outras, fora do espectro visvel.

Balmer

9

rerU

1

4 0

2

O poo de potencial onde o eltron est

confinado (potencial coulombiano) tem

a forma:

A equao de Schrdinger para o eltron nesse potencial :

)(E)()r(U)(m

rrr 2

2

2

A equao de Schrdinger e o tomo de H

10

11

,,rr

Coordenadas esfricas:

12

/iEtexp,r,t,,r,

Lembre-se de que:

esta a funo que procuramos...

rR,,r

l nmero quntico orbital

(Mdulo do Momento Angular Orbital)

n nmero quntico principal

(Energia)

m nmero quntico

magntico (Orientao

do Momento Angular Orbital)

smbolo valores

n 1, 2, 3,

l 0,..., n-1

m -l,..., l

Como o potencial coulombiano s depende de r, a equao de Schrdinger pode ser separada em trs equaes e a funo de

onda pode ser separada (em coordenadas esfricas).

Isto produz trs equaes diferenciais separadas, uma em cada varivel (r, , ) !


13

14

mlmnlm,l,n rR,,r

Para estes estados, as solues da equao de

Schrdinger...

....... so bem comportadas!!

Para tal, impomos condies de contorno....

O nmero quntico orbital l corresponde aos estados:

(1,0,0)

(2,0,0) (2,1,0) (2,1,1) (2,1,-1)

l = 0, 1, 2, 3, 4,...

(s, p, d, f, g)

0E

4/0

E

9/0

E

(3,1,0) (3,0,0) (3,1,-1) (3,1,1) (3,2,1) (3,2,0) (3,2,2) (3,2,-1) (3,2,-2)

)(rnlm

(n,l,m)

1s

2s 2p

3s 3p 3d


2

1

nEn

15

)r(ER)r(R)r(Udr

)r(dR

rdr

)r(Rd

m

2

2 2

22

Para o estado fundamental (n = 1, l = 0, m = 0) temos a equao radial

(sem dependncia em e ) :

0rr

0

er

r2

3100

1 o raio de Bohr

0; r

A funo de onda do hidrognio no estado fundamental (1,0,0):


16

17

Algumas funes de onda mais para outros estados do H:

0r/aAqui a0 o raio de Bohr e

18

Interpretao:

Vale a condio de normalizao da densidade de probabilidade:

1

0

dr rP

1dV,,r ,,r*

espao o todo

Para a densidade de

probabilidade em

todo o espao:

Para a densidade de

probabilidade radial:

A densidade de probabilidade associada funo de onda:

Probabilidade de medir

no volume dV

distncia r

densidade de probabilidade

| (r)|2

distncia r

dV =

0

22

3

0

4 rrer

rrP

drrrdVrdrrP 2224

ento:


[ p. ex., para o estado fundamental: (n,l,m) = (1,0,0) ]

0

23

0

100

1 rre

rr

19

z

x

y

tomo de H: Densidade de Probabilidade Radial

0

22

3

0

4 rrer

rrP

(n,l,m) = (1,0,0)

20

21

P(r)

r

r

r

tomo de H: Densidade de Probabilidade Angular

22

Construindo os orbitais.......

cos2

0 1

30 3/4

45 1/2

60 1/4

90 0

120

1/4

135

1/2

150

3/4

180

1

orbitais atmicos

z

x

y

tomo de H: Orbitais Atmicos

24

25

htt

p:/

/sev

enco

lors

.org

/post

/hyd

rogen

-ato

m-o

rbit

als

Estado 1s

n=1, l=0, m=0

Estado 2s

n=2, l=0, m=0

Estado 2p

n=2, l=1, m=0

Estado 2p

n=2, l=1, m= 1

tomo de H: Densidade de Probabilidade Radial

)(112 rP

)(012 rP

26

27

Resumo da aula: Para o tomo de hidrognio vimos:

As solues da equao de Schrdinger;

Os estados qunticos permitidos, caracterizados pelos nmeros n, l, m;

A interpretao probabilstica da densidade de probabilidade | * | e da P(r);

Representao de alguns orbitais.

Probl. Cap. 39; No. 34:

Um tomo de hidrognio, inicialmente em repouso no estado n = 4, sofre uma transio para o estado fundamental, emitindo um fton no processo. Qual a velocidade de recuo do tomo de H?

Conservao: ;:ouc

Evmpp

foton

recpfotonrec

onde: mH mp (massa do prton)

eV 12,75eV1

1

4

16,13

2214EEE foton

m/s 08,4)103/(10938

75,12

/ 862 ccm

Ev

p

foton

rec

onde: m/s 103 c e MeV 938 82cm p28

Probl. Cap. 39 No. 35:

No estado fundamental do tomo de hidrognio, o eltron possuiu uma energia total de -13,6 eV. Quais so (a) a energia cintica e (b) a energia potencial do eltron a uma distncia do ncleo igual ao raio de Bohr?

m

CCmN

r

erU

Bohr

Bohr 11

219229

0

2

10292,5

10602,1/.1099,81

4

eVJrU Bohr 2,271036,418

eVUEKUKE 6,13)2,27(6,13

b)

a)

29

Probl. Cap. 39; No. 43:

As funes de onda dos trs estados cujos grficos de pontos aparecem na figura abaixo, para os quais n = 2, l = 1 e ml = 0, +1 e -1 so:

;cos24

1),( 2/2/3210

area

rar ;sen

8

1),,( 2/2/3112

iar eea

rar

.sen8

1),,( 2/2/3112

iar eea

rar Observe que a primeira funo

de onda real, mas as outras so complexas. Determine as densidades de

probabilidade radial P(r) e verifique que so consistentes com os grficos

mostrados: (a) para e (b) para e .

(c) Some as trs funes densidade e mostre que o resultado depende

apenas de r, ou seja, que a densidade de probabilidade radial total tem

simetria esfrica.

210 112 112

pz px, py

n = 2, l = 1

ml = 0 ml =

1 30

(a)

(b) 2*211211112112 4),,(),,(,),( rrrrPrP

2/

5

4

112112 sen16

,),( area

rrPrP

;sen16

4sen64

2/

5

422/

5

2arar e

a

rre

a

r 1ii eepois:

2/

5

222

sen16

)( 22 ayxe

a

yx

n = 2, l = 1

ml =

0

ml =

1

pz px, py 31

(c)

= 1

ar

total ea

rrP /

5

4

8)( independente de e , portanto

esfericamente simtrica.

2/

5

422

210 cos8

)4( area

rr

2/

5

422

121

22

121 sen16

)4()4( area

rrr

32

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