Aula 126 - Módulo VI - Análise Combinatória

1 http://www.euvoupassar.com.br Eu Vou Passar – e você?

Curso Completo de Raciocínio Lógico 2011

Professor Paulo Henrique Olá, meu povo!

Sejam bem vindos ao nosso Curso Completo de Raciocínio Lógico 2011! A ideia desse curso é mostrar para vocês, independente de bancas, editais e conteúdos programáticos, como fazer para se dar bem em provas de Raciocínio Lógico.

Módulo VI – Análise Combinatória (Parte I)

A Análise Combinatória estuda o cálculo da quantidade de maneiras que um determinado evento poderá acontecer.

Ex: quantos números de 3 algarismos podemos formar com os algarismos 1 a 5? De quantas maneiras podemos formar uma comissão de 3 pessoas tendo 15 estudantes?

Sobre esse assunto, podemos dividir em:

(1) Princípio Fundamental da Contagem (a ser visto nessa parte!)

(2) Arranjo e Combinação (a ser visto na parte II)

(3) Permutação (a ser visto na parte II)

Visão Geral

Antes de começarmos com a resolução das questões, vamos dar uma visão geral sobre cada um dos assuntos citados acima, para que vocês compreendam (mesmo que de forma bem básica) o que as bancas cobram em concursos.

O 1o assunto que deveríamos tratar é o PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM, não é mesmo? Porém, como trataremos desse assunto na Parte I, vamos deixá-lo para o final, ok?

Agora, vocês devem ter notado que colocamos juntos Arranjo e Combinação. Fiz isso porque eles são bem parecidos, apenas diferenciando-os pela ORDEM!

Como assim, PH???

Vejamos 2 exemplos:

Exemplo 1: quantas comissões de 3 artistas poderemos formar, escolhendo entre o Kerginaldo, tomador de leões o Gionovaldo, mágico, o Melchiades, palhaço, a Talula, contorcionista, e o Hector, encantador de cobras?

Exemplo 2: quantas placas poderemos formar para a Brasília Amarela do João Antônio, sabemos que os números serão 1010 e deveremos escolher dentre A, E, I, O e U a parte da letras?


Se vocês notaram bem, em ambos os exemplos teremos que escolher, dentre 5 opções, apenas 3, que farão parte do resultado. Parece ser a mesma coisa, mas não é! É DENOREX!!! (para aqueles que não sabem o que diacho é Denorex, favor procurar o Youtube, ok?) :o)

Agora, vamos analisar:

Exemplo 1 Exemplo 2

Agora:

SIM ===========>

A ORDEM IMPORTA? =====

NÃO ===========>

Assim:

Arranjo Combinação

Não sei se todos já conhecem o Fatorial (“!”), que apareceu nas fórmulas do Arranjo e da Combinação. Não custa nada explicar! É algo bem simples:

Fatorial

Pronto! Para esse início já basta! Agora, veremos a Permutação!

Permutação nada mais é do que um tipo de Arranjo, onde haverá apenas TROCA DE POSIÇÃO, TROCA DE LUGARES.


Como assim, PH??? (2)

Imagine que o Kerginaldo, o Melchiades e o Gionovaldo vão ao cinema e tem apenas 3 lugares para eles se sentarem. De quantas maneiras ele poderão ocupar as 3 cadeiras?

Isso é Permutação:

Outros exemplos de Permutação:

Meu povo, aqui foi apenas uma Visão Geral, uma Introdução. Quando iniciarmos a Parte II desse módulo e formos resolver as questões, vamos fixar esse conteúdo, ok?

Agora sim, vamos falar do PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM!

Ele consiste em dividir um determinado EVENTO em etapas. Pensemos assim: vamos fazer uma disputa de Par ou Ímpar entre dois amigos. Eles vão disputar 3 vezes e veremos o que acontecerá, ok?


Vocês viram que, ao final, encontramos todas as possibilidades de resultado para 3 partidas. O Princípio Fundamental da Contagem calcula a quantidade de maneiras sem precisar listá-las.

Façamos assim: se cada partida conta como 1 evento, então:

Traduzindo: o número total de maneiras de um evento será determinado pelo produto dos resultados encontrados em cada etapa!

01.(TJ/SC) Um cofre possui um teclado com 10 números. A combinação que abre o cofre tem cinco números. Quantas tentativas mal sucedidas podem ser efetuadas por uma pessoa que desconheça a senha?

(A) 99 999

(B) 100 000

(C) 30 240

(D) 151 200

(E) 50 000

Responda comigo:

(1) qual é evento da questão: _______________________________________

(2) quantas etapas terá esse evento: __________________________________________

(3) quantas possibilidades você encontrou para cada evento: ____________________________

(4) qual é o resultado final: __________________________________________

02. (FMZ) Pedro se lembra somente dos cinco primeiros dígitos do telefone de seu trabalho. Dos três dígitos restantes, ele sabe apenas que não se repetem e que o último dígito é 6 ou 8. Quantas tentativas, no máximo, Pedro pode necessitar fazer para telefonar para seu trabalho?

(A) 360.

(B) 180.

(C) 198.


(D) 200.

(E) 144.

03. (Cesgranrio) Quantos números naturais de 5 algarismos apresentam dígitos repetidos?

(A) 27.216

(B) 59.760

(C) 62.784

(D) 69.760

(E) 72.784

04. (Cespe) No Brasil, há 27 partidos políticos. Se, nas próximas eleições, todos os partidos lançarem candidatos a todos os cargos e se um eleitor escolher, para três cargos distintos, candidatos de três partidos diferentes, ele poderá fazê-lo de mais de 2.600 maneiras distintas.

(Verdadeiro) (Falso)

Em um tribunal, os processos são protocolados com números de 6 algarismos de 0 a 9 e o primeiro algarismo refere-se ao número da sala onde o processo foi arquivado. Nessa situação, o total de processos que podem ser arquivados nas salas de números 4 e 5 é superior a 300.000.


Considere que, em um edifício residencial, haja uma caixa de correspondência para cada um de seus 79 apartamentos e em cada uma delas tenha sido instalada uma fechadura eletrônica com código de 2 dígitos distintos, formados com algarismos de 0 a 9. Então, de todos os códigos assim formados, 11 deles não precisaram ser utilizados.


05. (Cesgranrio) João, Pedro, Celso, Raul e Marcos foram aprovados em um concurso. Cada um trabalhará em uma unidade diferente da empresa: P, Q, R, S ou T. Considerando que João já foi designado para trabalhar na unidade P, de quantos modos distintos é possível distribuir os demais aprovados pelas unidades restantes?

(A) 12

(B) 24

(C) 48


(D) 90

(E) 120

06. (Esaf) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da amiga, Ana retira do closet quatro caixas de sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20 é igual a:

(A) 681384

(B) 382426

(C) 43262

(D) 7488

(E) 2120

07. (FGV) De quantas maneiras diferentes podemos colocar 5 pessoas em fila sendo que Maria, uma dessas 5 pessoas, jamais seja a primeira da fila?

(A) 120.

(B) 112.

(C) 96 .

(D) 75 .

(E) 88 .

08. (Acafe) Seis pessoas, entre elas Pedro, estão reunidas para escolher entre si, a diretoria de um clube. Esta é formada por um presidente, um vice-presidente, um secretário e um tesoureiro. O número de maneiras para a composição da diretoria, onde José não é o presidente, será:

(A) 120

(B) 360

(C) 60

(D) 150


(E) 300

09. (Cespe) Para ir de sua residência ao local de trabalho e voltar para casa, João passa por um terminal de passageiros. Os meios de transporte entre sua casa e o terminal são: metrô, ônibus e lotação. Entre o terminal e o local de trabalho, João pode se deslocar utilizando metrô, ônibus, lotação ou moto. Nessas condições, julgue os itens seguintes.

Se algum dia João decidir não usar a lotação, tampouco utilizar, para o retorno, o mesmo tipo de transporte usado entre os trechos de ida, então ele terá 12 maneiras diferentes para organizar todos os trajetos de ida e volta.


A quantidade de maneiras distintas disponíveis para João realizar o trajeto de casa ao local de trabalho é igual a 7.


10. (Cesgranrio) Quantos são os números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos distintos?

(A) 256

(B) 288

(C) 320

(D) 328

(E) 360

11. (Funrio) Existem quantos números pares, de três algarismos, maiores do que 500?

(A) 250

(B) 499

(C) 249

(D) 500

(E) 501


12. (Esaf) Sete modelos, entre elas Ana, Beatriz, Carla e Denise, vão participar de um desfile de modas. A promotora do desfile determinou que as modelos não desfilarão sozinhas, mas sempre em filas formadas por exatamente quatro das modelos. Além disso, a última de cada fila só poderá ser ou Ana, ou Beatriz, ou Carla ou Denise. Finalmente, Denise não poderá ser a primeira da fila. Assim, o número de diferentes filas que podem ser formadas é igual a:

(A) 420

(B) 480

(C) 360

(D) 240

(E) 60

13. (Cespe) Um medidor de consumo de água, ou hidrômetro, de determinado fabricante possui 6 marcadores numéricos que representam as unidades, as dezenas, as centenas, as unidades de milhar, as dezenas de milhar e as centenas de milhar. Devido às condições tecnológicas, cada marcador pode apresentar dois tipos de defeito de fabricação: ficar travado em determinado marcador, impedindo a movimentação dos marcadores relativos às ordens superiores à do marcador defeituoso; ou saltar determinados dígitos.

De acordo com as informações apresentadas nessa situação hipotética, julgue os próximos itens.

Se o marcador das unidades de milhar de um dos medidores travar, então esse medidor poderá exibir um total de 1.001 leituras distintas.


Se um dos medidores tiver seu marcador das dezenas de milhar travado ou saltar os dígitos ímpares no marcador das unidades e os números 2, 7 e 8 no marcador das centenas, então haverá 356.500 leituras distintas que poderão ser exibidas por esse medidor.


14. (Esaf) Ágata é decoradora e precisa atender o pedido de um excêntrico cliente. Ele – o cliente – exige que uma das paredes do quarto de sua filha seja dividida em uma seqüência de 5 listras horizontais pintadas de cores diferentes, ou seja, uma de cada cor. Sabendo-se que Ágata possui apenas 8 cores disponíveis, então o número de diferentes maneiras que a parede pode ser pintada é igual a:

(A) 56

(B) 5760

(C) 6720


(D) 3600

(E) 4320

15. (Cespe) Considerando uma corrida de Formula 1 com a participacao de 22 carros e 22 pilotos igualmente competitivos, julgue o item a seguir.

Se sete carros quebrarem durante a corrida e seus pilotos forem obrigados a abandoná -la antes da bandeirada final, entã o a quantidade de maneiras diferentes de se formar a dupla dos primeiros classificados será inferior a 200.


O número de rotas aéreas possíveis partindo de Porto Alegre, Florianópolis ou Curitiba com destino a Fortaleza, Salvador, Natal, João Pessoa, Maceió, Recife ou Aracaju, fazendo uma escala em Belo Horizonte, Brasília, Rio de Janeiro ou São Paulo é múltiplo de 12.


16. (UPENET) O departamento de trânsito de uma dada localidade decidiu recentemente identificar todas as bicicletas da cidade por placas, de tal forma que a primeira letra da placa identifique o bairro onde o proprietário da bicicleta reside (a cada bairro é atribuída uma única letra, e bairros diferentes possuem letras diferentes). Também foi decidido que o último dígito numérico da placa é um dígito verificador igual ao dígito das unidades do número formado pela soma dos dígitos anteriores da placa. Se a placa for da forma LLNNN em que 'L' representa uma letra maiúscula do alfabeto de 26 letras, e 'N' é um dígito (ou seja, um número natural variando no intervalo 0...9), se a localidade possui apenas 8 bairros, então o maior número de bicicletas que podem ser identificadas, de tal forma que, obedecendo às determinações anteriores, a cada bicicleta corresponda uma placa única e diferente de todas as demais, é de

(A) 67.600 placas.

(B) 20.800 placas.

(C) 58.500 placas.

(D) 56.300 placas.

(E) 10.400 placas.

17. (Funcab) Um Analista de Trânsito do DETRAN, apaixonado por matemática, resolveu pesquisar os Palíndromos e descobriu que os números naturais são chamados de palíndromos se


seus algarismos, escritos em ordem inversa, produzem o mesmo número. Por exemplo, 5, 33, 171, 9779 são palíndromos.

Então ele utilizou esses conhecimentos para descobrir o número de placas licenciadas de automóveis com 3 letras e 4 algarismos que possuem 3 vogais distintas e números palíndromos ímpares, de 4 algarismos.

O número de placas com 3 vogais distintas e números palíndromos ímpares de 4 algarismos que ele encontrou foi:

(A) 1250

(B) 1500

(C) 3000

(D) 6000

(E) 1200

18. (Cesgranrio) Em uma fábrica de bijuterias são produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura.

As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes?

(A) 336

(B) 392

(C) 448

(D) 556

(E) 612


Beijo no papai e na mamãe,

PH

[email protected]

http://beijonopapaienamamae.blogspot.com

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Gabarito:

Princípio Fundamental da Contagem

1. A 2. E 3. C 4. V-F-V 5. B 6. A

7. C 8. E 9. V-F 10. D 11. C 12. A

13. F-V 14. C 15. F–V 16. B 17. C 18. B

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