iUFPR UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANDEPARTAMENTO DE MATEMTICAPET PROGRAMA DE EDUCAO TUTORIALTutor: Eduardo Outeiral Correa HoefelPetianos: Bruno SuzukiCarlos Alberto Rezende de Carvalho JniorCarolina de Almeida Santos PinottiDuarte Kenyu Murakamirika Sathie TakatsukiIsabella Cordeiro BruzJnio Jesus de CardosoLarissa KovalskiLuana LealLucas de SiqueiraMatheus Augusto Bannack DinizThamara PetroliSite: http://petmatufpr.wordpress.com/Telefone: (41) 3361-3672Data do Curso: 11 a 14 de Julho de 2011Horrios: das 9h s 12h30 (turma da manh)das 14h s 17h30 (turma da tarde)Local de Realizao: Centro Politcnico - UFPRCuritiba, 2011.iiSumrioI Matemtica Bsica 11 Fraes 31.1 Adio e Subtrao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Multiplicao e Diviso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Potenciao 92.1 Denio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Prncipio da Contagem 113.1 Princpio Fundamental da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Princpio Aditivo da Contagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Fatorial 134.1 Denio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14II Probabilidade 155 Histria 176 Conceito de Probabilidade 196.1 Denices Bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196.2 Regras ee ou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2.1 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2.2 Denies e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.3 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Curiosidade 258 Exerccios Complementares 27III Anlise Combinatria 359 Introduo 37iiiiv SUMRIO9.1 Princpio da Multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389.2 Arranjos com repetio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399.3 Arranjos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010 Permutao simples 4511 Combinaes 4712 Jogo da Senha 4912.1Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.2Como funciona o jogo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4912.3Analisando o jogo matematicamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51IV Matrizes 5313 Matrizes 5513.1Propriedades de Operaes com Matrizes. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5613.1.1 Adio e Subtrao. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5613.1.2 Multiplicao por Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5713.1.3 Produto de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5714 Probabilidades 5915 Cadeias de Markov 6316 Exerccios 6717 Cubo Mgico 71V Polinmios e suas Aplicaes 7318 Polinmios 7518.1Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7518.2Identidade de Polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7618.3Soma e Multiplicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7618.4Valor numrico - Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7818.5Diviso de polinmios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7818.5.1 Mtodo 1: Mtodo da Chave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7918.5.2 Mtodo 2: Identidade de Polinmios (Descartes). . . . . . . . . . 8018.5.3 Mtodo 3: Algoritmo de Briot-Runi . . . . . . . . . . . . . . . . 8118.6Fatorao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8219 Binmio de Newton 8519.1Motivao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8519.2O binmio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8519.3O termo geral de um binmio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86SUMRIO v20 Exerccios 8921 Aplicaes 9321.1Distribuio Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9321.2Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Referncias Bibliogrcas 97vi SUMRIOParte IMatemtica Bsica1Captulo 1FraesAntes de iniciar o estudo de Anlise Combinatria e Probabilidade, devemos nos recor-dardealgunscontedosquesoabasenecessriaparaoestudodaquelasduasreas.Esses contedos so: Fraes e Fatorial. Nos dois captulos a seguir iremos tratar dessesdois assuntos da matemtica com o intuito de relembrar suas propriedades bsicas, queso primordiais para o pleno aprendizado de combinaes, arranjos, probabilidade e per-mutaes.Muitas pessoas pensam que determinados assuntos da Matemtica no so to im-portantes quanto outros, como as Fraes, por exemplo. Mas as fraes so um contedobase da matemtica, que ser revisto diversas vezes e muitas dessas vezes no ser relem-brado, apenas cobrado. Ento faz-se importante o bom aprendizado quando ensinado,no Ensino Fundamental. Como esse assunto muitas vezes no muito bem passado aosalunos nessas sries, vamos relembrar para que no haja dvidas quanto a isso nesse curso.As fraes esto sempre presentes no dia-a-dia das pessoas. Muitos acham que no,mas na realidade esto. fcil encontrar um problema que precisamos resolver somandoalgumasfraesdealgumprodutooualimento, ouentodividirumchocolate, umapizza, entre diversas pessoas, por exemplo. A seguir vamos introduzir as propriedades defraes, como devemos proceder no caso de querermos somar ou subtrair, multiplicar oudividir frao por frao. Mas, antes, vamos introduzir um problema para ver o quantosabemos sobre fraes.Problema 1.1.Na classe de Marcos, Josu e Lgia h 30 alunos, dos quais 18 so meni-nos. Comoindicaraquantidadedemeninosemrelaoaototaldealunosdaclasse?Podemos responder a essa questo de trs maneiras diferentes:1a) Na forma de frao:18 em30 183022=91533=351Problema tirado da referncia [2]34 CAPTULO 1. FRAESb) Na forma decimal:18 em30 183033=610= 0, 6c) Na forma de porcentagem:18 em30 183022=6101010=60100= 60%1.1 Adio e SubtraoPara somar e subtrair fraes devemos utilizar o seguinte algoritmo:ab cd=mmc(b,d)abmmc(b,d)cdmmc(b, d)Ou seja, para entendermos melhor, vamos resolver alguns exerccios:2Exerccio 1.1.1.Dadosx = 15,y= 12ez=13, calcule:a) x + yb) x + zc) x yd) x ze) x +yf) x +zg) x + y +zh) x y zi) x yj) y zExerccio 1.1.2.Dadosx = 12,y= 13ez= 14, calcule:a) x + (y + z)b) x (y + z)c) y (x + z)2Exerccios retirados da referncia [3]1.2. MULTIPLICAO E DIVISO 5d) (z x) + ye) (x +y) zf) z (x y)Temos ento, pelo Exerccio 1.1.2 que as propriedades associativas e comutativas queso vlidas para os nmeros inteiros, sero tambm vlidas para os racionais.1.2 Multiplicao e DivisoAgora que j pudemos relembrar bem como somar e subtrair fraes, vamos relembraramultiplicaoediviso. Damesmaformaquesomaredividir, introduziremosumalgoritmo para essas outras duas operaes:- Multiplicao:ab cd=a cb d- Diviso:ab:cd=ab dc=a db cResolva os exerccios a seguir:3Exerccio 1.2.1.Calcule o produto:a)12 13 _85_b)_23__14__37_c)15 37 109d)_34_616 0e) (1) _89__65_f) 0 _57_16Exerccio 1.2.2.Determine o valor das expresses:a)_5 +12_ 63Exerccios tirados da referncia [3]6 CAPTULO 1. FRAESb) 8 +_54_12c) 6 _12_83d)_425__512_34e)34 _14__163_5 _19__35_f)_15+12_52 _12 14_Exerccio 1.2.3.Efetue as seguintes divises:a) 5 :130b)35:_920_c) 4 :_47_d)_25_ :_52_e) 1 :_58_f) (1, 6) :23g)54: (3)h) (0, 5) :110i)65:3645j)316: (1)Para terminar de relembrar sobre as fraes, resolva este desao:4Desao 1.2.1. O grco de setores ao lado mostra o faturamento mensal de um pequenoshopping. Observe:4Desao retirado da referncia [4]1.2. MULTIPLICAO E DIVISO 7- Alimentao:18do faturamento- Eletrodomsticos:14do faturamento- Roupas:716do faturamento- Brinquedos: (?) do faturamentoEncontre a frao correspondente ao faturamento do setor de brinquedos.8 CAPTULO 1. FRAESCaptulo 2Potenciao2.1 DenioDenio 2.1 (Potncia de expoente inteiro).Sendoa um nmero real en um nmerointeiro, tem-se que:an= a a . . . a. .nfatores, sen > 1a1= aa0= 1an=1anExemplo 2.1.a) (2)3= (2) (2) (2) = 8b) 53= 5 5 52.2 PropriedadePropriedade 2.1. Dados os nmeros reais a e b e os nmeros inteiros m e n, obedecidasas condies de existncia, temos:I. am an= am+n(conserva-se a base e adicionam-se os expoentes)II. am: an= amn(conserva-se a base e subtraem-se os expoentes)III. (am)n= amn(conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes)IV. (ab)m= am bm(distributiva da potenciao em relao multiplicao)V._ab_m=ambm(distributiva da potenciao em relao diviso)Exemplo 2.2.a) 53 54= 53+4= 57b) 36: 34= 364= 32910 CAPTULO 2. POTENCIAOExerccio 2.1.Calcule os valores das potncias:a) 62b) (6)2c) 62d) (2)3e) 23f) 50g) (8)0h)344i) 344j) 028l) 132m) (1)20n) (1)17o) 42Captulo 3Prncipio da Contagem3.1 Princpio Fundamental da ContagemSe um experimento E apresenta n resultados distintos e um experimento Fapresentak resultados distintos, ento o experimento composto deE eF, nessa ordem, apresentan k resultados distintos.De forma geral, podemos dizer:Sek experimentosE1, E2, . . . , Ektemn1, n2, . . . , nkresultados distintos, ento o expe-rimento composto deE1, E2, . . . , Ek, nessa ordem, apresentan1 n2 . . . nkresultadosdistintos.Sobre essa parte de contagem, vamos resolver alguns exerccios para xar bem a ideia.1Exerccio 3.1.1. Um experimento consiste em lanar um dado e uma moeda sobre umamesa. Um resultado desse experimento o par(5, cara), por exemplo, isto , face 5 nodado e face cara na moeda. Quantos so os possveis resultados desse experimento?Exerccio3.1.2. Umexperimentoconsisteemlanarumdadoeumamoedaereti-rarumaetiquetadeumaurnaquecontmquatroetiquetasdecoresdiferentes: azul,vermelha, pretaebranca. Umresultadodesseexperimento, porexemplo, oterno(5, cara, A), isto , face 5 no dado, face cara na moeda e cor azul na etiqueta. Quantosso os possveis resultados desse experimento?Exerccio3.1.3. Quantosnmerosnaturaispares, dequatroalgarismos, podemserformados com os algarismos 1,2,3,5,7 e 9?3.2 Princpio Aditivo da ContagemTemos que alguns resultados da teoria dos conjuntos so importantes aplicaes na anlisecombinatria. Vamos ento introduzir o clculo do nmero de elementos da unio de doisconjuntos nitos, como:1Exerccios da referncia [1]1112 CAPTULO 3. PRNCIPIO DA CONTAGEMSendoA eBconjuntos nitos,o nmero de elementos da unio deA EB dadopor:n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)em que o smbolon(. . .) representa o nmero de elementos do conjunto indicado entreparnteses.2Observao3.2.1. SeAeBforemconjuntosdisjuntos, ouseja, A B=. Dessaforma, teremos: n(A B) = n(A) + n(B).Resolva os exerccios a seguir:3Exerccio 3.2.1. Dois conjuntos, A e B, so tais que n(A) = 25, n(B) = 29 e n(AB) =10. Determine o nmero de elementos deA B.Exerccio3.2.2. Quantos nmeros naturais pares, menores que4.000, com quatro al-garismos distintos, podem ser formados com os algarismos 0,1,2,3,4,5 e 7?Exerccio3.2.3. Umjornal ter12pginas. Odiagramadordevedistribuir6fotosdiferentesem6pginasdojornal, demodoquenoapareamduasdessasfotosempginasconsecutivas. Dequantasmaneirasdiferentesodiagramadorpodedistribuiressas fotos?2Denio da referncia [1]3Tirados da referncia [1]Captulo 4FatorialAdotamos o smbolo n! (l-se: fatorial de n) quando queremos indicar o produto dosnmeros naturais consecutivosn (n 1) (n 2) . . . 2 1, onden 2. O fatorial surgiuquandohouveanecessidadedemultiplicardiversosnmerosconsecutivosdemaneiramais simplicada. A notao auxilia em problemas que envolvem clculos trabalhosos,permitindo apresentar solues mais abreviadas.4.1 DenioSejan um nmero natural, comn 2. Dene-se o fatorial den, que indicamos porn!,como o produto dos nmeros naturais consecutivos:n, (n 1), (n 2), . . . , 1isto :n! = n (n 1) (n 2) . . . 1Essa denio1nos permite entender os seguintes exemplos:Exemplo 4.1.1. a) 2! = 2 1 = 2b) 3! = 3 2 1 = 6c) 4! = 4 3 2 1 = 24d) 5! = 5 4 3 2 1 = 1204.2 PropriedadeQuando calculamos o fatorial de um nmero natural, podemos perceber que 10! = 10 9!.Generalizando, temos a seguinte propriedade:Propriedade 4.2.1.n! = n (n 1)! = n (n 1) (n 2)! = . . .paran N, comn 3.1Denio da referncia [1]1314 CAPTULO 4. FATORIALPodemos, entretanto, estender a denio de fatorial denindo para n = 0 e n = 1. Dessaforma, denindo1! = 1 e 0! = 1,temosn! = n (n 1)!, n N4.3 ExercciosNesta seo temos mais alguns exerccios para resolver:2Exerccio 4.3.1.Simplicar as fraes:a)8!7!b)8!6!c)3!5!d)7! 9!8! 5!Exerccio 4.3.2.Resolver a equao(n + 1)!(n 1)!= 20.Exerccio 4.3.3.Classique como verdadeira ou falsa cada uma das armaes:I. 3! + 2! = 5!II. 3! 2! = 6!III. 4! + 4! = 2 4!IV. n! = n(n 1)(n 2)!, para todon N en 2V. n! = n(n 1)(n 2)!, para todon NExerccio 4.3.4.Resolva as equaes:a)(n + 2)!n!= 12b)(n + 1)!(n + 3)!=120c)(n 2)!(n 1)!=15Exerccio 4.3.5.Determine o conjunto dos valores den, tais quen! + (n + 1)!(n 1)!= 15.2Retirados da referncia [1]Parte IIProbabilidade15Captulo 5HistriaNo ano de 1654, um jogador da sociedade parisiense, Chevealier de Mre, props aomatemtico Blaise Pascal algumas questes sobre possibilidade de vencer em jogos. Umadas questes foi: Um jogo de dados entre dois adversrios chega ao m quando um dosjogadores vence trs partidas em primeiro lugar. Se esse jogo for interrompido antes donal, de que maneira cada um dos jogadores dever ser indenizado?As reexes as respeitodos problemas propostos por DeMrelevaramPascal acorresponde-se com Pierre de Fermat, o que desencadeou discusses a respeito dos princ-pios de uma nova teoria que veio ser chamada de Teoria das Probabilidades.1718 CAPTULO 5. HISTRIACaptulo 6Conceito de ProbabilidadeUmautomvel sersorteadoentreosclientesdeumshoppingcenter. Paulode-positou50 cupons em uma das urnas espalhadas pelo shopping,e Janete depositou20cupons. Hoje, dia de sorteio, os contedos de todas as urnas foram juntados, formandoum monte com10.000 cupons. Um representante do shoppingvai sortear um cupom. possvel medir a possibilidade de cada um ganhar o automvel. Como Paulo tem50 cupons dentre os10.000 que participam do sorteio, indicamos por5010.000a medidadapossibilidadedePauloganhar; demaneiraanloga, amedidadapossibilidadedeJanetee ganhar 2010.000. As fraes5010.000e2010.000so chamadas de probabilidadede Paulo e Janete ganharem, respectivamente.Esse exemplo ajuda a entender que a probabilidade um nmero que mede a possi-bilidade de ocorrer ou no um resultado.1Entendendooproblemaacimapodemosentenderoquedefatoprobabilidade.A chance de um evento ocorrer em um certo problema, como Qual a chance de choverhoje? poderia ser trocado por Qual a probabilidade de chover hoje?. Ento podemosver que a probabilidade mais comum no nosso cotidiano do que parece.6.1 Denices BsicasDenio6.1.1(ExperinciaAleatria). Consisteemobservarumaamostradeumavarivel aleatria. Por exemplo:lanamento de uma moeda observar a face da moeda,cara ou coroa. Temos duas condies para que a experincia seja aleatria:1. Deve ser possvel repetir indenidamente a experincia;2. Nodeveserpossvel inuenciarnoresultado. Osresultadospodemapresentarvariaesdemodoquesejamrepetidosemcondiesuniformes(equiprovveis)onde se possa ter o controle dos resultados.1Problema tirado da referncia [1]1920 CAPTULO 6. CONCEITO DE PROBABILIDADEDenio6.1.2(Expao amostral ()). o conjunto de todos os resultados possveisde uma experincia aleatria. Esses podem ser de natureza QUALITATIVA ou QUAN-TITATIVA.Denio 6.1.3 (Evento (E)). qualquer subconjunto de , isto , qualquer resultadopossvel da experincia aleatria.Denio 6.1.4 (Clssica de Probabilidade).Dada uma experincia aleatria uniformee equiprovvel, tem-seP(E) =#E#onde #E: nmero de casos favorveise #: nmero total de casos no experimento.Denio 6.1.5 (Axiomtica). Dado uma experincia aleatria denida em , chama-seP(E) a probabilidade de ocorrncia o eventoEdesde que sejam satisfeitas as seguintescondies:(i) 0 P(E) 1(ii) P() = 1(iii)SeE1 eE2 forem mutualmente exclusivos, entoP(E1 E2) = P(E1) + P(E2)Propriedade 6.1.1. 1. Sendo um evento impossvel,P() = 02. SeE o complementar deE, entoP(E) + P(E) = 13. Dado um eventoE qualquer, ento P(E) = 1.4. Sejam E1 e E2 eventos quaisquer no mesmo espao . Se E1 E2, ento P(E1) P(E2)Veja os exemplos a seguir:2Exemplo 6.1.1.No experimento aleatrio lanamento de uma moeda, temos com es-pao amostral o conjuntoE= {c, k}, em quec representa a face caraek a face coroa.Indicamos o nmero elemento deE pelo smbolon(E) assim: n(E) = 2.O conjuntoA = c um evento deE. Note quen(A) = 1Exemplo 6.1.2. No experimento lanamento de um dado temos como espao amostralo conjuntoE= 1, 2, 3, 4, 5, 6. Portanto: n(E) = 6.O conjuntoB= 1, 2 um evento deE. Note quen(B) = 2.2Exemplos tirados da referncia [1]6.2. REGRAS EE OU 21Exemplo 6.1.3. No experimento lanamento de dois dados, temos como espao amostralo conjunto:E = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), . . . , (1, 6),(2, 1), (2, 2), (2, 3), . . . , (2, 6),(3, 1), (3, 2), (3, 3), . . . , (3, 6),...(6, 1), (6, 2), (6, 3), . . . , (6, 6)}Logo: n(E) = 36.Agora resolva os exerccios a seguir:3Exerccio 6.1.1.No lanamento de uma moeda qual a probabilidade de se obter a facecara?Exerccio 6.1.2.No lanamento de um dado, qual a probabilidade de se obter, na facevoltada para cima, o nmero de pontos igual a trs?Exerccio 6.1.3. Uma urna contm exatamente 1000 etiquetas, numeradas de 1 a 1000.Retirando uma etiqueta dessa urna qual a probabilidade de obtermos um nmero menorque 51?Exerccio 6.1.4.Um dado lanado trs vezes.a)O espao amostral E desse experimento formado por termos ordenados, que indicamonmerodepontosobtidosemcadalanamento, porexemplo: (6,6,3). Usandoo princpio fundamental de contagem, calcule o nmero de elementos desse espaoamostral.b)Calcule a probabilidade de se obter nos trs lanamentos o mesmo nmero de pontos.Exerccio 6.1.5. Uma urna contm bolas coloridas. Retirando-se um bola dessa urna, aprobabilidade de se obter uma bola vermelha 0, 64. Qual a probabilidade de se obteruma bola que no veja vermelha?6.2 Regras ee ou6.2.1 PropriedadePropriedade 6.2.1.1.SejamE1, E2 dois eventos aleatrios.1. Se queremos que a probabilidade deE1 eE2 ocorrerem de:P(E1) P(E2).2. Se queremos que a probabilidade deE1 ouE2 ocorrerem de:P(E1) + P(E2).3Exerccios da referncia [1]22 CAPTULO 6. CONCEITO DE PROBABILIDADEExerccio 6.2.1.1.No lanamento de duas moedas, qual a probabilidade de se obteremuma cara e uma coroa?Exerccio 6.2.1.2.No lanamento de dois dados, qual a probabilidade de se obter, nasfaces voltadas para cima, a soma dos pontos igual a cinco?6.2.2 Denies e ExemplosDenio6.2.2.1(AdiodeProbabilidades). SejamAeBeventosdeumespaoamostral Enitoenovazio. AprobabilidadedeocorrerumelementodeAouumelemento deB, indicada por: P(A B), :P(A B) =n(A B)n(E)Exemplo 6.2.2.1. Uma urna contm 5 bolas vermelhas, 3 bolas azuis e 4 bolas brancas.Retira-se ao acaso uma bola da urna. Qual a probabilidade de sair uma bola vermelhaou uma bola azul?Resoluo:E = {x; x a bola da urna},n(E) = 12.Consideremos dois eventos:A = {y E; y bola vermelha},n(A) = 5 e B = {z E; z bola azul},n(B) = 3.Observa-se queA eB so mutuamente exclusivos, isto ,A B= . Logo, temos:P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) =512+312=23Denio 6.2.2.2 (Probabilidade Condicional). A probabilidade de ocorrer o evento B,dado que ocorreu o eventoA, indicada por: P(B/A), l-se: probabilidade de B dadoA, e calculada por:P(B/A) =n(A B)n(A)Exemplo6.2.2.2. Uma moeda lanada duas vezes. Vamos calcular a probabilidadede obtermos cara no segundo lanamento sabendo que obtivemos cara no primeiro lana-mento.Resoluo:Temos dois eventos a considerar: cara no primeiro lanamento, B= {(C, C)(C, K)} ecara no segundo lanamento,A = {(C, C)(K, C)}.Como sabemos que ocorreu o eventoB, temos que o eventoA s pode ter ocorrido nainterseo deA eB:P(A/B) =n(A B)n(B)=12.6.3. EXERCCIOS 23Denio6.2.2.3 (Multiplicao de Probabilidade).SeA eB forem eventos indepen-dentes, entoP(A B) = P(A) P(B)Exemplo 6.2.2.3. Uma urna contm exatamente 7 bolas:4 azuis e 3 vermelhas. Retira-se ao acaso, uma bola da urna registra-se sua cor e repe-se a bola na urna.A seguir retira-se, novamente ao acaso, uma bola da urna registra-se sua cor. Qual a probabilidade desair uma bola azul e depois uma vermelha?Resoluo:Queremos que a primeira bola retirada seja azul e a segunda vermalha. A probabilidadeda primeira bola ser azul 47, e a probabilidade de e a segunda bola ser vermelha 37.Assim, a probabilidade de obtermos a sequncia azul e vermelha : P=47 37=1249.6.3 ExercciosExerccio6.3.1. Nagndoladeumsupermercadohsomentesabonetesazuisoudamarca Tux, num total de 140 unidades, sendo 80 azuis e 100 na marca Tux. Retirando-seao acaso um sabonete desta gndola, qual a probabilidade de se obter um sabonete azulda marca Tux?Exerccio6.3.2. Uma urna contm 2 bolas brancas,3 verdes e 4 azuis. Retirando-seao acaso uma bola da urna, qual a probabilidade de se obter uma bola branca ou umabola verde?Exerccio6.3.3. Uma pesquisa feita com 70 pessoas revelou que 35 j consumiram oprodutoA,50jconsumiramoprodutoBe5aindanoconsumiramnemAnemB.Escolheu-se uma dessas 70 pessoas, ao acaso, constatando-se que ela j havia consumidoo produto A. Qual a probabilidade que essa pessoa tambm tenha consumido o produtoB?Exerccio 6.3.4. Uma moeda lanada 8 vezes.Considera-se como resultado a sequnciaformada pelas faces da moeda voltada para cima, cara (C) ou coroa (K), na ordem doslanamentos. Qual a probabilidade de ocorrer uma sequncia com 5 caras e 3 coroas?24 CAPTULO 6. CONCEITO DE PROBABILIDADECaptulo 7Curiosidade1- O aniversrio de algumversusum certo aniversrioAs surpreeendentes semelhanas das coincidncias so perfeitamente ilustradas como seguinte resultado probabilstico, alis, bastante conhecido: como o ano tem trezentose sessenta e seis dias (se contarmos o dia 29 de Fevereiro), teriam de se reunir trezentase sessenta e sete pessoas para podermos ter a certeza absoluta de que pelo menos duasdelas partilham a mesma data de aniversrio. Por qu?Suponhamos que nos contentvamos com um grau de certeza de cinquenta por cento.Quantas pessoas teramos de ter no grupo para que a probabilidade de haver duas delascom a mesma data de aniversrio se concretizasse? Uma primeira suposio apontariapara cento e oitenta e trs,isto , perto de metade de trezentos e sessenta e cinco. Aresposta, surpreendente, de que s precisamos de vinte e trs pessoas. Dito de outraforma, em metade das ocasies em que se renem vinte e trs pessoas escolhidas ao acaso,duas ou mais compartilharo a mesma data de nascimento.Para os leitores que no quiserem aceitar este fato do p para a mo, aqui deixo umacurta derivao. De acordo com o princpio da multiplicao, o nmero de maneiras emque cinco datas podem ser escolhidas (permitindo-se repeties) de (365 365 365 365 365). De todas estas3655maneiras,contudo,s (365 364 363 362 361)podemcoexistirdemodoaquenohajaduasdatasiguais; qualquerdostrezentosesessenta e cinco dias pode ser escolhido em primeiro lugar, o mesmo sucedendo com osretantes trezentos e sessenta e quatro para o segundo lugar, e assim por diante. Destemodo, se dividirmos este ltimo produto (365364363362361) por 3655, obtemosaprobabilidadedecincopessoasescolhidasaoacasonoterememcomumadatadenascimento. Orabem, sesubtrairmosestaprobabilidadeaumn(ouacemporcento,se estivermos a trabalhar com percentagens), obtemos uma probabilidade complementarem que pelo menos duas das cinco pessoas tm a mesma data de nascimento. Um clculosemelhante, mas usando vinte e trs pessoas no lugar de cinco, d-nos12, ou cinquentapor cento, como probabilidade para que pelo menos duas das vinte e trs pessoas tenhama mesma data aniversria.1Texto tirado integralmente da referncia [5]2526 CAPTULO 7. CURIOSIDADEAqui h dois anos atrs, um convidado do programa de Johnny Carson tentou explicarestes fatos. Johnny Carson no acreditou no que o convidado disse; no entanto, depoisde observar que havia cerca de cento e vinte pessoas no estdio a assistirem ao programa,perguntouquantasdelasfaziamanosnumdiaqualquer, nestecasoem19deMaro.Ningum levantou o brao, e o convidado, que no era um matemtico, disse qualquercoisaincompreensvel emsuadefesa. Aquiloquedeviaterditoquesonecessriasvinte e trs pessoas para termos cinquenta por cento de certeza em como h algum diade nascimento em comum, e no um certo aniversrio especco em comum, como o dia19 de Maro proposto por Carson. Para termos cinquenta por cento de certeza de quealgum no grupo compartilha o dia 19 de Maro como data de nascimento, precisamosde um nmero maior de pessoas, duzentos e cinquenta e trs para sermos exatos.Uma breve derivao deste ltimo aspecto: como a probabilidade do aniversrio deuma dada pessoa no cair no dia 19 de Maro de364365, e como as datas de nascimentosoindependentes, aprobabilidadededuaspessoasnoteremambasnascidoa19deMaro de364365 364365. Assim, a probabilidade de N pessoas no compartilharem o dia19 de Maro como data de nascimento igual a_364365_N, o que, quandoN=253, nosd um valor muito prximo do12. Portanto, a probabilidade complementar de que pelomenos umadessas duzentas e cinquentae trs pessoas tenhanascidoa19de Marotambm de12, ou cinquenta por cento.Captulo 8Exerccios ComplementaresExerccio 8.1.Uma moeda lanada trs vezes.a) Indicandopor Ce Kasfacescaraecoroa, respectivamente, contruaoespaoamostralE desse experimentob) Qual a probabilidade de se obterem pelo menos duas caras?c) Qual a probabilidade de se obterem no mximo duas caras?Exerccio 8.2.Formam-se todos os nmeros naturais de cinco algarismos distintos comos algarismos, 1, 2, 3, 4, e 5. Sorteando-se um desses nmeros, qual a probabilidade dese obter um nmero par?Exerccio 8.3. Uma urna contm precisamente nove bolas:3 brancas, 2 pretas e 4 azuis.Retirando-se trs bolas da urna, uma de cada vez e com reposio, calcule a probabilidadede sarem:a) A primeira bola branca, a segunda bola preta e a terceira bola azul;b) Trs bolas de cores diferentes;c) Trs bolas azuis.Exerccio8.4. Considerando todas as retas determinadas pelos oitos vrtices do cuboABCDEFGH abaixo. Sorteando-se uma dessas retas, qual a probabilidade de que elapasse pelo vrtice G?2728 CAPTULO 8. EXERCCIOS COMPLEMENTARESExerccio8.5. No lanamento de cinco dados,calcule a probabilidade de que a somados pontos obtidos nas faces voltadas para cima no ultrapasse o valor 30.Exerccio 8.6. O segmento AB o dimetro da circunferncia ao lado. Sorteando-se umtringulo com vrtices em trs dos pontos, A, B, C, D, E, F e G, calcule a probabilidadede que esse tringulo no seja retngulo.Exerccio8.7. Umdadolanadotrsvezes. Oresultadodoexperimentooternoordenado (x, y, z) em que x, y e z so os nmeros de pontos obtidos no primeiro, segundoe terceiro lanamento, respectivamente.a) Qual a probabilidade de se obter um termo em que o produto de trs nmerosseja mpar?b) Qual a probabilidade de se obter um termo em que o produto de trs nmerosseja par?Exerccio 8.8.A probabilidade de um piloto vencer uma corrida o triplo da probabi-lidade de perder. Qual a probabilidade de que esse piloto vena a corrida?Exerccio 8.9.(UFPE) Uma prova de Matemtica constituda de 16 questes do tipomltipla escolha, tendo cada questo 5 alternativas, das quais deve ser assinalada comorespostaapenas uma. Respondendoao acasotodasas questes, o nmerode maneirasdiferentes que se pode preencher o carto de resposta ?29Exerccio8.10.Cada linha telefnica de uma cidade identicada por uma sequnciade sete algarismos, com os trs primeiros no nulos e distintos entre si, podendo haverrepeties dentre os demais algarismos. A partis do prximo ms, cada linha ser identi-cada por uma sequncia de oito algarismos, com os trs primeiros no nulos e distintosentresi, podendohaverrepetiodentreosdemaisalgarismos. Comessamudana, oacrscimo no nmero de linhas telefnicas dessa cidad ser?Exerccio 8.11. Uma urna contm quatro bolas azuis, numeradas de 1 a 4, e cinco bolasamarelas, numeradas de 1 a 5. Sorteando-se um bola dessa urna, qual a probabilidadede que seja azul ou tenha nmero mpar?Dica: Resolva esse problema de dois modos diferentes: primeiro aplicando o teorema daadio de probabilidade; depois, aplicando apenas a denio de probabilidade.Exerccio 8.12.Um nmero ser sorteando dentre os nmeros naturais de 1 a 1.000. Aprobabilidade de que saia um nmero par ou um nmero de dois algorismos . . .?Exerccio 8.13.Dentre os automveis estocados o ptio de uma montadora, escolhe-seum, aoacaso. Aprobabilidadedequeoautomvel escolhidotenhafreioABS58, aprobabilidade de que ele tenha direo hidrulica 23e a probabilidade de que ele tenhafreio ABS e direo hidrulica 1124. A probabilidade de que esse automvel tenha freioABS ou direo hidrulica ?Exerccio 8.14.Dois eventos, A e B, de um espao amostral E so mutuamente exclu-sivos. Sabendo queP(A B) =23e queP(A) =P(B)4, calculeP(B).Exerccio 8.15.Um dado foi lanado sobre uma mesa, considerando-se como resultadoonmerodepontosdefacevoltadaparacima. ConsidereEoespaoamostral desseexperimento, e os eventosA = {x E|x < 5} eB= {y E|y> 2}a) Represente em um diagrama os conjuntos E, A e B.b) Calcule a probabilidade de, nesse lanamento, ter ocorrido um nmero maior que2, sabendo que ocorreu um nmero menor que 5.Exerccio 8.16.Calcule:a) 7!b) 3! 2!c) 4! 2!30 CAPTULO 8. EXERCCIOS COMPLEMENTARESd)0!3!Exerccio 8.17.Dois eventos, A e B, de um espao amostral equiprovvel E, nito, sotais queP(A B) =35eP(A) =23. CalculeP(B/A).Exerccio8.18. Deumaurnacomexatamente5bolasdecoresdiferentes, azul, ver-melha, verde, marrom e preta so sorteadas 2 bolas, uma de cada vez.a) Sabendo que na primeira retirada saiu uma bola vermelha e que esta foi reposta naurna, calcule a probabilidade de a segunda bola retirada se vermelha.b) Sabendo que na primeira retirada saiu uma bola vermelha e que esta no foi repostana urna, calcule a probabilidade de a segunda bola retirada ser vermelha.Exerccio8.19. Uma urna contm exatamente 7 bolas: trs brancas, e quatro pretas.Retirando-se sucessivamente e sem reposio trs bolas; qual a probabilidade de:a) Sarem as duas primeiras bolas pretas e terceira branca?b) Sarem duas bolas pretas e uma branca?c) Sair pelo menos uma bola branca?Exerccio8.20.Uma urna contm 6 bolas de cores diferentes entre si, sendo que umadelasvermelha. Retiram-se4bolasdessaurna, umadecadavezesemreposio.Considerandoaordemderetirada, quantassequnciasdecoressopossveisdemodoque a primeira bola retirada no seja vermelha?Exerccio 8.21.(UFC - CE) Considere os nmeros inteiros mpares maiores que 64.000quepossuemcincoalgarismos, todosdistintos, equenocontmosdgitos3e8. Aquantidade desses nmeros ?Exerccio8.22. Dispe-se de 6 cores de tinta,sendo uma delas amarela. De quantasmaneiras diferentes pode-se pintar um painel composto de quatro quadradinhos consecu-tivos, de modo que cada quadradinho tenha uma s cor, no haja dois quadradinhos adja-centes com a mesma cor e o primeiro quadradinho da esquerda seja amarelo, podendo-serepetir uma ou mais cores tantas vezes quantas forem possveis?Exerccio 8.23.(UEL - PR) Devido ameaa de uma epidemia de sarampo e rubola,os 400 alunos de uma escola foram consultados sobre as vacinas que j haviam tomado.Do total, 240 haviam sido vacinados contra sarampo e 100 contra rubola, sendo que 80nohaviamtomadonenhumadessasvacinas. Tomando-seaoacasoumalunodessaescola, a probabilidade de ele ter tomado as duas vacinas e?31Exerccio8.24. (Cesgranrio) Odispositivoqueacionaaaberturadocofredeumajoalheriaapresentaumtecladocomnoveteclas, sendocincoalgarismos(0, 1, 2, 3, 4)equatroletras(X, Y, Z, W). Osegredodocofreumasequnciadetrsalgarismosseguidos de duas letras. Qual a probabilidade de uma pessoa, numa nica tentativa,ao acso abrir o cofre?Exerccio 8.25. (Enem - Mec) Um municpio de 628 km2 atendido por duas emissorasde rdio cujas antenas A e B alcanam um raio de 10 km do municpio, conforme mostraa gura abaixo. Para orar um contrato publicitrio, uma agncia precisa avaliar a pro-babilidade que um morador tem de, circulando livremente pelo municpio, encontrar-sena rea de alcance de pelo menos uma das emissoras. Essa probabilidade de, aproxi-madamente?Exerccio8.26. (Unopar-PR)Cadaumadasdezquestesdeumaprovaapresentaumanicaarmao, quedeveserclassicadacomV(verdadeira)ouF(falsa). Umaluno. que nada sabe sobre a matria, vai responder a todas as questes ao acaso. Aprobabilidade que ele tem de no tirar zero ?Exerccio8.27. Emumaconfernciaestoreunidos cincomulheres esetehomens,matemticos; quatromulhereseoitohomens, fsicos; seismulheresequartohomens,qumicos. Umapessoaescolhida, aoacaso, parapresidir aconferncia. Qual aprobabilidade de que essa pessa seja mulher ou matemtico(a)?Exerccio8.28. Uma pesquisa realizada entre 50 leitores de jornais. Conclui-se que35 pessoas lem o jornal A, 34 lem o jornal B e 3 lem outro jornal. Escolhida ao acasouma dessas 50 pessoas, qual a probabilidade de que ela seja leitora dos jornais A e B?Exerccio8.29. Ums pesquisa realizadaa em dois bancos A e B, revelou que 40% dosfuncionriosdobancoAe30%dosfuncionriosdobancoBtmnvel universitrio.Escolhendo-se, aleatoriamente, umfuncionriodecadabanco, aprobabilidadedequepelo menos um dos escolhidos tenha nvel universitrio ?32 CAPTULO 8. EXERCCIOS COMPLEMENTARESExerccio 8.30. Duas linhas de nibus ligam duas cidades A e B, e trs linhas de nibusligam as cidades B e C, conforme mostra o esquema abaixoa) De quantas modos diferentes um usurio pode escolher uma sequncia dessas linhas,indo de A para C, passando por B?Dica: Esseexperimentocompostodedoisoutros: primeiroirdeAparaB, edepois de B para C.b) De quantos modos diferentes um usurio pode escolher uma sequncia dessas linhas,fazendo o trajeto de ida e volta de A para C, passando por B, na ida e na volta, demoso que na volta ele no possa usar a mesma linha que usou na ida?Exerccio 8.31.Quantos nmeros naturais de trs algarismos podem ser formados comos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6?Exerccio8.32. Umhackersabequeasenhadeacessoaumarquivosecretoumnmeronatural decincoalgarismosdistintoseno-nulos. Comoobjetivodeacessaressearquivoohackerprogramouocomputadorparatestaressesnmerosumaum,demorando5segundosemcadatentativa. Otempomximoparaqueoarquivosejaaberto . . .?Exerccio8.33. Considereplacasdeautomvel formadasportrsletrasseguidasdequatro algarismos.a) Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A,B, C, D, e com osalgarismos 1, 2, 3, 4 e 5?b) Quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A, B, C, D, e com osalgarismos 1, 2, 3, 4, e 5 sem repetir as letras e os nmeros?c) Quantas placas diferentes podem ser formadas, com pelo menos um algarismo nonulo, dispondo-se das 26 letras do alfabeto e dos 10 algarismos do sistema decimal(inclumos Y, W e K)?Exerccio 8.34. (Uespi)Em um prdio, o nmero de apartamentos habitados o triplo donmero de apartamentos desabitados. Escolhendo-se, aleatoriamente, um apartamentodesse prdio, a probabilidade de que ele esteja desabitado . . .?Exerccio 8.35. Dois conjuntos, A e B so tais que n(A) = 25, n(B) = 29 e n(AB) = 10.Determine o nmero de elementos deA B?33Exerccio8.36.Calcule a quantidade de nmeros naturais compreendidos entre 300 e3.000quepodemosrepresentarutilizandosomenteosalgarismos1, 2, 3, 5, 7, e8, demodo que no gurem algarismos repetitivos.Exerccio8.37. Quantosnmerosnaturaismaioresque4.50edequatroalgarismosdistintos podemos representar com os algarismos 2, 3, 4, 5, 6, e 7?Exerccio 8.38.Simplique as fraes:a)6!3!b)4!6!c)5! 8!4! 7!d)n!(n 1)!e)n!(n + 2)!f)(n 3)!(n 5)!Exerccio 8.39. Em um programa de audirio, o apresentador explica a um participanteque trs etiquetas, numeradas de 1 a 3, foram distribudas em trs envelopaes, sendo quecadaenvelopeestlacradoecontmumanicaetiqueta. Oparticipantedevecolocaros envelopes sobre uma mesa, tentando formar, da esquerda para a direita, a sequnciacrescente: 1, 2 e 3.a) Calculeaprobabilidadedequeos trs envelopes sejamcolocadas nas posiescorretas, isto , o primeiro da esquerda com o algarismo 1, o segundo 2, e o terceirocom o 3.b) Calcule a probabilidade de que sejam colocados apenas dois envelopes nas posiescorretas.Exerccio 8.40.(UnB - DF) Um fazendeiro dispe de um terreno dividido em regies,como na gura ao lado, e pretende cultiv-las de forma que as regies com uma fronteiracomun tenham plantios diferentes. De quantas formas ele pode fazer o plantio, se podeoptar entre milho, feijo, arroz e trigo para cultivar?Exerccio8.41. Quantos nmeros de 7 dgitos,maiores que 6.000.000 podem ser for-mados com os algarismos 0, 1, 3, 4, 6, 7 e 9, sem repeti-los?34 CAPTULO 8. EXERCCIOS COMPLEMENTARESExerccio 8.42.Ao atirar num alvo, a probabilidade de um pessoa acert-lo 35. Quala probabilidade de ela errar?Exerccio8.43. Quantosnmerosnaturaisparesemltiplosde5, com4algarismosdistintos, podem ser formados com os algarismos 0, 2, 3, 5, e 9?Exerccio 8.44.(Enem - MEC) Um fabricante de cosmticos decide produzir trs dife-rentes catlogos de seus produtos, visando a pblicos distintos. Como alguns produtosestaro presentes em mais de um catlogo e ocupam uma pgina inteira, ele resolve fazerumacontagemparadiminuirosgastoscomoriginaisdeimpresso. OscatlogosC1,C2 e C3 tero, respectivamente, 50, 45 e 40 pginas. Comparando os projetos de cadacatlogo, ele verica que C1 e C2 tero 10 pginas em comum; C1 e C3 tero 6 pginasem comum; C2 e C3 tero 5 pginas em comum, das quais tambm estaro em C1. Efe-tuando os clculos correspondentes, o fabricante concluiu que, para a montagem dos trscatlogos, necessitar de um total de originais de impresso iguais a. . .?Exerccio 8.45.Simplique as fraes:a)8!10!b)3! 9!5! 7!c)(n + 4)!(n + 2)!d)(n 5)!(n 7)!e)(n 5)!(n 3)!Exerccio 8.46.O conjunto soluo da equao(x + 2)!3! x!=x!(x 1)!?Exerccio 8.47.Sabendo que8n! =(n + 2)! + (n + 1)!n + 1, o valor den . . .?Exerccio 8.48.Um congresso sobre doenas psicossomticas rene 48 psiquiatras, dosquais18somulheres; 72psiclogos, dosquais53somulheres; e27neurologistas,dos quais 10 so mulheres. Um dos participantes foi sorteado para coordenar os traba-lhos. Sabendo-se que a pessoa sorteada mulher, qual a probabilidade de que ela sejapsiquiatra?Exerccio8.49.Em uma classe de vinte alunos, apenas dois so irmos. Sorteando-sedois alunos nessa classe, qual a probabilidade de os sorteados serem irmos?Parte IIIAnlise Combinatria35Captulo 9IntroduoAanlise combinatria a parte da matemtica onde estudamos as tcnicas de con-tagem de agrupamentos que podem ser feitos com elementos de um dado conjunto. Sobasicamentedoistiposdeagrupamentosquepodemosformar: umemqueselevaemconta a ordem dos elementos dentro do agrupamento e outro onde a ordem dos elementos irrelevante.Por exemplo, se desejamos contar quantas placas de licena de automveis podem serfeitas, constitudas por trs letras seguidas de quatro algarismos, devemos levar em contaa ordem das letras e dos algarismos:Figura 9.1: So placas diferentesJ se nosso problema for contar quantas quinas so possveis de serem sorteadas naloteria de nmeros (loto), observamos que a ordem dos nmeros que compem a quinano importa:01 11 13 91 00 e 91 11 01 00 13 so quinas iguaisSuponhamos aseguintesituao: Umapessoapodebeber gua, refrigeranteoucerveja;em qualquer caso pode escolher entre gelo e sem gelo. Quais as possibilidadesque tem pra beber algo?rvore de Possibilidade ou Diagrama de rvore:3738 CAPTULO 9. INTRODUOguacom gelosem geloRefrigerantecom gelosem geloChcom gelosem geloNoprimeiroevento, sotrspossibilidades; nosegundoevento, soduaspossibili-dades. O nmero de possibilidades do evento composto tomar uma bebida e com gelo ousemgeloserdadopeloprodutodonmerodepossibilidadesdoprimeiroeventopelonmero de possibilidades do segundo evento.SeAoprimeiroevento, n(A)=3eBosegundoevento, n(B)=2. Oeventocomposto por A e B sern(A) n(B) ou3 2 = 6 Anal, posso beber:1. gua sem gelo2. gua com gelo3. Refrigerante sem gelo4. Refrigerante com gelo5. Ch sem gelo6. Ch com geloSe um evento composto por duas ou mais etapas sucessivas e independentes de talmodoqueasejaonmerodepossibilidadesdaprimeiraetapaebsejaonmerodepossibilidades da segunda etapa, ento ab o nmero total de possibilidades do eventoocorrer.Exemplo 9.1. Quantos so os nmeros de cinco algarismos que podemos formar com ossmbolos1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?9.1 Princpio da MultiplicaoSuponha que voc est se arrumando para sair, mas voc est em dvida sobre qual parde meia e qual par de tnis voc vai calar dentre quatro pares de meia (branca, verde,amarelaeroxa)edoisparesdetnis(pretoecinza). Dequantasmaneirasdiferentes9.2. ARRANJOS COM REPETIO 39voc poder se vestir usando um par de meia e um par de tnis?H quatro possibilidades de voc escolher um par de meia e para cada uma delas hduasparaescolherumpardetnis. Ento, vocpodesevestirde4 2=8maneirasdiferentes.De modo geral,o princpio multiplicativo diz que se um acontecimento ocorrer porvrias etapas sucessivas e independentes, de tal modo quep1 o nmero de possibilidades da etapa 1p2 o nmero de possibilidades da etapa 2...pk o nmero de possibilidades da k-sima etapaento o nmero total de possibilidades de o acontecimento ocorrer p1 p2 . . . pk.Observao 9.1.Isso no nada mais do que uma aplicao do princpio fundamentalda contagem.9.2 Arranjos com repetioImaginem uma caixa com uma bola vermelha, uma branca e outra azul, que chamaremosdeV , BeArespectivamente. Tiramosumaboladacaixa, observamosasuacor, eento a colocamos de volta na caixa. Da, de novo, tiramos uma bola e observamos suacor. Quantas possveis sequncias de cores poderamos ter observado, levando em contaa ordem?Resposta: VV, VB, VA, BB, BV, BA, AA, AV, AB = 9 sequnciasNesse caso tnhamos um conjuntoC= {V, B, A} de trs elementos, e duas ocasiesem que poderiam ser retirados qualquer um dos trs elementos, isto , em cada um doseventos que tiramos uma bola temos a mesma chance de tirar qualquer uma delas. Logo,pelo princpio da multiplicao, o nmero possvel de sequncias 3 3 = 32= 9.De modo geral, se temos um conjunto C= {a1, a2, a3, . . . , an} de n elementos (n N)e fazemos um arranjo comr repeties temos que o nmero possvel de sequncias An,r= n n n . . . n = nrNotequeessecasoresolveapenasaquelasocasiesemquetodososeventostemomesmo nmero de possibilidades.Veja outros exemplos a seguir:Exemplo 9.2.1. Se jogamos um dado trs vezes, quantas combinaes possveis podemoster?Soluo: Lembre que um dado tem seis faces, cada uma com um nmero diferente.Odadojogadotrsvezeseemcadaumdesseseventospodemosobterseisnmerosdiferentes. Ento o nmero de combinaes possveis :6 6 6 = 63= 216.40 CAPTULO 9. INTRODUOExerccios 9.2.1. Suponha que uma senha de e-mail seja formada por oito dgitos sendotodos eles nmeros de 0 a 9. Quantas senhas diferentes podemos ter?Exerccios 9.2.2. Um cofre possui um disco marcado com os dgitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.O segredo do cofre formado por uma sequncia de quatro dgitos. Se uma pessoa tentarabrir o cofre, quantas tentativas dever fazer, no mximo, para conseguir abr-lo?Exerccios 9.2.3. Dispomos de 8 cores e queremos pintar uma bandeira de 5 listras, nosendonecessrioqueaslistrassejamtodasdecoresdistintas. Dequantasformasissopode ser feito?9.3 Arranjos simplesSuponha que voc esteja assistindo uma corrida de tartarugas. O nome das tartarugasso Walter, Josh, Carter e Billy. Vamos represent-los por W, J, C e B respectivamente.Queremossaberquantospossveistrsprimeiroslugarespodemoster. Podemosfazeruma rvore de possibilidades:9.3. ARRANJOS SIMPLES 41Contando, o resultado 24, que o mesmo que4 3 2 e logo veremos o porqu.Antes vamos generalizar esse caso. Note que no exemplo anterior tnhamos um con-juntoC= {W, J, C, R} de quatro tartarugas disputando os trs primeiros lugares.A isso chamamos de um arranjo simples de 4 elementos 3 a 3, e pode ser indicado porA4,3 ouA34 que, como j vimos, deu 24 possibilidades. Para primeiro lugar podamos terquatro tartarugas diferentes. Supondo que um desses fosse o primeiro colocado, teramosoutros trs para ser o segundo colocado. Ainda supondo que um desses fosse o segundo,teramos outros dois para ser o terceiro. Pelo princpio fundamental da contagem, temosqueA4,3= 4 3 2 = 24.Agora, ento, suponha que tenhamos um conjuntoC= {a1, a2, a3, . . . , an} den ele-mentos, n N. Chamamos de um arranjo simples dosn elementos deC, p ap, isto ,An,p comp N ep n, toda sequncia ou agrupamento dep elementos distintos deC.Pergunta: como calculamos esse arranjo den elementosp ap, isto ,An,p?Resposta: seguindo o mesmo princpio usado com as tartarugas:Se ns temos uma combinao dep elementos distintos dentren elementos distintos,usaremos o seguinte raciocnio para calcular as combinaes possveis:Na primeira escolha, isto , no primeiro evento, podemos escolher dentre n elemen-tos. No segundo evento podemos escolher n elementos menos o que foi escolhido no42 CAPTULO 9. INTRODUOprimeiro evento, ou seja,n 1 elementos. No terceiro evento podemos escolhernelementos menos os que foram escolhidos no primeiro e no segundo evento, ou seja,n2 elementos. Seguindo esse processo at completarmos os p elementos, teremosque o p-simo elemento sern (p 1) oun p + 1Ento, pelo princpio fundamental da contagem, temosAn,p= n(n 1)(n 2) . . . (n p + 1)Se multiplicarmos e dividirmos o lado direito da igualdade por(n p)! obteremosAn,p= n(n 1)(n 2) . . . (n p + 1)(n p)!(n p)!=n!(n p)!E nalmente, usando as propriedades de fatorial obtemosAn,p=n!(n p)!.Exemplo 9.3.1.Calcule:a) A7,3b)A5,4 +A3,2A4,2A2,1Soluo: Pela frmula dadaAn,p=n!(n p)!temosa)A7,3=7!(7 3)!=7!4!=7 6 5 4!4!= 7 6 5 = 240b)A5,4 +A3,2A4,2A2,1=5 4 3 2 + 3 24 3 2=12610=635Exemplo 9.3.2. Um anagrama um cdigo formado pela transposio (troca) de todasasletrasdeumapalavra, podendoounotersignicadonalnguadeorigem. Porexemplo, LOBO e OLOB so anagramas da palavra BOLO. Agora considere a palavraLISTA.a) Quantos anagramas so formados com as letras dessa palavra?b) Quantos deles comeam por P e terminam por A?c) Quantos contm as letras ST juntas e nessa ordem?9.3. ARRANJOS SIMPLES 43Soluo:a) QueremossaberquantaspalvrasdiferentesdecincoletraspodemosformarcomasletrasL, I, S, T, A. Notequeparaaprimeiraletradecadapalavraexistemcincopossibilidades, para a segundda existem cinco menos a que foi escolhida na primeira,para a terceira existem cinco menos as que foram escolhidas na primeira e na segunda,e assim por diante. Logo temos que o nmero de anagramas A5,5= 5! = 5 4 3 2 1 = 120.b) Como a primeira e a ltima letra j esto xas, temos uma variao com apenas trsletras (I, S, T). Agora, seguindo o mesmo raciocnio do exerccio anterior temos queo nmero de anagramas possveis para esse caso A3,3= 3! = 3 2 1 = 6.c) Se as letras ST carem juntas, nessa ordem, ento as letras ST podem ser consideradascomo uma s letra e, junto com as trs letras restantes, teremos um total de quatroletras para serem agrupadas 4 a 4. Portanto, o nmero de anagramas possveis paraesse caso A4,4= 4! = 4 3 2 1 = 24.Exerccios 9.3.1.Calculea) A6,3b) A10,4c) A20,1d) A12,2Exerccios 9.3.2.Calcule:a)A6,2 +A4,3A5,2A9,2 +A8,1b)A5,2 +A6,1A5,3A10,2A7,3Exerccios 9.3.3.Quantos nmeros de 5 algarismos distintos formamos com os algaris-mos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9?Exerccios 9.3.4.Em um campeonato de futebol, participam 20 times. Quantos resul-tados so possveis para os trs primeiros lugares?44 CAPTULO 9. INTRODUOExerccios9.3.5. Dispomosde8coresequeremospintarumabandeirade5listras,cada listra com uma cor diferente. De quantas formas isso pode ser feito?Exerccios 9.3.6.Considere a palavraFELINO.a) Quantos so os anagramas dessa palavra?b) Quantos comeam com a letraN?c) Quantos terminam por vogal?d) Quantos apresentam as letrasELIjuntas e nessa ordem?e) Quantos apresentam as letrasELIjuntas e em qualquer ordem?Captulo 10Permutao simplesLembre-se do caso dos anagramas. Se tomamos a palavra MITO, por exmplo, vimosque podemos calcular o nmero de anagramas da seguinte forma:Para a primeira letra h quatro possibilidades, na segunda h trs (as quatro letrasmenos a que foi escolhida na primeira), na terceira h duas (as quatro letras menos asque foram escolhidas na primeira e na segunda) e na quarta h uma (a que restou).Veremos que esse caso uma permutao simples.Seja E um conjunto com n elementos.Chama-sepermutaosimplesdosnelementos, qualqueragrupamento(sequncia)denelementosdistintosdeE. Podemos, tambm, interpretarcadapermutaodenelementoscomoumarranjosimplesdenelementostomadosnan, ouseja, p =nobtendoAn,n.O nmero de permutaes simples de n elementos indicado porPn.Pn= An,n Pn=n!(n n)! Pn=n!0!=n!0!entoPn= n!Aspermutaessimplesdenelementosdistintosdiferementresisomentepelaordemdos elementos.Exemplo 10.1.Quantos anagramas tem a palavra BANCO?Soluo: Como a palvra BANCO tem 5 letras, vamos formar anagramas de 5 letrascom B, A, N, C, O.P5= 5! = 5 4 3 2 1 = 120A palavra BANCO tem 120 anagramas.4546 CAPTULO 10. PERMUTAO SIMPLESExemplo10.2.Considere os nmeros obtidos do nmero 12345, efetuando-se todas aspermutaes de seus algarismos. Colocando esses nmeros em ordem crescente, qual olugar ocupado pelo nmero 43521?Soluo:Exerccio 10.1.Quantos so os anagramas da palavra CAF?Exerccio 10.2.Quantos anagramas da palavra EDITORA:a) Comeam com a letra A?b) Comeam com A e terminam com E?Exerccio10.3. CalculeonmerodeanagramasdapalvraCLARAemqueasletrasAR aparecem juntas e nessa ordem?Exerccio 10.4.De quantos modos difeentes podem sentar-se nove pessoas:a) Se todas carem em la?b) Se carem todas em la, mas os lugares extremos forem ocupados pelo mais velho epelo mais novo?Captulo 11CombinaesSejaCumconjuntocommelementosdistintos. Noestudodearranjos, jvimosantesquepossvel escolher pelementosdeA, masquandorealizamostaisescolhaspodeacontecerqueduascoleescompelementostenhamosmesmoselementosemordens trocadas. Uma situao tpica a escolha de um casal (H, M). Quando se falacasal, notemimportnciaaordemdaposio(H, M) ou(M, H), assimnohanecessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Paraevitararepetiodeelementosemgruposcomamesmaquantidadepdeelementos,introduziremos o conceito de combinao.Diremos que uma coleo dep elementos de um conjuntoC comm elementos umacombinaodemelementostomados pap, seascoleescompelementosnotemos mesmos elementos que j apareceram em outras colees com o mesmo nmerop deelementos.Aqui temos outra situao particular de arranjo, mas no pode acontecer a repetiodo mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.Isto signica que dentre todos os A(m, p) arranjos com p elementos, existem p! dessesarranjoscomosmesmoselementos, assim, paraobteracombinaode melementostomadosp ap, deveremos dividir o nmeroA(m, p) porm! para obter apenas o nmerode arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:C(m, p) =A(m, p)p!Como:A(m, p) = m (m1) (m2) (mp + 1)Ento:C(m, p) =m (m1) (m2) . . . (mp + 1)p!Que pode ser reescrito:C(m, p) =m (m1) (m2) (mp + 1)1 2 3 4 . . . (p 1)Multiplicando o numerador e o denominador desta frao por:(mp)(mp 1)(mp 2) . . . 3 2 14748 CAPTULO 11. COMBINAESQue, como j sabemos, o mesmo que multiplicar por(mp)!, o numerador da fraocar:m (m1) (m2) . . . (mp + 1) (mp) (mp 1) . . . 3 2 1 = m!E o denominador car: p!(mp)!Assim,a expresso simplicada para a combinao dem elementos tomadosp ap,ser uma das seguintes:C(m, p) =_mp_ =m!p!(mp)!Exemplo: M=a, b, c, d. As combinaes dos4 elementos, tomados dois a dois, soos conjuntos: (a, b); (a, c); (a, d); (b, c); (b, d); (c, d)Note que a, b = b, a, pois combinao um conjunto, portanto no depende da ordemdos elementos.Logo, aplicando a frmula ao exemplo, teramos que as combinaes simples desses4elementostomados 2a2so6gruposquenopodemterarepetiodequalquerelemento nem podem aparecer na ordem trocada.Exemplo11.1. Sobreumaretamarcam-se8pontos esobreoutrareta, paralelaprimeira, marcam-se 5 pontos. Quantos tringulos obteremos unindo 3 pontos quaisquerdo total desses pontos?Soluo: Trs desses pontos vo determinar um tringulo se dois deles pertencem a r1e um pertencer ar2, ou dois deles pertencerem ar2 e um ar1. Assim, podemos escolherdois pontos em r1 e um ponto em r2 de C8,2 C5,1 maneiras, e dois pontos em r2 e um emr1 deC5,2 C8,1 maneiras. Logo, o nmero total de tringulos ser:C8,2 C5,1 +C5,2 C8,1= 28 5 + 10 8 = 140 + 80 = 220Sero obtidos 220 tringulos.Exerccio11.1. De quantas maneiras diferentes possvel escalar um time de futebolde salo dispondo de 8 jogadores?Exerccio 11.2.Com 10 espcies de fruta, quantos tipos de salada, contendo 6 espciesdiferentes, podem ser feitas?Exerccio 11.3.Numa sala temos 5 rapazes e 6 moas. Quantos grupos de 2 rapazes e3 moas podemos formar?Exerccio11.4. Umcampeonatodefutebol desalodisputadoporvriasequipes,jogando entre si, turno e returno. Sabendo-se que foram jogadas 272 partidas, determineo nmero de equipes participantes.Captulo 12Jogo da Senha12.1 Material- 1un. Foam paper (podendo ser substitudo por isopor);- 7un. Papel ColorSet (cores diferentes);- Estilete, lpis e rgua para a montagem do tabuleiro;- Plstico para plasticao.12.2 Como funciona o jogo?O jogo foi desenvolvido para duplas, mas pode ser feito em trios tambm. Inicialmenteconsideremos o jogo para uma dupla:Um dos jogadores recebe uma senha, o outro jogador tem que tentar acertar a senhanum nmero mximo de jogadas. Neste jogo de senha em especial, temos 5 cores diferen-tes para uma senha de 3 cores (diferentes sempre) sendo 8 o nmero mximo de jogadas.Assim sendo, comeamos com um tabuleiro da seguinte forma:4950 CAPTULO 12. JOGO DA SENHAAs trs primeiras casas de cada linha sero preenchidas por que est tentando acertara senha (jogador 1). As outras trs por quem est com a senha (jogador 2). Para melhorentender o funcionamento do jogo, vamos supor que a senha seja:Se na primeira tentativa o jogador 1 escolheu a seqncia:O que o jogador 2 dever marcar em suas trs casa?O jogador 2 ter que se perguntar duas coisas:- Quantas cores o jogador 1 escolheu que esto certas e no lugar certo?(Neste casofoi 1 cor s, a laranja.)12.3. ANALISANDO O JOGO MATEMATICAMENTE 51- Quantas cores o jogador 1 escolheu que esto certas mas no lugar errado?(Nestecaso foi s uma tambm, a verde.)Para cada pea naquela linha que tem a cor certa no lugar certo, o jogador 2 marcarumapeamarrom. Paracadapeanaquelalinhaquetemacorcertamasnolugarerrado, o jogador 2 marcar uma pea cinza.IMPORTANTE: Na hora de marcar, sempre se comea da esquerda, no marcandono lugar que est a cor correta, por exemplo:No marcar assim:(Pensando em colocar o marrom no segundo, pois o jogador 1 acertou o laranja na segundae o marrom na terceira pois o verde que est na terceira que est certo no lugar errado.)Mas marcar assim:Sempre comeando da esquerda a marcao.Agoraojogador1devefazersuasegundajogada, usandoasinformaesqueelerecebeu. Ouseja, portentativa, tentardescobrirqualacorqueestcertanolugarcerto, ou tentar colocar a que estava no lugar errado agora no lugar certo, ou ainda tentardescobrir qual a cor que est totalmente errada pra da mudar as peas de lugar.12.3 Analisando o jogo matematicamente- Quantas senhas diferentes so possveis formar no jogo?Como a ordem das cores da senha altera a senha, ou seja, h senhas diferentes comas mesmas cores, logo a contagem de senhas reca em um problema de arranjo. Assimtemos o nmero total de senhas dado por: Arranjo de 3 em 55!(5 3)!=5!2!=5 4 3 2 12 1= 5 4 3 = 60 senhas diferentes52 CAPTULO 12. JOGO DA SENHAParte IVMatrizes53Captulo 13MatrizesCom frequncia encontramos em jornais e revistas por exemplo, informaes numricasorganizadas na forma de tabelas, com linhas e colunas, como segue no exemplo a seguir:Tabela 1: Produo de gros (em milhares de toneladas) de um determinado estadodurante o ano de 2007:soja feijo arroz milhoRegio A 2900 200 420 680Regio B 720 350 720 90Regio C 1030 120 550 800Tabela 2: Produo de gros (em milhares de toneladas) de um determinado estadodurante o ano de 2008:soja feijo arroz milhoRegio A 4800 100 220 20Regio B 2100 150 300 300Regio C 2000 120 550 700Se quisermos ento uma tabela que d a produo por produto e por regio nos doisanos conjuntamente, teremos que somar os elementos correspondentes das duas tabelas.Ento, a tabela resultante ser:Tabela 3: Produo de gros (em milhares de toneladas) de um determinado estadodurante os anos de 2007 e 2008 conjuntamente:soja feijo arroz milhoRegio A 7700 300 640 700Regio B 2820 500 1020 390Regio C 3030 240 1100 1500Essa terceira tabela foi obtida atravs de:5556 CAPTULO 13. MATRIZES__2900 200 420 680720 350 720 901030 120 550 800__+__4800 100 220 202100 150 300 3002000 120 550 700__ =__7700 300 640 7002820 500 1020 3903030 240 1100 1500__Ou seja, somamos os elementos correspondentes de cada tabela (dos anos de 2007 e2008).Podemos considerar agora que devido a pesquisas climticas, estima-se que a produodo ano de 2009 seja o dobro da produo da resultante dos dois anos anteriores. Assim:2__7700 300 640 7002820 500 1020 3903030 240 1100 1500__ =__15400 600 1280 14005640 1000 2040 7806060 480 2200 3000__Esse tipo de tabela que foi construdo para obter os resultados da produo dos anosde 2007 e 2008 conjuntamente e a estimativa da produo de 2009 chamado de matriz.Diremos que uma matriz i j se ela apresentai linhas ej colunas.13.1 Propriedades de Operaes com Matrizes13.1.1 Adio e SubtraoComojvisto, parasomarduasmatrizes, bastasomaroselementoscorrespondentes,como j visto no primeiro exemplo. Porm, essa soma s ser vlida se as duas (ou mais)matrizes em questo tenham o mesmo nmero de linhas e colunas. Assim, no possvelsomar a matriz A com a matriz B, seA =__1 3 72 5 00 2 1__eB=__2 8 0 51 4 0 32 2 4 1__J no caso de C e D duas matrizes 3x3 conforme a seguir, existe a matriz C +D, quetambm uma matriz 3x3C=__0 2 11 3 02 2 0__eD =__1 3 42 1 00 1 0__Assim, sendoMeNduas matrizes quaisquer de mesmo tamanho, ou seja, mesmonmero de linhas e colunas,M+ NeM Ntero o mesmo tamanhotambm.Observao13.1.O processo para realizar a subtrao de matrizes o mesmo para asoma. Segue um exemplo:__3 127 2 01 53____3 1 20 1 1/37 23__ =__6 22 27 1 1/38 33__13.1. PROPRIEDADES DE OPERAES COM MATRIZES 5713.1.2 Multiplicao por EscalarPara multiplicar uma matriz por um escalar, multiplicamos cada elemento da matriz peloescalar em questo como o exemplo da estimativa da produo de 2009.13.1.3 Produto de MatrizesSeja A uma matrizm n e B uma matrizp q. Existir o produto entre essas duasmatrizes sen=p. A nova matrizA Bser da formam q,ou seja,apresentarmlinhas e q colunas. Apresentaremos agora o mtodo para a multiplicao de duas matizesA eB atravs de um exemplo. SejamA =__1 32 20 4__eB=_ 2 1 0 31 5 4 4_Dessa maneira,A B=__1 (2) + 3 (1) 1 1 + 3 5 1 0 + 3 (4) 1 3 + 3 4(2) (2) + 2 (1) (2) 1 + 2 5 (2) 0 + 2 (4) (2) 3 + 2 40 (2) + 4 (1) 0 1 + 4 5 0 0 + 4 (4) 0 3 + 4 4__A B=__5 16 12 152 8 8 44 20 16 16__Observao 13.2. Perceba que, apesar de existir a matriz A B, como mostrado acima,a matriz B A no existe. Porm, sempre que duas matrizes tiverem o mesmo nmero decolunas e linhas, existir tanto A B quanto B A, mas isso no signica que A B= B A.Observao13.3. Dadas duas matrizesA eB, diremos queA=Bse cada elementoda matrizA for igual ao seu correspondente na matrizB.58 CAPTULO 13. MATRIZESCaptulo 14ProbabilidadesAteoria de probabilidades passou a ser mais estudada na histria com o surgimentodos jogos de azar. Hoje um ramo da Matemtica muito importante e usado em vriosramos, como Economia, Gentica, Marketing, entre outros. Vamos ver as propriedadesprincipais das probabilidades atravs de exemplos.Exemplo 14.1.Uma roleta de cassino tem 37 nmeros (de 0 a 36). Se voc apostou nonmero 28, qual a chance de voc ganhar?Intuitivamente, sabemos que essa probabilidade de1/37. Vamos ver como escreve-mos isso matematicamente.Chamamosoconjunto= {0, 1, 2, 3, . . . , 35, 36}dospossveisresultadosdeespaoamostral e qualquer subconjuntoE de de evento. Ento a probabilidade de ocorrero eventoE o nmero de elementos do evento (casos favorveis) dividido pelo nmerode elementos do espao amostral (casos possveis). Escrevemos isso como:p(E) =n(E)n()Qual a probabilidade de voc ganhar na roleta, se voc apostou:em todos os nmeros pares (a regra da roleta no considera 0 como nmero par oumpar)?em todos os nmeros primos?em todos os nmeros que no so mltiplos de 3?Exemplo 14.2. Em uma classe h 30 alunos, todos nascidos em 1993.Se forem sorteadosdois deles ao acaso, qual a probabilidade desses alunos terem nascido:no mesmo ms?em meses de nmero par?no mesmo dia da semana?no mesmo dia?5960 CAPTULO 14. PROBABILIDADESExemplo 14.3.Num programa de auditrio, h uma caixa com trs bolas, uma com aletra S, outra com a letra I e a outra com a letra M. Sorteando as bolas, sem reposio,deseja-se formar a palavra SIM. Para cada letra na posio correta da palavra, o parti-cipante ganha R$ 200,00. No caso de as bolas terem sido sorteadas na ordem ISM, porexemplo, ganha-se R$ 200,00 Qual a chance do participante ganhar:R$600,00?R$400,00?R$200,00?R$0,00?Se zermos o sorteio das bolas com reposio,a chance de ganhar o prmio mximo maior?Um evento que tem100% de chance de ocorrer chama-se evento certo. Um eventoque tem0% de chance de ocorrer chama-se evento impossvel.Exemplo 14.4.Para jogar na Mega-Sena, marca-se pelo menos seis nmeros na cartelanumerada de 00 a 59. Para ganhar algum prmio, necessrio que entre os seis nmerossorteados, pelo menos quatro deles sejam iguais aos que foram escolhidos pelo apostador.O prmio mximo vai para quem acertar os seis nmeros. Qual a chance de ganhar oprmio mximo apostando emseis nmeros?sete nmeros?oito nmeros?OvalordaapostaemseisnmerosdeR$2,00eemsetenmeroessevalorvaiparaR$14,00. Vocsabecomocalculadoessevalor? Apostandoemsetenmeros,paga-seovalordequantosjogosdeseisnmerospodemserfeitos. Assim, comsetenmerospodemosfazer C67=7, ouseja, pagamosporseteapostasemseisnemros(7 R$2, 00 = R$14, 00).Quanto custaria uma aposta na Mega-Sena em que foi apostado em todos os nmeros?Quantos nmeros tm uma aposta em que h50% de chance de acertar:quatro nmeros?seis nmeros?Quanto custariam essas apostas?Exemplo14.5. Numgrupode12alunos, 4usamculos. Sorteando-se5deles, semreposio, qual a chance de no grupo haver:61exatamente duas pessoas que usam culos?pelo menos duas pessoas que usam culos?Se o primeiro aluno sorteado usa culos, qual a chance de que no grupo nal de 5alunosexatamente duas pessoas que usam culos?pelo menos duas pessoas que usam culos?62 CAPTULO 14. PROBABILIDADESCaptulo 15Cadeias de Markov1Muitos processos naturais so estudados a partir de aproximaes em que a passagemdeumestadoparaoutroocorresegundoumaprobabilidade. Seaprobabilidadedetransioparaoprximoestadodependeapenasdasituaocorrentedofenmeno, oprocessodechamadeprocessodeMarkoveumasequnciadeestadosenvolvendoestesprocessoschamadadecadeiadeMarkov. Asprobabilidadescalculadascomeste processo fornecem, a longo prazo, apenas aproximaes, visto que muito comumque nos processos estudados as probabilidades mudem ao longo do tempo. Vamos verum exemplo de aplicao deste processo:Suponha que,numa determinada regio,observa-se que se chover bastante duranteo ano, a probabilidade de que chova bastante no ano seguinte de 0,25, e que a proba-bilidade que de faa seca de 0,75. Ainda, se houver seca em um ano, no ano seguintea probabilidade de haver seca ou chuva suciente ser a mesma, de 0,50. Vamos suportambm que estas probabilidades no mudem no decorrer do tempo.Veja quep(2)C=14p(1)C+12p(1)Sp(2)S=34p(1)C+12p(1)Sque o mesmo que_p(2)Cp(2)S_ =__14p(1)C+12p(1)S34p(1)C+12p(1)S__Note que__14p(1)C+12p(1)S34p(1)C+12p(1)S__ =__14123412__._p(1)Cp(1)S_1Mais detalhes em lgebra Linear, Boldrini/Costa, referncia [6].6364 CAPTULO 15. CADEIAS DE MARKOVChamando deTa matriz__14123412__, temos que:_p(2)Cp(2)S_ = T_p(1)Cp(1)S_Da mesma forma, vemos que as probabilidades para o terceiro ano so:_p(3)Cp(3)S_ = T_p(2)Cp(2)S_ = T2._p(1)Cp(1)S_Apsn anos, ento:_p(n)Cp(n)S_ = T_p(n1)Cp(n1)S_ = Tn1._p(1)Cp(1)S_Se as potncias da matrizT(T,T2,T3,. . .,Tn, . . . ), se aproximam de uma matrizxaP, podemos prever as probabilidades para o clima dessa regio a longo prazo:_pCpS_ = P._p(1)Cp(1)S_.ChamamosamatrizTdematrizdeprobabilidades detransiooumatrizestocstica. Se a matriz de probabilidades de um processo de Markov possui algumapotncia com todos os termos no nulos, ento ela chamada de regular. Uma matrizdo tipo_p(n)Cp(n)S_onde cada linha possui uma probabilidade chamada de vetor de probabilidades. AimportnciadehaverumamatrizregularnumprocessodeMarkovestnoteoremaaseguir:Teorema 15.1.Se a matrizTrr de probabilidades de transio regular, ento:i) Para valores cada vez maiores den, a matrizTnse aproxima de uma matrizP.ii) Para valores cada vez maiores de n e um vetor de probabilidades inicial V1, o vetorde proabilidadesTnV1 se aproxima de um vetor de probabilidadesV.iii) O vetor de probabilidadesVdado no item anterior o nico que satisfazV= TVVoltando ao exemplo, temos que a primeira potncia deTtem todos os termos nonulos, logo T uma matriz regular. O vetor de probabilidades Vdescrito no teorema o65vetor que nos diz sobre as probabilidades a longo prazo. Podemos encontr-lo resolvendoa equao:_pCpS_ =__14123412___pCpS_que equivalente a:___pC=14pC +12pSpS=34pC +12pSResolvendo esse sistema, chegamos equao:pS=32pCLembrando quepC + pS= 1,chegamos quepC=25epS=35. Assim, a longo prazo, a probabilidade de um ano commuita chuva de25= 40% e de um ano com seca 25= 60% e, portanto, a regio tendea uma ligeira aridez.Veja como esto arranjados os termos da matrizT:Chuva SecaChuva1412Seca341466 CAPTULO 15. CADEIAS DE MARKOVCaptulo 16Exerccios1Exerccio16.1.Um dado comum lanado duas vezes sucessivamente. Qual a pro-babilidade de:1. Ocorrer 5 no primeiro lanamento e um nmero par no segundo?a) 4,16%b) 8,33%c) 10,50%d) 16,66%e) 91,66%2. O produtos obtidos ser maior que 12?a) 12%b) 24%c) 36,11%d) 41,66%e) 63,89%Exerccio 16.2.Na tabela seguinte est representada a distribuio por turno de todosos alunos do curso de Matemtica de uma faculdade:Manh NoiteHomens 20 23Mulheres 25 12Escolhendo ao acaso um aluno desse grupo, qual a probabilidade de que seja:1. Homem?1Os exerccios 16.1 a 16.6 foram tirados da referncia [13]. Os exerccios 16.7 a 16.9 so de vestibular.6768 CAPTULO 16. EXERCCIOSa) 15,00%b) 31,25%c) 43,00%d) 46,25%e) 53,75%2. Do curso diurno?a) 37,00%b) 43,75%c) 45,00%d) 56,25%e) 63,00%3. Mulher do Noturno?a) 15,00%b) 31,25%c) 43,75%d) 56,25%e) 85,00%Exerccio16.3. Emum grupode 80pessoas, todas de Minas Gerais, 53 conhecemoRio de Janeiro, 38 conhecem So Paulo e 21 j estiveram nas duas cidades. Uma pessoado grupo escolhida ao acaso. Quantas pessoas no conhecem nenhuma cidade?Qual a probabilidade de que ela tenha visitado exatamente uma dessas cidades?Exerccio16.4.Uma moeda viciada de tal modo que, com ela, obter cara (H) trsvezes mais provvel que obter coroa (T). Qual a probabilidade de se conseguir cara emum nico lanamento dessa moeda?Exerccio16.5. Oito pessoas,incluindo um casal e seu lho,so colocadas aleatoria-mente em la. Qual a probabilidade de que a famlia que junta?Exerccio16.6.Os dados da tabela seguinte referem-se a uma pesquisa realizada com155 moradores de um bairro e revelam seus hbitos quanto ao uso de TV e internet pagas.S TV aberta TV pagaInternet Gratuita 76 44Internet Paga 14 21Um dos entrevistados selecionado ao acaso. Qual a probabilidade (aproximada)de que ele use TV ou Internet pagas?69a) 21%b) 44%c) 51%d) 63%e) 79%Exerccio 16.7 (UFPR-2010). Em uma populao de aves, a probabilidade de um ani-mal estar doente 125. Quando uma ave est doente, a probabiliade de ser devorada porpredadores 14 e, quando no est doente, a probabilidade de ser devorada por predadores140. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa populao, escolhida aleatriamente,ser devorada por predadores de:a) 1,0%b) 2,4%c) 2,5%d) 3,4%e) 4,0%Exerccio16.8(UFPR-2009). A linha de produo de uma fbrica produz milharesdepeaspordiaeapresenta, emmdia, quatropeasdefeituosasacadacempeasproduzidas. Um inspetor de qualidade sorteia cinco peas de modo aleatrio e vericaa quantidade de peas defeituosas. De acordo com as informaes acima,considere asseguintes armativas:1. A probabilidade de o inspetor encontrar no mximo uma pea defeituosa (0, 0400, 965) + (5 0, 0410, 964)2. Aprobabilidadedeoinspetorencontrarpelomenosumapeadefeituosa1 (0, 0400, 965)3. impossvel o inspetor encontrar 5 peas defeituosas.Assinale a alternativa correta:a) Apenas a armativa 1 verdadeira.b) Apenas as armativas 1 e 2 so verdadeiras.c) Apenas as armativas 2 e 3 so verdadeiras.d) Apenas as armativas 1 e 3 so verdadeiras.70 CAPTULO 16. EXERCCIOSe) Todas as armativas so verdadeiras.Exerccio 16.9 (PUC/SP-2010). Um aluno prestou vestibular em duas Universidades.Suponha que, em uma delas, a probabilidade de que ele seja aprovado de 30%, enquantona outra, pelo fato de a prova ter sido mais fcil, a probabilidade de sua aprovao sobepara 40%. Nessas condies,a probabilidade de que esse aluno seja aprovado em pelomenos uma dessas universidades de:a) 58%b) 60%c) 52%d) 68%e) 70%Captulo 17Cubo MgicoA histriaO Cubo Mgico um dos smbolos dos anos 80. Foi inventado pelo arquiteto e profes-sor Ern Rubik na tentativa de criar um modelo para explicar geometria tridimensional.Seuprimeiroprottipofoi feitoem1974. Jforamvendidasmaisde300milhesdeunidades do cubo mgico. Nos anos 80 foi estimado que aproximadamente um quinto dapopulao tenha brincado com o cubo. Ainda hoje ele muito vendido e inspirou vriosoutros brinquedos.As combinaesPodemoscalcularquantassoasposiespossveisparaoCuboMgico. Acontano fcil porque temos que lidar com nmeros grandes. O raciocnio no difcil, masnecessrioquesaibamosalgumaspropriedadesdocubo. Oresultadoumnmerodifcil at de se falar: 43.252.003.274.489.856.000. Como voc acha que foi calculado essenmero?Que raciocnio foi feito?Uma dica: esse nmero igual a8!.12!.37.212.O nmero de DeusUma pergunta sempre instigou quem j brincou com o cubo: para uma combinaoqualquer, qual o nmero mnimo de movimentos para resolv-lo?Esse nmero chamadode nmero de Deus, pois se Deus fosse resolver o cubo,o faria da maneira mais sim-ples possvel. Foi calculado em 2010 que esse nmero 20, ou seja, a combinao maiscomplicada do Cubo Mgico pode ser resolvida com 20 movimentos. Tendo em vista aquantidade de combinaes possveis, foi necessrio usar programas de computador paravericar todos os casos. Um computador comum demoraria cerca de 1,1 bilho de segun-dos para fazer todas essas contas.Resolvendo o CuboO criador do quebra-cabea, Ern Rubik, demorou cerca de um ms para resolv-lopela primeira vez. Existem vrios mtodos para resolver o cubo; os mais rpidos so osque exigem mais memorizao e treino, pois dividem a resoluo em muitas partes. Oatual recorde de 6,24 segundos.7172 CAPTULO 17. CUBO MGICOParte VPolinmios e suas Aplicaes73Captulo 18Polinmios18.1 IntroduoApalavra polinmios vem do grego poli=muitos e nmios=termos, ou seja muitostermos ouvrios monmios (mono=um, umtermo). Jnamatemtica, podemosencontrar vrias denies para polinmios, desde as mais simples at as mais complexas.Por exemplo:Denio 18.1.1. Polinmio uma expresso algbrica com todos os termos semelhantesreduzidos.Mas a denio que usaremos aqui a seguinte:Denio 18.1.2.Sejap : R R. p dito um polinmio de graun se:i) p(x) = anxn+an1xn1+ +a1x +a0;ii) an, an1, , a1, a0 R, an = 0 eiii) n N.Exemplo 18.1.1.Diga se as expresses abaixos so polinmios e, se armativo, qual o grau (denotamosgr(p) como grau dep).a) x2+ 3x + 43 um polinmio de grau2b) x27x45+ 37 + x10+x15+ x um polinmio de grau45c) x22 um polinmio de grau2d) x2+ix, ondei =1, no um polinmio, poisi/ RObservao 18.1.i) O grau de um polinmio constante zero;ii) Por conveno1, dizemos que o grau do polinmio nulo (p(x) = 0, x R) menosinnito ()1Ver referncia [10]7576 CAPTULO 18. POLINMIOS18.2 Identidade de PolinmiosSejamp(x) = anxn+an1xn1+ +a1x +a0e q(x) = bmxm+bm1xm1+ +b1x+b0, polinmios com graus n e m respectivamente.p(x) = q(x) se, e somente se, n = m e a0= b0, a1= b1, , am= bm.18.3 Soma e MultiplicaoVamos agora denir a soma e a multiplicao de dois polinmios.Denio 18.3.1.(Soma) Sejamp(x) = anxn+ an1xn1+ +a1x + a0 eq(x) = bmxm+bm1xm1+ +b1x +b0 comn m. Ento,p(x) + q(x) = anxn+an1xn1+ + am+1xm+1+ (am +bm)xm+(am1 +bm1)xm1+ + (a1 +b1)x + a0 +b0Ou seja,Ao somarmos dois polinmios, agrupamos seus termos semelhantes.Em termos de somatrio, temos:p(x) =n

k=0akxkq(x) =m

k=0bkxkpara n > m, p(x) + q(x) =n

k=0akxk+m

k=0bkxk=n

k=m+1akxk+m

k=0akxk+m

k=0bkxk=n

k=m+1akxk+m

k=0(ak +bk)xk.para n = m, p(x) + q(x) =m

k=0akxk+m

k=0bkxk=m

k=0(ak + bk)xk.Exemplo 18.3.1.Some os polinmios a seguir:a) p(x) = 3x3+ 2x + 1q(x) = 2x2+ 3x 5p(x) + q(x) = (3x3+ 2x + 1) + (2x2+ 3x 5)= 3x3+ 2x2+ (2 + 3)x + (1 5)= 3x3+ 2x2+ 5x 418.3. SOMA E MULTIPLICAO 77b) p(x) = 5x3+ 2x24x 5q(x) = 2x45x3+ 4x2+ 7xp(x) + q(x) = (5x3+ 2x24x 5) + (2x45x3+ 4x2+ 7x)= 2x4+ 5x35x3+ 2x2+ 4x24x + 7x 5= 2x4+ 6x2+ 3x 5Propriedade 18.3.1.Sejam p e q polinmios de grau n e m, com n m. Ento o graudo polinmiop + q n.Denio 18.3.2.(Produto) Sejamp(x) = anxn+an1xn1+ + a1x +a0=

nk=0akxkeq(x) = bmxm+ bm1xm1+ +b1x + b0=

nk=0bkxkcomn m.Ento,p(x) q(x) =

ni=0

mj=0aibjxi+jOu seja,Ao multiplicarmos dois polinmios, apenas fazemos a distributiva entre os monmiosExemplo 18.3.2.Multiplique os polinmios a seguir:a) p(x) = 3x3+ 2x + 1q(x) = 2x2+ 3x 5p(x) q(x) = (3x3+ 2x + 1)(2x2+ 3x 5)= 3x3(2x2+ 3x 5) + 2x(2x2+ 3x 5) + 1(2x2+ 3x 5)= 6x5+ 9x415x3+ 4x3+ 6x210x + 2x2+ 3x 5= 6x5+ 9x411x3+ 8x27x 5b) p(x) = x23x + 1q(x) = 2x21p(x) q(x) = (x23x + 1)(2x21)= x2(2x21) 3x(2x21) + 1(2x21)= 4x4x26x3+ 3x + 2x21= 4x46x3+x2+ 3x 1Propriedade18.3.2.Sejamp eq polinmios tais quegr(p)=n egr(q)=m. Ento,em geral, temosgr(p q) gr(p) + gr(q) = n + m. No nosso contexto, teremos sempregr(p q) = gr(p) + gr(q) = n +m.78 CAPTULO 18. POLINMIOS18.4 Valor numrico - RaizDenio 18.4.1. Dados o nmero real a e o polinmio f(x) = a0+a1x+a2x+ +anxn,chama-se valor numrico defema a imagem dea pela funof, isto :f(a) = a0 +a1a +a2a2+ +ananExemplo 18.4.1.Sejaf(x) = 2 +x + x2+ 3x3. Ento:a) f(2) = 2 + 2 + 22+ 3 23= 32b) f(1) = 2 + (1) + (1)2+ 3 (1)3= 1Denio 18.4.2. Se a um nmero real e f um polinmio tal que f(a) = 0, dizemosquea uma raiz ou um zero def.Exemplo 18.4.2.Observe as razes:a) x = 0 raiz dep(x) = 4x32x2+x2 poisp(0) = 4 032 02+ 0 2 = 0b) x = 2 raiz deq(x) = 4x23x 22 poisq(2) = 4 (2)23 (2) 22 = 16 + 6 22 = 018.5 Diviso de polinmiosAgoraquesabemosoqueumvalornumricodeumpolinmiooumelhorsabemostambmoqueumaraiz, podemosestenderumpoucomaisnossoestudocomnovasidias interessantssimas, vamos agora trabalhar com alguns resultados algbricos que nosajudaram a compreender melhor os polinmios:Teorema 18.5.1.(Diviso de polinmios) Sejap(x) = a0 + a2x + + anxneh(x) =b0 + +bnxnpolinmios no identicamente nulos, ento se bn = 0, existem nicos q(x)er(x) polinmios tais que:i) p(x) = h(x) q(x) + r(x);ii) gr(h) > gr(r);iii) gr(q) = gr(p) gr(h).Observao 18.2.i) Chamamos deq(x) de quociente er(x) de resto;ii) O processo para encontrarq(x) er(x) anlogo ao conhecido algoritmo da diviso,isto :18.5. DIVISO DE POLINMIOS 79p(x) h(x)r(x) q(x)iii) Quandor(x)=0, dizemos queh(x) divide ou est na fatorao dep(x) (ver seosobre fatorao).Agora, para facilitar as contas, vamos mostrar alguns mtodos prticos de se encontrarq(x) e r(x).18.5.1 Mtodo 1: Mtodo da ChaveComoottulosugere, iremos utilizar omesmomtodoutilizadonaaritmtica: Defato, sejap(x) =4x3+ x4+ 9 + 4x2umpolinmios. Vamosdividi-lopelopolinmioh(x) = x2+x 1, sabemos - pelo teorema 18.5.1 - queq(x) er(x) existem e so nicos.Logo, o processo para encontr-los nos sugere os seguintes passos:Passo 1: Escrevemos ambos os polinmios em ordem crescente, isto ,p(x) = x4+ 4x3+ 4x2+ 0x + 9 e h(x) = x2+x 1Observao 18.3.Completamos com zero os expoentes que esto faltando.Passo 2:Dividimos o termo maior do dividendo pelo termo de maior grau do divisor,assim obtemos o primeiro termo de quociente:x4+ 4x3+ 4x2+ 0x + 9 x2+ x 1x4x3+x2x20x4+ 3x3+ 5x2Passo 3:Como a diferena obtida gerou um polinmio de maior grau do dividendo,repetimos o processo anlogo ao passo 2 e assim sucessivamente at que o resto seja demenor grau que o divisor:x4+4x3+4x2+0x+9 x2+ x 1x4x3+x2...... x2+ 3x + 20x4+3x3+5x2+0x...3x33x2+3x...2x2+3x+92x22x+2x +11Logo, q(x) = x2+ 3x + 2 er(x) = x + 1180 CAPTULO 18. POLINMIOS18.5.2 Mtodo 2: Identidade de Polinmios (Descartes)Sejamospolinmiosp(x)=4x3 3x + 2eh(x)x2 x, vamosmostraroutromtodointeressantssimo para encontrarq(x) er(x), utilizando o mtodo de Descartes temos asseguintes consideraes:i) p(x) = q(x)h(x)+r(x), onde gr(q) = gr(p)gr(h) = 1. Logo, q(x) necessariamentedeve ser da formaq(x) = ax +b;ii) Orestoidenticamentenulose e somentese adivisoforexata. Casocontrrio,pelo teorema 18.5.1 (pg.78), temos necessariamente gr(r) 1, isto r(x) = px+m.Logo:4x33x + 2 x2xpx +m ax +bCom efeito:4x33x + 2 = (ax +b)(x2x) + px +m4x33x + 2 = ax3ax2+bx2bx + px + m4x33x + 2 = ax3+ (a + b)x2+ (b +p)x +mComo os polinmios so idnticos, temos:___a = 4a +b = 0b +p = 3m = 2Assim, resolvendo o sistema, temosa = 4; b = 4; p = 1; m = 2.Portanto,q(x) = 4x + 4 e r(x) = x + 2Exerccio: Deixamos a cargo do leitor vericar que, utilizando o mtodo 1,as respostas iro coincidir.Antes de enunciarmos o nosso terceiro e ltimo mtodo conhecido por algoritmo deBriot - Runi, vamos enunciar os seguintes resultados:Teorema 18.5.2. (do Resto) O resto da diviso de um polinmio p(x) por um binmio(x a) o prprio valor numrico do polinmio emx = a, que indicamos anteriormenteporp(a).Teorema 18.5.3.(de DAlembert) A diviso de um polinmiop(x) por um binmio(x a) exata se, e somente se,p(a) = 018.5. DIVISO DE POLINMIOS 81Observao 18.4.i) Atravs desses dois ltimos resultados e com o teorema 18.5.1 da pg. 78, prova-seque, sendo o polinmiop(x) divisvel por(x a) e por(x b) coma =b, entop(x) divisvel por(x a).(x b), ao leitor ca o desao de provar o resultado.ii) Sobre os teoremas que estamos enunciando, dos quais omitimos as demonstraes,recomendamos fortementeparaaqueles quegostamdas provas matemticas aleitura dos seguintes ttulos:Fundamentos de Matemtica Elementar, vol. 6 - Gelson Iezzie para aqueles mais ntimoscom a matemtica:Introduo a lgebra - Adilson Gonalves18.5.3 Mtodo 3: Algoritmo de Briot-RuniSejam os polinmiosf(x) = a0xn+a1xn1+ +an, (a0 = 0)g(x) = x aVamos encontrar o quociente q(x) e o resto r(x) da diviso de f(x) por g(x). O algoritmode Briot - Runi nos sugere a seguinte construo:Exemplo 18.5.1.Dividaf(x) = 2x47x2+ 3x 1 por g(x) = x 3Portanto,q(x) = 2x3+ 6x2+ 11x + 36 e r(x) = 107Exerccio: Fica a cargo do leitor vericar que utilizando o mtodo 1 e 2as respostas iro coincidir.82 CAPTULO 18. POLINMIOSObservao 18.5. Existe um outro modo de se escrever o algoritmo de Briot-Runi.Sejap(x) = anxn+ an1xn1+ +a0 eh(x) = (x a).a anan1 a1a0anaqn + an1 aq2 +a1aq1 +a0= qn= qn1= q1= q0Assim,q(x) = qnxn1+qn1xn2+ +q2x +q1e r(x) = q0.Consideraes:Naturalmente existem mais mtodos para se dividir polinmios, emparticular mtodos especcos para determinados graus de polinmios como o caso depolinmios de grau 2 e 3, Bhaskara e chute respectivamente, sobre os quais acreditamosqueoleitorjtemumconhecimentoprvio. Ambossofacilmenteencontradosemqualquer livro de ensino bsico.18.6 FatoraoComovimos oquesorazes eadivisodepolinmios, agorapodemos aprender afator-los. Vocs, leitores, j devem ter visto que nem todo polinmio admite razes real.Fatorar, aqui, signicarescreverumpolinmiocomoumamultiplicaodepolinmiosde grau 1, ou ento de grau 2 s se no for possvel escrever do primeiro modo.Exemplo 18.6.1.Diga se os polinmios esto na sua forma fatorada:a) p(x) = (x + 2)2est na sua forma fatoradab) p(x) = 2(x + 3)(x 2)2est na sua forma fatoradac) p(x) = 4(x+2)3(x24) no est na sua forma fatorada pois, (x24) = (x2)(x+2)(faa a distributiva e conra!)d) p(x) = 4(x + 2)3(x2+ 4) est na sua forma fatorada (ainda veremos o porqu)Muito bem. Agora que temos uma ideia do que um polinmio fatorado, temos queaprender a como fatorar.Teorema 18.6.1.Sejami) p(x) = a(x x1)1(x x2)2 (x xk)k q(x) a forma fatorada de um polinmioque possuik razes reais distintas, com0 k n, eii) q(x) um polinmio mnico (coeciente do termo de maior grau igual a 1) de graum, com:18.6. FATORAO 83 0 m n sen par, ou 0 m < n sen mpar.Ento:i) m = n + kii) m pariii) x1, x2, , xk so suas razes reais distintasiv) i a multiplicidade da raizxi, i = 1, , kv) a = an, ou seja, o coeciente do termo de maior grauvi) q(x) no possui razes reaisExemplo 18.6.2.(m = 0) Fatore os polinmios a seguir:a) p(x) = x2+x 2p(x) = 0x2+ x 2 = 0x =_1 _124(1)(2)_/(2(1))x =_1 9_/2x = (1 3) /2x

= 1 e x

= 2 (razes reais)Portanto, comoan= 1, temosp(x) = 1(x 1)(x (2))p(x) = (x 1)(x + 2)b) q(x) = x32x211x + 12q(x) = 0x32x211x + 12 = 0x = 1 soluo pois1 + (2) + (11) + 12 = 0 (soma dos coecientes igual a zero)Ento, por Briot-Runi, temos1 1 2 11 121 1 + (2) = 1 1 + (11) = 12 12 + 12 = 0Assim, Nossa nova equao : q2(x) = (1)x2+ (1)x + (12) q2(x) = x2x 12q2(x) = 0x2x 12 = 0x =_(1) _(1)24(1)(12)_/(2(1))x =_1 49_/2x = (1 7) /2x

= 4 e x

= 3 (razes reais)Portanto, comoan= 1, temosq(x) = 1(x 1)(x 4)(x (3))q(x) = (x 1)(x 4)(x + 3)84 CAPTULO 18. POLINMIOSExemplo 18.6.3.(m > 0) Fatore os polinmios a seguir:a) p(x) = x3x2+x 1p(x) = 0x3x2+ x 1 = 0x = 1 soluo pois1 + (1) + 1 + (1) = 0 (soma dos coecientes igual a zero)Ento, por Briot-Runi, temos1 1 1 1 11 1 + (1) = 0 0 + 1 = 1 1 + (1) = 0Assim, Nossa nova equao : p2(x) = (1)x2+ (0)x + (1) p2(x) = x2+ 1p2(x) = 0x2+ 1 = 0x =_0 _024(1)(1)_/(2(1))x =_4_/24/ R x R / p2(x) = 0Portanto, comoan= 1, temosp(x) = 1(x 1) p2(x)p(x) = (x 1)(x2+ 1)b) q(x) = x2+2x+2q(x) = 0x2+ 2x + 2 = 0x =_2 _224(1)(2)_/(2(1))x =_2 4_/24/ R x R / q(x) = 0Portanto, comoan= 1, temosq(x) = 1 q(x)q(x) = x2+ 2x + 2c) p(x) = 2x2+ 4p(x) = 2(x2+ 2)p2(x) = 0x2+ 2 = 0x2= 2x = 22/ R x R / p2(x) = 0Portanto, comoan= 2, temosp(x) = 2 p2(x)p(x) = 2(x2+ 2)Captulo 19Binmio de Newton19.1 MotivaoAprendemos em produtos notveis que (a+b)2= a2+2ab+b2(a mais b, ao quadrado igual ao primeiro ao quadrado, mais duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o segundoao quadrado). Essa basicamente a frmula. No entanto, o que faramos para calcular(a +b)3. Bom, poderiamos fazer o seguinte:(a +b)3= (a +b)2(a +b)= (a2+ 2ab +b2)(a +b)= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3Bom, maseseforelevadoaquarta? Podemosaplicaromesmoprocessoanterior,mas e se quisermos elevar a 10? Ou a umn determinado? pra isso que serve, ento,nosso objeto de estudo, o binmio de Newton.19.2 O binmioDenio19.2.1. Todobinmiodaforma(a + b)n, sendon Ndenominadodebinmio de Newton.Teorema 19.2.1.(do binmio de Newton)(x +y)n=n

k=0_nk_xnkykonde_nk_ =n!k!(n k)!= Cnkso chamados de coecentes binomiais8586 CAPTULO 19. BINMIO DE NEWTONPodemosmontarumatabela(chamadatambmdetringulodePascal)doscoe-cientes binomiais.nk0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 35 21 7 18 1 8 28 56 70 56 28 8 1...Mas, o que tudo isso tem a ver com polinmios?Bom, vamos s seguintes propriedades:i) a soma dos coecientes de(a + b)n igual a2n;ii) os coecientes que equidistam dos extremos so numericamente iguais;iii) o desenvolvimento de um binmio de Newton pode ser um polinmio de(n + 1)termos eiv) Cn0= Cnn= 1, eCn1= Cnn1= n.Exemplo 19.2.1.Desenvolva o binmio a seguir:(a +c)3=_30_a30c0+_31_a31c1+_32_a32c2+_33_a33c3= 1 a3 1 + 3 a2c + 3 ac2+ 1 c3= a3+ 3a2c + 3ac2+c319.3 O termo geral de um binmioA frmula para o termo geral do binmio(a + b)n dado pela seguinte frmula:Tp+1=_np_anpbpAssim, se eu quero, por exemplo, o 3 termo do desenvolvimento do binmio(x + y)6,basta calularT3.Exemplo 19.3.1.Calcule o que se pede:Calcule o 5 termo do binmio(x + 3)7Tp+1= T5 p + 1 = 5 p = 419.3. O TERMO GERAL DE UM BINMIO 87Assim,T5=_74_x7434Vamos ento calcularC74C74=7!4!(7 4)!=7 6 5 4!4! 3!=7 6 53 2 1= 7 5= 35Portanto,T5= 35 81x3= 2835x388 CAPTULO 19. BINMIO DE NEWTONCaptulo 20Exerccios1Exerccio 20.1.Determine o grau dos polinmios a seguir:a) 5x3+x2+ 3x + 2b) a4+a5+aaa +a3c) 12x2+x3Exerccio20.2. Dados os polinmiosF(x)=2 + 3x 4x2, G(x)=7 + x2eH(x)=2x 3x2+x2, calcule:a) H(x) G(x)b) F(x) G(x)c) F(x) + H(x)d) H(x) G(x)Exerccio 20.3.Se P(x) = xnxn1+xn2 +x2x +1 e P(1) = 19, entoquando valen?Exerccio 20.4.Encontre a(s) raiz(es) dos polinmios a seguir:a) 18x3+ 9x2x 1 = 0b) b2+ 1 = 0Exerccio 20.5. Determinar a sabendo que 2 raiz da equao x43x3+2x2+ax3 = 0.Exerccio 20.6.Obter um polinmio do terceiro grau cujas razes so2,1 e 2.1Os exerccios 20.1, 20.2 e 20.3 so das sees 18.1, 18.3 e 18.4, respectivamente. Os exerccios 20.4 a20.15 so da seo 18.5. O exerccio 20.16 faz referncias aos contedos da seo 18.6 e do captulo 19.8990 CAPTULO 20. EXERCCIOSExerccio20.7.Resolver a equaox3 3x2 3x + 3=0, sabendo-se que a soma deduas razes zero.Exerccio 20.8.Calcule as razes do polinmiop(x) = 2x33x23x + 2 utilizando-seo mtodo de Briot-Runi.Exerccio 20.9.Verique sep(x) = x32x2+ 1 divisvel por:a) x 1b) x 2c) x + 1Exerccio 20.10. Calcular p para que o polinmio 4x48x3+8x24(p +1)x+(p +1)2seja o quadrado perfeito de um polinmio inteiro (seus coecientes so inteiros) em x.Exerccio 20.11.Determinar o resto e o quociente def(x) = xn+anporg= x a.Exerccio20.12. Determinar peqreaisdemodoquef(x) =x2+ (p q)x + 2peg= x3+ (p +q) sejam ambos divisveis por2 x.Exerccio 20.13.Determinara eb de modo que o polinmiof(x) = x3+ 2x2+ ax + bapresente as seguintes propriedades: f(x) + 1 divisvel porx + 1 ef(x) 1 divisvelporx 1.Exerccio 20.14. O lucro de uma fbrica na venda de determinado produto dado pelafunoL(x)= 5x2+ 100x 80, ondex representa o nmero de produtos vendidos eL(x) o lucro em reais. Determine:a) O lucro mximo obtido pela fbrica na venda desse produto.b) Quantos produtos precisam ser vendidos para obteno do lucro mximo?Exerccio 20.15.Dada a funof(x) = 3x24x +1, determine se ela possui ponto demximo ou mnimo absoluto.Exerccio 20.16.Fatore os polinmios a seguir:a) a2b2b) 16a21c) a2+ 2ab +b2d) 4x212xy + 9y2e) x210x + 25f) 5x3+ 5x55x2g) 12a2x3+ 6a4x530a6x491Figura 20.1: Figura 20.2:Desao 20.1. Cortando-se quadrados em cada canto de uma folha de papelo quadrada(Figura20.1), com18cmdelado, edobrando-a(Figura 20.2), obtem-seumacaixaretangularsemtampa. Qual deveseroladodoquadradoaserrecortadoparaqueovolume da caixa seja igual a400cm3?92 CAPTULO 20. EXERCCIOSCaptulo 21Aplicao dos polinmios - DistribuioBinomial21.1 Distribuio BinomialComecemos com um exemplo.Suponhaque100pacientesforamsubmetidosaumtestenoqual seobservouque35foram aprovados. Tomando 2 pacientes, quais as probabilidades de aprovao?Bom, para comear temos trs opes: (a) Os dois so aprovados, (b) um aprovado, ou(c) nenhum aprovado.(a) Como queremos que os dois sejam aprovados,temos que ter aprovado eaprovado.Usando a regra do e, temos que a probabilidade de os dois serem aprovados igualamultiplicaodaprobalidadedeumseraprovadopelaprobabilidadedooutro.Portanto temos35100 35100= 0, 1225(b) Comoqueremosquesejaaprovadoapenasumpaciente, temosqueteraprovadoereprovado, oureprovado eaprovado. Assim, aplicamos a regra do ee a regra doou. Uma observao antes que a probabilidade de ser reprovado 1 35100=65100.Portanto temos _35100 65100_+_65100 35100_ = 0, 455.(c) Como queremos que os dois sejam reprovados, temos que ter reprovado e reprovado.Usando a regra do e, temos que a probabilidade de os dois serem reprovados igualamultiplicaodaprobalidadedeumserreprovadopelaprobabilidadedooutro.Portanto temos65100 65100= 0, 4225Podemosperceberque0, 1225 + 0, 455 + 0, 4225=1. Masissobvio, poisexistemapenas essas trs possibilidades, nenhuma a mais. Assim a soma das trs tem que dar ototal, ou seja100%Masoqueissotemavercompolinmio? Bom, primeiroprecisamospensarqueesse exemplo pde ser resolvido de maneira bem simples utilizando-se de conhecimentosbsicossobreprobabilidade. Mas, senoexemploemvezdetomarmosdoispacientes,tomarmos 30 paciemtes?Vamos, ento, denio.Denio21.1.1.Seja X (varivel aleatria) o nmero de resultados favorveis em.9394 CAPTULO 21. APLICAESDizemos queXtem distribuio binomial com parametros n e p, seP(X= y) =_ny_pyqny(21.1)Em quei) n = #;ii) y {0, 1, 2, , n},y o evento que voc quer;iii) p a probabilidade dada;iv) q= 1 p.Observao21.1. Reparequeoladodireitodaequao(21.1) otermogeral dobinmio(p + q)n, comp 1. Veja tambm quey vai de0 an. Assim,n

y=0_ny_pyqny= (p+q)n(pelo teorema de binmio de Newton. Ver Teorema 19.2.1)(21.2)Observe que(p + q)n= (p + (1 p))n= 1n= 1, como deveria ser, pois a soma de todasas possibilidades tem que dar 100%.Exemplo 21.1.1.Peguemos o exemplo dado no incio. Temos que:# = n = 2, pois escolhemos 2 pacientes;p = 35/100 = 0, 35;q= 65/100 = 0, 65.a) Qual a probabilidade de escolher dois que passaram no teste?Temos quey= 2, pois queremos que os dois tenham passado.P(X= 2) =_22_0, 352.0, 6522= 0, 352= 0, 1225b) Qual a probabilidade de que apenas um tenha passado?y= 1P(X= 1) =_21_0, 351.0, 6521= 2 0, 35 0, 65= 0, 455c) Qual a probabilidade de que nenhum tenha passado?y= 0P(X= 0) =_20_0, 350.0, 6520= 0, 652= 0, 422521.2. EXERCCIOS 9521.2 ExercciosPara as questes1 e2, utilize a tabela abaixo:Aluno 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15Sexo F F M M F F M F F F M F M M FIdade 21 20 19 20 23 21 22 20 20 20 22 21 20 20 241. Se tomar uma amostra, aletoriamente , de 5 alunos, qual a probabilidade de nenhumser do sexo feminino?2. Se tomar aletoriamente5 alunos, qual a probabilidade de:a) Dois ter mais que20 anos?b) De pelo menos2 ter mais que20 anos?3. Em um carregamento denotebooks, sabe-se que1% apresenta qualquer problema.Se comprarmos 30, qual a probabilidade de duas ou mais apresentarem problemas?96 CAPTULO 21. APLICAESReferncias Bibliogrcas[1] PAIVA, Manoel. Matemtica. 1 Edio. So Paulo, 2005. Volume nico. EditoraModerna.[2] DANTE, Luiz Roberto. Tudo Matemtica - 6 srie. 1 Edio. So Paulo, 2007.Editora tica.[3] ISOLANI, Cllia Maria M.; MIRANDA, Diair Terezinha L.; ANZZOLIN, Vera LciaA.; MELO, Walderez S.. Matemtica - 6 srie. 2 Edio. Curitiba, 2002. EditoraConstruindo o Conhecimento.[4] LONGEN, Adilson. MatemticaemMovimento6srie. LivrodoProfessor.Editora do Brasil.[5] PAULOS, JohnAllen. InumerismoOanalfabetismomatemticoesuasconse-quncias. Portugal, 1988. Publicaes Europa-Amrica.[6] BOLDRINI, JosLuiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues; FIGUEIREDO, VeraLcia;WETZLER, Henry G. lgebra Linear. 3 Edio. So Paulo. Editora Harbra.[7] LIMA, Elon L.; CARVALHO P. C.,Paulo; WAGNER, Eduardo; MORGADO C.,Augusto. A matemtica do ensino mdio. Volume 3, Sexta edio. Rio de Janeiro,1998.[8] IEZZI, Gelson. Fundamentosdamatemticaelementar. Volume6, stimaedio,Editora ATUAL.[9] GONAL