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Aula - 2Movimento em uma dimensão
Física Geral I - F-12820 semestre, 2010
Ilustração dos “Principia” de Newton mostrando a ideia de integral
Movimento em 1-D
• Entender o movimento é uma das metas das leis da Física.
• A Mecânica estuda o movimento e as suas causas.• A sua descrição e feita pela Cinemática.• As suas causas são descritas pela Dinâmica. • Iniciamos com o movimento em 1-D.
Posição – 1D
-3 -2 -1 0 1 2 3
escolha um ponto!
Em cinemática, os conceitos de tempo e posição são primitivos. Um objeto é localizado pela sua posição ao longo de um eixo orientado, relativamente a um ponto de referência(observador), geralmente tomado como origem (x = 0)
Um conceito importante é o da relatividade do movimento: sua descrição depende do observador.
x (m)
O deslocamento
Exemplo: corrida de 100 metros.
∆x = x2 - x1
∆t = t2 – t1
: deslocamento
: intervalo de tempo
O deslocamento unidimensional de um objeto num intervalo de tempo (t2-t1) é a diferença entre a posição final (x2 ) no instante t2 e a posição inicial (x1) no t1.
Velocidade média
tx
ttxxvm ∆
∆=−−=
12
12
De 0 a 5,01 s : vm = 40m / 5.01s = 8,0 m/sDe 5,01 a 10,5 s: vm = 60m / 5,49s = 10,9 m/s
Em todo o intervalo (de 0 a 10,5 s) : vm = 100m / 10,5s = 9,5 m/s
A velocidade média nos dá informações sobre um intervalo de tempo. Mas pode ser que queiramos saber a velocidade em um dado instante.
Exemplo: Corrida de 100 metros.
** Se (movimento à direita, ou no sentido de crescimento de x) e se (movimento à esquerda, ou no sentido de decréscimo de x)
00 >⇒>∆ vx00 >⇒<∆ vx
Velocidade média
)(tx
t
)(tx∆
t∆
0t tt ∆+0
θ
Velocidade média entre ttet ∆+00
θtgttxvm =
∆∆= )(
smvm /6,0≅
Velocidade média
)(tx
t
)(tx∆
t∆
0t tt ∆+0
θ
Velocidade média entre ttet ∆+00
smvm /2,1≅
θtgttxvm =
∆∆= )(
Velocidade média
)(tx
t0t tt ∆+0
θ
Velocidade média entre ttet ∆+00
smvm /5,1≅
θtgttxvm =
∆∆= )(
Velocidade instantânea
)(tx
t
θtgdt
tdxttxtv
t=≡
∆∆=
→∆
)()(lim)(0
θ
0t
Velocidade instantânea em t0
smtv /5,1)( 0 ≅
reta tangente à curva
(a velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo)
Velocidade instantânea
( )dtdx
txtv
t=
∆∆=
→∆ 0lim
GeometricamenteConceito Derivada
Exemplo:Na corrida, de 100 m,a velocidade em t = 2s é
sms
mstv 0,82,11
90)2( ≅==
Tangente
Visualização gráfica da derivada
Algumas derivadas importantes
0
)(tfdttdgbdttdfa /)(/)( +)()( tgbtfa +
dttdf /)(
constante=ant 1−nnt
tωsin tωω costωcos tωω sin−
teλ teλλtλln 1−t
Em algumas situações, . Entretanto, as duas podem ser bastante diferentes. Ex: partícula parte de O, em ritmo constante, atinge P e retorna a O, depois de decorrido um tempo total e ter percorrido uma distância total L.
τ
Velocidade escalar média e velocidade escalar A velocidade escalar média é uma forma diferente de descrever a“rapidez”com que uma partícula se move. Ela envolve apenas a distância percorrida, independentemente da direção e sentido:
tvem ∆
= totaldistância
⋅ ⋅O P
t
x
τ2τ
2L
A velocidade escalar é o módulo da velocidade; ela é destituída de qualquer indicação de direção e sentido. (O velocímetro de um carro marca a velocidade escalar instantânea e não a velocidade, já que ele não pode determinar a direção e o sentido).
mem vv =
Neste caso:
0=mvτLvem =e
Velocidade instantâneaUm caso particular: velocidade constante
0
0)(ttxxv
dtdxtv m −
−===
)(tx
t tt ∆+ t tt ∆+
)(tv
Graficamente:
)( 00 ttvxx −=−ou:
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
)( 00 ttvxx −=−
Este é o problema inverso. Considere inicialmente o caso de velocidade constante. Então:
Note que v(t–t0) é a área sob a curva da velocidade v = constante em função do tempo. Este é um resultado geral. Para demonstrá-lo, usaremos que para intervalos de tempo muito curtos podemos escrever:
onde v(t) é a velocidade instantânea em t.
,)( ttvx ∆=∆
t
v
)(tv
t0
v
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
t∆
)(tv
)(tv
t
( ) tdtvxxt
t
′′=− ∫0
0
No limite N →∞ e ∆t→0:
0t it
v(ti)
0
( )
( ) ( )
( )
i i
ii
ii
x v t t
x t x t x
v t t
∆ ≈ ∆
⇓− = ∆ =
∆
∑∑
0t t
Dividimos o intervalo (t-t0) em um número grande N de pequenos intervalos t∆
O cálculo de x(t) a partir de v(t)
∫ ′′=−=t
t
tdtvxtxedt
tdxtv0
)()()()( 0
A velocidade é obtida derivando-se a posição em relação ao tempo; geometricamente, a velocidade é o coeficiente angular da reta tangente à curva da posição versus tempo no instante considerado. O deslocamento é obtido pela anti-derivação (ou integração) da velocidade; geometricamente, o deslocamento é a área sob a curva da função velocidade versus tempo.
Algumas integrais importantes
)(tf)()( tGbtFa +)()( tgbtfa +
)(tF
1, −≠ntn 1/1 ++ nt n
tωsin ωω /cos t−tωcos ωω /sin t
teλ λλ /te||ln t1−t
atconstante=a
Aceleração média
tv
ttvvam ∆
∆=−−=
12
12Aceleração média:
de 0s até 4s: am = 10m/s / 4s = 2,5 m/s2
Um corredor acelera uniformemente até 10 m/s em t = 4,0 s. Mantém a velocidade nos próximos 4s e reduz a velocidade para 8,0 m/s nos 4,7s seguintes. Acelerações médias:
de 4s até 8s: am = 0m/s / 4s = 0 m/s2
de 8s até 12,7s: am = -2m/s / 4,7s = -0,42 m/s2
Aceleração média
)(tv
t
)(tv∆
t∆
0t tt ∆+0
θtgttvam =
∆∆= )(
θ
Aceleração média entre ttet ∆+00
)(tv
t
θtgdt
tdvttvta
t=≡
∆∆=
→∆
)()(lim)(0
θ
0t
Aceleração instantânea em t0
Aceleração instantânea
(a aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo)
reta tangente à curva da velocidade
Aceleração instantânea
dtdv
tva
t=
∆∆=
→∆ 0lim
22,27,2
9,5)2( smssmsta ===
GráficosConceitoDerivada
Exemplo:Na corrida de 100 m, a aceleração em t = 2s é:
2
2
dtxd
dtdx
dtd
dtdva =
==
Note queDerivadasegunda
v(t)
v(t)
a(t)
Aceleração constante
( ) ( )0
0
tttvtvaa m −
−==
atvv += 0
200 vv
txxvm
+=−=
Se a aceleração é constante
Se t0 = 0 e v(t0) = v0, temos que a velocidade fica:
Note que neste movimento a velocidade média é dada por
2
2
00attvxx ++= temos:Como tvxx m+= 0 ,
Resumo: aceleração constante
As equações de movimento para o caso de aceleração constante são:
( )
( ) tvvxx
xxavv
attvxx
atvv
++=
−+=
++=
+=
00
020
2
200
0
212
21
Aceleração da gravidade
Galileo, o primeiro físico moderno, estudou a queda dos corpos. Refutou as hipóteses de Aristóteles. Usando experimentos, mostrou que os corpos caem com a mesma velocidade, independentemente de sua massa.
x ~ t2 , v ~ t ; conseqüências de uma aceleração constante!
Aceleração da gravidade
Mas... devemos notar quehá, em geral, outras forçasatuando no corpo considerado,o que pode frustrar umaexperiência se não formos suficientemente cuidadosos.
a resistência do ar!!
Corpos em queda livre
Bola jogadapara cima
Para cima:diminuindo v
Bola para
Para baixo
v aumenta
Resumo: aceleração constante (-g)
As equações de movimento para o caso de aceleração da gravidade -g são (ao longo do eixo y):
( )( ) tvvyy
yygvv
gttvyy
gtvv
++=
−−=
−+=
−=
00
020
2
200
0
212
21
g
y
Exemplo
gtvegty =−= 2
21
Um corpo cai livremente a partir do repouso; calcule a sua posição e velocidade em t = 1,0, 2,0 e 3,0 s.
Em t = 1,0 s:
y = - 4,9 m e v = -9,8m/s
Continuando temos ...
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
)( 00 ttavv −=−
Este é novamente o problema inverso. Considere inicialmente o caso de aceleração constante. Então,
Note que a(t-t0) é a área sob a curva da aceleração a(t) = constante em função do tempo. Este também é um resultado geral. Para demonstrá-lo, usaremos que para intervalos de tempo muito curtos podemos escrever
onde a(t) é a aceleração instantânea no instante t.ttav ∆=∆ )(
t
a
0t
a(t)
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
)(ta
t( ) tdtavvt
t
′′=− ∫0
0 0t
Dividimos o intervalo (t-t0 ) em um número grande N de pequenos intervalos .
0
( )
( ) ( )
( )
i i
ii
ii
v a t t
v t v t v
a t t
∆ ≈ ∆
⇓− = ∆ =
∆
∑∑
t∆t∆
t0t it
)(ta
a(ti)
No limite N →∞ e ∆t→0:
O cálculo de v(t) a partir de a(t)
∫ ′′=−=t
t
tdtavtvedt
tdvta0
)()()()( 0
A aceleração é obtida derivando-se a velocidade; geometricamente, é o coeficiente angular da reta tangente à curva da velocidade versus tempo no instante considerado.A velocidade é obtida pela anti-derivação (ou integração) da aceleração; geometricamente, a variação de velocidade é a área sob a curva da função aceleração versus tempo.
Movimento relativo 1D
Dadas as posições xA e xB de dois corpos A e B em relação a uma origem 0 (referencial), a posição relativa de A em relação a B é dada por: xAB = xA – xB
Então, a velocidade relativa vAB de A em relação a B é:
BABAAB
AB vvdt
dxdt
dxdt
dxv −=−==
E a aceleração relativa aAB de A em relação a B é:
BAAB
AB aadt
dva −==
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![TE-708 Processamento Digital de Sinais - UFPR 1 2. Sinais e Sistemas Discretos Notação: x[n] Discreto x(t) Contínuo n(amostras) Sinal Discreto x[n]=x(n.T)](https://img.document.onl/doc/110x75/552fc10b497959413d8c1f76/te-708-processamento-digital-de-sinais-ufpr-1-2-sinais-e-sistemas-discretos-notacao-xn-discreto-xt-continuo-namostras-sinal-discreto-xnxnt.jpg)
