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Aula 2_1 Lei de Gauss I Física Geral e Experimental III
Prof. Cláudio Graça
Capítulo 3
Conceito de Fluxo do campo elétrico
• Fluxo do campo elétrico num campo uniforme
Suponhamos uma superfície plana de área colocada num campo elétrico uniforme de intensidade E . Seja n a normal à superfície e o ângulo que a normal faz com as linhas do campo:
Por definição, chama-se de fluxo do campo elétrico que atravessa uma superfície plana colocada num campo elétrico uniforme ao produto:
Conceito de Fluxo do campo elétrico
• Variação de Φ em função de α
Conceito de Fluxo do campo elétrico
• Variação de Φ em função de α
Interpretação mecânica do fluxo de um vetor
O volume de fluido que atravessa a seção S por unidade de tempo, será dado por :
portanto
O fluxo de fluido , denominado vazão é o fluxo do vetor velocidade de um fluido
Interpretação do fluxo de um vetor
Onde
No caso da superfície fechada a notação da Integral será:
Interpretação do fluxo do campo elétrico
Onde No caso da superfície fechada a notação da Integral será:
Interpretação do fluxo de um vetor
No caso da superfície fechada não conter nem fontes nem sumidouros, o fluxo será nulo:
a
a
i no qAd.E
Lei de Gauss
Cálculo do Campo Elétrico
• Lei de Coulomb
Força entre duas cargas pontuais, foi usada para calcular campos elétricos.
OU
• Lei de Gauss
Relaciona o campo elétrico com a
distribuição espacial de cargas.
Utiliza o conceito de Fluxo Elétrico
Dipolo Elétrico: Análise Qualitativa
Superfícies esféricas
centradas em :
a
a) +q (verde)
b
b) -q (vermelho)
c
c) (+q-q=0) (amarela)
• Todas linhas saem de a (fluxo +)
• Todas as linhas entram em b (fluxo -)
• O mesmo número de linhas que
sai, entra em c (fluxo nulo)
Conclusões
Lei de Gauss - Questão Conceitual
As linhas de campo (16 no total), furam a
superfície gaussiana retangular.
Contando as linhas que entram na
superfície , como negativas, e as que saem,
como positivas, quantas cruzam a
superfície?
A) zero
B) +8
C) -8
Pois a carga total no interior desta superfície gaussiana é nula
Lei de Gauss -Superfícies Gaussianas
Linhas de campo elétrico "furando" uma superfície, mostrando que o existe fluxo de campo elétrico através da superfície.
As linhas de campo elétrico entram e saem da superfície, portanto o fluxo de campo elétrico sobre a superfície é nulo.
Lei de Gauss: fluxo do campo elétrico
dAcosR
kqdAn̂Ed
dAn̂ˆ
R
dAd
2
2
dE
dA de através elétrico campo do Fluxo
d sólido ângulo Vetor
radianos) (em sólido Ângulo
kq4dRR
kq 2
2E
esfera uma Para
Fluxo
Integral de Superfície
As integrais de superfície, calculam o fluxo, somando o fluxo que atravessa cada elemento de superfície
Duas situações importantes:
• Se o campo elétrico é tangente à superfície,
em todos os pontos da mesma, então
• Se o campo elétrico é normal, em
todos os pontos da superfície, então EA
0
E
E
AdEAEE
Lei de Gauss – Fluxo do Campo Elétrico
Fluxo do campo Elétrico
• O que significa esta equação? – A integral é calculada sobre uma SUPERFÍCIE FECHADA
– O fluxo assim calculado é um ESCALAR
– é normal à superfície a aponta para FORA.
– A componente do campo é NORMAL à SUPERFICIE
AdEE
• Definição:
– o fluxo do campo elétrico, E através
de uma superfície fechada, A
• Conclusões: – O fluxo do campo elétrico através de uma superfície fechada é uma soma das das
componentes do fluxo devido à componente do campo elétrico normal à superfície.
– Atenção que a componente do campo normal, se o campo sai da superfície é “+ “
e se penetra a superfície é “-”
AdE
Ad
E
E
Lei de Gauss Problema Considere um cubo de lado a localizado em uma região de campo elétrico constante com módulo E como o da figura.
Quais dos seguintes valores, representa o fluxo do campo elétrico E através da superfície externa do cubo?
(a) E = 0 (b) E 2Ea2 (c) E 6Ea2
a
a
Lei de Gauss • Lei de Gauss (uma Lei FUNDAMENTAL):
O fluxo elétrico total, através de qualquer superfície fechada (Gaussiana) é proporcional à carga contida no volume limitado por essa superfície.
i no qAdE
Lei de Gauss
ino QAdE
Para entender como a lei de Gauss relaciona o fluxo do campo elétrico no interior de uma superfície gaussiana com a carga no interior dessa mesma superfície, escolhe-se uma superfície qualquer com uma carga q em seu interior, como por exemplo a superfície da figura ao lado A forma dessa superfície S pode ser qualquer, contudo, a fim de facilitar os cálculos uma esfera de raio r centrada na carga Q, como por exemplo a superfície gaussiana representada na figura
Lei de Gauss
• Como e quando se aplica? Esta equação é SEMPRE VÁLIDA
• Nessa forma integral é muito fácil de usar para problemas em que E exibe uma SIMETRIA completa.
• Para resolver esta equação deve-se ESCOLHER uma Gaussiana, para a qual a solução é SIMPLES.
Direção: a superfície deve ser escolhida especialmente para casos em que o
campo ou é perpendicular ou tangencial à superfície.
Módulo: a superfície, deve ser escolhida tal que E possua o mesmo valor para todos os pontos da superfície em que seja perpendicular à mesma.
Portanto: isto permitirá tirar E fora da integral.
i no QAdE
Gauss Coulomb • Como ilustração é possível mostrar, que para cargas
pontuais, a Lei de Gauss é equivalente à Lei de Coulomb.
E d AAdE
• Simetria Campo E de uma carga pontual
é radial e esféricamente simétrico
• Trace uma esfera de raio R centrada na carga.
– Por que?
E é normal a cada ponto da superfície E possui o mesmo valor em todos pontos da superfície
E pode ficar fora da integral!
E
+Q r
A escolha da superfície deve guardar simetria com a distribuição de carga…esta superfície é denominada “ Superfície Gaussiana”
2r4Ed AEEd AAdE
• Portanto,
• Lei de GAUSS: QEr4 2
o 2
o r
Q
4
1E
dA
Geometria e Integrais de Superfície
d AEEd AAdE
ab2b c2ac2d A
Quando E é constante sobre a superfície e é normal a ela, em todos
os pontos, E pode ser tirado fora da integral, deixando só a integral de área.
a b
c
x
y
z
r
z
r
L 2r4dA 2r2rL2d A
+ + + + + + + + + x
y
+ + + + + + + + + + +
Linha de Carga Infinita • Simetria Campo E é ^ à
linha e, depende só da distância à linha
Er
• Portanto, ESCOLHA uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento h alinhada com o eixo dos x.
• Aplique a Lei de Gauss:
h
Er
+ + + + + + + + +
Nas tampas,
Na superfície cilindrica, rhE2AdE
0AdE
A carga no interior da superfície, hQ i n
oo
inh
rhEQ
AdE
2
Distribuição esférica de carga • Simetria Campo E é ^ à superfície
e, depende só da distância à superfície
• Portanto, ESCOLHA uma superfície Gaussiana esférica de raio r, simétrica com a distribuição de carga: r ≤ R; r ≥ R
• Aplique a Lei de Gauss
• O fluxo para essas gaussianas será, sempre:
• A carga no interior da gaussiana: 3
in
3
in
R3
4QRr
r3
4QRr
para
para
2
E r4EAdE
2
o
3
o
r3
RERr
r3
ERr
E
r R
R3
Eo
R
3m/C c a rg a d e d e n s id a d e
Distribuição plana de carga • Simetria Campo E é ^ à superfície
e, depende só da distância à superfície
2
E rE20E A2AdE
• Portanto, ESCOLHA uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento h alinhada com o campo elétrico...
• O fluxo do campo elétrico será:
• A carga no interior da gaussiana:
• Aplique a Lei de Gauss
2
i n rQ
o
22
o2
ErrE2
O campo elétrico é independente da
distância à placa!!!
Lei de Gauss: Questão Conceitual
1. Qual destes campos podem
representar um campo elétrico
estático?
A) b, c
B) a, b
C) a, d
D) c, d
E) todos
3. Em qual das opções certas, existem cargas no quadro apresentado?
A) Nas duas
B) Em nenhuma delas
C) Outra opção:
2. Qual a razão da resposta?