Aula 12 – Delineamento em blocos casualizados (DBC) 30/05/2017

Considere um experimento em blocos casualizados com 𝐼 tratamentos e J blocos.

Hipótese Testadas

Para tratamentos {𝐻𝑜: 𝑡𝑖 = 0, 𝑖 = 1, 2, … , 𝐼.

𝐻1: pelo menos um valor de 𝑡𝑘 ≠ 0, 𝑘 ∈ [1; 𝐼]

Para blocos {Ho: bj = 0, j = 1, 2, … , J.

H1: pelo menos um valor de bk ≠ 0, k ∈ [1; I]

Análise de Variância

Soma de Quadrados:

Constante K: 𝐾 =1

(𝐼×𝐽)(∑ 𝑙𝑖

𝐼𝑖=1 )2

Soma de Quadrados Totais: 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = (∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗2𝐽

𝑗=1𝐼𝑖=1 ) − 𝐾

Soma de Quadrados de Tratamentos: 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = [1

𝐽(∑ 𝐿𝑖

2𝐼𝑖=1 )] − 𝐾

Soma de Quadrados de Blocos: 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 = [1

𝐼(∑ 𝐶𝑗

2𝐽𝑗=1 )] − 𝐾

Soma de Quadrados do Resíduo: 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 − 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠

Quadro de Análise de Variância para DBC

CV GL SQ QM F

Blocos (𝐽 − 1) 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠

(𝐽 − 1)

𝑄𝑀𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠

𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠

Tratamento (𝐼 − 1) 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡

(𝐼 − 1)

𝑄𝑀𝑇𝑟𝑎𝑡

𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠

Resíduo (𝐼 − 1) (J − 1) 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠

(𝐼 − 1)(𝐽 − 1)

Total (𝐼 × 𝐽) − 1 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙

Resumindo o critério do teste:

Exemplo de Aplicação

Desejamos testar quatro fontes de energia em uma linhagem de ave para corte. É possível conseguir um grande número de pintos de um

dia sexados para o ensaio que será realizado em um laboratório de três andares, com a capacidade de 20 aves por andar. Tem-se 10

baterias disponíveis.

• Como existem 10 baterias e 3 compartimentos para alojarmos quatro fontes de energia, caberiam a cada fonte de

energia oito compartimentos, sobrando duas baterias.

O calor que sobe por convecção dos andares inferiores provoca desconforto térmico para as aves dos andares superiores.

• Se, por sorteio, localizássemos mais frequentemente a fonte C de energia, no compartimento superior (ou no segundo

andar), esta fonte estaria sendo prejudicada na sua avaliação, neste caso, subestimada.

• Por outro lado, uma fonte que ocorresse mais vezes no andar de baixo se beneficiaria pelo conforto térmico em relação

às demais.

Para distribuir igualmente esse efeito térmico, ou seja, para balancear este efeito entre todas as fontes de energia, cada fonte deveria

ocorrer com o mesmo número de vezes em cada um dos andares.

• Uma maneira de permitir isto será utilizando oito das 10 baterias existentes, com o seguinte croqui de instalação.

No caso de aves de corte, que costumavam revolver com o bico a ração dos comedouros laterais, é possível haver migração de material

do comedouro do andar de cima para o inferior.

• Quando estivermos testando elementos essenciais tipo cistina, que presentes em pequenas quantidades podem afetar a resposta

medida o croqui acima não poderia ser empregado, recomenda-se o alternativo para contornarmos o problema da migração.

A resposta a ser medida será o peso médio por compartimento à idade de 45 dias.

• Note que a média de cada grupo será obtida sob condições térmicas comuns a todos eles.

• Para cada andar, teremos a participação equitativa de todos os grupos (4 grupos repetidos duas vezes). Desta maneira, será

possível medir o efeito das fontes de energia e também do andar (implicitamente da temperatura) ao utilizarmos seus totais na

análise de variância, agora com três diferentes fontes de variação: a individual, a devido a fonte de energia e a devido ao andar

(ou temperatura)

• A nova fonte de variação, temperatura, foi definida pela participação em blocos homogêneos contendo a mesma representação

dos tratamentos

SOLUÇÃO.

Hipótese Testadas

Para tratamentos (fontes de calor) {𝐻𝑜: 𝑡𝑖 = 0, 𝑖 = 1, 2, … , _______.

𝐻1: pelo menos um valor de 𝑡𝑘 ≠ 0, 𝑘 ∈ [1; _______]

Para blocos (andares) {Ho: bj = 0, j = 1, 2, … , ________.

H1: pelo menos um valor de bk ≠ 0, k ∈ [1; _______]

Análise de Variância

Soma de Quadrados:

Constante K: 𝐾 =1

(𝐼×𝐽)(∑ 𝐿𝑖

𝐼𝑖=1 )

2

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

Soma de Quadrados Totais: 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = (∑ ∑ 𝑥𝑖𝑗2𝐽

𝑗=1𝐼𝑖=1 ) − 𝐾

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

Soma de Quadrados de Tratamentos: 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 = [1

𝐽(∑ 𝐿𝑖

2𝐼𝑖=1 )] − 𝐾

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

Soma de Quadrados de Blocos: 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠 = [1

𝐼(∑ 𝐶𝑗

2𝐽𝑗=1 )] − 𝐾

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

Soma de Quadrados do Resíduo: 𝑆𝑄𝑅𝑒𝑠 = 𝑆𝑄𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑆𝑄𝑇𝑟𝑎𝑡 − 𝑆𝑄𝐵𝑙𝑜𝑐𝑜𝑠

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________________________________________

Quadro de Análise de Variância para DBC

CV GL SQ QM F

Blocos

Tratamento

Resíduo

Total

Valores de F da tabela:

Para Tratamento: {F(7×14 g.l.)(5%) = 2,76

F(7×14 g.l.)(1%) = 4,28

Para Blocos: {F(2×14 g.l.)(5%) = 3,74

F(2×14 g.l.)(1%) = 6,51

Conclusões

Para Tratamento

O teste F foi ___________________, indicando que devemos _____________ 𝐻0 _________________ e concluir que as fontes

de calor provindos das baterias testadas possuem efeitos __________________ no peso médio por compartimento à idade de 45

dias.

Para Blocos

O teste F foi ___________________, indicando que devemos _____________ 𝐻0 _________________ e concluir os andares

testados possuem efeitos ________________ no peso médio por compartimento à idade de 45 dias.

Cálculo do coeficiente de variação do experimento 𝐂𝐕 =𝟏𝟎𝟎∙𝐬

�̂�

𝐶𝑉 =100∙𝑠

�̂�=

100∙√𝑄𝑀𝑅𝑒𝑠

�̂�=_______________________________________________________________________

Solução no R

## Entre os dados - variáveis: Tratamentos - TR, Blocos (Controle Local 1) - CL1 e Observações - Y

dbc1 <- read.table("XXXXX", h=T, d=","); dbc1

TR <- dbc1[,1]; TR

CL1 <- dbc1[,2]; CL1

Y<-dbc1[,3]; Y

## Definição do modelo

FTR <- as.factor(TR)

FCL1 <- as.factor(CL1)

mod <- aov(Y~FCL1+FTR)

summary(mod)

QMRes <- XXXXX

cv <- 100*sqrt(QMRes)/mean(na.rm=T,Y);cv # Edite o QMRes

#summary.lm(mod)

## Gráfico Box_Plot por TRatamento

plot(Y~FTR)

## - Gráficos de diagnósticos

par(mfrow=c(1,3))

rs <- rstudent(mod)

hist(rs, main="histograma"); boxplot(rs, main="boxplot")

qqnorm(rs, main="normalidade"); qqline(rs)

## - Gráfico para Análise de Resíduos

par(mfrow=c(1,1))

rs <- rstudent(mod); yp <- predict.lm(mod)

xmin=min(yp)-.1; xmax=max(yp)+.1; minrs=min(min(rs),-3); maxrs=max(max(rs),3); ymin=minrs-.1; ymax=maxrs+.1

plot(c(xmin,xmax),c(ymin,ymax),type="n",main="Análise do Resíduo", xlab="Valores preditos", ylab="RStudent")

abline(h=-3, col="red"); abline(h=3,col="red"); points(yp,rs)

abline(h=0);abline(v=0, col="black")

## - Grafico para val. influentestes - Distancia Cook ########### Gráfico para Valores discrepantes - Distancia de cook

par(mfrow=c(1,1))

N=length(Y)-sum(is.na(Y)); P=length(mod$coefficient)

lkd <- qf(0.5,P,N-P, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE); #lkd <- 5/N;

x=1:N; cd <- influence.measures(mod)[[1]][,5]

minx<- min(x);maxx <- max(x); mincd <- min(cd); maxcd=max(max(cd),lkd);

plot(c(minx,maxx),c(mincd,maxcd),type="n",main="Valores influentes", xlab="Observacoes", ylab="Distancia de Cook")

abline(h=lkd, col="blue"); points(x,cd)

## Carregue o script para testes de homocedasticidade.

install.packages("MASS")

require(MASS)

boxcox(mod,seq(-5,5,0.2)) # mod=modelo

# se lambda não difere de 1 -> Homocedástico

# se lambda difere de 1 (Transformacao:

# Yt=Y^lambda se lambda difere de 0

# Yt=log(Y) se lambda não difere de 0

## Carregue o script para testes de normalidade.

## - Teste de Anderson-Darlin

# rs <- rstudent(mod)

install.packages("nortest")

require(nortest)

ad.test(rs) # Especifique o vetor