Aplicaes da Derivada Enoilma Silva Contedos 1. Derivada Implcita 2. Derivadas Sucessivas 3. Regra de LHospital Derivada Implcita UmaexpressonaformaF(x,y)=0define implicitamenteumafunoy=f(x)seo grficodey=f(x)coincidecomalguma parte do grfico de F(x, y) = 0. Exemplos: a) 2y + x2y + 1 x = 0 ( ) ( )2222' 22 1'2 1 ' ' 20 1 ' 2 ' 20 1 2xxyyxy y x yy x xy ydxdx y x ydxd+= = += + += + +Outraformadeencontraraderivadada funo 2y + x2y + 1 x = 0 isolando y: 212+=xxy2 222 22 22 22) 2 (2 2') 2 (2 2 2') 2 (2 ). 1 ( 2'+ +=++ +=+ +=xx xyxx x xyxx x xyVoc deve estar se perguntando, masno igual a Substituindoem2' 22 1'xxyy+=2 22) 2 (2 2'+ +=xx xy212+=xxy2' 22 1'xxyy+=2 22222 222) 2 (2 2222 2 2' 2212 1'+ +=+++ +=+|.|

\|+=xx xxxx x xxxxxyPodemostambmatribuirvaloresa x,se quisermosporexemplo,calcularf(2), assim, temos: x0 = 2 y0 = f(2) = 1/6 f(2) = 1/18 Podemosaindadeterminarasequaes da reta tangente e da reta normal. Tangente: y = (x + 1)/18 Normal: y = -18x + 217/6 2.Determineaequaodareta tangenteedaretanormalaogrfico decadafunoln(y)=x+y2,no ponto P( 1,1). ( ) ( )222 1'' . 2 1'lnyyyy yyyy xdxdydxd=+ =+ =P( 1,1) xo = -1 yo = 1 f(-1) = -1 Equao da reta tangente: y = -x Equao da reta normal: y = x + 2 3.SejaCacircunfernciadada implicitamente por x2 + y2 = 1 e t a reta tangente C no ponto de abscissa comomostraafiguraabaixo.Calculeo valor da rea sombreada. 2 20 = x414 41112222 22 02 02 :122' ,22,22, '2ttt t === == === == =+ = =||.|

\|= = =sombreada reacrculo do rea dacrculo reatriangulo reay xx yx y Tangentef y xyxyo oDerivadas Sucessivas Em algumas aplicaes precisamos derivarumafunomaisdeuma vez.Seumafunoy=f(x)for derivvel,isto,existef(x), podemospensarnaderivadade f(x) e assim sucessivamente. Definimosedenotamosasderivadas sucessivasdeumafunoy=f(x)de acordo com a tabela abaixo: Exemplos: 1. Calculeasderivadassucessivasdas seguintes funes: a) f(x) = 3x5 + 8x2 f(x) = 15x4 + 16x f(x) = 60x3 + 16 f(x) = 180x2

fiv(x) = 360x fv(x) = 360 fvi(x) = 0 ... fn(x) = 0, p/ n > 6 b) f(x) = ex/2 2222221) (...161) (81) ( ' ' '41) ( ' '21) ( 'xnnxivxxxe x fe x fe x fe x fe x f=====28585232322121221) (21) (21) (xxxe x fe x fe x f===2.Calculeaderivadasegundadas seguintes funes: a) f(x) = 3x2 + 8x + 1b) y = tg x f(x) = 6x + 8y = sec2x f(x) = 6y= 2 sec2x tg x c) f(x) = ( )212 21 1 + = + x x( )1'2+=xxx f( )( )3211' '+=xx f3. Marque a alternativa correta. O valor de f(97)(0), sendo f(x) = e3x +sen (3x) : a) 2397 b) 3194 c) 697d) 6194 e) 3297 f(x) = 3e3x + 3 cos (3x) f(x) = 9e3x - 9 sen (3x) f(x) = 27e3x - 27 cos (3x) fiv(x) = 81e3x + 81 sen (3x) ( )| || || || |= += = = +=... 12 , 8 , 4 , (3x) sen e 3... 11 , 7 , 3 , (3x) cos e 3... 10 , 6 , 2 , (3x) sen e 3... 9 , 5 , 1 , (3x) cos e 33x n3x n3x n3x nn sen sen sen sex fnn = 97; 97 : 4 tem resto igual a 1, ento f(97)(x) = 397[e3x +cos (3x)] f(97)(0) = 397[e0 +cos 0] = 2 . 397 Estaregrapermitecalcular certostiposdelimites(cujas indeterminaessodotipoeou ) aplicando as regras de derivao. 00Sejamfegfunesderivveis numintervaloabertoI,exceto possivelmente, num ponto a I. Suponha que g(x) 0, x I e x a. Exemplos: 1) Determinarosseguinteslimites aplicando a regra de LHospital: a) 12lim0xxex22 2lim12lim0012lim00 00= = == e e exexxxxxxx53 21 2lim2 36lim002 36lim2 36lim )2222222222=+=+ +=+ ++ + xxx xx xx xx xx xx xbx xxx0200lim001 coslim2lim002lim2lim )0 000 000= =+=+== += + +e esene ex sene exe ex x sene ex x sene ex x sencx xxx xxx xxx xxx xx+ = += == =+=+=+=+++ + + + + + + + 6 6lim6lim6lim4 3lim4 3lim41lim41lim41lim )22 333xxxxxxxxxxxxxxxxexexexexex xex xex xed( )( )0119 3 lim9 3 lim ) = +++ + xxxxxx eNesses casos usamos propriedades dos logaritmos: ln(ax) = x.ln(a) e eln(x) = x ( )( ) | |( )( )( )10 ln039 33lim19 33lim9 3 lnlim9 3 ln1lim9 3 ln lim9 3 lim ln ) ln(9 3 lim111====+=+==+=+ =+ =+ =+ =+ + + + + + + LLxxxxxxxx Lx Lx xxxxxxxxx( ) 1 9 3 lim1= ++ xxx( )( )0 20200 2 lim2 lim )= ++++xxxxx xx x f( )( ) | |( )( )( )=+=+ =+ =+ =+ =+++++xx xx x xx xx x Lx x Lxxxxxxxx/ 12 lnlim2 ln . lim2 ln lim2 lim ln ) ln(2 lim202020202010 ln0202 24 6lim0022 2lim122 2lim2022 30220=== =++ ==++ = ++=++ + LLxx xx xx xxx xxxx x( ) 1 2 lim20= ++xxx x( )( )( )( )( )( ) 1 1 . lim1 0 cos 1 cos lim11 cos .1lim/ 11lim0 . 1 . lim1 . lim )22== = == =+ + + + + + x sen xxxxxxx senx sen xx sen x gxx x xxxEstudos independentes - Fazerosexercciosdalistade Derivao implcita, Derivadas sucessivas e Regra de LHospital. Fontes - FLEMMING, Diva Marlia; GONALVES, Miriam Buss. Clculo A: funes, limite, derivao e integrao. So Paulo: Pearson Education Brasil, 2007. - LEITHOLD, Louis. O Clculo com Geometria Analtica. So Paulo: Harbra, 1994.