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Curso de Física Geral F-328 1º semestre, 2013
Aula 3: A Lei de Gauss
F328 – 1S20123 1
ds
n̂
A
n̂t̂
∫ ⋅=S
dAnrv ˆ)(φ
Ad
)(rv
Definição:
dAnAd ˆ=
⊥⊥ =+== vA)t̂vn̂.(vn̂Av.A //φ
⊥==→== vAdtdsAdsAdV;
dtdV φφ
vA
v//v
⊥vv
Fluxo de um campo vetorial
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O fluxo do campo elétrico Qual é o fluxo do campo elétrico de uma dada distribuição de cargas através de uma superfície fechada?
∫ ⋅=S
dAnrE ˆ)(
φ
0ˆ)( <⋅= dAnrEd φ0ˆ)( =⋅= dAnrEd φ
0ˆ)( >⋅= dAnrEd φ
E
E
Esuperfície
gaussiana esférica E
Fluxo de um campo vetorial
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00321 =++−=++= EAEAφφφφ
Superfície cilíndrica cujo eixo coincide com a direção de um campo elétrico uniforme
Ad
E
EAd
Ad
superfície gaussiana
E
Fluxo de um campo vetorial
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θφ cos)(ˆ)( dArEdAnrEd =⋅=
Ω= drdA 2cosθ
Ângulo sólido e lei de Gauss
Ω= drrEd 2)(φ
0
4
02
0
2
4 επεφφ
π qrdrqd =Ω== ∫∫
2cosr
dAd θ=Ω
r Ad
)(rE θcosdA
Ωd
θ
q
A
Δ
q
E
Fluxo de um campo vetorial
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Esta lei relaciona os valores do campo elétrico em pontos de uma superfície (gaussiana) com a carga total dentro da superfície:
S1
S4
S2 S3
0
intˆ)(ε
φ qdAnrES
=⋅= ∫
A Lei de Gauss
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Uma carga puntiforme fora de uma superfície fechada. O número de linhas de força que entram na superfície é igual ao número de linhas que saem dela. O fluxo total é nulo.
Superfícies fechadas de vários formatos envolvendo uma carga q. O fluxo através de todas as superfícies é o mesmo.
q q\
A Lei de Gauss: Ilustrações
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Carga puntiforme (simetria esférica)
0
24)(ˆ)(ε
πφ qrrEdAnrES
==⋅=∫
rrq
E ˆ41
20πε
=
A lei de Gauss é geral, mas a sua utilidade no cálculo do campo elétrico criado por uma distribuição de cargas depende da simetria desta distribuição.
0
intˆ)(ε
φ qdAnrES
=⋅=∫
E
superfície gaussiana S
Nos pontos de S: uniforme
ˆaparalelo=E
nE
∴Então:
q
Ad
Cálculo de campo elétrico
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O campo elétrico no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático é sempre nulo. Assim sendo, a lei de Gauss nos permite demonstrar que todo o excesso de carga no condutor deverá migrar para a sua superfície.
00
int ==ε
φ q
No caso de haver uma cavidade no condutor, a lei de Gauss nos diz que o excesso de carga se situa na superfície externa do condutor.
0
intˆ)(ε
φ qdAnrES
=⋅=∫
superfície gaussiana
0)( =rE
0)( =rE
superfície gaussiana condutor
condutor
Cálculo de campo elétrico: Condutores
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O campo deve ser sempre perpendicular à superfície do condutor carregado, em equilíbrio eletrostático. Por quê?
Simetria plana: camada condutora
AEA σε =0
nE ˆ0εσ=
0
intˆ)(ε
φ qdAnrES
=⋅=∫
A
E
Cálculo de campo elétrico
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AEA σε =0202ε
σ=E
0
intˆ)(ε
φ qdAnrES
=⋅=∫
E
E
gaussiana cilíndrica
Simetria plana: placa não condutora Cálculo de campo elétrico
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Carga induzida em uma camada condutora neutra
0ˆ)(0
int
0
=+−=⋅=∫ εεφ qqdAnrE
S
qq +=int qqext −=e
0
intˆ)(ε
φ qdAnrES
=⋅=∫
Para uma gaussiana no interior da camada:
Determinar as cargas induzidas nas superfícies interna e externa da camada.
q−
Note que não é uniforme. E ? intσ extσ
Superfície gaussiana
Cálculo de campo elétrico
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E
Ad
Superfície gausseana superfície gaussiana S
E
h Ad
λSimetria cilíndrica: fio infinito uniformemente carregado
0
2)(ελπφ hrhrE ==
rr
rE ˆ2
)(0επ
λ=
0
intˆ)(ε
φ qdAnrES
=⋅=∫
Nos pontos de S: constanteˆaparalelo
=EnE
E
S
vista de topo
Cálculo de campo elétrico
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Duas placas condutoras Densidades superficiais de carga e 1σ 1σ−
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
placadaesquerdaà
placadadireitaà
0
1
0
1
1
εσ
εσ
E
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧−=
placadaesquerdaà
placadadireitaà
0
1
0
1
2
εσεσ
E
⎪⎩
⎪⎨⎧
=+=placasdasfora0
placasasentre2
0
1
21 εσ
EEEtotal
Aproximando as placas:
Cálculo de campo elétrico
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Duas placas não condutoras Densidades superficiais de carga e )(+σ )(−−σ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=
+
+
+
placadaesquerdaà2
placadadireitaà2
0
)(
0
)(
)(
εσε
σ
E
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧−=
−
−
−
placadaesquerdaà2
placadadireitaà2
0
)(
0
)(
)(
εσ
εσ
E
0
)()(
2εσσ −+ −
=RE0
)()(
2εσσ +− −
=LE0
)()(
2εσσ −+ +
=BE; ;
Cálculo de campo elétrico
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Simetria esférica: esfera condutora carregada (ou casca esférica carregada)
⎪⎩
⎪⎨⎧
<
>=
Rr
Rrr
QrE
se,0
se,4)( 2
0πε
0
intˆ)(ε
φ qdAnrES
=⋅=∫
2S
1S
Cálculo de campo elétrico
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Simetria esférica: esfera não condutora uniformemente carregada
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>=
RrRrQ
Rrr
Q
rEse,
4
se,4)(
30
20
πε
πε
0
intˆ)(ε
φ qdAnrES
=⋅=∫
gaussiana esférica
gaussiana esférica
Cálculo de campo elétrico
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Os exercícios sobre Lei de Gauss estão na página da disciplina : (http://www.ifi.unicamp.br). Consultar: Graduação à Disciplinas à F 328-Física Geral III
Aulas gravadas: http://lampiao.ic.unicamp.br/weblectures (Prof. Roversi) ou UnivespTV e Youtube (Prof. Luiz Marco Brescansin)
Lista de exercícios do Capítulo 23
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